数系的扩充 PPT
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( 人教A版)数系的扩充和复数的概念课件 (共29张PPT)
(3)要使 z 为纯虚数，必须有 m2－4≠0， m2－3m＋2＝0. 所以mm≠ ＝－1或2m且＝m≠ 2，2， 所以 m＝1，即 m＝1 时，z 为纯虚数．
探究三 复数相等
[典例 3] 根据下列条件，分别求实数 x，y 的值． (1)x2－y2＋2xyi＝2i； (2)(2x－1)＋i＝y－(3－y)i. [解析] (1)∵x2－y2＋2xyi＝2i，x，y∈R， ∴2xx2－y＝y22＝，0， 解得xy＝＝11，， 或xy＝＝－－11.， (2)∵(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，且 x，y∈R，
－2i. 答案：A
3．下列命题： ①若 a∈R，则(a＋1)i 是纯虚数； ②若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i(x∈R)是纯虚数，则 x＝±1； ③两个虚数不能比较大小． 其中正确命题的序号是________． 解析：当 a＝－1 时，(a＋1)i＝0，故①错误；两个虚数不能比较大小，故③对； 若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i 是纯虚数，则xx22－ ＋13＝ x＋0， 2≠0， 即 x＝1，故②错． 答案：③
解析：复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的虚部为 b，故选 B.
答案：B
2．下列复数中，和复数－1＋i 相等的复数为( )
A．－1－i
B．1－i
C．1＋i
D．i2＋i
解析：∵i2＝－1，∴i2＋i＝－1＋i，故选 D.
答案：D
3．z＝(m2－1)＋(m－1)i(m∈R)是纯虚数，则有( )
A．m＝±1
A．0
B．1
C．
D．3
解析：27i，(1－ 3)i 是纯虚数，2＋ 7，0,0.618 是实数，8＋5i 是虚数． 答案：C
2．以－ 5＋2i 的虚部为实部，以 5i＋2i2 的实部为虚部的复数是( )
7.1.1数系的扩充和复数的概念课件(人教版)
A.2，3
B.2，-3
C.-2，3
( B )
D.-2，-3
分析：两个复数相等，即这两个复数的实部和虚部分别对应相等，
得到等式求解.
解析：由2+bi与a-3i相等，得a=2，b=-3.故
实数a，b的值分别为2，-3.
五、举例应用 掌握定义
【例6】若关于x的方程3x²- x-1=(10-x-2x²)i有实根，求实
问题2：两个复数有大小关系吗？探究5：复数z=a+bi在什么条件下是实数、虚数？
四、定义辨析 强化理解
辨析1：若a，b为实数，则z=a+bi为虚数.( × )
提示：只有当b不等于零时z=a+bi为虚数.
辨析2：复数z1=3i，z2=2i，则z1>z2. ( × )
提示：复数不能比较大小，只有相等和不相等之分.
辨析3：复数z=bi(b∈R)是纯虚数.
( × )
提示：只有当b不等于零时z=bi才为纯虚数.
辨析4：实数集与复数集的交集是实数集.( √ )
提示：因为实数和虚数统称为复数，故实数集与复数
集的交集是实数集.
五、举例应用 掌握定义
【例1】复数3-i的实部和虚部分别是( C )
A.3和1
B.3和i
C.3和-1
所以ቊ
≠ 0.
解得y=3.
五、举例应用 掌握定义
【例4】 已知复数z=
²−−6
+(m²-2m-15)i.当m为何值时，
+3
(1)z是虚数；(2)z是纯虚数.
分析：解决复数分类问题的关键是找出等价条件，
列出方程(组).
五、举例应用 掌握定义
【例4】 已知复数z=
B.2，-3
C.-2，3
( B )
D.-2，-3
分析：两个复数相等，即这两个复数的实部和虚部分别对应相等，
得到等式求解.
解析：由2+bi与a-3i相等，得a=2，b=-3.故
实数a，b的值分别为2，-3.
五、举例应用 掌握定义
【例6】若关于x的方程3x²- x-1=(10-x-2x²)i有实根，求实
问题2：两个复数有大小关系吗？探究5：复数z=a+bi在什么条件下是实数、虚数？
四、定义辨析 强化理解
辨析1：若a，b为实数，则z=a+bi为虚数.( × )
提示：只有当b不等于零时z=a+bi为虚数.
