12月28日 正、余弦定理在平面几何中的应用试题君之每日一题君高二数学(理)人教版(上学期期末复习)
正弦定理和余弦定理及应用(练习题)
正弦定理和余弦定理及应用（练习题）1、在△ABC 中，若C B A 222sin sin sin <+，则△ABC 的形状是（ ）A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、不能确定2、在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边的长分别为c b a ，，，已知c b 58=，B C 2=，则=C cos （ ）A 、257B 、257-C 、257±D 、2524 3、在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边的长分别为c b a ，，，若2222c b a =+，则C cos 的最小值为（ ）4、在△ABC 中，若41cos 72-==+=B c b a ，，，则=b ． 5、设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为c b a ，，，若))((c b a c b a ++-+ ab =，则角C= ．6、设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为c b a ，，，且53c o s =A ，135cos =B ， ==c b ，则3 ．7、已知△ABC 的三边长成公比为2的等比数列（即b c a b 22==，），则其最大角的余弦值为 ．8、在相距2千米的A 、B 两点处测量目标点C ，若075=∠CAB ，060=∠CBA ，则A 、C 两点之间的距离为 千米．9、在△ABC 中，已知BC BA AC AB →∙→=→∙→3．（1）求证：A B tan 3tan =；（2）若55cos =C ，求A 的值．10、已知c b a ，，分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，-+C a C a sin 3cos 0=-c b（1）求A ；（2）若2=a ，△ABC 的面积为3，求c b ，．11、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为c b a ，，．已知4π=A ，sin(ba B c c =+-+)4sin()4ππ．（1）求证：2π=-C B ;（2）若2=a ，求△ABC 的面积．12、某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西030且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里每小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里每小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里每小时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．正弦定理和余弦定理及应用（答案）1、C2、A3、C4、45、32π 6、514 7、42- 8、69、（1）略 （2）A=04510、（1）3π （2）2=c ，2=b 11、（1）略 （2）21 12、（1）330 （2）航行方向为北偏东030，航行速度为30海里每小时。
高二数学余弦定理试题答案及解析
高二数学余弦定理试题答案及解析1.在中，若，则的形状是 ( )A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定【答案】A．【解析】由，结合正弦定理可得，，由余弦定理可得，所以．所以是钝角三角形．【考点】余弦定理的应用；三角形的形状判断．2.在中,角、、的对边分别为、、,且,.（1）求的值；（2) 设函数,求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由，可知，又，代入余弦定理即可求的值；（2）由(1)得，，由两角和的正弦即可.（1）因为，所以，又，所以(2)由(1)得，所以.【考点】余弦定理，两角和的正弦3.在中,角所对的边分别为,已知,,,求.【答案】【解析】该题为在中求余弦,而三角形中求边或是求角一般都使用正弦定理以及余弦定理解决；本题中，已知两边以及一角，所以使用余弦定理求第三边 ,再根据三边，利用余弦定理求.试题解析：由余弦定理得：，∴，.【考点】余弦定理.4.在中，，则（）．A．B．C．D．【解析】，因为，所以。
【考点】余弦定理。
5.如图，正三棱锥S—ABC中，∠BSC=40°，SB=2，一质点从点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为（）A．2B．3C．D．【答案】C【解析】沿将棱锥剪开另一点用表示，则。
质点的最短路线为线段，在中，，所以。
故C正确。
【考点】1余弦定理；2转化思想。
6.已知、、为的三内角，且其对边分别为、、，若．（1）求；（2）若，求的面积．【答案】(1) (2)【解析】(1)利用两角和与差的余弦公式,得出,从而得出得值,进一步得出的值.(2) 先利用余弦定理求出的值,然后利用三角形面积公式得出的面积.试题解析：(1)2分又6分(2)由余弦定理得 9分即:11分14分【考点】余弦定理及三角形面积公式.7.边长为的三角形的最大角与最小角的和是（）A．B．C．D．【解析】设中间角为, 则【考点】解斜三角形，余弦定理.8.的内角的对边分别为．若成等比数列，且，则( ) A．B．C．D．【答案】C【解析】因为成比数列，所以有，且，由余弦定理推论，故正确答案是C.【考点】1.余弦定理；2.等比数列.9.△ABC中B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC的面积为。
高中数学第六章平面向量及其应用-余弦定理、正弦定理应用举例课件及答案
由正弦定理得sin∠AMMCA＝sin∠ACAMC，即1
200＝AC，解得 23
AC＝600
6(m)．
22
在△ACD 中，∵tan∠DAC＝CADC＝ 33，
∴CD＝600 6× 33＝600 2(m)．
答案：600 2
题型三 测量角度问题 【学透用活】
[典例 3] 如图，工程师为了了解某深水港码头海域 海底的构造，在海平面内一条直线上的 A，B，C 三点进 行测量．已知 AB＝60 m，BC＝120 m，于 A 处测得水深 AD＝120 m，于 B 处测得水深 BE＝200 m，于 C 处测得 水深 CF＝150 m，则 cos∠DEF＝________.
