2020版高考数学人教版理科一轮复习课时作业：74 不等式的证明 Word版含解析

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课时作业74不等式的证明
1．已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1.
1
(1)求证：a2＋b2＋c2≥；
3
a2 b2 c2
(2)求证：＋＋≥1.
b c a
证明：(1)∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，∴a2＋b2＋
c2≥ab＋bc＋ca，
∵(a＋b＋c)2＝1，∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1，
1
∴3(a2＋b2＋c2)≥1，即a2＋b2＋c2≥.
3
a2 b2 c2 a2 b2 c2
(2)∵＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，∴＋＋＋(a＋b＋
b c a b c a
a2 b2 c2
c)≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c，
b c a
a2 b2 c2
∵a＋b＋c＝1，∴＋＋≥1.
b c a
2．(2019·南宁、柳州联考)已知函数f(x)＝|x－1|.
(1)求不等式f(x)≥3－2|x|的解集；
(2)若函数g(x)＝f(x)＋|x＋3|的最小值为m，正数a，b满足a＋b＝
a2 b2
m，求证：＋≥4.
b a
解：(1)当x≥1 时，x－1≥3－2x，
4 4
解得x≥，∴x≥；
3 3
当0<x<1 时，1－x≥3－2x，解得x≥2，无解；
2 2
当x≤0 时，1－x≥3＋2x⇒x≤－，∴x≤－.
3 3
4 2 ∴原不等式的解集为{x|x≥或x≤－}．
3 3 (2)证法1：∵g(x)＝|x－1|＋|x＋3|
≥|(x－1)－(x＋3)|＝4，
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∴m＝4，即a＋b＝4.
a2 b2
又＋b≥2a，＋a≥2b，
b a
a2 b2
∴两式相加得( ＋b)＋( ＋a)≥2a＋2b，
b a
a2 b2
∴＋≥a＋b＝4，
b a
当且仅当a＝b＝2 时等号成立．
证法2：∵g(x)＝|x－1|＋|x＋3|
≥|(x－1)－(x＋3)|＝4，∴m＝4，即a＋b＝4，
a2 b2 a2 b2
由柯西不等式得( ＋)(b＋a)≥(a＋b)2，∴＋≥a＋b＝4，当
b a b a
a2 b2
b a
且仅当＝，即a＝b＝2 时等号成立．
b a
3．(2019·贵阳市监测考试)已知不等式|2x－3|<x与不等式x2－mx ＋n<0(m，n∈R)的解集相同．
(1)求m－n；
(2)若a，b，c∈(0,1)，且ab＋bc＋ac＝m－n，求a2＋b2＋c2 的最小值．
解：(1)当x≤0 时，不等式的解集为空集；
当x>0 时，|2x－3|<x⇒－x<2x－3<x⇒1<x<3，
∴1,3 是x2－mx＋n＝0 的两根，
∴Error!∴Error!∴m－n＝1.
(2)由(1)得ab＋bc＋ac＝1，
a2＋b2 b2＋c2 a2＋c2
∵≥ab，≥bc，≥ac，
2 2 2
a2＋b2 b2＋c2 a2＋c2
∴a2＋b2＋c2＝＋＋≥ab＋bc＋ac＝1(当且仅
2 2 2
3
当a＝b＝c＝时取等号)．
3
∴a2＋b2＋c2 的最小值是1.
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4．(2019·陕西质量检测)已知函数f(x)＝|2x－1|＋|x＋1|.
(1)解不等式f(x)≤3；
(2)记函数g(x)＝f(x)＋|x＋1|的值域为M，若t∈M，证明：t2＋1≥
3
＋3t.
t
解：(1)依题意，得f(x)＝Error!
∴f(x)≤3⇔Error!或Error!
或Error!解得－1≤x≤1，
即不等式f(x)≤3 的解集为{x|－1≤x≤1}．
(2)证明：g(x)＝f(x)＋|x＋1|＝|2x－1|＋|2x＋2|≥|2x－1－2x－2|＝3，
当且仅当(2x－1)(2x＋2)≤0 时取等号，∴M＝[3，＋∞)．
3 t3－3t2＋t－3 t－3t2＋1
t2＋1－3t－＝＝，
t t t
∵t∈M，∴t－3≥0，t2＋1>0，
t－3t2＋1 3
∴≥0，∴t2＋1≥＋3t.
t t
5．(2019·广东中山二模)已知函数f(x)＝x＋1＋|3－x|，x≥－1.
(1)求不等式f(x)≤6 的解集；
(2)若f(x)的最小值为n，正数a，b满足2nab＝a＋2b，求证：2a
9
＋b≥.
8
解：(1)根据题意，若f(x)≤6，则有Error!
或Error!解得－1≤x≤4，
故原不等式的解集为{x|－1≤x≤4}．
(2)证明：函数f(x)＝x＋1＋|3－x|
＝Error!
分析可得f(x)的最小值为4，即n＝4，
1 2
则正数a，b满足8ab＝a＋2b，即＋＝8，
b a
1 1
2 1 2a2b 1 2a2b9
∴2a
＋
b
＝8
( a)(2a＋b)＝8( ＋5)≥8(5＋2 a)＝，原＋＋·
b b a b8
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不等式得证．
6．(2019·山西晋中二模)已知函数f(x)＝|x＋1|.
(1)若∃x0∈R，使不等式f(x0－2)－f(x0－3)≥u成立，求满足条件
的实数u的集合M；
(2)已知t为集合M中的最大正整数，若a>1，b>1，c>1，且(a－
1)(b－1)(c－1)＝t，求证：abc≥8.
解：(1)由已知得f(x－2)－f(x－3)＝|x－1|－|x－2|＝Error!则－
1≤f(x)≤1，
由于∃x0∈R，使不等式|x0－1|－|x0－2|≥u成立，所以u≤1，即
M＝{u|u≤1}．
(2)证明：由(1)知t＝1，则(a－1)(b－1)(c－1)＝1，
因为a>1，b>1，c>1，
所以a－1>0，b－1>0，c－1>0，
则a＝(a－1)＋1≥2 a－1>0(当且仅当a＝2 时等号成立)，
b＝(b－1)＋1≥2 b－1>0(当且仅当b＝2 时等号成立)，
c＝(c－1)＋1≥2 c－1>0(当且仅当c＝2 时等号成立)，
则abc≥8 a－1b－1c－1＝8(当且仅当a＝b＝c＝2 时等号成立)．。