勾股定理1
人教版八年级数学下册_第一节《勾股定理》勾股定理
下列说法中,正确的是
（
）
下列说法中,正确的是
（
）
2.你还有什么疑问，问问老师。 通过前面的探究活动，你发现了直角三角形三边之间的关系规律了吗？
（1）若a=6，b=8，则c=
.
通过前面的探究活动，你发现了直角三角形三边之间的关系规律了吗？
在Rt△ABC中，∠C=90°.
思考：在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位1)：
1.本节课你有什么收获？你学到了什么？ 在Rt△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10，则b=
.
通过前面的探究活动，你发现了直角三角形三边之间的关系规律了吗？
思考 正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？
说给大家听听。 如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
（2）若c=13，b=12，则a=
.
在Rt△ABC中，两直角边长分别为3和 ，则斜边长为
.
第1课时 勾股定理
思考：在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位1)：
9
13
右图 16
9
25
Hale Waihona Puke 思考 正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边之 间有怎样的特殊关系？
通过前面的探究活动，你发现了直角三角形
在Rt△ABC中，∠C=90°.
三边之间的关系规律了吗？ 在Rt△ABC中，两直角边长分别为3和 ，则斜边长为
.
已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2
勾股定理(1)教学设计与反思
2.1勾股定理（1）教学设计及反思江西省东乡县实验中学黄树华一、教材分析（一）教材的地位与作用勾股定理（1）是九年制义务教育初级中学教材北师大版七年级第二章第一节《探索勾股定理》第一课时，勾股定理是数学中几个重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三边的数量关系。
它在数学的发展中起着重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用。
学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。
（二）教学目标基于以上分析和数学课程标准的要求，制定了本节课的教学目标。
1、知识目标：了解勾股定理的文化背景，掌握勾股定理的内容，体验勾股定理的探索过程及定理简单应用，了解利用拼图验证勾股定理的方法；2、能力目标：让同学们经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程，在定理的证明中培养学生的拼图能力，体会“从特殊到一般”和“数形结合”的数学思想；3、情感目标：通过对勾股定理历史的了解，发展学生的探究意识和合作交流的良好学习习惯，感受数学价值，激发学生热爱祖国悠久文化的情感，培养他们的民族自豪感；（三）教学重、难点重点：探索勾股定理及定理的简单应用；难点：用拼图方法证明勾股定理；二、学情分析学生对几何图形的观察，几何图形的分析能力已初步形成。
部分学生解题思维能力比较高，能够正确归纳所学知识，通过学习小组讨论交流，能够形成解决问题的思路。
现在的学生已经厌倦教师单独的说教方式，希望教师设计便于他们进行观察的几何环境，给他们自己探索、发表自己见解和展示自己才华的机会，更希望教师满足他们的创造愿望。
三、教学策略本节课采用探究发现式教学，由浅入深，由特殊到一般地提出问题，鼓励学生采用观察分析、自主探索、合作交流的学习方法，让学生经历数学知识的形成与应用过程。
四、教学流程（一）创设情境，引入课题活动1：问题（1）：如图1，某年10月份的一次强台风把小明家门前的一棵5米高的大树从2米处折断了，折断的树枝会不会打到停在大树旁2.5米处的小轿车呢？为什么？（师生互动：教师提出问题，学生思考。
9-勾股定理1
（1）已知直角三角形的两边求第三边（在 中， ，则 ， ， ）
（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边
（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题
【典型例题】
题型一：勾股定理的判定
例1:已知一个三角形的周长为12，其中两边长分别为3和4，则此三角形是（）三角形。
（2）.在 ABC中，若 =（ + ）（ - ），则 ABC是三角形，且 .
小试牛刀：
1、已知 与 互为相反数，试判断以 、 、 为三边的三角形的形状。
2、.若 ABC的三边 、 、 满足条件 ，试判断 ABC的形状。
3.已知 则以 、 、 为边的三角形是
例4：已知如图，在△ABC中，∠C=60°，AB= ，AC=4，AD是BC边上高，求BC的长。
4、如图，直线 上有三个正方形 ，若 的面积分别为5和11，则 的面积为（ ）
（Ａ）4（Ｂ）6（Ｃ）16（Ｄ）55
5、一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法.如图，火柴盒的一个侧面 倒下到 的位置，连结 ，设 ，请利用四边形 的面积证明勾股定理： .
