15.1_从分数到分式
15.1.1 从分数到分式
D．x＝3
3．已知分式（x－1）（x＋2）的值为 0，那么 x 的值是( ) x2－1
A．－1
B．－2
C．1
D．1 或－2
侵权必究
名校课堂
题组二
4.下列式子中的字母取何值时，使分式有意义？
① 2m 3m 2
②2 x2 1
侵权必究
名校课堂
x2 1 5. x2 x 中的字母取何值时，分式有意义？ 字母取何值时分式无意义？字母取何值时分式为零？
侵权必究
名校课堂
例 当x为何值时，分式 x2 1 的值为零?
x 1
解：当分子等于零而分母不等于零时,
分式的值为零.
则 x2 - 1=0， ∴x = ±1， 而 x+1≠0， ∴ x ≠ -1. ∴当x = 1时分式 x2 1 的值为零.
x 1
侵权必究
名校课堂
题组一
1.整式有：
；分式有：
.
2x 1 1
（B ）
A.xx2+11
x1 B. x2
x2 1 C.x2 1
D.
x2 x1
4.已知，当x=5时，分式 2x k 的值等于零， 3x 2
则k =-10 .
侵权必究
名校课堂
当堂练习
列式表示下列各量：
(1)某村有n个人，耕地40 hm2，则人均耕地面积
40
为 n hm2.
(2)△ABC的面积为S，BC边的长为a, 则高AD为
侵权必究
名校课堂
6. 某市对一段全长1 500米的道路进行改造．原计划
每天修x米，为了尽量减少施工对城市交通所
造成的影响，实际施工时，每天修路比原计划的2倍还
多35米，那么修这条路实际用了
15.1.1 从分数到分式
3x
x 1
x y
x y 解：（3）要使分式 x y 有意义，则分母x-y 0， 即x y ．
运用新知
练习1 下列分式中的字母满足什么条件时分式有 意义？
（1）2a b ；（2） 2 .
3a b
x2 1
无
解： （1）a b ；（2）x 1. 3
1.填表：根据字母a的取值，求分式的值
运用新知
例1 下列分式中的字母满足什么条件时分式有意
义？
（1 ）2 ；（2） x ；（3）x y ．
3x
x 1
x y
解：（2）要使分式
x
x
1 有意义，则分母x-1
0，
即x 1；
运用新知
例1 下列分式中的字母满足什么条件时分式有意
义？
（1 ）2 ；（2） x ；（3）x y ．
填一填
名称
例子
分数 121 ,10 37
式子
s , 530 v v0 10
相同点
不同点
分式的概念
类比分数，分式的概念及表达形式:
被除数÷除数=商数
被除式÷除式=商式
如:
3
÷5
3
=5
类比 如: (v-v0) ÷ t
=
v-v0
t
整数 整数 分数
整式(A) 整式(B)分式(AB )
一般地，如果A、B都表示整式，且B
八年级数学上册·人教版
第15章 分式
15.1.1 从分数到分式
1.理解分式的概念，掌握分式的特征 2.熟练掌握分式有意义、无意义及分式 值为零的条件.
