专题知识选讲：三角函数线的应用
三角函数应用技巧
三角函数应用技巧三角函数是数学中重要的一门分支，广泛应用于几何、物理、工程等领域。
掌握三角函数的应用技巧，不仅可以帮助我们解决实际问题，还可以提高我们的数学思维和分析能力。
本文将介绍几个常用的三角函数应用技巧。
首先，我们来介绍三角函数在几何中的应用技巧。
三角函数可以帮助我们求解三角形的各种问题，比如求解三角形的面积、角度、边长等。
例如，已知一个三角形的两边长度和夹角，可以通过正弦定理来求解第三边的长度。
正弦定理可以表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a、b、c分别表示三角形的三边长度，A、B、C分别表示三角形的三个内角。
运用这个公式，我们可以轻松求解各种三角形问题。
在物理学中，三角函数也有着重要的应用。
比如在力学中，三角函数被广泛用于描述物体运动的规律。
其中，正弦函数和余弦函数常被用来描述简谐振动。
简谐振动是一种重要的物理现象，包括弹簧振子、摆动等。
通过应用正弦函数和余弦函数，我们可以精确地描述物体的位移、速度和加速度随时间的变化规律，从而深入理解物体振动的本质。
此外，三角函数还在工程学中发挥着重要的作用。
例如在建筑工程中，我们经常需要测量建筑物的高度、距离等。
而三角函数的正切函数可以帮助我们解决这些问题。
利用正切函数的性质，我们可以通过测量一个角的仰角和与建筑物的距离来求解建筑物的高度。
这个应用技巧在实际工程中非常常见，并且可以精确地测量建筑物的高度。
另一个经常用到三角函数的领域是信号处理。
信号处理是一门关于信号的获取、处理、传输和分析的学科。
而正弦函数是信号处理中最重要的一种信号。
正弦函数是一种周期性信号，可以用来描述许多自然现象，如光的波动、音乐的声波等。
通过对信号进行傅里叶变换，我们可以将信号分解为不同频率的正弦函数的叠加，从而对信号进行分析和处理。
总结起来，三角函数在几何、物理、工程和信号处理等领域中有着重要的应用。
掌握三角函数的应用技巧，可以帮助我们解决各种实际问题，并提高我们的数学思维和分析能力。
三角函数线的应用(新编201912)
2、解三角不等式，求角的范围.
8、求下列函数的定义域： （1）y 2 cos x 1 (2) y lg(3 4sin2 x)
解答下列问题： （1）若 在第四象限，判断
的符号；
（2）若
，试指出 所在的象限，
并用图形表示出的取值范围.
两分钟内完成
1、tan 300o sin 450o的值是（ ） A.1 3 B.1 3 C. 1 3 D. 1 3
三角函数线的应用
一、三角式的证明 1、已知：角 为锐角，
试证：（1） sin tan
(2) 1 sin cos 2
2、已知：角
为锐角，
试证：sin 2 cos
2
0 sin 2 cos 1
2
0 cos 2 sin 1
2、已知sin( ) 4，且是第四象限角，
5那么Biblioteka os(-2 )的值是（ ）A. 3 B. 3 C. 3 D. 4
55
55
3、已知是三角形的一个内角，且sin =
2 2
，那么角 等于（
）
A.
