数系的扩充 (5)
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数系的扩充
交 流 展 示
1、交流本小组中存在的问题与疑惑；
2、讨论如何讲解本小组的任务。
交流展示（一）
m ( m 2) 例1、当m为何值时，复数z ( m 2 2m 3)i m 1 是：实数？虚数？纯虚数？ 8 5i？
变式训练1
已知集合M 1， 2， ( m 2 3m 1) ( m 2 5m 6)i , N 1,3, 且M N 3 ，求实数m 的值。
数系的扩充
沛县中学 高立乾
情境引入
在哲学论中，唯物辩证法认为，世界上的一切事 物都处在不断的运动、变化、发展之中的。 从社会生活来看，为了满足生活和生产的需要，
数的概念也在不断的发展着：为了“计数”的需要产
生了自然数，为了“测量”等需要产生了分数，为了
刻画具有“相反意义的量”产生了负数，为了解决度
引入“负数” 数集扩充到 整数集
探究发现
面临新问题：解方程x2 + 1=0
【分析】此方程在实数范围内无解，因为在实数范
围内负数不能开平方。
需要引入新数，将数集进一步扩充。 为了使实数的开方运算 总可以实施，我们就从引入 平方等于-1的新数开始。
复数的引入
我们引入一个新数 i ，叫做虚数单位，并规定： （1）i2= -1； （2）实数可以与 i 进行四则运算，进行四则运算 时，原有的加法、乘法运算律仍然成立。 在这种规定下，i 可以与实数b相乘，再与实数a 相加，结合加法及乘法的交换律，可以把结果写成 a+bi的形式，我们把形如a+bi（a,bR）的数叫做复 数，全体复数的集合叫做复数集，记作C。
预习验收
1、说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数， 并指出复数的实部与虚部．
数系的扩充 数学史
定义、记法和加减 运算法则.
刘徽（公元250年前后）
分数（有理数）
• 分数（有理数）是 “分”出来的.早在 古希腊时期，人类 已经对有理数有了 非常清楚的认识， 而且他们认为有理 数就是所有的数.
无理数
无理数是“推”出来
的.公元前六世纪，古
希腊毕达哥拉斯学派
利用毕达哥拉斯定理，
发现了“无理数”.
“无理数”的承认
（公元前4世纪）是数
学发展史上的一个里 程碑.
毕达哥拉斯(约公元前 560——480年）
历史回顾：虚数
虚数是“算”出来 的. 1637年，法国数学 家笛卡尔把这样的 数叫做“虚数”
（“想象中 (imaginary)的数”）.
笛卡尔 (R.Descartes,1596-1661)
虚数
虚数这种假设,是需要勇气的,人们在当时 是无法接受的,认为她是想象的,不存在的,但 这丝毫不影响数学家对虚数单位 的假设研究: 第一次认真讨论这种数的是文艺复兴时期意 大利有名的数学“怪杰”卡丹，他是1545年 开始讨论这种数的，当时复数被他称作“诡 辩量”.几乎过了100年，笛卡尔才给这种 “虚幻之数”取了一个名字——虚数．
之地,人们才最终承认了复数.到今天复数已经 成为现代科技中普遍运用的数学工具之一.
关于无理数的发现
古希腊的毕达哥拉斯学派认为, 世间任何数都可 以用整数或分数表示,并将此作为他们的一条信条.有 一天,这个学派中的一个成员希伯斯突然发现边长为 1的正方形的对角线是个奇怪的数,于是努力研究,终 于证明出它不能用整数或分数表示.但这打破了毕达 哥拉斯学派的信条,于是毕达哥拉斯命令他不许外传. 但希伯斯却将这一秘密透露了出去.毕达哥拉斯大怒, 要将他处死.希伯斯连忙外逃,然而还是被抓住了,被 扔入了大海,为科学的发展献出了宝贵的生命.希伯斯 发现的这类数,被称为无理数.无理数的发现,导致了 第一次数学危机,为数学的发展做出了重大贡献.
刘徽（公元250年前后）
分数（有理数）
• 分数（有理数）是 “分”出来的.早在 古希腊时期，人类 已经对有理数有了 非常清楚的认识， 而且他们认为有理 数就是所有的数.
