数系的扩充 数学史
数系扩充的历史过程
数系扩充的历史过程数系扩充是数学领域中一项重要的发展，它使我们能够更好地理解和描述数的性质。
在数学发展的历史长河中，人们逐步扩充了数系，从最初的自然数到有理数、实数和复数，每一次的扩充都为数学的发展开辟了新的道路。
最早，人们只有自然数，这是最基本的数系。
自然数是我们对物体数量的最直观感受，它们用于计数和排序。
然而，随着人类对数的认识的深入，人们开始意识到自然数并不能完全满足我们的需要。
为了解决自然数无法准确表示分数的问题，人们发展了有理数。
有理数包括正整数、负整数、分数等，使得我们能够进行更加精确的数学运算。
有理数的扩充，极大地丰富了数学的语言和工具，使得人们能够有效地解决更加复杂的问题。
然而，随着几何学和代数学的发展，人们逐渐发现有理数无法解决某些方程中的根的问题，这就促使了实数的扩充。
实数是包括有理数和无理数的一种数系，它具有完备性和连续性的特点。
实数的引入为数学提供了更加强大的工具，使得人们能够深入研究曲线的性质和函数的行为。
尽管实数已经非常强大，但在解决某些方程和问题时，实数仍然存在局限性。
为了克服这些限制，人们进一步扩充了数系，引入了复数。
复数是由实数扩充而来，它包含实部和虚部，具有丰富的性质和表达形式。
通过引入复数，人们能够更加深入地研究方程的解和曲线的行为，为许多数学领域的发展提供了新的契机。
综上所述，数系扩充的历史过程是一个不断发展、完善的过程。
从自然数到有理数、实数和复数，每一次的扩充都推动了数学的进步。
这些扩充不仅丰富了数学的语言和工具，还拓宽了数学研究的领域。
数学的发展离不开数系的扩充，它们共同铸就了数学的辉煌。
第一讲 数系的扩充
二、复数表示和运算
（一）复数的表示法
二、复数的运算
应用举例
（一）复数的表示法和运算律
（二）解析几何中复数表示
（三）复数单位根及其应用
（四）复数方法的应用
解法一：
解法二：
例5、已知A为定圆O外的定点，P为这个圆上 的任一点，以AP为边作正三角形APZ（APZ 按顺时针方向），求Z点的轨迹。
结绳法最早出现在印加帝国，是利用一种 十进的位置值系统在绳上打结的记事方式。
在干绳最远的一行一 个结代表1，次远的 一个结代表10，如此 等等.
秘鲁的印第安人的结绳法
中国的甲骨文计数法
我国古代的甲骨文中的“数”字， 左边表示打结的绳，右边是一只手， 表示古人用结绳记数
《易.系辞》载：“上古结绳而 治，后世圣人易之以书目契。”
练习题
谢谢！
谢谢！
(探讨求索型问题) 解题思维过程：
尝试——观察——归纳、猜想——证明
即从特殊关系中概括一般规律，建立猜 想，给出严格证明。
(数学归纳法问题)解题策略： 从数学问题、数式结构、数式关系、解
题思路和问题结果等特征去思考问题。
三、平静地接受一些无理数
（一）无理数的起源和发展
公元前6世纪，古希腊毕达哥拉斯学派开 始研究整数的性质，他们提出了奇数、偶数、 素数、合数的概念，并逐渐形成了宇宙哲学 观：“万物皆数”。
特点：直观但抽象，无法解释两个无 限不循环小数的和差积商等运算。
问题：0.9999…和1是否相等？
不是证明的“证明”： 1、笼统的分析：
2、所谓的“证明”
3、极限求和法
定义2 （康托的基本序列说）有理数的基本 序列的等价类称为实数.
