湖南省五市十校教研教改共同体高一数学下学期期中试卷

2014-2015学年湖南省五市十校教研教改共同体高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013秋•朝阳区校级期末）sin120°的值为（）A． B． C． D．﹣考点：运用诱导公式化简求值．专题：计算题．分析：直接利用诱导公式化简表达式，利用特殊角的三角函数求出值即可．解答：解：因为sin120°=sin（90°+30°）=cos30°=．故选C．点评：本题是基础题，考查诱导公式的应用，特殊角的三角函数值的求法，考查计算能力．2．（5分）（2015春•湖南期中）下列说法正确的是（）A．正切函数在定义域内为单调增函数B．若α是第一象限角，则是第一象限角C．用秦九韶算法计算多项式f（x）=3x6+5x4+6x3﹣4x﹣5当x=3时的值时，v2=3v1+5=32 D．若扇形圆心角为2弧度，且扇形弧所对的弦长为2，则这个扇形的面积为考点：命题的真假判断与应用．专题：三角函数的求值；推理和证明．分析：根据正切函数的图象和性质，可判断A；判断的位置，可判断B；根据秦九韶算法求出v2，可判断C；求出扇形面积，可判断D．解答：解：正切函数的单调增区间为（﹣+kπ，+kπ），k∈Z，但在整个定义域上，正切函数不单调，所以A错误．若α是第一象限的角，则是第一或第三象限的角，故B错误；f（x）=3x6+5x4+6x3﹣4x﹣5=（（（（（3x+0）x+5）x+6）x+0）x﹣4）x﹣5，当x=3时，v0=3，v1=3v0+0=9，v2=3v1+5=32，故C正确；若扇形圆心角为2弧度，且扇形弧所对的弦长为2，则r=，则这个扇形的面积为×（）2×sin2=cot1≠，故D错误；故选：C．点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了正切函数的图象和性质，象限角，秦九韶算法，扇形面积公式和弧长公式，难度不大，属于基础题．3．（5分）（2015春•湖南期中）执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）A． 30 B． 31 C． 62 D． 63考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出s=2+22+23+24的值，由等比数列的求和公式即可得解．解答：解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出s=2+22+23+24的值，由于s=2+22+23+24==30．故选：A．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，等比数列的求和公式的应用，属于基本知识的考查．4．（5分）（2015春•湖南期中）如图所示，在矩形ABCD中，AB=2a，AD=a，图中阴影部分是以AB为直径的半圆，现在向矩形ABCD内随机撒4000粒豆子（豆子的大小忽略不计），根据你所学的概率统计知识，下列四个选项中最有可能落在阴影部分内的豆子数目是（）A． 1000 B． 2000 C． 3000 D． 4000考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：由几何概型可得对应的概率，依据选项可得．解答：解：由题意可得矩形ABCD的面积S=2a2，半圆的面积S′=πa2，∴豆子落在半圆内的概率为=，设落在阴影部分内的豆子数目为n，则=，∴n=1000π由选项可知最有可能的数目为3000故选：C．点评：本题考查几何概型，属基础题．5．（5分）（2015春•湖南期中）直线l过点（2，3）且与直线m：3x+2y﹣4=0垂直，则直线l 的方程为（）A． 3x+2y﹣12=0 B． 2x+3y﹣13=0 C． 3x﹣2y=0 D． 2x﹣3y+5=0考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：由题意可得直线l的斜率，进而可得所求直线的斜率，由点斜式可写方程，整理成一般式即可解答：解：由题意可得直线l：3x+2y﹣4=0的斜率为，故所求直线的斜率为，由点斜式可得：y﹣3=（x﹣2），整理成一般式可得：2x﹣3y+5=0，故选：D．点评：本题考查直线方程的求解，涉及直线垂直的条件，属基础题6．（5分）（2015春•湖南期中）函数f（x）=x﹣x+4的零点位于区间（）A． B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）考点：二分法求方程的近似解．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：可判断函数f（x）=x﹣x+4在（0，+∞）上减函数，结合函数零点的判定定理判断零点所在的区间即可．解答：解：函数f（x）=x﹣x+4在（0，+∞）上减函数，f（2）=2﹣2+4=1＞0，f（3）=3﹣3+4=3+1＜0；故f（2）f（3）＜0，故函数f（x）=x﹣x+4的零点在（2，3）之间，故选：C．点评：本题考查了对数函数的应用及函数零点的判定定理的应用，属于基础题．7．（5分）（2015春•湖南期中）有40件产品，编号从1到40，先从中抽取4件检验，用系统抽样方法确定所抽的编号可能为（）A． 5，10，15，20 B． 2，12，22，32 C． 