辨析2：复数z1=3i，z2=2i，则z1>z2. ( × )
提示：复数不能比较大小，只有相等和不相等之分.
辨析3：复数z=bi(b∈R)是纯虚数.
( × )
提示：只有当b不等于零时z=bi才为纯虚数.
辨析4：实数集与复数集的交集是实数集.( √ )
提示：因为实数和虚数统称为复数，故实数集与复数
集的交集是实数集.
五、举例应用 掌握定义
【例1】复数3-i的实部和虚部分别是( C )
A.3和1
B.3和i
C.3和-1
所以ቊ
≠ 0.
解得y=3.
五、举例应用 掌握定义
【例4】 已知复数z=
²−−6
+(m²-2m-15)i.当m为何值时，
+3
(1)z是虚数；(2)z是纯虚数.
分析：解决复数分类问题的关键是找出等价条件，
列出方程(组).
五、举例应用 掌握定义
【例4】 已知复数z=
数系的扩充和复数的概念公开课ppt课件
abi
RQZ N
扩
b0虚数
集
特别地，a0 纯虚数
复数集C和实数集R之间有什么关系？
可编辑课件PPT
7
数
系 充
的
虚数 复？数
无理数 实数
扩
分数 有理数
负数
整数
自然数
可编辑课件PPT
8
练习：说明下列数是否是虚数，
并说明各数的实部与虚部.
1 3i
1i
1 3
7
(1)i 5i 8
可编辑课件PPT
9
在复数集 C a b|a i,b R 任
求实x数 , y的值 .
固题
巩 变：已知 x2 y2 2xyi00,
求 实x数 , y的 值 .
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13
1.若复数(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i
(mR) 表示纯虚数的充要条件是_____
可编辑课件PPT
14
2.以2i－5的虚部为实部，以 5 2i
的实部为虚部的复数是______
等 复 取两个数 a b与 ic d（ a i,b ,c,d R )
数 a b c i d ia c,b d
相 特别地，abi0 a0,b0
作用
1.判断两个复数是否相等； 2.求复数值的依据.
可编辑课件PPT
10
例 例1 实数m取什么值时，复数 z m 1 (m 1 )i
固 题 是（1）实数？
的i
引 （1）i2 1
入
（2）可以和实数一起进行的四 则运算,原有的加法乘法运算律
仍成立
可编辑课件PPT
5
念复 数 的 概
定义：把形如a+bi的数叫做复数 （a,b 是实数）
3.1数系的扩充PPT优秀课件
m 1 0
1 0
数系的扩充
复数的概念
练习:1.当m为何实数时，复数
Z m m 2 ( m 1 ) i
2 2
（1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数
1 (3)m=-2 (1)m= 1 (2)m
数系的扩充
复数的概念
如果两个复数的实部和虚部分别相
等，那么我们就说这两个复数相等．
R C
数系的扩充
复数的概念
例1 写出下列复数的实部与虚部，并指出
哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯 虚数. 1 4 4, 2－3i, 0, i ,5 2i, 6 i 2 3
数系的扩充
复数的概念
练一练：
说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数， 哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。
2 7 , 0.618,
引入一个新数：
i
满足
i 1
2
数系的扩充
复数的概念
引入一个数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且规定：
（1）i21； （2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行
四则运算时，原有的加法与乘法的运算率(包
括交换率、结合率和分配率)仍然成立。
复数：形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数. 复数集：全体复数所形成的集合叫做复 数集，一般用字母C表示 .
2
1 3 , 39 i , i
2 i, 0 7
2i,
5i +8，
数系的扩充
复数的概念
例2: 实数m取什么值时，复数
z m 1 ( m 1 ) i
（1）实数？ （2）虚数？（3）纯虚数？
1 0 解: （1）当 m ，即
1 0 （2）当 m ，即
数系的扩充数学史ppt课件
BD2 2AB2
BD2= 2
BD = ？
10
复数的发展史
虚数这种假设,是需要勇气的,人们在当时 是无法接受的,认为她是想象的,不存在的,但 这丝毫不影响数学家对虚数单位 的假设研究: 第一次认真讨论这种数的是文艺复兴时期意 大利有名的数学“怪杰”卡丹，他是1545年 开始讨论这种数的，当时复数被他称作“诡 辩量”.几乎过了100年，笛卡尔才给这种 “虚幻之数”取了一个名字——虚数．
11
但是又过了140年，欧拉12 还是说这种数只是存 在于“幻想之中”，并用 （imaginary，即 虚幻的缩写）来表示它的单位. 后来德国数学 家高斯给出了复数的定义，但他们仍感到这
种数有点虚无缥缈，尽管他们也感到它的作 用．1830年，高斯详细论述了用直角坐标系 的复平面上的点表示复数 ，使复数有了立足
系中量的不同意义 而产生的.我国三国
时期数学家刘徽 （公元250年前后）
首先给出了负数的 定义、记法和加减 运算法则.