无理数
无理数是“推”出来
的.公元前六世纪，古
希腊毕达哥拉斯学派
利用毕达哥拉斯定理，
发现了“无理数”.
“无理数”的承认
（公元前4世纪）是数
学发展史上的一个里 程碑.
毕达哥拉斯(约公元前 560——480年）
历史回顾：虚数
虚数是“算”出来 的. 1637年，法国数学 家笛卡尔把这样的 数叫做“虚数”
（“想象中 (imaginary)的数”）.
笛卡尔 (R.Descartes,1596-1661)
虚数
虚数这种假设,是需要勇气的,人们在当时 是无法接受的,认为她是想象的,不存在的,但 这丝毫不影响数学家对虚数单位 的假设研究: 第一次认真讨论这种数的是文艺复兴时期意 大利有名的数学“怪杰”卡丹，他是1545年 开始讨论这种数的，当时复数被他称作“诡 辩量”.几乎过了100年，笛卡尔才给这种 “虚幻之数”取了一个名字——虚数．
之地,人们才最终承认了复数.到今天复数已经 成为现代科技中普遍运用的数学工具之一.
关于无理数的发现
古希腊的毕达哥拉斯学派认为, 世间任何数都可 以用整数或分数表示,并将此作为他们的一条信条.有 一天,这个学派中的一个成员希伯斯突然发现边长为 1的正方形的对角线是个奇怪的数,于是努力研究,终 于证明出它不能用整数或分数表示.但这打破了毕达 哥拉斯学派的信条,于是毕达哥拉斯命令他不许外传. 但希伯斯却将这一秘密透露了出去.毕达哥拉斯大怒, 要将他处死.希伯斯连忙外逃,然而还是被抓住了,被 扔入了大海,为科学的发展献出了宝贵的生命.希伯斯 发现的这类数,被称为无理数.无理数的发现,导致了 第一次数学危机,为数学的发展做出了重大贡献.
数系的扩充
m 1时，复数z 是实数． （5）6+2i （4） （2）当 m 1 0 ，即 m 1 时，复数z 是虚数． 0
m 1 0
即 m 1时，复数z 是 纯虚数．
思考： a = 0 是 z = a + b i(a,bR)为纯虚 必要不充分 数的 条件.
四、 两个复数相等
如果两个复数的实部和虚部分 别相等，那么我们就说这两个复数 相等．
a bi c di
a c (a, b, c, d为实数） b d
例2:已知( x y) ( x 2 y) i (2 x 5) (3x y) i
其中 x, y R ,求 x与
定义：把形如a+bi（a,b∈R）的数叫 做复数。通常用字母 z 表示.
全体复数组成的集合叫做复数集，记作C。
z a bi (a R, b R)
实部 虚部
其中
i 为虚数单位。
三、复数的分类
实数(b 0) 复数a+bi ) 虚数(b 0)(当a 0时为纯虚数
讨 论
a c c di b d
NZQRC
a bi
3.同学们在学习中要有问题意识，在解决问 题的过程中要有科学家坚持真理的精神。
4 4 4
x1,2 1 i ,
2
4
(2i) (2i) 8.
2
例4:已知方程x2+x+a=0有两虚根x1、 x2,且|x1-x2|=3,求实数a. 1 解: 1 4a 0 a .
x1, 2
| x1 x2 || 4a 1i |
4a 1 3
A.m 1
数系的扩充
2
为了解决x 2. 1 0这样的方程在实数系中 无解 的问题, 我们设想引入一个新数 使i是方程x 1 i, 0的根,即使i i 1.把这个新数i添加到实数集
2
中去, 得到一个新数集记作A,那么方程x 1 0 , 在A中就有解x i了
2
我们从数集A出发, 希望新引进的数和实数之间 i 仍然能象实数系那样进 行加法和乘法运算并希 , 望加法和乘法都满足交 换律、结合律 以及乘法 , 对加法满足分配律 .
25 (15)
40
我们知道，在实数集内，一个正数有两个平 方根，它们互为相反数，0的平方根是0， 然而， 15 有什么意义呢？ 也许你觉得这个问题有点可笑，因为任何实 数的平方是非负数，所以负数没有平方根， 因此， 15 没有意义！
尽管当时的数学家都认为 “5 15 和 15 ” 5 这两个式子没有意义，是虚构的、想象的!
