正余弦定理及面积
余弦定理及三角形面积公式
余弦定理及三角形面积公式关键信息项：1、余弦定理的表述及推导过程2、三角形面积公式的表述及推导过程3、余弦定理与三角形面积公式的关系4、应用余弦定理和三角形面积公式的条件和限制5、示例说明余弦定理和三角形面积公式的实际应用11 余弦定理111 余弦定理表述：对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
即对于三角形ABC，若边 a、b、c 分别对应角 A、B、C，则有：a²＝ b²＋ c² 2bc·cosAb²＝ a²＋ c² 2ac·cosBc²＝ a²＋ b² 2ab·cosC112 推导过程：以三角形 ABC 为例，通过向量的方法进行推导。
设向量 AB ＝ c，向量 AC ＝ b，则向量 BC ＝ a ＝ b c。
则有：a²＝（b c)²＝ b²＋ c² 2b·c因为 b·c ＝｜b|·｜c|·cosA，所以 a²＝ b²＋ c² 2|b|·｜c|·cosA113 作用：可以用于求解三角形的边长、角度等问题。
12 三角形面积公式121 常见的三角形面积公式表述：1、面积＝ 1/2 ×底 ×高2、面积＝√s(s a)（s b)（s c)，其中 s ＝（a ＋ b ＋ c) ／ 2 （海伦公式）122 推导过程：对于“面积＝ 1/2 ×底 ×高”，可以通过作三角形的高来证明。
对于海伦公式，首先根据余弦定理求出角的余弦值，再利用三角函数关系求出正弦值，进而推导得出。
123 作用：可以方便地计算三角形的面积。
13 余弦定理与三角形面积公式的关系131 利用余弦定理可以求出三角形的边长和角度，进而为使用三角形面积公式提供必要的条件。
解三角形(正弦定理、余弦定理、三角形面积公式)
授课班级：13级1班 授课时间：15年12月1日
2019年7月4日9时48分
1
余弦定理、正弦定理和三角形面积公 式
夯基释疑
概要
考点突破
考点一 考点二
例 1 训练1 例 2 训练2
课堂小结
考点三
例 3 训练3
2019年7月4日9时48分
2
夯基释疑
熟记公式是本节的基本要求。
所以sin A=
3=
3
3
3 2 1
12
12
12
2
因为a b，所以0 ∠A 2 ，则∠A= ，
3
6
因为∠C= 2
63 6
所以S
1 ABC = 2 ab sin C
14 2
3 12 1 12 2
3
2019年7月4日9时48分
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余弦定理、正弦定理和三角形面积公 式
夯基释疑
概要
考点突破
考点一 考点二
例 1 训练1 例 2 训练2
课堂小结
考点三
例 3 训练3
2019年7月4日9时48分
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考点突破 考点三 三角形面积公式的应用
【例3】（2013年高考题）在△ABC中，a 3，b=4，c= 37， 则△ABC的面积是 _________ .
解析
a2 b2 c2 9 16 37 1
21
请完成《学海领航课堂训练》
2019年7月4日9时48分
22
SUCCESS
THANK YOU
2019/7/4
5
所以cosA 1 ( 4)2 3 ,
5
正余弦定理、三角形的一些公式
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin A sin B sinC 2R （R为外接圆的半径）变形有: a 2Rsin A b 2Rs inB c 2Rs inC三角形的面积公式:SABC s"A島sin Bb2Rs"C 2R1 1absinC acsin B2 21bcsin A2余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
即变形有:cosA22bccosA b■ 2 2 2b c a2bccosB2accosB2 2 ■ 2a c b2aca2b22abcosC2 ■ 2 2 a b c cosC -2ab判断三角形的形状:2 a2 a2 a b2b2b22 c2 c2 , 2c ,bABC为钝角三角形ABC为直角角三角形2a2 2c ,c a2b2,ABC为锐角三角形三角形中有:ABC中 (1) sin(A⑵若A、B)B、si nCC成等差数列,cos(A两角和差的正余弦公式及两角和差正切公式sin sin cos cos sin cos( cos cos sin sin tantan tan二倍角公式:半角公式: sin 2tan 2tan tan2sin cos2 tan1 tan2aB） cosC ta n（A B）a、b、c成等比数列，则该三角ta nC形为正三角形sincostancos2 cos21 2si n222cos字〈正员磅所在的象限炖件（正负涉在刚沁）sin coscos costan tancos sinsin sin1 tan tansin 2现货原油R6008mxehUmG。
余弦定理公式大全
正弦、余弦定理 解斜三角形建构知识结构1．三角形基本公式：（1）内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,cos2C =sin 2B A +, sin 2C =cos 2B A + （2）面积公式：S=21absinC=21bcsinA=21casinBS= pr =))()((c p b p a p p --- (其中p=2cb a ++, r 为内切圆半径)（3）射影定理：a = b cos C + c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A 2．正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===外 证明：由三角形面积111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===得sin sin sin a b c A B C==画出三角形的外接圆及直径易得：2sin sin sin a b cR A B C===3．余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA , 222cos 2b c aA bc+-=；证明：如图ΔABC 中，sin ,cos ,cos CH b A AH b A BH c b A ===-22222222sin (cos )2cos a CH BH b A c b A b c bc A=+=+-=+-当A 、B 是钝角时，类似可证。
正弦、余弦定理可用向量方法证明。
要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题． 4．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；有三种情况：bsinA<a<b 时有两解；a=bsinA 或a=b 时有 解；a<bsinA 时无解。
5．利用余弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。
正余弦定理公式总结
正余弦定理公式总结1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b c R C===A B ． 2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C++===A +B +A B ． 3、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ． 4、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ， 2222cos c a b ab C =+-．5、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222cos 2a b c C ab+-=． 6、设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C =o ； ②若222a b c +>，则90C <o ；③若222a b c +<，则90C >o ．典型综合练习：1.在△ABC 中，A ＝60°，B ＝75°，a ＝10，求c2.已知a ，b ，c 是△ABC 三边之长，若满足等式(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，求角C 的大小为3．在△ABC 中，已知sin A cos B ＝sin C ，判断△ABC 为什么三角形4．若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC 为什么三角形5．△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为多少6．