二次函数压轴题(深圳)

二次函数压轴题（深圳）评卷人得分一．解答题（共50小题）1．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，直线AD：y＝x+1与y轴交于点D，P点是x轴上一个动点，过点P作PG∥y轴，与抛物线交于点G，与直线AD交于点H，当点C、D、H、G四个点组成的四边形是平行四边形时，求此时P点坐标．（3）如图3，连接AC和BC，Q点是抛物线上一个动点，连接AQ，当∠QAC＝∠BCO 时，求Q点的坐标．2．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）．（1）求此抛物线的函数表达式；（2）若P为线段BC上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，当△BCD面积最大时，求点P的坐标；（3）若M（m，0）是x轴上一个动点，请求出CM+MB的最小值以及此时点M的坐标．3．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣5，与x轴交于A（﹣1，0），B （5，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；（3）如图2．CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别相交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；（4）若点K为x轴上一点，连接CK，请你直接写出2CK+KB的最小值．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于B，C两点，与y轴交于点A，直线y＝﹣x+2经过A，C两点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，直线MN 与对称轴交于点G，与抛物线交于M，N两点（点N在对称轴右侧），且MN∥x轴，MN ＝7．（1）求此抛物线的解析式．（2）求点N的坐标．（3）过点A的直线与抛物线交于点F，当tan∠F AC＝时，求点F的坐标．（4）过点D作直线AC的垂线，交AC于点H，交y轴于点K，连接CN，△AHK沿射线AC以每秒1个单位长度的速度移动，移动过程中△AHK与四边形DGNC产生重叠，设重叠面积为S，移动时间为t（0≤t≤），请直接写出S与t的函数关系式．5．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，并经过B（4，4）和C（6，0）两点，点D 的坐标为（4，0），连接AD，BC，点F从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OC方向运动，到达点C后停止运动：点M同时从点D出发以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动，当点F停止时点M也停止运动．设点F的运动时间为t秒，过点F 作AB的垂线EF交直线AB于点E，交AD于点H．（1）求抛物线的解析式；（2）以线段EH为斜边向右作等腰直角△EHG，当点G落在第一象限内的抛物线上时，求出t的值；（3）设△EFM与四边形ADCB重合时的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式与相应的自变量t的取值范围．6．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于B点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DC⊥x轴于点C，交直线AB于点E．（1）求抛物线的函数表达式（2）是否存在点D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如图2，F是第一象限内抛物线上的动点（不与点D重合），点G是线段AB上的动点．连接DF，FG，当四边形DEGF是平行四边形且周长最大时，请直接写出点G的坐标．7．矩形OABC的边OC、OA分别位于x、y轴上，点A（0，﹣4）、B（6，﹣4）、C（6，0），抛物线y＝ax2+bx经过点O和点C，顶点M（3，﹣），点N是抛物线上一动点，直线MN交直线AB于点E，交y轴于F，△A′EF是将△AEF沿直线MN翻折后的图形．（1）求抛物线的解析式；（2）当四边AEA′F是正方形时，求点N的坐标．（3）连接CA′，求CA′的最小值．8．如图抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点D、E在直线x＝1上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的上方，求四边形ACDE 的周长的最小值．（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．9．如图已知抛物线y＝﹣x2+（1﹣m）x﹣m2+12交x轴于点A，交y轴于点B（0，3），顶点C位于第二象限，连接AB，AC，BC．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上是否存在点P，使得△P AB的面积等于△ABC的面积？如果存在，求出点P的坐标．（3）将△ABC沿x轴向右移动t个单位长度（0＜t＜1）时，平移后△ABC和△ABO重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系．10．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A、点B（4，0），与y轴交于点C；直线y＝﹣x+4经过点C，与x轴交于点D，点P是第一象限内抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）若∠PCB＝∠DCB，求△PCD的面积；（3）如图2，过点C作直线l∥x轴，过点P作PH⊥l于点H，将△CPH绕点C顺时针旋转，使点H的对应点H′恰好落在直线CD上，同时使点P的对应点P′恰好落在坐标轴上，请直接写出此时点P的坐标．