复数 z a bi 实数 b 0, 虚数 b 0, 当a 0时为纯虚数.
思考 复数集C和实数集R之间有什么关系?
显然,实数集R是复数集 C的真子集,即R C.
虚数集 复数集 纯虚数集
实数集
图3.1 1
例1:写出下列复数的实部与虚部,并且指出哪 些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数.
为此,我们引入一个新数 i ，叫做虚数单位,并规定:
1. i 1 2.实数可以与i 进行四则运算,进行四则运 算时,原有的加法、乘法运算律仍然成立
2
我们把形如a bia, b R 的数叫做 ), 复数 (com plexnum ber 其中i叫做虚数单位 (im aginaryunit).全体复数 所成的集合C 叫做复数集 ( set of com plexnu m bers).
为了解决x 2. 1 0这样的方程在实数系中 无解 的问题, 我们设想引入一个新数 使i是方程x 1 i, 0的根,即使i i 1.把这个新数i添加到实数集
2
中去, 得到一个新数集记作A,那么方程x 1 0 , 在A中就有解x i了
2
我们从数集A出发, 希望新引进的数和实数之间 i 仍然能象实数系那样进 行加法和乘法运算并希 , 望加法和乘法都满足交 换律、结合律 以及乘法 , 对加法满足分配律 .
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我们知道，在实数集内，一个正数有两个平 方根，它们互为相反数，0的平方根是0， 然而， 15 有什么意义呢？ 也许你觉得这个问题有点可笑，因为任何实 数的平方是非负数，所以负数没有平方根， 因此， 15 没有意义！
尽管当时的数学家都认为 “5 15 和 15 ” 5 这两个式子没有意义，是虚构的、想象的!
复数 z a bi 实数 b 0, 虚数 b 0, 当a 0时为纯虚数.
思考 复数集C和实数集R之间有什么关系?
显然,实数集R是复数集 C的真子集,即R C.
虚数集 复数集 纯虚数集
实数集
图3.1 1
例1:写出下列复数的实部与虚部,并且指出哪 些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数.
为此,我们引入一个新数 i ，叫做虚数单位,并规定:
1. i 1 2.实数可以与i 进行四则运算,进行四则运 算时,原有的加法、乘法运算律仍然成立
2
我们把形如a bia, b R 的数叫做 ), 复数 (com plexnum ber 其中i叫做虚数单位 (im aginaryunit).全体复数 所成的集合C 叫做复数集 ( set of com plexnu m bers).
数系的扩充和复数的概念(教学设计)
§7.1.1 数系的扩充和复数的概念一、内容和内容解析内容：从实数系扩充到复数系的过程与方法，复数的概念.内容解析：本节课选自《普通高中课程标准数学教科书必修第二册》（人教A版）第七章第1节的内容．本节内容是数系的扩充和复数的概念，基于之前所学的数系的发展历程，由一元二次方程的根的问题导入，将数学扩充到复数范围，并研究复数的概念，为复数的运算打好基础。
复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，引入复数以后，这不仅可以使学生对于数的概念有一个初步的、完整的认知，也为进一步学习数学打下基础.通过本节课学习，要使学生在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用.二、目标和目标解析目标：（1）了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程．（2）理解复数的概念、表示法及相关概念．（3）掌握复数的分类及复数相等的充要条件．目标解析：（1）能够通过方程的解，感受引入复数的必要性，体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程求根)在数系扩充过程中的作用．（2）学生能够从自然数系逐步扩充到实数系的过程中，归纳出数系扩充的一般“规则"，体会扩充的合理性及人类理性思维在数系扩充中的作用．（3）学生能说明虚数i的由来，能够明晰复数代数表示式的基本结构，会对复数进行分类，会用Venn 图表示复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系；知道两个复数相等的含义，能利用复数概念和复数相等的含义解决相关的简单问题．基于上述分析，本节课的教学重点定为：复数的分类及复数相等的充要条件．三、教学问题诊断分析1．教学问题一：因为现实生活中没有任何事物支持虚数，学生可能会怀疑引入复数的必要性，在教学中，如果单纯地讲解或介绍复数的概念会显得枯燥无味，学生不易接受．解决方案：适当介绍数的发展简史，增强学生学习的生动性．2．教学问题二：由于知识储备和认知能力的限制，学生对数系扩充的一般规则并不熟悉，对虚数单位的引入，以及虚数单位和实数进行形式化运算的理解会出现一定困难．