2017年东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)高考数学三模试卷(理科)
哈尔滨师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学 2017届高三下学期第二次联合模拟考试数学(理)试题
平面 ABCD 的法向量 n1 (0, 0,1) ，-------6 分
i 1
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二模答案
一． 选择题 1‐6：ACABDB
二． 填空题
7‐12：CDBBDC
13. 3 ； 14. 13 ； 15. ③； 16. 3 21 ；
分
Tn
1 3
1 2n1 1 --------------------------------12
2017年吉林省东北师大附中高考数学三模试卷(文科)
2017年吉林省东北师大附中高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数的共轭复数是（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．（5分）已知集合A={x∈R||x|≥2}，B={x∈R|x2﹣x﹣2＜0}，则下列结论正确的是（）A．A∪B=R B．A∩B≠∅C．A∪B=∅D．A∩B=∅3．（5分）平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=（）A．B．C．12 D．4．（5分）阅读如图的程序框图．若输入n=5，则输出k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．55．（5分）已知α是第二象限角，且的值为（）A．B．C．D．6．（5分）“a=﹣1”是“直线ax+（2a﹣1）y+1=0和直线3x+ay+3=0垂直”的（）A．充分不必要的条件B．必要不充分的条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件7．（5分）为了解本市居民的生活成本，甲、乙、内三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查．他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为x1，x2，x3，则它们的大小关系为（）A．s1＞s2＞s3B．s1＞s3＞s2C．s3＞s2＞s1D．s3＞s1＞s28．（5分）如图，格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）A．B． C．D．9．（5分）已知函数f（x）=sin2ωx+sinωxsi n（ωx+），（ω＞0）的最小正周期为π，则f（x）在区间[0，]上的值域为（）A．[0，]B．[﹣，]C．[﹣，1]D．[﹣，]10．（5分）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P﹣ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA=AB=2，AC=4，三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O 的球面上，则球O的表面积为（）A．8πB．12πC．20πD．24π11．（5分）已知F是椭圆C：的右焦点，点P在椭圆C上，线段PF与圆相切于点Q，且PQ=2QF，则椭圆C的离心率等于（）A．B．C．D．12．（5分）已知定义域为的函数f（x）满足：当时，，且当x∈[1，3]时，f（x）=lnx，若在区间内，函数g（x）=f（x）﹣ax的图象与x轴有3个不同的交点，则实数a的取值范围是（）A． B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在△ABC中，若∠A=60°，边AB=2，S△ABC=，则BC边的长为．14．（5分）已知实数x，y满足则z=2x+y的最大值是．15．（5分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆x2+y2﹣6x+5=0截得的弦长为2，则双曲线的离心率为．16．（5分）设函数y=f（x）图象上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别是k A，k B，规定φ（A，B）=（|AB|为线段AB的长度）叫做曲线y=f（x）在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数y=x3图象上两点A与B的横坐标分别为1和﹣1，则φ（A，B）=0；②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；③设点A，B是抛物线y=x2+1上不同的两点，则φ（A，B）≤2；④设曲线y=e x（e是自然对数的底数）上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），则φ（A，B）＜1．其中真命题的序为．（将所有真命题的序都填上）三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n﹣3．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{na n}的前n项和T n．18．（12分）学校为了了解A、B两个班级学生在本学期前两个月内观看电视节目的时长，分别从这两个班级中随机抽取10名学生进行调查，得到他们观看电视节目的时长分别为（单位：小时）：A班：5、5、7、8、9、11、14、20、22、31；B班：3、9、11、12、21、25、26、30、31、35．将上述数据作为样本．（Ⅰ）绘制茎叶图，并从所绘制的茎叶图中提取样本数据信息（至少写出2条）；（Ⅱ）分别求样本中A、B两个班级学生的平均观看时长，并估计哪个班级的学生平均观看的时间较长；（Ⅲ）从A班的样本数据中随机抽取一个不超过11的数据记为a，从B班的样本数据中随机抽取一个不超过11的数据记为b，求a＞b的概率．19．（12分）如图1，已知长方形ABCD中，AB=2AD，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM如图2，设点E是线段DB上的一动点（不与D，B重合）．（Ⅰ）当AB=2时，求三棱锥M﹣BCD的体积；（Ⅱ）求证：AE不可能与BM垂直．20．（12分）设点M是x轴上的一个定点，其横坐标为a（a∈R），已知当a=1时，动圆N过点M且与直线x=﹣1相切，记动圆N的圆心N的轨迹为C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）当a＞2时，若直线l与曲线C相切于点P（x0，y0）（y0＞0），且l与以定点M 为圆心的动圆M也相切，当动圆M的面积最小时，证明：M、P两点的横坐标之差为定值．21．（12分）函数f（x）=lnx+，g（x）=e x﹣（e是自然对数的底数，a∈R）．（Ⅰ）求证：|f（x）|≥﹣（x﹣1）2+；（Ⅱ）已知[x]表示不超过x的最大整数，如[1.9]=1，[﹣2.1]=﹣3，若对任意x1≥0，都存在x2＞0，使得g（x1）≥[f（x2）]成立，求实数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）经过点M（﹣2，﹣4）且倾斜角为45°的直线l与抛物线C：y2=2px（p＞0）交于A、B两点，|MA|、|AB|、|BM|成等比数列．（Ⅰ）写出直线l的参数方程；（Ⅱ）求p的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣a|，a＜0．（Ⅰ）证明f（x）+f（﹣）≥2；（Ⅱ）若不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，求a的取值范围．2017年吉林省东北师大附中高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数的共轭复数是（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【解答】解：=，则复数的共轭复数是：1+i．故选：A．2．（5分）已知集合A={x∈R||x|≥2}，B={x∈R|x2﹣x﹣2＜0}，则下列结论正确的是（）A．A∪B=R B．A∩B≠∅C．A∪B=∅D．A∩B=∅【解答】解：集合A={x∈R||x|≥2}={x|x≥2或x≤﹣2}B={x∈R|x2﹣x﹣2＜0}={x|（x﹣2）（x+1）＜0}={x|﹣1＜x＜2}，则A∩B=∅，A∪B={x|x＞﹣1或x≤﹣2}，对照选项，可得A，B，C均错，D正确．故选：D．3．（5分）平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=（）A．B．C．12 D．【解答】解：∵平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，∴|+2|=====2，故选：B．4．（5分）阅读如图的程序框图．若输入n=5，则输出k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：第一次执行循环体，n=16，不满足退出循环的条件，k=1；第二次执行循环体，n=49，不满足退出循环的条件，k=2；第三次执行循环体，n=148，不满足退出循环的条件，k=3；第四次执行循环体，n=445，满足退出循环的条件，故输出k值为3，故选：B5．（5分）已知α是第二象限角，且的值为（）A．B．C．D．【解答】解：由sin（π+α）=﹣sinα=﹣，得到sinα=，又α是第二象限角，所以cosα=﹣=﹣，tanα=﹣，则ta n2α===﹣．故选C6．（5分）“a=﹣1”是“直线ax+（2a﹣1）y+1=0和直线3x+ay+3=0垂直”的（）A．充分不必要的条件B．必要不充分的条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：当a=﹣1时直线ax+（2a﹣1）y+1=0的斜率是，直线3x+ay+3=0的斜率是3，∴满足k1•k2=﹣1a=0时，直线ax+（2a﹣1）y+1=0和直线3x+ay+3=0垂直，∴a=﹣1是直线ax+（2a﹣1）y+1=0和直线3x+ay+3=0垂直的充分条件．故选A．7．（5分）为了解本市居民的生活成本，甲、乙、内三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查．他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为x1，x2，x3，则它们的大小关系为（）A．s1＞s2＞s3B．s1＞s3＞s2C．s3＞s2＞s1D．s3＞s1＞s2【解答】解：根据三个频率分步直方图知，第一组数据的两端数字较多，绝大部分数字都处在两端数据偏离平均数远，最分散，其方差、标准差最大；第三组数据是单峰的每一个小长方形的差别比较小，数字分布均匀，数据不如第一组偏离平均数大，方差比第一组中数据中的方差、标准差小，而第二组数据绝大部分数字都在平均数左右，数据最集中，故其方差、标准差最小，总上可知s1＞s3＞s2，故选：B．8．（5分）如图，格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）A．B． C．D．【解答】解：该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P﹣ABCD，如图所示，该几何体的俯视图为D．故选：D．9．（5分）已知函数f（x）=sin2ωx+sinωxsin（ωx+），（ω＞0）的最小正周期为π，则f（x）在区间[0，]上的值域为（）A．[0，]B．[﹣，]C．[﹣，1]D．[﹣，]【解答】解：化简可得f（x）=sin2ωx+）+sinωxsin（ωx=+sinωxcosωx=+sin2ωx cos2ωx=sin（2ωx﹣）+，∵函数的最小正周期为π，∴=π，解得ω=1，∴f（x）=sin（2x﹣）+，∵x∈[0，]，∴2x﹣∈[，]，∴sin（2x﹣）∈[，1]，∴f（x）=sin（2x﹣）+的值域为[0，]故选：A10．（5分）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P﹣ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA=AB=2，AC=4，三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O 的球面上，则球O的表面积为（）A．8πB．12πC．20πD．24π【解答】解：由题意，PC为球O的直径，PC==2，∴球O的半径为，∴球O的表面积为4π•5=20π，故选C．11．（5分）已知F是椭圆C：的右焦点，点P在椭圆C上，线段PF与圆相切于点Q，且PQ=2QF，则椭圆C的离心率等于（）A．B．C．D．【解答】解：设椭圆的左焦点为F1，连接F1，设圆心为C，则∵，则圆心坐标为（，0），半径为r=，∴|F1F|=3|FC|∵PQ=2QF，∴PF1∥QC，|PF1|=b∴|PF|=2a﹣b∵线段PF与圆（其中c2=a2﹣b2）相切于点Q，∴CQ⊥PF∴PF1⊥PF∴b2+（2a﹣b）2=4c2∴b2+（2a﹣b）2=4（a2﹣b2）∴a=b，则=，∴e===，故选A．12．（5分）已知定义域为的函数f（x）满足：当时，，且当x∈[1，3]时，f（x）=lnx，若在区间内，函数g（x）=f（x）﹣ax的图象与x轴有3个不同的交点，则实数a的取值范围是（）A． B．C．D．【解答】解：当x∈[，1]时，∈[1，3]，∴f（x）=2f（）=2ln=﹣2lnx，∴f（x）=，作出f（x）的函数图象如图所示：∵函数g（x）=f（x）﹣ax的图象与x轴有3个不同的交点，∴y=f（x）与直线y=ax在[，3]上有3个交点．当直线y=ax经过点（3，ln3）时，a=，当直线y=ax与y=lnx相切时，设切点为（x0，y0），则，解得x0=e，y0=1，a=．∴≤a＜．故选C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在△ABC中，若∠A=60°，边AB=2，S△ABC=，则BC边的长为．=，【解答】解：∵∠A=60°，边AB=2，S△ABC=AB•AC•si nA，即=×2AC×，∴S△ABC解得：AC=1，由余弦定理得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cosA=4+1﹣2=3，则BC=．故答案为：14．（5分）已知实数x，y满足则z=2x+y的最大值是10．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（4，2），化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为10．故答案为：10．15．（5分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆x2+y2﹣6x+5=0截得的弦长为2，则双曲线的离心率为．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，圆x2+y2﹣6x+5=0即为（x﹣3）2+y2=4，圆心为（3，0），半径为2，圆心到渐近线的距离为d=，由弦长公式可得2=2，化简可得a2=2b2，即有c2=a2+b2=a2，则e==．故答案为：．16．（5分）设函数y=f（x）图象上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别是k A，k B，规定φ（A，B）=（|AB|为线段AB的长度）叫做曲线y=f（x）在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数y=x3图象上两点A与B的横坐标分别为1和﹣1，则φ（A，B）=0；②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；③设点A，B是抛物线y=x2+1上不同的两点，则φ（A，B）≤2；④设曲线y=e x（e是自然对数的底数）上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），则φ（A，B）＜1．其中真命题的序为①②③④．（将所有真命题的序都填上）【解答】解：对于①，由y=x3，得y′=3x2，则k A=3，k B=3，则|k A﹣k B|=0，则φ（A，B）=0，故①正确；对于②，如y=1时，y′=0，则φ（A，B）=0，故②正确；对于③，抛物线y=x2+1的导数为y′=2x，y A=x A2+1，y B=x B2+1，y A﹣y B=x A2﹣x B2=（x A﹣x B）（x A+x B），则φ（A，B）===≤2，故③正确；对于④，由y=e x，得y′=e x，φ（A，B）=，由不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），可得φ（A，B）＜=1，故④正确．故答案为：①②③④三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n﹣3．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{na n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）由S n=2a n﹣3，①得a1=3，S n﹣1=2a n﹣1﹣3（n≥2），②①﹣②，得a n=2a n﹣2a n﹣1，即a n=2a n﹣1（n≥2，n∈N），所以数列{a n}是以3为首项，2为公比的等比数列，所以（n∈N*）．（Ⅱ），，作差得，∴（n∈N*）．18．（12分）学校为了了解A、B两个班级学生在本学期前两个月内观看电视节目的时长，分别从这两个班级中随机抽取10名学生进行调查，得到他们观看电视节目的时长分别为（单位：小时）：A班：5、5、7、8、9、11、14、20、22、31；B班：3、9、11、12、21、25、26、30、31、35．将上述数据作为样本．