6、（2010年辽宁省丹东市）图①是一个边长为 的正方形，小颖将
A、25海里B、30海里C、35海里D、40海里
3.勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；
联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
【典型例题】
题型一：直接考查勾股定理及逆定理
例1.在 中中，
⑴已知 ， ．求 的长⑵已知 ， ，求 的长分析：
直角三角形-勾股定理1上海学
第 讲 勾股定理知识点睛1、勾股定理：如果直角三角形的两直角边上分别为a, b ，斜边长为c ，那么222a b c +=。
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的证明方法：法1（赵爽：内弦图）：甲的面积=（大正方形面积）-（4个直角三角形面积）．法2（赵爽：外弦图）：：四个直角三角形的面积和 +小正方形的面积 =大正方形的面积，222()ab a b c +-=，22222ab a ab b c +-+=，∴222a b c +=法3（美国第20任总统伽菲尔德的证法）：2111()()2222a b a b ab c ++=⨯+ 梯形面积=三个直角三角形的面积和22()2a b ab c +=+ 22222a ab b ab c ++=+∴222a b c +=法4（毕达哥拉斯的旋转证法）：若设AB=a ，BC=b ，DB=c ，则梯形A′B′BC 面积()()()21122S a b a b a b =++=+梯形ABBC ， 又"""2111222BCD A B D DBB S S S S ab c ab ∆∆∆=++=++""梯形A B BC ，所以()2211112222a b ab c ab +=++，则22222a b ab c ab ++=+，即222a b c +=。
甲c ccbababa cb acb acb aab ca bcb-ab-acc cc甲丙乙ab cabc法5（新娘图法）：用方格来验证勾股定理法6（欧几里得证法）：如图2-16所示．在Rt△ABC的外侧，以各边为边长分别作正方形ABDE，BCHK，ACFG，它们的面积分别是c2，a2，b2．下面证明，大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和．过C引CM∥BD，交AB于L，连接BG，CE．因为AB=AE，AC=AG，∠CAE=∠BAG，所以△ACE≌△AGB(SAS)．而所以 S AEML=b2，同理可证 S BLMD=a2．相加得S ABDE=S AEML+S BLMD=b2+a2，即 c2=a2+b2．法7：如图2-18．在直角三角形ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE，延长CB，自E作EG⊥CB延长线于G，自D作DK⊥CB延长线于K，又作AF， DH分别垂直EG于F，H．由作图不难证明，下述各直角三角形均与Rt△ABC全等：△AFE≌△EHD≌△BKD≌△ACB．设五边形ACKDE的面积为S，一方面S=S ABDE+2S△ABC，另一方面S=S ACGF+S HGKD+2S△ABC，相加得所以 c2=a2+b2．练习：用下面各图验证勾股定理(虚线代表辅助线)：（1）赵君卿图(图2-27)； (2)项名达图(2-28)； (3)杨作枚图(图2-29)．CBA3、由勾股定理的基本关系式222a b c +=，还可得到一些变形关系式如：22c a b =+，222()()a c b c b c b =-=+-，22a c b =-，222()()b c a c a c a =-=+-，22b c a =-等。
《勾股定理》PPT优质课件(第1课时)
A． 3
B．3
C． 5
D．5
E
课堂检测
基础巩固题
1. 若一个直角三角形的两直角边长分别为9和12，则斜边的
长为（ C）
A.13
B.17
C. 15
D.18
2.若一个直角三角形的斜边长为17，一条直角边长为15，则
另一直角边长为（ A ）
A.8
B.40
C.50
D.36
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，若a︰b=3︰4，c=100，则 a= _6_0___，b = __8_0___.
课堂检测
4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角 形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面 积之和为_____4_9_____cm2 ．
C D
B A
7cm
课堂检测
能力提升题
在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图，BC 42 32 7;
形，拼成一个新的正方形.
探究新知 剪、拼过程展示：
b
a ca
朱实
b 朱实 黄实朱实
c 〓b
ba
朱实
a
M a P bb
N
探究新知 “赵爽弦图”
c
朱实
b
朱实
黄实 朱实
a
朱实
证明：∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
探究新知
毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图 示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.