题型二 测量高度问题 [探究发现] (1)求解高度问题时理解哪些角是关键？ 提示：在处理有关高度问题时，理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的
角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键． (2)求解高度问题时应怎样分析？ 提示：在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，
这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚 又不容易搞错．
[解析] 如图所示，作 DM∥AC 交 BE 于 N，交 CF 于 M，作 FH∥AC 交 BE 于 H.由题中所给数据得
DF＝ MF2＋DM2＝ 302＋1802 ＝10 333(m)， DE＝ DN2＋EN2＝ 602＋802＝100(m)， EF＝ EH2＋FH2＝ 502＋1202＝130(m)． 在△DEF 中，由余弦定理的推论，得 cos∠DEF＝DE22×＋DEEF×2－EDFF2 ＝1002＋2×1310020－×11032×0 333＝－1665. [答案] －1665
[方法技巧] (1)测量角度与追及问题主要是指在海上、空中或陆地进行测量或计算角 度，确定目标的方位，观察某一物体的视角等问题． (2)解决它们的关键是根据题意和图形以及相关概念，确定所求的角或距 离在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量．通常是根据题 意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到 所求的量，从而得到实际问题的解．
高考数学《正弦定理、余弦定理及解三角形》真题练习含答案
高考数学《正弦定理、余弦定理及解三角形》真题练习含答案一、选择题1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若a ＝2 ，b ＝3 ，B ＝π3，则A ＝( )A ．π6B ．56 πC ．π4D ．π4 或34 π答案：C解析：由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，∴sin A ＝a sin B b ＝2×323＝22 ，又a <b ，∴A为锐角，∴A ＝π4.2．在△ABC 中，b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定 答案：C解析：由正弦定理b sin B ＝c sin C ，∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220 ＝3 >1，∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，c ＝7 ，则角C ＝( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2答案：C解析：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4＋9－72×2×3 ＝12，又C 为△ABC 内角，∴C ＝π3 .4．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( )A ．12 B ．1 C ．3 D ．2答案：C解析：由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴2cos A ＝1，cos A ＝12 ，∴sin A ＝1－cos 2A ＝32 ，∴S △ABC ＝12 bc sin A ＝12 ×4×32＝3 . 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23，则b ＝( )A.14 B ．6 C ．14 D ．6 答案：D解析：∵b sin A ＝3c sin B ，由正弦定理得ab ＝3bc ，∴a ＝3c ，又a ＝3，∴c ＝1，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝9＋1－2×3×23＝6，∴b ＝6 .6．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 答案：B解析：∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，∴sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin A ＝1，又A 为△ABC 的内角，∴A ＝90°，∴△ABC 为直角三角形．7．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2 ，则AC ＝( )A ．5B ．5C ．2D ．