11．如图，已知抛物线经y＝ax2+bx﹣3过A（1，0）、B（3，0）、C三点．（1）求抛物线解析式；（2）如图1，点P是BC上方抛物线上一点，作PQ∥y轴交BC于Q点．请问是否存在点P使得△BPQ为等腰三角形？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，连接AC，点D是线段AB上一点，作DE∥BC交AC于E点，连接BE．若△BDE∽△CEB，求D点坐标．12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与矩形AOBC的边AC、BC分别交于点E，F，E （3，4），且F（8，）为抛物线的顶点，将△CEF沿着EF翻折，点C恰好落在边OB 上的点D处．（1）求该抛物线的解析式；（2）点P为线段ED上一动点，连接PF，当PF平分∠EFD时，求PD的长度；（3）四边形AODE以1个单位/秒的速度沿着x轴向右运动，当点E与点C重合时停止运动，设运动时间为t秒，运动后的四边形A′O′D′E′与△DEF重合部分的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式．13．在平面直角坐标系中，直线与x轴交于B点，与y轴交于C点，抛物线y ＝ax2﹣2ax+c经过B、C两点，与x轴的另一个交点为点A．（1）求抛物线的解析式（2）如图，点D为线段OB上的一个动点，过点D作PD∥AC，交抛物线于点P，交直线BC于点E①连接OE，记△ODE的面积为S，求S的最大值，并求出此时点D的坐标；②设抛物线的顶点为Q，连接BQ交PD于点N，延长PD交y轴于点M，连接AM．请直接写出使△ADM与△BDN相似时点P的坐标．14．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）和B（3，0）两点，与y轴交于点C，点P为第一象限抛物线上的一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接OP，交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，求出点P的坐标．（3）如图2，点E的坐标为（0，﹣1），点G为x轴正半轴上一点，∠OGE＝15°，连接PE，是否存在点P，使∠PEG＝2∠OGE？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图1，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），并且与直线y＝x ﹣2相交于坐标轴上的B、C两点，动点P在直线BC下方的二次函数图象上．（1）求此二次函数的表达式；（2）如图1，连接PC，PB，设△PCB的面积为S，求S的最大值；（3）如图2，过点P作PM⊥BC于点M，是否存在点P，使得△CPM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，直角△ACB的直角顶点C在y轴正半轴上，斜边AB在x轴上且AB＝5，点A（﹣1，0），抛物线经过A、B、C三点，CD平行于x轴交抛物线与于点D，P为抛物线上一动点．（1）求抛物线解析式及点D坐标；（2）点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标；（3）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将△CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q′．是否存在点P，使Q′恰好落在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由．17．已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象分别与x轴交于点A（3，0），C（﹣1，0），与y轴交于点B．点D为二次函数图象的顶点．（1）如图①所示，求此二次函数的关系式：（2）如图②所示，在x轴上取一动点P（m，0），且1＜m＜3，过点P作x轴的垂线分别交二次函数图象、线段AD，AB于点Q、F，E，求证：EF＝EP；（3）在图①中，若R为y轴上的一个动点，连接AR，则BR+AR的最小值（直接写出结果）．18．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点；①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求的最大值；②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．19．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，点P为其顶点，对称轴l与x轴交于点D，抛物线上C、E两点关于对称轴l对称．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点G是线段OC上一动点，是否存在这样的点G，使△ODG与△CGE相似，若存在，请求出点G坐标，若不存在请说明理由．（3）平移抛物线，其顶点P在直线y＝x+3上运动，移动后的抛物线与直线y＝x+3的另一交点为M，与原对称轴l交于点Q，当△PMQ是以PM为直角边的直角三角形时，请写出点Q的坐标．20．如图，抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C，直线y＝﹣x+3经过点C与x轴交于点D，抛物线的顶点坐标为（2，4）．（1）请你直接写出CD的长及抛物线的函数关系式；（2）求点B到直线CD的距离；（3）若点P是抛物线位于第一象限部分上的一个动点，则当点P运动至何处时，恰好使∠PDC＝45°？