2015年高二数学学业水平考试复习学案(1318)立体几何

俯视图侧视图

正视图高二学考必修二学案

第1课 空间几何体的结构、三视图和直观图

一、要点知识：1、棱（圆）柱、棱（圆）锥、棱（圆）台的结构特征：

（1）___________________________________,_______________________________________, _______________________________________,由这些面所围成的多面体叫做棱柱。

（2）___________________________________,____________________________由这些面所围成的多面体叫做棱锥。 （3）______________________________________________________这样的多面体叫做棱台。 （4）______________________________________________________叫做圆柱，旋转轴叫做_______，垂直与轴的边旋转而成的圆面叫做_______，平行与轴的边旋转而成的曲面叫做______，无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做___________

(5) _____________________________________________________所围成的旋转体叫做圆锥。 (6) _____________________________________________________叫做圆台。

(7) _____________________________________________________叫做球体，简称球。 2、中心投影、平行投影及空间几何体的三视图、直观图 （1）光由一点向外散射形成的投影，叫做______________

（2）在一束平行光线照射下形成的投影，叫做__________，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫斜投影。

3、正视图：光线从物体的_______投影所得的投影图，它能反映物体的_______和长度。 侧视图：光线从物体的________投影所得的投影图，它能反映物体的高度和宽度。 俯视图：光线从物体的________投影所得的投影图，它能反映物体的长度和宽度。 学业水平考试怎么考

1. 下列几何体中，正视图、侧视图和俯视图都相同的是（ ）. A .圆柱 B.圆锥 C.球 D.三菱柱 2、如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（ ） A 、球 B 、圆柱 C 、圆台 D 、圆锥 3．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（ ）

A.球

B.圆锥

C.圆柱

D.圆台

二、课前小练：

1、有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( ) A 、棱台 B 、棱锥 C 、棱柱 D 、都不对

2、下列结论中 （1）．有两个面互相平行，其余各面都是平面四边形的几何体叫棱柱 ； （2）．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱； （3）．用一个平面去截棱锥，棱锥的底面和截面之间的部分叫棱台； （4）．以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴将直角三角形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫

圆锥。其中正确的结论是（ ） A.3 B.2 C.1 D.0 3、将图1所示的三角形绕直线l 旋转一周，可以得到如图2所示的几何体的是哪一个三角

形（ ）

4、下面多面体是五面体的是（ ）

C ′

A ′ Y ′ D ′

A 三棱锥

B 三棱柱

C 四棱柱

D 五棱锥

5、如图，水平放置的三角形的直观图，D ′是A ′B ′边上

的一点，且''3

1

''B A A D =

,'//''Y B A 轴，'//'X CD 轴， 那么''A C 、''B C 、''D C 三条线段对应原

图形中的线段CA 、CB 、CD 中（ ）

A. 最长的是CA ，最短的是CB

B.最长的是CB ，最短的是CA

C.最长的是CB,最短的是CD

D.最长的是CA ，最短的是CD

三、典例分析：

例1、如图所示的空间几何体中，是柱体或由柱体组合而成的是（ ）

A.（1）（2）（3）（4）

B. （2）（4）（5）

C. （1）（2）

D.（1）（2）（5） 例2、用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面半径之比是1:4,截得的小圆锥母线长是3cm,求圆台的母线长。

例3、若一个正三棱柱的三视图如下，则这个三棱柱的高和底面

的边长分别为( )

A. 32,2

B. 2,22

C. 4,2

D.2,4

四、巩固练习：

1．棱柱的侧面都是（ ）

（A ）正方形 （B ）平行四边形 （C ）五边形 （D ）菱形 2．下面几何体的截面图不可能是圆的是（ ）

（A ）圆柱 （B ）圆锥 （C ）球 （D ）棱柱 3、一个直立在水平面上的圆柱正视图、侧视图、俯视图分别是（ ） A. 矩形、矩形、圆 B. 矩形、圆、矩形 C. 圆、矩形、矩形 D.矩形、矩形、矩形

