高二数学作业2(立体几何)

高二数学作业2（立体几何）一、选择题1．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个命题：①若α∥β，m ⊂α，则m ∥β；②若m ∥α，n ⊂α，则m ∥n ；③若α⊥β，m ∥α，则m ⊥β；④若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β.其中为真命题的是 ( )A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④2．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为 ( )A.8π3B.82π3 C ．82π D.32π33．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 ( )A.163πB.193πC.1912πD.43π4. 如右图所示，是一个正方体的表面展开图，A 、B 、C 均为棱的中点，D 是顶点，则在正方体中，异面直线AB 和CD 的夹角的余弦值为 ( ) A.25 B.35C.105 D.555．图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm 3的几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为 ( )A ．25π cm 2 B.77π2cm 2 C ．77π cm 2 D ．144π cm 26．如下图所示，正四棱锥P －ABCD 的底面积为3，体积为22，E 为侧棱PC 的中点，则P A 与BE 所成的角为 ( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π27．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的直观图及三视图如下图所示，D 为AC 的中点，则下列命题是假命题的是 ( )A ．AB 1∥平面BDC 1 B ．A 1C ⊥平面BDC 1C ．直三棱柱的体积V ＝4D ．直三棱柱的外接球的表面积为43π8．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是( )A ．22πR 2 B.94πR 2 C.83πR 2 D.52πR 2二、填空题9．已知m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题：①若α⊥β，m ∥α，则m ⊥β；②若m ⊥α，n ⊥β，且m ⊥n ，则α⊥β；③若m ⊥β，m ∥α，则α⊥β；④若m ∥α，n ∥β，且m ∥n ，则α∥β.其中真命题的序号是________．10．圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是________．11．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一动点，则三棱锥P－ABC的主视图与左视图的面积的比值为________．12．(2011·天津文)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)13．下图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD ＝AD＝2EC＝2.(1)请画出该几何体的三视图；(2)求四棱锥B－CEPD的体积．为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．(1)证明：PB∥平面ACM；(2)证明：AD⊥平面P AC；(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．DC，∠BCD＝90°.(1)求证：PC⊥BC；(2)求点A到平面PBC的距离．(1)若D为AA1的中点，求证：平面B1CD⊥平面B1C1D；(2)若二面角B1－DC－C1的大小为60°，求AD的长．高二数学作业2（立体几何）一、选择题1．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个命题：①若α∥β，m ⊂α，则m ∥β；②若m ∥α，n ⊂α，则m ∥n ；③若α⊥β，m ∥α，则m ⊥β；④若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β.其中为真命题的是 ( )A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④ 答案 C解析 ①为空间面面平行的性质，是真命题；②m ，n 可能异面，故该命题为假命题；③直线m 与平面β也可以平行也可以相交不垂直．故该命题是一个假命题；④为真命题．故选C.2．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为( )A.8π3B.82π3 C ．82π D.32π3 答案 B解析 S 圆＝πr 2＝1⇒r ＝1，而截面圆圆心与球心的距离d ＝1，∴球的半径为R ＝r 2＋d 2＝ 2. ∴V ＝43πR 3＝82π3，故选B.3．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 ( )A.163πB.193πC.1912πD.43π 答案 B解析 设球半径是R ，依题意知，该三棱柱是一个底面边长为2、侧棱长为1的正三棱柱，记上、下底面的中心分别是O 1、O ，易知球心是线段O 1O 的中点，于是R 2＝(12)2＋(32×2×23)2＝1912，因此所求球的表面积是4πR 2＝4π×1912＝19π3，选B.4. 