指数函数与对数函数图像及交点问题

关于指数函数与对数函数的问题
一、指数函数
底数对指数函数的影响：
①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a>l时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y轴；同样地，当0<a<l时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x轴．
②底数对函数值的影响如图．
③当a>0，且a≠l时，函数与函数y=的图象关于y轴对称。

利用指数函数的性质比较大小：
若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较：
若底数不同而指数相同，用作商法比较；
若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值
二、对数函数
底数对函数值大小的影响：
1.在同一坐标系中分别作出函数的图象，如图所示，可以看出：当a>l时，底数越大，图象越靠近x轴，同理，当O<a<l时，底数越小，函数图象越靠近x轴．利用这一规律，我们可以解决真数相同、对数不等时判断底数大小的问题．
2.类似地，在同一坐标系中分别作出的图象，如图所示，它们的图象在第一象限的规律是：直线x=l把第一象限分成两个区域，每个区域里对数函数的底数都是由右向左逐渐减小，比如分别对应函数
，则必有
对数函数的图象与性质：
三、对数函数与指数函数的对比：
(1)对数函数与指数函数互为反函数，它们的定义域、值域互换，图象关于直线y=x对称．
(2)它们都是单调函数，都不具有奇偶性．当a>l时，它们是增函数；当O<a<l时，它们是减函数．
(3)指数函数与对数函数的联系与区别：
四、关于同底指数函数与对数函数的交点问题
一、1a >时方程
x log a a x =的解 先求如图3所示曲线x log y a y a x ==与相切时a 的值。

设曲线x log y a y a x
==与相切
于点M （00x ,x ），由于曲线x
a y =在点M 处的切线斜率为1，
所以⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧===1a ln a ,
x a 1|)'a (,x a 0000x 0x x x x
0x 即
所以
a
ln
1
a
x
a
ln
1
,
x
a
a
ln
1
x0
=
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
则
即
e
x
,
e
a
,
a
ln
1
e
e
1
=
=
=此时
所以。

以上说明，当e
1
e
a=时，两条曲线)e,e(
M
x
log
y
a
y
a
x相切于点
与=
=。

因此有以下结论：
①当(*)
,
e
a e
1
方程
>无解（见图1所示）；
②当e
1
e
a
1<
<，方程（*）有且只有两解（见图2所示）；
③当e
1
e
a=，方程（*）有且只有一解（见图3所示）。

用计算器可算得44467
.1
e e
1
≈。

二、x
log
a
1
a
a
x=
<
<时方程的解
先求如图5所示曲线x
log
y
a
y
a
x=
=与相切时a的值。

设曲线x log y a y a x
==与相切于点
P ，由对称性知，点P 在直线x y =上，设)y ,x (P 00。

由于曲线
)a y (x log y x
a ==或在点P 处切线的斜为1-， 所以⎪⎩
⎪⎨
⎧-==1|)'x (log ,x a 0x 0
x a 0x 即
⎪⎩⎪⎨⎧-==1a ln x 1
,x a 0
0x 0
所以
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-e 1
x ,a ln 1e 1a ln 1x ,a ln 1a 00a ln 1即 则
e )e 1(a =。

此时，e 1
x 0=。

以上说明，当
e )e 1(a =时，两条曲线x log y a y a x
==与相切于点P （e 1
,e 1）。

因此有以下结论：
①
e
)e 1
(a 0<<时，方程（*）有且只有三解（见图4所示）；
②当
e
)e 1(a =时，方程（*）有且只有一解（如图5所示）；
③当1a )e 1
(e <<时，方程（*）有且只有一解（如图6所示）。

用计算器可算出06599
.0)e 1
(e ≈。

由于此数非常小，因此，人们在平时较难观察到这种
较小数值所示的函数图像，这也是人们易产生错误认识的—个重要原因。

综上所述，得：
当))e 1(,0(a e ∈时，方程x log a a x
=有且只有三解； 当x
log a ,)e 1
(a a x e ==方程时有且只有一解； 当)1,)e 1((a e ∈时，方程
x log a a x
=有且只有一解； 当
)e ,1(a e
1
∈时，方程x log a a x =有且只有两解；
当e
1e a =时，方程x log a a x
=有且只有一解；
当)
,e (a e 1
+∞∈时，方程x log a a x
=无解。