高二理科数学秋季讲义 第9讲 双曲线与抛物线的基本量问题典型考法.教师版
高二数学双曲线知识点总结
高二数学双曲线知识点总结高二数学双曲线知识点总结双曲线是高二数学中较难的内容，同时也是高中数学的重点。
下面小编给高二同学带来数学双曲线知识点，希望对你有帮助。
高二数学双曲线知识点总结1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。
当λ>0时，λa与a同方向;当λ<0时，λa与a反方向;当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣>1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍;当∣λ∣<1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。
向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。
② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
4、向量的的数量积定义：两个非零向量的夹角记为〈a，b〉，且〈a，b〉∈[0，π]。
高中数学双曲线和抛物线的总结及例题精讲
双曲线项目 内容第一定义 平面内与两个定点12,F F 的距离之差等于常数（小于12||F F ）的点的轨迹叫双曲线。
第二定义平面内到定点与到定直线的距离之比为常数(1)e e >的点的轨迹叫双曲线。
图形标准方程22221(,)x y a b o a b -=> 22221(,)y x a b o a b -=> 几何 性 质范围 ||,x a y R ≥∈,||x R y a ∈≥顶点与实虚轴的长12(,0),(,0),22,A a A a a b a b -===实轴长虚轴长叫等轴双曲线12(0,),(0,),22,A a A a a b a b -===实轴长虚轴长叫等轴双曲线焦点焦距1222212(,0),(,0)||2()F c F c F F c c a b -==+其中1222212(0,),(0,)||2()F c F c F F c c a b -==+其中准线方程2a x c=±2a y c=±焦半径当00(,)P x y 在右支上时 左1020,PF ex a PF ex a =+=-右当00(,)P x y 在左支上时 左1020(),()PF ex a PF ex a =-+=--右当00(,)P x y 在上支上时 下1020,PF ey a PF ey a =+=-上当00(,)P x y 在下支上时 下1020(),()PF ey a PF ey a =-+=--上渐近线方程 2222(0)b x y y x a a b=±-=或2222(0)a y x y x b a b=±-=或焦准距 22a b p c c c=-=离心率 2(1),1c be e e a a=>=-（e 越小，双曲线开口越小）,等轴双曲线的2e =准线间距 22a d c= 对称性 双曲线都是关于,x y 轴成轴对称，关于原点成中心对称通径 22b q a= 焦点三角双曲线上一点与双曲线的两个焦点组成的三角形，解题中常用余弦定理和勾股定形 理来进行相关的计算焦点弦三角形 双曲线的一焦点与过另一焦点的弦组成的三角形。
数学(理)一轮复习：第九章 解析几何 双曲线
1．双曲线定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于｜F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝｛M｜｜｜MF1|－｜MF2｜|＝2a｝，|F1F2｜＝2c，其中a，c 为常数且a〉0，c〉0。
(1）当2a<｜F1F2｜时，P点的轨迹是双曲线;(2）当2a＝|F1F2｜时，P点的轨迹是两条射线；(3）当2a〉|F1F2｜时,P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程错误!－错误!＝1（a〉0，b〉0)y2a2－错误!＝1(a〉0，b〉0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a 对称性对称轴：坐标轴对称中心:原点顶点A1（－a,0)，A2(a，0）A1（0，－a)，A2（0，a)渐近线y＝±错误!x y＝±错误!x离心率e＝错误!，e∈(1,＋∞）,其中c＝错误!实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b;a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b〉0）系【知识拓展】巧设双曲线方程（1)与双曲线错误!－错误!＝1（a>0，b〉0)有共同渐近线的方程可表示为错误!－错误!＝t（t≠0)．（2)过已知两个点的双曲线方程可设为错误!＋错误!＝1(mn〈0)．【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“√"或“×”）(1）平面内到点F1（0，4)，F2（0，－4）距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( ×）(2）方程错误!－错误!＝1（mn〉0）表示焦点在x轴上的双曲线．（×）(3)双曲线方程错误!－错误!＝λ(m〉0，n>0,λ≠0)的渐近线方程是错误!－错误!＝0,即错误!±错误!＝0.( √）(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.（√）（5)若双曲线错误!－错误!＝1（a〉0，b>0）与错误!－错误!＝1（a〉0,b>0)的离心率分别是e1，e2,则错误!＋错误!＝1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线）．（√）1．(教材改编)若双曲线错误!－错误!＝1 (a〉0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )A。
高中数学必修抛物线教学讲义
03- 抛物线【知识点】一、抛物线的标准方程、种类及其几何性质() ：标准方程图形焦点准线范围对称轴极点离心率二、抛物线的焦半径、焦点弦轴（0，0）轴1.焦点弦：过抛物线焦点的弦，若，则(1) x0+，(2) ，－ p2(3)弦长 , ，即当 x1=x2时 , 通径最短为 2p(4)若 AB的倾斜角为θ，则 =（5） +=2.通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦。
过焦点的全部弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为2p.3.的参数方程为（为参数），的参数方程为（为参数）.4、弦长公式：三、抛物线问题的基本方法1.直线与抛物线的地点关系2.直线，抛物线，3.，消 y 得：4.（ 1）当 k=0 时，直线与抛物线的对称轴平行，有一个交点；5.（ 2）当 k≠ 0 时，＞0，直线与抛物线订交，两个不一样交点；=0，直线与抛物线相切，一个切点；＜0，直线与抛物线相离，无公共点。
（3）若直线与抛物线只有一个公共点, 则直线与抛物线必相切吗（不必定）6.对于直线与抛物线的地点关系问题常用办理方法直线：抛物线，①联立方程法：设交点坐标为, ，则有 , 以及，还可进一步求出，在波及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比方a.订交弦 AB的弦长或b.中点, ，②点差法：设交点坐标为，，代入抛物线方程，得将两式相减，可得a.在波及斜率问题时，b.在波及中点轨迹问题时，设线段的中点为，，即，同理，对于抛物线，若直线与抛物线订交于两点，点是弦的中点，则有（注意能用这个公式的条件： 1）直线与抛物线有两个不一样的交点， 2）直线的斜率存在，且不等于零）【典型例题】考点 1 抛物线的定义题型利用定义, 实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的变换[ 例1 ]已知点P 在抛物线 y2= 4x 上，那么点P 到点Q（ 2，－ 1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和的最小值为[分析]过点P 作准线的垂线交准线于点R，由抛物线的定义知，，当P 点为抛物线与垂线的交点时，获得最小值，最小值为点Q到准线的距离, 因准线方程为x=-1,故最小值为31. 已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且、、成等差数列，则有（）A．B．C． D.［分析］C由抛物线定义，即：．2.已知点 F 是抛物线的焦点 ,M 是抛物线上的动点 , 当最小时 ,M点坐标是()A. B. C. D.[分析]设 M到准线的距离为, 则，当最小时，M点坐标是，选C考点2抛物线的标准方程题型 : 求抛物线的标准方程[ 例 2 ]求知足以下条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1) 过点 (-3,2)(2)焦点在直线上[ 分析 ] (1)设所求的抛物线的方程为或,∵过点 (-3,2)∴∴∴抛物线方程为或,前者的准线方程是后者的准线方程为(2)令得，令得，∴抛物线的焦点为(4,0) 或 (0,-2),当焦点为(4,0)时,∴，此时抛物线方程; 焦点为 (0,-2)时∴，此时抛物线方程.∴所求抛物线方程为或, 对应的准线方程分别是.3. 若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合, 则的值[分析]4.对于极点在原点的抛物线，给出以下条件：①焦点在 y 轴上；②焦点在 x 轴上；③抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6；④抛物线的通径的长为 5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2， 1）.能使这抛物线方程为y 2=10的条件是 ____________. （要求填写适合条件的序号）x[分析]用清除法，由抛物线方程y2=10x 可清除①③④，进而②⑤知足条件.5.若抛物线的极点在原点，张口向上， F 为焦点， M为准线与 Y 轴的交点， A 为抛物线上一点 , 且，求此抛物线的方程[ 分析 ]设点是点在准线上的射影，则，由勾股定理知，点 A 的横坐标为，代入方程得或4，抛物线的方程或考点 3抛物线的几何性质题型：相关焦半径和焦点弦的计算与论证[ 例 3 ] 设 A、 B 为抛物线上的点, 且 (O 为原点 ), 则直线 AB必过的定点坐标为__________.［分析］设直线OA方程为 , 由解出 A点坐标为解出 B 点坐标为，直线AB方程为 , 令得，直线AB 必过的定点增补：抛物线的几个常有结论及其应用结论一：若AB是抛物线的焦点弦（过焦点的弦），且，，则：，。
高三理科数学秋季讲义 第9讲.圆锥曲线基本量与性质巩固、曲线与方程. 教师版
例6，7+其他例3，4，5小题，例1，例2时间轴：60 60 40知识梳理知识结构图第9讲 圆锥曲线基本量与性质巩固、曲线与方程若双曲线22221x y a b -=( ) A ．2y x =± B ．y = C ．12y x =± D ．y x =±【解析】B1．双曲线22+1mx y =的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于( )A ．14-B ．4-C ．4D ．14【解析】A ；2．设抛物线24x y =的焦点为F ，经过点()14P ，的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，且点P 恰为AB 的中点，则AF BF += . 【解析】10；3．若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8 【解析】C ；小题热身真题再现4．已知两定点(2,0)A －，()1,0B ，如果动点P 满足2PA PB =，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π 【解析】B ；1．设点P 是椭圆22221x y a b +=（0a b >>）上的动点，1F ，2F 是椭圆的左右焦点，2PF x ⊥轴，P 点在第一象限，那么P 点坐标为 ．【解析】2b c a ⎛⎫⎪⎝⎭，；可拓展到双曲线和抛物线，有类似结论．2．双曲线的渐近线有重要性质：双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的焦点到渐近线的距离为_____，顶点到渐近线的距离为 ．【解析】b ；3．如图把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于127P P P ，，，七个点，F 是椭圆的一个焦点，则127PF P F P F +++=_____．暑期知识回顾9.1圆锥曲线基本量综合【解析】35；4．一动圆的圆心在抛物线28y x =上，且动圆恒与直线20x +=相切，则此动圆必过定点（ ） A ．()40， B ．()20， C ．()02， D ．()02-， 【解析】B ；5．已知点()11A ，，1F 是椭圆22195x y +=的左焦点，P 是椭圆上的任意一点，则1PF PA +的最小值为 ． 【解析】6考点1：椭圆的基本量综合【例1】⑴求适合下列条件的椭圆的标准方程： ①过点(32)-，且与椭圆224936x y +=有相同焦点；②长轴与短轴长之和为20，焦距为③以边长为4的正ABC △的顶点B 、C 为焦点，经过顶点A ．⑵已知椭圆22+11510x y =的焦点为12F F ，，P 为椭圆上一动点，1260F PF ∠=︒，求12F PF S △．⑶如图所示，椭圆中心在原点，F 是左焦点，直线1AB 与BF 交于D ，且190BDB ∠=︒，则椭圆的离心率为( )AB C D【解析】⑴ ①+11510= ②22+13616x y =或者22+11636x y = ③22+11612x y =或者22+11216x y = ⑵ 12F PF S =△；⑶ B ；【设计意图】⑴复习椭圆的基本性质；⑵焦点三角形面积公式2tan 2S b θ=；⑶椭圆离心率的综合题目．经典精讲【拓展】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F A ，，是椭圆上的一点，212AF F F ⊥，原点O 到直线1AF 的距离为113OF．证明：a =．【解析】由题设212AF F F ⊥及1(0)F c -，，2(0)F c ，，不妨设点()A c y ，，其中0y >．由于点A 在椭圆上， 有22221c y a b +=，即222221a b y a b-+=．解得2b y a =，从而得到2b Ac a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．212b AF a a=-在三角形12AF F 中由面积相等得1112223AF OF F F AF ⋅=⋅∴222223b b a c c a a ⎛⎫-⋅=⋅ ⎪⎝⎭，∴a =．该题也可求解直线1AF 的方程，利用点O 到该直线的距离求解，运算较繁．也可利用三角形相似求解，有关焦点三角形的问题，要增强解三角形的意识．【拓展】（2012年四川卷）椭圆22143x y +=的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A B ，，当FAB △ 的周长最大时，FAB △的面积是 .【解析】3；【拓展】在直线:90l x y -+=上任意取一点M ，经过M 点且以椭圆221123x y +=的焦点为焦点作椭圆，所作椭圆的长轴最短为 ．【分析】要使所作椭圆的长轴最短，当然想到椭圆的定义．基本的解题思路如下：长轴最短→三点一直线→寻求对称→对称变换．在一系列的变化过程中巧妙的运用对称，使我们找到一种简明的解题方法．通过此对称性主要利用1221||||||NF NF F F '+≥.【解析】考点2：双曲线的基本量综合【例2】⑴求适合下列条件的双曲线的标准方程．①虚轴长为12，离心率为54；②焦距为26，且经过点()012M ，； ③与双曲线221916x y -=有公共渐近线，且经过点(3A -，．⑵设1F ，2F 分别是双曲线2219y x -=的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且120PF PF ⋅=，则12PF PF +=( )A B．CD ．