如右图所示，是一个正方体的表面展开图，A 、B 、C 均为棱的中点，D 是顶点，则在正方体中，异面直线AB 和CD 的夹角的余弦值为 ( )A.25 B.35 C.105 D.55答案 C 解析把展开图复原为正方体后示意图如右图所示，∠EGF 为AB 和CD 所成的角，F 为正方体一棱的中点． ∴EF ＝GF ＝52，EG ＝ 2. ∴cos ∠EGF ＝105. 5．图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm 3的几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为( )A ．25π cm 2 B.77π2 cm 2 C ．77π cm 2 D ．144π cm 2答案 C解析 由三视图画出此空间几何体的直观图如图所示．由题意得V ＝13×12×h ×5×6＝20⇒h ＝4.从而易知，其外接球的半径为r ＝1242＋52＋62＝772. 从而外接球的表面积为S ＝4πr 2＝4π(772)2＝77π.选C. 6．如下图所示，正四棱锥P －ABCD 的底面积为3，体积为22，E 为侧棱PC 的中点，则P A 与BE 所成的角为 ( )A.π6B.π4C.π3D.π2 答案 C解析 连接AC 、BD 交于点O ，连接OE ，易得OE ∥P A . ∴所求角为∠BEO . 由所给条件易得OB ＝62，OE ＝12P A ＝22，BE ＝ 2. ∴cos ∠OEB ＝12，∴∠OEB ＝60°，选C.7．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的直观图及三视图如下图所示，D 为AC 的中点，则下列命题是假命题的是 ( )A．AB1∥平面BDC1 B．A1C⊥平面BDC1C．直三棱柱的体积V＝4 D．直三棱柱的外接球的表面积为43π答案 D解析由三视图可知，直三棱柱ABC－A1B1C1的侧面B1C1CB是边长为2的正方形，底面ABC是等腰直角三角形，AB⊥BC，AB＝BC＝2.连接B1C交BC1于点O，连接AB1，OD.在△CAB1中，O，D分别是B1C，AC的中点，∴OD∥AB1，∴AB1∥平面BDC1.故A正确．直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥BD.又AB＝BC＝2，D为AC的中点，∴BD⊥AC，∴BD⊥平面AA1C1C.∴BD⊥A1C.又A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，∴A1B1⊥平面B1C1CB，∴A1B1⊥B1C.∵BC1⊥B1C，且BC1∩B1C＝0，∴BC1⊥平面A1B1C.∴BC 1⊥A 1C ，∴A 1C ⊥平面BDC 1.故B 正确．V ＝S △ABC ×C 1C ＝12×2×2×2＝4，∴C 正确．此直三棱柱的外接球的半径为3，其表面积为12π，D 错误．故选D.8．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是( )A ．22πR 2 B.94πR 2 C.83πR 2 D.52πR 2答案 B 解析如图所示，为组合体的轴截面，由相似三角形的比例关系，得 PO 13R ＝xR，PO 1＝3x ，圆柱的高为 3R －3x ，所以圆柱的全面积为 S ＝2πx 2＋2πx (3R －3x ) ＝－4πx 2＋6πRx ，则当x ＝34R 时，S 取最大值，S max ＝94πR 2.二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上)9．已知m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题：①若α⊥β，m ∥α，则m ⊥β；②若m ⊥α，n ⊥β，且m ⊥n ，则α⊥β；③若m ⊥β，m ∥α，则α⊥β；④若m ∥α，n ∥β，且m ∥n ，则α∥β.其中真命题的序号是________． 答案 ②③解析 若α⊥β，m ∥α，则m 与β可能相交、平行或m 在平面β内，故①错；m ∥α，n ∥β，m ∥n ，则α与β可能平行，可能相交，故④错．10．圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是________． 答案733π 解析 上底半径r ＝1，下底半径R ＝2. ∵S 侧＝6π，设母线长为l ，则π(1＋2)·l ＝6π. ∴l ＝2，∴高h ＝l 2－(R －r )2＝ 3.∴V ＝13π·3(1＋1×2＋2×2)＝733π.11．(2011·天津文)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.答案 4解析 由三视图可知，此几何体的上面是正四棱柱，其长，宽，高分别是2,1,1，此几何体的下面是长方体，其长，宽，高分别是2,1,1，因此该几何体的体积V ＝2×1×1＋2×1×1＝4(m 3)．12．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一动点，则三棱锥P －ABC 的主视图与左视图的面积的比值为________．答案 1解析 依题意得三棱锥P －ABC 的主视图与左视图分别是一个三角形，且这两个三角形的底边长都等于正方体的棱长，底边上的高也都相等，因此三棱锥P －ABC 的主视图与左视图的面积之比等于1.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)13．