刘徽（公元250年前后）
5
分数（有理数）
分数（有理数）是 “分”出来的.早在 古希腊时期，人类 已经对有理数有了 非常清楚的认识， 而且他们认为有理 数就是所有的数.
6
无理数
无理数是“推”出来
数系的扩充(数学史)
1
计数的需要
表示相反意义的量 解方程x+3=1
测量、分配中的等分 解方程3 x=5 度量的需要 解方程x2=2
解方程x2=－1
2
自然数（正整数与零）
整数
有理数 R Q Z N
实数
数系每次扩充的基本原则：
第一，增加新元素； 第二，原有的运算性质仍然成立；
第三，新数系能解决旧数系中的矛盾.
人教版数学 选修1-2 1 数系的扩充和复数的概念(共14张ppt)教育课件
: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。
有些人经常做一些计划，有的计划几乎 不去做 或者做 了坚持 不了多 久。其 实成功 的关键 是做很 坚持。 上帝没 有在我 们出生 的时候 给我们 什么额 外的装 备，也 许你对 未来充 满迷惑 ，也许 你觉得 是在雾 里看花 ，但是 只要我 们不停 的去做 ，去实 践，总 是可以 走到一 个鲜花 盛开的 地方， 也许在 那个时 候，你 就能感 受到什 么叫柳 暗花明 。走向 成功的 过程就 好像你 的起点 是南极 ，而成 功路径 的重点 在北极 。那么 无论你 往哪个 方向走 ，只要 中途的 方向不 变，最 终都会 到达北 极，那 就在于 坚持。
数系的扩充和复数的概念(公开课)(课堂PPT)
2020/5/29
变式2：
已 x 是 知实 y 是 数 纯 ， 虚 x y 数 3 x i,求 ， x 与 y满
解： 设 y bi b R , 且 b 0
x y 3 x i x bi 3 x i
x 0
b
3
x
x 0,b 3
x 22 0 , y 3 i
数系的扩充
7
3. x1,1y8 7
例1：
实数m取什么值时，复数 z m 1 (m 1 )i是
（1）实数？
（2）虚数？ （3）纯虚数？
解：（1）当 m 10，即m1时，复数z 是实数．
（2）当m10，即m1时，复数z 是虚数．
（3）当m 10，且 m 10，m 即m 1 m 1 0 10 时0 ，复
数 z 是纯虚数．
19
2020/5/29
变式1：实 m 取 数什么 m 2 5 值 m 6 时 m 2 3 m ， i是
（1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数 （4）零
解： 1 m 2 3 m 0 ,解 m 0 的 或 3
2 m 2 3 m 0 ,解 m 0 且 的 m 3
3m2
3.若4+bi=a-2i，求实数a,b的值。
17
2020/5/29
预习自测答案：
1. 实部分别是0， ：2 ， 2，2，0,0；
2
虚部分别是0： ,0，1 ,1， 3,1. 3
2. 2 7,0.618,0,i2是实数；
2i,i,i 1 3 ,5i 8,39 2i, 2 2i是虚数；
7
2i,i,i1 3 是纯虚数 .
