导数练习

第1课时 变化率与导数、导数的计算1．导数的概念：函数y ＝)(x f 的导数)(x f '，就是当Δx →0时，函数的增量Δy 与自变量的增量Δx 的比xy∆∆的 ，即)(x f '＝ ＝ ． 2．导函数：函数y ＝)(x f 在区间(a, b)内 的导数都存在，就说)(x f 在区间( a, b )内 ，其导数也是(a ,b )内的函数，叫做)(x f 的 ，记作)(x f '或x y '，函数)(x f 的导函数)(x f '在0x x =时的函数值 ，就是)(x f 在0x 处的导数.3．导数的几何意义：设函数y ＝)(x f 在点0x 处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点),(00y x M 处的 . 4．求导数的方法(1) 八个基本求导公式)('C ＝ ； )('n x ＝ ；(n∈Q) )(sin 'x ＝ ， )(cos 'x ＝)('x e ＝ ， )('x a ＝)(ln 'x ＝ ， )(log 'x a ＝(2) 导数的四则运算)('±v u ＝ ])(['x Cf ＝)('uv ＝ ，)('vu ＝ )0(≠v(3) 复合函数的导数设)(x u θ=在点x 处可导，)(u f y =在点)(x u θ=处可导，则复合函数)]([x f θ在点x 处可导， 且)(x f '＝ ，即x u x u y y '⋅'='. 12+x 在x 0到x 0+Δx 之间的平均变化率.变式训练1. 求y=x 在x=x 0处的导数.例2. 求下列各函数的导数： （1）;sin 25x xx x y ++= （2）);3)(2)(1(+++=x x x y（3）;4cos 212sin 2⎪⎭⎫⎝⎛--=x x y （4）.1111xxy ++-=变式训练2：求y=tanx 的导数.例3. 已知曲线y=.34313+x（1）求曲线在x=2处的切线方程； （2）求曲线过点（2，4）的切线方程.变式训练3：若直线y=kx 与曲线y=x 3-3x 2+2x 相切，则k= .例4. 设函数bx ax x f ++=1)( (a,b∈Z )，曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程为y=3. （1）求)(x f 的解析式；（2）证明：曲线)(x f y =上任一点的切线与直线x=1和直线y=x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值.变式训练4：偶函数f （x ）=ax 4+bx 3+cx 2+dx+e 的图象过点P （0，1），且在x=1处的切线方程为y=x-2，求y=f （x ）的解析式.1．理解平均变化率的实际意义和数学意义。

2．要熟记求导公式，对于复合函数的导数要层层求导.3．搞清导数的几何意义，为解决实际问题，如切线、加速度等问题打下理论基础.第2课时 导数的概念及性质1． 函数的单调性⑴ 函数y ＝)(x f 在某个区间内可导，若)(x f '＞0，则)(x f 为 ；若)(x f '＜0，则)(x f 为 .（逆命题不成立）(2) 如果在某个区间内恒有0)(='x f ，则)(x f .注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的. (3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法： ① 确定函数)(x f 的 ；② 求)(x f '，令 ，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；③ 把函数)(x f 的间断点（即)(x f 的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数)(x f 的定义区间分成若干个小区间；④ 确定)(x f '在各小开区间内的 ，根据)(x f '的符号判定函数)(x f 在各个相应小开区间内的增减性.2．可导函数的极值 ⑴ 极值的概念设函数)(x f 在点0x 附近有定义，且对0x 附近的所有点都有 （或 ），则称)(0x f 为函数的一个极大（小）值．称0x 为极大（小）值点.⑵ 求可导函数极值的步骤： ① 求导数)(x f '；② 求方程)(x f '＝0的 ；③ 检验)(x f '在方程)(x f '＝0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y ＝)(x f 在这个根处取得 ；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y ＝)(x f 在这个根处取得 .3．函数的最大值与最小值： ⑴ 设y ＝)(x f 是定义在区间[a ,b ]上的函数，y ＝)(x f 在(a ,b )内有导数，则函数y ＝)(x f 在[a ,b ]上 有最大值与最小值；但在开区间内 有最大值与最小值． (2) 求最值可分两步进行：① 求y ＝)(x f 在(a ,b )内的 值；② 将y ＝)(x f 的各 值与)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. (3) 若函数y ＝)(x f 在[a ,b ]上单调递增，则)(a f 为函数的 ，)(b f 为函数的 ；若函数y ＝)(x f 在[a ,b ]上单调递减，则)(a f 为函数的 ，)(b f 为函数的 . 例1. 已知f(x)=e x-ax-1. （1）求f(x)的单调增区间；（2）若f(x ）在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围；（3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.变式训练1.已知函数f(x)=x3-ax-1.（1）若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a,使f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由；（3）证明：f(x)=x3-ax-1的图象不可能总在直线y=a的上方.2时，y=f(x）例2.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x=3有极值.（1）求a,b,c的值；（2）求y=f(x）在［-3，1］上的最大值和最小值.变式训练2. 函数y=x4-2x2+5在区间［-2,2］上的最大值与最小值.例3. 已知函数f(x)=x2e-ax (a＞0),求函数在［1，2］上的最大值.变式训练3. 设函数f(x)=-x(x-a)2(x∈R),其中a∈R.（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点（2，f(2))处的切线方程；（2）当a≠0时，求函数f(x)的极大值和极小值.例4. 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元（3≤a≤5）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（9≤x≤11）时，一年的销售量为(12-x)2万件. （1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）.