解决方案：通过解方程问题引导，借助已有的数系扩充的经验，特别是从有理数系扩充到实数系的经验，从特殊到一般，帮助学生梳理出数系扩充过程中体现的“规则”，进而在“规则”的引导下进行从实数系到复数系的扩充，感受引入复数的必要性和合理性．3．教学问题三：学生以前学习过的数都是单纯的一个数，而复数的代数形式是两项和的形式，学生比较陌生，因此理解上会存在一定困难．解决方案：引导学生按照“规则”自主探究出复数集中可能存在的各种数，并归纳总结出复数的一般表示方法，经历复数形式化的过程．基于上述情况，本节课的教学难点定为：理解复数的概念、表示法及相关概念．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生类比得到复数的概念，应该为学生创造积极探究的平台，可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视复数概念的理解和表示，让学生体会数系扩充的基本过程．五、教学过程与设计纯虚数．[课堂练习2]已知M＝{2，m2－2m ＋(m2＋m－2)i}，N＝{－1,2,4i}，若M∪N＝N，求实数m的值．课堂小结升华认知[问题10]通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？[课后练习]z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是()A.2，1B.2，5C.±2，5D.±2，12.下列复数中，满足方程x2＋2＝0的是()A.±1B.±iC.±2iD.±2i2 021＝________.4.设i为虚数单位，若关于x的方程x2－(2＋i)x＋1＋m i＝0(m∈R)有一实根为n，则m＝________.教师14：提出问题10．学生14：学生14：学生课后进行思考，并完成课后练习．师生共同回顾总结．引领学生感悟数学认知的过程，体会数学核心素养．课后练习是对定理巩固，是对本节知识的一个深化认识，同时也为下节内容做好铺垫．。
数系的扩充
4、求满足下列条件的������, ������的值
(1) ������ − 3������ + 2������ + 3������ ������ = 5 + ������ 2 ������2 − ������2 + 2������������������ = 6������ − 8 3 2������2 − 5������ + 3 + ������2 + ������ − 6 ������ = 0
练习2 当m为何实数时，复数 Z＝m 2＋m－2＋(m 2－1) i 是
（1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数．
实部 ������������ + ������ − ������
虚部 ������������ − ������
(1)m＝ ± 1 (2)m ≠± 1
(3)m＝－2
【思考】复数 ������ = ������ ������ − 1 + ������ − 1 ������，当m取何值时，复数������是6 + 2������
2.复数有关概念：
复数的代数形式: z＝a＋bi (a∈R，b∈R)
复数的实部 、虚部
虚数、纯虚数
3.自然数复集数N相等整数a集＋Z bi＝ 有理c数＋集dQi实数ba集＝＝Rdc 复数集C
课堂练习
1、再复数1 − 2������, 2 +
3,
1 2
�பைடு நூலகம்����,
−5
+
2������, ������ sin ������ , ������2, 7 +
������ ������ ������ ������ ������
数系的扩充和复数的概念
3、4、5、…正整数是现实世界最基本的数量，是全部
数学的发源地．
古代印度人最早使用了“0” 公元5世纪时，“0”已经传入罗马。
但罗马教皇凶残而且守旧。他不允许任 何使用“0”。有一位罗马学者在笔记中 记载了关于使用“0”的一些好处和说明， 就被教皇召去，砍去了双手
2021/2/4
1
3
数系的扩充 SHUXI DI KUOCHONG
复数的代数形式 复数的实部 、虚部
虚数、纯虚数
复数相等
2021/2/4
1
29
谢谢观赏！
2020/11/5
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(3)全体复数所形成的集合叫做复数 集，一般用字母 C 表示.
2021/2/4
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C RQZ N
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数系的扩充 SHUXI DI KUOCHONG
1．新数 i 叫做虚数单位,并规定： （1）i 2 1； （2）实数可以与 i 进行四则运算,在进
行四则运算时,原有的加法与乘法 的运算律仍然成立.