⑶如图，1F 和2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1OF 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且2F AB △是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）AB D ．1【解析】⑴ ①2216436x y -=或2216436y x-=．②22114425y x -=． ③224194x y -=．⑵ B ⑶ D ；【评注】即使是解析法解题，也须不失时机地引入几何手段.注意选项，直接排除AB ．【拓展】设P 是双曲线()2222100x y a b a b-=>>，左支上的一点，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，则以2PF 为直径的圆与以双曲线的实轴为直径的圆的位置关系是( ) A ．内切 B ．外切 C ．内切或外切D ．不相切【解析】A ；考点3：抛物线的基本量综合【例3】⑴根据下列条件求抛物线的标准方程．①抛物线的焦点是双曲线22169144x y -=的左顶点； ②经过点()23A -，；③焦点在直线240x y --=上；④抛物线焦点F 在x 轴上，直线3y =-与抛物线交于点A ，5AF =． ⑵已知动点M的坐标满足方程3412x y +-，则动点M 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．以上都不对⑶已知点(03)A ，-，()23B ，，设点P 为抛物线2x y =上一点，求PAB △面积的最小值及取到最小值时P 点的坐标．【解析】⑴ ①212y x =-．②292y x =或243x y =-．③28x y =-或216y x =．④为22y x =±或218y x =±． ⑵ C ；⑶当3924P ⎛⎫⎪⎝⎭，时，PAB △面积有最小值34S =．【拓展】已知抛物线2y x =，动弦x【分析1】要求AB 12观察到1y 、2y 是梯形ABCD 的两底，这样使得中点纵坐标y 成为中位线，可以利用几何图形的性质和抛物线定义求解．【分析2】要求AB 中点M 的纵坐标y 的最小值，可列出y 关于某一变量的函数，然后求此函数的最小值．【答案】点M 纵坐标的最小值为34．【拓展】设P 是抛物线24y x =上的一个动点．⑴ 求点P 到点()11A -，的距离与点P 到直线1x =-的距离之和的最小值； ⑵ 若()32B ，，求PB PF +的最小值．【解析】⑴⑵ PB PF +的最小值是4．【教师备案】（本内容中涉及过焦点的直线与抛物线相交所得焦点弦的问题）其它的性质：性质a.过抛物线22y px =上一点()00M x y ，的切线方程是：()00y y p x x =+ 【证明】对方程22y px =两边取导数：22y y p '⋅=，∴py y'=是切线的斜率．00|x x p k y y ='==．由点斜式方程：()()20000001p y y x x y y px px y y -=-⇒=-+∵202y px =，代入⑴即得：()00y y p x x =+．性质b ．⑴若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，则22si n p AB α=()0α≠．⑵ 焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短．【证明】⑴ 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，当直线AB 的斜率存在时，设直线:AB y 2p k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由2()22p y k x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得，2220ky py kp --= ∴122py y k+=，212y y p =-， ∴2222121212122222y y p AB y y x x p p p p p p p k ⎡⎤⎛⎫=-=++=++=++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦222222(1)2(1tan )2tan sin p k p pk ααα++===． 易验证，结论对斜率不存在时也成立．⑵ 由⑴：AB 为通径时，90α=︒，2sin α的值最大，AB 最小．性质c ．设O 为抛物线的顶点，F 为抛物线的焦点且PQ 为过焦点的弦，若OF a =，PQ b =．则OPQ S =△【解析】如图2，不妨设抛物线方程为24y ax =，点()11P x y ，、点()22Q x y ，x图2则由抛物线定义知：12122PQ PF QF x a x a x x a =+=+++=++ 又PQ b =，则122x x b a +=-．由24y ax =得：2212244y y b a a a+=-，即()221242y y a b a +=-． 又PQ 为过焦点的弦，所以2124y y a =-，则21y y -==所以，2112OPQ S OF y y =⋅-=△ 【点评】将焦点弦分成两段，利用定义将焦点弦长用两端点横坐标表示，结合抛物线方程，利用韦达定理是常见的基本技能．由性质b 、c可推出焦点三角形的面积公式也可以为：222sin p p S α==△．考点4：圆锥曲线相互间综合【例4】⑴如下图，已知AB 10=，图中的一系列圆是圆心分别为A B ，的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是123n ，，，，，利用这两组同心圆可以画出以A B ，为焦点的双曲线，若其中经过点M N P ，，的双曲线的离心率分别记为M e ，N e ，P e ，则它们的大小关系是________(用“<”连接)．⑵若椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F ，，线段12F F 被抛物线2y bx =的焦点分为3:1的两段，则此椭圆的离心率为（ ）A ．1617B C ．45D⑶已知1F 、2F 是两个定点，点P 是以1F 和2F 为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且12PF PF ⊥，1e 和2e 分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则（ ）A ．2212114e e +=B ．22124e e += C ．2212112e e += D ．22122e e +=⑷已知抛物线()220y px p =>与双曲线22221x y a b-=有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF x ⊥轴，则双曲线的离心率为( )AB1 C1 D．12【解析】⑴ M P N e e e <<⑵ B ⑶ C ； ⑷ C ；考点5：轨迹方程的定量计算【教师备案】求动点轨迹方程的一般步骤：⑴ 建立适当的坐标系 ⑵ 设出要求轨迹点的坐标 ⑶ 列出方程． ⑷ 化简⑸ 检验是否有不满足条件的点，或漏掉某些点【铺垫】⑴直接法动点M 到定点()10F ，的距离与到定直线l ：3x =的距离的和为定值4．求点M 的轨迹．⑵定义法：圆的性质——直径所对的圆周角为直角．类似的，对于椭圆能得到什么呢？设AB 为椭圆22221x y a b+=的“直径”（过中心的弦），P 为椭圆上一点（异于A B ，），P A P B ，仍垂直吗？会有什么关系？x经典精讲9.2曲线与方程思想⑶代入法：若所求轨迹上的动点()P x y ，与另一个已知轨迹（曲线）():0C f x y =，上的动点()11Q x y ，存在着某种联系，则可以把点Q 的坐标用点P 的坐标表示出来，然后代入曲线C 的方程()0f x y =，中并化简，即得动点P 轨迹方程.这种求轨迹方程的方法叫做代入法（又称相关点法）.如图所示，已知(40)P ，是圆2236x y +=内的一点，A B 、是圆上两动点，且满足90APB ∠=︒，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程．x⑷参数法：根据题设条件，用一个参数分别表示出动点()x y ，的坐标x 和y ，或列出两个含同一个参数的动点()x y ，的坐标x 和y 之间的关系式，这样就间接地把x 和y 联系起来了，然后联立这两个等式并消去参数，即可得到动点的轨迹方程.这种求轨迹的方法称为参数法.过抛物线2y x =的顶点O 作两条互相垂直的弦OA 、OB ，以OA 、OB 为邻边作矩形AOBM ，如图，求点M 的轨迹方程．【解析】⑴()()()2240312434y x x y x x ⎧=⎪⎨=--<⎪⎩≤≤≤． ⑵设1100()()A x y P x y ，，，，则11()B x y --，，2201010122010101PA PBy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-，又因为2200221x y a b +=，2211221x y a b +=，所以：22012201y y x x --22b a=-，即：,PA PB 的斜率之积为定值． 这种定义总结如下：PA PB k k λ⋅=，1．如果0λ>，动点轨迹为不完整的双曲线 2．如果=0λ，动点轨迹为不完整的两条直线 3．如果0λ<，1λ≠-动点轨迹为不完整的椭圆 4．如果=1λ-，动点轨迹为不完整的圆．轨迹上都没有与A B ，的横坐标一样的所有点． ⑶2256x y +=． ⑷22y x =-．【例5】⑴ 直接法动点()P x y ，到两定点(30)A -，和(30)B ，的距离的比等于2（即||2||PA PB =），求动点P 的轨迹方程．⑵ 定义法在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点()11A -，关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于2．求动点P 的轨迹方程．⑶ 代入法点B 是椭圆2212516x y +=上的动点，()100A ，为定点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．⑷ 参数法过抛物线2:C y x =-上一点()11P -，作斜率为1k 、2k 的两条直线，分别交抛物线C 于异于点P 的两点()11A x y ，，()22B x y ，，且满足120k k +=．若点M 满足BM MA =，求点M 的轨迹方程．【解析】⑴ 22516x y +=（－），轨迹是以50（，）为圆心，4为半径的圆. ⑵ 2221(1)x y x -=≠±．⑶ 分析：题中涉及了三个点A B M ，，，其中A 为定点，而B 、M 为动点，且点B 的运动是有规律的，显然M 的运动是由B 的运动而引发的，可见M 、B 为相关点，故采用相关点法求动点M 的轨迹方程．()22451254x y -+=⑷ 1x =-（1y -≤且5y -≠）．考点6：轨迹的定性分析【例6】有的习题只需要能够确定轨迹的基本形状，不需要准确求出轨迹的方程，或者有的题目根本就没有平面直角坐标系，解题时只需要判断形状即可． ⑴已知定点(11)A ，和直线20l x y :＋－＝，那么到定点A 的距离和到定直线l 的距离相等的点的轨迹为( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．直线⑵已知椭圆的焦点是12F F P 、，是椭圆上的一个动点，如果M 是线段1F P 的中点，则动点M的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线⑶ABC △中，A 为动点，B C 、为定点，02a B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，02a C ⎛⎫⎪⎝⎭，，且满足条件1sin sin sin 2C B A -＝，则动点A 的轨迹方程是__________．⑷若点P 到直线1x ＝-的距离比它到点(20)，的距离小1，则点P 的轨迹为( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线⑸曲线C 是平面内与两个定点1(10)F -，和2(10)F ，的距离的积等于常数2(1)a a >的点的轨迹，给出下列三个结论： ①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则12F PF △的面积不大于212a .其中，所有正确结论的序号是____________.【解析】⑴ D ；⑵ B ；⑶ 2222161613x y a a -=(0x >且0y ≠)．⑷D ； ⑸②③．【拓展】如图，AB 是平面α的斜线段，A 为斜足．若点P 在平面α内运动，使得ABP △的面积为定值，则动点P 的轨迹是（ ）αPB AA ．圆B ．椭圆C ．一条直线D ．两条平行直线【解析】B ；考点7：曲线与方程综合【例7】⑴曲线C 是平面内到定点(01)F ，和定直线:1l y =-的距离之和等于4的点的轨迹，给出下列三个结论：① 曲线C 关于y 轴对称；② 若点(,)P x y 在曲线C 上，则||2y ≤； ③ 若点P 在曲线C 上，则1||4PF ≤≤. 其中，所有正确结论的序号是_____．⑵已知以4T =为周期的函数(11]()12(13]x f x x x ⎧∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，，，，其中0m >．若方程3()f x x=恰有5个实数解，则m 的取值范围为（ ）A．83⎫⎪⎪⎝⎭ B．⎝ C ．4833⎛⎫ ⎪⎝⎭， D．43⎛ ⎝ 【解析】⑴ ①②③⑵ B ；【拓展】方程1169x xy y+=-的曲线即为函数()y f x =的图象，对于函数()y f x =，有如下结论：①()f x 在R 上单调递减；②函数()4()3F x f x x =+不存在零点； ③函数()y f x =的值域是R ；④若函数()g x 和()f x 的图象关于原点对称，则函数()y g x =的图象就是方程1169y y x x +=确定的曲线．其中所有正确的命题序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③④D ．①②③【解析】D ；【拓展】曲线C 是平面内到定点(1,0)A 的距离与到定直线1x =-的距离之和为3的动点P 的轨迹. 则曲线C 与y 轴交点的坐标是 ；又已知点(1)B a ，（a 为常数），那么PB PA +的最小值()d a = ．【解析】(0，； 1.41,4, 1.41,2, 1 1.a a a a a a -+-<-⎨⎪--<<⎪⎩≤或≥≤ 【教师备案】第二问比较困难，运算量比较大，会耽误时间较多，如无充分备课，可跳过．【专题补充】（如有时间可以补充，体现教师对高考的研究水平，学生版不出现）性质1 若椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，12F F ，分别为左、右焦点，点P 为椭圆上任意一点，则以1PF为直径的1O ⊙与以长轴为直径的O ⊙内切． 【解析】如图所示，在12F PF △中，O ，1O 分别为12F F ，1PF 的中点，所以1212OO PF =，又因为以1PF 为直径的1O ⊙的半径为1112r PF =，O ⊙的半径2r a =，所以21112r r a PF -=-．又因为122PF PF a +=，所以211211122r r a PF PF OO -=-==，所以两圆内切．性质2 若双曲线()2222:100x y C a b a b-=>>，，12FF ，分别为左、右焦点，则⑴ 当点P 为双曲线左支上任意一点时，以1PF 为直径的1O ⊙与以长轴为直径的O ⊙外切； ⑵ 当点P 为双曲线右支上任意一点时，以1PF 为直径的1O ⊙与以长轴为直径的O ⊙内切．【解析】证明同性质1类似，过程略．【演练1】双曲线221259x y -=的左右焦点分别为1F ，2F ，过焦点1F 的直线与双曲线左支交于A B ，两点，若弦AB 的长为4，则2ABF △的周长为 ．【解析】28【演练2】已知点P 的抛物线24y x =-上的一个动点，则点P 到点()02M ，的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ．【解析5【演练3】设12F F ，为双曲线2211620x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上满足1290F PF ∠=︒，则P 的坐标为 ．【解析】4101433⎛⎫± ⎪⎝⎭．课后习题。
双曲线-完整版PPT课件可编辑全文
∴x－32a2＋y2＝a22.