3
B.4
C.4
或
6
D.4
或
3
4
三分钟内完成
4、sin135o cos2 150o 2sin 210o cos 225o的值是（ ）
7、如果f (tan x) cot 3x，那么f (cot x)等于（ ） A.tan 3x B.cot 3x C. cot 3x D. tan 3x
2
2 cos 0 2 sin 1
2
2
1 cos 2 0 sin 2
高中数学必修4三角函数常考题型：三角函数线及其应用案
三角函数线及其应用【知识梳理】1．有向线段 带有方向的线段叫做有向线段． 2．三角函数线图示正弦线α的终边与单位圆交于P ，过P 作PM 垂直于x 轴，有向线段MP 即为正弦线 余弦线有向线段OM 即为余弦线 正切线 过A (1,0)作x 轴的垂线，交α的终边或其终边的反向延长线于T ，有向线段AT 即为正切线题型一、三角函数线的作法【例1】 作出3π4的正弦线、余弦线和正切线． [解] 角3π4的终边(如图)与单位圆的交点为P . 作PM 垂直于x 轴，垂足为M ，过A (1,0)作单位圆的切线AT ，与3π4的终边的反向延长线交于点T ，则3π4的正弦线为MP ，余弦线为OM ，正切线为AT .【类题通法】三角函数线的画法(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x 轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线．(2)作正切线时，应从A (1,0)点引单位圆的切线，交角的终边或终边的反向延长线于一点T ，即可得到正切线AT .【对点训练】 作出－9π4的正弦线、余弦线和正切线． 解：如图所示，－9π4的正弦线为MP ，余弦线为OM ，正切线为AT . 题型二、利用三角函数线比较大小 【例2】 分别比较sin 2π3与sin 4π5；cos 2π3与cos 4π5；tan 2π3与tan 4π5的大小． [解] 在直角坐标系中作单位圆如图所示．以x 轴非负半轴为始边作2π3的终边与单位圆交于P 点，作PM ⊥Ox ，垂足为M .由单位圆与Ox 正方向的交点A 作Ox 的垂线与OP 的反向延长线交于T 点，则sin2π3＝MP ，cos 2π3＝OM ，tan 2π3＝AT . 同理，可作出4π5的正弦线、余弦线和正切线，sin 4π5＝M ′P ′，cos 4π5＝OM ′，tan 4π5＝AT ′.由图形可知，MP >M ′P ′，符号相同，则sin 2π3>sin 4π5；OM >OM ′，符号相同，则cos 2π3>cos 4π5；AT <AT ′，符号相同，则tan 2π3<tan 4π5. 【类题通法】利用三角函数线比较大小的步骤利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：①角的位置要“对号入座”；②比较三角函数线的长度；③确定有向线段的正负．【对点训练】设π4<α<π2，试比较角α的正弦线、余弦线和正切线的长度．如果π2<α<3π4，上述长度关系又如何？解：如图所示，当π4<α<π2时，角α的正弦线为MP ，余弦线为OM ，正切线为AT ，显然在长度上，AT >MP >OM ；当π2<α<3π4时，角α的正弦线为M ′P ′，余弦线为OM ′，正切线为AT ′，显然在长度上，AT ′>M ′P ′>OM ′. 题型三、利用三角函数线解不等式【例3】 利用三角函数线，求满足下列条件的α的范围．(1)sin α<－12；(2)cos α>32. [解] (1)如图①，过点⎝⎛⎭⎫0，－12作x 轴的平行线交单位圆于P ，P ′两点，则sin ∠xOP ＝sin ∠xOP ′＝－12，∠xOP ＝11π6，∠xOP ′＝7π6， 故α的范围是⎩⎨⎧α⎪⎪⎭⎬⎫7π6＋2k π<α<11π6＋2k π，k ∈Z .(2)如图②，过点⎝⎛⎭⎫32，0作x 轴的垂线与单位圆交于P ，P ′两点，则cos ∠xOP ＝cos ∠xOP ′＝32，∠xOP ＝π6，∠xOP ′＝－π6， 故α的范围是⎩⎨⎧α⎪⎪⎭⎬⎫－π6＋2k π<α<π6＋2k π，k ∈Z . 