（Ⅰ）绘制茎叶图，并从所绘制的茎叶图中提取样本数据信息（至少写出2条）；（Ⅱ）分别求样本中A、B两个班级学生的平均观看时长，并估计哪个班级的学生平均观看的时间较长；（Ⅲ）从A班的样本数据中随机抽取一个不超过11的数据记为a，从B班的样本数据中随机抽取一个不超过11的数据记为b，求a＞b的概率．【解答】解：（Ⅰ）茎叶图如下（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）：从茎叶图中可看出：①A班数据有集中在茎0、1、2上，B班数据有集中在茎1、2、3上；②A班叶的分布是单峰的，B班叶的分布基本上是对称的；③A班数据的中位数是10，B班数据的中位数是23．（Ⅱ）A班样本数据的平均值为小时；B班样本数据的平均值为小时．因为，所以由此估计B班学生平均观看时间较长．（Ⅲ）A班的样本数据中不超过11的数据a有6个，分别为5，5，7，8，9，11；B 班的样本数据中不超过11的数据b有3个，分别为3，9，11．从上述A班和B班的数据中各随机抽取一个，记为（a，b），分别为：（5，3），（5，9），（5，11），（5，3），（5，9），（5，11），（7，3），（7，9），（7，11），（8，3），（8，9），（8，11）（9，3），（9，9），（9，11），（11，3），（11，9），（11，11）共18种，其中a＞b的有：（5，3），（5，3），（7，3），（8，3），（9，3），（11，3），（11，9），共7种．故a＞b的概率为．19．（12分）如图1，已知长方形ABCD中，AB=2AD，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM如图2，设点E是线段DB上的一动点（不与D，B重合）．（Ⅰ）当AB=2时，求三棱锥M﹣BCD的体积；（Ⅱ）求证：AE不可能与BM垂直．【解答】（Ⅰ）解：取AM的中点N，连接DN．∵AB=2AD，∴DM=AD，又N为AM的中点，∴DN⊥AM，∵平面ADM⊥平面ABCM，又平面ADM∩ABCM=AM，DN⊂平面ADM，∴DN⊥平面ABCM．∵AB=2，∴AD=1，AM=，则，又，=V D﹣BCM=；∴V M﹣BCD（Ⅱ）证明：假设AE⊥BM．由（Ⅰ）可知，DN⊥平面ABCM，∴BM⊥DN．在长方形ABCD中，AB=2AD，∴△ADM、△BCM都是等腰直角三角形，∴BM⊥AM．而DN、AM⊂平面ADM，DN∩AM=N，∴BM⊥平面ADM．而AD⊂平面ADM，∴BM⊥AD．由假设AE⊥BM，AD、AE⊂平面ABD，AD∩AE=A，∴BM⊥平面ABD，而AB⊂平面ABD，∴BM⊥AB，这与已知ABCD是长方形矛盾，故AE不可能与BM垂直．20．（12分）设点M是x轴上的一个定点，其横坐标为a（a∈R），已知当a=1时，动圆N过点M且与直线x=﹣1相切，记动圆N的圆心N的轨迹为C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）当a＞2时，若直线l与曲线C相切于点P（x0，y0）（y0＞0），且l与以定点M 为圆心的动圆M也相切，当动圆M的面积最小时，证明：M、P两点的横坐标之差为定值．【解答】解：（Ⅰ）因为圆N与直线x=﹣1相切，所以点N到直线x=﹣1的距离等于圆N的半径，所以，点N到点M（1，0）的距离与到直线x=﹣1的距离相等．所以，点N的轨迹为以点M（1，0）为焦点，直线x=﹣1为准线的抛物线，所以圆心N的轨迹方程，即曲线C的方程为y2=4x．（Ⅱ）由题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y﹣y0=k（x﹣x0），由得，又，所以，因为直线l与曲线C相切，所以，解得．所以，直线l的方程为．动圆M的半径即为点M（a，0）到直线l的距离．当动圆M的面积最小时，即d最小，而当a＞2时；==．当且仅当，即x0=a﹣2时取等，所以当动圆M的面积最小时，a﹣x0=2，即当动圆M的面积最小时，M、P两点的横坐标之差为定值．21．（12分）函数f（x）=lnx+，g（x）=e x﹣（e是自然对数的底数，a∈R）．（Ⅰ）求证：|f（x）|≥﹣（x﹣1）2+；（Ⅱ）已知[x]表示不超过x的最大整数，如[1.9]=1，[﹣2.1]=﹣3，若对任意x1≥0，都存在x2＞0，使得g（x1）≥[f（x2）]成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）（x＞0）．当x＞1时，f'（x）＞0，当0＜x＜1时，f'（x）＜0，即f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以，当x=1时，f（x）取得最小值，最小值为，所以，又，且当x=1时等成立，所以，．（Ⅱ）记当x≥0时，g（x）的最小值为g（x）min，当x＞0时，[f（x）]的最小值为[f （x）]min，依题意有g（x）min≥[f（x）]min，由（Ⅰ）知，所以[f（x）]min=0，则有g（x）min≥0，g'（x）=e x﹣x﹣a．令h（x）=e x﹣x﹣a，h'（x）=e x﹣1，而当x≥0时，e x≥1，所以h'（x）≥0，所以h（x）在[0，+∞）上是增函数，所以h（x）min=h（0）=1﹣a．①当1﹣a≥0，即a≤1时，h（x）≥0恒成立，即g'（x）≥0，所以g（x）在[0，+∞）上是增函数，所以，依题意有，解得，所以．②当1﹣a＜0，即a＞1时，因为h（x）在[0，+∞）上是增函数，且h（0）=1﹣a＜0，若a+2＜e2，即1＜a＜e2﹣2，则h（ln（a+2））=a+2﹣ln（a+2）﹣a=2﹣ln（a+2）＞0，所以∃x0∈（0，ln（a+2）），使得h（x0）=0，即，且当x∈（0，x0）时，h（x）＜0，即g'（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，即g'（x）＞0，所以，g（x）在（0，x0）上是减函数，在（x0，+∞）上是增函数，所以，又，所以，所以，所以0＜x0≤ln2．由，可令t（x）=e x﹣x，t'（x）=e x﹣1，当x∈（0，ln2]时，e x＞1，所以t （x）在（0，ln2]上是增函数，所以当x∈（0，ln2]时，t（0）＜t（x）≤t（ln2），即1＜t（x）≤2﹣ln2，所以1＜a≤2﹣ln2．综上，所求实数a的取值范围是．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）经过点M（﹣2，﹣4）且倾斜角为45°的直线l与抛物线C：y2=2px（p＞0）交于A、B两点，|MA|、|AB|、|BM|成等比数列．（Ⅰ）写出直线l的参数方程；（Ⅱ）求p的值．【解答】解：（Ⅰ）过点M（﹣2，﹣4）且倾斜角为45°，设参数为t，则直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅱ）把参数方程代入y2=2px，得，，t1t2=32+8p，根据直线参数的几何意义，可得|MA||MB|=|t1t2|=32+8p，那么：，∵|MA|、|AB|、|BM|成等比数列，∴|AB|2=|MA||MB|，8p（p+4）=32+8p，p＞0．故得p=1．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣a|，a＜0．（Ⅰ）证明f（x）+f（﹣）≥2；（Ⅱ）若不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，求a的取值范围．【解答】（Ⅰ）证明：函数f（x）=|x﹣a|，a＜0，则f（x）+f（﹣）=|x﹣a|+|﹣﹣a|=|x﹣a|+|+a|≥|（x﹣a）+（+a）|=|x+|=|x|+≥2=2．（Ⅱ）解：f（x）+f（2x）=|x﹣a|+|2x﹣a|，a＜0．当x≤a时，f（x）=a﹣x+a﹣2x=2a﹣3x，则f（x）≥﹣a；当a＜x＜时，f（x）=x﹣a+a﹣2x=﹣x，则﹣＜f（x）＜﹣a；当x时，f（x）=x﹣a+2x﹣a=3x﹣2a，则f（x）≥﹣．则f（x）的值域为[﹣，+∞），不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，即为＞﹣，解得，a＞﹣1，由于a＜0，则a的取值范围是（﹣1，0）．。
东北三省三校哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实
2017年东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，B={x|1＜x≤2}，则A∩B=（）A．（1，2）B．（1，2] C．[﹣1，2]D．[﹣1，2）2．设复数z满足（1+i）z=2i，则复数z=（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i3．设向量=（1，2），=（m，m+1），∥，则实数m的值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣ D．﹣34．双曲线的顶点到渐进线的距离等于虚轴长的，则此双曲线的离心率是（）A．2 B．C．3 D．45．一个四棱锥的底面为长方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）A．1 B．2 C．3 D．46．检测600个某产品的质量（单位：g），得到的直方图中，前三组的长方形的高度成等差数列，后三组对应的长方形的高度成公比为0.5的等比数列，已知检测的质量在100.5﹣105.5之间的产品数为150，则质量在115.5﹣120.5的长方形高度为（）A．B．C．D．7．已知数列{a n}是等差数列，满足a1+2a2=S5，下列结论中错误的是（）A．S9=0 B．S5最小C．S3=S6D．a5=08．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）在区间（，）内是增函数，则（）A．f（）=﹣1 B．f（x）的周期为C．ω的最大值为4 D．f（）=0 9．如图是用二分法求方程x3﹣2=0近似解的算法的程序框图，则①②两处应依次填入（）A．a=m，b=m B．b=m，a=m C．a=f（m），b=f（m）D．b=f（m），a=f （m）10．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作直线交抛物线于A，B，若S△OAF=4S△OBF，则直线AB的斜率为（）A．± B．± C．± D．±11．已知四面体A﹣BCD中，△ABC和△BCD都是边长为6的正三角形，则当四面体的体积最大时，其外接球的表面积是（）A．60πB．30πC．20πD．15π12．已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f'（x），满足f'（x）＜f（x），且f（0）=2，则不等式f（x）﹣2e x＜0的解集为（）A．（﹣2，+∞）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（4，+∞）二、填空题13.已知实数x，y满足则z=x+2y的最大值为．14．若0＜a＜2，0＜b＜2，则函数存在极值的概率为．15．若a＞0，b＞0，且2a+b=1，且的最大值是．16．各项均为正数的数列{a n}和{b n}满足：a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列，且a1=1，a2=3，则数列{a n}的通项公式为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知在△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c且．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC面积S的最大值．18．（10分）某市拟招商引资兴建一化工园区，新闻媒体对此进行了问卷调查，在所有参与调查的市民中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如表所示：（Ⅰ）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取部分市民做进一步调研（不同态度的群体中亦按年龄分层抽样），已知从“保留”态度的人中抽取了19人，则在“支持”态度的群体中，年龄在30岁以上的人有多少人被抽取；（Ⅱ）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人做进一步的调研，将此6人看作一个总体，在这6人中任意选取2人，求至少有1人在30岁以上的概率．19．（10分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，点D为AC的中点，点E为AA1上．（Ⅰ）当AA1=4AE时，求证：DE⊥平面BDC1；（Ⅱ）当AA1=2AE时，求三棱锥C1﹣EBD的体积．20．（15分）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B，其离心率，点P为椭圆上的一个动点，△PAB面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）动直线l过椭圆的左焦点F1，且l与椭圆C交于M，N两点，试问在x轴上是否存在定点D，使得为定值？若存在，求出点D坐标并求出定值；若不存在，请说明理由．21．（15分）已知函数f（x）=2lnx+x2﹣ax+2（a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若存在x0∈（0，1]，使得对任意的a∈[﹣2，0），不等式f（x0）＞a2+3a+2﹣2me a（a+1）（其中e是自然对数的底数）都成立，求实数m的取值范围．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线C1：，曲线C2的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1的极坐标方程和C2的普通方程；（Ⅱ）把C1绕坐标原点沿顺时针方向旋转得到直线C3，C3与C2交于A，B两点，求|AB|．选修4-5：不等式选讲23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|的最小值为4．（Ⅰ）求a+b的值；（Ⅱ）求的最小值．2017年东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，B={x|1＜x≤2}，则A∩B=（）A．（1，2）B．（1，2] C．[﹣1，2]D．[﹣1，2）【考点】交集及其运算．【分析】利用交集定义和不等式性质求解．【解答】解：＜0，即（x+1）（x﹣2）＜0，解得﹣1＜x＜2，即A=（﹣1，2），B={x|1＜x≤2}=（1，2]，则A∩B=（1，2），故选：A【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解时要认真审题，注意交集性质的合理运用．2．设复数z满足（1+i）z=2i，则复数z=（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】（1+i）z=2i，可得（1﹣i）（1+i）z=2i（1﹣i），化简整理即可得出．【解答】解：∵（1+i）z=2i，∴（1﹣i）（1+i）z=2i（1﹣i），化为：2z=2（i+1），∴z=1+i．故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭虚数的定义，考查了推理能力与技能数列，属于基础题．3．设向量=（1，2），=（m，m+1），∥，则实数m的值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣ D．﹣3【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量平行的性质求解．【解答】解：∵=（1，2），=（m，m+1），∥，∴，解得m=1．故选：A．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量平行的性质的合理运用．4．双曲线的顶点到渐进线的距离等于虚轴长的，则此双曲线的离心率是（）A．2 B．C．3 D．4【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用已知条件列出方程，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线的顶点（a，0）到渐进线bx+ay=0的距离等于虚轴长的，可得，即2a=c，可得e=．故选：A．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．5．一个四棱锥的底面为长方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体是四棱锥，再根据三视图判断四棱锥的高与底面长方形的长与宽，把数据代入棱锥的体积计算可得答案．【解答】解：由三视图知几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，高为3，四棱锥的底面是长方形，长方形的长、宽分别为1、2，∴几何体的体积V=×1×2×3=2．故选：B．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量．6．检测600个某产品的质量（单位：g），得到的直方图中，前三组的长方形的高度成等差数列，后三组对应的长方形的高度成公比为0.5的等比数列，已知检测的质量在100.5﹣105.5之间的产品数为150，则质量在115.5﹣120.5的长方形高度为（）A．B．C．D．【考点】频率分布直方图．【分析】求出质量在100.5﹣105.5之间的频率，设出前三组长方形的高度成等差数列的公差为d，利用频率和为1求出d的值，再求出115.5﹣120.5对应的长方形高．【解答】解：根据题意，质量在100.5﹣105.5之间的产品数为150，频率为=0.25；前三组的长方形的高度成等差数列，设公差为d，则根据频率和为1，得（0.25﹣d）+0.25+（0.25+d）+（0.25+d）+（0.25+d）=1；解得d=；所以质量在115.5﹣120.5的频率是×（0.25+）=，对应小长方形的高为÷5=．故选：D．