①
又 P 点在双曲线上，得ax22－by22＝1.
②
由①，②消去 y，得
(a2＋b2)x2－3a3x＋2a4－a2b2＝0，
即[(a2＋b2)x－(2a3－ab2)](x－a)＝0.
当 x＝a 时，P 与 A 重合，不符合题意，舍去．
当 x＝2aa32－＋abb2 2时，满足题意的 P 点存在， 需 x＝2aa32－＋abb2 2＞a， 化简得 a2＞2b2， 即 3a2＞2c2，ac＜ 26. 又 e＞1，∴离心率 e＝ac∈1， 26.
考向三 [149] 双曲线的几何性质
(1)(2014·天津高考)已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，
b>0)的一条渐近线平行于直线 l：y＝2x＋10，双曲线的一个
焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为( )
A.x52－2y02 ＝1
B.2x02 －y52＝1
C.32x52－130y02 ＝1
二、双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 ax22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－bx22＝1(a>0， b>0)
图形
范围
x≥a或x≤－a
对称轴： 坐标轴
对称性
对称中心： 原点
y≤－a或y≥a 对称轴： 坐标轴 对称中心： 原点
性 顶点 顶点坐标：
顶点坐标：
质
A1 (－a,0)，A2 (a,0) A1 (0，－a，) A2 (0，a)
————————— [1 个对点练] ——————— 过点2，12能作几条与双曲线x42－y2＝1 有一个公共点的 直线．
【解】 (1)当斜率不存在时，直线方程为 x＝2，显然符 合题意．
双曲线的基本知识点（大全）
双曲线的基本知识点(大全)双曲线的基本知识点(大全)双曲线，这在高中数学中是一大考点，那么双曲线知识点又有什么重点呢?下面小编给大家整理了关于双曲线的基本知识点的内容，欢迎阅读，内容仅供参考!双曲线的基本知识点一、直线与方程(1)直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α<180°(2)直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的'直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k表示。
即。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
②过两点的直线的斜率公式：注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°;(2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
(3)直线方程①点斜式：直线斜率k，且过点注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示。
但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。
②斜截式：直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b③两点式：()直线两点，④截矩式：其中直线与轴交于点，与轴交于点，即与轴、轴的截距分别为。
⑤一般式：(A，B不全为0)注意：各式的适用范围特殊的方程如：平行于x轴的直线：(b为常数);平行于y轴的直线：(a为常数);(5)直线系方程：即具有某一共同性质的直线(一)平行直线系平行于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(C为常数)(二)垂直直线系垂直于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(C为常数)(三)过定点的直线系(ⅰ)斜率为k的直线系：，直线过定点;(ⅱ)过两条直线，的交点的直线系方程为(为参数)，其中直线不在直线系中。
高考复习教案秋季.高二第9讲.双曲线与抛物线的基本量问题典型考法.初稿
1第9讲·提高-尖子-目标·教师版当前形势双曲线与抛物线在近五年北京卷(理)考查5～14分高考 要求内容要求层次 具体要求A B C 双曲线的定义及标准方程 √由定义和性质求双曲线的方程；由双曲线的标准方程探求几何性质抛物线的定义及标准方程 √由定义和性质求抛物线的方程；由抛物线的标准方程探求几何性质双曲线的简单几何性质 √由双曲线的几何性质解决问题抛物线的简单几何性质√ 由抛物线的几何性质解决问题北京 高考 解读2009年 2010年（新课标） 2013年（新课标） 第19题14分第13题5分 第6题5分，第7题5分新课标剖析满分晋级第9讲 双曲线、抛物线基本量问题的典型考法解析几何10级 直线与椭圆的位置关系解析几何11级 双曲线、抛物线基本量问题的典型考法解析几何12级 直线与双曲线、抛物线的位置关系2第9讲·提高-尖子-目标·教师版考点1：双曲线及其标准方程1．双曲线的定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数（小于12||F F 且不等于零）的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点．两焦点的距离叫做双曲线的焦距． 2．双曲线的标准方程：①22221(00)x y a b a b -=>>，，焦点坐标为1(0)F c -，，2(0)F c ，，222c a b =+； ②22221(00)y x a b a b-=>>，，焦点坐标为1(0)F c -，，2(0)F c ，，222c a b =+； 3．双曲线的几何性质（用标准方程22221(00)x y a b a b-=>>，来研究）： ⑴范围：x a ≥或x a -≤；如图．⑵对称性：以x 轴、y 轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，这个对称中心又叫做双曲线的中心． ⑶顶点：双曲线与它的对称轴的两个交点叫做双曲线的顶点．⑷实轴与虚轴：两个顶点间的线段叫做双曲线的实轴．如图中，1A ，2A 为顶点，线段12A A 为双曲线的实轴．在y 轴上作点1(0)B b -，，2(0)B b ，，线段12B B 叫做双曲线的虚轴． ⑸渐近线：直线by x a =±；⑹离心率：ce a=叫做双曲线的离心率，1e >．双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．4．等轴双曲线与共轭双曲线：⑴等轴双曲线：实轴长、虚轴长相等的双曲线． 焦点在x 轴上，标准方程为222(0)x y a a -=≠；焦点在y 轴上，标准方程为222(0)y x a a -=≠. 渐近线方程为y x =±，离心率e =⑵共轭双曲线：暑假知识回顾9.1双曲线3第9讲·提高-尖子-目标·教师版以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，共轭是相互的．互为共轭双曲线22221x y a b -=和22221y x b a-=（00a b >>，）有相同的渐近线，他们的四个焦点共圆，且它们的离心率12e e 、满足2212111e e +=．设P 是双曲线22219x y a -=上一点，双曲线的一条渐近线方程为320x y -=，1F ，2F 分别是双曲线的左、右焦点，若1||3PF =，则2||PF =（ ） A ．1或5 B ．6 C ．7 D ．9⑵（2012湖南理5）已知双曲线2222:1x y C a b-=的焦距为10，点()21P ，在C 的渐近线上，则C 的方程为（ ）A ．221205x y -=B ．221520x y -=C ．2218020x y -=D ．2212080x y -=【解析】 ⑴ C双曲线22219x y a -=中，渐近线方程为320x y -=，∴332a =，2a =．∴双曲线方程为22149x y-=．根据双曲线定义，12||||||24PF PFa -==，1||3PF =，∴2||7PF =． ⑵ A22221x y a b-=∵的焦距为10，5c ==∴ ①，又双曲线渐近线方程为by x a =±，且()21P ，在渐近线上，21ba=∴，即2a b = ②，由①②解得a b =<教师备案> 暑假时我们预习过双曲线的方程的求法，这里借助例1进行总结．【例1】 ⑴与双曲线221169x y -=有相同的渐近线且过点()3A -的双曲线方程是___________．⑵与双曲线2211620x y -=有相同焦点，且经过点()52-，的双曲线的标准方程是__________． ⑶与椭圆2214936x y +=有公共焦点，且经过点2)的双曲线的标准方程是___________． 【解析】 ⑴224194y x -=利用有相同渐近线的双曲线系去做．与双曲线221169x y -=有相同的渐近线的双曲线方程为22169x y λ-=，将点()3A -代入，得：(22(3)11694λ-=-=-．经典精讲4第9讲·提高-尖子-目标·教师版∴所求双曲线的方程为2211694x y -=-，即224194y x -=．⑵ 设所求双曲线方程为2211620x y λλ-=-+（2016λ-<<）∵双曲线过点()52-，，∴25411620λλ-=-+，解得4λ=-或29λ=-（舍去）∴所求双曲线方程为2212016x y-=．⑶ 设所求双曲线方程为2214936x y λλ+=--（3649λ<<）∵双曲线过点2)，∴184+1404936λλλ=∴=--，或23λ=（舍去）． ∴所求双曲线方程为22194x y -=．【点评】几种特殊情况的标准方程的设法：①与双曲线22221x y a b-=（00a b >>，）有相同渐近线的双曲线方程为2222x y a b λ-=（0λ≠）②渐近线为n y x m =±的双曲线方程为2222x y m nλ-=（0λ≠）③与双曲线22221x y a b -=（00a b >>，）有共同焦点的双曲线方程为22221x y a b λλ-=-+（22b a λ-<<）④与椭圆22221x y a b+=（0a b >>）有共同焦点的双曲线方程为22221x y a b λλ+=--（22b a λ<<）． 双曲线方程还有一个常见的设法，是已知双曲线上两个点，但没有其它信息时，可以统一设双曲线的方程为221(0)mx ny mn +=<，如已知双曲线上有两点(6P Q ，，，求双曲线方程．就可以不讨论焦点位置，直接设为221(0)mx ny mn +=<，从而得到方程组36481861m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得1416m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，可以有效减少计算量．提高班学案1【拓1】⑴ 已知实数x ，y 满足22221x y a b-=(00)a b >>，，则下列不等式中恒成立的是( ) A ．b y x a < B ．2b y x a >- C ．b y x a >- D ．2by xa <⑵（2010朝阳一模理6）已知点(34)P -，是双曲线22221(0,0)x ya b a b-=>>渐近线上的一点，E F ，是左、右两个焦点，若0EP FP ⋅=，则双曲线方程为（ ）A ．22134x y -=B ．22143x y -=C ．221916x y -=D ．221169x y -=【解析】 ⑴ D因为x 均可取负值，排除A ；由(,0)a -在双曲线上排除C ；而双曲线的焦点在x 轴上，5第9讲·提高-尖子-目标·教师版且渐近线为b y x a =±知by x a<成立，故D 正确，B 错误．⑵ C解法一：不妨设()(),0,,0E c F c -，于是有()()23,43,49160EP FP c c c ⋅=+-⋅--=-+=． 于是225c =．排除A ，B ．由D 中双曲线的渐近线方程为34y x =±，点P 不在其上．排除D ．解法二：如图，OE OF =∵，0EP FP ⋅=，OP OE OF ==∴， 又()34P -∵，，5OP =∴，即5c =，后面同解法一．尖子班学案1【拓2】（2010浙江理8）设1F 、2F 分别为双曲线22221(00)x y a b a b-=＞，＞的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．340x y ±=B ．350x y ±=C ．430x y ±=D ．540x y ±=【解析】 C据题意得1||4PF b ==，又点P 在双曲线的右支上，据双曲线的定义可得12||||422PF PF b c a -=-=，整理得2a c b +=，又222c a b =+，故有222(2)a b b a +=-，整理得34b a =，即43b a =，故双曲线的渐近线方程为43y x =±，即430x y ±=．考点2：双曲线的离心率求法<教师备案> 双曲线的离心率决定双曲线的开口的开阔程度，如果一个双曲线方程是确定的，可以直接求离心率，但大多数时候，双曲线的方程都是不确定的，只能通过所给的几何条件得到a 与c 的比值关系，进行得到离心率满足的方程，求得离心率．【铺垫】双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1F 、2F ，12120F MF ∠=︒，则双曲线的离心率为（ ）ABCD【解析】 B设双曲线方程为22221x y a b-=，12MF F △为等腰三角形，12120F MF ∠=︒，∴1230MF F ∠=︒，经典精讲6第9讲·提高-尖子-目标·教师版∴tan 30b c ︒==，即2213b c =，∴22213c a c -=，∴e =．