【类题通法】利用三角函数线解三角不等式的方法利用三角函数线求解不等式，通常采用数形结合的方法，求解关键是恰当地寻求点，一般来说，对于sin x ≥b ，cos x ≥a (或sin x ≤b ，cos x ≤a )，只需作直线y ＝b ，x ＝a 与单位圆相交，连接原点和交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的x 的范围；对于tan x ≥c (或tan x ≤c )，则取点(1，c )，连接该点和原点即得角的终边所在的位置，并反向延长，结合图像可得．【对点训练】利用三角函数线求满足tan α≥33的角α的范围． 解：如图，过点A (1,0)作单位圆O 的切线，在切线上沿y 轴正方向取一点T ，使AT ＝33，过点O ，T 作直线，则当角α的终边落在阴影区域内(包含所作直线，不包含y 轴)时，tan α≥33.由三角函数线可知，在[0°，360°)内，tan α≥33，有30°≤α<90°或210°≤α<270°，故满足tan α≥33，有k ·180°＋30°≤α<k ·180°＋90°，k ∈Z . 【练习反馈】1．已知角α的正弦线和余弦线是符号相反、长度相等的有向线段，则α的终边在( )A ．第一象限的角平分线上B ．第四象限的角平分线上C ．第二、四象限的角平分线上D ．第一、三象限的角平分线上解析：选C 由条件知sin α＝－cos α，α的终边应在第二、四象限的角平分线上．2．如果MP 和OM 分别是角α＝7π8的正弦线和余弦线，那么下列结论中正确的是( ) A ．MP <OM <0B ．OM >0>MPC ．OM <MP <0D ．MP >0>OM解析：选D 如右图所示，正弦线为MP ，余弦线为OM ，结合图像，可知：MP >0，OM <0，故OM <0<MP .3．若角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为________．解析：若角α的余弦线长度为0，则α的终边落在y 轴上，所以它的正弦线的长度为1. 答案：14．用三角函数线比较sin 1与cos 1的大小，结果是___________________________． 解析：如图，sin 1＝MP ，cos 1＝OM .显然MP >OM ，即sin 1>cos 1.答案：sin 1>cos 15．在单位圆中画出满足sin α＝12的角α的终边．解：所给函数是正弦函数，故作直线y ＝12交单位圆于点P ，Q ，连接OP ，OQ ，则射线OP ，OQ 即为角α的终边．。
三角函数线的应用
5、已知 sin sin ，那么下列命题成立的是（ A.若、 是第一象限角，则 cos cos B.若、 是第二象限角，则 tan tan C.若、 是第三象限角，则 cos cos D.若、 是第四象限角，则 tan tan
9、下列不等式中，不成立的是（ A.sin130 sin140 C.tan130 tan140 ）
B.cos130 cos140 D.cot130 cot140
2 10、在ABC中，若最大内角的正弦值是 ，那么ABC必是（ ） 2 A.等边三角形 B.如果f (tan x) cot 3x，那么f (cot x)等于（ A.tan 3x B.cot 3x C. cot 3x D. tan 3x
8、函数式 1+2sin( -2)cos( +2) 的值是 （ ）
）
A.sin2-cos2 B.(sin2-cos2) C.sin2cos2 D .以上都不正确
;
/ 青岛装饰公司
uxd85vzu
的，有我和小直子跟着就行了，你自己歇着吧！”耿老爹也说：“有你弟你妹跟着就足够了，你自己歇一会儿吧！”耿正想一想说：“也好，那 我就自个儿睡一会儿喽！”目送弟弟和妹妹陪着爹爹出门儿去了，耿正转身回来掩上屋门，侧身躺在地铺上试图能够睡着一会儿。乔氏这些天也 怪辛苦的。想到绣花用的丝线不多了，正好出去买一些，顺便也走一走。看这爷儿三个出了门，就对小青说：“姆妈也想出去买些绣花线呢，你 去不去？”小青说：“我就不去了吧。最近一直很忙，我那块儿绢子还没有绣完呢！”乔氏就自己去了。现在，家里只剩下耿正和小青两个人了。 小青的心里既高兴，又不安。很想借此机会和耿正说些什么，但又不知道应该说什么。她拿着那块儿还没有绣完的丝绸手帕，在西边屋里的地上 转两圈又坐下，刚坐下了又站起来，哪里还有心思继续绣下去！仔细听一听，东边屋里一点儿声音也没有，心想：难道说耿正真得这么快就睡着 了？又一想，不对，哪里有半上午就瞌睡的道理！于是轻手轻脚地来到过厅里，隔着门再仔细听一听，好像耿正翻了一个身。小青的心里飞快地 琢磨着，怎么样才能引起耿正的注意来呢？有了！只见她转身轻轻地返回了西边的屋子里。