【配套K12】江苏省宿迁市高中数学 第12课时 直线和平面垂直的性质导学案 苏教版必修2
《直线与平面垂直的性质》教案、导学案、课后作业
《8.6.2 直线与平面垂直》教案第2课时直线与平面垂直的性质【教材分析】在直线与平面的位置关系中，垂直是一种非常重要的关系，本节内容既是直线与直线垂直关系延续和提高，也是后续研究平面与平面垂直的基础，既巩固了前面所学的内容，又为后面内容的学习做了知识上和方法上的准备，在教材中起着承前启后的作用。
【教学目标与核心素养】课程目标1．理解直线和平面垂直的性质定理并能运用其解决相关问题.2．通过对空间距离的理解和应用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．数学学科素养1.逻辑推理：探究归纳直线和平面垂直的性质定理，线线垂直与线面垂直转化；2.数学运算：求空间点面、线面、面面距离.3.直观想象：题中几何体的点、线、面的位置关系.【教学重点和难点】重点：直线和平面垂直的性质定理.难点：直线和平面垂直的性质定理的应用.【教学过程】一、情景导入问题1：长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1、BB1、CC1、DD1所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间是有什么位置关系？问题2：已知直线a⊥α 、b⊥α、那么直线a、b一定平行吗？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本153-155页，思考并完成以下问题1、垂直与同一条直线的两条直线有什么位置关系？2、与线面垂直有关的结论有哪些？3、怎样定义直线与平面的距离、平面与平面的距离？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1、直线与平面平行的性质定理常用结论:(1)过一点有且仅有一条直线与已知平面垂直.(2)已知a⊥α.若平面α外的直线b与直线a垂直，则b//α.(3)已知a⊥α.β//α，则a⊥β.2、距离(1)直线与平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离.(2)平面与平面的距离：两个平面平行时，其中一个平面内任意一点到另一个平面的距离.四、典例分析、举一反三题型一直线与平面垂直的性质定理的应用例1 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上的一点,N是A1C的中点,MN⊥平面A1DC.求证：（1）MN∥AD1;（2）M 是AB 的中点. 【答案】证明见解析【解析】（1）因为ABCD-A 1B 1C 1D 1为正方体,所以AD 1⊥A 1D.又因为CD ⊥平面ADD 1A 1,AD 1⊂平面ADD 1A 1,所以CD ⊥AD 1. 因为A 1D∩CD=D,所以AD 1⊥平面A 1DC. 又因为MN ⊥平面A 1DC,所以MN ∥AD 1. (2)设AD 1∩A 1D=O,连接ON,在△A 1DC 中, A 1O=OD,A 1N=NC.所以ONCDAB,即ON ∥AM.又因为MN ∥OA,所以四边形AMNO 为平行四边形,所以ON=AM. 因为ON=AB,所以AM=AB,即M 是AB 的中点.解题技巧（证明两条直线平行的常见方法） (1)公理4:平行于同一条直线的两条直线平行;(2)线面平行的性质定理:如果一条直线与一个平面平行,那么经过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行;(3)面面平行的性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行;(4)线面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行. 跟踪训练一1、如图，已知平面α∩平面β=l ，EA ⊥α，垂足为A ，EB ⊥β，B 为垂足，直线a ⊂β，a ⊥AB.求证：a ∥l .12121212【答案】证明见解析【解析】因为EB⊥β，a⊂β，所以EB⊥a. 又因为a⊥AB，AB∩EB=B，所以a⊥平面ABE.因为α∩β=l，所以l⊂α，l⊂β.因为EA⊥α，EB⊥β，所以EA⊥l，EB⊥l. 又因为EA∩EB=E，所以l⊥平面ABE.所以a∥l.题型二空间中的距离问题例2 如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.若AE=A1E，AB=3，求四棱锥E-BB1C1C的体积.【答案】18.【解析】由长方体ABCD-A1B1C1D1，可知B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1，所以B1C1⊥BE，因为BE⊥EC1，B1C1∩EC1=C1，所以BE⊥平面EB1C1，所以∠BEB1=90°，由题设可知Rt△ABE≌Rt△A1B1 E，所以∠AEB=∠A1EB1=45°，所以AE=AB=3，AA1=2AE=6，因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1∥平面BB1C1C，E∈AA1，AB⊥平面BB1C1C，所以E到平面BB1C1C的距离即为点A到平面BB1C1C的距离，AB=3，所以四棱锥E-BB1C1C的体积V=13×3×6×3=18.