请你求出此时的P点坐标．21．如图1，在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，0）、C、（0，﹣2），以AC为一边向右上方作正方形ACDE，其中点D在第四象限，点E在第一象限，过点E作直线l∥y轴，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线l，且经过A、C两点，与x轴的另一交点为B．（1）点E的坐标为，该抛物线的函数表达式为；（2）设抛物线的顶点为M，连接MB．在抛物线上是否存在点N，使∠NBA＝∠MBA？若存在，请求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．（3）过点D作直线m∥x轴，交直线l于点F，如图2．动点P从抛物线的顶点M出发，沿抛物线的对称轴l向上运动，与此同时，动点Q从点F出发，沿直线m向右运动，连接PQ、PB、BQ．设P、Q两点运动的速度均为1个单位长度/秒，运动的时间为t秒，△PBQ的面积为S．请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．22．如图1，抛物线y＝﹣x2+kx+c与x轴交于A和B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点D是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；（2）点P在x轴上，直线DP将△BCD的面积分成1：2两部分，请求出点P的坐标；（3）如图2，作DM⊥x轴于M点，点Q是BD上方的抛物线上一点，作QN⊥BD于N 点，是否存在Q点使得△DQN∽△DBM？若存在，请直接写出Q坐标；若不存在，请说明理由．23．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与直线y＝x﹣3交于点A（3，0）和点B（﹣2，n），与y轴交于点C．（1）求出抛物线的函数表达式；（2）在图1中，平移线段AC，点A、C的对应点分别为M、N，当N点落在线段AB上时，M点也恰好在抛物线上，求此时点M的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点P（不与点A重合），使△PMC 的面积与△AMC的面积相等？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．24．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，已知抛物线的对称轴所在的直线是x＝，点B的坐标为（4，0）．（1）抛物线的解析式是；（2）若点P是直线BC下方抛物线上一动点，当∠ABP＝2∠ABC时，求出点P的坐标；（3）若M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在点N，使得点B，C，M，N构成的四边形是菱形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．25．如图，O是坐标原点，过点A（﹣1，0）的抛物线y＝x2﹣bx﹣3与x轴的另一个交点为B，与y轴交于点C，其顶点为D点．（1）求b的值以及点D的坐标；（2）连接BC、BD、CD，在x轴上是否存在点P，使得以A、C、P为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．26．如图，直线AB和抛物线的交点是A（0，﹣3），B（5，9），已知抛物线的顶点D的横坐标是2．（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）在x轴上是否存在一点C，与A，B组成等腰三角形？若存在，求出点C的坐标，若不在，请说明理由；（3）在直线AB的下方抛物线上找一点P，连接P A，PB使得△P AB的面积最大，并求出这个最大值．27．如图1已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴相交于A（﹣1，0）、B（3，0），P为抛物线上第四象限上的点．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，PD交BC于点E，当线段PE的长度最大时，求点P的坐标．（3）如图2，当线段PE的长度最大时，作PF⊥BC于点F，连结DF．在射线PD上有一点Q，满足∠PQB＝∠DFB，问在坐标轴上是否存在一点R，使得S△RBE＝S△QBE？如果存在，直接写出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．28．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA＝∠BDE时，求点F的坐标；（3）若点P是x轴上方抛物线上的动点，以PB为边作正方形PBFG，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随着改变，当顶点F或G恰好落在y轴上时，请直接写出点P的横坐标．29．如图，直线y＝kx+2与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过点A，B．（1）求k的值和抛物线的解析式；（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．①若以O，B，N，P为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值．②连接BN，当∠PBN＝45°时，求m的值．30．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B （4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA．（1）试求抛物线的解析式；（2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m＝，试求m的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．31．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l，点D（﹣4，n）在抛物线上．（1）求直线CD的解析式；（2）E为直线CD下方抛物线上的一点，连接EC，ED，当△ECD的面积最大时，在直线l上取一点M，过M作y轴的垂线，垂足为点N，连接EM，BN，若EM＝BN时，求EM+MN+BN的值．（3）将抛物线y＝x2+2x﹣3沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过原点O，y′与x轴的另一个交点为F，设P是抛物线y′上任意一点，点Q在直线l上，△PFQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，直接写出点P的坐标，若不能，请说明理由．32．在直角坐标平面内，直线y＝x+2分别与x轴、y轴交于点A、C．抛物线y＝﹣+bx+c 经过点A与点C，且与x轴的另一个交点为点B．点D在该抛物线上，且位于直线AC 的上方．（1）求上述抛物线的表达式；（2）联结BC、BD，且BD交AC于点E，如果△ABE的面积与△ABC的面积之比为4：5，求∠DBA的余切值；（3）过点D作DF⊥AC，垂足为点F，联结CD．若△CFD与△AOC相似，求点D的坐标．33．如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y＝x﹣2交于B，C两点．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）求△ABC的面积；（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．34．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣2ax+与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），抛物线的顶点为C，直线AC交y轴于点D，D为AC的中点．（1）如图1，求抛物线的顶点坐标；（2）如图2，点P为抛物线对称轴右侧上的一动点，过点P作PQ⊥AC于点Q，设点P 的横坐标为t，点Q的横坐标为m，求m与t的函数关系式；（3）在（2）的条件下，如图3，连接AP，过点C作CE⊥AP于点E，连接BE、CE分别交PQ于F、G两点，当点F是PG中点时，求点P的坐标．35．如图，关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N 从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．36．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，AB∥OC，OA＝5，AB＝10，OC ＝12，抛物线y＝ax2+bx经过点B、C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）一动点P从点A出发，沿AC以每秒2个单位长度的速度向点C运动，同时动点Q 从点C出发，沿CO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PQC是直角三角形？（3）问在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得MO﹣MB的值最大？若存在，直接写出最大值和点M的坐标；若不存在，请说明理由．37．如图1，抛物线y＝ax2+（a+2）x+2（a≠0），与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点P（m，0）（0＜m＜4），过点P作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点M．（1）求抛物线的解析式；（2）若PN：PM＝1：4，求m的值；（3）如图2，在（2）的条件下，设动点P对应的位置是P1，将线段OP1绕点O逆时针旋转得到OP2，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接AP2、BP2，求AP2+的最小值．38．如图1，抛物线C1：y＝ax2+bx+1的顶点坐标为D（1，0）且经过点（0，1），将抛物线C1向右平移1个单位，向下平移1个单位得到抛物线C2，直线y＝x+c，经过点D交y轴于点A，交抛物线C2于点B，抛物线C2的顶点为P．（1）求抛物线C1的解析式；（2）如图2，连结AP，过点B作BC⊥AP交AP的延长线于C，设点Q为抛物线上点P 至点B之间的一动点，连结BQ并延长交AC于点F，①当点Q运动到什么位置时，S△PBD×S△BCF＝8？②连接PQ并延长交BC于点E，试证明：FC（AC+EC）为定值．39．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2），（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图2，在抛物线对称轴上取两个点G、H（G在H的上方），且满足GH＝1，连接CG，AH，求四边形CGHA的周长的最小值；（3）如图3，点P是抛物线第一象限的一个动点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交BC于点D，PE⊥BC于点E，设△PDE的面积为S，求当S取得最大值时点P的坐标，并求S 的最大值．40．