突然将一把椅子踢倒，自己也“扑通”一声跌坐在了 地上，随即“哎哟！”惊叫一声。这一叫不要紧，东边屋里的耿正给吓得一愣怔。他本来就睡不着，正在想着千万里之外的故乡呢。听到西边屋 里的声响和小青的一声惊叫，赶快爬起来就往西屋里冲去。西屋的门大敞着，小青还坐在西屋门里边的地上，一把椅子倒在一边。耿正着急地问： “小青姐，你感觉如何？腰腿能动吗？如果能动，我扶你起来；如果痛得厉害，千万不要乱动，我去叫懂得骨伤的人来！”看到耿正着急和认真 的样子，小青的心里感觉暖暖的。她小声儿说：“不要紧，能动呢，也不太痛。你快扶我起来呀！”耿正这才伸出手去，欲扶着小青的胳膊让她 起来；但小青已经伸出手来，耿正只好让她扶着自己的手站起来。看到小青动作自如，耿正放心了。他扶起倒在一边的椅子，又看看床边上放着 的一块儿即将绣完的鸳鸯嬉水丝绸手帕，狐疑地问：“小青姐，你怎么搞得？不坐在床边上绣花，倒给摔倒在门口了？”小青满脸飞红，不好意 思地说：“我想踩上椅子打开门顶窗呢，不小心给摔倒了！”耿正说：“嗨，我当是什么事情呢！你叫我过来给你打开不就得了！”说着，举起 右手轻轻一推，就把西屋的门顶窗户推开了。回过头来对小青说：“那我回那边去了。有什么事儿，你喊我一声啊！”小青欲张口挽留，无奈耿 正已经跨出门槛儿了。小青心里好失望，又有些生气，不由人地“哼”了一声。耿正听到这一声“哼”，就停下脚步回头问：“小青
三角函数线
三角函数线一、知识与技能1. 会用三角函数线分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值2.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义;3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题二、过程与方法1.借助几何画板让学生经历概念的形成过程，提高学生观察、发现、类比、猜想和实验探索的能力;2.让学生从所学知识基础上发现新问题，并加以解决，提高学生抽象概括、分析归纳、数学表述等基本数学思维能力.三、情感、态度与价值观1.通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究获取知识.2.通过三角函数线学习，使学生进一步加深对数形结合思想的理解，培养良好的思维习惯，拓展思维空间教学重点：三角函数线的作法及其简单应用教学难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用它们的几何形式表示出来.授课类型：新授课课时安排：1课时教学过程：一、温故而知新1. 前面我们学习了利用单位圆定义三角函数，复习：1单位圆的定义：圆心在圆点，半径等于单位长的圆叫做单位圆。
2 三角函数的定义：如图,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:(1)叫做的正弦(sine),记做,即;(2)叫做的余弦(cossine),记做,即;(3)叫做的正切(tangent),记做,即.正弦函数,余弦函数,正切函数统称为三角函数师：我们那么能否在此基础上用几何图形来表示任意角的正弦、余弦、正切函数值呢?这就是我们今天一起要研究的问题.二、研探新知(1)设角的终边与单位圆交于点P(_,y),过点P作_轴的垂线,垂足M,用的三角函数表示点P的坐标 ;线段OM的长度|OM|= ;线段MP的长度|MP|= .(利用几何画板演示,角的变化过程中,角的终边和单位圆的交点坐标的变化)|MP|=|y|=|sin_alpha;|, |OM|=|_|=|cos_alpha;|(2)思考1:如何去掉上述等式中的绝对值符号,为此能否给线段OM,MP规定一个适当的方向,使它们的取值与点P的坐标一致?2.有向线段我们知道，直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角的终边不在坐标轴上时, 规定：(1) 以为始点、为终点的线段：当线段与轴同向时，的方向为正向，且有正值;当线段与轴反向时，的方向为负向，且有负值;其中为点的横坐标.这样,无论那种情况都有(2)以为始点、为终点的线段，当线段与轴同向时，的方向为正向，且有正值;当线段与轴反向时，的方向为负向，且有负值;其中为点的纵坐标.这样,无论那种情况都有像这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段.