剪力弯矩
剪力与弯矩的计算方法
§7-2剪力与弯矩一、剪力和弯矩根据作用在梁上的已知载荷，求出静定梁的支座反力以后，梁横截面上的内力可利用前面讲过的“截面法”来求解，如图7-8a 所示简支梁在外力作用下处于平衡状态，现在讨论距A 支座距离为x 的m m -截面上的内力。
图7-8简支梁指定截面的剪力、弯矩计算根据截面法计算内力的基本步骤“切、代、平”，计算梁的内力的步骤为：①、首先根据静力平衡方程求支座反力Ay F 和By F ，为推导计算的一般过程，暂且用Ay F 和By F 代替。
②、用截面假想沿m m -处把梁切开为左、右两段，如图7-8b、7-8c 所示，取左段梁为脱离体，因梁原来处于平衡状态，所以被截取的左段梁也同样保持平衡状态。
从图7-8b 中可看到，左段梁上有一向上的支座反力Ay F 、向下的已知力1P 作用，要使左段梁不发生竖向移动，则在m m -截面上必定存在一个竖直方向的内力S F 与之平衡；同时，Ay F 、1P 对m m -截面形心O 点有一个力矩，会引起左段梁转动，为了使其不发生转动，在m m -截面上必须有一个力偶矩M 与之平衡，才能保持左段梁的平衡。
S F 和M 即为梁横截面上的内力，其中内力S F 使横截面有被剪开的趋势，称为剪力；力偶矩M 将使梁发生弯曲变形，称为弯矩。
由于外载荷的作用线垂直于梁的轴线，所以轴力为零，通常不予考虑。
剪力S F 和弯矩M 的大小可由左段梁的静力平衡方程来求解。
由0=∑Y 得：10Ay S F P F --=，得1S Ay F F P =-由0o M =∑得：()01=+-+-M a x P x F Ay 得()a x P x F M Ay --=1如图7-8c 所示，如果取右段梁为脱离体，同样可求得m m -截面的剪力S F 和弯矩M 。
根据作用力与反作用力原理，右段梁在m m -截面上的剪力S F 和弯矩M 与左段梁在m m -截面上的剪力S F 和弯矩M 应大小相等，方向相反。
剪力和弯矩
A
0.89 FkSN(=kNFA)Y O
0.89
1kN.m
CD E
1.5m
1.5m
1.11
(-)
F
2kN
1.5m
B
3．建立坐标系
建立 FS－x 和 M－x 坐标系
F＝BY1.11 kN
(+) x
4．应用截面法确定控制面上的剪 力和弯矩值，并将其标在 FS－ x 和 M－x 坐标系中。
M (kN.m)
y
q
简支梁受均布载荷作用
试画出剪力图和弯矩图。
A
B
x 解：1．确定约束力
FAY
l
FBY
FAy＝ FBy＝ ql/2
FS
2．确定控制面
支座反力内侧截面均为控制面。
x
即A、B截面。
3．建立坐标系
M
建立 FS－x 和 M－x 坐标系
4．应用截面法确定控制面上的剪
x
力和弯矩值，并将其标在 FS－ x
和 M－x 坐标系中。
FAy
2F FSE
FAy
FBy
F 3
FAy
5F 3
FBy
截面上的剪力等于截面任一
侧外力的代数和。
FSE
5F 3
F 3
FAy 2F
FBy
F 3
FAy
5F 3
FBy
截面上的弯矩等于截面任一侧外 力对截面形心力矩的代数和。
FAy
ME
ME
5F 3
3a 2
3 Fa 2
§6-4
q
x
l
q
剪力图和弯矩图
悬臂梁受均布载荷作用。
FAy＝Fb/l FBy＝Fa/l
梁的剪力和弯矩概念讲解(剪力图弯矩图,含例题)
6kN
1
2
q 2kN m
3
4
5
B
1 2 3 4 5
2m
A
3m
C
3m
FA 13kN
FB 5kN
例题
4.5
为使在锯开处两端面的开裂最小，应使锯口处的 弯矩为零，木料放在两只锯木架上，一只锯木架 放置在木料的一端，试问另一只锯木架放置何处 才能使木料锯口处的弯矩为零。
q
B
A
C
D
MD 0
MD 0
※
剪力和弯矩的计算规则
梁任意横截面上的剪力，等于作用在该截面左边 （或右边）梁上所有横向外力的代数和。截面左 边向上的外力(右边向下的外力)使截面产生正的 剪力，反之相反。【左上右下为正，反之为负】 梁任意横截面上的弯矩，等于作用在该截面左 边（或右边）所有外力（包括外力偶）对该截面 形心之矩的代数和。截面左边（或右边）向上的 外力使截面产生正弯矩，反之相反。【左顺右逆 为正，反之为负】
2m
FB 2kN 1m
7
kN
3 3
x 1.56
2 2
kNm
2.44
2
例题
4.12
4kN m
6kN
2kN m
4.5
4.5
1m
1m
2m
5.5
kN 1.5
5.5
4
8.5 7
kNm
例题
4.13
80 kN m
A
160 kN
D E
40kN m
B
40 kN
F
C
310 kN 2m
120
30
190
D
FD
MA
梁的剪力和弯矩概念讲解(剪力图弯矩图,含例题)
1
求下图所示简支梁1-1与2-2截面的剪力和弯矩。
F=8kN A 2m 1 1 q=12kN/m 2 2 3m B
例 题
1.5m FB
FA
1.5m
1.5m
解： 1、求支反力
M B 0 FA 6 F 4.5 q 3 F
y
0
3 0 FA 15kN 2 FA FB F q 3 0 FB 29kN
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一、梁平面弯曲的概念
1、平面弯曲的概念
弯曲变形：作用于杆件上的外力垂直于杆件的轴线，使 杆的轴线由直线变为曲线。
