二次函数与二元方程、二次不等式的关系

y＝x2－x－3 y＝x＋b
消元，得 x2－x－3 ＝x＋b 消元， 整理， －（3 整理，得x2－2x －（3 ＋ b） ＝0 ∵有唯一交点 （－2 ∴（－2）2 ＋4（ 3 ＋ b） ＝0 解之得， ＝－4 解之得，b ＝－4
无法显示图像。计算机可能没有足够的内存以打开该图像，也可能是该图像已损坏。请重新启动计算机，然后重新打开该文件。如果仍然显示红色
则可能需要删除该图像，然后重新将其插入。
例题精讲 2. 判断下列二次函数图象与x轴的交点情况 判断下列二次函数图象与x ＝－2x 3x－ （1）y＝－2x2＋3x－9； ＝－ax ＋（a （2）y＝－ax2＋（a＋b）x－b（a、b为常 a≠0） 数，a≠0） 解：（1）∵ b2－4ac ＝02 －4×1×（ －1） ＞0 函数与x ∴函数与x轴有两个交点
则可能需要删除该图像，然后重新将其插入。
探究一：你的图象与x轴的交点坐标是什么？ 探究一：你的图象与x轴的交点坐标是什么？
函数y 函数y＝x2－2x－3的图象与x轴两个交点为 2x－ 的图象与x （－1 （－1，0） （ 3， 0） 方程x 2x－ 方程x2－2x－3 ＝0的两根是 x 1＝ － 1 , x2 ＝ 3 函数图象与x 函数图象与x轴交点坐标和方程的两根有什么关系 你发现了什么？ 你发现了什么？ （1）二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标 二次函数y bx＋ 就是当y 时一元二次方程ax bx＋ 就是当y＝0时一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根 （2）二次函数的交点问题可以转化为一元二次方 程
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动手操作：画出y 2x－ 动手操作：画出y＝x2－2x－3的图象
y
y＝x2－2x－3 2x－
x
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探究2 抛物线与X 探究2、抛物线与X 轴的交点个数能不能用一元 二次方程的知识来说明呢？ 二次方程的知识来说明呢？ Y b2-4ac＜0 ＜
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例题精讲 2. 判断下列二次函数与x轴的交点情况 判断下列二次函数与x ＝－2x 3x－ （1）y＝－2x2＋3x－9； ＝－ax ＋（a （2）y＝－ax2＋（a＋b）x－b（a、b为常 数，a≠0） a≠0） 解：（2） 4ac＝（ ＝（a ∵ b2－4ac＝（a＋b）2 －4× （ －a ）× （ －b） ＝（ a － b）2 ≥0 ∴函数与x轴有一个或两个交点 函数与x
x1 ＝ x2
x1 =x2 ＝－b/2a ＝－b/2a
没有实数根
x<x1或x>x2 x≠ x1的一切
实数
所有实数
x1<x<x2
无解
无解
试一试：利用函数图象解下列方程和不等式 试一试：利用函数图象解下列方程和不等式: y <1>①-x2+x+2=0; ① ②-x2+x+2>0; ③-x2+x+2<0. <2>①x2-4x+4=0; ① ②x2-4x+4>0; ③x2-4x+4<0.
温故知新
的图象与x轴的交点为 （1）一次函数 ＝x＋2的图象与 轴的交点为 ）一次函数y＝ ＋ 的图象与 （ －2 ，0 ） 一元一次方程x＋ ＝ 的根为 的根为________ 一元一次方程 ＋2＝0的根为 －2 ＝－3x＋ 的图象与 的图象与x轴的交点为 （2） 一次函数 ＝－ ＋6的图象与 轴的交点为 ） 一次函数y＝－ （ 2 ，0 ） 一元一次方程－3x＋6＝0的根为 2 一元一次方程－ ＋ ＝ 的根为________ 的根为
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例题精讲 3.二次函数y＝x2－x－3和一次函数y＝x＋b 二次函数y 和一次函数y 二次函数 有一个公共点（即相切），求出b的值. ），求出 有一个公共点（即相切），求出b的值. 由题意， 解：由题意，得
O
-1
0
2
X y= -x2+x+2 y
<3>①-x2+x-2=0; ① ②-x2+x-2>0; ③-x2+x-2<0.