如图，抛物线y＝x2+2x﹣3的图象与x轴交于点A、B（A在B左侧），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求△ABC的面积；（2）P是对称轴左侧抛物线上一动点，以AP为斜边作等腰直角三角形，直角顶点M正好落在对称轴上，画出图形并求出P点坐标；（3）若抛物线上只有三个点到直线CD的距离为m，求m的值．41．如图，点A的坐标为（﹣4，0），点B的坐标为（0，﹣2），把点A绕点B顺时针旋转90°得到的点C恰好在抛物线y＝ax2上，点P是抛物线y＝ax2上的一个动点（不与点O 重合），把点P向下平移2个单位得到动点Q，则：（1）直接写出AB所在直线的解析式、点C的坐标、a的值；（2）连接OP、AQ，当OP+AQ获得最小值时，求这个最小值及此时点P的坐标；（3）是否存在这样的点P，使得∠QPO＝∠OBC，若不存在，请说明理由；若存在，请你直接写出此时P点的坐标．42．已知抛物线，顶点为A，且经过点，点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，直线AB与x轴相交于点M，y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若∠OPM＝∠MAF，求△POE的面积；（3）如图2，点Q是折线A﹣B﹣C上一点，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将△QEN沿QE翻折得到△QEN1，若点N1落在x轴上，请直接写出Q点的坐标．43．如图，在平面直角坐标系xOy中，以直线x＝对称轴的抛物线y＝ax2+bx+c与直线l：y＝kx+m（k＞0）交于A（1，1），B两点，与y轴交于C（0，5），直线l与y轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设直线l与抛物线的对称轴的交点为F，G是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若＝，且△BCG与△BCD面积相等，求点G的坐标；（3）若在x轴上有且仅有一点P，使∠APB＝90°，求k的值．44．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC为平行四边形，点A、C的坐标分别为（2，0）和（1，3），抛物线y＝ax2﹣2x经过点A，点D是该抛物线的顶点．（1）求a的值；（2）判断点B是否在抛物线上，并说明理由；（3）连接AD，在线段OA上找一点P，使∠APD＝∠OAB，求点P的坐标；（4）若点Q是y轴上一点，以Q、A、D为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点在抛物线y＝ax2﹣2x上，写出点Q的坐标（直接写出答案即可）．45．如图1，抛物线y＝ax2﹣9ax﹣36a（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OC＝OA，点P是抛物线上的一个动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点D，连接PC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，当动点P只在第一象限的抛物线上运动时，连接PB，试问△PCB的面积是否有最大值？如果有，请求出其最大值，如果没有，请说明理由．（3）当点P在抛物线上运动时，将△CPD沿直线CP翻折，点D的对应点为点Q，试问，四边形CDPQ是否能成为菱形？如果能，请直接写出点P的坐标；如果不能，请说明理由．46．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与x轴交于B点，与y轴交于C点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与y轴的另一个交点为点A，P为线段BC上一个动点（不与点B、点C重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点D，连结CD、PD，当△PDC为直角三角形时，求点P的坐标；（3）过点C作CE∥x轴，交抛物线于点E，如图2，求PB+2PE的最小值．47．如图，关于x的二次函数y＝﹣x2+bx+c经过点B（1，0），点A（﹣3，0），与y轴相交于点C，点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AC，在线段AC上方的抛物线上是否存在点F，使△F AO与△ABC相似，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若G是直线AC下方的抛物线上一点，则S△AGC与S△ADC是否存在2倍关系，若存在，请直接写出点G的坐标．48．已知抛物线y＝a（x﹣2）2﹣9经过点P（6，7），与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线AP与y轴交于点D，抛物线对称轴与x轴交于点E，（1）求抛物线的解析式；（2）过点E任作一条直线l（点B、C分别位于直线l的异侧），设点C到直线l的距离为m，点B到直线1的距离为n，求m+n的最大值；（3）y轴上是否存在点Q，使∠QPD＝∠DEO，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．49．如图，已知抛物线y＝x2+mx+n与x轴相交于点A、B两点，过点B的直线y＝﹣x+b 交抛物线于另一点C（﹣5，6），点D是线段BC上的一个动点（点D与点B、C不重合），作DE∥AC，交该抛物线于点E，（1）求m，n，b的值；（2）求tan∠ACB；（3）探究在点D运动过程中，是否存在∠DEA＝45°，若存在，则求此时线段AE的长；若不存在，请说明理由．50．已知抛物线经过点A（0，3）、B（4，1）、C（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）联结AC、BC、AB，求∠BAC的正切值；（3）点P是该抛物线上一点，且在第一象限内，过点P作PG⊥AP交y轴于点G，当点G在点A的上方，且△APG与△ABC相似时，求点P的坐标．