2017一次函数与二元一次方程1.doc
17-5-1 一次函数与二元一次方程(组)课件2022-2023学年华东师大版八年级数学下册
对应
二元一次方程
一次函数
对应
一条直线
即为
即为
二元一次方程的解
一次函数两变量的值
直线上的点的坐标
例1 在平面直角坐标系中画出方程2x-y+3=0所对应的直线.
导引：将二元一次方程化为一次函数的形式，再确定两个点的坐标，在平面 直角坐标系中描出两点，过这两点的直线就是这个方程对应的直线.
解:将方程2x-y+3=0转化为y=2x+3，有
-2 -4
l2：y= 3 x 1 . 2
l1：y=
3 2
x
1
作出l1和l2的图象，如图所示，两条直线平行，故方程组无解.
思考
上述例题直观地说明二元一次方程组的解有三种情况.
当把其中的各个二元一次方程组化为标准形式：
aa12
x x
b1 b2
y y
c1 c2
比较一下每例中两个方程中x的系数之比、y的系数之比以 及常数项之比，从中你发现怎样的规律？
们看到，两个一次函数图象的交点处，自变量和对应的函数值同时满足
两个函数的关系式．而这两个关系式可以看成关于x、y 的两个方程，所
以交点的坐标就是这两个方程组成的方程组的解．
根据图象回答：
y(元)
600
(甲)
(3)如果每月复印页数在1200页 400
(乙)
左右，那么应选择哪个复印社？ 200
O 200 400 600 800 1000 1200 x(页)
区别： 1.二元一次方程有两个未知数，而一次函数有两个变量； 2.二元一次方程是用一个等式表示两个未知数的关系，而一次函数既可 以用一个等式表示两个变量之间的关系，又可以用表格或图象来表示两 个变量之间的关系． 联系：
数学《一次函数与二元一次方程组》教案
数学《一次函数与二元一次方程组》教案
教案名称：一次函数与二元一次方程组
教学目标：通过本课的学习，学生能够掌握一次函数的基本定义和性质，以及解一元一次方程的方法，进而学习二元一次方程组的解法。
教学重点：一次函数的定义、性质，一元一次方程的解法，二元一次方程组的解法。
教学难点：如何通过图像的分析和代数的运算解决实际问题。
教学过程：
一、导入（5分钟）
教师问学生关于函数和方程的区别，为什么学习函数和方程的理由是什么。
二、知识讲解（30分钟）
1.一次函数的定义、性质
2.一元一次方程的解法
3.二元一次方程组的解法
三、案例讲解（20分钟）
1.通过实例分析，如何运用一次函数解决实际问题。
2.通过实例分析，如何运用二元一次方程组解决实际问题。
四、活动练习（35分钟）
1.课堂练习：练习解一元一次方程、二元一次方程组的方法。
2.讨论小组：分组讨论、解决实际问题的题目。
五、作业布置（5分钟）
布置作业：完成教师布置的课后作业，考试前复习相关知识点。
六、总结（5分钟）
通过本节课的学习，你掌握了哪些知识点？遇到哪些难点和疑问？
教学方法：讲授、分组讨论、课堂练习。
教学手段：多媒体课件，黑板、书本等。
教学资源：教材、课件、习题集。
12.3 一次函数与二元一次方程
梦栖皖水江畔 心驻黄山之巅 情系安徽学子 相约《点拨训练》
然后设直线A′B′对应的函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)，
并将A′(3，2)，B′(6，5)的坐标代入y＝kx＋b中，得方
程组
解得
最后求得直线A′B′对应的
3k b 2, k 1,
函数表6达k 式b 为5y,＝x－1.b则在1解, 题过程中他运用到的数学
思想是( )
A．分类讨论与转化思想 B．分类讨论与方程思想 C．数形结合与整体思想 D．数形结合与方程思想
第十二章 一次函数
第3节 一次函数与二元一次方程
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1．直线y＝kx＋b(k≠0)对应的函数表达式就是一个关于x，
y的____二__元__一__次_____方程；以关于x，y的二元一次方程 y－kx＝b(k≠0)的解为坐标的点组成的图象就是一次函
数_______________的图象．
k1 k2
x x
b1 , b2 ,
x a,
y
b,
返回
知识点 1 一次函数与二元一次方程的关系