在△ABC 中，2b ＝a ＋c ，∠B ＝30°，△ABC 的面积为32，那么b 值为7．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3， A ＋C ＝2B ，求sin A8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，求角A 的大小9．设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，且3b 2＋3c 2－3a 2＝42bc .(1)求sin A 的值；(2)求2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫B ＋C ＋π41－cos 2A 的值．10．已知平面四边形ABCD 中，△BCD 为正三角形，AB ＝AD ＝1，∠BAD ＝θ，记四边形的面积为S .(1)将S 表示为θ的函数， (2)求S 的最大值及此时θ的大小．11.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,3a b c B π=，4cos ,35A b ==.（Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）求ABC ∆的面积.12.在ABC ∆中，内角A ，B,C 对边的边长分别是a,b,c ,已知c =2,C =3π. (Ⅰ)若ABC ∆的面积等于3，求a,b ；(Ⅱ)若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC ∆的面积.13.在⊿ABC 中，BC=5，AC=3，sinC=2sinA(I) 求AB 的值：(II) 求sin 24A π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值。
利用正余弦定理解决三角形面积问题(典型例题+跟踪训练)【解答题抢分专题】备战2023年高考数学
【解答题抢分专题】备战2023年高考数学解答题典型例题+跟踪训练（新高考通用）专题02利用正余弦定理解决三角形面积问题目录一览一、梳理必备知识二、基础知识过关三、典型例题讲解四、解题技巧实战五、跟踪训练达标六、高考真题衔接1.正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===.（其中R 为ABC ∆外接圆的半径）2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C ⇔===（边化角）sin ,sin ,sin ;222a b c A B C R R R⇔===（角化边）2.余弦定理：222222222cos 2cos 2cos .2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩⇒2222222222cos ,2cos ,2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩3.三角形面积公式：B ac A bcC ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆=12++为三角形ABC 的内切圆半径一、梳理必备知识4.三角形内角和定理：在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+.【常用结论】①在ABC ∆中，sin sin ;a b A B A B >⇔>⇔>②sin 2sin 2,.2A B A B A B π==+=则或③在三角函数．．．．中，sin sin A B A B >⇔>不成立。
但在三角形．．．中，sin sin A B A B >⇔>成立一、单选题1．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =c =，30B =︒，则ABC 的面积为（）．A．2B ．4C ．2D ．42．已知在ABC 中，4AB =，3AC =，cos 2A =，则ABC 的面积为（）A ．3B ．C ．6D ．3．在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，2,,sin 2sin 3c A B C ===，则ABC 的面积为（）A B ．C ．2D ．4【答案】B【分析】由正弦定理求得24b c ==，利用面积公式进行求解.【详解】由正弦定理得：24b c ==，二、基础知识过关4．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知22230,=︒+-=A b c a ABC 的面积为（）A ．12B C ．1D ．25．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为π3A =，b c +==a （）A ．B ．5C ．8D ．6．在ABC 中，已知3a =，c =60C =︒，则ABC 的面积为（）A B C D3二、填空题7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，b ＝1，1cos 3C =，则△ABC 的面积为______．【答案】38．在ABC 中，设a 、b 、c 分别是三个内角A 、B 、C 所对的边，2b =，1c =，面积12ABC S ∆=，则内角A 的大小为__．9．在△ABC 中，若7a =，3b =，8c =，则△ABC 的面积等于______________．【技巧实战1】1．记ABC 中角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2A B =，32b c =.(1)求tan tan CB；(2)若ABC的周长为5ABC 的面积.2．已知ABC 的内角A 、B ，C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos 1cos 2A +=-．（Ⅰ）求角A 的值．（Ⅱ）若ABC 的面积为()7b c b c +=>，求a 的值．四、解题技巧实战3．ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且有()sin 20C A B +=.(1)求角C ；(2)当4a =，c =时，求ABC 的面积.1．（2022春·广西南宁·高一校考阶段练习）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若222b c a bc +=+，且8bc =，五、跟踪训练达标（1）求角A.（2）求△ABC 的面积.2．（2023·高一单元测试）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin cos a C A ．（1）求角A ．（2）若a =2c =求△ABC 的面积．3．（2023秋·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考期末）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量()cos ,cos m A B = ，(),2n a c b =- ，且//m n．（1）求角A 的大小；（2）若4a b ==，ABC 面积．4．（2022秋·云南楚雄·高二校考阶段练习）已知ABC 角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,ABC 的周长为2,且sin sin A B C +=.(1)求边c 的长;(2)若ABC 的面积为23sin C ,求角C 的度数.5．（2023·全国·高三专题练习）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 2cos a C c A b B +=.（1）求B ；（2）若b =ABC 的面积为ABC 的周长.6．（山西省部分学校2023届高三下学期质量检测试题）已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，()1cos sin c B C +=．(1)求角B 的大小；(2)若2b =，4a c +=，求ABC 的面积．7．（2023·安徽淮北·统考一模）设ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin sin c C b B C A a a-=-，4b =．(1)求角B 的大小(2)若c =ABC 的面积．8．（广东省广州市2023届高三综合测试（一）数学试题）记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知223cos cos 222C A a c b +=.