2017届苏教版 函数应用 课后限时自测

课后限时自测(十二)[A 级 基础达标练]一、填空题1．(2013·湖北高考)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是________(填序号)．[解析] 距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，所以图③适合．[答案] ③2．(2013·陕西高考)在如图2-9-3所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________(m)．[解析] 设矩形花园的宽为y m ，则x 40＝ ， 图2-9-3即y ＝40－x ,形花园的面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x＝－(x －20)2＋400，当x ＝20 m 时，面积最大．[答案] 203．(2015·盐城质检)小孟进了一批水果，如果他以每斤1.2元的价格出售，那他就会赔4元；如果他以每斤1.5元的价格出售，一共可赚8元，现在小孟想将这批水果尽快出手，以不赔不赚的价格卖出，那么每千克水果应定价为________元．[解析] 设水果的成本价为x 元/斤，共有a 斤，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧(x －1.2)a ＝4，(1.5－x )a ＝8， 解得x ＝1.3.则每千克水果应定价2.6元．[答案] 2.64．(2014·泰州调研)某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t (分钟)与打出电话费s (元)的函数关系如图2-9-4，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差__ 图2-9-4[解析] 依题意可设s A (t )＝20＋kt ，s B (t )＝mt ，又s A (100)＝s B (100)，∴100k ＋20＝100m ，得k －m ＝－0.2，于是s A (150)－s B (150)＝20＋150k －150m ＝20＋150×(－0.2)＝－10，∴两种方式电话费相差10元．[答案] 105．(2014·南通模拟)从盛满20 L 纯消毒液的容器中倒出1 L ，然后用水加满，再倒出1 L ，再用水加满．这样继续下去，则所倒次数x 和残留消毒液y 之间的函数解析式为________．[解析] 所倒次数为1，则y ＝19；所倒次数为2，则y ＝19×1920，…，所倒次数为x ，则y ＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫1920x －1＝20⎝ ⎛⎭⎪⎫1920x . [答案] y ＝20⎝ ⎛⎭⎪⎫1920x6．(2014·南京模拟)某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图2-9-5)，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x ，y 应分别为______． 图2-9-5[解析] 由三角形相似，得24－y 24－8＝x 20，得x ＝54(24－y )，∴S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180，∴当y ＝12时，S max ＝180，此时x ＝15.[答案] 15,127．里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级，9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．[解析] 由题意，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则M ＝lg A －lg A 0＝lg 1 000－lg 0.001＝3－(－3)＝6.设9级地震的最大振幅是x,5级地震的最大振幅是y ，9＝lg x ＋3,5＝lg y ＋3，解得x ＝106，y ＝102.所以x y ＝106102＝10 000.[答案] 6 10 000图2-9-68．(2014·无锡模拟)某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8 m ，两侧距离地面3 m 高处各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为6 m ，如图2-9-6所示．则厂门的高约为(水泥建筑物厚度忽略不计，精确到0.1 m)________m.[解析] 建立如图所示的坐标系，于是由题设条件知抛物线的方程为y ＝ax 2(a <0)，设点A 的坐标为(4，－h )，则C (3,3－h )，将这两点的坐标代入y ＝ax 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧ －h ＝a ·42，3－h ＝a ·32，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－37，h ＝487≈6.9.所以厂门的高约为6.9 m.[答案] 6.9二、解答题9．(2014·南通模拟)经市场调查，某商品在过去100天内的日销售量和销售价格均为时间t (天)的函数，且日销售量近似满足g (t )＝－13t ＋1123(1≤t ≤100，t ∈N *)，前40天价格为f (t )＝14t ＋22(1≤t ≤40，t∈N *)，后60天价格为f (t )＝－12t ＋52(41≤t ≤100，t ∈N *)求该商品的日销售额S (t )的最大值和最小值．[解] 当1≤t ≤40，t ∈N *时，S (t )＝g (t )f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13t ＋1123⎝ ⎛⎭⎪⎫14t ＋22 ＝－112t 2＋2t ＋112×223＝－112(t －12)2＋2 5003，∴768＝S (40)≤S (t )≤S (12)＝2 5003；当41≤t ≤100，t ∈N *时，S (t )＝g (t )f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13t ＋1123⎝ ⎛⎭⎪⎫－12t ＋52 ＝16t 2－36t ＋112×523＝16(t －108)2－83，∴8＝S (100)≤S (t )≤S (41)＝1 4912.