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例题讲解
例1.写出下列复数的实部与虚部.
4 , 23i, 0 , 1 4 i,
5 2i, 6i 2 3
解: 4的实部为 4 ,虚部为 0 ;
2-3i的实部为 2 ,虚部为 -3 ;
0的实部为 0 ,虚部为 0 ;
1 2
4i 3
的实部为
1
2 ,虚部为
4
3;
5 2i的实部为 5 ,虚部为 2 ;
中国是世界上最早认识应用负数的
国家.早在2000多年前的《九章算术》 中,就有正数和负数的记载.公元3世纪，
刘徽在注解“九章算术”时，明确定义了正 负数：“两算得失相反，要令正负以名之”． 不仅如此，刘徽还给出了正负数的加减法 运算法则．千年之后，负数概念才经由阿 拉伯传人欧洲。负数的引入, 解决了在自然 数集中不够减的矛盾
数学的发源地．
古代印度人最早使用了“0” 公元5世纪时，“0”已经传入罗马。
但罗马教皇凶残而且守旧。他不允许任 何使用“0”。有一位罗马学者在笔记中 记载了关于使用“0”的一些好处和说明， 就被教皇召去，砍去了双手
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数系的扩充 SHUXI DI KUOCHONG
复数的代数形式 复数的实部 、虚部
虚数、纯虚数
复数相等
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(3)全体复数所形成的集合叫做复数 集，一般用字母 C 表示.
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数系的扩充 SHUXI DI KUOCHONG
1．新数 i 叫做虚数单位,并规定： （1）i 2 1； （2）实数可以与 i 进行四则运算,在进
行四则运算时,原有的加法与乘法 的运算律仍然成立.
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例题讲解
例1.写出下列复数的实部与虚部.
4 , 23i, 0 , 1 4 i,
5 2i, 6i 2 3
解: 4的实部为 4 ,虚部为 0 ;
2-3i的实部为 2 ,虚部为 -3 ;
0的实部为 0 ,虚部为 0 ;
1 2
4i 3
的实部为
1
2 ,虚部为
4
3;
5 2i的实部为 5 ,虚部为 2 ;
中国是世界上最早认识应用负数的
国家.早在2000多年前的《九章算术》 中,就有正数和负数的记载.公元3世纪，
刘徽在注解“九章算术”时，明确定义了正 负数：“两算得失相反，要令正负以名之”． 不仅如此，刘徽还给出了正负数的加减法 运算法则．千年之后，负数概念才经由阿 拉伯传人欧洲。负数的引入, 解决了在自然 数集中不够减的矛盾
数系的扩充和复数的概念
2、复数加法的几何意义： 问题二：复数与复平面内的向量有一一 对应关系。我们讨论过向量加法的几何 意义，你能由此出发讨论复数加法的几 何意义吗？ 复数的加法可以按照向量的加法来进行——平行四边 形法则或三角形法则
问题三：复数是否有减法?如何理解复数的减法？
（二）复数的减法：
1、定义：复数的减法是加法的逆运算，即把满足 (c+di）+(x+yi)=a+bi的复数x+yi叫做复数a+bi减去复数 c+di的差，记作(a+bi)-(c+di).
3.1.2复数的几何意义
问题一：我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此， 实数可用数轴上的点来表示，类比实数的几何意义，复数 的几何意义是什么？
复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建 立一一对应的关系.
王新敞
奎屯
新疆
王新敞
奎屯
新疆
一、复数的坐标表示 1、复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是 b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建 立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫 高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。 实轴上的点都表示实数
第三章 数系的扩充与复数的引入
（一）数系的扩充
• 我们认识数是一个不断发展的过程，从自然数到 整数，从整数到有理数，再从有理数到实数。这 个认识过程是在原有数集的基础上，再加上新的 数，是对原有数集不断扩充的过程。而这种扩充 是为了解决新的问题所必需的。 • 这种扩充的动力主要来源于两个方面：
①解决实际问题的需要
若存在实数t 使得 | z2 || z1 | 成立，求：实数 k的取值范围。
练习：设z是复数，满足下列条件的点Z的集合是什么图 形？ （1）|z|=2 ； （2） 2<|z|<3。
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结合数学史说明虚数产生迫切性和必要性.