二次函数压轴题（深圳）参考答案与试题解析一．解答题（共50小题）1．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，直线AD：y＝x+1与y轴交于点D，P点是x轴上一个动点，过点P作PG∥y轴，与抛物线交于点G，与直线AD交于点H，当点C、D、H、G四个点组成的四边形是平行四边形时，求此时P点坐标．（3）如图3，连接AC和BC，Q点是抛物线上一个动点，连接AQ，当∠QAC＝∠BCO 时，求Q点的坐标．【分析】（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），故﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，即可求解；（2）GH＝CD＝2，即|x+1﹣（﹣x2﹣2x+3）|＝2，即可求解；（3）设：MH＝x＝MC，∠QAC＝∠BCO，则tan∠CAH＝，则AM＝3x，故AC＝AM+CM ＝4x＝3，解得：x＝，则CH＝x＝，OH＝OC﹣CH＝，故点H（0，），同理点H′（﹣，3），即可求解．【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），故﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3…①；（2）直线AD：y＝x+1与y轴交于点D，则点D（0，1），则CD＝2；设点P（x，0），则点H（x，x+1）、点G（x，﹣x2﹣2x+3），则GH＝CD＝2，即|x+1﹣（﹣x2﹣2x+3）|＝2，解得：x＝﹣或，故点P（﹣，0）或（，0）或（，0）；（3）设直线AQ′交y轴于点H，过点H作HM⊥AC交于点M，交AQ于点H′，设：MH＝x＝MC，∠QAC＝∠BCO，则tan∠CAH＝，则AM＝3x，故AC＝AM+CM＝4x＝3，解得：x＝，则CH＝x＝，OH＝OC﹣CH＝，故点H（0，），同理点H′（﹣，3），由点AH坐标得，直线AH的表达式为：y＝（x+3）…②，同理直线AH′的表达式为：y＝2（x+3）…③，联立①②并解得：x＝﹣3（舍去）或；联立①③并解得：x＝﹣3（舍去）或﹣1；故点Q的坐标为：（，）或（﹣1，4）．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．2．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）．（1）求此抛物线的函数表达式；（2）若P为线段BC上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，当△BCD面积最大时，求点P的坐标；（3）若M（m，0）是x轴上一个动点，请求出CM+MB的最小值以及此时点M的坐标．【分析】（1）将点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c即可求解；（2）设D（m，m2﹣2m﹣3），可求BC的解析式为y＝x﹣3，过点D与BC垂直的直线解析式为y＝﹣x+m2﹣m﹣3，所以BC与其垂线的交点T（，），DT＝|m2﹣m|，当m＝时，△BCD面积最大，所以求得P（，﹣）；（3）过B点作与x轴成角30°的直线BT，过点C作CN⊥BT交于点N，则MC+MN＝MC+MB＝CN为最小．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，即可求a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3，∴y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵B（3，0），C（0，﹣3），设D（m，m2﹣2m﹣3），∴BC的解析式为y＝x﹣3，∴过点D与BC垂直的直线解析式为y＝﹣x+m2﹣m﹣3，∴BC与其垂线的交点T（，），∴DT＝|m2﹣m|，∵0＜m＜3，∴当m＝时，△BCD面积最大，∴P点横坐标为，∴P（，﹣）；（3）过B点作与x轴成角30°的直线BT，过点C作CN⊥BT交于点N，∵∠MBN＝30°，∴MN＝MB，∴MC+MN＝MC+MB＝CN，∵OC＝3，∴OM＝，∴M（，0），∵CT＝3+，∴CN＝．【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．3．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣5，与x轴交于A（﹣1，0），B （5，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；（3）如图2．CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别相交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；（4）若点K为x轴上一点，连接CK，请你直接写出2CK+KB的最小值．【分析】（1）根据待定系数法直接确定出抛物线解析式；（2）分两种情况，利用相似三角形的比例式即可求出点D的坐标；（3）先求出直线BC的解析式，进而求出四边形CHEF的面积的函数关系式，即可求出最大值；（4）作点C关于x轴的对称点E（0，5），将△BKC绕点B逆时针旋转60°，得到△BHF，连接HK，EF，EK，过点F作FM⊥x轴，可得点E，点K，点H，点F四点共线时，2CK+KB 的值最小，最小值为EF的长，由勾股定理可求解．【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0），B（5，0）在抛物线y＝ax2+bx﹣5上，∴，∴，∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x﹣5，（2）如图1，。