∴S (t )的最大值为2 5003，最小值为8.10．(2011·江苏高考)请你设计一个包装盒，如图2-9-7所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E ，F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE ＝FB ＝x (cm)．图2-9-7(1)若广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．[解] 设包装盒的高为h (cm)，底面边长为a (cm)，由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x 2＝2(30－x )，0<x <30. (1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1 800，∴当x ＝15时，S 取得最大值．(2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x (20－x )．由V ′＝0得，x ＝0(舍去)或x ＝20.当x ∈(0,20)时，V ′>0；当x ∈(20,30)时，V ′<0.∴当x ＝20时，V ′取得极大值，也是最大值．此时，包装盒的高与底面边长的比为h a ＝30－x x ＝12.[B 级 能力提升练]一、填空题1．(2014·福州模拟)如图2-9-8，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P 处有一颗树与两墙的距离分别是a m(0<a <12)，4 m ，不考虑树的粗细．现在用16 m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD .设此矩形花圃的面积为S m 2，S 的最大值为f (a )，若将这棵树围在花圃内，则函数u ＝f (a )的图象大致是________．图2-9-8[解析] 设CD ＝x m ，则AD ＝(16－x )m ，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧16－x >a ，x >4，解得4<x <16－a ，矩形花圃的面积S ＝x (16－x )，其最大值f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧64，0<a <8，－a 2＋16a ，8≤a <12，故其图象为③. [答案] ③2．某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y (μg)与时间t (h)之间近似满足如图2-9-9所示的曲线．图2-9-9(1)第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )＝________.(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25 μg 时，治疗有效．则服药一次后治疗有效的时间是____________h.[解析] (1)设y ＝⎩⎨⎧ kt ，0≤t ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －a ，t >1，当t ＝1时，由y ＝4得k ＝4，由⎝ ⎛⎭⎪⎫121－a ＝4得a ＝3，则y ＝⎩⎨⎧ 4t ，0≤t ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3，t >1.(2)由y ≥0.25得⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤t ≤1，4t ≥0.25或⎩⎨⎧ t >1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3≥0.25，解得116≤t ≤5，因此服药一次后治疗有效的时间是5－116＝7916(h)．[答案] (1)⎩⎨⎧ 4t ，0≤t ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3，t >1. (2)7916二、解答题图2-9-103．(2014·江苏苏州一模)如图2-9-10，在半径为30 cm 的半圆形(O 为圆心)铝皮上截取一块矩形材料ABCD ，其中点A ，B 在直径上，点C ，D 在圆周上．(1)怎样截取才能使截得的矩形ABCD 的面积最大？并求出最大面积；(2)若将所截得的矩形铝皮ABCD 卷成一个以AD 为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗)，应怎样截取，才能使做出的圆柱形罐子体积最大？并求出最大体积．[解] (1)法一：如图，连接OC .设BC ＝x ，矩形ABCD 的面积为S .则AB ＝2900－x 2，其中0<x <30.所以S ＝2x 900－x 2＝2x 2(900－x 2)≤x 2＋(900－x 2)＝900，当且仅当x 2＝900－x 2，即x ＝152时，S 取最大值为900 cm 2. 法二：连接OC .设∠BOC ＝θ，矩形ABCD 的面积为S ，则BC ＝30sin θ，OB ＝30cos θ，其中0<θ<π2.所以S ＝AB ·BC ＝2OB ·BC ＝900sin 2θ.所以当sin 2θ＝1，即θ＝π4时，S 取最大值为900 cm 2，此时BC＝15 2.所以取BC 为15 2 cm 时，矩形ABCD 的面积最大，最大值为900 cm 2.(2)设圆柱底面半径为r ，高为x ，体积为V .由AB ＝2900－x 2＝2πr ，得r ＝900－x 2π， 所以V ＝πr 2x ＝1π(900x －x 3)，其中0<x <30. 令V ′＝1π(900－3x 2)＝0，解得x ＝103，因此V ＝1π(900x －x 3)在(0,103)上是增函数，在(103，30)上是减函数．所以当x ＝103时，V 取最大值为6 0003π cm 3.。