基本思想：把无限小数看作是一个有限小数 序列的极限。
渗透数学思想,感受数学文化从“数系的扩充”一课谈起
三、数系的扩充所蕴含的数学思 想
4、集合思想
数系的每一次扩充都是一个集合的扩展，新的集合是由旧集合中的元素通过 某种规则或方式得到的。在数系的扩充过程中，数学家们逐渐认识到了集合的思 想和方法，例如将分数看作是两个整数的比值、将无理数看作是实数的一个子集 等。
5、极限思想
极限是数学中的一个重要概念，它是描述变量在某种变化过程中的最终趋势 或状态的一种方式。在数系的扩充过程中，极限思想起到了关键的作用。例如， 无理数是通过对一个有理数列的极限运算得到的；复数是通过对实数的极限运算 得到的。极限思想的应用使得数学家们能够更加深入地研究数学对象的变化趋势 和性质。
2、无理数
无理数是指无法用有限小数表示的数，例如π、e等。在古代，人们已经发 现了一些无理数的存在，但是对其性质和计算方法并不清楚。直到16世纪，数学 家们才开始深入研究无理数的性质和计算方法，并逐渐将其纳入数系中。
3、复数
复数是数系的又一次扩展，它最早出现在欧洲文艺复兴时期。复数是一个由 实部和虚部组成的数，最早由意大利数学家卡丹提出。在复数系中，加减乘除等 运算都有定义，而且复数的乘方运算非常简单。复数的引入为物理学、工程学等 领域的发展提供了重要的支持。
渗透数学思想,感受数学文化从 “数系的扩充”一课谈起
目录
01 一、数系的扩充背景
02 二、数系的扩充过程
03
三、数系的扩充所蕴 含的数学思想
04
四、数系的扩充所蕴 含的数学文化
05 参考内容
渗透数学思想，感受数学文化从 “数系的扩充”一课谈起
数学是一门逻辑性强、思维严谨的学科，它不仅是一种工具，更是一种文化， 一种思想。在数学的发展历程中，数系的扩充是其中重要的一个方面，它不仅代 表着数学知识的进步，也体现了人类对数学认识的深化。本次演示将从“数系的 扩充”一课谈起，探讨其中所蕴含的数学思想和数学文化。
数系扩充的历史发展
数系扩充的历史发展数系扩充是数学领域的重要发展方向之一，它们的出现不仅丰富了数学的内容，也拓展了数学的应用范围。
本文将从整数、有理数、实数、复数等数系的扩充过程入手，探讨数系扩充的历史发展。
1. 整数的扩充整数是我们最早接触到的数系，它由正整数、0和负整数组成。
然而，在某些情况下，整数无法满足我们的需求。
为了解决这个问题，数学家引入了自然数的扩充概念，将其称为整数。
整数在数轴上可以表示正数、0和负数，通过加法和乘法运算，整数形成了一个封闭的数系。
2. 有理数的扩充有理数是整数的扩充，它可以表示为分数的形式。
有理数包括整数和所有可以表示为两个整数的比值的数。
然而，有理数在某些情况下也无法满足我们的需求，例如无理数的开方运算。
为了解决这个问题，我们引入了无理数的概念，将其加入到有理数中，形成了实数。
实数是一个包括有理数和无理数的数系，通过加法、减法、乘法、除法等运算，实数形成了一个完备的数系。
3. 实数的扩充实数是数学中最为常见的数系，它包括了所有的有理数和无理数。
然而，实数在某些情况下也无法满足我们的需求，例如方程x²+1=0在实数范围内无解。
为了解决这个问题，数学家引入了虚数的概念，将其加入到实数中，形成了复数。
复数由实部和虚部组成，其中虚部用虚数单位i表示。
复数的加法、减法、乘法和除法等运算满足一定的规律，形成了一个复数域。
4. 复数的扩充复数的引入解决了实数无法解决的方程问题，但复数本身也存在一些限制。
为了进一步扩充数系，数学家引入了超复数的概念。
超复数包括复数和一些特殊的数，例如双复数、超实数等。
超复数在数学物理、工程学等领域有广泛的应用，它们的性质和运算规则也在不断地研究和发展中。
5. 数系扩充的意义数系的不断扩充，丰富了数学的内容，使得数学在解决实际问题时更加灵活和高效。
数系的扩充也推动了数学理论的发展，激发了数学家们对抽象和推理的思考。