解题技巧 (空间中距离的转化)（1）利用线面、面面平行转化：利用线面距、面面距的定义，转化为直线或平面上的另一点到平面的距离.（2）利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(等分点)，转化为另一点到平面的距离.（3）通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展(分割)，以方便求底面积和高.跟踪训练二1、如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥菱形ABCD所在的平面，∠ABC=60°，E 是BC的中点，M是PD的中点.(1)求证：AE⊥平面PAD.(2)若AB=AP=2，求三棱锥P-ACM的体积.【答案】(1)证明见解析，(2)√33.【解析】解析 (1)连接AC，因为底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，所以△ABC为正三角形，因为E是BC的中点，所以AE⊥BC，因为AD∥BC，所以AE⊥AD，因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AE，又因为PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD.(2)因为AB=AP=2，则AD=2，AE=√3，所以VP-ACM =VC-PAM= 13S△PAM·AE= 13×12×12×2×2×√3＝√33五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本155页练习，162页习题8.6的13、14、15、16题.【教学反思】通过本节课性质定理的学习，使学生进一步了解线线垂直和线面垂直时刻相互转化的，即空间问题和平面问题可以相互转化.《8.6.2 直线与平面垂直》教案第2课时直线与平面垂直的性质【学习目标】知识目标1．理解直线和平面垂直的性质定理并能运用其解决相关问题.2．通过对空间距离的理解和应用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．核心素养1.逻辑推理：探究归纳直线和平面垂直的性质定理，线线垂直与线面垂直转化；2.数学运算：求空间点面、线面、面面距离.3.直观想象：题中几何体的点、线、面的位置关系.【学习重点】：直线和平面垂直的性质定理.【学习难点】：直线和平面垂直的性质定理的应用.【学习过程】一、预习导入阅读课本153-155页，填写。
高中数学 直线、平面垂直的定义与判定导学案 苏教版必修2
直线与平面垂直的定义与判定一学习要求：掌握直线与平面垂直的定义，理解直线与平面垂直的判定定理，并会用定义和判定定理证明直线与平面垂直的关系.二学习重点：直线与平面垂直的判定定理.学习难点：判定定理的应用.三学习过程：1 知识链接：（1）. 复习直线与平面平行的判定定理及性质定理.（2）. 讨论：日常生活中有哪些现象给人以直线与平面垂直的感觉？（竖直站立的人与地面、旗杆与地面、生日蛋糕与蜡烛┅）2 .直线与平面垂直的定义：（1）引入：观察旗杆与它在地面的影子的位置关系：随着时间的变化，影子在移动，这是变的一面，那么不变的一面是什么呢？（2）定义：如果_______________________________ ，则直线l与平面α⊥. l叫做平面α的垂线，α叫做直线l的垂面，它们互相垂直，记作lα的唯一公共点P叫做垂足.（线线垂直→线面垂直）问题 1 如果一条直线与平面内无数条直线垂直，那么这条直线与平面垂直吗？举例说明。
问题2 在空间：（1）过一点有几条直线与已知平面垂直？（2）过一点有几个平面与已知直线垂直？结论：问题3：给定一条直线和一个平面，如何判定它们是否垂直？例1 求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