(1)证明：sin sin 2sin A C B +=；(2)若2b =，3AB AC ⋅=uu u r uuu r ，求ABC 的面积.9．（湖北省八市2023届高三下学期3月联考数学试题）在ABC 中，记角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知π2sin 6b A a c ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，且2c =，点D 在线段BC 上.(1)若3π4ADC ∠=，求AD 的长；(2)若2,BD DC ABC = 的面积为sin sin BAD CAD ∠的值.10．（江西省金溪县第一中学2023届高三一轮复习验收考试数学（理）试题）已知在非钝角ABC 中，角,,A B C所对的边分别为1,,,cos sin 2a b c c a B B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(1)求sin A ；(2)若ABC 的面积为1，且__________（在下面两个条件中任选一个），求ABC 的周长.①2a =；②2a c =.注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.11．（广东省广州市南沙区东涌中学2023届高三上学期期中数学试题）已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足()274sincos222A B C -+=，(1)求A ；(2)D 是线段BC 边上的点，若2,3AD BD CD ===，求ABC 的面积..12．（云南省保山市、文山州2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2cos 0b A a B c A ++=．(1)求角A 的大小；(2)若BC 边上的中线23AD =，且ABC S = ABC 的周长．2π由(1)有：2π3A =，所以ABC S △由余弦定理知222a b c bc =++，即1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.（1）若a，b，求ABC的面积；（2）若sin A C=2，求C.六、高考真题衔接2．（2022年全国新高考II 卷数学试题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知12313S S S B -+==．(1)求ABC 的面积；(2)若sin sin 3A C =，求b ．3．（2021年全国新高考II 卷数学试题）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.．（1）若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．4．（2022年北京市高考数学试题）在ABC 中，sin 2C C =．(1)求C ∠；(2)若6b =，且ABC 的面积为ABC 的周长．25．（2022年浙江省高考数学试题）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知4,cos 5a C ==．(1)求sin A 的值；(2)若11b =，求ABC 的面积．。
微考点：正余弦定理在平面几何中的应用
微考点：正余弦定理在平面几何中的应用【必备知识】1．正弦定理：如图所示，在ABC ∆中，A asin ＝B b sin =Cc sin ＝R 2（其中R 为ABC ∆外接圆半径）． 2．余弦定理：222a b c =+-2cos bc A ；222b c a =+-2cos ca B ；222c a b =+-2cos ab C ．222cos 2b c a A bc +-=；222cos 2c a b B ca +-=；222cos 2a b c C ab+-=．3．面积公式：111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ca B ∆===．4．余弦定理的正弦形式：将2sin a R A =，2sin B R B =，2sin c R C =代入余弦定理，得①222sin sin sin A B C ＝＋－2sin sin cos B C A ； ②222sin sin sin B A C ＝＋－2sin sin cos A C B ；③222sin sin sin C A B ＝＋－2sin sin cos A B C ．【考题示例】技巧一：几何量转化到同一个三角形中利用正余弦定理 【例1】（1）【2016年全国卷Ⅲ】在ABC △中，π4B ，BC 边上的高等于13BC ,则sin A （ ） A ．310B ．1010C ．55D ．31010（2）如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，BD 的垂直平分线过点A ，且满足2CD AB =，25cos 5CAD ∠=，则ADC ∠的大小为＿＿＿＿＿＿．【思维导图】（1）【在ACD ∆中用AD 表示CD →用AD 表示结合勾股定理表示AC →在ABC ∆中利用正弦定理求sin A ；（2）由条件确定出,CD AD 间的比例关系→利用同角三角函数关系求得sin CAD ∠→在ACD ∆中，利用正弦定理求得ADC ∠．【解析】（1）设BC 边上的高线为AD ，则3,2BC AD DC AD ==，所以225AC AD DC AD =+．由正弦定理，知sin sin AC BCB A =，53sin 22AD AD A =，解得310sin 10A =，故选D ．（2）∵BD 的垂直平分线过点A ，∴AB AD =，则22CD AD ==，∴2CDAD=ACD ∆中，()0,CAD ∠π∈，25cos 5CAD ∠=，∴5sin 5CAD ∠=．在ACD ∆中，由正弦定理，sin sin CDDCA A C DD A =∠∠得，∴sin 10sin 10AD DCA DCA CD ∠∠==．∵DCA CAD ∠<∠，∴DCA ∠为锐角，∴310cos 10DCA ∠=，则()2cos cos 2ADC ACD CAD ∠=-∠+∠=-，∴34ADC π∠=．【方法提炼】此类题型主要是将所求几何量与已知的几何量集中某个三角形中，如果这些几何量比较散时，则须通过利用相关的知识和方法将上述几何量转移到同一个三角形中，然后选择正弦定理或余弦定理进行计算．【变式训练】1．如图，在ABC ∆中，点D 在AC 边上，且3AD DC =，7AB =，3ADB π∠=，6C π∠=，则DC 的值为＿＿＿＿＿＿．1．【解析】由题意，知366DBC ADB C πππ∠=∠-∠=-=，故DBC C ∠=∠，DB DC =．设DC x =，则DB x =，3DA x =．在ADB ∆中，由余弦定理2222cos AB DA DB DA DB ADB =+-⋅⋅∠，即()2221732372x x x x x =+-⋅⋅⋅=，解得1x =，1DC =． 2．如图，在ABC ∆中，D 是AB 边上的点，且满足3AD BD =，2AD AC BD BC +=+=，2CD =，则cos A =（ ）A ．13 B 2 C ．14D ．02．D 【解析】设,BD x =则3AD x =，23,2AC x BC x =-=-，易知cos cos ADC BDC ∠=-∠，由余弦定理可得222292232222322x x x x xx+--+--=⨯⨯⨯⨯，解得13x =，故1,1AD AC ==,222cos 02AD AC CD A AD AC+-∴==⨯⨯，故选D ． 3．如图，在直角ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC =，4BC =，P 是ABC ∆内的一点，满足PB PC ⊥，PB PC =，则PA =＿＿＿＿＿＿．3．25【解析】由PB PC ⊥，PB PC =，知PBC ∆为等腰直角三角形，则由4BC =，得4PCB π∠=，2PC =．又90ACB ∠=︒，∴4PCA π∠=，于是在PAC ∆中，由余弦定理得2222cos 20PA AC PC AC PC PCA =-⋅∠=＋，∴52PA =.技巧二：从一个三角形到另一个三角形先后利用正余弦定理【例2】【2018年全国新课标I 卷】在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=︒，45A ∠=︒，2AB =，5BD =．（1）求cos ADB ∠；（2）若22DC =，求BC ．【思路导图】（1）在ABD ∆根据正弦定理直接求得sin ABD ∠→利用同角三角函数基本关系求cos ADB ∠；（2）根据（1）的结论，利用角互余求得cos BDC ∠→在BCD ∆中利用余弦定理求BC ． 