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，是基础题目．7．已知数列{a n}是等差数列，满足a1+2a2=S5，下列结论中错误的是（）A．S9=0 B．S5最小C．S3=S6D．a5=0【考点】等差数列的通项公式．【分析】由已知条件利用等差数列的前n项和公式和通项公式求出首项和公差的关系，然后逐一核对四个选项得答案．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，S5=a1+2a2，∴，解得：a1=﹣4d．∴=0，故A正确；=﹣10d，不一定最小，故B错误；S3=3a1+3d=﹣9d，，故C正确；a5=a1+4d=0，故D正确．∴错误的结论是B．故选：B．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，属中档题．8．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）在区间（，）内是增函数，则（）A．f（）=﹣1 B．f（x）的周期为C．ω的最大值为4 D．f（）=0【考点】正弦函数的单调性．【分析】由条件以及利用正弦函数的单调性，求得ω的最大值，可得结论．【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）在区间（，）内是增函数，∴ω•+φ≥2kπ﹣，ω+φ≤2kπ+，且•≥﹣，∴ω≥，ω≤，且ω≤4．令k=1，可得6﹣≤ω≤5﹣，且ω≤4，故ω的最大值为4，故选：C．【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题．9．如图是用二分法求方程x3﹣2=0近似解的算法的程序框图，则①②两处应依次填入（）A．a=m，b=m B．b=m，a=m C．a=f（m），b=f（m）D．b=f（m），a=f （m）【考点】程序框图．【分析】根据据二分法求方程近似解的步骤和程序框图，逐项分析不难确定答案．【解答】解：据二分法求方程近似解的步骤知：当f（m）f（b）＜0即f（m）f （a）＞0时，说明方程的根在区间（m，b）内，故处理框（1）应填写a=m．当f（m）f（a）＜0即f（m）f（b）＞0时，说明根在区间（a，m）内，故处理框（2）应填写b=m．故选：A．【点评】本题主要考查用二分法求区间根的问题，属于基础题型．二分法是把函数的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而求零点近似值的方法．10．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作直线交抛物线于A，B，若S△OAF=4S△OBF，则直线AB的斜率为（）A．± B．± C．± D．±【考点】直线与抛物线的位置关系．=4S△BOF，得|AF|=4|BF|，，求得﹣y1=4y2，设出直线AB 【分析】据S△AOF的方程，与抛物线方程联立消去x，利用韦达定理求出斜率，即可求出tanα．【解答】解：根据题意设点A（x1，y1），B（x2，y2）．=4S△BOF，得|AF|=4|BF|，|，，得，由S△AOF故﹣y1=4y2，即．设直线AB的方程为y=k（x﹣）．联立，消元得ky2﹣2py﹣kp2=0．故y1+y2=，y1y2=﹣p2．则，，解得k=，即直线AB的斜率为．故选：D．【点评】本题主要考查了抛物线的概念和性质，直线和抛物线的综合问题，考查学生的计算能力，属于中档题．11．已知四面体A﹣BCD中，△ABC和△BCD都是边长为6的正三角形，则当四面体的体积最大时，其外接球的表面积是（）A．60πB．30πC．20πD．15π【考点】球的体积和表面积．【分析】当四面体的体积最大时，平面ABC⊥平面BCD，取AD，BC中点分别为E，F，连接EF，AF，DF，求出EF，判断三棱锥的外接球球心O在线段EF上，连接OA，OC，求出半径，然后求解三棱锥的外接球的表面积．【解答】解：当四面体的体积最大时，平面ABC⊥平面BCD，取AD，BC中点分别为E，F，连接EF，AF，DF，由题意知AF⊥DF，AF=CF=3，∴EF=AD=，易知三棱锥的外接球球心O在线段EF上，连接OA，OC，有R2=AE2+OE2，R2=DF2+OF2，∴R2=（）2+OE2，R2=32+（﹣OE）2，∴R=，∴三棱锥的外接球的表面积为4πR2=60π．故选A．【点评】本小题主要考查球的内接几何体的相关计算问题，对考生的空间想象能力与运算求解能力以及数形结合思想都提出很高要求，本题是一道综合题．12．已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f'（x），满足f'（x）＜f（x），且f（0）=2，则不等式f（x）﹣2e x＜0的解集为（）A．（﹣2，+∞）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（4，+∞）【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】构造函数g（x）=，利用导数研究函数的单调性，转化不等式即可得到结论．【解答】解：构造函数g（x）=，则函数的导数为g′（x）=，∵f′（x）＜f（x），∴g′（x）＜0，即g（x）在R上单调递减；又∵f（0）=2，∴g（0）==2，则不等式f（x）﹣2e x＜0化为＜2，它等价于g（x）＜2，即g（x）＜g（0），∴x＞0，即所求不等式的解集为（0，+∞）．故选：B．【点评】本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．二、填空题13.已知实数x，y满足则z=x+2y的最大值为8．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x+2y为，由图可知，当直线为过A（0，4）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为8．故答案为：8．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14．若0＜a＜2，0＜b＜2，则函数存在极值的概率为．【考点】利用导数研究函数的极值；几何概型．【分析】求导，由函数存在极值，则f′（x）=0，存在两个不相等的实根，则△＞0，求得a＞2b，求得阴影部分的面积，利用几何概型概率公式，即可求得答案．【解答】解：由数，求导，f′（x）=x2+2+2b，由函数存在极值．则方程x2+2+2b=0，有两个不相等的实根，△=4a﹣4×2b＞0，即a＞2b，∴由题意可知阴影部分的面积S1=×2×1=1，a，b所围成图形的面积S=2×2=4，∴存在极值的概率S==，故答案为：．【点评】本题考查几何概型概率公式，极值存在的应用，考查计算能力，属于中档题．15．若a＞0，b＞0，且2a+b=1，且的最大值是．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】利用，可得≤，4a2+b2≥，即可得出．【解答】解：∵2a+b=1，a＞0，b＞0，∴由，可得≤，4a2+b2≥，∴S=2﹣（4a2+b2）≤，当且仅当b=2a=时取等号．∴S的最大值为，故答案为：．【点评】本题考查了基本不等式及其变形应用，属于基础题．16．各项均为正数的数列{a n}和{b n}满足：a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列，且a1=1，a2=3，则数列{a n}的通项公式为．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】利用等差数列和等比数列中项的性质，运用等差数列的定义证明数列{}是等差数列．再利用等差数列的通项公式求出的通项公式，进而求出b n，a n．【解答】解：∵a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列，∴2b n=a n+a n+1①，a n+12=bn•b n+1②．由②得a n+1=③．将③代入①得，对任意n≥2，n∈N*，有2b n=+．∵b n＞0，∴2=+，∴{}是等差数列．设数列{}的公差为d，由a1=1，b1=2，a2=3，得b2=．∴=，=，d=﹣=．∴=+（n﹣1）=（n+1），∴b n=（n+1）2，a n==n（n+1）=．故答案为：．【点评】本题考查了等差、等比数列的通项公式，利用构造等差数列法求得数列{}的通项公式是解答本题的突破口，本题还考查了学生的运算能力，运算要细心．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）（2017•辽宁一模）已知在△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c且．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC面积S的最大值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，正弦定理化简已知等式可得b2=a2+c2﹣ac，结合余弦定理，可求，即可得解B的值．（Ⅱ）由正弦定理可求b的值，利用余弦定理，基本不等式可求ac的最大值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：（Ⅰ）∵A+B+C=π，∴sin（A+B）=sinC，∴，由正弦定理得，即b2=a2+c2﹣ac，结合余弦定理，有，∴．（Ⅱ）∵，解得，∴（当且仅当a=c时取等），∴．【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18．（10分）（2017•辽宁一模）某市拟招商引资兴建一化工园区，新闻媒体对此进行了问卷调查，在所有参与调查的市民中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如表所示：（Ⅰ）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取部分市民做进一步调研（不同态度的群体中亦按年龄分层抽样），已知从“保留”态度的人中抽取了19人，则在“支持”态度的群体中，年龄在30岁以上的人有多少人被抽取；（Ⅱ）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人做进一步的调研，将此6人看作一个总体，在这6人中任意选取2人，求至少有1人在30岁以上的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（Ⅰ）设在“支持”的群体中抽取n个人，其中年龄在30岁以下的人被抽取x人，结合图表求出n和x的值即可；（Ⅱ）根据条件概率求出至少有1人在30岁以上的概率即可．【解答】解：（Ⅰ）设在“支持”的群体中抽取n个人，其中年龄在30岁以下的人被抽取x人，由题意，得n=60，则：人．所以在“支持”的群体中，年龄在30岁以下的人有45人被抽取．（Ⅱ）设所选的人中，有m人年龄在30岁以下，则，∴m=4．即从30岁以下抽取4人，另一部分抽取2人；分别记作A1，A2，A3，A4，B1，B2．则从中任取2人的所有基本事件为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，A4），（A2，B1），（A2，B2）（A3，A4），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2），（B1，B2）共15个，其中至少有1人在30岁以上的基本事件有9个．分别是（A1，B1），（A1，B2）（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2），（B1，B2）．所以在这6人中任意选取2人，至少有1人在30岁以上的概率为．【点评】本题考查了条件概率问题，考查分层抽样，是一道中档题．19．（10分）（2017•辽宁一模）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，点D为AC的中点，点E为AA1上．（Ⅰ）当AA1=4AE时，求证：DE⊥平面BDC1；（Ⅱ）当AA1=2AE时，求三棱锥C1﹣EBD的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明BD⊥AC，BD⊥DE．连接EC1，证明ED⊥C1D，然后证明DE ⊥平面BDC1．（Ⅱ）求出，说明BD为三棱锥B﹣C1DE的高，然后利用等体积法转化求解即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵△ABC为正三角形，点D为AC的中点，∴BD⊥AC，∴BD⊥面ACC1A1，从而BD⊥DE．连接EC1，∵AA1=4AE，AB=AA1=2，∴，，，，则，∴ED⊥C1D，又C1D∩BD=D，∴DE⊥平面BDC1．（Ⅱ）解：∵AA1=2AE，∴，∴，由（Ⅰ）知BD⊥面ACC1A1中，所以BD为三棱锥B﹣C1DE的高，所以．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，等体积法的应用，考查空间想象能力以及计算能力．20．（15分）（2017•辽宁一模）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B，其离心率，点P为椭圆上的一个动点，△PAB面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）动直线l过椭圆的左焦点F1，且l与椭圆C交于M，N两点，试问在x轴上是否存在定点D，使得为定值？若存在，求出点D坐标并求出定值；若不存在，请说明理由．【考点】圆锥曲线的定值问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）利用椭圆的离心率，三角形的面积的最值列出方程，求解椭圆的几何量，得到椭圆方程．（Ⅱ）假设存在定点D（m，0），使得向量为定值n．①当直线l的斜率不为0时，椭圆C左焦点F1（﹣1，0），设直线l的方程为x=ty﹣1．联立，消去x，得（3t2+4）y2﹣6ty﹣9=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），利用韦达定理化简数量积，求出n；②当直线l的斜率为0时，验证求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意，，且a2=b2+c2．解得．∴椭圆的标准方程为．（Ⅱ）假设存在定点D（m，0），使得向量为定值n．①当直线l的斜率不为0时，椭圆C左焦点F1（﹣1，0），设直线l的方程为x=ty﹣1．联立，消去x，得（3t2+4）y2﹣6ty﹣9=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则．，===．若为定值n，则，即，此时．②当直线l的斜率为0时，，亦符合题意；∴存在点，使得向量为定值．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．21．（15分）（2017•辽宁一模）已知函数f（x）=2lnx+x2﹣ax+2（a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若存在x0∈（0，1]，使得对任意的a∈[﹣2，0），不等式f（x0）＞a2+3a+2﹣2me a（a+1）（其中e是自然对数的底数）都成立，求实数m的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）．令h（x）=2x2﹣ax+2，△=a2﹣16．通过①当a≤0时，②当0＜a≤4时，③当a＞4时，分别判断导函数的符号，判断函数的单调性，求解单调区间．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a∈[﹣2，0）时，函数f（x）在区间（0，1]上单调递增，当x∈（0，1]时，求出函数f（x）的最大值是f（1）=3﹣a，对任意的a∈[﹣2，0），都存在x0∈（0，1]，使得不等式成立，转化为：对任意的a∈[﹣2，0），不等式2me a（a+1）﹣a2﹣4a+1＞0都成立，记h（a）=2me a（a+1）﹣a2﹣4a+1，求出导函数，通过①当m≤1时，判断函数的单调性求出最值，②当m＞1时，（ⅰ）当1＜m＜e2时，（ⅱ）当m≥e2时，通过函数的地址求解m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）．令h（x）=2x2﹣ax+2，△=a2﹣16．①当a≤0时，﹣ax≥0，∴，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当0＜a≤4时，△=a2﹣16≤0，所以h（x）≥0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；③当a＞4时，△=a2﹣16＞0，令h（x）=0，得，f′（x）＞0⇒x∈（0，x1）∪（x2，+∞）；f′（x）＜0⇒x∈（x1，x2）．所以，f（x）在（0，x1）和（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）单调递减．综上，1°当a≤1时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；2°当a＞1时，f（x）在（0，x1）和（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）单调递减．（注：如果在每种情况中已说明函数在哪个区间上的单调性，不写综上不扣分；如果每种情况只解出不等式，最后没写综上扣1分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a∈[﹣2，0）时，函数f（x）在区间（0，1]上单调递增，所以当x∈（0，1]时，函数f（x）的最大值是f（1）=3﹣a，对任意的a∈[﹣2，0），都存在x0∈（0，1]，使得不等式成立，即对任意的a∈[﹣2，0），都成立，即对任意的a∈[﹣2，0），不等式2me a（a+1）﹣a2﹣4a+1＞0都成立，记h（a）=2me a（a+1）﹣a2﹣4a+1，则h'（a）=2me a（a+2）﹣2a﹣4=2（a+2）（me a﹣1）．