1 答案：B解析：∵S △ABC ＝12 AB ×BC ×sin B ＝22 sin B ＝12 ，∴sin B ＝22，若B ＝45°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos 45°＝1＋2－2×2 ×22 ＝1，则AC ＝1，则AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不合题意；当B ＝135°时，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 135°＝1＋2＋2×2 ×22＝5，∴AC ＝5 .8．如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．502 mB ．503 mC ．252 mD ．2522m答案：A解析：由正弦定理得AC sin B ＝ABsin C，∴AB ＝AC ·sin Csin B ＝50×22sin （180°－45°－105°） ＝502 .9．[2024·全国甲卷(理)]记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝60°，b 2＝94ac ，则sin A ＋sin C ＝( )A ．32 B ．2C ．72D ．32答案：C解析：∵b 2＝94 ac ，∴由正弦定理可得sin 2B ＝94sin A sin C ．∵B ＝60°，∴sin B ＝32 ，∴34 ＝94 sin A sin C ，∴sin A sin C ＝13.由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，将b 2＝94 ac 代入整理得，a 2＋c 2＝134ac ，∴由正弦定理得sin 2A ＋sin 2C ＝134 sin A sin C ，则(sin A ＋sin C )2＝sin 2A ＋sin 2C ＋2sin A sin C ＝134 sin A sin C＋2sin A sin C ＝214 sin A sin C ＝214 ×13 ＝74 ，∴sin A ＋sin C ＝72 或－72(舍).故选C.二、填空题10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，则B ＝________．答案：23π解析：由(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac 得a 2＋c 2－b 2＋ac ＝0.由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12 ，又B 为△ABC 的内角，∴B ＝23π.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝a cos B ，①则A ＝________；②若sin C ＝13，则cos (π＋B )＝________．答案：①90° ②－13解析：①∵c ＝a ·cos B ，∴c ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac，得a 2＝b 2＋c 2，∴∠A ＝90°；②∵cos B ＝cos (π－A －C )＝sin C ＝13 .∴cos (π＋B )＝－cos B ＝－sin C ＝－13 .12．[2023·全国甲卷(理)]在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6 ，∠BAC 的角平分线交BC 于D ，则AD ＝________．答案：2 解析：方法一 由余弦定理得cos 60°＝AC 2＋4－62×2AC ，整理得AC 2－2AC －2＝0，得AC＝1＋3 .又S △ABC ＝S △ABD ＋S △ACD ，所以12 ×2AC sin 60°＝12 ×2AD sin 30°＋12 AC ×AD sin30°，所以AD ＝23AC AC ＋2 ＝23×（1＋3）3＋3＝2.方法二 由角平分线定理得BD AB ＝CD AC ，又BD ＋CD ＝6 ，所以BD ＝26AC ＋2，CD ＝6AC AC ＋2 .由角平分线长公式得AD 2＝AB ×AC －BD ×CD ＝2AC －12AC（AC ＋2）2 ，又由方法一知AC ＝1＋3 ，所以AD 2＝2＋23 －12×（1＋3）（3＋3）2＝2＋23 －(23 －2)＝4，所以AD ＝2.[能力提升]13．(多选)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝8，b <4，c ＝7，且满足(2a －b )cos C ＝c ·cos B ，则下列结论正确的是( )A ．C ＝60°B ．△ABC 的面积为63 C ．b ＝2D ．△ABC 为锐角三角形 答案：AB解析：∵(2a －b )cos C ＝c cos B ，∴(2sin A －sin B )cos C ＝sin C cos B ，∴2sin A cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ，即2sin A cos C ＝sin (B ＋C )，∴2sin A cos C ＝sin A ．∵在△ABC 中，sin A ≠0，∴cos C ＝12 ，∴C ＝60°，A 正确．由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得49＝64＋b 2－2×8b cos 60°，即b 2－8b ＋15＝0，解得b ＝3或b ＝5，又b <4，∴b ＝3，C 错误．