第2课 空间几何体的表面积与体积

一、要点知识：下表中，'c ,c 分别表示上、下底面的周长，h 表示高，h ′表示斜高，l 表

示侧棱长，r 表示圆柱、圆锥的底面半径，21,r r 分别表示圆台上、下底面半径，R 表示球半径。 名称 侧面积（S 侧） 全面积（S 全） 体积（V ） 直棱柱 ___________________ S 侧+ 2S 底 ___________ 正棱锥 ____________________ S 侧+ S 底 _______________

正棱台 _____________________ S 侧+ S 上底+ S 下底 3

1

h （S 上底+ S 下底+下底上底S S ?） 圆柱 _____________________ _______________ 圆锥 _____________________ __________________

圆台 ____________________

___________________________ 球

____________________

________________________

学业水平考试怎么考 （1） （2） （3） （4） （5） 正视图

侧视图

俯视图

2

1.如图是一个几何体的三视图，该几何体的体积为_________.

2．两个球的体积之比为8：27

，那么这两个球的表面积之比为（ ） A ．2:3

B ．4:9

C ．2:3

D ．22:33

二、课前小练：

1、已知四棱椎P —ABCD 的底面是边长为6 的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且PA=8，则该四棱椎的

体积是 。

2、一个圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则该圆柱的表面积是（ ） A. π2 B. π3 C. π4 D. π6

3、若球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径为__________-

4、棱长都是1的正三棱柱的体积是_____________

5、已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是6,3,2 则这个长方体的对角线是_______，它的体积为___________

三、典例分析：

例1.一几何体按比例绘制的三视图如图所示，(单位：m) ○1)试画出它的直观图；○2求它的体积。 例2、如下图为一个几何体的三视图， 其中俯视图为正三角形，A 1B 1=2，AA 1=4， 求该几何体的表面积和体积 例3、如图，在四边形ABCD 中，

，

， ，

，AD=2，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周

所成几何体的表面积及体积.

四、巩固练习：

1、已知三棱锥P —ABC 的顶点为P,PA 、PB 、PC 为两两垂直的侧棱，又三条侧棱长分别为3、3、4，则三棱锥的体积为_________

2、圆锥的侧面展开图是一个半圆，则圆锥轴截面的顶角的大小为（ ） A.ο

30 B. ο45 C. ο60 D. ο

90

3、如图所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1,那么这个几何体的体积为_________

4、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为

5、用一个平面去截体积为43π的球，所得截面的面积为π，为则球心到截 面的距离是________．

第3课 空间平面、直线与直线的位置关

系

1

1

1

1

A 1

B 1

C C 1

正视图

侧视图

俯视图

2 2 2 3

3

一、要点知识：

1、平面：

公理1：① 公理2：② 公理3：③ 推论1：④ ，可确定一个平面 推论2：⑤ ，可确定一个平面 推论3：⑥ ，可确定一个平面 2、（1）空间中两条直线的位置关系有三种位置关系：⑦ ⑧ ⑨ （2 和 统称为共面直线。

（3）异面直线：不同在 一个平面的两条直线叫做异面直线 3、直线与平面的位置关系：

（1）直线与平面相交：有且只有 个交点； （2）直线在平面内：有 个交点

（3）直线与平面平行：有 个交点

4、空间中两平面的位置关系： 、

5、空间中的平行关系的转化与联系：。

学业水平考试怎么考

1、如图, ABCD-A 1B 1C 1D 1为长方体.若BC=CC 1，求直线BC 1与平

面ABCD 所成角的大小.

1、 在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ， 且PA=AB.求异面直线BC 与PD 所成的角.