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2020/5/29
问 题 3：
复数z=a+bi(a ∈ R、b ∈ R)能表示实数和
变式2：
已 x 是 知实 y 是 数 纯 ， 虚 x y 数 3 x i,求 ， x 与 y满
解： 设 y bi b R , 且 b 0
x y 3 x i x bi 3 x i
x 0
b
3
x
x 0,b 3
x 22 0 , y 3 i
数系的扩充
7
3. x1,1y8 7
例1：
实数m取什么值时，复数 z m 1 (m 1 )i是
（1）实数？
（2）虚数？ （3）纯虚数？
解：（1）当 m 10，即m1时，复数z 是实数．
（2）当m10，即m1时，复数z 是虚数．
（3）当m 10，且 m 10，m 即m 1 m 1 0 10 时0 ，复
数 z 是纯虚数．
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2020/5/29
变式1：实 m 取 数什么 m 2 5 值 m 6 时 m 2 3 m ， i是
（1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数 （4）零
解： 1 m 2 3 m 0 ,解 m 0 的 或 3
2 m 2 3 m 0 ,解 m 0 且 的 m 3
3m2
3.若4+bi=a-2i，求实数a,b的值。
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2020/5/29
预习自测答案：
1. 实部分别是0， ：2 ， 2，2，0,0；
2
虚部分别是0： ,0，1 ,1， 3,1. 3
2. 2 7,0.618,0,i2是实数；
2i,i,i 1 3 ,5i 8,39 2i, 2 2i是虚数；
7
2i,i,i1 3 是纯虚数 .
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2020/5/29
问 题 3：
复数z=a+bi(a ∈ R、b ∈ R)能表示实数和
数系的扩充 PPT
“瑞雪兆丰年”与数学归纳法
数学归纳法考察了以下能力倾向:
(1)从整体结构上直接领悟数学对象本质得能力;
(2)从数学问题、数式结构、数式关系中洞察对象 本质得能力; (3)从解题思路和问题结果中领悟数学本质得能力。
数学归纳法
数学归纳法涉及三种题型: 1、直接证明型 2、探讨求索型 3、变式演绎型
二、复数表示和运算
(一)复数得表示法
二、复数得运算
应Байду номын сангаас举例
(一)复数得表示法和运算律
(二)解析几何中复数表示
(三)复数单位根及其应用
(四)复数方法得应用
解法一:
解法二:
例5、已知A为定圆O外得定点,P为这个圆上得 任一点,以AP为边作正三角形APZ(APZ按顺时 针方向),求Z点得轨迹。
由于无理数得发现,打破了毕达哥拉斯得 “信条”,引起了数学界思想得混乱,导致了数 学史上得第一次数学危机。
然而,真理就是淹没不了得,人们为纪 念这位“科学得星座”,就把不可通约得量 改名为“无理数”。
(二)无理数得定义
定义1(实数得无限小数说)全体有限小 数和无限小数组成得集合称为实数集。无 限不循环小数称为无理数。
正确理解“潜无限”
三毛悖论:“任何有头发得人都就是秃子”。
我国得数学教科书中在20世纪90年代之前, 一直没有把0作为自然数,但就是1993年颁发 得《中华人民共和国国家标准》中《量和单 位》规定自然数包括0、具体表述为:用0表示 “一个物体也没有”所对应得计数。
最小数原理
最小数原理就是第二数学归纳法得逻辑 基础和理论依据。
这一发现与毕达哥拉斯学派“万物皆 数”得哲学理论极不和谐,引起了该学派领 导极度惶恐和恼怒,认为她动摇了她们在学 术上得统治,就是致命得打击。
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数。
总结中学中涉及到的数系的扩充
• 自然数中减法产生了（
）（
）
• 整 数中除法产生了（
）（
）
• 自然数中开方产生了（
）（
）
• 负 数中开方产生了（
）（
）
谢 谢！
观察方程 x，2 它在1 R中没有解，为此，我们希 望再次扩大数系，使得方程有解。
于是我们引入了新的符号 ，并i 定义： i2 1
为了让符号 能i 像普通的实数那样进行加、乘，我 们造出形如 a b这i样的符号，这里的 a是, 任b 意两个实数， 称a 为 复bi数， 称为虚数i 单位。
引入复数后，我们的数系由实数系扩充到了复数 系。
第六章
数系
数系的扩充 自然数N 扩充原则 整数Z 有理数Q
目录
实数R 复数C
四元数与八元数 数系向无限扩充
小结
为什么要进行数系的扩充？
• 从社会生活的角度来看为了满足生活和生 产实践的需要，数的概念在不断地发展。
• 从数学的内部来看，是为了满足计算的需 要，数集是在按照某种“规则”不断扩充 的。
自然数---N
自然数是最简单的、因而也是最早 发现并使用的“数”。自然数是一 切其他数系逐步扩充并得以实现的 基础。用公理方法建立自然数理论， 应当归功与皮亚诺。
数系扩充的原则
• 原则一：应提出扩展的要求，或者指出扩展后应 满足的性质，一般来说，扩张以后的新数系Y，会 失去原有的数系X的某些性质，同时又获得某些新 的性质。
数域定义: 设F是一个数环，如果对任意的 a,b∈F而且a≠0, 则b/a∈F；则称F是一个 数域。例如有理数集Q、实数集R、复数集 C等都是数域。
大家应该也有点累了，稍作休息
青 衣
大 家 有 疑 问 的，可 以询问 和交流
10
整数系Z 有理数系Q
在整数系中，方程 ax b ,(a ,b Z ,且 a 0 ) 不总是能求解的。为此，有必要引 入新数---有理数，引入新数后，整 数系扩充到了有理数系，根据数系 扩充的原则，有理数是以整数作为 材料，且获得了对除法封闭的新性 质。
四元数与八元数
• 复数 a bi 是以1 和 i 作为基向量的，哈密顿想到， 扩充复数时，必须把 a bi 的形式仍然保留下来， 而在实数a 的后面加上一个三维空间向量 bicjdk 形成了新数abicjdk，这便是四元数。
• 哈密顿使四元数和四维空间的以原点为起点的向 量一一对应，不再区分四元数与向量，如果把四 维空间的一个基取成 1, i , j , k .