已知：a∥b，a⊥α求证：b⊥α学生依图，联系直线与平面垂直的定义，尝试写出证明过程：3.直线与平面垂直的判定：（1）实验：将一张矩形纸片对折后略为展开，竖立在桌面上，观察折痕与桌面有怎样的位置关系？进而，你能得出什么结论？（2）判定定理：如果________________________________________，则这条直线与该平面垂直.符号语言：若l⊥m，l⊥n，m∩n＝B，m⊂α，n⊂α，则l⊥α说明：对于判定定理注意二点.一是判定定理的条件中，“平面内的两条相交直线”是关键性词语，一定要记准、用对.二是要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，这是无关紧要的.问题4：以下命题中，正确命题的序号为______________.①若一条直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面；②若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面；③若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线；④若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一直线必垂直于这个平面.问题5：如图，在长方体''''ABCD A B C D 中，与平面''B C CB 垂直的直线有 ；与直线'AA 垂直的平面有 .例2 在正方体ABCD-A'B'C'D'中，求证：AC ┴BD'.例3在△ABC 中，∠Ｂ＝90°，SA ⊥面ABC ，AM ⊥SC ，AN ⊥SB 垂足分别为N 、M ，求证：AN ⊥BC ，MN ⊥SC四．课时小结：1.定义中的“任何一条直线”这一词语，它与“所有直线”是同义语、定义是说这条直线和平面内所有直线垂直.2.和平面垂直的直线是直线和平面相交的一种特殊形式.3.注意两个结论：过一点有且只有一条直线和已知平面垂直.过一点有且只有一个平面和已知直线垂直.4.判定直线和平面是否垂直，本节课给出了三种方法：（1）定义 强调“任何一条直线”；（2）例1的结论 符合“两条平行线中一条垂直于平面”特征；（3）判定定理 必须是“两条相交直线”.五 当堂检测：1.判断题（1）l ⊥α⇒l 与α相交（ ）（2）m ⊂α，n ⊂α，l ⊥m ，l ⊥n ⇒l ⊥α（ ）（3）l ∥m ，m ∥n ，l ⊥α⇒n ⊥α（ ）2. 如图，已知AP O ⊥ 所在平面，AB 为O 的直径，C 是圆周上的任意， 过点A 作AE PC ⊥于点E. 求证：AE ⊥平面PBC.六 课后作业1 课本P34页练习32 课本P36页习题73 课本P37页习题8。
直线与平面垂直的导学案
直线与平面垂直的判定学案【教学目标】知识与技能1、掌握直线与平面垂直的定义及判定定理.2、使学生掌握判定直线与平面垂直的方法.过程与方法培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳概括结论情感、态度与价值观在体验数学美的过程中激发学生学习兴趣，从而培养学生勤于思考、勤于动手的良好品质.培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知.重点：直线与平面垂直的定义及判定定理.难点：直线与平面垂直的定义及判定定理和线面角的求法.一创设情景直观感知请同学们想一下旗杆与地面、大桥桥柱与水面是什么位置关系？二探究新知探究一直线与平面垂直的定义思考：当太阳的角度发生变化时，旗杆与它的影子的位置关系会发生变化吗？总结：如何定义直线与平面垂直？________________________________________________________________探究二思考：除定义外，有没有比较方便可行的方法来判断一条直线与一个平面垂直呢？活动：请同学们合作完成课本的学生活动折纸实验总结：直线与平面垂直的判定定理：探究三阅读课本第指出下图所体现的知识三尝试应用如图,在三棱锥V-ABC中,VA＝VC,AB＝BC, K是AC的中点.求证：AC⊥平面VKB．四典例示范例1 如图，已知a∥b、a⊥α.求证：b⊥α.例2、如图，正方体ABCD-中，求（1）直线AB和平面所成的角。
（2）直线AB和平面所成的角。
AVBCKa bA BCDA BCD五 达标检测（你一定可以做的很好！相信自己！）1在下图的长方体中，请列举与平面ABCD 垂直的直线。
并说明这些直线有怎样的位置关系？2 如图，圆O 所在一平面为 ａ，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点, 且PA ⊥平面a 求证：B C ⊥平面PAC3.如图：正方体ABCD-ABCD 中，求:（1）AC 与面ABCD 所成的角（2）AC 与面BBDD 所成的角（3）AC 与面BBCC 所成的角 （4）AC 与面ABCD 所成的角六 课堂小结请同学们锻炼一下自己的概括能力吧！B A ′C ′D ′B A C D P A B C OA B C DA BCD。
苏教版数学高一《直线与平面垂直》 同步导学案
3、需要老师重点讲解的问题是___________________________________________
4、我的建议___________________________________________________________
已知： 求证：
分析：直接证明a∥b比较困难，我们考虑采用反证法证明.
2、直线与平面的距离
如果一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做_______
3、线面所成角
观察如图所示的长方体ABCD－A1B1C1D1
（1）直线AA1和平面ABCD是什么关系?