【解析】（1）在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠． 由题设知，52sin 45sin ADB=︒∠，所以2sin 5ADB ∠=. 由题设知，90ADB ∠<︒，所以23cos 5ADB ∠=. （2）由题设及（1）知，2cos sin 5BDC ADB ∠=∠=． 在BCD ∆中，由余弦定理得22222cos 2582522255BC BD DC BD DC BDC =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，所以5BC =．【方法提炼】此类题型根据已知平面图形中的几何量与所求量的分布规律，不可能在同一个三角形中求得所求量时，考虑从已知几何量比较集中的三角形开始，首先求得相关几何量后，再转移到另一个涉及到所求几何量的三角形中进行求解．【变式训练】1．如图，在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知24c b ==，2cos c C b =，,AD AE 分别是BAC ∠的中线与角平分线，则AD =＿＿＿＿＿＿．1．【解析】因为24c b ==，所以1cos 24b Cc ==．在ABC ∆中由余弦定理得22224161cos 244a b c a C ab a +-+-===，所以4a =，即4BC =，∴在ACD ∆中，2CD =，2AC =，又余弦定理，得2222cos 6AD AC CD AC CD ACD =+-⋅⋅∠=，所以6AD =．2．如图，在ABC ∆中，点D 在边BC 上，4sin 5ACB ∠=，72AC =，2cos 10ADB ∠=-，若ABD∆的面积为7，则AB =＿＿＿＿＿＿．2．37【解析】在ADC ∆中由正弦定理，得()sin sin sin sin sin sin AC C AC ACB AC ACBAD ADC ADB ADBπ⋅∠⋅∠⋅∠===∠-∠∠＝222cos ADB ∠=，∴72sin ADB ∠=，于是由1sin 72ABD S AD BD ADB ∆=⋅∠=，解得5BD =．在ADB ∆中，由余弦定理得222cos 37AB AD BD AD BD ADB +-⋅⋅∠=3．在ABC ∆中， 6AB =，3B π=，D 是BC 边上一点，且36AD =23CD =AC 的长为＿＿＿＿＿＿．3．102【解析】在ABC ∆中由正弦定理得sin sin AB ADADB B=∠∠，∴2sin ADB ∠=，又∵()0,ADB π∠∈，∴344ADB ππ∠=或．∵AD AB >，∴B ADB ∠>∠，∴4ADB π∠=，∴34ADC π∠=，于是在ACD ∆中，由余弦定理可知2222cos 102AC AD CD AD CD ADC =+-⋅∠=，∴102AC =技巧三：在两个三角形中同时利用正余弦定理【例3】如图，四边形ABCD 中，ABD ∆、BCD ∆分别是以AD BD 和为底的等腰三角形，其中1AD =，4BC =，ADB CDB ∠=∠，则AC =_________．【思维导图】设BD x =→分别在ABD ∆与BCD ∆中同时利用余弦定理用x 分别表示出ADB ∠，CDB ∠的余弦值→利用这两个角的关系建立方程进行求解．【解析】设BD x =，则AB x =．在ABD ∆中，由余弦定理得22211cos 22x x ADB x x +-∠==．在BCD ∆中，由余弦定理得 22244cos 248x xCDB x +-∠==⋅⋅．∵ADB CDB ∠=∠，∴cos cos ADB CDB ∠=∠，即128xx =，解得2x =，即2BD =． 【方法提炼】此类题型通常是平面图形中已知几何量比较均衡分布在两个三角形中，同时所求几何题通常是这两个三角形的公共边或公共角，解答时通常是在两个三角形中利用正弦定理或余弦定理，建立方程进行求解．【变式训练】1．如图，已知ABC ∆中，2A π=，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，点D 在边BC 上， 1AD =，且2,2BD DC BAD DAC =∠=∠，则sin sin BC=__________．1．3【解析】在ABC ∆中，由,22A BAD DAC π=∠=∠，可得,36BAD DAC ππ∠=∠=．设DC x =，则2BD x =，在DAC ∆中，由正弦定理得sin sin AD CDC DAC=∠，所以sin 1sin 2AD DAC C CD x ⋅∠==；在DAB ∆中，由正弦定理得sin sin AD BDB DAB=∠，所以sin 3sin 4AD DAB B BD x ⋅∠==，故3sin 341sin 22B x C x==．2．如图，在四边形ACBD 中，1cos 7CAD ∠=-，且ABC ∆为正三角形，4CD =，3BD =，求ABD ∆周长为＿＿＿＿＿＿．2．273+【解析】因为1cos 7CAD ∠=-，所以43sin 7CAD ∠=，所以cos BAD ∠cos 3CAD π⎛⎫=∠- ⎪⎝⎭cos cos sin sin 33CAD CAD ππ=∠+∠1114=．设AB AC BC x ===，AD y =，在ACD ∆和ABD ∆中由余弦定理得2222222 2AC AD AC ADcos CAD CD AB AD AB ADcos BAD BD+-⋅∠=+-⋅∠=⎧⎨⎩，代入得222221671137x y xy x y xy ⎧++=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，解得7 7x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩或7 7x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩（舍），即7AB AD ==，故ABD ∆周长为273+．【巩固练习】1．如图，ABC ∆是等边三角形，点D 在边BC 的延长线上，且2,7BC CD AD ==，则sin BAD ∠的值为＿＿＿＿＿＿．1．321【解析】因为ABC ∆是等边三角形，且2BC CD =，所以2,120AC CD ACD =∠=︒．在ACD ∆中，由余弦定理得2222cos AD AC CD AC CD ACD=+-⋅∠，所以22744cos120CD CD CD CD =+-⋅︒，解得1CD =，∴33BD CD ==．在ABC ∆中，由正弦定理，得sin sin BD ADBAD B =∠∠，所以sin 3321sin 3147BD B BAD AD ∠∠===.2．如图，在ABC ∆中，线段AB 上的点D 满足33AB AD AC ==，3CB CD =，则sin sin2AB=__________．2．97【解析】设AC x CD y ==，，则33AB x BC y ==，，∴在ACD ∆中，由余弦定理，得222222992*2*cos 3*x x y x x y x x x A x+-+-==，化简得2232x y =，sin22sin cos sin sin B B BA A=222992**32*3*x x x y y x x +-=＝2228927x y y +=8317*27239+=，故sin 9sin27A B =．3．在ABC ∆中，30B ∠=︒，5AC =，D 是AB 边上一点，2CD =，ACD ∆的面积为2，ACD ∠为锐角，则BC =__________．3．【解析】由题意，利用面积公式得152sin 22ACDSACD =∠=，解得sin 5ACD ∠=，∴ 5os c ACD ∠=，由余弦定理得到5AD =，由正弦定理,254sin sin 5A A =⇒=．又因为sin sin BC ACA B=，sin 85sin AC A BC B ==． 4．如图，ACD ∆是等边三角形，ABC ∆是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，BD 交AC 于,2E AB =，则AE =＿＿＿＿＿＿． 4．62【解析】因为9060150BCD ∠=︒+︒=︒，CB AC CD ==，所以15CBE ∠=︒，所以()62cos cos 4530CBE +∠=︒-︒=.在ABE∆中，2AB =，由正弦定理()()2sin 4515sin 9015AE =︒-︒︒+︒，故122sin30262cos15624AE ⨯︒===︒+5．如图，在ABC ∆中，内角,,A B C 对应的边为,,a b c ，60A =︒，D 是边BC 的中点，记sin sin ABD m BAD ∠=∠，则当m 取得最大值时，tan ACD ∠的值等于＿＿＿＿＿＿．5．3【解析】在ABC ∆中，由余弦定理，得222222cos60a b c bc b c bc bc =+-︒=+-≥．