数系扩充的原则
• 原则三：旧数系是新数系的一部分，而且把旧数 系的元素看成新数系时，服从同样的运算规律， 及构成一种“嵌入”。
• 例如：自然数系N扩充到整数系Z，旧数系N是新数系Z中 的一部分，而且N中的元素还是符合Z中的运算规律的。
自然数系N 整数系Z
数环定义:设S是复数集的非空子集。如果S 中的数对任意两个数的和、差、积仍属于S， 则称S是一个数环。例如整数集Z就是一个 数环，有理数集Q、实数集R、复数集C等 都是数环。
那么任意四元数可以表示为：Xabicjdk.
• 八元数的集合是实数上的八维向量空间，即把它的基
向量记为：e0,e1,e2 e7. 任一个八元数可以写成：
X x 0 e 0 x 1 e 1 x 7 e 7
• 要指出的是，尽管四元数和八元数都是数系的扩张， 在现代数学中，我们总是把“数”理解为复数或实数， 只有在个别的情况经特别指出，才用到四元数。至于 八元数的使用就更罕见了。
有理数系Q 实数系R
·我们虽然经过从Z到Q ，大大地扩充了数系但 是这决不是就意味着能足以建立各种不同的 计算，例如，一元二次方程 x2 20 在Q中没有解，而事实上， x 是存在的，它表 示的正是单位正方形的对角线的长度。
·为了满足自然数开方运算的需要，引入了无 理数，构成了实数系。
实数系R 复数系C
• 例如：自然数系N扩充到整数系Z，整数系Z失去了自然数 系N中任何子集都有最小元素的良序性质，但是获得对减 法封闭的特性。
数系扩充的原则
原则二:用旧数系为材料构成一个对 象，称之为新数，定义并验证这些 新数符合扩张的要求，或者具有新 数应具备的性质。
例如：将自然数系扩充到整数系，扩张的 要求是满足减法运算的需要，所以整数 系是具备这样的性质的。
数系向无限的扩充
• 迄今为止，数总是有限的数，数系的进一步扩充是向 “无限"进军。这项工作已有两项重要成就。
• 康托尔的超限数 超限数是大于所有有限数（但不必为绝对无限）的基数 或序数，分别叫做超穷基数和超穷序数。
• 罗宾逊的非标准实数系
是罗宾逊推出的超实数R * ，即非标准实数系，他的基本
思想是将“无限小”和“无限大” 作为R以外的超实
总结中学中涉及到的数系的扩充
• 自然数中减法产生了（
）（
）
• 整 数中除法产生了（
）（
）
• 自然数中开方产生了（
）（
）
• 负 数中开方产生了（
）（
）
谢 谢！
观察方程 x，2 它在1 R中没有解，为此，我们希 望再次扩大数系，使得方程有解。
于是我们引入了新的符号 ，并i 定义： i2 1
为了让符号 能i 像普通的实数那样进行加、乘，我 们造出形如 a b这i样的符号，这里的 a是, 任b 意两个实数， 称a 为 复bi数， 称为虚数i 单位。
引入复数后，我们的数系由实数系扩充到了复数 系。
第六章
数系
数系的扩充 自然数N 扩充原则 整数Z 有理数Q
目录
实数R 复数C
四元数与八元数 数系向无限扩充
小结
为什么要进行数系的扩充？
• 从社会生活的角度来看为了满足生活和生 产实践的需要，数的概念在不断地发展。
• 从数学的内部来看，是为了满足计算的需 要，数集是在按照某种“规则”不断扩充 的。
自然数---N
自然数是最简单的、因而也是最早 发现并使用的“数”。自然数是一 切其他数系逐步扩充并得以实现的 基础。用公理方法建立自然数理论， 应当归功与皮亚诺。
数系扩充的原则