同时，数系的扩充也为其他学科的发展提供了基础和支撑，例如物理学中的复数分析、工程学中的矩阵运算等。
数系的扩充历史和复数的概念
不对 如果两个复数都是实数，就可以 比较大小 只有当两个复数不全是实数 时才不能比较大小
复数的发展史
后来德国数学家高斯给出 虚数这种假设,是需了要复勇数气的的,人定们义在，当但时他是们无法仍接感到 受虚兴数时的单期,认位意为的大她假利是设有想研名象究的的数:,第不学一存这们家次在“也种认的怪感数真,但杰讨到有这”论它点丝卡这毫的虚丹种不作无，数影他用缥的响是．缈是数1文，15学48艺5尽3家年0复对管年开他， 始讨论这种数的，当时复高数被斯他详称细作论“述诡了辩量用”直.几角乎坐过标系
无理数的发现对毕达哥拉斯学派“万物皆数”的 信条造成了强烈的震撼。后来，人们又陆续发现了 2 以外的许多无理数 。这些“怪物”深深地困扰着古希 腊的数学家们，这就是数学史上的“第一次数学危 机”。
分分数数
正正整整数数
无无理理数数
我国公元3世纪的刘徽已经对负数 有了深刻的认识。在《九章算术注》
在生产实践中，人 中，他认为“今两算得失相反，要令 正负以名之。”他还认为“言负者未
数的发展历程
——数系的扩充
正整数
等额分配问题
随着生产，生活的需要，人 们慢慢发现，仅仅表示出正 整数是不够的。如果分配猎 物时，5个人分三只羊，每 个人应该得到多少呢？自然 地，分数就出现了。
分数
正整数
毕达哥拉斯
勾股定理
—
无
理
数
的
发
重 大
现
突
破
毕达哥拉斯
在“数”的发展史上，希腊的 毕达哥拉斯学派发现了“无理数”。 毕达哥拉斯学派基本的信条是“万 物皆数”。他们所说的数仅指整数， 分数被看成两个整数的比，他们相 信任何量都可以表示成两个整数之 比。即可得到，任何两条线段的比 都是整数的比，即有理数。然而， 毕达哥拉斯学派的成员希帕苏斯后 来发现：并不是任意两条线段都有 一个公共度量。
数系扩充的发展历程——高中数学选修2—2教案
数系扩充的发展历程——高中数学选修2—2教案数系是数学中最基础的概念之一，它包括整数、有理数、实数和复数等。
在数学的发展历程中，人们不断地发掘数系的特性和性质，使得数系得到了不断的扩充和完备化。
其中，数系扩充的发展历程是一个充满着曲折和波澜的历程。
一、自然数人类早期使用的最基础的数字是手指，因此我们常用上手指的个数一二三等表述数字。
经过长期的实践，人类逐渐发展出了自然数的概念。
自然数是人们用来表示自然界事物数量的数字，是从一开始的逐步累加得到的。
自然数的集合为{1, 2, 3, 4, 5, ...}。
二、整数在使用自然数的过程中发现，由于我们常常需要计算负数，因此需要引入负数的概念。
这时自然数无法满足我们的需求。
在1世纪到6世纪之间，古印度文明发明了“零”，为整数的发展奠定了基础。
整数是指自然数及其负数的集合，记作{...，-3，-2，-1，0，1，2，3，..}。
三、有理数人们在解方程时，发现仅使用整数还是不够的。
例如，方程 x + 3 = 0 的解显然是-3，但是如果限制使用整数，我们无法找到符合条件的解。
因此，人们需要引入有理数的概念。
有理数是指可以表示为两个整数的比例的数，即形如 m/n (其中，m、n为整数，n≠0) 的数称为有理数。
有理数的集合为 Q。
四、实数在有理数的基础上，人们又发现存在着无限不循环小数的数，例如π和√2。
这些数不能被表示为两个整数的比例，因此需要引入实数的概念。
实数是指有理数和无理数的集合，即包括所有可能的小数和无限小数的数的集合。
实数的集合为 R。
五、复数在实数的基础上，人们又发现了一些无法解决的问题。
例如，方程x^2+1=0无解，在实数中无法找到符合条件的解。
因此，人们需要引入虚数i=√（-1）的概念。
复数是指形如a+bi（其中a和b都是实数，i是虚数单位）的数的集合，记作C。
复数的概念使得我们可以解决实数范围内无法得到解的问题。
通过历史的发展，我们可以看出数系的完备化一直是一个持续不断的历程。