3、如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，⊥D D 1底面ABCD ，底面ABCD 是正方形， 且AB=1，21=D D 。求直线B D 1与平面ABCD

所成角的大小。

二、课前小练：

1、若直线上有两个点在平面外，则（ ） A ．直线上至少有一个点在平面内 B ．直线上有无穷多个点在平面内

C ．直线上所有点都在平面外

D ．直线上至多有一个点在平面内 2、两条异面直线是指（ ）

A ．不同在任何一个平面内的两条直线 B.空间中不相交的两条直线

C.分别位于不同平面内的两条直线

D.某一个平面内的一条直线和这个平面外的一条直线 3、一条直线与两条平行线中的一条是异面直线，那么它与另一条直线的位置关系是（ ） A ．相交 B ．异面 C ．平行 D ．相交或异面 4、如图:棱长均为a 的四面体S －ABC 中，如果E ，F 分别是SC ，AB 的中点，

a EF 2

2

=，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于

A ．90°

B ．45°

C ．60°

D ．30°

三、典例分析： B

A

F

E C

S A

D 1 C 1

B 1

A 1 D

C

B

B

C

D

A

P

F

E

A

例1、下列结论中：（1）公理1可以用符号语言表述为：若αα∈∈∈∈B A l B l A ,,,，则必有α?l ；（2）平面的形状是平行四边形；（3）三点确定一个平面;(4)任何一个平面图形都是一个平面；（5）若任意四点不共面，则其中任意三点不共面。其中正确的有 例2、已知空间四边形ABCD 中，E 、H 分别为AB 、AD 的中点，

F 、

G 分别为BC 、CD 的中点。（1）求证：四边形EFG

H 为平行四边形；

（2）若平行四边形EFGH 为菱形，判断线段AC 与线段BD 的大小关系。

例3、在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， （1）求AC 与A 1D 所成角的大小；

（2）求A 1C 与BB 1所成角的的正切值。

四、巩固练习：

1、两个平面重合的条件是它们的公共部分中有（ ）

A.三个点

B.一个点和一条直线

C.无数个点

D.两条相交直线 2、在空间中，下列命题正确的是 A ．对边相等的四边形一定是平面图形 B ．四边相等的四边形一定是平面图形 C ．有一组对边平行且相等的四边形是平面图形 D ．有一组对角相等的四边形是平面图形 3、若三条直线交于一点，则可确定的平面数是 （ ）

A.1个

B. 2个

C.3个

D.1个或3个

4、空间四边形ABCD 中，AC 与BD 成

60角，若AC=BD=8，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则线段MN 的长分别为 A.4 B.2 C.8 D.4或34

第4课 直线、平面平行的判定与性质

1、直线与平面平行的判定定理： 一条直线与此平面内的一条直线 ，则该直线与此平面平行。

2、直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任意一个平面与此平面的 与该直线平行。

3、平面与平面平行的判定定理：一个平面内的 直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

4、平面与平面平行性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的 平行

学业水平考试怎么考

1、如图，在三棱锥P ABC -，PC ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，D 、E 分别是AB 、PB 的中点． 求证：//DE 平面PAC

2、如图, ABCD-A 1B 1C 1D 1为长方体.求证：B 1D 1∥平面BC 1D ；

3、如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥BD ，3BC =，4BD =，直线AD 与平面BCD 所成的角为45，点E ，F 分别是AC ，

直线与直线平行 直线与平面平行 平面与平面平行

A B C

D E F G

H C

A 1 D A

B

D 1 C 1 B 1 D 1 C 1

B 1

A 1

AD 的中点。

（1）求证：EF ∥平面BCD ； （2）求三棱锥A BCD -的体积。

二、课前小练：

1、若直线α?b b a ,//，则α与a 的位置关系是（ ）

A. α//a

B. α?a

C. α与a 相交

D. α与a 不相交

2、下列命题中正确的是（ ）

①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③平行于两相交直线的两个平面平行；④与无数条直线都分别平行的两个平面平行 A. ② B. ②③ C. ③④ D. ②③④ 3、已知直线α//a ，则下列结论中成立的是（ ）

A. α内的所有直线均平行于a

B. α内仅有有限条直线平行于a

C. 直线a 与平面α一定没有公共点

D. 平面α内的所有直线均与a 异面

4、如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系为（ ）

A. 平行

B. 相交

C.直线在平面内

D.平行或直线在平面内 5、若平面外三点到α的距离相等，则过这三点的平面与α的位置关系为（ ） A. 平行 B. 相交 C.平行或相交 D.垂直

三、典例分析：

例1、如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， M 、N 分别是BC 和A 1B 1的中点. 求证：MN ∥平面AA 1C 1.