∵a∈[﹣2，0），∴，且a+2≥0．①当m≤1时，me a﹣1＜0，∴h'（a）≤0，即a∈[﹣2，0）时，h（a）单调递减．∴h（a）＞0，只需h（0）≥0，解得，∴．②当m＞1时，令h'（a）=0得a=﹣2或a=﹣lnm，因为a∈[﹣2，0），所以2（a+2）≥0．（ⅰ）当1＜m＜e2时，﹣lnm∈[﹣2，0），当a∈（﹣2，﹣lnm）时，h'（a）＜0；当a∈（﹣lnm，0）时，h'（a）＞0，∴，解得，∴m∈（1，e2）．（ⅱ）当m≥e2时，因为﹣2≤a＜0，所以，所以me a≥1，所以h'（a）≥0，则h（a）在[﹣2，0）上单调递增，得h（﹣2）=5﹣2me﹣2＞0，即，∴．综上，m的取值范围是．【点评】本题考查函数的导数以及函数的单调性，极值以及最值的关系，构造法的应用，考查转化思想，分类讨论思想的应用，考查分析问题解决问题的能力．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）（2017•辽宁一模）在直角坐标系xOy中，直线C1：，曲线C2的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1的极坐标方程和C2的普通方程；（Ⅱ）把C1绕坐标原点沿顺时针方向旋转得到直线C3，C3与C2交于A，B两点，求|AB|．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）利用ρsinθ=y，ρcosθ=x化简可得C1的极坐标方程；根据同角三角函数关系式，消去参数，可得C2直角坐标方程．（Ⅱ）由题意可得C3：，即，再根据点到直线的距离公式和直角三角形即可求出．【解答】解：（Ⅰ）直线C1：，曲线C2的普通方程为．（Ⅱ）C3：，即．圆C2的圆心到直线C3的距离．所以．【点评】本题考查了极坐标方程、参数方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选修4-5：不等式选讲23．（2017•辽宁一模）已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|的最小值为4．（Ⅰ）求a+b的值；（Ⅱ）求的最小值．【考点】柯西不等式在函数极值中的应用．【分析】（Ⅰ）利用绝对值不等式，结合条件求a+b的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知a+b=4，由柯西不等式求的最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=|x+a|+|x﹣b|≥|（x+a）﹣（x﹣b）|=a+b，当且仅当﹣a≤x≤b时，等号成立，所以f（x）的最小值为a+b=4．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a+b=4，由柯西不等式得．即，当且仅当，即时，等号成立．所以，的最小值为．【点评】本题考查绝对值不等式，考查柯西不等式的运用，属于中档题．。
2017年东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)高考数学三模试卷(理科)及答案
2017年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）设复数z满足z•（1+i）=2i（i是虚数单位），则|z|=（）A．B．2C．1D．2．（5分）A={x|y=lg（x2+3x﹣4）}，，则A∩B=（）A．（0，2]B．（1，2]C．[2，4）D．（﹣4，0）3．（5分）下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）单调递减的函数是（）A．y=﹣x3B．y=ln|x|C．y=cosx D．y=2﹣|x|4．（5分）等比数列{a n}，若a12=4，a18=8，则a36为（）A．32B．64C．128D．2565．（5分）已知，且，则sin2α的值为（）A．B．C．D．6．（5分）下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图时，若输入a，b分别为18，27，则输出的a=（）A．0B．9C．18D．547．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．8．（5分）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，则3位男生中有且只有2位男生相邻的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）已知AB⊥AC，AB=AC，点M满足，若，则t的值为（）A．B．C．D．10．（5分）中心在原点的椭圆C1与双曲线C2具有相同的焦点，F1（﹣c，0），F2（c，0），P为C1与C2在第一象限的交点，|PF1|=|F1F2|且|PF2|=5，若椭圆C1的离心率，则双曲线的离心率e2的范围是（）A．B．C．（2，3）D．11．（5分）三棱锥P﹣ABC中，底面△ABC满足BA=BC，，P在面ABC 的射影为AC的中点，且该三棱锥的体积为，当其外接球的表面积最小时，P到面ABC的距离为（）A．2B．3C．D．12．（5分）设函数，若曲线上存在（x0，y0），使得f（f（y0））=y0成立，则实数m的取值范围为（）A．[0，e2﹣e+1]B．[0，e2+e﹣1]C．[0，e2+e+1]D．[0，e2﹣e﹣1]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）.13．（5分）某校有男教师80人，女教师100人现按男、女比例采用分层抽样的方法从该校教师中抽取x 人参加教师代表大会，若抽到男教师12人，则x= ．14．（5分）平面上，点A 、C 为射线PM 上的两点，点B 、D 为射线PN 上的两点，则有（其中S △PAB 、S △PCD 分别为△PAB 、△PCD 的面积）；空间中，点A 、C 为射线PM 上的两点，点B 、D 为射线PN 上的两点，点E 、F 为射线PL 上的两点，则有= （其中V P ﹣ABE 、V P ﹣CDF 分别为四面体P﹣ABE 、P ﹣CDF 的体积）．15．（5分）已知数列{a n }满足，则{a n }的前50项的和为 ．16．（5分）已知圆C ：x 2+y 2=25，过点M （﹣2，3）作直线l 交圆C 于A ，B 两点，分别过A ，B 两点作圆的切线，当两条切线相交于点N 时，则点N 的轨迹方程为 ．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（12分）已知是函数f （x ）=msinωx ﹣cosωx （m ＞0）的一条对称轴，且f （x ）的最小正周期为π（Ⅰ）求m 值和f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）设角A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，对应边分别为a ，b ，c ，若f （B ）=2，，求的取值范围．18．（12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超过x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）若将频率视为概率，从该城市居民中随机抽取3人，记这3人中月均用水量不低于3吨的人数为X，求X的分布列与数学期望．（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x 的值（精确到0.01），并说明理由．19．（12分）如图，在棱台ABC﹣FED中，△DEF与△ABC分别是棱长为1与2的正三角形，平面ABC⊥平面BCDE，四边形BCDE为直角梯形，BC⊥CD，CD=1，N为CE中点，．（Ⅰ）λ为何值时，MN∥平面ABC？（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求直线AN与平面BMN所成角的正弦值．20．（12分）已知椭圆的右焦点为F，过椭圆C中心的弦PQ长为2，且∠PFQ=90°，△PQF的面积为1．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设A1、A2分别为椭圆C的左、右顶点，S为直线上一动点，直线A1S交椭圆C于点M，直线A2S交椭圆于点N，设S1、S2分别为△A1SA2、△MSN的面积，求的最大值．21．（12分）已知f（x）=e2x+ln（x+a）．（1）当a=1时，①求f（x）在（0，1）处的切线方程；②当x≥0时，求证：f （x）≥（x+1）2+x．（2）若存在x0∈[0，+∞），使得成立，求实数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴且单位长度相同的极坐标系中曲线C1：ρ=1，（t为参数）．（Ⅰ）求曲线C1上的点到曲线C2距离的最小值；（Ⅱ）若把C1上各点的横坐标都扩大为原来的2倍，纵坐标扩大为原来的倍，得到曲线．设P（﹣1，1），曲线C2与交于A，B两点，求|PA|+|PB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知x，y∈R．（Ⅰ）若x，y满足，，求证：；（Ⅱ）求证：x4+16y4≥2x3y+8xy3．2017年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）设复数z满足z•（1+i）=2i（i是虚数单位），则|z|=（）A．B．2C．1D．【解答】解：由z•（1+i）=2i，得，则|z|=．故选：A．2．（5分）A={x|y=lg（x2+3x﹣4）}，，则A∩B=（）A．（0，2]B．（1，2]C．[2，4）D．（﹣4，0）【解答】解：A={x|y=lg（x2+3x﹣4）}={x|x2+3x﹣4＞0}={x|x＞1或x＜﹣4}，={y|0＜y≤2}，则A∩B=（1，2]，故选：B．3．（5分）下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）单调递减的函数是（）A．y=﹣x3B．y=ln|x|C．y=cosx D．y=2﹣|x|【解答】解：A．y=﹣x3是奇函数，不是偶函数，∴该选项错误；B．x∈（0，+∞）时，y=ln|x|=lnx单调递增，∴该选项错误；C．y=cosx在（0，+∞）上没有单调性，∴该选项错误；D．y=2﹣|x|是偶函数；x∈（0，+∞）时，单调递减，∴该选项正确．故选：D．4．（5分）等比数列{a n}，若a12=4，a18=8，则a36为（）A．32B．64C．128D．256【解答】解：∵数列{a n}为等比数列，∴a182=a12a24，∵a12=4，a18=8，a12，a18，a24同号∴a24=16．∴由a242=a12a36，得：a36=64，故选：B．5．（5分）已知，且，则sin2α的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵，且，∴2（cos2α﹣sin2α）=（cosα+sinα），∴cosα﹣sinα=，或cosα+sinα=0．当cosα﹣sinα=，则有1﹣sin2α=，sin2α=；∵α∈（0，），∴cosα+sinα=0不成立，故选：C．6．（5分）下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图时，若输入a，b分别为18，27，则输出的a=（）A．0B．9C．18D．54【解答】解：由a=18，b=27，不满足a＞b，则b变为27﹣18=9，由b＜a，则a变为18﹣9=9，由a=b=9，则输出的a=9．故选：B．7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图可知，该几何体是底面为边长为2的正方形，一条侧棱垂直底面的四棱锥，高为2，故其体积V=，故选：A．8．（5分）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，则3位男生中有且只有2位男生相邻的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：从3名男生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有C32A22=6种不同排法），剩下一名男生记作B，将A，B插入到3名女生全排列后所成的4个空中的2个空中，故有C32A22A42A33=432种，3位男生和3位女生共6位同学站成一排，有A66=720种，∴3位男生中有且只有2位男生相邻的概率为，故选：C．9．（5分）已知AB⊥AC，AB=AC，点M满足，若，则t的值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（0，0）．不妨设C（3，0），B（0，3），∵点M满足，∴点M在BC上．设|AM|=a，则acos+a=3，解得a=3﹣3．∴M．∵点M满足，∴=0+（1﹣t）×3，解得t=．故选：C．10．（5分）中心在原点的椭圆C1与双曲线C2具有相同的焦点，F1（﹣c，0），F2（c，0），P为C1与C2在第一象限的交点，|PF1|=|F1F2|且|PF2|=5，若椭圆C1的离心率，则双曲线的离心率e2的范围是（）A．B．C．（2，3）D．【解答】解：设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），其离心率为e1，双曲线的方程为﹣=1（m＞0，n＞0），其离心率为e2，|F1F2|=2c，∵有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF2为底边的等腰三角形，∴在椭圆中，|PF1|+|PF2|=2a，而|PF1|=|F1F2|=2c，∴|PF2|=2a﹣2c，①同理，在该双曲线中，|PF2|=2c﹣2m；②由①②可得m=2c﹣a．∵e1=∈（，），∴＜＜，又e2====∈（2，3）．故选：C．11．（5分）三棱锥P﹣ABC中，底面△ABC满足BA=BC，，P在面ABC 的射影为AC的中点，且该三棱锥的体积为，当其外接球的表面积最小时，P到面ABC的距离为（）A．2B．3C．D．【解答】解：设AC的中点为D，连接BD，PD，则PD⊥平面ABC，∵△ABC是等腰直角三角形，∴外接球的球心O在PD上，设AB=BC=a，PD=h，外接球半径OC=OP=R，则OD=h﹣R，CD=AC=a，===，∴a2=，∵V P﹣ABC∵CD2+OD2=OC2，即（h﹣R）2+a2=R2，∴R===≥3=，当且仅当即h=3时取等号，∴当外接球半径取得最小值时，h=3．故选：B．12．（5分）设函数，若曲线上存在（x0，y0），使得f（f（y0））=y0成立，则实数m的取值范围为（）A．[0，e2﹣e+1]B．[0，e2+e﹣1]C．[0，e2+e+1]D．[0，e2﹣e﹣1]【解答】解：∵﹣1≤cosx≤1，∴的最大值为e，最小值为1，∴1≤y 0≤e ，显然f （x ）=是增函数，（1）若f （y 0）＞y 0，则f （f （y 0））＞f （y 0）＞y 0，与f （f （y 0））=y 0矛盾； （2）若f （y 0）＜y 0，则f （f （y 0））＜f （y 0）＜y 0，与f （f （y 0））=y 0矛盾； ∴f （y 0）=y 0，∴y 0为方程f （x ）=x 的解，即方程f （x ）=x 在[1，e ]上有解， 由f （x ）=x 得m=x 2﹣x ﹣lnx ， 令g （x ）=x 2﹣x ﹣lnx ，x ∈[1，e ]， 则g′（x ）=2x ﹣1﹣==，∴当x ∈[1，e ]时，g′（x ）≥0， ∴g （x ）在[1，e ]上单调递增，∴g min （x ）=g （1）=0，g max （x ）=g （e ）=e 2﹣e ﹣1， ∴0≤m ≤e 2﹣e ﹣1． 故选：D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）.13．（5分）某校有男教师80人，女教师100人现按男、女比例采用分层抽样的方法从该校教师中抽取x 人参加教师代表大会，若抽到男教师12人，则x= 27 ．【解答】解：由题意可得=，即x=27， 故答案为：2714．（5分）平面上，点A 、C 为射线PM 上的两点，点B 、D 为射线PN 上的两点，则有（其中S △PAB 、S △PCD 分别为△PAB 、△PCD 的面积）；空间中，点A 、C 为射线PM 上的两点，点B 、D 为射线PN 上的两点，点E 、F 为射线PL 上的两点，则有=（其中V P ﹣ABE 、V P ﹣CDF 分别为四面体P ﹣ABE 、P ﹣CDF 的体积）．【解答】解：设PM与平面PDF所成的角为α，则A到平面PDF的距离h1=PAsinα，C到平面PDF的距离h2=PCsinα，=V A﹣PBE==，∴V P﹣ABEV P﹣CDF=V C﹣PDF==，∴=．故答案为：．15．（5分）已知数列{a n}满足，则{a n}的前50项的和为1375．【解答】解：当n是奇数时，cosnπ=﹣1；当n是偶数时，cosnπ=1．则a n=（﹣1）n（n2+4n）=（﹣1）n n2+（﹣1）n×4n，{a n}的前50项的和S50=a1+a2+a3+…+a50，=（﹣12+22﹣32+42﹣…+502）+4（﹣1+2﹣3+4﹣…+50），=（1+2+3+4+…+50）+4×25，=1275+100，=1375，故答案为：137516．（5分）已知圆C：x2+y2=25，过点M（﹣2，3）作直线l交圆C于A，B两点，分别过A，B两点作圆的切线，当两条切线相交于点N时，则点N的轨迹方程为2x﹣3y﹣25=0．【解答】解：设A（m，n），N（x，y），根据圆的对称性可得N点是经过C点垂直于AB的直线与A点切线的交点∵圆x2+y2=25的圆心为C（0，0）∴切线AN的斜率为k1=﹣=﹣，得得AN方程为y﹣n=﹣（x﹣m），化简得y=﹣x+…①又∵直线MA的斜率k MA=，∴直线CN的斜率k2=﹣=，得直线CN方程为y=x…②①②联解，消去m、n得2x﹣3y+25=0，即为点N轨迹所在直线方程．故答案为：2x﹣3y+25=0．