y
2
x
0
X
拓广： 拓广：
• 函数 函数y=ax2+bx+c的图像如图，那么 的图像如图， 的图像如图 1）方程 2+bx+c=2的根是 ）方程ax 的根是 X1=-2; X2=4 __________; 2）不等式 2+bx+c>2的解集是 ）不等式ax 的解集是 y X<-2;X>4 _________; 3）不等式ax2+bx+c<2的解集是 ）不等式 的解集是 2 (-2,2) -2<X<4 _________;
4 3 2 1 -2 -1 o -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 5 x y
⊿=b2-4ac y=ax2+bx+c a>0） （a>0）图像
⊿>0
y
⊿＝0
y
⊿＜ y 0
X1 0
X2
x
O X1= X2 x
O
x
x
ax2+bx+c=0 a≠0） （a≠0）的根 ax2+bx+c>0 a>0） （a>0）解集 ax2+bx+c<0 a>0） （a>0）解集
27.3.实践与探索 实践与探索
27.3.2二次函数与二元方程、 27.3.2二次函数与二元方程、二次不等式的关系 二次函数与二元方程
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有两个不等的实数根 抛物线y=ax2+bx+c 抛物线 轴有两个交点——相交。 与x轴有两个交点 轴有两个交点 2、 b2-4ac =0 一元二次方程ax 、 一元二次方程 2+bx+c=0 有两个相等的实数根 抛物线y=ax2+bx+c 抛物线 轴有唯一公共点——相切（顶点）。 顶点）。 与x轴有唯一公共点 轴有唯一公共点 3、 b2-4ac ＜0 、 一元二次方程ax 一元二次方程 2+bx+c=0 没有实数根 抛物线y=ax2+bx+c 抛物线 轴没有公共点——相离。 与x轴没有公共点 轴没有公共点
b2-4ac=0
b2-4ac>0
O
X
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结论2： 结论 ： 抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由 抛物线 与 轴的交点个数可由 一元二次方程ax 的根的情况说明： 一元二次方程 2+bx+c=0的根的情况说明： 的根的情况说明 1、 b2-4ac ＞0 一元二次方程ax 、 一元二次方程 2+bx+c=0
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例题精讲
1. 求二次函数y＝x2＋4x－5与x轴的交点坐标 求二次函y 4x－ 解：令y＝0，则x2＋4x－5 ＝0 4x－ 解之得， 解之得， x1＝ －5 ,x2 ＝ 1 交点坐标为：（－ ：（－5 ）（1 ∴交点坐标为：（－5，0）（1，0） 结论一： 结论一： 若一元二次方程ax +bx+c=0的两个根是 若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2， 的两个根是x 则抛物线y=ax +bx+c与 则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标分别是 A（ X1，0 ）， B（X2，0 ）
-1 O 3
(4,2)
x
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联想：二次函数与x 联想：二次函数与x轴的交点个数可以借助判 别式解决， 别式解决，那么二次函数与一次函数的交 点个数又该怎么解决呢？ 点个数又该怎么解决呢？ 例如，二次函数y＝ 和一次函数y＝ 例如，二次函数 ＝x2－2x－3和一次函数 ＝ － 和一次函数 x＋2有交点吗？有几个？ 有交点吗？ ＋ 有交点吗 有几个？ 分析： 分析：两个函数的交点是这两个函数的公共 先列出方程组，消去y 解，先列出方程组，消去y后，再利用判别 式判断即可. 式判断即可.
则可能需要删除该图像，然后重新将其插入。
例题精讲 3.已知二次函数y=- +3x+4的图象如图 的图象如图； 3.已知二次函数y=-x2+3x+4的图象如图； 已知二次函数y= (1)方程 (1)方程-x2+3x+4=0的解 ___ 是__ x=-1,x=4 (2)不等式 +3x+4>0的解集 不等式(2)不等式-x2+3x+4>0的解集 -1<x<4 是__ __ (3)不等式-x2+3x+4<0的解集 (3)不等式- +3x+4<0的解集 不等式 是_ X<-1或x>4 或 __