例2、在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， 求证：（1）B 1D 1//平面BC 1D （2）平面AB 1D 1//平面C 1BD

四、巩固练习：

1、已知平面βα,和直线m ，给出条件：①α//m ；②α⊥m ；③α?m ；④βα⊥；⑤βα//. 当满足条件 时，有β//m ；

2、已知直线a,b,平面α，则以下三个命题：

①若a ∥b,b ?α,则a ∥α; ②若a ∥b,a ∥α,则b ∥α; ③若a ∥α,b ∥α,则a ∥b. 其中真命题的个数是 .

3、若平面βα//，直线βα??b a ,，则a 与b （ ）

A.平行

B.异面

C. 平行或异面

D.以上都不对 4、如图，已知M 、N 、P 、Q 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点． 求证：(1)线段MP 和NQ 相交且互相平分；

(2)AC ∥平面MNP ，BD ∥平面MNP ．

5、(选做)如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，

O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点， 问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面PAO ？

第5课 直线、平面垂直的判定与性质

C A 1

D A

B

D 1

C 1

B 1

B

A

D C

P N Q

M

一、要点知识：

1、空间中的垂直关系转化与联系：

2、直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的 ，

则该直线与此平面垂直。

3、直线与平面垂直的性质定理：一条直线垂直一个平面，则这条直线垂直于这个平面内 的 一条直线。

4、垂直于同一个平面的两条直线 。

5、平面与平面垂直的判定定理：一个平面经过另一个平面的 ，则这两个平面垂直。

6、平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内 与另一个平面垂直。 学业水平考试怎么考

1、 如图，在三棱锥P ABC -，PC ⊥底面ABC ，AB BC ⊥， D 、E 分别是AB 、PB 的中点． 求证：AB PB ⊥．

2、在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，且

PA=AB 。求证：BD ⊥平面PAC ；

3、如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，⊥D D 1底面ABCD ，底面ABCD

是正方形，且AB=1，21=

D D 。求证：AC ⊥平面D D BB 11

二、课前小练：

1、已知直线a 、b 和平面α，下列说法中错误的是（ ） A. b a b a ⊥??⊥αα, B. αα⊥?⊥b a b a ,// C. b a b a //,//??αα D. ααα??⊥⊥a a b b a 或//,

2、三棱锥A —BOC 中，OA 、OB 、OC 两两垂直，则该三棱锥的四个面中互相垂直的平面的对数是（ ）

A .1对 B.2对 C. 3对 D.4对 3、已知直线a 、b 和平面γβα,,，可以使βα⊥成立的条件是（ ） A. b a b a ⊥??,,βα B. b a b a ⊥,//,//βα C. βα//,a a ⊥ D. γβγα⊥⊥,

4、已知直线,α⊥a m 表示直线，β表示平面，有以下四个结论：（1）ββα//a ?⊥；（2）βαβ⊥??m m a ,//，（3）m a m ⊥?α//，（4）若β与a 相交，则β必与α相交。其中正确的结论个数有（ ）

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1 直线与直线垂直 直线与平面垂直 平面与平面平行垂直 B

C

D

A

P

D

1

D 1A 1B 1C B

C A

5、如图，在三棱锥P —ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，则三棱锥P —ABC 的四个面PAB 、PAC 、PBC 、和ABC 中，直角三角形的个数为（ ）