（2）直线A1B、A1C、A1D和平面ABCD的位置关系?
说明:
1.若直线垂直平面,则直线和平面所成的角为________
2.若直线和平面平行,或直线在平面内,则直线和平面所成的角为___________，直线和平面所成角的取值范围为___________。
b.预习检测题
《突破课堂》P31 1ห้องสมุดไป่ตู้2、5
c.预习提高题
《突破课堂》P31 3；《突破课堂》P32 1、2、
四、预习的展示与总结
五、教师精讲点拨典型例题
例1如图，P是△ABC所在平面外的一点，PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,H是△ABC的垂心,求证：PH⊥平面ABC.
解题思路：线线垂直 线面垂直 线线垂直
例2已知直线 平面 ，求证：直线 上各点到平面 的距离相等.
例3
在正方体ABCD-A’B’C’D’中,求:
（3）直线A1B、A1C、A1D与点B、C、D它们又如何命名呢？
高中数学-《直线、平面垂直的判定及其性质》导学案
《直线、平面垂直的判定及其性质》导学案【学习目标】（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；（2）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论；（3）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”“两个平面互相垂直”的概念；（4）使学生掌握两个平面垂直的判定定理；（5）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用【重点难点】重点：直线与平面垂直的定义和判定定理的探究；平面与平面垂直的判定；难点：如何度量二面角的大小【学法指导】实物观察，类比归纳，语言表达【知识链接】空间点、直线、平面之间的位置关系【学习过程】一.预习自学1.线面垂直定义：如果一条直线l和平面α内的，我们就说直线l和平面α互相垂直，记作，其中直线l叫做平面的垂线，平面α叫做直线l的 , 直线与平面的交点叫做垂足.2.直线与平面垂直的判定定理：3.平面的斜线：4.直线和平面所成的角：5.二面角：6.二面角的平面角：7．面面垂直两个平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直.记作两平面垂直的判定定理：8.直线和平面垂直的性质定理：9.两平面垂直的性质定理：二.典型例题例1. 已知PA ⊥⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上任意一点，过A 点作AE ⊥PC 于点E ，求证：AE ⊥平面PBC点评：证明直线与平面垂直的常用方法有：利用线面垂直的定义；利用线面垂直的判定定理；利用“若直线a ∥直线b ，直线a ⊥平面α，则直线b ⊥平面α”例2.在正方体ABCD —A 1B 1C 1 D 1中, 求AC 1与面ADD 1 A 1所成的角的正弦值为 .例3.在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，B 1C 1=A 1C 1，A 1B ⊥AC 1，求证：A 1B ⊥B 1C例4.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1，CD 的中点 （1）求证：AD ⊥D 1F ；（2）求AE 与D 1F 所成的角；（3）证明平面AED ⊥平面A 1FD 1例5.正四棱锥P-ABCD 中，AB =4，高为2，求二面角P-BC -D 的大小.三.课堂检测1.若直线a 与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a 垂直的直线 （ ） A ．只有一条 B ．有无数条 C ．所有直线 D ．不存在A O E P CD A 1C 1DD A B COE P 2.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有 （ ）A ．0个B ．1个C ．无数个D ．1个或无数个 3.已知直线m ⊥平面α，直线⊂n 平面β，下列说法正确的有 （ ）①若n m ⊥则,//βα ②若βα⊥，则m //n ③若m //n ，则βα⊥④若,//m n αβ⊥则A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4.下列命题，其中正确的命题有①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面 ③直线m ⊥平面α，直线n ⊥m ，则n ∥α④a 、b 是异面直线，则存在唯一的平面α，使它与a 、b 都平行且与a 、b 距离相等 ⑤直线l 垂直于平面α内的无数条直线,则l ⊥α5.在正方形SG 1G 2G 3中，E 、F 分别是G 1G 2、G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，沿SE 、SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使G 1、G 2、G 3三点重合，重合后的点记为G ，那么，在四面体S —EFG 中必有A. SG ⊥平面EFGB. SD ⊥平面EFGC. FG ⊥平面SEFD. GD ⊥平面SEF6.在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，当底面四边形ABCD 满足条件_______时，有A 1C ⊥B 1D 17.