∴△ABC 的面积S ＝12 ab sin C ＝12 ×8×3×32 ＝63 ，B 正确．又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝9＋49－642×3×7<0，∴A 为钝角，△ABC 为钝角三角形，D 错误． 14．[2023·全国甲卷(理)]已知四棱锥P ABCD 的底面是边长为4的正方形，PC ＝PD ＝3，∠PCA ＝45°，则△PBC 面积为( )A ．22B ．32C ．42D ．62 答案：C解析：如图，过点P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，取DC 的中点M ，AB 的中点N ，连接PM ，MN ，AO ，BO .由PC ＝PD ，得PM ⊥DC ，又PO ⊥DC ，PO ∩PM ＝P ，所以DC ⊥平面POM ，又OM ⊂平面POM ，所以DC ⊥OM .在正方形ABCD 中，DC ⊥NM ，所以M ，N ，O 三点共线，所以OA ＝OB ，所以Rt △P AO ≌Rt △PBO ，所以PB ＝P A .在△P AC 中，由余弦定理，得P A ＝PC 2＋AC 2－2PC ·AC cos 45° ＝17 ，所以PB ＝17 .在△PBC 中，由余弦定理，得cos ∠PCB ＝PC 2＋BC 2－BP 22PC ·BC ＝13 ，所以sin ∠PCB ＝223 ，所以S △PBC ＝12 PC ·BCsin ∠PCB ＝42 ，故选C.15．[2022·全国甲卷(理)，16]已知△ABC 中，点D 在边BC 上，∠ADB ＝120°，AD ＝2，CD ＝2BD .当ACAB取得最小值时，BD ＝________．答案：3 －1解析：以D 为坐标原点，DC 所在的直线为x 轴，DC →的方向为x 轴的正方向，过点D 且垂直于DC 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，易知点A 位于第一象限．由AD ＝2，∠ADB ＝120°，得A (1，3 ).因为CD ＝2BD ，所以设B (－x ，0)，x ＞0，则C (2x ，0).所以AC＝（2x －1）2＋（0－3）2＝4x 2－4x ＋4，AB ＝（－x －1）2＋（0－3）2＝x 2＋2x ＋4 ，所以⎝⎛⎭⎫AC AB 2＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4.令f (x )＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4，x ＞0，则f ′(x )＝（4x 2－4x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（x 2＋2x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）2＝（8x －4）（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（2x ＋2）（x 2＋2x ＋4）2＝12（x 2＋2x －2）（x 2＋2x ＋4）2 ．令x 2＋2x －2＝0，解得x ＝－1－3 (舍去)或x ＝3 －1.当0＜x ＜3 －1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0，3 －1)上单调递减；当x ＞3 －1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(3 －1，＋∞)上单调递增．所以当x ＝3 －1时，f (x )取得最小值，即ACAB 取得最小值，此时BD ＝3 －1.16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且6S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C ＝________．答案：125解析：由余弦定理得2ab cos C ＝a 2＋b 2－c 2，又6S ＝(a ＋b )2－c 2，所以6×12 ab sin C ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝2ab cos C ＋2ab ，化简得3sin C ＝2cos C ＋2，结合sin 2C ＋cos 2C ＝1，解得sin C ＝1213 ，cos C ＝513 ，所以tan C ＝125.。
高二数学余弦定理试题答案及解析
高二数学余弦定理试题答案及解析1.在中，若，则的形状是 ( )A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定【答案】A．【解析】由，结合正弦定理可得，，由余弦定理可得，所以．所以是钝角三角形．【考点】余弦定理的应用；三角形的形状判断．2.在中，分别是角所对的边，且满足．(1) 求的大小；(2) 设向量，求的最小值．【答案】(1) ；（2）．【解析】（1）利用余弦定理可求得的值，从而求得；（2）利用向量的坐标运算可求得，从而可求得的最小值．(1)∵，∴．又∵，∴．（2），∵，∴．∴当时，取得最小值为．【考点】1、余弦定理；2、平面向量的坐标运算；3、二次函数的值域．3.已知中的对边分别为若且，则( )A．2B．4＋C．4—D．【答案】A【解析】解三角形问题，已知两边一角，求第三边，可用余弦定理.因为，，所以【考点】余弦定理4.如图，正三棱锥S—ABC中，∠BSC=40°，SB=2，一质点从点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为（）A．2B．3C．D．【答案】C【解析】沿将棱锥剪开另一点用表示，则。