思考2:你能借助单位圆，找到一条如、一样的线段来表示角的正切值吗?过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点.(利用几何画板演示)根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段,我们有三、三角函数线由上述四个图看出：当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有,，.我们把这三条与单位圆有关的有向线段分别称为角的正弦线,余弦线,正切线.他们统称三角函数线几点说明：①三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段;余弦线在轴上;正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。
专题 三角函数与渐近线-渐近线中三角形函数的综合运用
专题三角函数与渐近线-渐近线中三角形函数的综合运用在数学中，三角函数和渐近线是两个重要的概念。
三角函数是描述角度和三角形之间关系的函数，而渐近线是曲线的特殊直线。
本文将讨论在渐近线中综合运用三角函数的问题。
三角函数简介三角函数是数学中一类常见的函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
它们可以描述角度和三角形的各种关系。
例如，正弦函数可以用来计算一个角的对边与斜边的比值，余弦函数可以计算一个角的邻边与斜边的比值。
三角函数在几何、物理和工程等领域中有广泛的应用。
渐近线简介渐近线是曲线的一种特殊直线，具有特定的性质。
当曲线的函数值在趋于无穷大或负无穷大时，渐近线可以用来描述函数的趋势。
常见的渐近线包括水平渐近线和垂直渐近线。
水平渐近线表示函数在某个特定的水平高度趋于无穷大或负无穷大，垂直渐近线表示函数在某个特定的垂直位置无限接近某一值。
渐近线中三角函数的综合运用在渐近线的研究中，可以综合运用三角函数来描述曲线的性质。
例如，在一条曲线的渐近线方程中出现三角函数，可以通过求解方程来确定曲线与渐近线的交点。
这对于分析曲线的形态和特征十分重要。
此外，三角函数还可以用来描述曲线的周期性和周期函数的一些性质。
例如，正弦函数和余弦函数在图像上呈现周期性变化，通过计算周期和振幅，可以推导出曲线的周期性特征。
综合运用三角函数和渐近线的分析方法，可以帮助我们更好地理解曲线的性质，推导出更多的数学结论。
这对于数学领域中的研究和应用具有重要的意义。
结论三角函数和渐近线是数学中重要的概念，它们在数学研究和应用中具有广泛的应用价值。
在渐近线中综合运用三角函数可以帮助我们更好地理解曲线的性质和特征。
通过深入研究三角函数和渐近线的关系，可以推导出更多的数学结论，为数学的发展做出贡献。
以上是关于专题"三角函数与渐近线-渐近线中三角形函数的综合运用"的简要介绍。
希望对您的研究和学习有所帮助！。
三角函数线
2π 4π tan 3 <tan 5
利用三角函数线比较三角函数值的大小时， 一般分三步： (1)角的位置要“对号入座”； (2)比较三角函数线的长度； (3)确定有向线段的正负.
类型五 利用三角函数线解不等式(组)
例6 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，
则OP1，OP2是角α的终边，
因而角 α 的取值集合为{α|α＝2kπ＋π6或
α＝2kπ＋56π，k∈Z}.
类型四 利用三角函数线比较大小
例 5 利用三角函数线比较 sin23π和 sin45π，cos23π和 cos45π，tan23π和 tan45π的大小.
2π 4π sin 3 >sin 5
1.任意角α的 终边与单位 圆交于点P
有向线段MP,OM,AT
2.作PM⊥x轴
约定：方向 与x轴或y轴 的正方向一 致的为正值 反之，为负 值.
3.过点A(1，0)作单位圆 的切线，交α的终边 或其反向延长线于点T
则有：长度等于三角函 数值的绝对值， 方向表示三角函数值的 正负.
有向线段MP，OM，AT恰好表示角α的正弦、余弦、正切 三角函数线：正弦线、余弦线、正切线
2.作PM⊥x轴
约定：方向 与x轴或y轴 的正方向一 致的为正值 反之，为负 值.
3.过点A(1，0)作单位圆 的切线，交α的终边 或其反向延长线于点T
则有：长度等于三角函 数值的绝对值， 方向表示三角函数值的 正负.