在三棱锥S —ABC 中，N 是S 在底面ABC 上的射影，且N 在△ABC 的AB 边的高CD 上，点M ∈SC ，截面MAB 和底面ABC 所成的二面角M —AB —C 等于∠NSC ，求证：SC ⊥截面MAB 8.如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是五.课外作业1.已知直线a 、b 和平面βα,，下列命题中错误的是（ ） A ．若αα⊥⊥b a b a 则,,//B ．若b a b a //,//,,则βαβα⊥⊥C ．若b a b a //,//,//,//则βαβαD ．若b a b a ⊥⊥⊥⊥则,,,βαβα2. A 、B 是二面角α—l —β的棱l 上两点，P 是面β内一点，PB ⊥l 于点B ，PA 和l 所成的角为450，PA 和面α所成的角为300，则二面角α—l —β 的大小为（ ）A ．45B ．30C ．600D ．7503.若直线l 与平面所成角为3π，直线a 在平面内，且与直线l 异面，则直线l 与直线a 所成的角的取值范围是（ ） A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡π32 0，B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡3π 0，C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2π 3π，D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡π32 3π，4.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为CC 1的中点，AC 交BD 于点O ，求证：A 1O ⊥平面MBD.5.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别是BC 、CD 、CC 1的中点. 求证：面EFG ⊥面AA 1C 1C .6.如图，在正三棱锥S —ABC 中，E 、F 分别是侧棱SA 、SB 的中点，且平面CEF ⊥平面SAB . （1）若G 为EF 的中点，求证：CG ⊥平面SAB ；（2）求此三棱锥的侧面积与底面积的比值.7.在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AB =2，BC =a ，又侧棱PA ⊥底面ABCD （1）当a 为何值时，BD ⊥平面PAC ?试证明你的结论; （2）当a =4时，求证：BC 边上存在一点M ，使得PM ⊥DM ;（3）若在BC 边上至少存在一点M ，使PM ⊥DM ，求a 的取值范围.2.3 直线、平面垂直的判定及其性质答案二.典型例题例3例4.（2）900 例5. 450三.课堂检测1.B2.D3.B4.②④5.A6. AC BD⊥五.课外作业1.C2.A3.C 6.(2)32a= (2)M为中点时（3）4a≥。
高中数学直线、平面垂直的判定及其性质导学案
直线、平面垂直的判定及其性质[考纲要求] 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题． [知识梳理]1．直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义如果一条直线l 与平面α内的__任意一条__直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直． (2)判定定理与性质定理⎭⎪⎬⎪⎫__a ，b ⊂α____a ∩b ＝O ____l ⊥a ____l ⊥b __⇒l ⊥α⎭⎪⎬⎪⎫__a ⊥α____b ⊥α__⇒a∥b(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是__直二面角__，就说这两个平面互相垂直． (2)判定定理和性质定理⎭⎪⎬⎪⎫__l ⊂β____l ⊥α__⇒α⊥β 题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.( ×)(2)垂直于同一个平面的两平面平行．( ×)(3)直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.( √)(4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.( ×)(5)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．( √)(6)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.( ×)题组二教材改编2．下列命题中错误的是( )A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β答案 D解析对于D，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，即与平面β的关系还可以是斜交、平行或在平面β内，其他选项均是正确的．3．在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心；(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心．答案(1)外(2)垂解析(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．