质点的最短路线为线段，在中，，所以。
故C正确。
【考点】1余弦定理；2转化思想。
5.如图所示，已知两座灯塔A、Ｂ与海洋观测站Ｃ的距离都等于，灯塔A在观测站Ｃ的北偏东，灯塔Ｂ在观测站Ｃ的南偏东,则灯塔A与灯塔Ｂ的距离为（）A． B． C．Ｄ．【答案】C【解析】如图可知，根据余弦定理可得，故选C.【考点】1.余弦定理的应用；2.解斜三角形.6.若2x，2x+1，3x+3是钝角三角形的三边，则实数x的取值范围是 ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】当三边能构成三角形时。
所以最长边为，若三角形为钝角三角形则边长为的边所对的角的余弦值小于0即，整理得，解得或。
所以B正确。
【考点】1三角形两边之和大于第三遍；2余弦定理。
7.中，在边上，且，，，，则的长等于．【答案】【解析】在中，,.在中,由余弦定理:=.【考点】1余弦定理；2、勾股定理；三角形内角和定理.8.△ABC中, ∠A，∠B，∠C所对的边分别为a, b, c.若,∠C=, 则边 c 的值等于（）A．5B．13C．D．【答案】C【解析】利用余弦定理可得:故选C【考点】解三角形,余弦定理的应用.9.椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，的小大为．【答案】1200.【解析】因为=3，，=4.又因为.所以在三角形中..故填1200.本题是椭圆的定义与解三角形知识的应用.【考点】1.椭圆的定义.2.余弦定理用于解三角形.10.在△中，三边、、所对的角分别为、、，若，则角的大小为．【答案】【解析】利用余弦定理变形得到.又因为所以所以【考点】余弦定理11.在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则的值为( )A．79B．69C．5D．-5【答案】D【解析】本题容易误将看作是向量与的夹角．由余弦定理知,根据向量数量积的定义知．【考点】余弦定理和向量的数量积12.在中，下列关系式不一定成立的是（）。
余弦定理在立体几何中的妙用
余弦定理在立体几何中的妙用1.引言1.1 概述余弦定理是立体几何中一项非常重要且妙用广泛的定理，它是三角形中的一个关键定理。
通过利用余弦定理，我们可以解决各种与三角形有关的问题，如计算边长、角度，判断三角形的形状等。
此外，余弦定理还能够拓展到解决立体几何问题中，为我们提供了解决空间中的各种几何难题的有力工具。
在本文中，我们将分析余弦定理的定义和公式，并重点讨论它在解决立体几何问题中的应用。
通过具体的例子和推导过程，我们将展示余弦定理的实际运用，并探讨其背后的原理和逻辑。
在接下来的章节中，我们将首先介绍余弦定理的定义和公式，以便读者了解其基本概念和数学表达方式。
然后，我们将探讨余弦定理在三角形中的应用，并通过实际问题进行演示和解答。
最后，我们将详细讨论余弦定理在解决立体几何问题中的妙用，并总结其优势和适用范围。
通过本文的阅读，读者将能够深入了解余弦定理在立体几何中的妙用，掌握利用余弦定理解决各类几何问题的方法和技巧。
希望本文能够为读者提供灵感和启示，帮助读者更好地应用余弦定理解决实际问题，进一步提升他们在几何学领域的知识和能力。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以按照以下方式进行编写：文章结构部分主要介绍了本文的整体结构，帮助读者了解文章的大致内容安排。
本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分概述了本文的主题和目的。
本文通过讨论余弦定理在立体几何中的应用，旨在探讨余弦定理在解决立体几何问题中的妙用。
引言部分也简要介绍了本文的结构，包含了概述、文章结构和目的三个小节。
正文部分是本文的主要内容，主要分为两个小节进行阐述。
首先是2.1节，介绍了余弦定理的定义和公式。
该部分将详细介绍余弦定理的概念和公式表达，为后续的应用部分做好准备。
接着是2.2节，重点探讨了余弦定理在三角形中的应用。
通过具体的例子和推理，阐述了余弦定理在解决三角形内角、边长关系等问题中的作用。
结论部分总结了本文的主要观点和内容，给出了余弦定理在解决立体几何问题中的妙用。
(整理)正余弦定理综合应用
以与角 A 的围解得角 A,再利用余弦定理和基本不等式进行求解．
试
题
解
析
：
（
1
）
f
x
cos
2
x
4 3
2cos
2
x
cos2
xcos
4 3
sin2xsin
4 3
1
cos2x
1 cos2x 2
3 2
sin2x
1
cos
2x
3
1
f x 的最大值为 2．
要使 f
x 取最大值，
cos
2x
（2）设
，利用正弦定理和外接圆直径为 2，建立边和角的对应关系；再
利用降幂公式，把 A、B 化成 α 的表达式；利用角 α 的取值围即可求出
的取值围。
详解：（1）由 即 （2）由 ，设 则 则
得 ，则
，即
，即 .