2，14，26，38 D． 5，8，31，36考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据系统抽样的定义，进行判断即可．解答：解：从中抽取4件检验，则样本间隔为40÷4=10，则满足条件的编号为2，12，22，32，故选：B．点评：本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键．8．（5分）（2015春•湖南期中）总体编号为001，002，003，…，299，300的300个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3、4、5列数字开始由左到右依次选取三个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）A． 080 B． 263 C． 140 D． 280考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．解答：解：从随机数表第1行的第3、4、5列数字开始由左到右依次选取三个数字小于300的编号依次为：166，080，263，140，280，198，则第5个个体的编号为280．故选：D．点评：本题主要考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键，比较基础．9．（5分）（2015春•湖南期中）某次数学测试后从两个班中各随机的抽取10名学生的数学成绩，作出它们的茎叶图如图所示，已知甲班的中位数为a1，标准差为s1，乙班的中位数为a2，标准差为s2，则由茎叶图可得（）A． a1＜a2，s1＞s2 B． a1＜a2，s1＜s2 C． a1＞a2，s1＞s2 D． a1＞a2，s1＜s2考点：众数、中位数、平均数．专题：计算题；概率与统计．分析：根据茎叶图，计算甲乙两班的中位数，比较a1、a2的大小；根据甲、乙两班的数据分布情况，得出标准差s1、s2的大小．解答：解：根据茎叶图，得；甲班的中位数为a1==75，乙班的中位数为a2==83，∴a1＜a2；又甲班的数据分布在52～96之间，成单峰分布，较为分散些，∴标准差s1相对大些；乙班的数据分布在62～92之间，成绩也成单峰分布，较为集中些，∴标准差s2相对小些，∴s1＞s2．故选：A．点评：本题考查了中位数、方差与标准差的应用问题，是基础题目．10．（5分）（2015春•湖南期中）已知直线l：3x+4y﹣3=0和圆C：x2+y2﹣6x﹣2y+1=0，则圆C上到直线l的距离等于1的点的个数为（）A． 4 B． 3 C． 2 D． 1考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：求出圆心到直线的距离，结合半径之间的关系进行求解．解答：解：圆的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=9，则圆心坐标为C（3，1），半径R=3，则圆心到直线的距离d=＜3，即直线和圆相交，则R﹣d=3﹣2=1，即圆C上到直线l的距离等于1的点的个数为3个，故选：B点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，求出圆心到直线的距离是解决本题的关键．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）（2015春•湖南期中）将二进制数11010（2）化为八进制数为32 （8）．考点：进位制．专题：计算题；算法和程序框图．分析：利用二进制数化为“十进制”的方法可得11010（2）=1×24+1×23+0×22+1×21+0×20．再利用“除8取余法”即可得出．解答：解：二进制数11010（2）=1×24+1×23+0×22+1×21+0×20=26．∵26÷8=3 (2)3÷8=0 (3)∴26（10）=32（8）故答案为：32．点评：本题考查了二进制数化为“十进制”的方法、“除8取余法”，属于基础题．12．（5分）（2015春•湖南期中）执行如图所示的程序，输出的结果是S=15 ．考点：循环结构．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=6时不满足条件i≤5，退出循环，输出S=15．解答：解：模拟执行程序框图，可得i=1，S=0满足条件i≤5，S=1，i=2满足条件i≤5，S=3，i=3满足条件i≤5，S=6，i=4满足条件i≤5，S=10，i=5满足条件i≤5，S=15，i=6不满足条件i≤5，退出循环，输出S=15．故答案为：S=15．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．13．（5分）（2015春•湖南期中）三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体底面为直角三角形的三棱锥，且侧棱垂直于底面，求出它的体积即可．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是如图所示的三棱锥P﹣ABC，且PC⊥底面ABC，AC⊥BC；PC=BC=2，AC=；所以，该三棱锥的体积为V=××2××2=．故答案为：．