数学中数系的一步步扩张之路
数学中数系的一步步扩张之路（一）正整数人类最早认识的是正整数．中国的《周易》中就有结绳记事的说法，而结绳计事不仅在中国，也在希腊、波斯等各地出现，从结绳计数（事）慢慢发展出各种不同的计数方法，其中最重要和最美妙的记数法是十进制位置制计数法．（除了十进制外还有很多其它进制，如计算机中的二进制，角度中的60进制（巴比伦人曾经就用60进制位置定位数系）；除了位置制计数法也还其它计数方法，如古埃及的象形文字中有10进制非位置计数，罗马数字中的含加减运算的计数方法。
（二）0的诞生0一开始是用空位表示的，后来用点，再后来用句点，最后才成为0，是从印度诞生的，通过阿拉伯在13世纪引入欧洲（这是斐波那契的功劳，由于数字是从阿拉伯引入欧洲的，故被称为阿拉伯数字，虽然是由印度人发明的）．0的书写方法正好对应中文的“零”．（汉字中很早就有零，在《孙子算经》中有除百零伍便得之．但汉字中的零原义是加法，并不是真正的零）．（三）负数负数来源自减法运算，解出负数根．欧洲在16-17世纪普遍不承认负数的存在，包括帕斯卡、莱布尼兹、卡丹（认为仅仅是记号）、韦达、笛卡尔（负根叫做假根）．最开始的负数被认为没有意义，仅可以作为一个符号出现，但不能在结果中出现．负数比分数出现的更晚．（四）分数欧洲15世纪形成的分数的真正算法，中国在春秋时期（公元前770年-前476年）就有了分数运算的法则．《九章算术》章一：方田，分数加法“田以乘子，并以为实，田相乘为法，实如法而一”，“其田同有，直相从之”．其中田指分母，子指分子．分数系对加、乘、除封闭，有了负数与分数，有理数系就形成了．（五）无理数无理数的发现与毕达哥拉斯学派以及第一次数学危机有关．毕达哥拉斯学派主张“万物皆数”，这个数最开始是最完美的整数，后来扩展成整数及整数之间的比，即分数．但毕达哥拉斯学派推出了著名的毕达哥拉斯定理，即中国的勾股定理，于是无理数的出现不可阻挡．比如边长为的等腰直角三角形的斜边长无法表示成两个整数的比．我们会在证明题三大方法中用反证法证明这个结论．无理数的被承认也经过了很长的时间，毕达哥拉斯学派弟子希伯斯也因为发现或是传播无理数藏身大海，这也是“无理数”这个名字的由来．达芬奇（15世纪，意大利）称为“没有道理的数”、开普勒（17世纪，德国）说“不可名状的数”．在中国称无理数为算而不求其本质．有了无理数实数系就形成了．（六）复数系——完备的数系的形成复数系对加、减、乘、除是封闭的，对加法与乘法都满足交换律与结合律，加法与乘法之间满足分配律，满足这些性质的称为数系．到复数系，数系就完备了．想再将数系进行扩充，就会牺牲一些数系中的好的性质．。
数系的扩充(数学史)
唯物辨证法认为，事物是发展变化的，事物 内部的矛盾运动是推动事物向前发展的根本动力. 由于实数的局限性，导致某些数学问题出现矛盾 的结果，数学家们预测，在实数范围外还有一类 新数存在，还有比实数集更大的数系.
自然数
• 自然数是“数”出来的，其历史最早可以 追溯到五万年前.
负数
负数是“欠”出来 的.它是由于借贷关 系中量的不同意义 而产生的.我国三国 时期数学家刘徽 （公元250年前后） 首先给出了负数的
之地,人们才最终承认了复数.到今天复数已经 成为现代科技中普遍运用的数学工具之一.
关于无理数的发现
古希腊的毕达哥拉斯学派认为, 世间任何数都可 以用整数或分数表示,并将此作为他们的一条信条.有 一天,这个学派中的一个成员希伯斯突然发现边长为 1的正方形的对角线是个奇怪的数,于是努力研究,终 于证明出它不能用整数或分数表示.但这打破了毕达 哥拉斯学派的信条,于是毕达哥拉斯命令他不许外传. 但希伯斯却将这一秘密透露了出去.毕达哥拉斯大怒, 要将他处死.希伯斯连忙外逃,然而还是被抓住了,被 扔入了大海,为科学的发展献出了宝贵的生命.希伯斯 发现的这类数,被称为无理数.无理数的发现,导致了 第一次数学危机,为数学的发展做出了重大贡献.