即
由
，
则
∴
∴
，
故
的取值围是 .
点睛：本题综合考查了三角函数和差公式、正弦定理、降幂公式的综合应用，结合知识点
1 2
，解方程可得 c 的值；(2)先根据正弦定理用 表
示表示边
AC
2sin ,
BC
2sin
3
，再利用两角差正弦公式与配角公式将周长函数
转化为基本三角函数
2sin
3
3 ，最后根据 围与正弦函数性质求最大值.
试 题 解 析 ： (1) a,b, c 成 等 差 数 列 ， 且 公 差 为 2,a c 4,b c 2 ， 又
试题解析：（1）因为
，由正弦定理得
，即
，
则
根据余弦定理得
人教版高中数学必修5正弦定理和余弦定理测试题及答案
人教版高中数学必修5正弦定理和余弦定理测试题及答案一、选择题1．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边别离是a ，b ，c ，假设a ＝2，b ＝3，cos C ＝－41，那么c 等于( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 2．在△ABC 中，假设BC ＝2，AC ＝2，B ＝45°，那么角A 等于( )(A)60° (B)30° (C)60°或120° (D)30°或150°3．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边别离是a ，b ，c ，已知B ＝30°，c ＝150，b ＝503，那么那个三角形是( )(A)等边三角形(B)等腰三角形 (C)直角三角形(D)等腰三角形或直角三角形4．在△ABC 中，已知32sin ,53cos ==C B ，AC ＝2，那么边AB 等于( ) (A )45 (B)35 (C)920 (D)512 5．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边别离是a ，b ，c ，若是A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，那么a ∶b ∶c 等于( ) (A)1∶2∶3 (B)1∶3∶2 (C)1∶4∶9 (D)1∶2∶3二、填空题6．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边别离是a ，b ，c ，假设a ＝2，B ＝45°，C ＝75°，那么b ＝________.7．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边别离是a ，b ，c ，假设a ＝2，b ＝23，c ＝4，那么A ＝________.8．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边别离是a ，b ，c ，假设2cos B cos C ＝1－cos A ，那么△ABC 形状是________三角形.9．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边别离是a ，b ，c ，假设a ＝3，b ＝4，B ＝60°，那么c ＝________.10．在△ABC 中，假设tan A ＝2，B ＝45°，BC ＝5，那么 AC ＝________.三、解答题11．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边别离是a ，b ，c ，假设a ＝2，b ＝4，C ＝60°，试解△ABC .12．在△ABC中，已知AB＝3，BC＝4，AC＝13.(1)求角B的大小；(2)若D是BC的中点，求中线AD的长.13．如图，△OAB的极点为O(0，0)，A(5，2)和B(－9，8)，求角A的大小.14．在△ABC中，已知BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－23x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1.(1)求角C的度数；(2)求AB的长；(3)求△ABC的面积.参考答案一、选择题1． C 2．B 3．D 4． B 5．B提示：4．由正弦定理，得sin C ＝23，因此C ＝60°或C ＝120°， 当C ＝60°时，∵B ＝30°，∴A ＝90°，△ABC 是直角三角形；当C ＝120°时，∵B ＝30°，∴A ＝30°，△ABC 是等腰三角形.5．因为A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，因此A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°， 由正弦定理Cc B b A a sin sin sin ==＝k ， 得a ＝k ·sin30°＝21k ，b ＝k ·sin60°＝23k ，c ＝k ·sin90°＝k ， 因此a ∶b ∶c ＝1∶3∶2.