1将10分成两部分,使两者的乘积等于40. 16世纪,意大利数学家卡尔丹的做法:
2非难和质疑:“一切如 的数学式,都是不可能有的想象的数,因为它们所表示的是负数的平方根.对于这类数,我们只能断言:
它们既不是什么都不是,也不比什么都不是多些什么,更不比什么都不是少些什么,它们纯属虚幻.”
3符号引入及规定的的合理性
引入一个新数 ，叫做虚数单位(imaginary unit)，新成员需满足的规定:
⑴
⑵ 实数可以与 进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立.
三、建构数学
1、复数的概念:
（1）形如 的数叫做复数.全体复数所组成的集合叫做复数集,记作C.
（2）复数代数表示,即 ,其中 与 分别叫做复数 的实部与虚部.
复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，引入复数以后，这不仅可以使学生对于数的概念有一个初步的、完整的认识，也为进一步学习数学打下了基础。通过本节课学习，要使学生在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用。
在学习本节课的过程中，复数的概念如果单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，采用经历已学过的数集的扩充的历史，让学生体会到数系的扩充是生产实践的需要，也是数学学科自身发展的需要；介绍数的概念的发展过程，使学生对数的形成、发展的历史和规律，各种数集中之间的关系有着比较清晰、完整的认识.从而让学生积极主动地建构虚数的概念、复数的概念、复数的分类。
（2）感知引进虚数单位 、虚数单位 与实数进行四则运算的合理性;
（3）分析复数的代数形式，渗透分类讨论、化归等数学思想方法.
情感、态度与价值观：
（1）在经历数的概念的发展和数系扩充的过程中,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系，体会数学发现和创造的过程以及数学发生发展的客观需求;
（2）通过教学方式的改变,营造和谐的课堂氛围,培养学生勇于知疑问难,善于探索的学习习惯和良好的思维品质.
教学中应注意几个问题，(1)注意与以前所学过的数的内容的衔接;在以前，学生学过整数、有理数、实数的概念和运算，在本节课，则要系统地学习复数的概念的发展过程，复习实数的有关概念等，从而为学好本节的内容打好基础。(2)注意与初中、高中数学其他内容的联系，要把握好教学要求，教学时，只要求掌握基本内容，基本思想和解题的基本方法即可。还要注意把类比、分类、归纳、概括、分析等方法贯穿到课堂中去。教学时，应充分挖掘这些数学思想方法，培养学生的能力。
负数
-1，-2……
整数集中整除
分数
……
开方结果不是有理数等
无理数
…，
寻求规律
在扩充过程中：①增添了新元素；
②原有的一些基本关系和运算在新数集里仍能运用；
③新数集解决了原数集一些不能解决的问题.
现在,在实数集中,我们又面临 无解,负数不能开偶次方的问题. 是否接受方程无解,停滞不前?
这说明实数已经不够用了,迫使我们必需进一步扩充数集. 实数集应该怎样扩充呢?
（3）复数的分类
2、两个复数相等的充要条件
四、应用数学
1、(1)你能给出几个复数的例子吗？指出它们的实部与虚部.
(2)教师给出几个复数让学生辨别:.
2、趁热打铁:实数 取什么值时，复数 是
（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？
举一反三：当实数 为何值时
为①实数;②虚数.
思考探究:上述两个复数会不会相等呢?
五、课堂小结及作业
1、说说这节课的收获；
2、学生给出这节课的课题；
3、结合实际谈谈ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数的应用价值.
4、课后作业:
(1)上网搜索复数在科学技术发展中的运用;
(2)书面作业:习题3.1题1,2,3.
六、板书设计
教学设计说明
《数系的扩充》是苏教版普通高中数学实验教材选修1-2第三章第一节的内容，课时安排约一课时。
④将10分成两部分，使两者乘积为40.
从而引出实数不够用了,数的概念需要进一步发展,实数需要扩充.
二、学生活动
1、前车之鉴:结合下面的问题寻找数系扩充的规律和办法.
请分别在相应数集中解下列方程：
自然数集
整数集
有理数集
2、结合下列问题议一议数系的扩充.