【例2】 ⑴如图，已知ABCDEF 为正六边形，若以C ，F 为焦点的双曲线恰好经过A ，B ，D ，E 四点，则该双曲线的离心率为______．⑵（2010辽宁理9）设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么双曲线的离心率为（ ）ABCD⑶（2012湖北14）如图，双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的两顶点为1A ，2A ，虚轴两端点为1B ，2B ，两焦点为1F ，2F ．若以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ，切点分别为A ，B ，C ，D ．则双曲线的离心率e =______．第⑴题F EDB A 第⑶题【解析】 ⑴1设正六边形边长为1，则以FC 为x 轴，中垂线为y 轴建立直角坐标系，则(10)F -，，(10)C ，，故1c =，因为2FC =，1BC =，所以BF =12BF BC a -==，故a =，所以1ce a====．⑵ D设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，则(0)F c ，，(0)B b ，， 直线:0FB bx cy bc +-=与渐近线by x a=垂直，所以1b bc a-⋅=-，即2b ac =，得22c a ac -=，即210e e --=，解得e =或e =．⑶e =；由题意知：在22Rt B OF △中，22OA B F ⊥， 又22(0)(0)F c B b ，，，，2OA OA a ==， 222Rt Rt OAF B OF △∽△，于是有2222OA OB OF B F =，7第9讲·提高-尖子-目标·教师版即a c =222bc a =-代入整理得：422430a a c c -+=， 得42310e e -+=，解得2e =21e >，舍去一根），故e =．目标班学案1【拓3】设双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，的右焦点为F ，直线2a x c=与两条渐近线交于P 、Q 两 点，如果PQF △是直角三角形，则双曲线的离心率e =______．【解析】设双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右焦点为(0)F c ，，渐近线方程为by x a =±， 又直线2a x c =与两条渐近线交于P 、Q 两点，∴2a ab P cc ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，2a ab Q c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，22a ab a ab FP c FQ c c c cc ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴，，，∵PQF △是直角三角形，∴0FP FQ ⋅=，即222220a a b c c c ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即22a b =．∴双曲线的离心率e =考点3：双曲线离心率的取值范围问题<教师备案> 有些问题是给定双曲线一些限制，求离心率的范围．有时需要用到双曲线的一个性质，若双曲线22221x y a b-=的一个右（左）焦点为F ，P 为双曲线右（左）支上任一点，则PF 的最小值为c a -，当P 为右（左）顶点时取到．证明很简单，设00()P x y ，，(0)F c ，， 则22222200002()()1x PF x c y x c b a ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭2222222000222c c a x cx c b x aa c ⎛⎫=-+-=- ⎪⎝⎭，从而200c a PF x ex a a c ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭．（其实这就是双曲线焦半径公式之一）又因为0x a ≥，故当0x a =时，有min PF c a =-． 有这个天然的限制，解决一些问题时需要注意：例双曲线2211620x y -=的左右焦点分别为1F 、2F ，双曲线上一点P 满足19PF =，求2PF ．解：由双曲线的定义可知21PF =或17，但前者必须舍去．8 第9讲·提高-尖子-目标·教师版下面例3的⑵⑶都用到这个限制．【例3】⑴设1a>，则双曲线22221(1)x ya a-=+的离心率e的取值范围是______．⑵已知双曲线22221(00)x ya ba b-=>>，的左，右焦点分别为12F F，，点P在双曲线的右支上，且12||4||PF PF=，则此双曲线的离心率e的最大值为．⑶已知双曲线22221x ya b-=（0a>，0b>）的左、右焦点分别为1(0)F c-，，2(0)F c，，若双曲线上存在一点P使1221sinsinPF F aPF F c∠=∠，则该双曲线的离心率的取值范围是．【解析】⑴e=101a<<e⑵53；由定义知12||||2PF PF a-=，又已知12||4||PF PF=，解得183PF a=，223PF a=，2minPF c a=-，从而只要23a c a-≥，就能得到P点存在，解得53e≤，等号可以取到，即e的最大值为53．⑶()11；因为在12PF F△中，由正弦定理得211221sin sinPF PFPF F PF F=∠∠，则由已知得21a cPF PF=，即12cPF PFa=，由双曲线的定义知122PF PF a-=，则222cPF PF aa-=，即222aPFc a=-，由双曲线的几何性质知2PF c a>-，则22ac ac a>--，即2220c ac a--<，所以2210e e--<，解得11e<，又(1)e∈+∞，，故双曲线的离心率()11e∈．提高班学案2【拓1】已知双曲线22221(00)x ya ba b-=>>，的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A．(]12，B．(12)，C．[)2+∞，D．(2)+∞，【解析】C如图，1l与2l分别为与双曲线22221x ya b-=的渐近线平行的两条直线，9第9讲·提高-尖子-目标·教师版直线l 为过F 且倾斜角为60︒的直线，要使l与双曲线的右支有且只有一个交点，则应使tan 60b a ︒≥∴2e ．尖子班学案2【拓2】双曲线22221(10)x y a b a b-=>>，的焦距为2c ，直线l 过点(0)a ，和(0)b ，，且点(10)，到直线l 的距离与点(10)-，到直线l 的距离之和45s c ≥．求双曲线的离心率e 的取值范围．【解析】 直线l 的方程为1x ya b+=，即0bx ay ab +-=．由点到直线的距离公式，且1a >，得到点(10)，到直线l的距离1d =，同理得到点(10)-，到直线l的距离2d =，122abs d d c =+==．由4s c ≥，得245ab c c ≥，即252c ．于是得22e，即42425250e e -+≤．解不等式得2554e ≤≤，由于10e >>，所以e e ≤目标班学案2【拓3】若椭圆或双曲线上存在一点P 到两个焦点的距离之比为2:1，则称此椭圆或双曲线上存在“Γ点”，下列曲线中存在“Γ点”的是（ ）A. 2211615x y += B. 2212524x y += C. 22115y x -= D. 221x y -=【解析】 D ；在椭圆中，1221PF PF =>，1212,22PF PF a PF PF +==，即223aPF =，又2PF a c -≥， （椭圆上的点到焦点距离的最值为a c a c +-，，分别对应椭圆的端点，推导类型双曲线）故21333a a a c c e -⇒⇒≥≥≥，又01e <<，故113e <≤．在双曲线中1221PF PF =>，222PF a PF c a =-，≥，故233a c a a c e -⇒⇒≥≥≤， 又1e >，所以13e <≤．由A ：2211615x y +=，11143e ⎡⎫=∉⎪⎢⎣⎭，，错误；由B ：2212524x y +=，11153e ⎡⎫=∉⎪⎢⎣⎭，，错误；由C ：22115y x -=，(]413e =∉，，错误；由D ：221x y -=，(]13e ，，正确.考点4：双曲线的焦点三角形10 第9讲·提高-尖子-目标·教师版双曲线的焦点三角形：以双曲线的两个焦点1F 、2F 与双曲线上任意一点P 为顶点组成的三角形．<教师备案>1F 、2F 为双曲线22221x y a b-=的两个焦点，P 在双曲线上，且12F PF θ∠=，12F PF △的面积2121sin cot 22P S PF PF c y b θθ=⋅=⋅=⋅．证明：∵12F PF θ∠=，∴222222121212121212||||||||||4cos 2||||2||||||||2PF PF F F PF PF c PF PF PF PF PF PF a θ⎧+-+-==⎪⎨⎪-=⎩，①，②将②平方代入①式，得22121242||||4cos 2||||a PF PF c PF PF θ+-=，解之得2122||||1cos b PF PF θ=-，∴12F PF △的面积为22212112sin sin cot 221cos 2tan 2b b PF PF b θθθθθ=⋅⋅==⋅-． 例4的三个小题都可以直接用推导后的公式做，如果不直接用公式，就需要用双曲线的定义+余弦定理进行推导计算，相当于又推导了一遍面积公式．【例4】 ⑴设1F 、2F 为双曲线2214x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上且满足1290F PF ∠=︒，则12F PF △的面积是（ ）A ．1 BC ．2 D⑵1F 和2F 为双曲线2214x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上且满足1260F PF ∠=︒，则12F PF △ 的面积是__________．⑶设12F F ，是双曲线223515x y -=的两个焦点，点A 在双曲线上，且12F AF ∆的面积等于12F AF ∠的正切值为_______．【解析】 ⑴ A解法一：21211tan 45tan2b S F PF ===∠︒； 解法二：设00()P x y ，，由面积公式121201||||2F PF S F F y =⋅△知：要先求得P 点纵坐标． 利用点P 在双曲线上和12PF PF ⊥列出方程组，可以获解． 设00()P x y ，，∵点P 在双曲线2214x y -=上，∴220014x y -= ①又())1200F F ，，由12PF PF ⊥1=- ② 解①②得0y =∴12F PF △的面积12011||||122S F F y =⋅=⨯=． 知识点睛11第9讲·提高-尖子-目标·教师版解法三：由三角形面积公式1212121||||sin 2F PF S PF PF F PF =⋅∠△，需要先求得12||||PF PF ⋅的值． 由勾股定理有2221212||||||PF PF F F +=，再由双曲线的定义有12||||||4PF PF -=……②， 对②两边平方221122||2||||||16PF PF PF PF -⋅+=，∴2212121||||(||||)82PF PF PF PF ⋅=+-．由双曲线方程得12||F F =．在12Rt F PF △中，2221212||||||20PF PF F F +==，∴12||||2PF PF ⋅=，∴12F PF △的面积121||||12S PF PF =⋅=．由已知：2a =，1b =，c =． 在12F PF △中，由余弦定理得22212121212||||||2||||cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅⋅∠2121212(||||)2||||(1cos )PF PF PF PF F PF =-+⋅⋅-∠．又∵12||2F F c ==12||||||24PF PF a -==，1260F PF ∠=︒，∴(221242||||(1cos60)PF PF =+⋅⋅-︒，从而12||||4PF PF ⋅=，∴1212121||||sin 2PF F S PF PF F PF =⋅⋅∠△14sin 602=⨯⨯︒= ⑶-双曲线即22153x y -=，故23b =，于是12212cot 2F AF F AF S b ∠=⋅△，即12tan 2F AF ∠=， 设12F AF θ∠=，则22tan2tan 1tan 128θθθ===---目标班学案3【拓3】 （2010浙江10）设O 为坐标原点，1F ，2F 是双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的焦点，若在双曲线上存在点P ，满足1260F PF ∠=︒，||OP =，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A．0x = B0y ±= C．0x = D0y ±=【解析】 D由余弦定理得：222212121212||||||cos60||||42||||PF PF F F PF PF b PF PF +-︒=⇒⋅=，2222cos POF ∠= ①2221cos POF ∠=②①＋②得222212142(||||)0a c PF PF +-+=12 第9讲·提高-尖子-目标·教师版即222214248a c a b +=+，即222b a =，所以222b a=，ba =，故y =．