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知是函数f（x）=msinωx﹣cosωx（m＞0）的一条对称轴，且f（x）的最小正周期为π（Ⅰ）求m值和f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设角A，B，C为△ABC的三个内角，对应边分别为a，b，c，若f（B）=2，，求的取值范围．【解答】解：函数f（x）=msinωx﹣cosωx（m＞0）化简可得：f（x）=sin（ωx+θ），其中tanθ=﹣．∵f（x）的最小正周期为π，即T=π=，∴ω=2．又∵是其中一条对称轴，∴2×+θ=k，k∈Z．可得：θ=，则tan（kπ﹣）=﹣．m＞0，当k=0时，tan=∴m=．可是f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x﹣），令2x﹣，k∈Z，得：≤x≤，所以f（x）的单调递增区间为[，]，k∈Z．（2）由f（B）=2sin（2B﹣）=2，可得2B﹣=，k∈Z，∵0＜B＜π，∴B=由正弦定理得：=2sinA﹣sin（A+）=sinA﹣cosA=sin（A﹣）∵0∴A﹣∈（，）∴的取值范围是（，），18．（12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超过x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）若将频率视为概率，从该城市居民中随机抽取3人，记这3人中月均用水量不低于3吨的人数为X，求X的分布列与数学期望．（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x 的值（精确到0.01），并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）根据频率和为1，得（0.06+0.18+2a+0.42+0.52+0.11+0.06+0.03）×0.5=1，解得a=0.30；（Ⅱ）月均用水量不低于3吨的频率为（0.11+0.06+0.03）×0.5=0.1，则p=0.1，抽取的人数为X，则X的可能取值为0，1，2，3；∴P（X=0）=•0.93=0.729，P（X=1）=•0.1•0.92=0.243，P（X=2）=•0.12•0.9=0.027，P（X=3）=•0.13=0.001；∴X的分布列为数学期望为EX=0×0.729+1×0.243+2×0.027+3×0.001=0.3；（Ⅲ）由图可知，月均用水量小于2.5吨的居民人数所占的百分比为0.5×（0.06+0.18+0.3+0.42+0.52）=0.73，即73%的居民月均用水量小于2.5吨；同理，88%的居民月均用水量小于3吨；故2.5＜x＜3，假设月均用水量平均分布，则x=2.5+0.5×=2.9（吨），即85%的居民每月用水量不超过标准为2.9吨．19．（12分）如图，在棱台ABC﹣FED中，△DEF与△ABC分别是棱长为1与2的正三角形，平面ABC⊥平面BCDE，四边形BCDE为直角梯形，BC⊥CD，CD=1，N为CE中点，．（Ⅰ）λ为何值时，MN∥平面ABC？（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求直线AN与平面BMN所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）当，即M为AF中点时MN∥平面ABC．事实上，取CD中点P，连接PM，PN，∵AM=MF，CP=PD，∴MP∥AC，∵AC⊂平面ABC，MP⊄平面ABC，∴MP∥平面ABC．由CP∥PD，CN∥NE，得NP∥DE，又DE∥BC，∴NP∥BC，∵BC⊂平面ABC，NP⊄平面ABC，∴NP∥平面ABC．∴平面MNP∥平面ABC，则MN∥平面ABC；（Ⅱ）取BC中点O，连OA，OE，∵AB=AC，OB=OC，∴AO⊥BC，∵平面ABC⊥平面BCDE，且AO⊂平面ABC，∴AO⊥平面BCDE，∵OC=，BC∥ED，∴OE∥CD，又CD⊥BC，∴OE⊥BC．分别以OE，OC，OA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．则A（0，0，），C（0，1，0），E（1，0，0），，∴F（1，，），M（，，），N（）．设为平面BMN的法向量，则，取z=1，得．cos＜＞=．∴直线AN与平面MNB所成角的正弦值为．20．（12分）已知椭圆的右焦点为F，过椭圆C中心的弦PQ长为2，且∠PFQ=90°，△PQF的面积为1．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设A1、A2分别为椭圆C的左、右顶点，S为直线上一动点，直线A1S交椭圆C于点M，直线A2S交椭圆于点N，设S1、S2分别为△A1SA2、△MSN的面积，求的最大值．【解答】解：（Ⅰ）弦PQ过椭圆中心，且∠PFQ=90°，则c=丨OF丨=丨PQ丨=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）不妨设P（x0，y0）（x0，y0＞0），∴，△PQF的面积=×丨OF丨×2y0=y0=1，则x0=1，b=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）a2=b2+c2=2，∴椭圆方程为+y2=1；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）设S（2，t），直线A1S：x=y﹣，则，整理（+2）y2﹣y=0，解得y1=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）同理，设直线A2S：x=y+，得（+2）y2+y=0，解得y2=﹣，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）则==丨×丨﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）≤×=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）当且仅当t2+9=3t2+3，即t=±时取“=”﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）21．（12分）已知f（x）=e2x+ln（x+a）．（1）当a=1时，①求f（x）在（0，1）处的切线方程；②当x≥0时，求证：f （x）≥（x+1）2+x．（2）若存在x0∈[0，+∞），使得成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）a=1时，f（x）=e2x+ln（x+1），f′（x）=2e2x+，①可得f（0）=1，f′（0）=2+1=3，所以f（x）在（0，1）处的切线方程为y=3x+1；②证明：设F（x）=e2x+ln（x+1）﹣（x+1）2﹣x（x≥0），F′（x）=2e2x+﹣2（x+1）﹣1F″（x）=4e2x﹣﹣2=[e2x﹣﹣]+2（e2x﹣1）+e2x＞0，（x≥0），所以，F′（x）在[0，+∞）上递增，所以F′（x）≥F′（0）=0，所以，F（x）在[0，+∞）上递增，所以F（x）≥F（0）=0，即有当x≥0时，f（x）≥（x+1）2+x；（2）存在x0∈[0，+∞），使得成立⇔存在x0∈[0，+∞），使得e﹣ln（x0+a）﹣x02＜0，设u（x）=e2x﹣ln（x+a）﹣x2，u′（x）=2e2x﹣﹣2x，u″（x）=4e2x+﹣2＞0，可得u′（x）在[0，+∞）单调增，即有u′（x）≥u′（0）=2﹣①当a≥时，u′（0）=2﹣≥0，可得u（x）在[0，+∞）单调增，则u（x）min=u（0）=1﹣lna＜0，解得a＞e；②当a＜时，ln（x+a）＜ln（x+），设h（x）=x﹣﹣ln（x+），（x＞0），h′（x）=1﹣=，另h′（x）＞0可得x＞，h′（x）＜0可得0＜x＜，则h（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．则h（x）≥h（）=0．设g（x）=e2x﹣x2﹣（x﹣），（x＞0），g′（x）=2e2x﹣2x﹣1，g″（x）=4e2x﹣2＞4﹣2＞0，可得g′（x）在（0，+∞）单调递增，即有g′（x）＞g′（0）=1＞0，则g（x）在（0，+∞）单调递增，则g（x）＞g（0）＞0，则e2x﹣x2＞x﹣＞ln（x+）＞ln（x+a），则当a＜时，f（x）＞2ln（x+a）+x2恒成立，不合题意．综上可得，a的取值范围为（e，+∞）．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴且单位长度相同的极坐标系中曲线C1：ρ=1，（t为参数）．（Ⅰ）求曲线C1上的点到曲线C2距离的最小值；（Ⅱ）若把C1上各点的横坐标都扩大为原来的2倍，纵坐标扩大为原来的倍，得到曲线．设P（﹣1，1），曲线C2与交于A，B两点，求|PA|+|PB|．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C1：ρ=1，∴曲线C1的直角坐标方程为：x2+y2=1，∴圆心为（0，0），半径为r=1，（t为参数）消去参数t的C2：y=x+2，（2分）∴圆心到直线距离d=，（3分）∴曲线C1上的点到曲线C2距离的最小值为．（5分）（Ⅱ）∵把C1上各点的横坐标都扩大为原来的2倍，纵坐标扩大为原来的倍，得到曲线．∴伸缩变换为，∴曲线：=1，（7分）（t为参数）代入曲线，整理得．∵t1t2＜0，（8分）∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|=．（10分）[选修4-5：不等式选讲]23．已知x，y∈R．（Ⅰ）若x，y满足，，求证：；（Ⅱ）求证：x4+16y4≥2x3y+8xy3．【解答】证明：（Ⅰ）利用绝对值不等式的性质得：|x|=[|2（x﹣3y）+3（x+2y）|]≤[|2（x﹣3y）|+|3（x+2y）|]＜（2×+3×）=；（Ⅱ）因为x4+16y4﹣（2x3y+8xy3）=x4﹣2x3y+16y4﹣8xy3=x3（x﹣2y）+8y3（2y﹣x）=（x﹣2y）（x3﹣8y3）=（x﹣2y）（x﹣2y）（x2+2xy+4y2）=（x﹣2y）2[（x+y）2+3y2]≥0，∴x4+16y4≥2x3y+8xy3。
东北三省三校2017届高三第一次联合模拟考试数学(文)试题-Word版含答案
哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学2017年高三第一次联合模拟考试文科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1|02x A x x +⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，{}|12B x x =<≤，则A B =I （ ） A ．(1,2)B ．(1,2]C ．[]1,2-D ．[1,2)-2.设复数z 满足(1)2i z i +=，则z =（ ） A ．1i -+B ．1i --C ．1i +D ．1i -3.设向量(1,2)a =r ，(,1)b m m =+r，//a b r r ，则实数m 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．13-D ．3-4.双曲线的顶点到渐进线的距离等于虚轴长的14，则此双曲线的离心率是（ ） A ．2B ．32C ．3D ．45.一个四棱锥的底面为长方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46.检测600个某产品的质量（单位：g ），得到的直方图中，前三组的长方形的高度成等差数列，后三组所对应的长方形的高度成公比为0.5的等比数列，已知检测的质量在100.5~105.5之间的产品数为150，则质量在115.5~120.5的长方形高度为（ ）A ．112B ．130C ．16D ．1607.已知数列{}n a 是等差数列，满足1252a a S +=，下列结论中错误的是（ ） A ．90S =B ．5S 最小C ．36S S =D ．50a =8.函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，22ππϕ-<<）在区间(,)42ππ内是增函数，则（ ）A ．()14f π=-B ．()f x 的周期为2πC ．ω的最大值为4D ．3()04f π=9.如图是用二分法求方程320x -=近似解的算法的程序框图，则①②两处应依次填入（ ）A ．a m =，b m =B ．b m =，a m =C ．()a f m =，()b f m =D ．()b f m =，()a f m =10.过抛物线22y px =（0p >）的焦点F 作直线交抛物线于A ，B ，若4OAF OBF S S ∆∆=，则直线AB 的斜率为（ ） A ．35±B ．45±C ．34±D ．43±11.已知四面体A BCD -中，ABC ∆和BCD ∆都是边长为6的正三角形，则当四面体的体积最大时，其外接球的表面积是（ ） A ．60πB ．30πC ．20πD ．15π12.已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为'()f x ，满足'()()f x f x <，且(0)2f =，则不等式()20xf x e -<的解集为（ ） A ．(2,)-+∞B ．(0,)+∞C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知实数x ，y 满足40,360,23120,x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩则2z x y =+的最大值为 ．14.若02a <<，02b <<，则函数321()233f x x bx =+-存在极值的概率为 ．15.若0a >，0b >，且21a b +=，且224a b -的最大值是 ． 16.各项均为正数的数列{}n a 和{}n b 满足：n a ，n b ，1n a +成等差数列，n b ，1n a +，1n b +成等比数列，且11a =，23a =，则数列{}n a 的通项公式为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知在ABC ∆中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且sin sin sin()a c A Ba b A B -+=-+． （Ⅰ）求角B 的值；（Ⅱ）若ABC ∆的外接圆半径为1，求ABC ∆面积S 的最大值．18.某市拟招商引资兴建一化工园区，新闻媒体对此进行了问卷调查，在所有参与调查的市民中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如表所示：支持 保留 不支持 30岁以下 900 120 280 30岁以上（含30岁）300260140（Ⅰ）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取部分市民做进一步调研（不同态度的群体中亦按年龄分层抽样），已知从“保留”态度的人中抽取了19人，则在“支持”态度的群体中，年龄在30岁以上的人有多少人被抽取；（Ⅱ）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人做进一步的调研，将此6人看作一个总体，在这6人中任意选取2人，求至少有1人在30岁以上的概率．19.已知正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，点D 为AC 的中点，点E 为1AA 上．（Ⅰ）当14AA AE =时，求证：DE ⊥平面1BDC ； （Ⅱ）当12AA AE =时，求三棱锥1C EBD -的体积．20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为A ，B ，其离心率12e =，点P 为椭圆上的一个动点，PAB ∆面积的最大值为23（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）动直线l 过椭圆的左焦点1F ，且l 与椭圆C 交于M ，N 两点，试问在x 轴上是否存在定点D ，使得DM DN ⋅u u u u r u u u r为定值？若存在，求出点D 坐标并求出定值；若不存在，请说明理由．21.已知函数2()2ln 2()f x x x ax a R =+-+∈． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若存在0(0,1]x ∈，使得对任意的[2,0)a ∈-，不等式20()322(1)a f x a a me a >++-+（其中e 是自然对数的底数）都成立，求实数m 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C ：y =，曲线2C 的参数方程是cos 2sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求1C 的极坐标方程和2C 的普通方程； （Ⅱ）把1C 绕坐标原点沿顺时针方向旋转3π得到直线3C ，3C 与2C 交于A ，B 两点，求||AB ．23.选修4-5：不等式选讲已知0a >，0b >，函数()||||f x x a x b =++-的最小值为4． （Ⅰ）求a b +的值； （Ⅱ）求221149a b +的最小值．哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学2017年高三第一次联合模拟考试文科数学试卷答案一、选择题1-5:ACAAB 6-10:DBCAD 11、12：AB二、填空题13.8 14.1415.212- 16.22n n n a +=三、解答题17.解：（Ⅰ）sin()sin A B C A B C π++=∴+=Q ，∴sin sinBsin a c A a b C-+=-， 由正弦定理得a c a ba b c-+=-， 即222b a c ac =+-， 结合余弦定理，有1cos ,(0,)2B B π=∈，∴3B π=． （Ⅱ）22sin3b R π==，解得3b =，所以，22232cos23b ac ac ac ac ac π==+-≥-=（当且仅当a c =时取等）， 所以133sin 234S ac π=≤． 