二、填空题6．362 7．30° 8．等腰三角形 9．2373+ 10．425 提示：8．∵A ＋B ＋C ＝π，∴－cos A ＝cos(B ＋C ).∴2cos B cos C ＝1－cos A ＝cos(B ＋C )＋1， ∴2cos B cos C ＝cos B cos C －sin B sin C ＋1，∴cos(B －C )＝1，∴B －C ＝0，即B ＝C .9．利用余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 10．由tan A ＝2，得52sin =A ，依照正弦定理，得ABC B AC sin sin =，得AC ＝425. 三、解答题11．c ＝23，A ＝30°，B ＝90°.12．(1)60°；(2)AD ＝7.13．如右图，由两点间距离公式，得OA ＝29)02()05(22=-+-， 同理得232,145==AB OB .由余弦定理，得cos A ＝222222=⨯⨯-+AB OA OB AB OA ，∴A＝45°.14．(1)因为2cos(A ＋B )＝1，因此A ＋B ＝60°，故C ＝120°.(2)由题意，得a ＋b ＝23，ab ＝2，又AB 2＝c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－2ab －2ab cos C＝12－4－4×(21)＝10. 因此AB ＝10. (3)S △ABC ＝21ab sin C ＝21·2·23＝23.。
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12月28日 正、余弦定理在平面几何中的应用 高考频度：★★☆☆☆ 难易程度：★★☆☆☆
典例在线
如图，在ABC △中，点D 在边BC 上，4CAD π∠=，72AC =，2cos 10
ADB ∠=-． （1）求sin C ∠的值；
（2）若ABD △的面积为7，求AB 的长．
【参考答案】（1）
4
5
；（2）37． 【试题解析】（1）因为2cos 10ADB ∠=-，所以72
sin 10
ADB ∠=， 又4CAD π∠=
，所以4
C ADB π
∠=∠-， 所以722224sin sin()sin cos
cos sin 4441021025
C ADB ADB ADB π
ππ∠=∠-=∠-∠=⨯+⨯=．
【名师点睛】（1）几何中的长度、角度的计算通常转化为三角形中边长和角的计算，这样就可以利用正、
余弦定理解决问题．解决此类问题的关键是构造三角形，把已知和所求的量尽量放在同一个三角形中． （2）在三角形的面积公式中111
sin sin sin 222
S ab C bc A ac B =
==是最常用的，因为公式中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来．
（3）此类问题求解时，一般有如下思路：①把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形中利用正弦、余弦定理求解；②寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．
（4）做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的性质等，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解题．
学霸推荐
1．在ABC △中，已知120BAC ∠=︒，AD 为角A 的平分线，2AC =，4AB =，则AD 的长是 A ．
4
3
B ．4
3
或2 C ．1或2
D ．83
2．如图，在四边形ABCD 中，ABD △，BCD △分别是以AD BD 和为底的等腰三角形，其中1AD =，
4BC =，ADB CDB ∠=∠，则AC =________________．
1．【答案】A
【解析】如图，由题可得60DAC DAB ∠=∠=︒，因为2AC =，4AB =，ACD ABD ABC S S S +=△△△，所以
131313
2424222222
AD AD ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯⨯
，解得43AD =，故选A ．
2．【答案】26
所以在BCD △中，1cos 4CDB ∠=，所以2
7cos 2cos 18
ADC COB ∠=∠-=-， 在ACD △中，22222
72cos 41241248
AC AD DC AD DC ADC =+-⋅⋅∠=++⨯⨯⨯=，
所以26AC =．。