又D 是边BC的中点，∴()12AD AB AC =+,所以()22214AD b c bc =++，则在ABD ∆中，由正弦定理，得2sin sin AD ADABD t BAD BD BC ∠===∠，所以2222222223AD b c bc bc a t BC a a ⎛⎫+++===≤ ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当b c =时取等号，此时，ABC ∆为正三角形，所以当t 取最大值时，tan 3ACD ∠=． 6．如图，在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，()sin 2sin A A B =+，且57sin 16B =．若D 是BC 边上的一点，3cos 4ADB ∠=，则BD DC的值为＿＿＿＿＿＿．．6．【解析】（1）因为()sin 2sin 2sin A A B C =+=，所以由正弦定理得2a c =，又因为3cos 4ADB ∠=，所以7sin ADB ∠=ABD ∆中，由正弦定理得sin sin AD AB B ADB =∠，所以54AD c =．又由由余弦定理得2225532444c c c BD BD ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，所以32BD c =或38c ．因为D 是BC 边上的一点，且由图知32BD c =，因为2a c =，所以12CD c =，所以3BDDC=． 7．在梯形ABCD 中，AB CD ，2CD =，120ADC ∠=︒，57cos CAD ∠=． （1）求AC 的长；（2）求梯形ABCD 的高．7．【解析】（1）在ACD 中，∵57cos CAD ∠=，∴21sin CAD ∠=由正弦定理得sin sin AC CDADC CAD=∠∠，即32sin 227sin 2114CD ADC AC CAD ⨯∠===∠． （2）在ACD ∆中，由余弦定理得：2222cos120AC AD CD AD CD =+⋅⋅⋅︒， 整理得22240AD AD +-=解得4AD =．过点D 作DE AB ⊥于E ，则DE 为梯形ABCD 的高． ∵ABCD ，120ADC ∠=︒，∴60BAD ∠=︒．在直角ADE 中，sin6023DE AD =⋅︒=，即梯形ABCD 的高为23． 8．如图所示，在ABC ∆中，M 是AC 的中点，,23C AM π∠==．（1）若4A π∠=，求AB ；（2）若7BM ABC =∆，求的面积S ．8．【解析】（1）由题意得,在中，由正弦定理得，.（2）在中，由余弦定理得,,解得3BC =或1BC =-（舍去）。
正余弦定理知识点+经典题(有答案)
正余弦定理1.定理内容：（1）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即2sin sin sin a b cR A B C=== （2）余弦定理：三角形中任意一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍。
即：2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C =+-（3）面积定理：111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ∆=== 2.利用正余弦定理解三角形： （1）已知一边和两角：（2）已知两边和其中一边的对角： （3）已知两边和它们所夹的角： （4）已知三边：正弦定理1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( )D ．262．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 63．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不确定 解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6.5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )A ．1 C ．26．在△ABC 中，若cos A cos B ＝ba ，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形 7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )或 3 或328．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )B ．29．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A ＝________. 10．在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________.11．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________. 12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝________，c ＝________.14．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C＝________.15．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________. 16．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．17．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A2，求A 、B 及b 、c .19．(2009年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值．20．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．余弦定理1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝13，那么AC 等于( )A ．6B ．2 6C ．3 6D ．46 2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，则c 等于( )D ．2 3．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，则∠A 等于( )A ．60°B ．45°C ．120°D ．150°4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则∠B 的值为( )或5π6 或2π35．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( )A ．aB ．bC ．cD ．以上均不对6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定7．已知锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →的值为( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4 8．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 为( )B ．2 3 或2 3 D ．29．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________． 10．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．11．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝53，则边c 的值为________． 12．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________.13．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.14．已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC →的值为________．15．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 24，则角C ＝________. 16．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________． 17．