同舟共济
自学要求：
1.用2分钟阅读课本127页，第二个“思考”开始 到
教学设计5：15.1.1从分数到分式
15.1.1从分数到分式一、课题：新人教版八年级上册第十五章15.1.1从分数到分式二、课型：新授课三、教材分析：《从分数到分式》的主要内容是分式的概念以及分式有意义、无意义、分式值为0的条件和用分式表示数量关系。
分式是继整式之后对代数式的进一步研究，它以分数知识为基础，类比引出分式的概念。
与整式一样，分式也是表示具体问题情境中的数量关系的一种工具，是解决实际问题的常见模型之一。
本节课的学习为今后学习更为复杂的函数、方程等知识提供重要条件，打下坚实的基础，起到承上启下的作用。
四、教学目标：1、知识与技能：学生通过实际问题中的数量关系，类比、抽象出分式的概念，理解并掌握分式的概念，能求出分式有无意义以及分式值为0的条件。
2、过程与方法：通过对分式与分数的类比，学生亲身经历、探究分式的过程，初步体会运用类比转化的思想方法研究数学问题，培养学生观察、归纳、类比的思想，并体会从特殊到一般的数学思想。
3、情感态度与价值观：通过丰富的现实情境，使学生在已有数学经验的基础上，了解数学的价值，发展“用数学”的信心。
五、教学重难点：重点：理解并掌握分式的概念，体会其内涵；难点：分式有无意义、分式值为0条件的讨论及运用。
六、教法与学法：根据本节课的教学目标、教材内容以及学生的认知特点，教学上采用的教学方法是问题探究法，探究发现法，即学生在教师的正确引导下，积极主动参与探索发现、归纳类比等数学活动获得知识。
教师着眼于引导，学生着眼于探索。
本节课还利用多媒体辅助教学，增加课堂的容量，同时有利于突出重点、分散难点，增强教学条理性，形象性，更好地提高课堂效率。
有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，积极参与、自主探索与合作交流是学习数学的重要方式。
这节课学生积极参与到教学活动中，用启发引导的方式学习分式的概念，并在学习中渗透观察、类比、归纳的数学学习思想，体现以学生发展为本的理念，突出学生是学习的主体。
七、教学设计：。
15.1.1 从分数到分式
15.1 分式15.1.1 从分数到分式学习目标：1. 了解分式、有理式的概念.2. 理解分式有意义的条件、分式的值为零的条件、能熟练求出分式有意义的条件、分式的值为零的条件.学习重点: 理解分式有意义的条件、分式的值为零的条件。
学习难点：能熟练地求出分式有意义的条件、分式值为零的条件。
一、 学前准备：1、 统称为整式 。
2、32表示 ÷ 的商，那么()÷()可以表示为 。
3、某村有 m 人，耕地50公顷，人均耕地面积为 公顷。
4、三角形的面积为S ，边长为a,高为 。
5、一辆汽车行驶a 千米用b 小时，它的平均车速为 千米/小时；一列火车行驶a 千米比这辆汽车少用1小时，它的平均车速 千米/小时。
6、以上(3、4、5)题的共同点是 ，与分数相比的不同点 。
7、如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有 ，那么式子BA 叫做分式，其中A 叫做 ，B 叫做 。
二、探究活动:1、独立思考，解决问题。
（1）分式BA 的分母表示 ，由于 不能为0，所以分式的分母不能为 ，即当B 0时，分式BA 才有意义。
（2）当x 时，分式X32有意义。
（3）当x 时，分式1-x x 有意义。
（4）当x 、y 满足关系 时，分式y x y x +-有意义。
2、师生探究，合作交流。
探究二:分式在什么情况下为零。
.(1)若分式142+-X X 的值为0，则 . (2) 若分式B A 的值为0，则 且 。
探究三:分式在什么情况下无意义。
（1）当x 时，分式123-X 无意义。
（2） 使分式1-X X 无意义，x 的取值是 . A 、0 B 、1 C 、-1 D 、1(3)对于分式B A ，当 时分式有意义，当 时分式BA 无意义。
三、同步演练 1、下列各式①x 2 ② y x +5 ③ a -21 ④123-x , 是分式的有（ ）A 、①② B 、③④ C 、 ①③ D 、①②③④2、当x 取什么值时，下列分式有意义？①18-x ② 912-x ③12+x y②当a 时，分式242+-a a 的值为0. ③使分式1-x x 无意义，x 的取值是（ ） A 、0 B 、1 C 、-1 D 、±1四、拓展延伸已知xx 321--取哪些值时:①y 的值是正数;②y 的值是负数；③y 的值是零；④分式无意义。
15.1.1_从分数到分式
§15.1 分式
如果轮船在静水中的最大航速为20千米/时， 它沿江以最大航速顺流航行100千米所用的 时间，与以最大航速逆流航行60千米所用的 时间相等，江水的流速为多少？ 行程问题基本数量关系：路程＝速度×时间 解：设江水的流速为v千米/时，则
船顺流航行速度＝船在静水中的速度＋水流的速度 顺流100千米所用时间为________小时， 船逆流航行速度＝船在静水中的速度－水流的速度
例3 对于分式(x+a+b)/(a-2b+3x), 已知当x=1时， 分式的值为0 ； 当x=-2时，分式无意义，试求a b 的值。
课堂检测
1:列式表示下列各量（每小题5分）
(1)某村有n个人,耕地40公顷,人
40 均耕地面积为 n
公顷.