(2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于H，D，G.∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，∴PC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，∴PC⊥AB，∵AB⊥PO，PO∩PC＝P，∴AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC，∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高．同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，即O为△ABC的垂心．题组三易错自纠4．(2017·湖南六校联考)已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下列给出的条件中一定能推出m⊥β的是( )A．α⊥β且m⊂αB．α⊥β且m∥αC．m∥n且n⊥βD．m⊥n且α∥β答案 C解析由线面垂直的判定定理，可知C正确．5.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点O，M，N分别是线段BD，DD1，D1C1的中点，则直线OM与AC，MN的位置关系是( )A．与AC，MN均垂直B．与AC垂直，与MN不垂直C．与AC不垂直，与MN垂直D．与AC，MN均不垂直答案 A解析因为DD1⊥平面ABCD，所以AC⊥DD1，又因为AC⊥BD，DD1∩BD＝D，所以AC⊥平面BDD1B1，因为OM⊂平面BDD1B1，所以OM⊥AC.设正方体的棱长为2，则OM＝1＋2＝3，MN＝1＋1＝2，ON＝1＋4＝5，所以OM2＋MN2＝ON2，所以OM⊥MN.故选A.6.如图所示，AB是半圆O的直径，VA垂直于半圆O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是( )A．MN∥ABB．平面VAC⊥平面VBCC．MN与BC所成的角为45°D．OC⊥平面VAC答案 B解析由题意得BC⊥AC，因为VA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以VA⊥BC.因为AC∩VA＝A，所以BC⊥平面VAC.因为BC⊂平面VBC，所以平面VAC⊥平面VBC.故选B.【考点突破】考点一、线面垂直的判定与性质【例1】如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.[解析] (1)在四棱锥P－ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.【类题通法】1．证明直线和平面垂直的常用方法有：(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；(3)面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；(4)面面垂直的性质．2．证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想． 【对点训练】如图，在三棱锥A BCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥BD . (1)求证：CD ⊥平面ABD ；(2)若AB ＝BD ＝CD ＝1，M 为AD 中点，求三棱锥A MBC 的体积．[解析] (1)因为AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， 所以AB ⊥CD .又因为CD ⊥BD ，AB ∩BD ＝B ，AB ⊂平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，所以CD ⊥平面ABD .(2)由AB ⊥平面BCD ，得AB ⊥BD . 又AB ＝BD ＝1，所以S △ABD ＝12×12＝12.因为M 是AD 的中点，所以S △ABM ＝12S △ABD ＝14.根据(1)知，CD ⊥平面ABD ， 则三棱锥C ABM 的高h ＝CD ＝1， 故V A MBC ＝V C ABM ＝13S △ABM ·h ＝112.考点二、面面垂直的判定与性质【例2】如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD . (1)证明：平面AEC ⊥平面BED ；(2)若∠ABC ＝120°，AE ⊥EC ，三棱锥E ACD 的体积为63，求该三棱锥的侧面积．[解析] (1)因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD . 因为BE ⊥平面ABCD ，所以AC ⊥BE .故AC ⊥平面BED . 又AC ⊂平面AEC ， 所以平面AEC ⊥平面BED . (2)设AB ＝x ，在菱形ABCD 中， 由∠ABC ＝120°，可得AG ＝GC ＝32x ，GB ＝GD ＝x 2. 因为AE ⊥EC ，所以在Rt △AEC 中，可得EG ＝32x . 由BE ⊥平面ABCD ，知△EBG 为直角三角形， 可得BE ＝22x . 由已知得，三棱锥E ACD 的体积V 三棱锥E ACD ＝13×12·AC ·GD ·BE ＝624x 3＝63， 故x ＝2.从而可得AE ＝EC ＝ED ＝ 6.