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．18．已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C .(1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数．19．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin(2A －π4)的值．20．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．正弦定理1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( )D ．26解析：选A.应用正弦定理得：a sin A ＝b sin B ，求得b ＝a sin Bsin A ＝ 6. 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6解析：选＝45°，由正弦定理得b ＝a sin Bsin A ＝4 6.3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对解析：选C.由正弦定理a sin A ＝b sin B 得：sin B ＝b sin A a ＝22，又∵a >b ，∴B <60°，∴B ＝45°. 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不确定解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6.5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )A ．1 C ．2解析：选＝180°－105°－45°＝30°，由b sin B ＝c sin C 得c ＝2×sin 30°sin45°＝1.6．在△ABC 中，若cos A cos B ＝ba ，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D.∵b a ＝sin B sin A ，∴cos A cos B ＝sin Bsin A ， sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π2.7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )或 3 或32解析：选＝AC sin B ，求出sin C ＝32，∵AB ＞AC ，∴∠C 有两解，即∠C ＝60°或120°，∴∠A ＝90°或30°.再由S △ABC ＝12AB ·AC sin A 可求面积．8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )B ．2解析：选D.由正弦定理得6sin120°＝2sin C ，∴sin C ＝12.又∵C 为锐角，则C ＝30°，∴A ＝30°， △ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝ 2.9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A ＝________.解析：由正弦定理得：a sin A ＝csin C ，所以sin A ＝a ·sin C c ＝12.又∵a ＜c ，∴A ＜C ＝π3，∴A ＝π6.答案：π610．在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________.解析：由正弦定理得a sin A ＝bsin B⇒sin B ＝b sin A a ＝4×12433＝32.答案：3211．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________.解析：C ＝180°－120°－30°＝30°，∴a ＝c ，由a sin A ＝b sin B 得，a ＝12×sin30°sin120°＝43，∴a ＋c ＝8 3. 答案：8312．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．解析：由正弦定理，得a ＝2R ·sin A ，b ＝2R ·sin B ， 代入式子a ＝2b cos C ，得 2R sin A ＝2·2R ·sin B ·cos C ， 所以sin A ＝2sin B ·cos C ， 即sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝2sin B ·cos C ， 化简，整理，得sin(B －C )＝0. ∵0°＜B ＜180°，0°＜C ＜180°， ∴－180°＜B －C ＜180°， ∴B －C ＝0°，B ＝C . 答案：等腰三角形13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，C=30°则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝________，c ＝________.解析：由正弦定理得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝a sin A ＝63sin60°＝12，又S △ABC ＝12bc sin A ，∴12×12×sin60°×c ＝183，∴c ＝6.答案：12 614．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C＝________.解析：由∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3得，∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°，∴2R ＝a sin A ＝1sin30°＝2，又∵a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，∴a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝2R sin A －2sin B ＋sin Csin A －2sin B ＋sin C ＝2R ＝2. 答案：215．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.解析：依题意，sin C ＝223，S △ABC ＝12ab sin C ＝43，解得b ＝2 3. 答案：2316．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．解析：∵b sin C ＝43×12＝23且c ＝2， ∴c <b sin C ，∴此三角形无解． 答案：0 17．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少解：在△ABC 中，BC ＝40×12＝20， ∠ABC ＝140°－110°＝30°，∠ACB ＝(180°－140°)＋65°＝105°， 所以∠A ＝180°－(30°＋105°)＝45°， 由正弦定理得AC ＝BC ·sin ∠ABC sin A ＝20sin30°sin45°＝102(km)．即货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是10 2 km.18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A2，求A 、B 及b 、c .解：由sin C 2cos C 2＝14，得sin C ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π6或C ＝5π6.由sin B sin C ＝cos 2A2，得sin B sin C ＝12[1－cos(B ＋C )]， 即2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )，即2sin B sin C ＋cos(B ＋C )＝1，变形得 cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，即cos(B －C )＝1，所以B ＝C ＝π6，B ＝C ＝5π6(舍去)，A ＝π－(B ＋C )＝2π3.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得b ＝c ＝a sin Bsin A ＝23×1232＝2.故A ＝2π3，B ＝π6，b ＝c ＝2.19．(2009年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值． 