(2)一辆汽车行驶a千米用b小时,它的平均 a 车速为______千米/时;一列火车行驶a千米 b 比这辆汽车少用1小时,它的平均车速为 a ________千米/时.
解：（1）当分母a≠0时，原分式有意义。 （2）当分母x-1≠0即x≠1时，原分式有 意义。
2m (3) 3m 2
2 （3）当分母3m+2≠0即m≠ 3
时，原分式有意义。
1 ( 4) x y
2a b (5) 3a b 2 ( 6) x 1
2
（4）当分母x+y≠0即x≠-y时，原分式有意义。
（5）当分母3a+b≠0即b≠-3a时，原分式有意义。
（6）当分母
-1≠0即x≠±1时，原分式有意义。
x
2
4：填空（每空5分）
（1）当x
=-2
x 4 时， x2
2
2
15.1.1 从分数到分式
的圆柱形容器中,水面高度为______; S
S
V
思考
议一议：请大家观察式子 和 ，有S 什么V特点？
aS
请大家观察式子
和100 ，有什60么特点？
20 u 20 u
他们与分数有什么相同点和不同点？
相同点 都具有分数的形式
不同点 （观察分母） 分母中有字母
分式的定义
一般地，如果A、B都表示整式，且B中含有字母，那么称
解：x≠±1，且x≠－2
x 1xx有意11义x； 2
(2)当x取何值时，分式
无4意x义？5
3x 7
解：根据题意，得3x－7＝0，解得x＝ .
7
所以当x＝
时，7 分式
3
无意34 xx义-+．75
3
知识模块三 分式的值为零的条件
想一想： 分式 A的值为零应满足什么条件？
B
当A=0而 B≠0时， 分式 BA的值为零.
有意义；2
3x
有意义；x x 1
有意义；1 5 3x
取全体实数时，分式
有意义；x 1 x2 1
时32，分式
有意义x .1
2x 3
合作探究
1.分式
x2
x2
4x的9值3为零，求x的值；
解：
x2 – 9 = 0, x2 – 4x+3 ≠ 0.
解得x＝－3.
合作探究 2．当x取什么值时，分式
40
则高为 c7m；三角形的面积为S，底边为a，
2S
则高为 ；a
2．王老师骑自行车用了m小时到达距离家n千米的学校，则王老师
的平均速度是
n
千米/时；若乘公共汽车则可m少用0.2小时，则
【数学课件】15.1.1从分数到分式
分母中不含有字母的式子是整式． 解：分式有 2x , 2x ；
x x y
整式有 3a2，x 2 , a 2b , 3 . 2 π+2
（来自《点拨》）
总结
知1－讲
判断一个式子是否是分式的方法：首先要具
有
A B
的形式，其次A，B是整式，最后看分母是
不是含有字母，分母含有字母是判定分式的关键
条件．
（来自《点拨》）
而与分式的分子的值是否为0无关．
（来自《点拨》）
知2－讲
【例2】下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？
2 （1） 3 x ;
（2）
x
x
1
;（3）
5
1 3b
;
x y （4）x y .
解：（1）要使分式
2 3x
有意义，则分母3x≠0，即x ≠0.
（2）要使分式 x 有意义，则分母x-1≠0，即x ≠1. x1
1
y
;
（2） x 1 ; x1
（5） 2a b ; 3a b
（3） 2m ; 3m 2
（6）
2 x2 1.