因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得 (2x)2-x2=152，
第1讲 勾股定理
第1讲 勾股定理第一部分 知识梳理1．勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
若直角三角形的两条直角边为a 、 b ，斜边为c ，则a ²+b ²=c ²。
2．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a ²+b ²=c ²，那么这个三角形是直角三角形。
3．满足a ²+b ²=c ²的三个正整数，称为勾股数。
若a ，b ，c 是一组勾股数，则ak ，bk ，ck （k 为正整数）也必然是一组勾股数。
常用的几组勾股数有3,4,5；5,12,13；6,8,10；7,24,25；8,15,17；9,40,41等。
4．勾股定理的应用:①圆柱形物体表面上的两点间的最短距离；②长方体或正方体表面上两点间的最短距离问题。
5．直角三角形的判别：①定义，判断一个三角形中有一个角是直角；②根据勾股定理的逆定理，三角形一边的平方等于另外两边的平方和，则该三角形是直角三角形。
6．勾股定理中的方程思想：勾股定理三角形有一个直角的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，因此它是数形结合的一个典范．对于一些几何问题，往往借助于勾股定理，利用代数方法来解决．把一条边的长设为未知数，根据勾股定理列出方程，解方程求出未知数的值，即使有时出现了二次方程，大多可通过抵消而去掉二次项。
7．勾股定理中的转化思想：在利用勾股定理计算时，常先利用转化的数学思想构造出直角三角形，比如立体图形上两点之间的最短距离的求解，解答时先把立体图形转化为平面图形，在平面图形中构造直角三角形求解。
8．拓展：特殊角的直角三角形相关性质定理。
第二部分 精讲点拨知识点1： 勾股定理勾股定理内容：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
用数学语言描述：在RT △ABC 中，∠C=90°，AB=c ，AC=b ，BC=a ，则有222b a c +=. 勾股定理的变形公式：222222,a c b b c a -=-=直角三角形认识：直角三角形中较短的直角边称为勾，较长 的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名.注意：1.勾股定理适用于任何一个直角三角形；2.勾股定理的内容描述的是直角三角形三边之间的数 量关系，已知其中的任意两边可以求出第三边；题型1（利用勾股定理求第三边）【例1】在RT △ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c . （1）已知8=a ，6=b ，求c ； （2）已知13=c ，12=b ，求a ；弦股勾（3）已知3:4:=b a ，5=c ，求b .变式训练：1.若直角三角形的两直角边长分别为3和4，则斜边上的高是（ ）A ．5B ．2.4C ．3.6D ．以上答案都不对 2.填空：（1）在RT △ABC 中，∠C=90°，5=a ，12=b ，则c = ； （2）在RT △ABC 中，∠B=90，3=a ,4=b ,则=2c ； （3）在RT △ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，则222::c b a = ；3. 如图,已知直角三角形ABC 的两直角边AC,BC 的长分别为4cm,3cm,求斜边AB 上的高CD 的长.题型2（ 勾股定理的证明）【例2】如图：由四个全等直角三角形拼成如下大的正方形，求证：222a b c +=变式 如图：由四个全等直角三角形拼成如下大的正方形，求证：222a b c +=小结：BAC D题型3（勾股定理的应用）勾股定理是直角三角形的一个重要性质.利用勾股定理，可以解决直角三角形的有关计算和证明问题，还可以解决生活生产中的一些实际问题.【例4】如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？变式1 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩子头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？变式2 一个25m 长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AO 上，这时的AO 距离为24m ，如果梯子的顶端A 沿墙下滑4m ，那么梯子底端B 也外移4m 吗？