（学生整理）
面临的问题
引入新数
引入符号
自然数集中小数减大数
教学重点：（1）了解引进复数的必要性,了解数系发展的过程；
（2）理解复数的基本概念,掌握复数的代数表示；
（3）理解复数 是纯虚数的充要条件,掌握复数相等的充要条件.
教学难点：复数概念的引入，虚数单位的理解.
教学方法与教学手段：
1．在轻松的游戏情境中，让学生感受实数不够用了,数的概念需要进一步发展,实数需要扩充;
本节课我结合数学史吸引学生，让学生知道数系的扩充过程，从而为虚数单位的引入打下基础。另外我还充分利用多媒体，提高教学效果，在设疑、提示、观察、类比、练习、等活动中启发学生，让学生动手、动口、动脑，培养学生的思维能力。
在学习了这节课以后，学生首先能知道数系是怎么扩充的，并且这种扩充是必要的，虚数单位 在数系扩充过程中的作用，而复数就是一个实数加上一个实数乘以 。学生能清楚的知道一个复数什么时候是虚数，什么时候是纯虚数，两个复数相等的充要条件是什么。让学生在经历一系列的活动后，完成对知识的探索，变被动地“接受问题”为主动地“发现问题”，加强学生对知识应用的灵活性，深化学生对复数的认识，从而提高分析问题和解决问题的能力。
数系的扩充
江苏省新海高级中学 潘彩
教学目标：
知识与技能：（1）了解引进复数的必要性,了解数系发展的过程,了解数的分类;
（2）理解复数的基本概念,掌握复数的代数表示；
（3）理解复数 是纯虚数的充要条件,掌握复数相等的充要条件.
过程与方法：（1）经历数系扩充的过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用;
2．借助方程求解，通过前车之鉴，寻找数系扩充的一般规律;
3．在教学过程中，利用问题使学生处于愤悱的状态，激起他们求知的欲望，通过自由讨论与交流使他们能够在合作中解决问题.
教学过程
一、问题情境
数学游戏
①将5分成两部分，使两者乘积为6；
②将6分成两部分，使两者乘积为8；
③将8分成两部分，使两者乘积为10；
1将10分成两部分,使两者的乘积等于40. 16世纪,意大利数学家卡尔丹的做法:
2非难和质疑:“一切如 的数学式,都是不可能有的想象的数,因为它们所表示的是负数的平方根.对于这类数,我们只能断言:
它们既不是什么都不是,也不比什么都不是多些什么,更不比什么都不是少些什么,它们纯属虚幻.”
3符号引入及规定的的合理性
引入一个新数 ，叫做虚数单位(imaginary unit)，新成员需满足的规定:
⑴
⑵ 实数可以与 进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立.
三、建构数学
1、复数的概念:
（1）形如 的数叫做复数.全体复数所组成的集合叫做复数集,记作C.
（2）复数代数表示,即 ,其中 与 分别叫做复数 的实部与虚部.
复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，引入复数以后，这不仅可以使学生对于数的概念有一个初步的、完整的认识，也为进一步学习数学打下了基础。通过本节课学习，要使学生在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用。
在学习本节课的过程中，复数的概念如果单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，采用经历已学过的数集的扩充的历史，让学生体会到数系的扩充是生产实践的需要，也是数学学科自身发展的需要；介绍数的概念的发展过程，使学生对数的形成、发展的历史和规律，各种数集中之间的关系有着比较清晰、完整的认识.从而让学生积极主动地建构虚数的概念、复数的概念、复数的分类。
（2）感知引进虚数单位 、虚数单位 与实数进行四则运算的合理性;
（3）分析复数的代数形式，渗透分类讨论、化归等数学思想方法.
情感、态度与价值观：
（1）在经历数的概念的发展和数系扩充的过程中,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系，体会数学发现和创造的过程以及数学发生发展的客观需求;
（2）通过教学方式的改变,营造和谐的课堂氛围,培养学生勇于知疑问难,善于探索的学习习惯和良好的思维品质.