（来自教材）
知识点 3 分式的值为零的条件
知3－导
分式值为零的条件及求法： (1)条件：分子为0，分母不为0. (2)求法：①利用分子等于0，构建方程．②解方程
求出所含字母的值．③代入验证：将所求的值 代入分母，验证是否使分母为0，若分母不为0， 所求的值使分式值为0；否则，应舍去．
（来自教材）
知1－练
2 下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？两类式 子的区别是什么？
1 ，x x3
,
4 3b2
5
,
2a 3
15.1.1 从分数到分式
三、归纳总结 1．分式的概念． 2．分式的分母不为0时，分式有意义；分式的分母为0时 ，分式无意义． 3．分式的值为零的条件：(1)分母不能为零；(2)分子为 零． 四、布置作业 教材第133页习题15.1第2，3题．
在引入分式这个概念之前先复习分数的概念，通过类比来 自主探究分式的概念，分式有意同时也培养学生 利用类比转化的数学思想方法解决问题的能力．
义？
(1)32x；(2)x－x 1；(3)5－13b；(4)xx＋－yy.
解：(1)要使分式32x有意义，则分母 3x≠0，即 x≠0； (2)要使分式x－x 1有意义，则分母 x－1≠0，即 x≠1；
(3)要使分式5－13b有意义，则分母 5－3b≠0，即 b≠53； (4)要使分式xx＋ －yy有意义，则分母 x－y≠0，即 x≠y. 思考：如果题目为：当 x 为何值时，分式无意义．你 知道怎么解题吗？ 巩固练习：教材第 129 页练习第 3 题．
3．补充例题：当 m 为何值时，分式的值为 0?
(1)mm－1；(2)mm－＋23；(3)mm2＋－11.
思考：当分式为 0 时，分式的分子、分母各满足什 么条件？
分析：分式的值为 0 时，必须同时满足两个条件：(1) 分母不能为零；(2)分子为零．
答案：(1)m＝0；(2)m＝2；(3)m＝1.
2．判断下列各式中，哪些是整式？哪些不是整式？
①
8m＋n 3
；
②1
＋
x
＋
y2
；
③
a2b＋ab2 3
；
④
a＋b 2
；
⑤x2＋22x＋1；⑥a2＋3 b2；⑦3x22－x 4.
二、探究新知 1．分式的定义 (1)学生看教材的问题：一艘轮船在静水中的最大航速 为 30 千米/时，它沿江以最大航速顺流航行 90 千米所用时
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y 2x3
=
4xy 6x3 y
2 3x2
.
(2)
ab3 2c2
5a2b2 4cd
ab3 2c2
g54acd2b2
=
2bd 5ac
.
【跟踪训练】
1.计算:
a2 a2
4a 2a
4 1
a a2
1 4
.
解：原式
(a 2)2 (a 1)2
(a
a 1 2)(a
2)
(a
(a 2)2 (a 1) 1)2 (a 2)(a
x6 y3 x4y4 y4 (x6 ) z4
=
x 4 y3 -z4
.
【跟踪训练】
计算：
(1) ( xy2 )4 3z
2
（
x2 y3
）3（
y x3
）4
xy2 4
3z4
x4 y8 34 z4
x4 y8 81z 4
x6 y9
y4 x12
1 y5x6
3 ( 1 xy3)3 (1 xy4 )2
33
3
3
1.计算 ab2 3ax 等于（
）
2cd 4cd
A. 2b2 3x
B. 3 b 2 x
2
C. 2b2
3x
D. 3a 2b2 x
8c 2 d 2
【解析】选C. ab2 3ax ab2 4cd 2b2 2cd 4cd 2cd 3ax 3x
2．（苏州·中考）化简
a
1 a
a 1 a2
【解析】（1）原式＝
x+1-x+1 x2 -1
2(x 2 x
-1)
=
4 x
.
因为分母x-1≠0，x+1≠0,
所以x≠1且x≠-1,
所以取x=2, 所以 4 = 4 =2.
x2
6.一条船往返于水路相距100 km的A,B两地之间，已知水流 的速度是每小时2 km，船在静水中的速度是每小时x km （x>2），那么船在往返一次过程中，顺流航行的时间与逆流 航行的时间比是______.