变式3 如图，某学校（A 点）与公路（直线L ）的距离为300米，又与公路车站（D 点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C 点），使之与该校A 及车站D 的距离相等，求商店与车站之间的距离．变式4 如图，A 市气象站测得台风中心在A 市正东方向300千米的B 处，以107千米/时的速度向北偏西60°的BF 方向移动，距台风中心200•千米范围内是受台风影响的区域．（1）A 市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明； （2）如果A 市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？题型4（ 特殊角的直角三角形）【例3】已知：如图，在△ABC 中，90ACB ∠=，10AB cm =，8BC cm =，CD AB ⊥于D ，求CD 的长．C变式1 如图，已知：︒=∠=∠90C ABD ，12=AD ，BC AC =，︒=∠30DAB ，求BC 的长．变式2 如图，△ABC 中，AB ＞AC ，AD 是BC 边上的高．求证：AB 2-AC 2=BC(BD-DC)．知识点2. 直角三角形的判定1. 有一个角为90度的三角形是直角三角形2. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a ²+b ²=c ²，那么这个三角形是直角三角形（注意a,b,c 只是代表直角边，只要意义不变字母 可以变动）题型1（判别直角三角形）【例5】三角形的三边为a 、b 、c ，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ） A ．a :b :c=8∶16∶17 B ． a 2-b 2=c 2C ．a 2=(b+c)(b-c)D ． a :b :c =13∶5∶12 变式1 三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( )A . 等边三角形B . 钝角三角形C . 直角三角形D . 锐角三角形.变式2 已知，△ABC 中，17AB cm =，16BC cm =，BC 边上的中线15AD cm =，试说明△ABC 是等腰三角形．A变式3 如图，在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且EC=41BC ， 求证：AF ⊥EF ．题型2（勾股定理及其逆定理应用）【例6】一个零件的形状如图，已知∠A=900，按规定这个零件中∠DBC 应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD = 4，AB = 3, BC = 12 , DC=13，问这个零件是否符合要求，并求四边形ABCD 的面积．变式1 如图示，有块绿地ABCD ，AD=12m ，CD=9m ，AB=39m ，BC=36m ， ∠ADC=90°，求这块绿地的面积。
勾股定理1
75 45 M
B C
图1.1-1 图1.1-2 6. 如图 如图1.1-2,在四边形 在四边形ABCD中, ∠ BAD=90°, 在四边形 中 ° 求正方形DCEF ∠ CBD=90°,AD=4,AB=3,BC=12,求正方形 ° 求正方形 的面积. 的面积
飞机在空中水平飞行， 例3 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到 一个男孩头顶正上方4000米处，过了 秒，飞 米处， 一个男孩头顶正上方 米处 过了20秒 机距离这个男孩5000米，飞机每小时飞行多少 机距离这个男孩 米 千米？ 千米？
2= b
2 c
c
b
a
赵爽弦图的证法
S大正方形 = S小正方形 + 4S直角三角形 ab c = (b − a) + 4 ⋅ 2
2 2
朱实 中黄实 c b a b- a) ( b- a) 2
化简得： 化简得：
c2 =a2+
b2．
学以致用，做一做 y=0
1.求下列图中字母所代表的正方形的面积： 求下列图中字母所代表的正方形的面积：
相传在2500年前，毕达哥拉斯有 年前，毕达哥拉斯有 相传在 年前 一次在朋友家做客时， 一次在朋友家做客时，发现朋友家用 砖铺成的地面中反映了直角三角形三 边的某种数量关系， 边的某种数量关系，我们一起来观察 图中的地面，看看能发现什么。 图中的地面，看看能发现什么。
毕达哥拉斯 (公元前 公元前572----前492年), 公元前 前 年 古希腊著名的哲学家、 古希腊著名的哲学家、 数学家、天文学家。 数学家、天文学家。
因此， 因此，
AC =
5 ≈ 2 .236 .