1．(中考·呼和浩特)以下四条直线，其中直线上每个点 的坐标都是二元一次方程x－2y＝2的解的是( ) C
返回
2．在同一平面直角坐标系中有两条直线：L1：y＝ 3 x 5
＋ 9 和L2：y＝－ 3 x＋6，它们的交点为P，L1与x 轴交5 于点A, L2与x2轴交于点B.求：
√
点拨 6题 返回
点拨： 根据轴对称的性质属于形，点的坐标属于数，可知
运用了数形结合的数学思想；根据解方程组，求得未 知数的值，可知运用了方程思想．
一次函数与二元一次方程
一次函数与二元一次方程我们知道一次函数的解析式就是一个二元一次方程，而任何一个二元一次方程都可以化为一次函数解析式的形式，如：y ＝2x ＋3是一次函数解析式，也是一个二元一次方程；而2x －y ＝－3是二元一次方程，不是函数解析式，但可以将其化为y ＝2x ＋3，即为一次函数解析式。
因此一次函数与二元一次方程是既有区别又有联系。
区别在于：(1)二元一次方程有两个未知数，而一次函数则有两个变量；(2)二元一次方程用一个等式表示两个未知数的关系，而一次函数既可以用一个等式表示两个变量之间的关系，又可以用列表或图象来表示两个变量之间的关系.联系在于：(1)在直角坐标系中分别描出以二元一次方程的解为坐标的点，这些点都在相应的一次函数的图象上.(2)在一次函数图象上任取一点，它的坐标都适合相应的二元一次方程.由于二元一次方程可以转化为一次函数，在直角坐标系中可以画出函数的图象，所以将方程组中的两个方程都化为一次函数，再在同一直角坐标系中画两个一次函数图象，它们的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.这种将二元一次方程组转化为一次函数，通过画函数图像确定交点坐标，从而解出方程组的方法，我们称为二元一次方程组的图象解法。
用此方法解二元一次方程组一般有下列几个步骤：(1)将相应的二元一次方程改写成一次函数的解析式；(2)在同一直角坐标系内作出这两个一次函数的图象；(3)观察图象的交点坐标，即得二元一次方程组的解.我们可以总结为“画直线、找交点、确定解”。
例 用作图象的方法解二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+.1,523y x y x 解：①由3x ＋2y ＝5，得y ＝－2523+x ，由x ＋y ＝1，得y ＝－x ＋1.②在同一直角坐标系内作出一次函数y ＝－2523+x 的图象L 1和y ＝－x ＋1的图象L 2， ③如图1，观察图象，得L 1、L 2的交点为(3，－2)，即二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+.1,523y x y x 的解是⎩⎨⎧-==.2,3y xL 2 图1评注：(1)第一步变形时，要保证移向第一步变形时，要保证移项变号；(2)作图必须非常准确，因为图形的偏差会导致我们获得方程组解的偏差，甚至导致错解。
一次函数与二元一次方程的图像解法
l2：y 2 x 6
x 2 y 2 2 x y 6
x
1 l1 : y x 1 2
通过上面的验证，我们发现这两条直线的交点 坐标就是这个方程组的解你能说出其中的道理吗？ 1 方程 x 2 y 2 可化成一次函数 y x 1 的形式， 2 1 因此，直线 l1 : y x 1 上的任意一点的坐标都是方程 2 x 2 y 2 的解; 同理，直线 l 2上的任意一点的坐标都是 方程 2 x y 6 的解.所以直线 l1 与 l 2 的交点P的坐标就 是方程 x 2 y 2 与 2 x y 6 的公共解 .
方程①是的图像是通过A（0，1） 和B（2，3）两点的直线 l1 . 方程 ② 可转化为 y 2 x 1
x y 1 ① 2 x y 1 ②
l1：x y 1
x
y
-1 0 3 1
交点（0，1）
方程②是的图像是通过C（－1，3） 和D（0，1）两点的直线 l .
x 0 所以，原方程组的解是 y 1
由图可知， 1与
l
l2
2
交于（0，1）
l2： 2x y 1
ax bx c 1、若方程组 m x ny p
① ②
中两个二元一次方程的
图像如图所示，则此方程组的解是？ 答：此方程组的解是
x 2 y 1
2 -1
5x 2 y 4
画出表示方程②的直线.
如图，两条直线重合. 所以原方程组有无穷多解.