解：(1)∵A 、B 为锐角，sin B ＝1010，∴cos B ＝1－sin 2B ＝31010.又cos 2A ＝1－2sin 2A ＝35，∴sin A ＝55，cos A ＝255， ∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝255×31010－55×1010＝22.又0＜A ＋B ＜π，∴A ＋B ＝π4.(2)由(1)知，C ＝3π4，∴sin C ＝22.由正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C 得5a ＝10b ＝2c ，即a ＝2b ，c ＝5b .∵a －b ＝2－1，∴2b －b ＝2－1，∴b ＝1. ∴a ＝2，c ＝ 5.20．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．解：由S ＝12ab sin C 得，153＝12×603×sin C ，∴sin C ＝12，∴∠C ＝30°或150°. 又sin B ＝sin C ，故∠B ＝∠C .当∠C ＝30°时，∠B ＝30°，∠A ＝120°.又∵ab ＝603，a sin A ＝bsin B ，∴b ＝215. 当∠C ＝150°时，∠B ＝150°(舍去)． 故边b 的长为215.余弦定理1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝13，那么AC 等于( )A ．6B ．26C ．3 6D ．46 解析：选A.由余弦定理，得 AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B＝ 42＋62－2×4×6×13＝6.2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，则c 等于( ) D ．2解析：选B.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋(3－1)2－2×2×(3－1)cos30° ＝2， ∴c ＝ 2.3．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，则∠A 等于( ) A ．60° B ．45° C ．120° D ．150°解析：选∠A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－32， ∵0°＜∠A ＜180°，∴∠A ＝150°. 4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则∠B 的值为( ) 或5π6 或2π3解析：选D.由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，联想到余弦定理，代入得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32·1tan B ＝32·cos B sin B .显然∠B ≠π2，∴sin B ＝32.∴∠B ＝π3或2π3.5．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( ) A ．a B ．b C ．c D ．以上均不对解析：选·a 2＋c 2－b 22ac ＋b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝2c 22c ＝c .6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度决定 解析：选A.设三边长分别为a ，b ，c 且a 2＋b 2＝c 2. 设增加的长度为m ，则c ＋m ＞a ＋m ，c ＋m ＞b ＋m ，又(a ＋m )2＋(b ＋m )2＝a 2＋b 2＋2(a ＋b )m ＋2m 2＞c 2＋2cm ＋m 2＝(c ＋m )2， ∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形．7．已知锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－4解析：选△ABC ＝3＝12|AB →|·|AC →|·sin A ＝12×4×1×sin A ，∴sin A ＝32，又∵△ABC 为锐角三角形，∴cos A ＝12，∴AB →·AC →＝4×1×12＝2.8．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 为( ) B ．23 或2 3 D ．2解析：选C.在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即3＝a 2＋9－33a ， ∴a 2－33a ＋6＝0，解得a ＝3或2 3.9．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．解析：∵2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3. 在△ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B＝ 1＋4－2×1×2×12＝ 3. 答案：310．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数． 解：∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10， ∴a ∶b ∶c ＝(3－1)∶(3＋1)∶10.设a ＝(3－1)k ，b ＝(3＋1)k ，c ＝10k (k ＞0)， ∴c 边最长，即角C 最大．由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12， 又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°. 11．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝53，则边c 的值为________．解析：S ＝12ab sin C ，sin C ＝32，∴C ＝60°或120°.∴cos C ＝±12，又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴c 2＝21或61，∴c ＝21或61. 答案：21或6112．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________. 解析：由正弦定理a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4， 设a ＝2k (k ＞0)，则b ＝3k ，c ＝4k ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2k 2＋4k 2－3k 22×2k ×4k＝1116， 同理可得：cos A ＝78，cos C ＝－14，∴cos A ∶cos B ∶cos C ＝14∶11∶(－4)． 答案：14∶11∶(－4)13．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.解析：∵cos C ＝13，∴sin C ＝223.又S △ABC ＝12ab sin C ＝43，即12·b ·32·223＝43，∴b ＝2 3.答案：2314．已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC →的值为________．解析：在△ABC 中，cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝49＋25－362×7×5＝1935，∴AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B )＝7×5×(－1935)＝－19.答案：－1915．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 24，则角C ＝________. 解析：12ab sin C ＝S ＝a 2＋b 2－c 24＝a 2＋b 2－c 22ab ·ab 2 ＝12ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴tan C ＝1，∴C ＝45°.答案：45°16．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________． 