Ｄ Ｃ
因为AC大于木板的宽， 大于木板的宽， 所以木板能从门框内通过。 所以木板能从门框内通过。
【数学课件】勾股定理(1)
同学们,再见
1、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之毁灭。——卢梭 2、教育人就是要形成人的性格。——欧文 3、自我教育需要有非常重要而强有力的促进因素——自尊心、自我尊重感、上进心。——苏霍姆林斯基 4、追求理想是一个人进行自我教育的最初的动力，而没有自我教育就不能想象会有完美的精神生活。我认为，教会学生自己教育自己，这是一种 最高级的技巧和艺术。——苏霍姆林斯基 5、没有时间教育儿子——就意味着没有时间ห้องสมุดไป่ตู้人。——（前苏联）苏霍姆林斯基 6、教育不是注满一桶水，而且点燃一把火。——叶芝 7、教育技巧的全部奥秘也就在于如何爱护儿童。——苏霍姆林斯基 8、教育的根是苦的，但其果实是甜的。——亚里士多德 9、教育的目的，是替年轻人的终生自修作准备。——R.M.H. 10、教育的目的在于能让青年人毕生进行自我教育。——哈钦斯 11、教育的实质正是在于克服自己身上的动物本能和发展人所特有的全部本性。——（前苏联）苏霍姆林斯基 12、教育的唯一工作与全部工作可以总结在这一概念之中——道德。——赫尔巴特 13、教育儿童通过周围世界的美，人的关系的美而看到的精神的高尚、善良和诚实，并在此基础上在自己身上确立美的品质。——苏霍姆林斯基 14、教育不在于使人知其所未知，而在于按其所未行而行。——园斯金 15、教育工作中的百分之一的废品，就会使国家遭受严重的损失。——马卡连柯 16、教育技巧的全部诀窍就在于抓住儿童的这种上进心，这种道德上的自勉。要是儿童自己不求上进，不知自勉，任何教育者就都不能在他的身 上培养出好的品质。可是只有在集体和教师首先看到儿童优点的那些地方，儿童才会产生上进心。——苏霍姆林斯基 17、教育能开拓人的智力。——贺拉斯 18、作为一个父亲，最大的乐趣就在于：在其有生之年，能够根据自己走过的路来启发教育子女。——蒙田 19、教育上的水是什么就是情，就是爱。教育没有了情爱，就成了无水的池，任你四方形也罢、圆形也罢，总逃不出一个空虚。班主任广博的爱 心就是流淌在班级之池中的水，时刻滋润着学生的心田。——夏丐尊 20、教育不能创造什么，但它能启发儿童创造力以从事于创造工作。——陶行知
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
勾
弦 股
勾股定理
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 B
a
C
Rt△ABC中，C 90 则a b c
2 2 2
c
b
A
1.求下列直角三角形中未知边的长: 8
①
17
x
20
②
16
5
x
x
③
12
2.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值: 144 81 144 169 625
z
576 ③
①
②
勾股定理----数学 天空的一道彩虹， 许多无理数沿着 她
课堂作业：
1.课课练第54-55页.
2.查阅勾股定理的有关史料.
谢谢指导！
再见！
(为了方便计算，小方格的边长看作1）
较短直角边为边长的正方形记作正方形P， 较长直角边为边长的正方形记作正方形Q， 斜边为边长的正方形记作正方形R.
SP+SQ=SR c
Pa
R
P a
Q b
图乙
c R
b Q
图甲 SP+SQ=SR 图甲 图乙 4 9
P的面积 Q的面积 R的面积
4 8
16 25
SP+SQ=SR R a b c c b 图甲 Q
Δ
图乙
P
a
C
SP+SQ=SR 2 a 2 +b 2 =c
猜想：直角三角形三边a、b、c 之间的关系？
勾股定理
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
如图，若把直角三角形的两条直角边 和斜边的长分别记为a、b、c，则有
B
a
C
a b c
2 2
2
c
b
A
勾
股
知
识
早在三千多年前，周朝数学家商高 就提出，将一根直尺折成一个直角，如 果勾等于三，股等于四，那么弦就等于 五，即“勾三、股四、弦五”，它被记 载于我国古代著名的数学著作《周髀算 经》中. 在中国古代，人们把弯曲成直角的手 臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为 “股”。我国古代学者把直角三角形较短 的直角边称为“勾”，较长的直角边称为 “股”，斜边称为“弦”.因此，我们称 上述结论为勾股定理.
3.1 勾股定理
江阴实验中学
蒋
平
1955年希腊曾设计并发行了一枚纪念邮票.
观察这枚邮票上的图案和图案中各正方形内小方格的个数， 你有哪些发现？
将小方格的面积看作1
P
Q
P的面积 9 Q的面积 16 R的面积
C R
P Q C R B
A
C
用了“补”的方 法
用了“割”的方 法
在方格纸上,任意画一个顶点都在格点 上的直角三角形;并分别以这个直角三角形 的各边为一边向三角形外作正方形,并请计 算出三个正方形的面积，填入相应表格内.