考点5：双曲线中的最值问题 提高班学案3【铺1】设连结双曲线22221x y a b -=与22221y x b a-=（00a b >>，）的四个顶点所得四边形面积为1S ，连结四焦点所得四边形面积为2S ，则12:S S 的最大值为 ． 【解析】 12112222S a b ab =⋅⋅=，222221(2)22()2S c c a b =⋅==+，故2212222212()2S ab a b S a b a b +==++≤．【例5】 ⑴若P 是双曲线2213x y -=右支上一个动点，F 是双曲线的右焦点，已知点A 的坐标是(35)，，则||||PA PF +的最小值是_______．⑵若P 是双曲线2213x y -=右支上一个动点，F 是双曲线的右焦点，已知点A 的坐标是(31)，，则||||PA PF +的最小值是________．【解析】 ⑴双曲线2213x y -=中，23a =，21b =，2c =，(20)F ，． 如图，要求||||PA PF +的最小值，只需把折线段拉直，即当点P 运动到AF 与双曲线的交点P '时，||||PA PF +取得最小值，并满足||||||P A P F AF ''+=，最小值为||AF =双曲线2213x y -=中，23a =，21b =，2c =，(20)F ，，如图所示．找到其左焦点1(20)F -，，如图，根据双曲线第一定义，1||||2PF PF a -==，因此1||||PF PF =-11||||||||||||PA PF PF PA PF PA +=-=+- 故此题转化为求1||||PF PA +的最小值问题． 求1||||PF PA +的最小值仍然是拉直，当点P 运动到1AF 与双曲线右支的交点P '时，1||||PF PA +取得最小值，并满足11||||||P F P A AF ''+=则11||||||||||||PA PF PF PA PF PA +=-=+-13第9讲·提高-尖子-目标·教师版考点6：抛物线及其标准方程1．平面内与一个定点F 和一条定直线l ()F l ∉的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程：22(0)y px p =>，焦点在x 轴正半轴上，坐标是02p ⎛⎫⎪⎝⎭，，准线方程是2p x =-，其中p 是焦点到准线的距离． 3．抛物线的几何性质（根据抛物线的标准方程22(0)y px p =>研究性质）： ⑴范围：抛物线在y 轴的右侧，开口向右，向右上方和右下方无限延伸． ⑵对称性：以x 轴为对称轴的轴对称图形，抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． ⑶顶点：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点．此处为原点．⑷离心率：抛物线上的点与焦点和准线的距离的比叫做抛物线的离心率，用e 表示，1e =．4．设抛物线的焦点到准线的距离为(0)p p >，抛物线方程的四种形式如下：暑假知识回顾9.2 抛物线14 第9讲·提高-尖子-目标·教师版⑴动点P 到点(20)F ，的距离与它到直线20x +=的距离相等，则P 的轨迹方程为 ． ⑵（2010浙江理13）设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点(02)A ，，若线段FA 的中点B 在 抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为_____________．⑶（2012四川理8）已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2)M y ，， 若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则||OM =（ ）A ．B ．C ．4D ．【解析】 ⑴ 28y x =由定义知p 的轨迹是以(20)F ，为焦点的抛物线，4p =，所以其方程为28y x =． ⑵ 利用抛物线的定义结合题设条件可得出p B 点坐标为1⎫⎪⎪⎝⎭，所以点B 到⑶ B由题意设抛物线方程为()220y px p =>，则M 到焦点的距离为2322M p px +=+=，2p =∴，24y x =∴，2042y =⨯∴，0y =±∴OM =∴【例6】 ⑴已知以F 为焦点的抛物线24y x =上的两点A B 、满足3AF FB =，则弦AB 的中点到准线的距离为 ．⑵过抛物线22x py =（0p >）的焦点F 作倾斜角为30的直线，与抛物线分别交于A B 、两点，（A 在y 轴左侧），则AF FB= ．⑶设抛物线22y x =的焦点为F ，过点)0M的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于C ，2BF =，则BCF △与ACF △的面积之比BCFACFS S =△△（ ） A ．45 B ．23 C ．47 D ．12【解析】 ⑴83； 经典精讲第9法一：过点A B ，分别作AA BB ''，垂直于准线，垂足分别为A B ''，．过点B 作BC 垂直AA ' 于C ，交x 轴于点D ， 记准线与x 轴交点为F '．设||BF m =，由抛物线的定义知||3||AA m BB m ''==，， 在ABC △中，DF AC ∥，||:||1:3BF FA =，故1||||42mDF AC ==．于是3||222m FF m m p '=+===，解得43m =．AB 的中点到准线的距离38223m m m +===． 法二：如图，延长AB ，交抛物线的准线与P ，作A 、B 、F 在准线上的投影A '、B '、F '．于是3AA AFBB BF '=='，设3AA m BB m ''==，， 则弦AB 中点到准线的距离为2m ，4AB AF BF AA BB m ''=+=+=． 而3PA AA PBBB'=='，4PA PB AB m -==，所以6PA m =，2PB m =． 因此2162FF PF m m AA PA m '+==='， 而2FF p '==，所以24AA FF ''==，从而43m =，于是823m =为所求． ⑵13； 过A B ，作AA BB ''，垂直抛物线的准线于A B ''，， 记直线AB 交准线于点P ，设||AF m =，||BF n =，则||2||2||2PA AA AF m '===所以||2=2||PB m m n BB n ++='，所以13m n =． ⑶ A由题知12121212B BCF B ACF A Ax BC S x S AC x x ++===++△△， 又13222B B B BF x x y =+=⇒=⇒=由A 、B 、M 三点共线有M A M BM A M By y y y x x x x --=--，16 第9讲·提高-尖子-目标·教师版2=，故2A x =， ∴2131421415BCF BACF A S x S x ++===++△△，故选择A ．考点7：抛物线的最值问题<教师备案> 抛物线中的最值问题分成两类，一类借助抛物线的定义，将抛物线上一点到准线的距离与到焦点的距离进行转化，从而借助几何图形直接得到距离和的最值，见例7．另一类是无法通过几何得到最值，需要通过具体的代数计算得到最值，见例8．【例7】 ⑴已知P 为抛物线212y x =上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标是1762⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 则PA PM +的最小值是（ ）A ．8B ．192 C ．10 D ．212⑵已知点P 在抛物线24y x =上，那么点P 到点(21)Q -，的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ ）A ．114⎛⎫- ⎪⎝⎭，B ．114⎛⎫⎪⎝⎭， C ．(12)， D ．(12)-， 【解析】 ⑴ B如图，由抛物线定义知12PF PP PM '==+，故12PM PF =-．所以问题即为求12PA PM PA PF +=+-的最小值，当P A F 、、三点共线时取到，10AF =，故P A P M +的最小值为1191022-=． ⑵ A由抛物线的定义知，即求抛物线上的点P ，使得它到准线1x =-的距离与到点(21)Q -，的距离之和最小，过Q 点作准线的垂线，与抛物线交于一点，P 为此点时，有距离和的最小值，故P 的纵坐标为1-．<教师备案> 例8⑴是求抛物线上的点到一条直线的距离的最小值，可以直接设出抛物线上的点，通过经典精讲17第9讲·提高-尖子-目标·教师版点到直接的距离公式计算，也可以求出抛物线与此直线相切的直线，切点即为所求，特别在学完导数之后，这个方向更常用．例8⑵⑶是求抛物线（22y px =）上的点到轴上一点的距离的最值，当轴上的点为焦点时，我们由抛物线的定义知，它到抛物线的顶点的距离最小，当此点不是焦点时，⑶的结论是一般性的，即当轴上的点在点(0)p ，的左边时，距离最小的点都是顶点；当该点处在轴上点(0)p ，的右边时，离它距离最小的点不再是顶点．【例8】 ⑴求抛物线24y x =上一点，使这点到直线45y x =-的距离最短．⑵已知抛物线22y x =，设点A 的坐标为203⎛⎫⎪⎝⎭，，求抛物线上距离点A 最近的点P 的坐标及相应的距离||PA ．⑶已知点(0)P a ，满足：对于抛物线24y x =上任意一点Q ，都有PQ PO ≥，则a 的取值范围是_______．【解析】 ⑴ 法一：设抛物线上一点2(4)x x ，，这点到直线45y x =-的距离2d =．当12x =时，函数21442y x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭的最小值是4．此时d112⎛⎫⎪⎝⎭，． 法二：设4y x m =+与抛物线相切，联立有2440x x m --=的判别式16160m ∆=+=，故1m =-，此一元二次方程的根为12，故所求点为112⎛⎫⎪⎝⎭，． ⑵ 设抛物线上任一点P 的坐标为()x y ，，则222222||233PA x y x x ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21133x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．∵0x ≥且在此区间上函数单调递增，故当0x =时，min 2||3PA =，故距离A 最近的点的坐标为(00)，． ⑶(2]-∞，； 法一：当0a <时，以P 为圆心，||a a =-为半径的圆与抛物线24y x =相切于原点，故此时满足条件；0a =时，显然满足；当0a >时，要满足条件，需要圆222()x a y a -+=与抛物线24y x =相切或相离，即22(2)0x a x +-=有且只有一个非负根，2(2)0a -≤，即02a <≤． 综上知：(2]a ∈-∞，．18 第9讲·提高-尖子-目标·教师版法二：设()Q x y ，，则有24y x =， 222222()2(2)PQ x a y x a x a a =-+=+-+≥，即(42)0x x a +-≥对所有的0x ≥恒成立，即24x a -≥对所有的0x ≥恒成立，故2402a a -⇒≤≤，即(2]a ∈-∞，．⑴ 已知1F 、2F 分别是双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的左、右焦点，P 为双曲线左支上任意一点，若221PF PF 的最小值为8a ，则该双曲线离心率e 的取值范围是_____．⑵ 如图，在等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，且2A B A D =．设D A B θ∠=，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，以A ，B 为焦点且过点D 的双曲线的离心率为1e ，以C ，D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为2e ，则（ ）D C B AθA ．随着角度θ的增大，1e 增大，12e e 为定值B ．随着角度θ的增大，1e 减小，12e e 为定值C ．随着角度θ的增大，1e 增大，12e e 也增大D ．随着角度θ的增大，1e 减小，12e e 也减小【解析】 ⑴(]13，；设122PF t t c a PF t a =-=+，≥，，()()22221244PF t a a f t t a PF tt+===++，当()02t a ∈，时，()f t 为减函数，()8f t a >； 当[)2t a ∈+∞，时，()f t 为增函数，()8f t a ≥．则由题意得2c a a -≤，3c a ≤，3e ≤，则e 的范围是(]13，． ⑵ B ；设22AB AD ==．连结BD ，则BD AC ，22cos CD θ=-，1AB e BD AD ==-…①2CD e AD AC ==+ …②一方面，由①知，1e 随着θ的增大而减小； 另一方面，①⨯②有()()12222cos 44cos 154cos 144cos e e θθθθ--===---为定值．θABCD19第9讲·提高-尖子-目标·教师版因此选B ．【演练1】 双曲线221412x y -=的焦点到渐近线的距离为（ ） A ．23 B ．2 C 3 D ．1【解析】 A双曲线的焦点(40)，到渐近线3y x 的距离为|430|3d -==．【演练2】如果1P ，2P ，…，8P 是抛物线24y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，8x ，F 是抛物线的焦点，若12810x x x +++=，则128PF P F P F +++=_____．【解析】18 根据抛物线的定义，可知12i i i pPF x x =+=+（1238i =，，，，）， ∴()1281288118PF P F P F x x x +++=++++⨯=．