• 原则一：应提出扩展的要求，或者指出扩展后应 满足的性质，一般来说，扩张以后的新数系Y，会 失去原有的数系X的某些性质，同时又获得某些新 的性质。
数域定义: 设F是一个数环，如果对任意的 a,b∈F而且a≠0, 则b/a∈F；则称F是一个 数域。例如有理数集Q、实数集R、复数集 C等都是数域。
大家应该也有点累了，稍作休息
青 衣
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整数系Z 有理数系Q
在整数系中，方程 ax b ,(a ,b Z ,且 a 0 ) 不总是能求解的。为此，有必要引 入新数---有理数，引入新数后，整 数系扩充到了有理数系，根据数系 扩充的原则，有理数是以整数作为 材料，且获得了对除法封闭的新性 质。
四元数与八元数
• 复数 a bi 是以1 和 i 作为基向量的，哈密顿想到， 扩充复数时，必须把 a bi 的形式仍然保留下来， 而在实数a 的后面加上一个三维空间向量 bicjdk 形成了新数abicjdk，这便是四元数。
• 哈密顿使四元数和四维空间的以原点为起点的向 量一一对应，不再区分四元数与向量，如果把四 维空间的一个基取成 1, i , j , k .
数系扩充的原则
• 原则三：旧数系是新数系的一部分，而且把旧数 系的元素看成新数系时，服从同样的运算规律， 及构成一种“嵌入”。
• 例如：自然数系N扩充到整数系Z，旧数系N是新数系Z中 的一部分，而且N中的元素还是符合Z中的运算规律的。
自然数系N 整数系Z
数环定义:设S是复数集的非空子集。如果S 中的数对任意两个数的和、差、积仍属于S， 则称S是一个数环。例如整数集Z就是一个 数环，有理数集Q、实数集R、复数集C等 都是数环。
那么任意四元数可以表示为：Xabicjdk.
• 八元数的集合是实数上的八维向量空间，即把它的基
向量记为：e0,e1,e2 e7. 任一个八元数可以写成：
X x 0 e 0 x 1 e 1 x 7 e 7
• 要指出的是，尽管四元数和八元数都是数系的扩张， 在现代数学中，我们总是把“数”理解为复数或实数， 只有在个别的情况经特别指出，才用到四元数。至于 八元数的使用就更罕见了。
有理数系Q 实数系R
·我们虽然经过从Z到Q ，大大地扩充了数系但 是这决不是就意味着能足以建立各种不同的 计算，例如，一元二次方程 x2 20 在Q中没有解，而事实上， x 是存在的，它表 示的正是单位正方形的对角线的长度。
·为了满足自然数开方运算的需要，引入了无 理数，构成了实数系。
实数系R 复数系C
• 例如：自然数系N扩充到整数系Z，整数系Z失去了自然数 系N中任何子集都有最小元素的良序性质，但是获得对减 法封闭的特性。
数系扩充的原则
原则二:用旧数系为材料构成一个对 象，称之为新数，定义并验证这些 新数符合扩张的要求，或者具有新 数应具备的性质。
例如：将自然数系扩充到整数系，扩张的 要求是满足减法运算的需要，所以整数 系是具备这样的性质的。
数系向无限的扩充
• 迄今为止，数总是有限的数，数系的进一步扩充是向 “无限"进军。这项工作已有两项重要成就。
• 康托尔的超限数 超限数是大于所有有限数（但不必为绝对无限）的基数 或序数，分别叫做超穷基数和超穷序数。
• 罗宾逊的非标准实数系
是罗宾逊推出的超实数R * ，即非标准实数系，他的基本
思想是将“无限小”和“无限大” 作为R以外的超实