3
6
1 x3 y9 1 x2 y8
27
36
1 x3 y9 27
36 x2 y8
4xy 3
4 18x2 12x2 y 30x4 9x2
(18x2
12 x 2
y
30 x 4
)
(
1 9 x 2
)
18x2
(
1 9x
2
)
12
xห้องสมุดไป่ตู้
2
y
(
1 9x
2
)
30
x
4
(
1 9x
2
)
2 4 y 10x2 10 x2 4 y 2
ab
水高为 V· m . ab n
一、分式的乘除法则
（1） 2 3
4 ＝ 2 5 3
4 5
（2） 5 7
2 9
＝
5 7
2 9
ac ? bd
分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分 子，分母的积作为积的分母.
用符号语言表达：a c a c b d bd
（3） 2 4＝ 2 5＝ 25
3 5 3 4 34
a c ? bd
分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母 颠倒位置后，与被除式相乘.
用符号语言表达：a c a d a d . b d b c bc
【例题】
【例1】
计算:
(1) 4x 3y
y. 2x3
(2)
ab3 2c2
5a 2 b 2 4cd
.
【解析】
(1)
4x 3y
的结果是（
）
A. 1 B.a
C.a－1
D. 1
a
a 1
【解析】选B. 原式 a -1 a 2 a
a a -1
3.计算：(a b)2 (b a)2 =__________________. ab
【解析】
(a
b)2 ab
(b a)2
(a
b)2 ab
(a
1 b)2
1 ab
答案： 1
4x2 y
3w 3
3
64x6 y3 27 w 3
.
例4 计算：（1（ ） 6x3y4）（ 2xy）3；
2
5x4 y2 x2 y4 3x2 y2
4x2 y
2
.
解 1 6 x3 y 4 2 xy3
6x3y4
2xy3
6x3 y4 8x3 y3
3y 3 y； 44
2 5x4 y2 x2 y4 3x2 y2 4x2 y 2
的运算. 3.熟练地进行分式乘、除、乘方的混合运算. 4.能解决一些与分式乘除法有关的实际问题.
ab
4.计算：1 3x2 y ( 2x2 )3
y
3x2
y
(
8x6 y3
)
3x2
y
(
y3 8x6
)
3y4 8x4
2 ( x )3 ( y2 )2 ( x2y)2
y
x
z
(
x3 y3
)
y4 x2
z2 x4 y2
z2 x3 y
.
5.(鄂州·中考)先化简
(
1 x -1
x
1
) 1
x 2x2
-
2
,
然后从-1，1，2中选取一个数作为x的值代入求值.
2)
a2 . (a 1)(a 2)
2.计算:
1 49 m2
m2
1 7m
解：原式
m2
1
49
(m2
7m)
m(m 7) (m 7)(m 7)
m m7
【例题】
例3 计算：
(1)
(
x y2
)4
.
2 ( 4x2y )3.
3w
解:
1
(
x y2
)4
x4 (y2 )4
x4 y8
；
2 ( 4x2y )3 3w
5x4y2
x2y4 3x2y2 4x2y 2
x2y2
5x2 y2 16 x4y2
3
5x2 y2 16x 2
3.
例5
计算：(
x3 y2
)2
y ( x2
)3
( z )4. xy
解:
(
x3 y2
)2
(
y x
2
)3
( z)4 xy
(x3 )2 (y2 )2
y3 (x2 )3
(xy)4 (z)4
15.2 分式的运算
15.2.1 分式的乘除
1.掌握分式的乘除运算法则，能应用分式的乘除法法则 进行运算 . 2.掌握分式的乘方的运算法则，能进行分式的乘、除及 乘方的混合运算 .
问题1 一个长方体容器的容积为V,底面的长为a,宽为 b,当容器内的水占容积的 m 时,水高多少?
n
长方体容器的高为 V,
【解析】顺流速度为（x+2）km/h，逆流速度为
（x-2）km/h，由题意得100 100 = 100 x-2 = x-2 .
x+2 x-2 x+2 100 x+2
答案： x-2
x+2
通过本课时的学习，需要我们 1.理解并掌握分式乘除法的法则，会进行分式乘除运算. 2.理解并掌握分式乘方的运算法则，熟练地进行分式乘方