所以△EAC 的面积为3，△EAD 的面积与△ECD 的面积均为 5. 故三棱锥E ACD 的侧面积为3＋2 5. 【类题通法】1．面面垂直的证明的两种思路：(1)用面面垂直的判定定理，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线； (2)用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题．2．垂直问题的转化关系：【对点训练】如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°. (1)证明：平面PAB ⊥平面PAD ；(2)若PA ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，且四棱锥P －ABCD 的体积为83，求该四棱锥的侧面积.[解析] (1)由已知∠BAP ＝∠CDP ＝90°，得AB ⊥PA ，CD ⊥PD . 由于AB ∥CD ，故AB ⊥PD .又PA ∩PD ＝P ，PA ，PD ⊂平面PAD ，从而AB ⊥平面PAD . 又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD .(2)如图，在平面PAD 内作PE ⊥AD ，垂足为E .由(1)知，AB ⊥平面PAD ，故AB ⊥PE ，又AB ∩AD ＝A ，可得PE ⊥平面ABCD . 设AB ＝x ，则由已知可得AD ＝2x ，PE ＝22x ， 故四棱锥P －ABCD 的体积V P －ABCD ＝13AB ·AD ·PE ＝13x 3.由题设得13x 3＝83，故x ＝2.从而结合已知可得PA ＝PD ＝AB ＝DC ＝2，AD ＝BC ＝22，PB ＝PC ＝22， 可得四棱锥P －ABCD 的侧面积为12PA ·PD ＋12PA ·AB ＋12PD ·DC ＋12BC 2sin 60°＝6＋2 3. 【作业】全品作业本。
江苏省宿迁市高中数学 第12课时 直线和平面垂直的性质
第12课 课题：直线与平面垂直的性质【学习目标】通过直观感知、操作确认、归纳出：一条直线与一个平面内两条相交直线垂直，则这条直线此平面与此平面垂直 【问题情境】1. 直线与平面垂直的性质：如果一条直线垂直一个平面，则这条直线垂直这个平面内的 直线。
2. 直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线 。
符号语言：3. 如果一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做 。
4. 有关垂直的证题思路：线面垂直⇔线线垂直。
【合作探究】1. 若,,a b a αα⊥⊥∥c ，则b 与c 的位置关系是 。
2. 对于平面α和共面的直线m 、n ，下列命题是真命题的是 。
①若m α⊥，m n ⊥，则n ∥α ②若m ∥α，n ∥α，则n ∥m ③若,m n α⊂∥α，则n ∥m3. 设a 、b 是两条异面直线，下列命题中正确的是 。
(1)有一平面与a,b 都垂直。
(2)有且仅有一条直线与a,b 都垂直。
(3)过直线a 有且仅有一平面与b 平行。
(4)过空间中任一点必可以作一直线与a,b 都相交。
【交流展示】例1. 已知直线//l 平面α，求证：直线l 上各点到平面α的距离相等例2. 已知四棱锥P-ABCD 的底面是矩形，PA ⊥AB,PA ⊥AC,M,N 分别是AB,PC 的中点， (1)证明：BC ⊥面PAB ；(2)求证：MN ⊥AB 。
AP BCD MN例3.已知ABC ∆中90ACB ∠=，SA ⊥面ABC ，AD SC ⊥， 求证：AD ⊥面SBC ．【学以致用】1. 已知PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面，若PC BD ⊥，平行则四边形ABCD 一定是 .2．已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点.求证：（１）1//C O 面11AB D ；（2 ）1AC ⊥面11AB D ．3.如图，已知空间四边形ABCD 的边BC=AC,AD=BD,BE ⊥CD, E 为垂足，作AH ⊥BE 于H ， 求证：AH ⊥平面BCDSDCBAD 1ODBAC 1B 1A 1C AB CDEH4. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2,AB∥DC,∠BCD=900。
直线与平面垂直的判定导学案
2.3.1直线与平面垂直的判定1、认真研读课本6467p p -的内容，完成课前预习，熟记有关知识概念。
2、对不理解的内容和存在的问题先标注，准备课内小组探究，答疑解惑。
【学习目标】1、掌握并会应用直线与平面垂直的定义，理解直线与平面垂直的判定． 2、了解斜线在平面上的射影与直线和平面所成的角。
【预习案】1、直线与平面垂直的定义3、直线与平面所成的角 作出图： 叫做这个平面的斜线； 叫做斜足。
叫做斜线在这个平面上的射影； 叫做这条直线和这个平面所成的角。
范围 ；90︒时，直线与平面 ；0︒时，直线与平面 。
4、在正方体1111ABCD A BC D -中，如图（1）1,AA ABCD BD ABCD⊥⊂∴平面平面（2）1AA BD ⊥ ，，且11A BD ACC ∴⊥平面【探究案】探究一： 如图，已知//,a b a α⊥ ，求证：b a ⊥ 。
探究二： 如图，在三棱锥V-ABC 中 ，VA ＝VC,AB ＝BC,K 是AC 的中点。