【演练3】（2010东城二模6）已知双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ，点A 在双曲线上，且2AF x ⊥轴，若1253AF AF =，则双曲线的离心率等于（ ）A ．2B ．3C 2D 3【解析】 A22221212||4||||F F c AF AF ==-，结合1253AF AF =，可得2135||||22AF c AF c ==，， 于是12532||||222ca AF AF c c c a=-=-=⇒=，即双曲线的离心率为2．【演练4】双曲线221916x y -=的两个焦点为1F 、2F ，点P 在双曲线上，若12PF PF ⊥，则点P 到x 轴的距离为_________． 【解析】 165设点P 到x 轴的距离为d ，12212121cot 16522PF F F PF S b F F d d ∠===⨯⋅=△，∴165d =．【演练5】已知点()23P -，及焦点为F 的抛物线218y x =，在抛物线上求一点M ,使PM FM +最小．实战演练20 第9讲·提高-尖子-目标·教师版【解析】 122⎛⎫- ⎪⎝⎭，∵P 在抛物线218y x =的内部（如图），又MF MH =（H 为MH l ⊥的垂足），∴()0000325PM FM PM MH PM M P PP +=++==--=≥，（其中0M 为0PP 与抛物线的交点），∴PM FM +的最小值为5．【演练6】抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=的距离的最小值是____________．【解析】 43设抛物线上一点2()x x -，，它到直线4380x y +-=的距离222203335x d ⎛⎫---⎪⎝⎭==．当23x =时，函数2220333y x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭的最小值是203．此时d 有最小值43．已知点P 是双曲线22184x y -=上的动点，12,F F 分别是其左、右焦点，O 为坐标原点，则12||||||PF PF OP +的取值范围是______．【解析】(2不妨设(),P x y ()0x >．于是有12,,PF ex a PF ex a OP =+=-∴12PF PF OP+==．而2210,2y x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，于是(122,PF PF OP+∈．大千世界。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
考点1：双曲线及其标准方程1．双曲线的定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数（小于12||F F 且不等于零）的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点．两焦点的距离叫做双曲线的焦距． 2．双曲线的标准方程：①22221(00)x y a b a b -=>>，，焦点坐标为1(0)F c -，，2(0)F c ，，222c a b =+； ②22221(00)y x a b a b-=>>，，焦点坐标为1(0)F c -，，2(0)F c ，，222c a b =+； 3．双曲线的几何性质（用标准方程22221(00)x y a b a b-=>>，来研究）： ⑴范围：x a ≥或x a -≤；如图．⑵对称性：以x 轴、y 轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，这个对称中心又叫做双曲线的中心． ⑶顶点：双曲线与它的对称轴的两个交点叫做双曲线的顶点．暑假知识回顾9.1双曲线满分晋级第9讲 双曲线、抛物线基本量问题的典型考法解析几何10级 直线与椭圆的位置关系解析几何11级 双曲线、抛物线基本量问题的典型考法解析几何12级 直线与双曲线、抛物线的位置关系⑷实轴与虚轴：两个顶点间的线段叫做双曲线的实轴．如图中，1A ，2A 为顶点，线段12A A 为双曲线的实轴．在y 轴上作点1(0)B b -，，2(0)B b ，，线段12B B 叫做双曲线的虚轴．⑸渐近线：直线by x a =±；⑹离心率：ce a=叫做双曲线的离心率，1e >．双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．4．等轴双曲线与共轭双曲线：⑴等轴双曲线：实轴长、虚轴长相等的双曲线． 焦点在x 轴上，标准方程为222(0)x y a a -=≠；焦点在y 轴上，标准方程为222(0)y x a a -=≠.渐近线方程为y x =±，离心率e =⑵共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，共轭是相互的．互为共轭双曲线22221x y a b -=和22221y x b a-=（00a b >>，）有相同的渐近线，他们的四个焦点共圆，且它们的离心率12e e 、满足2212111e e +=．设P 是双曲线22219x y a -=上一点，双曲线的一条渐近线方程为320x y -=，1F ，2F 分别是双曲线的左、右焦点，若1||3PF =，则2||PF =（ ） A ．1或5 B ．6 C ．7 D ．9⑵（2012湖南理5）已知双曲线2222:1x y C a b-=的焦距为10，点()21P ，在C 的渐近线上，则 C 的方程为（ ）A ．221205x y -=B ．221520x y -=C ．2218020x y -=D ．2212080x y -=【解析】 ⑴ C双曲线22219x y a -=中，渐近线方程为320x y -=，∴332a =，2a =．∴双曲线方程为22149x y-=．根据双曲线定义，12||||||24PFPF a -==，1||3PF =，∴2||7PF =． ⑵ A22221x y a b -=∵的焦距为10，5c ==∴①，又双曲线渐近线方程为by x a=±，且()21P ，在渐近线上，21ba=∴，即2a b = ②，由①②解得a b ==<教师备案> 暑假时我们预习过双曲线的方程的求法，这里借助例1进行总结．【例1】 ⑴与双曲线221169x y -=有相同的渐近线且过点()3A -的双曲线方程是___________．⑵与双曲线2211620x y -=有相同焦点，且经过点()52-，的双曲线的标准方程是__________． ⑶与椭圆2214936x y +=有公共焦点，且经过点2)的双曲线的标准方程是___________． 【解析】 ⑴ 224194y x-=利用有相同渐近线的双曲线系去做．与双曲线221169x y -=有相同的渐近线的双曲线方程为22169x y λ-=，将点()3A -代入，得：(22(3)11694λ-=-=-． ∴所求双曲线的方程为2211694x y -=-，即224194y x -=．⑵ 设所求双曲线方程为2211620x y λλ-=-+（2016λ-<<）∵双曲线过点()52-，，∴25411620λλ-=-+，解得4λ=-或29λ=-（舍去）∴所求双曲线方程为2212016x y-=．⑶ 设所求双曲线方程为2214936x y λλ+=--（3649λ<<）∵双曲线过点2)，∴184+1404936λλλ=∴=--，或23λ=（舍去）． ∴所求双曲线方程为22194x y -=．【点评】几种特殊情况的标准方程的设法：①与双曲线22221x y a b-=（00a b >>，）有相同渐近线的双曲线方程为2222x y a b λ-=（0λ≠）②渐近线为ny x m =±的双曲线方程为2222x y m n λ-=（0λ≠）③与双曲线22221x y a b -=（00a b >>，）有共同焦点的双曲线方程为22221x y a b λλ-=-+（22b a λ-<<）④与椭圆22221x y a b+=（0a b >>）有共同焦点的双曲线方程为22221x y a b λλ+=--（22b a λ<<）． 双曲线方程还有一个常见的设法，是已知双曲线上两个点，但没有其它信息时，可以统一设双曲线的方程为221(0)mx ny mn +=<，如已知双曲线上有两点(6P Q ，，，求双曲线方程．就可以不讨论焦点位置，直接设为221(0)mx ny mn +=<，从而得到方程组经典精讲36481861m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得1416m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，可以有效减少计算量．提高班学案1【拓1】⑴ 已知实数x ，y 满足22221x y a b-=(00)a b >>，，则下列不等式中恒成立的是( )A ．b y x a <B ．2b y x a >-C ．b y x a >-D ．2by xa <⑵（2010朝阳一模理6）已知点(34)P -，是双曲线22221(0,0)x ya b a b-=>>渐近线上的一点，E F ，是左、右两个焦点，若0EP FP ⋅=，则双曲线方程为（ ） A ．22134x y -= B ．22143x y -= C ．221916x y -= D ．221169x y -=【解析】 ⑴ D因为x 均可取负值，排除A ；由(,0)a -在双曲线上排除C ；而双曲线的焦点在x 轴上，且渐近线为b y x a =±知by x a<成立，故D 正确，B 错误．⑵ C解法一：不妨设()(),0,,0E c F c -，于是有()()23,43,49160EP FP c c c ⋅=+-⋅--=-+=． 于是225c =．排除A ，B ．由D 中双曲线的渐近线方程为34y x =±，点P 不在其上．排除D ．解法二：如图，OE OF =∵，0EP FP ⋅=，OP OE OF ==∴， 又()34P -∵，，5OP =∴，即5c =，后面同解法一．尖子班学案1【拓2】（2010浙江理8）设1F 、2F 分别为双曲线22221(00)x y a b a b-=＞，＞的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．340x y ±=B ．350x y ±=C ．430x y ±=D ．540x y ±=【解析】 C据题意得1||4PF b =，又点P 在双曲线的右支上，据双曲线的定义可得12||||422PF PF b c a -=-=，整理得2a c b +=，又222c a b =+，故有222(2)a b b a +=-，整理得34b a =，即43b a =，故双曲线的渐近线方程为43y x =±，即430x y ±=．考点2：双曲线的离心率求法<教师备案> 双曲线的离心率决定双曲线的开口的开阔程度，如果一个双曲线方程是确定的，可以直接求离心率，但大多数时候，双曲线的方程都是不确定的，只能通过所给的几何条件得到a 与c 的比值关系，进行得到离心率满足的方程，求得离心率．【铺垫】双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1F 、2F ，12120F MF ∠=︒，则双曲线的离心率为（ ）ABCD【解析】 B设双曲线方程为22221x y a b -=，12MF F △为等腰三角形，12120F MF ∠=︒，∴1230MF F ∠=︒，∴tan 30b c ︒==2213b c =，∴22213c a c -=，∴e ．【例2】 ⑴如图，已知ABCDEF 为正六边形，若以C ，F 为焦点的双曲线恰好经过A ，B ，D ，E 四点，则该双曲线的离心率为______．⑵（2010辽宁理9）设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么双曲线的离心率为（ ）ABCD⑶（2012湖北14）如图，双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的两顶点为1A ，2A ，虚轴两端点为1B ，2B ，两焦点为1F ，2F ．若以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ，切点分别为A ，B ，C ，D ．则双曲线的离心率e =______．第⑴题F EDB A 第⑶题【解析】 ⑴1设正六边形边长为1，则以FC 为x 轴，中垂线为y 轴建立直角坐标系，则(10)F -，，(10)C ，，故1c =，因为2FC =，1BC =，所以BF =12BF BC a -==，故a，所以1ce a==．⑵ D设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，则(0)F c ，，(0)B b ，，直线:0FB bx cy bc +-=与渐近线by x a=垂直，所以1b bc a-⋅=-，即2b ac =，得22c a ac -=，即210e e --=，解得e =或e =．⑶e =；经典精讲由题意知：在22Rt B OF △中，22OA B F ⊥， 又22(0)(0)F c B b ，，，，2OA OA a ==， 222Rt Rt OAF B OF △∽△，于是有2222OA OB OF B F =，即a c =222b c a =-代入整理得：422430a a c c -+=， 得42310e e -+=，解得2e =21e >，舍去一根），故e =．目标班学案1【拓3】设双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，的右焦点为F ，直线2a x c=与两条渐近线交于P 、Q 两 点，如果PQF △是直角三角形，则双曲线的离心率e =______． 