10x 4 y 8
例3 利用图像法解方程组
3x 2 y 2 ① 6 x 4 y 4 ②
方程 ① 可化为 解：
二元一次方程与一次函数
自主学习
达标4：
八年级 数学
第五章 二元一次方程组 二元一次方程与一次函数
综合建模
1.请概括本节所学知识，尝试画出本 节所学知识的结构图。
2.通过本节课的学习，你有哪些疑问？
八年级 数学
第五章 二元一次方程组 二元一次方程与一次函数
数
二元一次方程 （无数个解） 二元一次方程组 唯一解
形
一次函数（一条直 线） （无数个点） 两条直线 一个交点
自主学习
达标2： 1、已知一次函数 y =2x-1 与 y =3x+4图象如图所示，则方程组 的解为（ ）。 的解为 2、方程组
，则直线y=-x+15和y=x-7的 交点坐标是（ ）。
八年级 数学
第五章 二元一次方程组 二元一次方程与一次函数
自主学习
例题：直线l1：y=x+2和直线l2：y=2x-2的图象如图所示，则直线l1与l2 的交点坐标是 ．
八年级 数学
第五章 二元一次方程组 二元一次方程与一次函数
自主学习
小结2： （1）求二元一次方程组的解可以转化 为求两条直线的交点的横纵坐标． （2）求两条直线的交点坐标可以转化 为求这两条直线对应的函数表达式联 立的二元一次方程组的解．
八年级 数学
第五章 二元一次方程组 二元一次方程与一次函数
自主学习
活动一：二元一次方程和一次函数的关系
1．方程x+y=5的解有 无数个
个；
是这个方程的解吗？ 2．画出一次函数 y=-x+5的图像。
八年级 数学
第五章 二元一次方程组 二元一次方程与一次函数
自主学习
3.（0，5），（5，0），（2，3） 在一次函数y＝的图像上吗？ 4.在一次函数y=的图像上任取一点， 它的坐标适合方程x+y=5吗？
数学八年级下册：第17讲 一次函数与二元一次方程第1套真题
数学八年级下册：第17讲一次函数与二元一次方程一、单选题1. 若一次函数y1=k1x+b1与一次函数y2=k2x+b2的图象没有交点，则方程组的解的情况是A . 有无数组解B . 有两组解C . 只有一组解D . 没有解2. 用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象如图所示，则所列的二元一次方程组是（）A .B .C .D .3. 如图，函数和的图象交于点P，则根据图象可得，关于x，y的二元一次方程组中的解是A .B .C .D .4. 若方程组的解为，则直线y=mx+n与y=﹣ex+f的交点坐标为（）A . （﹣4，6）B . （4，6）C . （4，﹣6）D . （﹣4，﹣6）5. 已知函数，，的图象交于一点，则值为（）．A .B .C .D .6. 以一个二元一次方程组中的两个方程作为一次函数画图象，所得的两条直线（）A . 有一个交点B . 有无数个交点C . 没有交点D . 以上都有可能7. 在直角坐标系中，若一点的纵横坐标都是整数，则称该点为整点．设k为整数，当直线y=x﹣2与y=kx+k的交点为整点时，k的值可以取（）A . 4个B . 5个C . 6个D . 7个8. 一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则下列结论中①k＜0；②a＞0；③当x＜3时，y1＜y2；④方程组的解是．正确的个数是（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个9. 若直线x+2y=2m与直线2x+y=2m+3（m为常数）的交点在第四象限，则整数m的值为（）A . -3，-2，-1，0B . -2，-1，0，1C . -1，0，1，2D . 0，1，2，310. 若方程组有无穷多组解，则2k+b2的值为（）A . 4B . 5C . 8D . 1011. 某校九年级（2）班40名同学这“希望工程”捐款，共捐款100元，捐款情况如下表：捐款（元）1234人数67表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，若设捐款2元的有x名同学，捐款3元的有y名同学，假设（x，y）是两个一次函数图象的交点，则这两个一次函数解析式分别是（）A . y=27﹣x与y=x+22B . y=27﹣x与y= x+C . y=27﹣x与y= x+33D . y=27﹣x与y= x+3312. 已知P（x，y）是平面直角坐标系上的一个点，且它的横、纵坐标是一次方程组（a为任意实数）的解，则当a变化时，点P一定不会经过（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限二、填空题13. 若二元一次方程组的解是则一次函数的图象与一次函数的图象的交点坐标为________．14. 如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是________.15. 如图，已知一次函数y=kx-b与y= x的图像相交于点A，则关于x的方程的解x=________.16. 在平面直角坐标系xOy中，二元一次方程ax+by=c的图象如图所示.则当x=3时，y的值为________.17. 若一次函数y=3x+7的图象与y轴的交点坐标满足二元一次方程﹣2x+my=18，则m的值为________．18. 若一次函数y=3x-5的图像l1与y=2x+1的图像l2相交于点P，则点P的坐标是。
一次函数与二元一次方程组
2x－y＋3=0 x－2y－3=0
的解有关 系吗?