18.解：（Ⅰ）设在“支持”的群体中抽取n 个人，其中年龄在30岁以下的人被抽取x 人． 由题意n 30090019260120+=+，得60=n ．则4543==n x 人．所以在“支持”的群体中，年龄在30岁以下的人有45人被抽取． （Ⅱ）设所选的人中，有m 人年龄在30岁以下．则632140280280m==+，∴4m =．即从30岁以下抽取4人，另一部分抽取2人．分别记作214321,,,,,B B A A A A ． 则从中任取2人的所有基本事件为）（）（）（）（）（2111413121,,,,,,,,,B A B A A A A A A A ）（）（）（）（22124232,,,,,,,B A B A A A A A ),(,,,,,,,,,,212414231343B B B A B A B A B A A A ）（）（）（）（）（．共15个其中至少有1人在30岁以上的基本事件有9个．分别是）（）（2111,,,B A B A ）（）（2212,,,B A B A ),(,,,,,,,,2124142313B B B A B A B A B A ）（）（）（）（． 所以在这6人中任意选取2人，至少有1人在30岁以上的概率为53159=． 19.（Ⅰ）证明：ABC ∆Q 为正三角形，点D 为AC 的中点， ∴BD AC ⊥，∴BD ⊥面11ACC A ，从而BD DE ⊥．连接1EC ，Q 14AA AE =，12AB AA ==，∴12EA =，52ED =，2195242EC =+=，15C D =则22211EC ED C D =+，∴1ED C D ⊥，又1C D BD D =I ，∴DE ⊥平面1BDC ．（Ⅱ）Q 12AA AE =，∴112,5ED C D C E ==132C DE S ∆=， 由（Ⅰ）知BD ⊥面11ACC A ，所以BD 为三棱锥1B C DE -的高， 所以111113333322C EBD B C DE C DE V V S BD --∆==⋅=⨯=． 20. 解：（Ⅰ）由题意，max 11,()22322PAB c e S ab ab a ∆===⨯==222a b c =+. 解得2,3,1a b c ===.∴椭圆的标准方程为22143x y +=． （Ⅱ）假设存在定点(,0)D m ，使得向量DM DN ⋅u u u u r u u u r为定值n .①当直线l 的斜率不为0时，椭圆C 左焦点1(1,0)F -，设直线l 的方程为1x ty =-.联立221431x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去x ，得22(34)690t y ty +--=．设1122(,),(,)M x y N x y ，则12122269,3434t y y y y t t -+==++． 1122(,),(,)DM x m y DN x m y =-=-u u u u r u u u r，21212121212()()()DM DN x m x m y y x x m x x m y y ⋅=--+=-+++u u u u r u u u r2121212(1)(1)(()2)ty ty m t y y m y y =---+-++221212(1)(1)()(1)t y y m t y y m =+-++++222222229(1)6(1)(615)9(1)(1)343434t t m m t m m t t t -++---=-++=+++++． 若DM DN ⋅u u u u r u u u r 为定值n ，则615934m ---=，即118m =-，此时13564n =-． ②当直线l 的斜率为0时，11527135(20),(20),(,0),88864A B D DM DN --⋅=-⨯=-u u u u r u u u r ，，，亦符合题意； ∴存在点)0,811(-D ，使得向量DN DM ⋅为定值64135-=n . 21. 解：（Ⅰ）2222()2(0)x ax f x x a x x x-+'=+-=>． 令2()22h x x ax =-+，216a ∆=-．①当0a ≤时，0ax -≥，∴()()0h x f x x'=>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； ②当04a <≤时，2160a ∆=-≤，所以()0h x ≥，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； ③当4a >时，2160a ∆=->，令()0h x =，得221216160,0a a a a x x --+-=>=>， '12()0(0,)(,)f x x x x >⇒∈+∞U ；'12()0(,)f x x x x <⇒∈．所以，()f x 在()10,x 和()2+x ∞，上单调递增，在12(,)x x 单调递减． 综上，1o当1a ≤时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；2o 当1a >时，()f x 在()10,x 和()2,x +∞上单调递增，在12(,)x x 单调递减．（注：如果在每种情况中已说明函数在哪个区间上的单调性，不写综上不扣分；如果每种情况只解出不等式，最后没写综上扣1分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，[2,0)a ∈-时，函数()f x 在区间(0,1]上单调递增，所以当(0,1]x ∈时，函数()f x 的最大值是(1)3f a =-，对任意的[2,0)a ∈-，都存在0(0,1]x ∈，使得不等式202(1)()32a me a f x a a ++>++成立， 即对任意的[2,0)a ∈-，20max 2(1)()32a me a f x a a ++>++都成立，即对任意的[2,0)a ∈-，不等式22(1)410a me a a a +--+>都成立，记2()2(1)41ah a me a a a =+--+，则()2(2)242(2)(1)aah a me a a a me '=+--=+-．21[2,0),[,1)a a e e ∈-∴∈Q ，且20a +≥． ①当1m ≤时，10,()0ame h a '-<∴≤，即[2,0)a ∈-时，()h a 单调递减. ∴()0h a >，只需(0)0h ≥，解得12m ≥-，∴1[,1]2m ∈-． ②当1m >时，令()0h a '=得2a =-或ln a m =-，因为[2,0)a ∈-，所以2(2)0a +≥. （ⅰ）当21m e <<时，ln [2,0)m -∈-，当(2,ln )a m ∈--时，'()0h a <；当(ln ,0)a m ∈-时，'()0h a >，∴2min ()(ln )ln 2ln 30h a h m m m =-=-++>，解得31(,)m e e∈ ，∴2(1,)m e ∈．（ⅱ）当2m e ≥时，因为20a -≤<，所以211a e e≤<，所以1a me ≥，所以'()0h a ≥，则()h a在[2,0)-上单调递增，得2(2)520h me --=->，即252e m <，∴225[,)2e m e ∈. 综上，m 的取值范围是215[,)22e -． 22. 解：（Ⅰ）直线1C ： 2sin 3cos ()3R πρθρθθρ=-⇒=∈， 曲线2C 的普通方程为22(3)(2)1x y ++=． （Ⅱ）3C ： ()3R πθρ=∈，即3y x =．圆2C 的圆心到直线3C 的距离32122d -+==． 所以212134AB =-=． 23．解：（Ⅰ）因为()()()f x x a x b x a x b a b =++-≥+--=+， 当且仅当a x b -≤≤时，等号成立，所以()f x 的最小值为4a b +=． （Ⅱ）由（Ⅰ）知4a b +=，由柯西不等式得22211()(49)(23)164923a ba b ++≥⨯+⨯=．即221116()4913a b +≥，当且仅当113223ba =，即1636,1313ab ==时，等号成立．所以，221149a b +的最小值为1613．另法：因为4a b +=，所以4b a =-，则2222211(4)133264(04)494936a a a a ab a --++=+=<< 当1613a =时，221149a b +取最小值，最小值为1613．。
东北三省三校(辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中)高考数学三模试卷(文科)解析版
题号 得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 设集合 A={x∈Z|x2≤1}，B={-1，0，1，2}，则 A∩B=（ ）
A. {-1，1}
B. {0}
C. {-1，0，1}
D. [-1，1]
2. 设 z=（1-i）（2+i），则|z|=（ ）
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完成茎叶图，并计算实验后握力平均值比实验前握力的平均值下降了多少 N？ （Ⅱ）实验过程中测得时间 t（分）与 10 名实验对象前臂表面肌电频率（sEMG） 的中位数 y（Hz）的九组对应数据（t，y）为（0，87），（20，84），（40，86）， （60，79），（80，78），（100，78）（120，76），（140，77），（160，75） 建立 y 关于时间 t 的线性回归方程； （Ⅲ）若肌肉肌电水平显著下降，提示肌肉明显进入劳状态，根据（Ⅱ）中 9 组 数据分析，使用鼠标多少分钟就该进行休息了？
18. 如图，四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，△ACD 是边长为 2 的等边三角形，且 AB=BC= ，PA=2． （Ⅰ）求证：平面 PAC⊥平面 PBD； （Ⅱ）若点 M 是棱 PC 的中点，求直线 PD 与 BM 所成角的余弦值．
19. 现代社会，“鼠标手”已成为常见病．一次实验中，10 名实验对象进行 160 分钟 的连续鼠标点击游戏，每位实验对象完成的游戏关卡一样，鼠标点击频率平均为 180 次/分钟，实验研究人员测试了实验对象使用鼠标前后的握力变化，前臂表面肌 电频率（sEMG）等指标． （Ⅰ）10 名实验对象实验前、后握力（单位：N）测试结果如下： 实验前：346，357，358，360，362，362，364，372，373，376 实验后：313，321，322，324，330，332，334，343，350，361
【全国校级联考】东北师大附中、哈尔滨师大附中、辽宁省实验中学2017届高三下学期第四次联合模拟考
东北师大附中、哈尔滨师大附中、辽宁省实验中学2017届高三下学期第四次联合模拟考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则集合的子集的个数为（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】由题知，其子集的个数为．故本题答案选．2. 设复数是虚数单位），则复数的共轭复数是（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】．则．故本题答案选．3. 对于实数，若或，则是的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】原命题的逆否命题是：若，则，为真命题，则原命题也为真命题．即，由，但时有，即．故本题答案选．点睛：本题考查充要条件的判断，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，若，则是的充要条件；从集合的角度看，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，若，则是的充要条件，若是的真子集，则是的充分不必要条件，若是的真子集，则是的必要不充分条件. 4. 若，则（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】由二项展开式的通项公式，可知都小于．则．在原二项展开式中令，可得．故本题答案选．5. 据统计2016年“十一”黄金周哈尔滨太阳岛每天的游客人数服从正态分布，则在此期间的某一天，太阳岛的人数不超过2300的概率为（）附；若A. B. C. D.【答案】D【解析】游客人数服从正态分布，则由则，可得，所以．故本题答案选．...点睛：关于正态总体在某个区间内取值的概率的求法．要充分利用正态曲线的对称性和曲线与轴之间的面积为．且曲线是单峰的，它关于直线对称，从而关于对称的区间上概率相等．有，．6. 已知函数的部分图象如图所示，向图中的矩形区域随机投出粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数，通过次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数为，由此可估计的值约为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由定积分的几何意义知的值即为阴影部分面积，再由几何概型可知，解得．故本题答案选7. 已知正四棱锥中，分别是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】建立如图所示空间直角坐标系，可知．则，则．故本题答案选．8. 执行如图所示的程序框图，若输入，输出的值为，则判断框内可填入的条件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由程序框图的计数器，输入的值为，可知进行次循环不，由知，依次为，可知判断框内可填入的条件是．故本题答案选．9. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题；“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见末日行里数，请公子仔细算相还.”其意思为：“有一个人走了里路，第一天健步走行，从第二天起脚痛每天走的的路程且前一天的一半，走了天后到达目的地，请问题第六天走了” （）A.里 B. 里 C. 里 D. 里【答案】D【解析】由题知每天所走路程形成以为首项，公比为的等比数列，且前六项的和为，则，解得，则，即第六天走了里．故本题答案选．10. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体体积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由三视图知原几何体为一个半圆锥加处一个四棱锥．由三视图知半圆锥的底面半径为．则几何体的体积．故本题答案选．点睛：本题主要考查几何体的三视图.已知几何体的三视图,求组成此几何体的的实物图问题,进一步求几何体的表面积,体积等.一般都是结合正视图和侧视图在俯视图上操作,这是因为正视图反映了物体的长与高,侧视图反映了物体的宽与高,俯视图反映了物体的长与宽,但要注意组合体是由哪几个基本几何体生成的,并注意它们的生成方式,特别是它们的交线位置.11. 已知函数在上的最大值为，在上的最小值为，则（）A. B. C. D.【答案】D...【解析】当时，．则函数图象在区间上关于点成中心对称．则.故本题答案选．12. 是双曲线左支上一点，直线是双曲线的一条渐近线，在上的射影为是双曲线的右焦点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题知，则，由对称性，当在同一直线上时最小，由渐近线方程，知则的最小值为．故本题答案选．．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若圆过三点，则圆直径的长为__________．【答案】【解析】令圆的方程为，过三点，可得，解得．则．故本题应填．14. 已知平面向量的夹角为，且，若平面向量满足，则__________．【答案】【解析】不妨建立如图所示空间直角坐标系，由题可知，可设．由得，即．所以．故本题应填．15. 下列命题中，正确的命题有__________．①回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点；②将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变；③用相关指数来刻画回归效果，越接近，说明模型的拟合效果越好；④用系统抽样法从名学生中抽取容量为的样本，将名学生从编号，按编号顺序平均分成组（号，号，号），若第组抽出的号码为，则第一组中用抽签法确定的号码为号.【答案】【解析】回归直线恒过样本点的中心，不须过样本点；①错误；将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，数据的波动性不变，故方差不变；②正确；用相关指数来刻画回归效果，越接近，说明模型的拟合效果越好；③错误；④中系统抽样方法是正确的．故本题应选②④．16. 已知数列满足，则数列满足对任意的，都有，则数列的前项和__________．【答案】【解析】由题知，令，则，又，则．又，所以，两边同乘以得与式相减可得，则．对于数列即，利用错位相减法可得．故本题应填．...点睛：利用等差数列和等比数列通项公式及前项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法和分组求和法等，本题考查错位相减法求和. .此类题目是数列问题中的常见题型.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高.解答本题，布列方程组，确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 如图，一条巡逻船由南向北行驶，在处测得山顶在北偏东方向上，匀速向北航行分钟到达处，测得山顶位于北偏东方向上，此时测得山顶的仰角，若山高为千米，（1）船的航行速度是每小时多少千米？（2）若该船继续航行分钟到达处，问此时山顶位于处的南偏东什么方向？【答案】（1）航行速度是每小时千米.（2）山顶位于处南偏东.【解析】试题分析：（1）直角三角形中可求得的值，再由的正弦定理可求得的值，结合时间可求航行速度；（2）在中由余弦定理求得，再在中，由正弦定理，可得的正弦值，可确定的位置．