【解析】设双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，的右焦点为(0)F c ，，渐近线方程为by x a=±， 又直线2a x c =与两条渐近线交于P 、Q 两点，∴2a ab Pc c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，2a ab Q c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，22a ab a ab FP c FQ c c c cc ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴，，，∵PQF △是直角三角形，∴0FP FQ ⋅=，即222220a a b c c c ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即22a b =．∴双曲线的离心率e =考点3：双曲线离心率的取值范围问题<教师备案> 有些问题是给定双曲线一些限制，求离心率的范围．有时需要用到双曲线的一个性质，若双曲线22221x y a b-=的一个右（左）焦点为F ，P 为双曲线右（左）支上任一点，则PF 的最小值为c a -，当P 为右（左）顶点时取到． 证明很简单，设00()P x y ，，(0)F c ，，则22222200002()()1x PF x c y x c b a ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭2222222000222c c a x cx c b x aa c ⎛⎫=-+-=- ⎪⎝⎭，从而200c a PF x ex a a c ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭．（其实这就是双曲线焦半径公式之一）又因为0x a ≥，故当0x a =时，有min PF c a =-．有这个天然的限制，解决一些问题时需要注意：例双曲线2211620x y -=的左右焦点分别为1F 、2F ，双曲线上一点P 满足19PF =，求2PF ．解：由双曲线的定义可知21PF =或17，但前者必须舍去．下面例3的⑵⑶都用到这个限制．【例3】 ⑴设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是______．⑵已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左，右焦点分别为12F F ，，点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为 ． ⑶已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1(0)F c -，，2(0)F c ，，若双曲线上存在一点P 使1221sin sin PF F aPF F c∠=∠，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．【解析】 ⑴e ==101a <<e <⑵53； 由定义知12||||2PF PF a -=，又已知12||4||PF PF =，解得183PF a =，223PF a =，2min PF c a =-，从而只要23a c a -≥，就能得到P 点存在，解得53e ≤，等号可以取到，即e 的最大值为53．⑶()11；因为在12PF F △中，由正弦定理得211221sin sin PF PF PF F PF F =∠∠，则由已知得21a c PF PF =，即12cPF PF a=，由双曲线的定义知122PF PF a -=， 则222c PF PF a a -=，即222a PF c a=-， 由双曲线的几何性质知2PF c a >-，则22a c a c a>--，即2220c ac a --<，所以2210e e --<，解得11e <<，又(1)e ∈+∞，，故双曲线的离心率()11e ∈．提高班学案2【拓1】已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．(]12，B ．(12)，C ．[)2+∞，D ．(2)+∞， 【解析】 C如图，1l 与2l 分别为与双曲线22221x y a b-=的渐近线平行的两条直线，直线l 为过F 且倾斜角为60︒的直线，要使l 与双曲线的右支有且只有一个交点，则应使tan 60b a ︒≥∴2e ．尖子班学案2【拓2】双曲线22221(10)x y a b a b-=>>，的焦距为2c ，直线l 过点(0)a ，和(0)b ，，且点(10)，到直线l 的距离与点(10)-，到直线l 的距离之和45s c ≥．求双曲线的离心率e 的取值范围．【解析】 直线l 的方程为1x ya b+=，即0bx ay ab +-=．由点到直线的距离公式，且1a >，得到点(10)，到直线l的距离1d =， 同理得到点(10)-，到直线l的距离2d =，122abs d d c =+==． 由45s c ≥，得245ab c c ≥，即252c ．于是得22e ，即42425250e e -+≤．解不等式得2554e ≤≤，由于10e >>，所以ee ．目标班学案2【拓3】若椭圆或双曲线上存在一点P 到两个焦点的距离之比为2:1，则称此椭圆或双曲线上存在“Γ点”，下列曲线中存在“Γ点”的是（ ）A. 2211615x y += B. 2212524x y += C. 22115y x -= D. 221x y -=【解析】 D ；在椭圆中，1221PF PF =>，1212,22PF PF a PF PF +==，即223aPF =，又2PF a c -≥， （椭圆上的点到焦点距离的最值为a c a c +-，，分别对应椭圆的端点，推导类型双曲线）故21333a a a c c e -⇒⇒≥≥≥，又01e <<，故113e <≤．在双曲线中1221PF PF =>，222PF a PF c a =-，≥，故233a c a a c e -⇒⇒≥≥≤， 又1e >，所以13e <≤．由A ：2211615x y +=，11143e ⎡⎫=∉⎪⎢⎣⎭，，错误；由B ：2212524x y +=，11153e ⎡⎫=∉⎪⎢⎣⎭，，错误； 由C ：22115y x -=，(]413e =∉，，错误；由D ：221x y -=，(]13e ，，正确.考点4：双曲线的焦点三角形双曲线的焦点三角形：以双曲线的两个焦点1F 、2F 与双曲线上任意一点P 为顶点组成的三角形．<教师备案>1F 、2F 为双曲线22221x y a b-=的两个焦点，P 在双曲线上，且12F PF θ∠=，12F PF △的面积知识点睛2121sin cot 22P S PF PF c y b θθ=⋅=⋅=⋅． 证明：∵12F PF θ∠=，∴222222121212121212||||||||||4cos 2||||2||||||||2PF PF F F PF PF c PF PF PF PF PF PF a θ⎧+-+-==⎪⎨⎪-=⎩，①，②将②平方代入①式，得22121242||||4cos 2||||a PF PF c PF PF θ+-=，解之得2122||||1cos b PF PF θ=-，∴12F PF △的面积为22212112sin sin cot 221cos 2tan 2b b PF PF b θθθθθ=⋅⋅==⋅-． 例4的三个小题都可以直接用推导后的公式做，如果不直接用公式，就需要用双曲线的定义+余弦定理进行推导计算，相当于又推导了一遍面积公式．【例4】 ⑴设1F 、2F 为双曲线2214x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上且满足1290F PF ∠=︒，则12F PF △的面积是（ ）A ．1 BC ．2 D⑵1F 和2F 为双曲线2214x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上且满足1260F PF ∠=︒，则12F PF △ 的面积是__________．⑶设12F F ，是双曲线223515x y -=的两个焦点，点A 在双曲线上，且12F AF ∆的面积等于12F AF ∠的正切值为_______．【解析】 ⑴ A解法一：21211tan 45tan2b S F PF ===∠︒； 解法二：设00()P x y ，，由面积公式121201||||2F PF S F F y =⋅△知：要先求得P 点纵坐标． 利用点P 在双曲线上和12PF PF ⊥列出方程组，可以获解． 设00()P x y ，，∵点P 在双曲线2214x y -=上，∴220014x y -= ①又())1200F F ，，由12PF PF ⊥1=- ② 解①②得0y =∴12F PF △的面积12011||||122S F F y =⋅=⨯=．解法三：由三角形面积公式1212121||||sin 2F PF S PF PF F PF =⋅∠△，需要先求得12||||PF PF ⋅的值． 由勾股定理有2221212||||||PF PF F F +=，再由双曲线的定义有12||||||4PF PF -=……②， 对②两边平方221122||2||||||16PF PF PF PF -⋅+=，∴2212121||||(||||)82PF PF PF PF ⋅=+-．由双曲线方程得12||F F =．在12Rt F PF △中，2221212||||||20PF PF F F +==，∴12||||2PF PF ⋅=，∴12F PF △的面积121||||12S PF PF =⋅=．由已知：2a =，1b =，c =． 在12F PF △中，由余弦定理得22212121212||||||2||||cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅⋅∠2121212(||||)2||||(1cos )PF PF PF PF F PF =-+⋅⋅-∠．又∵12||2F F c ==12||||||24PF PF a -==，1260F PF ∠=︒，∴(221242||||(1cos60)PF PF =+⋅⋅-︒，从而12||||4PF PF ⋅=，∴1212121||||sin 2PF F S PF PF F PF =⋅⋅∠△14sin 602=⨯⨯︒= ⑶-双曲线即22153x y -=，故23b =，于是12212cot 2F AF F AF S b ∠=⋅△，即12tan 2F AF ∠=， 设12F AF θ∠=，则22tan2tan 1tan 128θθθ===---目标班学案3【拓3】 （2010浙江10）设O 为坐标原点，1F ，2F 是双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的焦点，若在双曲线上存在点P ，满足1260F PF ∠=︒，||OP =，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A．0x = B0y ±= C．0x ±= D0y ±=【解析】 D由余弦定理得：222212121212||||||cos60||||42||||PF PF F F PF PF b PF PF +-︒=⇒⋅=，2222cos POF ∠= ①2221cos POF ∠=②①＋②得222212142(||||)0a c PF PF +-+=即222214248a c a b +=+，即222b a =，所以222b a =，ba=，故y =．考点5：双曲线中的最值问题 提高班学案3【铺1】设连结双曲线22221x y a b -=与22221y x b a-=（00a b >>，）的四个顶点所得四边形面积为1S ，连结四焦点所得四边形面积为2S ，则12:S S 的最大值为 ． 【解析】 12112222S a b ab =⋅⋅=，222221(2)22()2S c c a b =⋅==+，故2212222212()2S ab a b S a b a b +==++≤．【例5】 ⑴若P 是双曲线2213x y -=右支上一个动点，F 是双曲线的右焦点，已知点A 的坐标是(35)，，则||||PA PF +的最小值是_______．⑵若P 是双曲线2213x y -=右支上一个动点，F 是双曲线的右焦点，已知点A 的坐标是(31)，，则||||PA PF +的最小值是________．【解析】 ⑴双曲线2213x y -=中，23a =，21b =，2c =，(20)F ，．如图，要求||||PA PF +的最小值，只需把折线段拉直，即当点P 运动到AF 与双曲线的交点P '时，||||PA PF +取得最小值，并满足||||||P A P F AF ''+=，最小值为||AF =双曲线2213x y -=中，23a =，21b =，2c =，(20)F ，，如图所示．找到其左焦点1(20)F -，，如图，根据双曲线第一定义，1||||2PF PF a -==因此1||||PF PF =-，11||||||||||||PA PF PF PA PF PA +=-=+-故此题转化为求1||||PF PA +的最小值问题． 求1||||PF PA +的最小值仍然是拉直，当点P 运动到1AF 与双曲线右支的交点P '时，1||||PF PA +取得最小值，并满足11||||||P F P A AF ''+=则11||||||||||||PA PF PF PA PF PA +=-=+-．考点6：抛物线及其标准方程1．平面内与一个定点F 和一条定直线l ()F l ∉的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程：22(0)y px p =>，焦点在x 轴正半轴上，坐标是02p ⎛⎫⎪⎝⎭，，准线方程是2p x =-，其中p 是焦点到准线的距离． 3．