解析：设三边长为k －1，k ，k ＋1(k ≥2，k ∈N )，则⎩⎪⎨⎪⎧ k 2＋k －12－k ＋12＜0k ＋k －1＞k ＋1⇒2＜k ＜4，∴k ＝3，故三边长分别为2,3,4，∴最小角的余弦值为32＋42－222×3×4＝78.答案：7817．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．解：∵A ＋B ＋C ＝π且2cos(A ＋B )＝1，∴cos(π－C )＝12，即cos C ＝－12.又∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴a ＋b ＝23，ab ＝2. ∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C＝a 2＋b 2－2ab (－12)＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab＝(23)2－2＝10，∴AB ＝10. 18．已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C .(1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数．解：(1)由题意及正弦定理得 AB ＋BC ＋AC ＝2＋1，BC ＋AC ＝2AB ，两式相减，得AB ＝1.(2)由△ABC 的面积12BC ·AC ·sin C ＝16sin C ，得BC ·AC ＝13，由余弦定理得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC＝AC ＋BC 2－2AC ·BC －AB 22AC ·BC＝12， 所以C ＝60°.19．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值； (2)求sin(2A －π4)的值．解：(1)在△ABC 中，由正弦定理AB sin C ＝BC sin A ，得AB ＝sin C sin A BC ＝2BC ＝2 5.(2)在△ABC 中，根据余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC＝255， 于是sin A ＝1－cos 2A ＝55.从而sin 2A ＝2sin A cos A ＝45，cos 2A ＝cos 2 A －sin 2 A ＝35.所以sin(2A －π4)＝sin 2A cos π4－cos 2A sin π4＝210.20．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．解：由正弦定理，得sin C sin B ＝c b .由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝sin C 2sin B ＝c 2b .又根据余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以c 2b ＝b 2＋c 2－a 22bc ，即c 2＝b 2＋c 2－a 2，所以a ＝b .又因为(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，所以(a ＋b )2－c 2＝3ab ，所以4b 2－c 2＝3b 2，所以b ＝c ，所以a ＝b ＝c ，因此△ABC 为等边三角形．。
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第15课时 解三角形-2
1.若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足4)(22
=-+c b a ，且C=60°，则ab 的值为（ ）
A ．
34
B ．348-
C ． 1
D ．
3
2 2.△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,，a A b B A a 2cos sin sin 2=+，则
=a
b （A ）
（B ） （
C
（D
3．已知2
10
cos 2sin ,=
+∈αααR ,则=α2tan A.
34 B. 43
C.43-
D.3
4-
4.在△ABC 中, ,3,4
AB BC ABC π
∠==则sin BAC ∠ =
5．在锐角中ABC ∆,角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin ,a B A 则角等于
A.
12
π B.6π
C.
4
π D.3π
6.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为c b a ,,．己知A —C=90°，b c a 2=+，求 C ．
7.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,已知．
b
a
c B C A -=
-2cos cos 2cos （I ）求
A
C sin sin 的值； （II ）若2,41cos ==b B ，求ABC ∆的面积S 。
8.已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，cos sin 0a C C b c --=
（1）求A （2）若2a
=，ABC ∆的面积为3；求,b c .
9.在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,．已知cos A ＝
2
3
，sin B C ． (Ⅰ)求tan C 的值； (Ⅱ)若a ∆ABC 的面积． 10.在△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ，b ，c 。
已知 （1）求证：
（2）若ABC 的面积。
11.三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为c b a ,,，已知c a B C A 2,1cos )cos(==+-，求C. 12．在△ABC 中,62,3==b a ,A B 2=
(I)求A cos
的值; (II)求c 的值.
,sin()sin()444
A b C c
B a π
ππ
=+-+=2B C π
-=
a =
13．设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=.
(I)求B (II)
若sin sin A C ,求C . 14．设△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且6a c +=,2b =,7
cos 9
B =.
(Ⅰ)求,a c 的值; (Ⅱ)求sin()A B -的值. 15．在ABC ∆中,角
A ,
B ,
C 对应的边分别是a ,b ,c .已知()cos23cos 1A B C -+=.
(I)求角A 的大小; (II)若ABC ∆
的面积S =,5b =,求sin sin B C 的值.
16.△在内角
的对边分别为
,已知
.
(Ⅰ)求
; (Ⅱ)若
,求△
面积的最大值.
17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为
．已知cos A
＝
3
2
，sin B ＝5cos C ． (Ⅰ)求tan C 的值； (Ⅱ)若2=a ，求ABC ∆的面积．
18..在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为
．已知4
12cos -
=C (I)求sinC 的值； (Ⅱ)当a=2．2sinA=sinC 时．求b 及c 的长．
19.已知ABC △1，且sin sin A B C +．
（I ）求边AB 的长； （II ）若ABC △的面积为1sin 6
C ，求角C 的度数.
20.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且3
1cos =
A （1）求A C
B 2cos 2
sin 2
+的值； （2）若3=a ，求bc 的最大值 21.已知在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且2sin 2
A +3cos (
B +
C )=0.
(1)求角A 的大小；
(2)若△ABC 的面积S =4,35=c ，求s inB +sinC 的值. 22.在△，角的对边分别为已知 （1）求的值； （2）若求△的面积.
23．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，已知b=asinC+ccosA （1）求A+B 的值； （2）若c=
，求△ABC 面积的最大值．
ABC C B A ,,,,,c b a .cos 2sin ,3
1
cos B A C ==B tan ,5=
c ABC。