试题解析：（1）在中，在中，由正弦定理得：，所以，船的航行速度是每小时千米.（2）在中，由余弦定理得：，在中，由正弦定理得：,所以，山顶位于处南偏东.18. 甲乙两家快递公司其“快递小哥”的日工资方案如下：甲公司规定底薪元，每单抽成元；乙公司规定底薪元，每日前单无抽成，超过单的部分每单抽成元（1）设甲乙快递公司的“快递小哥”一日工资（单位：元）与送货单数的函数关系式为，求；（2）假设同一公司的“快递小哥”一日送货单数相同，现从两家公司各随机抽取一名“快递小哥”，并记录其天的送货单数，得到如下条形图:若将频率视为概率，回答下列问题：①记乙快递公司的“快递小哥”日工资为（单位：元），求的分布列和数学期望；②小赵拟到两家公司中的一家应聘“快递小哥”的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由.【答案】（1）甲：，乙：（2）①见解析②推荐小赵去乙快递公式应聘.【解析】试题分析：（1）由分段函数可写出两快递小哥送货单数与工资的函数关系式；（2）①由条形统计图可得的可能取值范围，求出其对应的概率值，可得分布列，进一步求出其数学期望，②可求两个快递公司的快递小哥的日平均工资，推荐小赵去平均工资较高的公司上班．试题解析：（1）甲快递公式的“快递小哥”一日工资（单位：元）与送单数的函数关系式为：乙快递公式的“快递小哥”一日工资（单位：元）与送单数的函数关系式为：.（2）①记乙快递公司的“快递小哥”日工资为（单位：元），由条形图得的可能取值为，...，所以的分布列为：②乙快递公司的“快递小哥”日平均送单数为：，所以乙快递公司的“快递小哥”日平均工资为（元），由①知，甲快递公司的“快递小哥”日平均工资为元.故推荐小赵去乙快递公式应聘.19. 如图，三棱柱中，平面，且.（1）求证：；（2）若为的中点，求二面角平面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）利用所给条件可证平面，再由线面垂直的性质可得线线垂直；（2）以射线为正半轴建立空间直角坐标系，建立空间直角坐标系．由二面角与法向量夹角间的关系可得二面角平面角余弦．试题解析：（1）平面，所以,(2)过点作，因为平面，所以平面，又，以射线为正半轴建立空间直角坐标系，由，得，由，得，为的中点，所以，，平面的法向量，，平面的法向量，所以，设二面角的平面角为，由图知锐角，所以点睛：若分别二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小满足，二面角的平面角的大小是的夹角(或其补角，需根据观察得出结论)．在利用向量求空间角时，建立合理的空间直角坐标系，正确写出各点坐标，求出平面的法向量是解题的关键．20. 在平面直角坐标系中，是抛物线的焦点，是抛物线上的任意一点，当位于第一象限内时，外接圆的圆心到抛物线准线的距离为.（1）求抛物线的方程；（2）过的直线交抛物线于两点，且，点为轴上一点，且，求点的横坐标的取值范围....【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由抛物线的定义与圆的性质，可求出圆心到准线的距离用表示，可得值；（2）设，再由向量间关系可得坐标间关系，令直线与抛物线方程联立，利用韦达定理，可得中点坐标，求出直线的垂直平分线方程，可求得点横坐标，进一步求出其取值范围．试题解析：根据题意，点在的垂直平分线上，所以点到准线的距离为，所以.（2）设，设直线代入到中得，所以，又中点，所以直线的垂直平分线的方程为，可得.21. 已知在点处的切线方程为.（1）求的值及在上的单调区间；（2）若，且，求证.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）由函数在某点坐标，和导数值等于切线的斜率可得两个关于的方程组，解得值，再利用导数与函数单调性的关系，解不等式可得单调区间；（2）构造函数，求导，判断函数的单调性，利用函数的单调性可证结果．试题解析：（1），所以，①当时，，所以在为增函数；②当时，，所以在为减函数；（2）由（1）得在为增函数，在上为减函数，所以，由在恒为负，，设，则，所以，所以在递增，，当时，，所以，又，所以，又在上为减函数，所以，所以，所以，所以....点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系。
哈尔滨师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学 2017届高三下学期第二次联合模拟考试数学(文)试题
2017二模文科数学答案一、 选择题ACCBD BCCBD BC二、 填空题13.25 14.± 15.3 16.3 三、 解答题17.（12分）（1）121n n a a n +=-+ ，1(1)2()n n a n a n +∴-+=-，12n n b b +=即{}1112,n b a b =-=∴又数列是以2为首项，2为公比的等比数列 (6)分（2）111(1)22n n n n b a n a -=-=-⋅=由（）知11211(21)(21)2121n n n n n n c ++==-++++…………………………………………………………10分223111111111112121212121213213n n n n T ++∴=-+-++-=-<+++++++……………………………………………………………………………………………12分18. （12分）（1）3x =，50y =,………………………………………………………………………………1分-220+(-1)15+0+1(-12)+2(-28)ˆ12.341014b ==-++++ （）错误！未找到引用源。
……………………4分ˆ5012.3386.9a =+⨯= ………………………………………………………………5分所以：ˆ12.386.9yx =-+错误！未找到引用源。
; …………………………………………………………6分（2）年利润2(86.912.3)13.112.373.8z x x x x x =--=-+ ………………9分 所以3x =时，年利润Z 最大. …………………………………………………………12分19. （12分）（1）1AD 连111111111111//21////2////AB CD D E C D D E AB BE AD CD C D BE CD AD AB CD AD AB CD CD ADD A CD AD DD CD ⎫⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⇒⇒⎬⎪⎪⎪⎪⎪⇒⊥⎬⎪⎭⎪⎪⎫⊥⎫⎪⇒⊥⎬⎪⎪⇒⊥⇒⊥⎬⎭⎪⎪⊥⎪⎭⎭平面直棱柱中…………………………………………………………………………………6分（2）2AC BM O FO AB Q AQ AB == 设，连，延长至，使//AQCD 2AB CDAD AB CD AD AB ⎫⎪⊥⇒⇒⊥⎬⎪==⎭四边形为正方形AC QD ,,M B AD AQ AC MB AC FBM AC FOAC FB FO FBM ⎫⊥⎫⇒⊥⎪⎬⇒⊥⊥⎬⎭⎪⊂⎭又为的中点，所以平面 已知 平面111,//A AC AA AC FO AA ⊥平面中所以1,,,AA ABCD FO ABCD FO MBC FO F MBC ⊥⊥⊥-直棱柱中平面所以平面平面所以为棱锥的高……10分111333//442FO CO FO AA FO AA AA AC ⇒==⇒==11333(32424V == 所以………………………………………………………12分20. （12分）2114y x y =+⇒= …………………………………………………………4分（2）设()()1122,,A x y B x y ，直线:1m y kx =+将:1m y kx =+代入24x y =中得2440x kx --=所以124x x k +=，124x x ⋅=-……………………………………………………………………6分 2x y '= 得切线：()21111:42x x l y x x -=- ()22212:42x x l y x x -=- 1212(),(2,1)24x x x x M M k +-联立得：即……………………………………………………8分22124(1),AB x k d =-=+=………………………………………………10分322min 14(1) 042S AB d k k S ==+==时，……………………………………………………12分21. （12分）（1）1a =- 时()()'1x x x f x xe e e x ---=-+=-()f x 在()1-∞，递增，()1+∞，递减()()max1f x f ∴=，1为()f x 最大值点，即01x = …………………………………………………………………………2分 ()'11,0kx g x k k x x +=+=≥时()g x 在()0+∞，增 ()f x 无最值 0k < 时10-k ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 增1-,k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭减()g x 最大值为111g k k ⎛⎫-∴-= ⎪⎝⎭1k ∴=-，01x =………………4分 （2）()ln 1x h x xe x x =---设，()()()'1111x x x h x x e x e x x +⎛⎫=+-=+⋅- ⎪⎝⎭ ()()'211,0()x x u x e u x e u x x x=-=+>∴设，递增()0011()20,(1)10,,1022u u e x u x ⎛⎫=<=->∴∃∈= ⎪⎝⎭，使………………6分 00000110,,ln x x e e x x x x -=∴==-即且……………………………………………8分 所以()h x 在()()000,,x x +∞递减，在递增()()0000000min ln 11ln 10x h x h x x e x x x x ==---=---=()ln 10ln 1,()()x x h x xe x x xe x x f x g x ∴=---≥∴≥++≥恒成立即…………………………………………………12分22. （10分）（1）:sin()3l πρθ⋅+=6πθ=时，)6A πρ= 3πθ=时，4,(4,)3A πρ=∴,4366AOB OA OB πππ∠=-===,||22BAO AB π∴∠=∴= …………………………………………………………………………………5分（2）l y +=cos :3sin x C y αα=⎧⎨=⎩|+62d πα∴=≤当且仅当+=2k -62ππαπ，即223k αππ=-时取“=”11||222ABC S AB d ∴=⋅≤⋅⋅= ………10分23. （10分）：1 12x ≤-当时，121236112x x x x ---+≤⇒≥-⇒-≤≤-2 1322x -<<当时，132123622x x x +-+≤⇒-≤<恒成立 3 32x ≥当时，342622x x -≤⇒≤≤ [1,2]-解集为 ………………………………………………………………………………………………6分（2）()24|2|8f x x a x a ≥+-⇔+≤即828x a -≤+≤1828a a -≥-⎧⇒⎨+≤⎩ 76a ⇒-≤≤ ……………………………………………………………………………………………………10分。
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2017年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）设复数z满足z•（1+i）=2i（i是虚数单位），则|z|=（）A．B．2 C．1 D．2．（5分）A={x|y=lg（x2+3x﹣4）}，，则A∩B=（）A．（0，2]B．（1，2]C．[2，4） D．（﹣4，0）3．（5分）下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）单调递减的函数是（）A．y=﹣x3B．y=ln|x|C．y=cosx D．y=2﹣|x|4．（5分）等比数列{a n}，若a12=4，a18=8，则a36为（）A．32 B．64 C．128 D．2565．（5分）已知，且，则sin2α的值为（）A．B．C．D．6．（5分）下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图时，若输入a，b分别为18，27，则输出的a=（）A．0 B．9 C．18 D．547．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．8．（5分）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，则3位男生中有且只有2位男生相邻的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）已知AB⊥AC，AB=AC，点M满足，若，则t的值为（）A．B．C．D．10．（5分）中心在原点的椭圆C1与双曲线C2具有相同的焦点，F1（﹣c，0），F2（c，0），P为C1与C2在第一象限的交点，|PF1|=|F1F2|且|PF2|=5，若椭圆C1的离心率，则双曲线的离心率e2的范围是（）A．B． C．（2，3） D．11．（5分）三棱锥P﹣ABC中，底面△ABC满足BA=BC，，P在面ABC的射影为AC的中点，且该三棱锥的体积为，当其外接球的表面积最小时，P 到面ABC的距离为（）A．2 B．3 C．D．12．（5分）设函数，若曲线上存在（x0，y0），使得f（f（y0））=y0成立，则实数m的取值范围为（）A．[0，e2﹣e+1]B．[0，e2+e﹣1]C．[0，e2+e+1] D．[0，e2﹣e﹣1]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）.13．（5分）某校有男教师80人，女教师100人现按男、女比例采用分层抽样的方法从该校教师中抽取x 人参加教师代表大会，若抽到男教师12人，则x= ．14．（5分）平面上，点A 、C 为射线PM 上的两点，点B 、D 为射线PN 上的两点，则有（其中S △PAB 、S △PCD 分别为△PAB 、△PCD 的面积）；空间中，点A 、C 为射线PM 上的两点，点B 、D 为射线PN 上的两点，点E 、F 为射线PL 上的两点，则有= （其中V P ﹣ABE 、V P ﹣CDF 分别为四面体P ﹣ABE 、P﹣CDF 的体积）．15．（5分）已知数列{a n }满足，则{a n }的前50项的和为 ．16．（5分）已知圆C ：x 2+y 2=25，过点M （﹣2，3）作直线l 交圆C 于A ，B 两点，分别过A ，B 两点作圆的切线，当两条切线相交于点N 时，则点N 的轨迹方程为 ．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（12分）已知是函数f （x ）=msinωx ﹣cosωx （m ＞0）的一条对称轴，且f （x ）的最小正周期为π（Ⅰ）求m 值和f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）设角A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，对应边分别为a ，b ，c ，若f （B ）=2，，求的取值范围．18．（12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超过x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）若将频率视为概率，从该城市居民中随机抽取3人，记这3人中月均用水量不低于3吨的人数为X，求X的分布列与数学期望．（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x 的值（精确到0.01），并说明理由．19．（12分）如图，在棱台ABC﹣FED中，△DEF与△ABC分别是棱长为1与2的正三角形，平面ABC⊥平面BCDE，四边形BCDE为直角梯形，BC⊥CD，CD=1，N为CE中点，．（Ⅰ）λ为何值时，MN∥平面ABC？（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求直线AN与平面BMN所成角的正弦值．20．（12分）已知椭圆的右焦点为F，过椭圆C中心的弦PQ长为2，且∠PFQ=90°，△PQF的面积为1．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设A1、A2分别为椭圆C的左、右顶点，S为直线上一动点，直线A1S交椭圆C于点M，直线A2S交椭圆于点N，设S1、S2分别为△A1SA2、△MSN 的面积，求的最大值．21．（12分）已知f（x）=e2x+ln（x+a）．（1）当a=1时，①求f（x）在（0，1）处的切线方程；②当x≥0时，求证：f （x）≥（x+1）2+x．（2）若存在x0∈[0，+∞），使得成立，求实数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴且单位长度相同的极坐标系中曲线C1：ρ=1，（t为参数）．（Ⅰ）求曲线C1上的点到曲线C2距离的最小值；（Ⅱ）若把C1上各点的横坐标都扩大为原来的2倍，纵坐标扩大为原来的倍，得到曲线．设P（﹣1，1），曲线C2与交于A，B两点，求|PA|+|PB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知x，y∈R．（Ⅰ）若x，y满足，，求证：；（Ⅱ）求证：x4+16y4≥2x3y+8xy3．2017年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）设复数z满足z•（1+i）=2i（i是虚数单位），则|z|=（）A．B．2 C．1 D．【解答】解：由z•（1+i）=2i，得，则|z|=．故选：A．2．（5分）A={x|y=lg（x2+3x﹣4）}，，则A∩B=（）A．（0，2]B．（1，2]C．[2，4） D．（﹣4，0）【解答】解：A={x|y=lg（x2+3x﹣4）}={x|x2+3x﹣4＞0}={x|x＞1或x＜﹣4}，={y|0＜y≤2}，则A∩B=（1，2]，故选：B．3．