求证：（1）AC ⊥平面VKB （2）VB ⊥AC【练习案】1已知直线,a b 和平面α，下列推理错误的是（ ）A 、a a b b αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭B 、//a b a b αα⊥⎫⇒⊥⎬⎭C 、//a b a a b ααα⊥⎫⇒⊂⎬⊥⎭或 D 、//a a b b αα⎫⇒⊥⎬⊂⎭2、过ABC 所在的平面α外的一点P ，作PO α⊥，垂足是O ，连接,,PA PB PC 。
（1）若,90PA PB PC C ==∠=︒，则点O 是AB 的 点。
（2）若,PA PB PC ==，则点O 是ABC 的 心。
（3）若,,,PA PB PB PC PC PA ⊥⊥⊥则点O 是ABC 的 心。
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第12课 课题：直线与平面垂直的性质
【学习目标】通过直观感知、操作确认、归纳出：一条直线与一个平面内两条相交直线垂直，则这条直线此平面与此平面垂直 【问题情境】
1. 直线与平面垂直的性质：
如果一条直线垂直一个平面，则这条直线垂直这个平面内的 直线。
2. 直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线 。
符号语言：
3. 如果一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做 。
4. 有关垂直的证题思路：线面垂直⇔线线垂直。
【合作探究】
1. 若,,a b a αα⊥⊥∥c ，则b 与c 的位置关系是 。
2. 对于平面α和共面的直线m 、n ，下列命题是真命题的是 。
①若m α⊥，m n ⊥，则n ∥α ②若m ∥α，n ∥α，则n ∥m ③若,m n α⊂∥α，则n ∥m
3. 设a 、b 是两条异面直线，下列命题中正确的是 。
(1)有一平面与a,b 都垂直。
(2)有且仅有一条直线与a,b 都垂直。
(3)过直线a 有且仅有一平面与b 平行。
(4)过空间中任一点必可以作一直线与a,b 都相交。
【交流展示】
例1. 已知直线//l 平面α，求证：直线l 上各点到平面α的距离相等
例2. 已知四棱锥P-ABCD 的底面是矩形，PA ⊥AB,PA ⊥AC,M,N 分别是AB,PC 的中点， (1)证明：BC ⊥面PAB ；(2)求证：MN ⊥AB 。
P C
D N
例3.已知ABC ∆中90ACB ∠=，SA ⊥面ABC ，AD SC ⊥， 求证：AD ⊥面SBC ．
【学以致用】
1. 已知PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面，若PC BD ⊥，平行则四边形ABCD 一定是 .
2．已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点.
求证：（１）1//C O 面11AB D ；
（2 ）1
AC ⊥面11AB D ．
3.如图，已知空间四边形ABCD 的边BC=AC,AD=BD,BE ⊥CD, E 为垂足，作AH ⊥BE 于H ， 求证：AH ⊥平面BCD
S
D
C
B
A
D 1
O
D
B
A
C 1
B 1
A 1
C A
B
C
D E
H
4. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，
AB=2,AB∥DC,∠BCD=900。
(1)求证：PC⊥BC；
(2)求点P到平面PBC的距离。
参考答案
1.菱形
2. 证明：（1）连接A1C1，设A1C1∩B1D1=O1，连接AO1，
∵ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，
∴A1ACC1是平行四边形，
∴A1C1∥AC且A1C1=AC，
又O1，O分别是A1C1，AC的中点，
∴O1C1∥AO且O1C1=AO，
∴AOC1O是平行四边形，
∴C1O∥AO1，AO1∥面AB1D1，
∴C1O∥面AB1D1；
（2）∵CC1⊥面A1B1C1D1∴CC1⊥B1D1，
又∵A1C1⊥B1D1，∴B1D1⊥面A1C1C，即A1C⊥B1D1，
∵A1B⊥AB1，BC⊥AB1，又A1B∩BC=B，
A1B⊥平面A1BC，又A1C?平面A1BC，
∴A1C⊥AB1，又D1B1∩AB1=B1，
∴A1C⊥面AB1D1
3. 解：如图，取AB中点F，连接CF，DF；
∵BC=AC，AD=BD，∴AB⊥CF，AB⊥DF，CF∩DF=F；
∴AB⊥平面CDF，CD⊂平面CDF；
∴CD⊥AB，CD⊥BE，BE∩AB=B；
∴CD⊥平面ABE，AH⊂平面ABE；
∴CD⊥AH，即AH⊥CD，又AH⊥BE，BE∩CD=E；
∴AH⊥平面BCD．
4. ：（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PD⊥BC．
由∠BCD=90 0，得CD⊥BC，
又PD DC=D，PD、DC平面PCD，
所以BC⊥平面PCD．
因为PC平面PCD，故PC⊥BC．
（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等．又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍．由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，
所以DF⊥平面PBC于F．易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于
．。