点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了空间想象能力与计算能力，是基础题目．14．（5分）（2015春•湖南期中）已知具有线性相关关系的两个相关变量x与y之间的几组数据如表：x 2 4 6 8 10y 5 6 5 9 10利用最小二乘法求得线性回归方程为y=0.65x+3.1 ．考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：先求出横标和纵标的平均数，得到这组数据的样本中心点，利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，代入样本中心点求出a的值，写出线性回归方程．解答：解：由题意，=6，=7，∴b==0.65∴a=7﹣0.65×6=5.1故所求的回归方程为y=0.65x+3.1．故答案为：y=0.65x+3.1．点评：本题考查线性回归方程的求法和应用，本题解题的关键是利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，考查学生的运算能力．15．（5分）（2015春•湖南期中）若角α满足条件tanαsinα＜0，﹣1＜sinα+cosα＜1，则角α是第二象限角．考点：三角函数值的符号．专题：三角函数的求值．分析：根据三角函数的符号和象限关系进行判断即可．解答：解：∵tanαsinα＜0，∴，即cosα＜0，即α是第二或第三象限，sinα+cosα=sin（α+），∵﹣1＜sinα+cosα＜1，∴，﹣1＜sin（α+）＜1，即﹣＜sin（α+）＜，∴2kπ﹣＜α+＜2kπ+或2kπ+＜α+＜2kπ+，即2kπ﹣＜α＜2kπ或2kπ+＜α＜2kπ+π，∵cosα＜0，∴2kπ+＜α＜2kπ+π，即α是第二象限的角，故答案为：二点评：本题主要考查三角函数角的象限的确定，比较基础．三、解答题16．（12分）（2015春•湖南期中）（1）化简：；（2）已知tanα=2，求的值．考点：同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：（1）原式利用诱导公式化简，整理即可得到结果；（2）原式分子分母除以cosα，利用同角三角函数间的基本关系化简，把tanα的值代入计算即可求出值．解答：解：（1）原式=•（﹣cosα）+=sinα﹣cosα；（2）∵tanα=2，∴原式==．点评：此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．17．（12分）（2015春•湖南期中）某校1000名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这1000名学生数学成绩的平均分；（3）若这1000名学生数学成绩某些分数段的人数（x）与语文成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求语文成绩在[50，90）之外的人数．分数段[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）x：y 1：1 4：5 3：2 2：1考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（1）根据频率分布直方图所有小矩形的面积之和为1，求a．（2）根据平均数公式计算即可，（3）先求出语文成绩在[50，90）之内的人数，用1000减去此数，得出结果解答：（1）由频率分布图可知：（2a+0.02+0.03+0.04）×10=1⇔a=0.005…（4分）（2）由频率分布图可得该校1000名学生的数学成绩平均分为55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73…（8分）（3）语文成绩在[50，90）内的人数为人语文成绩在[50，90）外的人数为1000﹣850=150人…1（2分）点评：本题考查频率分布估计总体分布，解题的关键是理解频率分布直方图，熟练掌握频率分布直方图的性质，且能根据所给的数据建立恰当的方程求解．18．（12分）（2015春•湖南期中）为了了解某校学生对社会主义核心价值观的背诵掌握情况，拟采用分层抽样的方法从该校的高一、高二、高三这三个年级中共抽取7个班进行调查，已知该校的高一、高二、高三这三个年级分别有18、12、12个班级．（Ⅰ）求分别从高一、高二、高三这三个年级中抽取的班级个数；（Ⅱ）若从抽取的7个班级中随机抽取2个班级进行调查结果的对比，求这2个班级中至少有1个班级来自高一年级的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）由题意知总体个数是42，要抽取的个数是7，做出每个个体被抽到的概率，分别用三个年级的数目乘以概率，得到每一个年级要抽取的班数．（Ⅱ）设A，B，C为在高一年级中抽取的3个班级，a，b为在高二年级中抽取的2个班级1，2为在高三年级中抽取的2个班级，从这7个班级中随机抽取2个，全部的可能结果有21种，随机抽取的2个班级中至少有1个班级来自高一年级的结果有一共有15种，根据概率公式计算即可．解答：解：（Ⅰ）班级总数为18+12+12=42，样本容量与总体中的个体数比为，所以从高一、高二、高三这三个年级中分别抽取的班级个数为3，2，2．