（5分）下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）单调递减的函数是（）A．y=﹣x3B．y=ln|x|C．y=cosx D．y=2﹣|x|【解答】解：A．y=﹣x3是奇函数，不是偶函数，∴该选项错误；B．x∈（0，+∞）时，y=ln|x|=lnx单调递增，∴该选项错误；C．y=cosx在（0，+∞）上没有单调性，∴该选项错误；D．y=2﹣|x|是偶函数；x∈（0，+∞）时，单调递减，∴该选项正确．故选：D．4．（5分）等比数列{a n}，若a12=4，a18=8，则a36为（）A．32 B．64 C．128 D．256【解答】解：∵数列{a n}为等比数列，∴a182=a12a24，∵a12=4，a18=8，a12，a18，a24同号∴a24=16．∴由a242=a12a36，得：a36=64，故选：B．5．（5分）已知，且，则sin2α的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵，且，∴2（cos2α﹣sin2α）=（cosα+sinα），∴cosα﹣sinα=，或cosα+sinα=0．当cosα﹣sinα=，则有1﹣sin2α=，sin2α=；∵α∈（0，），∴cosα+sinα=0不成立，故选：C．6．（5分）下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图时，若输入a，b分别为18，27，则输出的a=（）A．0 B．9 C．18 D．54【解答】解：由a=18，b=27，不满足a＞b，则b变为27﹣18=9，由b＜a，则a变为18﹣9=9，由a=b=9，则输出的a=9．故选：B．7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图可知，该几何体是底面为边长为2的正方形，一条侧棱垂直底面的四棱锥，高为2，故其体积V=，故选：A8．（5分）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，则3位男生中有且只有2位男生相邻的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：从3名男生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有C32A22=6种不同排法），剩下一名男生记作B，将A，B插入到3名女生全排列后所成的4个空中的2个空中，故有C32A22A42A33=432种，3位男生和3位女生共6位同学站成一排，有A66=720种，∴3位男生中有且只有2位男生相邻的概率为，故选C．9．（5分）已知AB⊥AC，AB=AC，点M满足，若，则t的值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（0，0）．不妨设C（3，0），B（0，3），∵点M满足，∴点M在BC上．设|AM|=a，则acos+a=3，解得a=3﹣3．∴M．∵点M满足，∴=0+（1﹣t）×3，解得t=．故选：C．10．（5分）中心在原点的椭圆C1与双曲线C2具有相同的焦点，F1（﹣c，0），F2（c，0），P为C1与C2在第一象限的交点，|PF1|=|F1F2|且|PF2|=5，若椭圆C1的离心率，则双曲线的离心率e2的范围是（）A．B． C．（2，3） D．【解答】解：设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），其离心率为e1，双曲线的方程为﹣=1（m＞0，n＞0），其离心率为e2，|F1F2|=2c，∵有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF2为底边的等腰三角形，∴在椭圆中，|PF1|+|PF2|=2a，而|PF1|=|F1F2|=2c，∴|PF2|=2a﹣2c，①同理，在该双曲线中，|PF2|=2c﹣2m；②由①②可得m=2c﹣a．∵e1=∈（，），∴＜＜，又e2====∈（2，3）．故选：C．11．（5分）三棱锥P﹣ABC中，底面△ABC满足BA=BC，，P在面ABC的射影为AC的中点，且该三棱锥的体积为，当其外接球的表面积最小时，P 到面ABC的距离为（）A．2 B．3 C．D．【解答】解：设AC的中点为D，连接BD，PD，则PD⊥平面ABC，∵△ABC是等腰直角三角形，∴外接球的球心O在PD上，设AB=BC=a，PD=h，外接球半径OC=OP=R，则OD=h﹣R，CD=AC=a，∵V P===，∴a2=，﹣ABC∵CD2+OD2=OC2，即（h﹣R）2+a2=R2，∴R===≥3=，当且仅当即h=3时取等号，∴当外接球半径取得最小值时，h=3．故选：B．12．（5分）设函数，若曲线上存在（x0，y0），使得f（f（y0））=y0成立，则实数m的取值范围为（）A．[0，e2﹣e+1]B．[0，e2+e﹣1]C．[0，e2+e+1] D．[0，e2﹣e﹣1]【解答】解：∵﹣1≤cosx≤1，∴的最大值为e，最小值为1，∴1≤y0≤e，显然f（x）=是增函数，（1）若f（y0）＞y0，则f（f（y0））＞f（y0）＞y0，与f（f（y0））=y0矛盾；（2）若f（y0）＜y0，则f（f（y0））＜f（y0）＜y0，与f（f（y0））=y0矛盾；∴f（y0）=y0，∴y0为方程f（x）=x的解，即方程f（x）=x在[1，e]上有解，由f（x）=x得m=x2﹣x﹣lnx，令g（x）=x2﹣x﹣lnx，x∈[1，e]，则g′（x）=2x﹣1﹣==，∴当x∈[1，e]时，g′（x）≥0，∴g（x）在[1，e]上单调递增，∴g min（x）=g（1）=0，g max（x）=g（e）=e2﹣e﹣1，∴0≤m≤e2﹣e﹣1．故选D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）.13．（5分）某校有男教师80人，女教师100人现按男、女比例采用分层抽样的方法从该校教师中抽取x 人参加教师代表大会，若抽到男教师12人，则x= 27 ． 【解答】解：由题意可得=，即x=27， 故答案为：2714．（5分）平面上，点A 、C 为射线PM 上的两点，点B 、D 为射线PN 上的两点，则有（其中S △PAB 、S △PCD 分别为△PAB 、△PCD 的面积）；空间中，点A 、C 为射线PM 上的两点，点B 、D 为射线PN 上的两点，点E 、F 为射线PL上的两点，则有=（其中V P ﹣ABE 、V P ﹣CDF 分别为四面体P ﹣ABE 、P ﹣CDF 的体积）．【解答】解：设PM 与平面PDF 所成的角为α，则A 到平面PDF 的距离h 1=PAsinα，C 到平面PDF 的距离h 2=PCsinα， ∴V P ﹣ABE =V A ﹣PBE ==， V P ﹣CDF =V C ﹣PDF ==，∴=． 故答案为：．15．（5分）已知数列{a n }满足，则{a n }的前50项的和为1375．【解答】解：当n是奇数时，cosnπ=﹣1；当n是偶数时，cosnπ=1．则a n=（﹣1）n（n2+4n）=（﹣1）n n2+（﹣1）n×4n，{a n}的前50项的和S50=a1+a2+a3+…+a50，=（﹣12+22﹣32+42﹣…+502）+4（﹣1+2﹣3+4﹣…+50），=（1+2+3+4+…+50）+4×25，=1275+100，=1375，故答案为：137516．（5分）已知圆C：x2+y2=25，过点M（﹣2，3）作直线l交圆C于A，B两点，分别过A，B两点作圆的切线，当两条切线相交于点N时，则点N的轨迹方程为2x﹣3y﹣25=0．【解答】解：设A（m，n），N（x，y），根据圆的对称性可得N点是经过C点垂直于AB的直线与A点切线的交点∵圆x2+y2=2的圆心为C（0，0）∴切线AN的斜率为k1=﹣=﹣，得得AN方程为y﹣n=﹣（x﹣m），化简得y=﹣x+…①又∵直线MA的斜率k MA=，∴直线CN的斜率k2=﹣=，得直线CN方程为y=x…②①②联解，消去m、n得2x﹣3y﹣25=0，即为点N轨迹所在直线方程．故答案为：2x﹣3y﹣25=0．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知是函数f（x）=msinωx﹣cosωx（m＞0）的一条对称轴，且f（x）的最小正周期为π（Ⅰ）求m值和f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设角A，B，C为△ABC的三个内角，对应边分别为a，b，c，若f（B）=2，，求的取值范围．【解答】解：函数f（x）=msinωx﹣cosωx（m＞0）化简可得：f（x）=sin（ωx+θ），其中tanθ=﹣．∵f（x）的最小正周期为π，即T=π=，∴ω=2．又∵是其中一条对称轴，∴2×+θ=k，k∈Z．可得：θ=，则tan（kπ﹣）=﹣．m＞0，当k=0时，tan=∴m=．可是f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x﹣），令2x﹣，k∈Z，得：≤x≤，所以f（x）的单调递增区间为[，]，k∈Z．（2）由f（B）=2sin（2B﹣）=2，可得2B﹣=，k∈Z，∵0＜B＜π，∴B=由正弦定理得：=2sinA﹣sin（A+）=sinA﹣cosA=sin（A﹣）∵0∴A﹣∈（，）∴的取值范围是（，），18．（12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超过x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）若将频率视为概率，从该城市居民中随机抽取3人，记这3人中月均用水量不低于3吨的人数为X，求X的分布列与数学期望．（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x 的值（精确到0.01），并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）根据频率和为1，得（0.06+0.18+2a+0.42+0.52+0.11+0.06+0.03）×0.5=1，解得a=0.30；（Ⅱ）月均用水量不低于3吨的频率为（0.11+0.06+0.03）×0.5=0.1，则p=0.1，抽取的人数为X，则X的可能取值为0，1，2，3；∴P（X=0）=•0.93=0.729，P（X=1）=•0.1•0.92=0.243，P（X=2）=•0.12•0.9=0.027，P（X=3）=•0.13=0.001；∴X的分布列为数学期望为EX=0×0.729+1×0.243+2×0.027+3×0.001=0.3；（Ⅲ）由图可知，月均用水量小于2.5吨的居民人数所占的百分比为0.5×（0.06+0.18+0.3+0.42+0.52）=0.73，即73%的居民月均用水量小于2.5吨；同理，88%的居民月均用水量小于3吨；故2.5＜x＜3，假设月均用水量平均分布，则x=2.5+0.5×=2.9（吨），即85%的居民每月用水量不超过标准为2.9吨．19．（12分）如图，在棱台ABC﹣FED中，△DEF与△ABC分别是棱长为1与2的正三角形，平面ABC⊥平面BCDE，四边形BCDE为直角梯形，BC⊥CD，CD=1，N为CE中点，．（Ⅰ）λ为何值时，MN∥平面ABC？（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求直线AN与平面BMN所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）当，即M为AF中点时MN∥平面ABC．事实上，取CD中点P，连接PM，PN，∵AM=MF，CP=PD，∴MP∥AC，∵AC⊂平面ABC，MP⊄平面ABC，∴MP∥平面ABC．由CP∥PD，CN∥NE，得NP∥DE，又DE∥BC，∴NP∥BC，∵BC⊂平面ABC，NP⊄平面ABC，∴NP∥平面ABC．∴平面MNP∥平面ABC，则MN∥平面ABC；（Ⅱ）取BC中点O，连OA，OE，∵AB=AC，OB=OC，∴AO⊥BC，∵平面ABC⊥平面BCDE，且AO⊂平面ABC，∴AO⊥平面BCDE，∵OC=，BC∥ED，∴OE∥CD，又CD⊥BC，∴OE⊥BC．分别以OE，OC，OA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．则A（0，0，），C（0，1，0），E（1，0，0），，∴F（1，，），M（，，），N（）．设为平面BMN的法向量，则，取z=1，得．cos＜＞=．∴直线AN与平面MNB所成角的正弦值为．20．（12分）已知椭圆的右焦点为F，过椭圆C中心的弦PQ长为2，且∠PFQ=90°，△PQF的面积为1．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设A1、A2分别为椭圆C的左、右顶点，S为直线上一动点，直线A1S交椭圆C于点M，直线A2S交椭圆于点N，设S1、S2分别为△A1SA2、△MSN 的面积，求的最大值．【解答】解：（Ⅰ）弦PQ过椭圆中心，且∠PFQ=90°，则c=丨OF丨=丨PQ丨=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）不妨设P（x0，y0）（x0，y0＞0），∴，△PQF的面积=×丨OF丨×2y0=y0=1，则x0=1，b=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）a2=b2+c2=2，∴椭圆方程为+y2=1；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）设S（2，t），直线A1S：x=y﹣，则，整理（+2）y2﹣y=0，解得y1=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）同理，设直线A2S：x=y+，得（+2）y2+y=0，解得y1=﹣，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）则=丨×丨﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）≤×=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）当且仅当t2+9=3t2+3，即t=±时取“=”﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）21．（12分）已知f（x）=e2x+ln（x+a）．（1）当a=1时，①求f（x）在（0，1）处的切线方程；②当x≥0时，求证：f （x）≥（x+1）2+x．（2）若存在x0∈[0，+∞），使得成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）a=1时，f（x）=e2x+ln（x+1），f′（x）=2e2x+，①可得f（0）=1，f′（0）=2+1=3，所以f（x）在（0，1）处的切线方程为y=3x+1；②证明：设F（x）=e2x+ln（x+1）﹣（x+1）2﹣x（x≥0），F′（x）=2e2x+﹣2（x+1）﹣1F″（x）=4e2x﹣﹣2=[e2x﹣﹣]+2（e2x﹣1）+e2x＞0，（x≥0），所以，F′（x）在[0，+∞）上递增，所以F′（x）≥F′（0）=0，所以，F（x）在[0，+∞）上递增，所以F（x）≥F（0）=0，即有当x≥0时，f（x）≥（x+1）2+x；（2）存在x0∈[0，+∞），使得成立⇔存在x0∈[0，+∞），使得e﹣ln（x0+a）﹣x02＜0，设u（x）=e2x﹣ln（x+a）﹣x2，u′（x）=2e2x﹣﹣2x，u″（x）=4e2x+﹣2＞0，可得u′（x）在[0，+∞）单调增，即有u′（x）≥u′（0）=2﹣①当a≥时，u′（0）=2﹣≥0，可得u（x）在[0，+∞）单调增，则u（x）min=u（0）=1﹣lna＜0，解得a＞e；②当a＜时，ln（x+a）＜ln（x+），设h（x）=x﹣﹣ln（x+），（x＞0），h′（x）=1﹣=，另h′（x）＞0可得x＞，h′（x）＜0可得0＜x＜，则h（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．则h（x）≥h（）=0．设g（x）=e2x﹣x2﹣（x﹣），（x＞0），g′（x）=2e2x﹣2x﹣1，g″（x）=4e2x﹣2＞4﹣2＞0，可得g′（x）在（0，+∞）单调递增，即有g′（x）＞g′（0）=1＞0，则g（x）在（0，+∞）单调递增，则g（x）＞g（0）＞0，则e2x﹣x2＞x﹣＞ln（x+）＞ln（x+a），则当a＜时，f（x）＞2ln（x+a）+x2恒成立，不合题意．综上可得，a的取值范围为（e，+∞）．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴且单位长度相同的极坐标系中曲线C1：ρ=1，（t为参数）．（Ⅰ）求曲线C1上的点到曲线C2距离的最小值；（Ⅱ）若把C1上各点的横坐标都扩大为原来的2倍，纵坐标扩大为原来的倍，得到曲线．设P（﹣1，1），曲线C2与交于A，B两点，求|PA|+|PB|．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C1：ρ=1，∴曲线C1的直角坐标方程为：x2+y2=1，∴圆心为（0，0），半径为r=1，（t为参数）消去参数t的C2：y=x+2，（2分）∴圆心到直线距离d=，（3分）∴曲线C1上的点到曲线C2距离的最小值为．（5分）（Ⅱ）∵把C1上各点的横坐标都扩大为原来的2倍，纵坐标扩大为原来的倍，得到曲线．∴伸缩变换为，∴曲线：=1，（7分）（t为参数）代入曲线，整理得．∵t1t2＜0，（8分）∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|=．（10分）[选修4-5：不等式选讲]23．已知x，y∈R．（Ⅰ）若x，y满足，，求证：；（Ⅱ）求证：x4+16y4≥2x3y+8xy3．【解答】证明：（Ⅰ）利用绝对值不等式的性质得：|x|=[|2（x﹣3y）+3（x+2y）|]≤[|2（x﹣3y）|+|3（x+2y）|]＜（2×+3×）=；（Ⅱ）因为x4+16y4﹣（2x3y+8xy3）=x4﹣2x3y+16y4﹣8xy3=x3（x﹣2y）+8y3（2y﹣x）=（x﹣2y）（x3﹣8y3）=（x﹣2y）（x﹣2y）（x2+2xy+4y2）=（x﹣2y）2[（x+y）2+3y2]≥0，∴x4+16y4≥2x3y+8xy3。