教学中应注意几个问题，(1)注意与以前所学过的数的内容的衔接;在以前，学生学过整数、有理数、实数的概念和运算，在本节课，则要系统地学习复数的概念的发展过程，复习实数的有关概念等，从而为学好本节的内容打好基础。(2)注意与初中、高中数学其他内容的联系，要把握好教学要求，教学时，只要求掌握基本内容，基本思想和解题的基本方法即可。还要注意把类比、分类、归纳、概括、分析等方法贯穿到课堂中去。教学时，应充分挖掘这些数学思想方法，培养学生的能力。
负数
-1，-2……
整数集中整除
分数
……
开方结果不是有理数等
无理数
…，
寻求规律
在扩充过程中：①增添了新元素；
②原有的一些基本关系和运算在新数集里仍能运用；
③新数集解决了原数集一些不能解决的问题.
现在,在实数集中,我们又面临 无解,负数不能开偶次方的问题. 是否接受方程无解,停滞不前?
这说明实数已经不够用了,迫使我们必需进一步扩充数集. 实数集应该怎样扩充呢?
（3）复数的分类
2、两个复数相等的充要条件
四、应用数学
1、(1)你能给出几个复数的例子吗？指出它们的实部与虚部.
(2)教师给出几个复数让学生辨别:.
2、趁热打铁:实数 取什么值时，复数 是
（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？
举一反三：当实数 为何值时
为①实数;②虚数.
思考探究:上述两个复数会不会相等呢?
五、课堂小结及作业
1、说说这节课的收获；
2、学生给出这节课的课题；
3、结合实际谈谈ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数的应用价值.
4、课后作业:
(1)上网搜索复数在科学技术发展中的运用;
(2)书面作业:习题3.1题1,2,3.
六、板书设计
教学设计说明
《数系的扩充》是苏教版普通高中数学实验教材选修1-2第三章第一节的内容，课时安排约一课时。
④将10分成两部分，使两者乘积为40.
从而引出实数不够用了,数的概念需要进一步发展,实数需要扩充.
二、学生活动
1、前车之鉴:结合下面的问题寻找数系扩充的规律和办法.
请分别在相应数集中解下列方程：
自然数集
整数集
有理数集
2、结合下列问题议一议数系的扩充.
（学生整理）
面临的问题
引入新数
引入符号
自然数集中小数减大数
教学重点：（1）了解引进复数的必要性,了解数系发展的过程；
（2）理解复数的基本概念,掌握复数的代数表示；
（3）理解复数 是纯虚数的充要条件,掌握复数相等的充要条件.
教学难点：复数概念的引入，虚数单位的理解.
教学方法与教学手段：
1．在轻松的游戏情境中，让学生感受实数不够用了,数的概念需要进一步发展,实数需要扩充;
本节课我结合数学史吸引学生，让学生知道数系的扩充过程，从而为虚数单位的引入打下基础。另外我还充分利用多媒体，提高教学效果，在设疑、提示、观察、类比、练习、等活动中启发学生，让学生动手、动口、动脑，培养学生的思维能力。
在学习了这节课以后，学生首先能知道数系是怎么扩充的，并且这种扩充是必要的，虚数单位 在数系扩充过程中的作用，而复数就是一个实数加上一个实数乘以 。学生能清楚的知道一个复数什么时候是虚数，什么时候是纯虚数，两个复数相等的充要条件是什么。让学生在经历一系列的活动后，完成对知识的探索，变被动地“接受问题”为主动地“发现问题”，加强学生对知识应用的灵活性，深化学生对复数的认识，从而提高分析问题和解决问题的能力。
数系的扩充
江苏省新海高级中学 潘彩
教学目标：
知识与技能：（1）了解引进复数的必要性,了解数系发展的过程,了解数的分类;
（2）理解复数的基本概念,掌握复数的代数表示；
（3）理解复数 是纯虚数的充要条件,掌握复数相等的充要条件.
过程与方法：（1）经历数系扩充的过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用;
2．借助方程求解，通过前车之鉴，寻找数系扩充的一般规律;
3．在教学过程中，利用问题使学生处于愤悱的状态，激起他们求知的欲望，通过自由讨论与交流使他们能够在合作中解决问题.
教学过程
一、问题情境
数学游戏
①将5分成两部分，使两者乘积为6；
②将6分成两部分，使两者乘积为8；
③将8分成两部分，使两者乘积为10；