（Ⅱ）设A，B，C为在高一年级中抽取的3个班级，a，b为在高二年级中抽取的2个班级1，2为在高三年级中抽取的2个班级，从这7个班级中随机抽取2个，全部的可能结果有21种，分别如下，AB，AC，Aa，Ab，A1，A2，BC，Ba，Bb，B1，B2，Ca，Cb，C1，C2，ab，a1，a2，b1，b2，12，随机抽取的2个班级中至少有1个班级来自高一年级的结果有一共有15种AB，AC，Aa，Ab，A1，A2，BC，Ba，Bb，B1，B2，Ca，Cb，C1，C2．所以概率为，答：这2个班级中至少有1个班级来自高一年级的概率为．点评：本题主要考查分层抽样的定义和方法，以及古典概率的问题，属于基础题．19．（13分）（2015春•湖南期中）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E，F分别是A1C1，BC的中点．（1）求证：直线AB⊥平面BCC1B1；（2）求异面直线AE与C1F所成的角的正弦值．考点：异面直线及其所成的角；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）根据三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，得到侧棱BB1与AB垂直，再由AB⊥BC，且BC∩BB1=B，即可得证；（2）如图，取AC的中点G，连结C1F，GF，易得AE∥C1G，确定出∠GC1F就是异面直线AE与C1F所成的角，求出即可．解答：（1）证明：在三棱柱ABC，A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，∴BB1⊥AB，又∵AB⊥BC，BC∩BB1=B，∴AB⊥平面B1BCC1；（2）解：如图，取AC的中点G，连结C1F，GF，易得AE∥C1G，∴∠GC1F就是异面直线AE与C1F所成的角，由（1）可知直线AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥C1F，又AB∥GF，∴GF⊥C1F，在Rt△AB C中，根据勾股定理得：AB==，∴GF=，又在Rt△CC1G中，根据勾股定理得：C1G==，∴sin∠GC1F==，则异面直线AE与C1F所成的角的正弦值为．点评：此题考查了异面直线及其所成的角，平面与平面垂直的判定，确定出异面直线所求的角是解本题的关键．20．（13分）（2015春•湖南期中）已知函数，其中0＜ω＜2．若点为函数f（x）图象的一个对称中心．（1）求ω的值；（2）求函数f（x）的周期和单调增区间．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由题意可得，从而得，结合范围0＜ω＜2即可求得ω的值．（2）由（1）可得，根据三角函数的周期性及其求法可求周期，由可解得单调增区间．解答：（本小题共13分）解：（1）点为函数f（x）图象的一个对称中心⇒，即：…（3分）⇒⇒ω=1﹣3k，k∈Z…（6分）又因为0＜ω＜2，所以ω=1．…（7分）（2）由（1）知ω=1，则，所以…（9分）由得…（11分）函数f（x）的单调增区间为．…（13分）点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的图象和性质，属于基础题．21．（13分）（2015春•湖南期中）已知函数f（x）=，g（x）=x2+2mx+（1）用定义法证明f（x）在R上是增函数；（2）求出所有满足不等式f（2a﹣a2）+f（3）＞0的实数a构成的集合；（3）对任意的实数x1∈[﹣1，1]，都存在一个实数x2∈[﹣1，1]，使得f（x1）=g（x2），求实数m的取值范围．考点：函数单调性的性质；函数单调性的判断与证明；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：（1）设x1、x2是R上任意两个值，且x1＜x2，求得∴f（x1）﹣f（x2）＜0，可得f（x）在R上是增函数．（2）先证明f（x）为奇函数，不等式即f（3）＞﹣f（2a﹣a2）=f（a2﹣2a），再利用f（x）在R上是增函数可得a2﹣2a＜3，由此求得a的范围．（3）利用f（x）的单调性求得A，设g（x）在[﹣1，1]上的值域为B，则由题意可知A⊆B，分类讨论求得B，从而求得实数m的取值范围．解答：解：（1）证明：f（x）的定义域为R，设x1、x2是R上任意两个值，且x1＜x2，则，∵x1＜x2，∴，，，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x）在R上是增函数．（2）∵，∴f（x）在R上是奇函数，∵f（2a﹣a2）+f（3）＞0，∴f（3）＞﹣f（2a﹣a2）=f（a2﹣2a），又∵f（x）在R上是增函数，∴a2﹣2a＜3，解得﹣1＜a＜3，∴所求实数a构成的集合为 {a|﹣1＜a＜3}．（3）∵f（x）在R上是增函数，∴当x1∈[﹣1，1]时，f（x1）∈[f（﹣1），f（1）]，即．设g（x）在[﹣1，1]上的值域为B，则由题意可知A⊆B．∵，∴，解得或，①当时，函数g（x）在[﹣1，1]上为减函数，所以；由A⊆B得，解得．②当时，函数g（x）在[﹣1，1]上为增函数，所以，由A⊆B得，解得．综上可知，实数m的取值范围为或．点评：本题主要考查函数的单调性、奇偶性的应用，集合间的包含关系，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。