变式训练4：某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)=3 700x+45x2-10x3（单位：万元），成本函数为C(x)=460x+5 000（单位：万元），又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x).（1）求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；（提示：利润=产值-成本）（2）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？（3）求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？研究可导函数)('xf＝0('xf，再找出) (xf的单调性、极值（最值）时，应先求出函数)(xf的导函数)的x取值或)f<0)的x的取值范围．('xf>0()('x导数及其应用单元检测题一、选择题1.曲线y=e x 在点（2，e 2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）A.49e 2B.2e 2C.e 2D.2e 22.如果函数y=f(x)的图象如图所示，那么导函数y=)(x f '的图象可能是 ( )3.设f(x)=x 2(2-x),则f(x)的单调增区间是 （ ）A.(0,)34B.(,34+∞) C .(-∞,0) D.(-∞,0)∪(34,+∞） 4.设a∈R ,若函数y=e x+ax,x∈R 有大于零的极值点，则 ( ) A.a<-1 B.a>-1C.a<-e 1D.a>-e15.已知函数y=f(x)=x 3+px 2+qx 的图象与x 轴切于非原点的一点，且y 极小值=-4，那么p 、q 的值分别为 （ ）A.6,9B.9,6C.4,2D.8,66.已知x≥0,y≥0，x+3y=9,则x 2y 的最大值为 （ ）A.36B.18C.25D.427.下列关于函数f(x)=(2x-x 2)e x的判断正确的是 （ ） ①f(x)>0的解集是{x|0<x<2};②f(-2)是极小值，f(2)是极大值； ③f(x)没有最小值，也没有最大值.A.①③B.①②③C.②D.①② 8.函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是 ( ) A.0＜)2('f ＜)3('f ＜f(3)-f(2) B.0＜)3('f ＜f(3)-f(2) ＜)2('f C.0＜f(3)＜)2('f ＜f(3)-f(2) D.0＜f(3)-f(2)＜)2('f ＜)3('f9.若函数f(x)=x 3-ax 2+1在（0，2）内单调递减，则实数a 的取值范围为 （ ） A.a ≥3 B.a=3 C.a ≤3 D.0<a<310.函数f(x)=x 3-ax 2-bx+a 2,在x=1时有极值10，则a 、b 的值为 （ ） A.a=3,b=-3，或a=-4,b=11 B.a=-4,b=11 C.a=3,b=-3 D.以上都不正确 11.使函数f(x)=x+2cosx 在［0，2π］上取最大值的x 为 （ ） A.0 B.6π C.3π D.2π 12.若函数f(x)=x 3-3bx+3b 在（0，1）内有极小值，则 （ ）1A.0<b<1B.b<1C.b>0D.b<2二、填空题13.若f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1没有极值，则a的取值范围为 .14.如图是y=f(x)导数的图象，对于下列四个判断：①f(x）在［-2，-1］上是增函数；②x=-1是f(x)的极小值点；③f(x)在［-1，2］上是增函数，在［2，4］上是减函数；④x=3是f(x)的极小值点.其中判断正确的是 .15.函数f(x)的导函数y=)f'的图象如右图，则函数f(x)的单调递增区间为 .(x16.已知函数f(x)的导函数为)f',且满足f(x)=3x2+2x)2('f,则)5('f= .(x三、解答题1x2+bx+c.17.已知函数f(x)=x3-2(1)若f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，求b的取值范围;(2)若f(x)在x=1处取得极值，且x∈［-1,2］时，f(x)<c2恒成立，求c的取值范围.18.设p:f(x)=(x2-4)(x-a)在(-∞,-2)和(2,+∞）上是单调增函数；q:不等式x2-2x＞a的解集为R. 如果p与q有且只有一个正确，求a的取值范围.19.已知函数f(x)=x(x-1)(x-a)在（2，+∞）上是增函数，试确定实数a的取值范围.20.已知定义在R上的函数f(x)=-2x3+bx2+cx(b,c∈R)，函数F(x)=f(x)-3x2是奇函数，函数f(x)在x=-1处取极值.（1）求f(x)的解析式；（2）讨论f(x)在区间［-3，3］上的单调性.1x2上一点，直线l过点P并与抛物线21.如图所示，P是抛物线C：y=2C在点P的切线垂直，l与抛物线C相交于另一点Q，当点P在抛物线C上移动时，求线段PQ的中点M的轨迹方程，并求点M到x轴的最短距离.1，4］时，22.已知某质点的运动方程为s(t)=t3+bt2+ct+d，下图是其运动轨迹的一部分，若t∈［2s(t)<3d2恒成立，求d的取值范围.五年高考荟萃 2009年高考题一、选择题1.(2009年广东卷文)函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是( )A. )2,(-∞B.(0,3)C.(1,4)D. ),2(+∞2.（2009全国卷Ⅰ理） 已知直线y=x+1与曲线y ln()x a =+相切，则α的值为( )A.1 B. 2 C.-1 D.-23.（2009安徽卷理）已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是( )A.21y x =-B.y x =C.32y x =-D.23y x =-+4.（2009江西卷文）若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切，则a 等于( )A ．1-或25-64 B ．1-或214 C ．74-或25-64D ．74-或75.（2009江西卷理）设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为( )A ．4B ．14-C ．2D ．12- 6.（2009全国卷Ⅱ理）曲线21xy x =-在点()1,1处的切线方程为( )A. 20x y --=B. 20x y +-=C.450x y +-=D. 450x y --= 7.（2009湖南卷文）若函数()y f x =的导函数．．．在区间[,]a b 上是增函数， 则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．8.（2009辽宁卷理）若1x 满足2x+2x =5, 2x 满足2x+22log (x －1)=5, 1x +2x ＝( ) A.52 B.3 C.72D.4 9.（2009天津卷理）设函数1()ln (0),3f x x x x =->则()y f x = ( ) A 在区间1(,1),(1,)e e 内均有零点。