(本小题满分10分)下图为一简单组合体，其底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，EC ∥PD ，且PD ＝AD ＝2EC ＝2.(1)请画出该几何体的三视图； (2)求四棱锥B －CEPD 的体积．解析 (1)该组合体的三视图如下图所示．(2)因为PD ⊥平面ABCD ，PD ⊂平面PDCE ， 所以平面PDCE ⊥平面ABCD . 因为四边形ABCD 为正方形， 所以BC ⊥CD ，且BC ＝DC ＝AD ＝2.又因为平面PDCE ∩平面ABCD ＝CD ，BC ⊂平面ABCD ， 所以BC ⊥平面PDCE .因为PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ， 所以PD ⊥DC .又因为EC ∥PD ，PD ＝2，EC ＝1， 所以四边形PDCE 为一个直角梯形，其面积 S 梯形PDCE ＝12(PD ＋EC )×DC ＝12×3×2＝3.所以四棱锥B －CEPD 的体积V B －CEPD ＝13S 梯形PDCE ×BC ＝13×3×2＝2.14．(本小题满分12分) 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠ADC ＝45°，AD ＝AC ＝1，O 为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD ，PO ＝2，M 为PD 的中点．(1)证明：PB ∥平面ACM ； (2)证明：AD ⊥平面P AC ；(3)求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．解析 (1)连接BD ，MO ，在平行四边形ABCD 中，因为O为AC 的中点，所以O 为BD 的中点．又M 为PD 的中点，所以PB ∥MO .因为PB ⊄平面ACM ，MO ⊂平面ACM ，所以PB ∥平面ACM .(2)因为∠ADC ＝45°，且 AD ＝AC ＝1，所以∠DAC ＝90°，即AD ⊥AC .又PO ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥AD .而AC ∩PO ＝O ，所以AD ⊥平面P AC .(3)取DO 中点N ，连接MN ，AN .因为M 为PD 的中点，所以MN ∥PO ，且MN ＝12PO ＝1.由PO ⊥平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD ，所以∠MAN 是直线AM 与平面ABCD 所成的角．在Rt △DAO 中，AD ＝1，AO ＝12，所以DO ＝52.从而AN ＝12DO＝54.在Rt △ANM 中，tan ∠MAN ＝MN AN ＝154＝455，即直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值为455. 15．(2010·江苏)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ，∠BCD ＝90°.(1)求证：PC ⊥BC ；解析 (1)证明 因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BC . 由∠BCD ＝90°，得BC ⊥DC . 又PD ∩DC ＝D ， 所以BC ⊥平面PCD .因为PC ⊂平面PCD ，故PC ⊥BC .(2)方法一 分别取AB ，PC 的中点E ，F ，连接DE ，DF . 易证DE ∥BC ，DF ⊥PC ，则DE ∥面PBC . ∴点D ，E 到面PBC 的距离相等．∴点A 到面PBC 的距离为点D 到面PBC 的距离的2倍． 由(1)知BC ⊥面PCD ，∴面PBC ⊥面PCD . 又DF ⊥PC ，∴DF ⊥面PBC . ∵PD ＝DC ＝1，∴DF ＝22. ∴点A 到面PBC 的距离为 2.方法二连接AC ，设点A 到面PBC 的距离为h . ∵AB ∥DC ，∠BCD ＝90°， ∴∠ABC ＝90°. 由AB ＝2，BC ＝1，得S △ABC ＝12AB ×BC ＝12×2×1＝1.∵V P －ABC ＝13S △ABC ·PD ＝13×1×1＝13，又V P －ABC ＝V A －PBC ，∴13S △PBC ·h ＝13，即13×12×1×2h ＝13，解得h ＝ 2.16．(本小题满分12分) 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，2AC ＝AA ＝BC ＝2.(1)若D 为AA 1的中点，求证：平面B 1CD ⊥平面B 1C 1D ； (2)若二面角B 1－DC －C 1的大小为60°，求AD 的长． 解析 (1)方法一 证明：∵∠A 1C 1B 1＝∠ACB ＝90°， ∴B 1C 1⊥A 1C 1.又由直三棱柱的性质知B 1C 1⊥CC 1， ∴B 1C 1⊥平面ACC 1A 1.∴B 1C 1⊥CD .① 由D 为AA 1的中点，可知DC ＝DC 1＝ 2.∴DC 2＋DC 21＝CC 21，即CD ⊥DC 1.②由①②可知CD ⊥平面B 1C 1D .又CD ⊂平面B 1CD ，故平面B 1CD ⊥平面B 1C 1D .(2)解：由(1)可知B 1C 1⊥平面ACC 1A 1，在平面ACC 1A 1内过C 1作C 1E ⊥CD ，交CD 或其延长线于E ，连接EB 1， ∴∠B 1EC 1为二面角B 1－DC －C 1的平面角． ∴∠B 1EC 1＝60°.由B 1C 1＝2知，C 1E ＝2tan60°＝233.设AD ＝x ，则DC ＝x 2＋1.∵△DC 1C 的面积为1，∴12·x 2＋1·233＝1.解得x ＝2，即AD ＝ 2.。