有向线段MP，OM，AT恰好表示角α的正弦、余弦、正切 三角函数线：正弦线、余弦线、正切线
三角函数线的应用
y
o
sin
2
1
x
三角函数的应用与解题策略
三角函数的应用与解题策略三角函数是数学中一种重要的函数类型，广泛应用于各种实际问题的解决和数学计算中。
本文将介绍三角函数的基本概念和性质，并阐述其在解题过程中的应用和解题策略。
一、三角函数的基本概念和性质三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，分别记作sin(x)、cos(x)和tan(x)，其中x为角度。
1. 正弦函数sin(x)：在单位圆中，以原点为中心，长度为1的线段与x轴正半轴之间的夹角的角度值。
2. 余弦函数cos(x)：在单位圆中，以原点为中心，长度为1的线段与x轴正半轴之间的夹角的角度值的余弦值。
3. 正切函数tan(x)：在单位圆中，以原点为中心，长度为1的线段与x轴正半轴之间的夹角的角度值的正切值。
三角函数具有一些基本性质，例如周期性、奇偶性和界值性等。
这些性质决定了三角函数在解题中的灵活应用和解题策略。
二、三角函数的应用1. 几何应用三角函数在几何学中有广泛的应用，例如求解三角形的面积和边长等问题。
通过三角函数，我们可以根据已知条件计算出未知角度或边长的值，从而解决几何问题。
2. 物理应用三角函数在物理学中也具有重要的应用价值。
例如，在力学中，运动学和静力学问题中，通过三角函数可以计算出物体在各种受力情况下的位移、速度、加速度等物理量的数值，从而解决实际物理问题。
3. 工程应用在工程领域中，三角函数的应用十分广泛。
例如，在测量、建筑和导航等方面，通过三角函数可以准确计算出距离、高度、角度等数值，为工程设计和实施提供量化依据。
三、三角函数的解题策略在解决与三角函数相关的问题时，我们可以采用以下解题策略：1. 规范化角度常见的角度单位有度（°）和弧度（rad）。
在解题过程中，我们需要对角度进行规范化，将其转化为统一的单位，从而方便计算和比较。
2. 利用基本三角函数性质通过运用三角函数的基本性质，例如周期性、奇偶性、界值性等，可以简化计算过程，提高解题效率。
例如，利用正弦函数的周期性，可以将大角度问题转化为小角度问题进行求解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专题知识选讲：三角函数线的应用
长泰二中 沈秋彬
教学目标：
1、掌握三角函数线常见的应用： （1）由角的范围，比较三角函数值的大小
（2）由三角函数值的大小范围，确定角的范围尤其是有关三角函数
的求定义域问题。
2、通过本节课的学习使学生进一步体验数形结合的数学思想方法，
培养“数形结合”的良好习惯，体会到利用三角函数线解题的优越性。
教学重点： 利用三角函数线解有关三角函数中的不等问题 教学难点：“数”与“形”的结合，即用三角函数线表示三角函数
值的大小
一、引入：求lg sin y
x
=
的定义域。
二、复习三角函数线：正弦线、余弦线、正切线
以原点为圆心、半径为1的圆称为单位圆，它与x 轴正半轴的交点是A （1，0）。
设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴于M 。
再过A 点作单位圆的切线交角α的终边（或终边的反向延长线）于T 。
右边的四个图中分别讨论了角α的终边在第一、二、三、四的情形。
由于sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ，我们把有
分别叫做角α的正弦线、
余弦线、正切线，它们
统称为三角函数线。
关于三角函数线，要
注意以下几点：
（1）正弦线、余弦线、
正切线都是有向线段，利
用它们的数量来表示三角
函数值，是数形结合的典
型体现。
三角函数线表示三角的函数值的符号规定如下：正弦线MP、
正切线AT方向与y轴平行，向上为正，向下为负；余弦线OM在x
轴上，向右为正，向左为负。
（2）作三角函数线时，所用字母一般都是固定的，书写顺序也不
能颠倒。
特别要注意正切线必在过A（1，0）的单位圆的切线上（其
中二、三象限角需作终边的反向延长线）。
（3）对于终边在坐标轴上的角，有时三角函数线退化为一个点，
有时又为整个半径。
当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存
在。
（4）当π
α2
0<
≤时，正弦线、余弦线、正切线与角α并不是一一
对应的。
一般地，每一个确定的MP 、OM 、AT 都对应两个α的值。
三 、教学过程： 证明不等式和恒等式考得少在这不讲，只讲主要的四种题型如何运用三角函数线来解。
（一）、求角的取值
例1
（1）sin 2
α=-