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

三、典例分析：

例1、如图，三棱锥S —ABC 中，底面ABC 是边长为a 2的正三角形， SA=SC=a,D 为AC 的中点。（1）求证：A C ⊥平面SBD

（2）若二面角S —AC —B 为直二面角，求三棱锥S —ABC 的体积 例2、如图，PCBM 是直角梯形，BC PM PCB //,90?=∠ ,PM=1,PC=2,又AC=1, ,90?=∠ACB

二面角P —BC —A 的大小为?60 （1）求证：平面PA C ⊥平面ABC （2）求三棱锥P —MAC 的体积。

例3、如图所示，已知PA 垂直于矩形ABCD 所在平面， M 、N 分别是AB 、PC 的中点。 (1)求证：MN//平面PAD （2）求证：MN ⊥CD

（3）若?=∠45PDA ，求证：MN ⊥平面PCD

四、巩固练习： 1、直线a 与平面α不垂直，则直线a 与α内直线垂直的条数有（ ）

A.0条

B. 1条

C. 无数条

D. α内所有直线

2、用a 、b 、c 表示三条不同的直线，y 表示平面，给出下列命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；

③若a ∥y ，b ∥y ，则a ∥b ；④若a ⊥y ，b ⊥y ，则a ∥b .正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①④ D.③④ 3、已知直角△ABC 所在平面外有一点P ，且PA=PB=PC ， D 是斜边AB 的中点，求证：PD ⊥平面ABC.

4、三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱垂直底面，AC=3,BC=4,AB=5, AA 1=4, (1)求证：AC ⊥BC 1

(2)求三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积

第6课 立体几何的综合应用

一、要点知识：1、斜线与平面所成的角的几何方法：先过斜线上的一点作平面的

____ 再

连接_____斜足（即射影），则斜线与射影所成的角即为所求。 2、二面角：

二、课前小练：

1、在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线A 1C 与平面ABCD 所成的角的正弦值为________

2、在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2，AA 1=1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为______ B

A P

M C

B

C

A

D

S A

p

B C

D

M N

C

B

P A D A

B

C

A 1

B 1

C 1

3、三棱锥V —ABC 中，V A=VB=AC=BC=2, 2,32==VC AB ,则二面角V —AB —C 的

大小为_______-

4、如图，在三棱锥S —ABC 中，AC ⊥平面SBC ，已知a SB a BC a SC 2,3,===,

则二面角S —AC —B 的大小为_____

三、典例分析：

例1、如图，在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边 长a 的正方形，PD=a,

(1)若E 为PC 的中点，求证：PA//平面BDE

（2）求直线PB 与平面ABCD 所成角的正切值。

例2．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求平面A 1DC 1与平面ADD 1A 1所成角的正切值。

四、巩固练习：

1、已知二面角βα--AB 的平面角是锐角θ，α内一点C 到β的距离为3，点C 到棱AB 的距离为4，那么θtan 的值等于（ ）

A. 4

3

B. 53

C. 77

D. 773 2、在三棱锥P —ABC 中，侧面PB C ⊥底面ABC ，且PB=PC=BC ，则直线PC 与底面ABC 所成

的角的大小为（ ）

A. ,30?

B. ,45?

C. ,60?

D. ,90?

3、四棱锥V —ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为5的等腰三角形，则二面角V —BC —A 的平面角的大小为_______

4、已知等腰直角三角形ABC ，沿其斜边AB 边上的高CD 对折，使ACD ?与BCD ?所在平面垂直，此时，=∠ACB ________

5、（选作）如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD, SD ＝AD ＝a,点E 是SD 上的点，且DE ＝λa(0<λ≤1). (Ⅰ)求证：对任意的λ∈（0，1]，都有AC ⊥BE: (Ⅱ)若二面角C-AE-D 的大小为600

，求λ的值。

D

A

B

p

C

E

_ C 1

_ D 1 _ B 1

A 1

_ C

_ D

_A

_ B