数系的扩充(数学史)
计数的需要
表示相反意义的量 解方程x+3=1
测量、分配中的等分 解方程3 x=5 度量的需要 解方程x2=2
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刘徽（公元250年前后）
分数（有理数）
• 分数（有理数）是 “分”出来的.早在 古希腊时期，人类 已经对有理数有了 非常清楚的认识， 而且他们认为有理 数就是所有的数.
无理数
无理数是“推”出来
的.公元前六世纪，古
希腊毕达哥拉斯学派
利用毕达哥拉斯定理，
发现了“无理数”.
“无理数”的承认
（公元前4世纪）是数
学发展史上的一个里 程碑.
毕达哥拉斯(约公元前 560——480年）
历史回顾：虚数
虚数是“算”出来 的. 1637年，法国数学 家笛卡尔把这样的 数叫做“虚数”
（“想象中 (imaginary)的数”）.
笛卡尔 (R.Descartes,1596-1661)
虚数
虚数这种假设,是需要勇气的,人们在当时 是无法接受的,认为她是想象的,不存在的,但 这丝毫不影响数学家对虚数单位 的假设研究: 第一次认真讨论这种数的是文艺复兴时期意 大利有名的数学“怪杰”卡丹，他是1545年 开始讨论这种数的，当时复数被他称作“诡 辩量”.几乎过了100年，笛卡尔才给这种 “虚幻之数”取了一个名字——虚数．
之地,人们才最终承认了复数.到今天复数已经 成为现代科技中普遍运用的数学工具之一.
关于无理数的发现
古希腊的毕达哥拉斯学派认为, 世间任何数都可 以用整数或分数表示,并将此作为他们的一条信条.有 一天,这个学派中的一个成员希伯斯突然发现边长为 1的正方形的对角线是个奇怪的数,于是努力研究,终 于证明出它不能用整数或分数表示.但这打破了毕达 哥拉斯学派的信条,于是毕达哥拉斯命令他不许外传. 但希伯斯却将这一秘密透露了出去.毕达哥拉斯大怒, 要将他处死.希伯斯连忙外逃,然而还是被抓住了,被 扔入了大海,为科学的发展献出了宝贵的生命.希伯斯 发现的这类数,被称为无理数.无理数的发现,导致了 第一次数学危机,为数学的发展做出了重大贡献.
但是又过了140年，欧拉还是说这种数只是存 在于“幻想之中”，并用 （imaginary，即 虚幻的缩写）来表示它的单位. 后来德国数学 家高斯给出了复数的定义，但他们仍感到这
种数有点虚无缥缈，尽管他们也感到它的作 用．1830年，高斯详细论述了用直角坐标系 的复平面上的点表示复数 ，使复数有了立足
唯物辨证法认为，事物是发展变化的，事物 内部的矛盾运动是推动事物向前发展的根本动力. 由于实数的局限性，导致某些数学问题出现矛盾 的结果，数学家们预测，在实数范围外还有一类 新数存在，还有比实数集更大的数系.
自然数
• 自然数是“数”出来的，其历史最早可以 追溯到五万年前.
负数
负数是“欠”出来 的.它是由于借贷关 系中量的不同意义 而产生的.我国三国 时期数学家刘徽 （公元250年前后） 首先给出了负数的
数系的扩充量 解方程x+3=1
测量、分配中的等分 解方程3 x=5 度量的需要 解方程x2=2
解方程x2=－1
自然数（正整数与零） 整数
有理数 R Q Z N
实数
数系每次扩充的基本原则：
第一，增加新元素； 第二，原有的运算性质仍然成立； 第三，新数系能解决旧数系中的矛盾.
1777年，瑞士数学 家欧拉在其论文中 首次用符号“i ” 表 示
称为虚数单位.
欧拉(L.Euler,1707~1783)
古老的问题:“正方形的对角线是个‘奇怪’的数”
D
F
D
C
1
1
x
A 1
1
x
C
A
1 1 B
B
x
E
S BEFD 2S ABCD BD 22AB 2
BD2= 2
BD = ？
复数的发展史