；（2）co s 2
α
=
；
分析：各个象限角的特点；如图0
画出单位圆，分别标出所求的角的三角函数线，利用终边相同的角，写出各角。
解析：（1）sin 2
α
=-
由图1得：CA=DB=2
-
∴3|2244k k ππ
αα
ππ⎧⎫
=-+-
+⎨⎬⎩
⎭
或k Z ∈。
（2）co s 2
α
=
OM=
2
，∴|226
6k k ππ
αα
ππ⎧⎫
=
+-
+⎨⎬⎩
⎭
或k Z ∈。
反馈练习：求tan α
=角的集合。
图0
α-
解：tan α
=3得：
|3k π
αα
π⎧
⎫
=
+⎨⎬⎩
⎭
k Z ∈。
（二）、求角的范围
例2 在[0,2]π上满足1
sin 2x ≥的x 的取值范围（ ）
A 、[0,]6π
B 、5[
,
]66
ππ
C 、2[
,
]6
3
ππ
D 、5[
,]6
π
π
解析：作出单位圆如图4，过（0，12
）
点作x 轴的平行线，分别交单位圆于两点，连接圆心O 这两点，得到两条射线，这两条射线与x 轴的非负半轴所成的角分别为
6π和
56
π，可得1sin
2
x ≥
的角的范围是：5[
,
]6
6
ππ，应选
B 。
点评：对于形如：()f x m
≥或
()f x m
≤的三角函数的角的范围问题，都可
以用三角函数线来求出。
注意：如把[0,2]π舍去，则范围要加上2k π. 反馈练习：在[0,2]π上满足1co s 2
x
≤-
的x 的取值范围24[
,
]3
3
ππ
图1
图2
图3
图4
（三）、比较大小
例3 比较sin1155°与sin(－1654°)的大小。
解析：首先利用诱导公式化简：
sin(－1654°) =sin146°； sin1155°= sin75°，在单位圆中分别作出其三角函数线11M P 和
22
M P ，∴sin1155°＞sin(－1654°)。
反馈练习1：下列不等式成立的是 A
A 、0
sin 70
sin 170
> B 、0
sin 130
sin 140
<
C 、0
tan 130
tan 140
>D 、0
cos 130
cos 140
<
反馈练习2：已知(0,
)2
πα
∈，比较sin α，α，tan α。
分析：在单位圆中设∠AOP=α，则
A P 的长度为α，角α的正弦线为MP ，正切线为AT ，MP ＜α＜AT ，∴sin α＜α＜tan α。
（四）、求函数的定义域 例4
求lg s in y
x
=
的定义域。
解析：由题意得：
2co s 10sin 0
sin 1x x x -≥⎧⎪
>⎨⎪≠⎩1co s 2sin 0sin 1x x x ⎧
≥⎪⎪⇔>⎨⎪≠⎪
⎩
，由图可知：
|223x k x k k Z πππ⎧⎫
<≤+∈⎨
⎬⎩⎭。
图5
图
7
图6
反馈练习1：
求函数lg(2sin y x =+
的定义域为
4(2,2),3
3
k k k z
π
πππ-
+
∈
反馈练习2：
求函数lg (2sin y x =++的定义域为
练习： （1）已知,
,4
2ππα⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
比较cos tan αααα、 sin 、、 的大小关系
（2
x 的取值范围是_____________________
点评：
四、课堂小结：（1）利用三角函数线解有关三角问题的优越性：直观，简洁
（2）养成经常用数形结合解题的好习惯。
五、课后作业：
1、(A):已知点P(sin α-cos α,tan α)在第一象限，在[0，2π）内求α的范围。
2、(B):已知点P(sin α-cos α,tan α)在第一象限，求α的范围。
3、函数()()()12cos log 2sin 1x f x x -=
-的定义域为_____________________
5(2,2)(2,2),3
2
2
6
k k k k k z
π
π
π
πππππ+
+
+
+
∈
思考题：已知()0,2x π∈，使sin
co s x x >的x 的取值范围是（ ）
（A ）3,
44π
π⎛⎫
⎪⎝⎭（B ）53,,4242ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （C ）,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭（D ）57,4
4ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
Z
k k k k k ∈+<
<++<
<+,24
5222
24
ππαππππ
αππ
或4
52
4παππ
απ
<
<<
<或⎭
⎬
⎫⎩⎨⎧∈+≤<+-Z k k x k x ,23223|ππππ。