如果有关系，请说明有怎样的关系？如果 没有关系。请说明理由？
一般地，如果两个一次函数的图象有一个交 点，那么交点的坐标就是相应的二元一次方 程组的一个解。
一次函数与二元一次方程可以相互 转化，从形式到内容它们都是统一的。
二元一次方程组的解与以这两个方 程所对应的一次函数图象的交点坐标 相对应。
解：由①得: y x 1 由②得: y 2x 1
作出图象： 观察图象得：交点(0,-1) ∴方程组的解为 x=0
y=-1
y
y=x+1
O
x
y=-2x+4
巩固练习
1、以方程2x-y=1的解为坐标的点都在一次函数
_y_=_2_x_-1_的图像上。
2、方程组
x-y=4 3x-y=16
的解是
yx==2，6 由此可知一
解： 由①得: y 2x 4
由②得: y 2 x 4 3
o
作出图象：
观察图象得：交点为(3,-2)
∴方程组的解为 x=3 y=-2
y=2/3x - 4 y
y=-2x+4
你能说一说用图像解二元一次 方程组的一般步骤吗？
写函数，作图象，找交点，下结论
练习：利用图象法解方程组：
x-y=-1 ① 2x+y=1 ②
什么？
1 (0,1)
-5 -4 -3 -2 -1 0 -1
x+y=1
y=-x+1
-x+y=1 y=x+1
1 2 3 4 5x (0,1)
参与讨论
两个一次函数关系式可以写成两个二元一次 方程的形式.一次函数y=2x＋3和y=1/2x－3/2 的图象,与相应的二元一次方程组
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11.3.3 一次函数与二元一次方程(组)
教学目标
1. 理解一次函数与二元一次方程组的关系，会用图象法解二元一次方程组；
2. 学习用函数的观点看待方程组的方法，进一步感受数形结合的思想方法；
3. 历图象法解方程组的探究过程，学习用联系的观点看待数学问题的辩证思想 教学重点
对应关系的理解及实际问题的探究建模
教学难点
二元一次方程组的解与两直线交点坐标之间的对应关系的理解
教学过程
I 提出问题，复习引新
我们已经学会了如何求一个二元一次方程组的解的方法，比如可以用代人法，也可以用加减法．我们如何用函数的观点去看待方程组的解呢?
首先，任何一个方程组都可以看成是两个一次函数的组合．比如
⎪⎩
⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=⇔=-=+125853152853x y x y y x y x ① 对于①，根据方程组解的意义和函数的观点，就是求当x 取什么数值时，两
个—次函数的y 值相等?它反映在图象上，就是求直线5
853+-=x y 和直线12-=x y 的交点坐标.
七年级下学期学习二元一次方程组时，有一个数学活动，就谈到了，求方程组的解就是求两条直线的交点坐标．
II 例题与练习
1．根据下列图象，你能说出哪些方程组的解?这些解是什么?
（1）
8
（2）
（
解：（略）
2.利用函数解方程组：
⎩⎨⎧=+=-7
2302y x y x 解：由02=-y x 可得x y 2=
由723=+y x 可得2
723+-=x y 在同一直角坐标系内作出一次函数x y 2=的图象1l 和2
723+-=x y 的图象2l ,如下图所示
4-x
1，2）
所以方程组⎩⎨⎧=+=-72302y x y x 的解为⎩
⎨⎧==21y x 3.求直线93+=x y 与直线72-=x y 的交点坐标。
你有哪些方法?；与同伴交流，并一起分析各种方法的利弊．
解法思路l ：画出图象找出交点，确定交点坐标近似值．(由于两直线斜率接近，交点的确定，因作图误差可能有较大差别)
解法思路2：由解方程组，得到交点坐标．(把形的问题归结为数的解决，便捷准确)
III 小结
（1）对应关系
(2)图象法解方程组的步骤：
①将方程组中各方程化为)b ax y +=的形式；
二元一次方程组的解 两个一次函数图的交点
②画出各个一次函数的图象；
③由交点坐标得出方程组的解．
作业
1．P45页习题11．3第5、6、9题． 第46页习题11.3第11题
2．《课堂感悟与探究》
3、已知直线k x y +=2与直线2-=kx y 的交点横坐标为2，求k 的值和交点纵坐标．
4．补充题
(1)A 、B 两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时分别从A 、B 两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶,则他们各自离A 地的距离s(千米)都是骑车时间t(时)的一次函数．1小时后乙距离A 地80千米；2小时后甲距离A 地30千米，问经过多长时间两人将相遇?
(2)求如下图所示的两直线1l 、2l 的交点坐标。
(要求结果为精确值).
2。