抛物线的几何性质（根据抛物线的标准方程22(0)y px p =>研究性质）： ⑴范围：抛物线在y 轴的右侧，开口向右，向右上方和右下方无限延伸． ⑵对称性：以x 轴为对称轴的轴对称图形，抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． ⑶顶点：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点．此处为原点．⑷离心率：抛物线上的点与焦点和准线的距离的比叫做抛物线的离心率，用e 表示，1e =．暑假知识回顾9.2 抛物线4．设抛物线的焦点到准线的距离为(0)p p>，抛物线方程的四种形式如下：⑴动点P到点(20)F，的距离与它到直线20x+=的距离相等，则P的轨迹方程为．⑵（2010浙江理13）设抛物线22(0)y px p=>的焦点为F，点(02)A，，若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为_____________．⑶（2012四川理8）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点(2)M y，，若点M到该抛物线焦点的距离为3，则||OM=（）A．B．C．4D．【解析】⑴28y x=由定义知p的轨迹是以(20)F，为焦点的抛物线，4p=，所以其方程为28y x=．⑵利用抛物线的定义结合题设条件可得出p，B点坐标为1⎫⎪⎪⎝⎭，所以点B到．⑶B由题意设抛物线方程为()220y px p=>，则M到焦点的距离为2322Mp px+=+=，2p=∴，24y x=∴，242y=⨯∴，y=±∴OM==∴【例6】 ⑴已知以F 为焦点的抛物线24y x =上的两点A B 、满足3AF FB =，则弦AB 的中点到准线的距离为 ．⑵过抛物线22x py =（0p >）的焦点F 作倾斜角为30的直线，与抛物线分别交于A B 、两点，（A 在y 轴左侧），则AF FB= ．⑶设抛物线22y x =的焦点为F，过点)0M的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于C ，2BF =，则BCF △与ACF △的面积之比BCFACFS S =△△（ ） A ．45 B ．23 C ．47 D ．12【解析】 ⑴83； 法一：过点A B ，分别作AA BB ''，垂直于准线，垂足分别为A B ''，． 过点B 作BC 垂直AA ' 于C ，交x 轴于点D ， 记准线与x 轴交点为F '．设||BF m =，由抛物线的定义知||3||AA m BB m ''==，， 在ABC △中，DF AC ∥，||:||1:3BF FA =，故1||||42m DF AC ==． 于是3||222m FF m m p '=+===，解得43m =．AB 的中点到准线的距离38223m m m +===． 法二：如图，延长AB ，交抛物线的准线与P ，作A 、B 、F 在准线上的投影A '、B '、F '．于是3AA AFBB BF '=='，设3AA m BB m ''==，， 则弦AB 中点到准线的距离为2m ，4AB AF BF AA BB m ''=+=+=． 而3PA AA PBBB '=='，4PA PB AB m -==，所以6PA m =，2PB m =． 因此2162FF PF m m AA PA m '+==='， 而2FF p '==，所以24AA FF ''==，从而43m =，于是823m =为所求． ⑵13； 过A B ，作AA BB ''，垂直抛物线的准线于A B ''，， 记直线AB 交准线于点P ，设||AF m =，||BF n =，则||2||2||2PA AA AF m '===所以||2=2||PB m m n BB n ++='，所以13m n =．⑶ A经典精讲由题知12121212B BCF B ACF A Ax BC S x S AC x x ++===++△△，又13222B B B BF x x y =+=⇒=⇒=由A 、B 、M 三点共线有M A M BM A M By y y y x x x x --=--，2，故2A x =， ∴2131421415BCF B ACF A S x S x ++===++△△，故选择A ．考点7：抛物线的最值问题<教师备案> 抛物线中的最值问题分成两类，一类借助抛物线的定义，将抛物线上一点到准线的距离与到焦点的距离进行转化，从而借助几何图形直接得到距离和的最值，见例7．另一类是无法通过几何得到最值，需要通过具体的代数计算得到最值，见例8．【例7】 ⑴已知P 为抛物线212y x =上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标是1762⎛⎫⎪⎝⎭，， 则PA PM +的最小值是（ ） A ．8 B ．192 C ．10 D ．212⑵已知点P 在抛物线24y x =上，那么点P 到点(21)Q -，的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ ）A ．114⎛⎫- ⎪⎝⎭，B ．114⎛⎫⎪⎝⎭， C ．(12)， D ．(12)-， 【解析】 ⑴ B如图，由抛物线定义知12PF PP PM '==+， 故12PM PF =-．所以问题即为求12PA PM PA PF +=+-的最小值，当P A F 、、三点共线时取到，10AF =，故P A P M +的最小值为1191022-=．⑵ A由抛物线的定义知，即求抛物线上的点P ，使得它到准线1x =-的距离与到点(21)Q -，的距离之和最小，过Q 点作准线的垂线，与抛物线交于一点，P 为此点时，有距离和的最小值，故P 的纵坐标为1-．<教师备案> 例8⑴是求抛物线上的点到一条直线的距离的最小值，可以直接设出抛物线上的点，通过点到直接的距离公式计算，也可以求出抛物线与此直线相切的直线，切点即为所求，特经典精讲别在学完导数之后，这个方向更常用．例8⑵⑶是求抛物线（22y px =）上的点到轴上一点的距离的最值，当轴上的点为焦点时，我们由抛物线的定义知，它到抛物线的顶点的距离最小，当此点不是焦点时，⑶的结论是一般性的，即当轴上的点在点(0)p ，的左边时，距离最小的点都是顶点；当该点处在轴上点(0)p ，的右边时，离它距离最小的点不再是顶点．【例8】 ⑴求抛物线24y x =上一点，使这点到直线45y x =-的距离最短．⑵已知抛物线22y x =，设点A 的坐标为203⎛⎫⎪⎝⎭，，求抛物线上距离点A 最近的点P 的坐标及相应的距离||PA ．⑶已知点(0)P a ，满足：对于抛物线24y x =上任意一点Q ，都有PQ PO ≥，则a 的取值范围是_______．【解析】 ⑴ 法一：设抛物线上一点2(4)x x ，，这点到直线45y x =-的距离22214421741x d ⎛⎫--- ⎪⎝⎭==+．当12x =时，函数21442y x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭的最小值是4．此时d 有最小值417，故所求点的坐标为112⎛⎫⎪⎝⎭，． 法二：设4y x m =+与抛物线相切，联立有2440x x m --=的判别式16160m ∆=+=，故1m =-，此一元二次方程的根为12，故所求点为112⎛⎫⎪⎝⎭，． ⑵ 设抛物线上任一点P 的坐标为()x y ，，则222222||233PA x y x x ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21133x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．∵0x ≥且在此区间上函数单调递增，故当0x =时，min 2||3PA =，故距离A 最近的点的坐标为(00)，．⑶(2]-∞，；法一：当0a <时，以P 为圆心，||a a =-为半径的圆与抛物线24y x =相切于原点，故此时满足条件；0a =时，显然满足；当0a >时，要满足条件，需要圆222()x a y a -+=与抛物线24y x =相切或相离，即22(2)0x a x +-=有且只有一个非负根，2(2)0a -≤，即02a <≤． 综上知：(2]a ∈-∞，．法二： 设()Q x y ，，则有24y x =，222222()2(2)PQ x a y x a x a a =-+=+-+≥，即(42)0x x a +-≥对所有的0x ≥恒成立，即24x a -≥对所有的0x ≥恒成立，故2402a a -⇒≤≤，即(2]a ∈-∞，．⑴ 已知1F 、2F 分别是双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的左、右焦点，P 为双曲线左支上任意一点，若221PF PF 的最小值为8a ，则该双曲线离心率e 的取值范围是_____．⑵ 如图，在等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，且2A B A D =．设D A B θ∠=，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，以A ，B 为焦点且过点D 的双曲线的离心率为1e ，以C ，D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为2e ，则（ ）D C B AθA ．随着角度θ的增大，1e 增大，12e e 为定值B ．随着角度θ的增大，1e 减小，12e e 为定值C ．随着角度θ的增大，1e 增大，12e e 也增大D ．随着角度θ的增大，1e 减小，12e e 也减小【解析】 ⑴(]13，；设122PF t t c a PF t a =-=+，≥，，()()22221244PF t a a f t t a PF tt+===++，当()02t a ∈，时，()f t 为减函数，()8f t a >； 当[)2t a ∈+∞，时，()f t 为增函数，()8f t a ≥．则由题意得2c a a -≤，3c a ≤，3e ≤，则e 的范围是(]13，． ⑵ B ；设22AB AD ==．连结BD ，则2212212cos 54cos BD AC θθ=+-⨯⨯=-=，22cos CD θ=-，154cos 1AB e BD AD θ==--- …① 2154cos CD e AD AC θ==++- …② 一方面，由①知，1e 随着θ的增大而减小； 另一方面，①⨯②有()()12222cos 44cos 154cos 144cos e e θθθθ--===---为定值．因此选B ．【演练1】 双曲线221412x y -=的焦点到渐近线的距离为（ ） A ．3 B ．2 C 3 D ．1【解析】 A 实战演练θABCD双曲线的焦点(40)，到渐近线y =的距离为d ==【演练2】如果1P ，2P ，…，8P 是抛物线24y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，8x ，F 是抛物线的焦点，若12810x x x +++=，则128PF P F P F +++=_____．【解析】 18根据抛物线的定义，可知12i i i pPF x x =+=+（1238i =，，，，）， ∴()1281288118PF P F P F x x x +++=++++⨯=．【演练3】（2010东城二模6）已知双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ，点A 在双曲线上，且2AF x ⊥轴，若1253AF AF =，则双曲线的离心率等于（ ）A ．2B ．3CD 【解析】 A22221212||4||||F F c AF AF ==-，结合1253AF AF =，可得2135||||22AF c AF c ==，，于是12532||||222ca AF AF c c c a=-=-=⇒=，即双曲线的离心率为2．【演练4】双曲线221916x y -=的两个焦点为1F 、2F ，点P 在双曲线上，若12PF PF ⊥，则点P 到x 轴的距离为_________． 【解析】 165设点P 到x 轴的距离为d ，12212121cot 16522PF F F PF S b F F d d ∠===⨯⋅=△，∴165d =．【演练5】已知点()23P -，及焦点为F 的抛物线218y x =，在抛物线上求一点M ,使PM FM +最小．【解析】 122⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∵P 在抛物线218y x =的内部（如图），又MF MH =（H 为MH l ⊥的垂足），∴()0000325PM FM PM MH PM M P PP +=++==--=≥，（其中0M 为0PP 与抛物线的交点），∴PM FM +的最小值为5．【演练6】抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=的距离的最小值是____________．【解析】 43设抛物线上一点2()x x -，，它到直线4380x y +-=的距离222203335x d ⎛⎫---⎪⎝⎭==．当23x =时，函数2220333y x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭的最小值是203．此时d 有最小值43．已知点P 是双曲线22184x y -=上的动点，12,F F 分别是其左、右焦点，O 为坐标原点，则12||||||PF PF OP +的取值范围是______．【解析】(2不妨设(),P x y ()0x >．于是有12,,PF ex a PF ex a OP =+=-∴12PF PF OP+==．而2210,2y x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，于是(122,PF PF OP+∈．大千世界。