平面弯曲：梁的外载荷都作用在纵向对称面内时，则梁的轴 线在纵向对称面内弯曲成一条平面曲线。 q Me 纵 向 F
对称面
B A
x
FAy FBy
6kN
1
2
q 2kN m
3
4
5
B
1 2 3 4 5
2m
A
3m
C
3m
FA 13kN
FB 5kN
例题
4.5
为使在锯开处两端面的开裂最小，应使锯口处的 弯矩为零，木料放在两只锯木架上，一只锯木架 放置在木料的一端，试问另一只锯木架放置何处 才能使木料锯口处的弯矩为零。
q
B
A
C
D
MD 0
q
a
a
qa 2
qa 2
qa 2
a2
qa 2
a2
qa2 8
qa2 8
F A F
F 2
F B
F 2
a
a
F 2
a
a
剪力图和弯矩图
2 括号里的不等式说明对应的内力方程所使用的区段。
FS(x)qx (0xl) M(x)1qx2 (0xl)
2 剪力图为一斜直线
FS(0) 0 FS(l) ql
弯矩图为二次抛物线
M (0) 0 M ( l 2 ) 1 ql 2
8 M ( l ) 1 ql 2
绘剪力图和弯矩图的基本方法：首先分别写出梁 的剪力方程和弯矩方程，然后根据它们作图。
Fs(x)
o
x
o
x
Fs 图的坐标系
M(x) M 图的坐标系
不论在截面的 左侧 或 右侧 向上的外力均将引起 正值 的弯矩，而向下 的外力则引起 负值 的弯矩。
例题：图示简支梁 ，在全梁上受集度为 q 的均布荷载作用。 试作此梁的剪力图和弯矩图。
FS 称为 剪力
y
FA
m
C
A
xm
FS x
由平衡方程
a
P
m
m C0
MFAx0
A
B
m
可得 M = FAx
x
内力偶 M 称为 弯矩
y
FA
m FS
C
x
A
xm
M
结论
a
P
m
梁在弯曲变形时，
横截面上的内力有
A
B
两个，即，
m x
剪力 FS 弯矩 M
y
FA
m FS
C
x
A
xm
M
取右段梁为研究对象。
y
FA
m FS
-
FS FS
dx
（2）弯矩符号 横截面上的弯矩使考虑的脱离体下边受拉，上边受压时为 正 。
剪力和弯矩
M x1＝Mx1 / l 0 x1 a
Mb / l
CB FS x2 ＝M / l 0 x2 b
M x2 ＝ Mx2 / l 0 x2 b
3. 依方程画出剪力图和弯矩图。
材料力学
y
q
简支梁受均布载荷作用
FN 0 FS FAy F1
FAy
FS
M FN
FS
FMc 0 M FAy x F1(x a)
FS剪力，平行于横截
面的内力合力
M 弯矩，垂直于横截
面的内力系的合力偶矩
FBy
3
材料力学
M
M FN
FN
FAy
FS
FS
截面上的剪力对梁上任意一点的矩
+
为顺时针转向时，剪力为正；反之为负。
FBy
_
截面上的弯矩使得 梁呈凹形为正；反之为负。
左上右下为正；反之为负
+
_
左顺右逆为正；反之为负
材料力学
FAy
2. 用截面法研究内力
FSE
FAy
求图示简支梁E 截面的内力
解：1. 确定支反力
Fy 0 FAy FBy 2F
MA 0
FBy FBy 3a Fa 2F a
A xC
FAY
l
试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力
B
x
图和弯矩图。
解：1．确定约束力
FBY
FS ql / 2
M A＝0， M B＝0
FAy＝ FBy＝ ql/2
x 2．写出剪力和弯矩方程
ql / 2
剪力图和弯矩图(基础)
轴，。
以表(a)(c)（1）（2） （3）≤ (4) 以剪力图是平行于轴的直线。
段的剪力为正，故剪力图在轴上方；段剪力为负，故剪力图在轴之下，如图8-12(b )所示。
由式（2）与式（4）可知，弯矩都是的一次方程，所以弯矩图是两段斜直线。
根据式（2）、（4）确定三点，， ，由这三点分别作出段与段的弯矩图，如图8-12(c )。
例8-4 简支梁受集度为的均布载荷作用，如图8-13(a )所示，作此梁的剪力图和弯矩图。
图8-13解 （1）求支反力 由载荷与支反力的对称性可知两个支反力相.即（2）列出剪力方程和弯矩方程 以梁左端为坐标原点，选取坐标系如图所示。
距原点为的任意横截面上的剪力和弯矩分别为x C l x AC x BC x x 0=x 0)(=x M a x =l Fabx M =)(l x =0)(=x M AC BC AB q A x解 （1）求支反力 由静力平衡方程，得（2）列剪力方程和弯矩方程 由于集中力作用在处，全梁内力不能用一个方程来表示，故以为界，分两段列出内力方程段0＜≤ (1)0≤＜ (2)段 ≤＜ (3)≤≤(4) （3） 画剪力图和弯矩图 由式（1）、（3）画出剪力图，见图8-14(b )；由式（2）（4）画出弯矩图，见图8-14(c )。
二、弯矩、剪力与分布载荷集度之间的微分关系在例8-4中，若将的表达式对取导数，就得到剪力。
若再将的∑=0)(x M A ∑=0)(x M B m C C AC l mF x F A Q ==)(x a xl m x F x M A ==)(x a BC l mF x F A Q ==)(a x l mx l mm x F x M A -=-=)(a x l )(x M x )(x F Q )(x F Q表达式对取导数，则得到载荷集度。
这里所得到的结果，并不是偶然的。
实际上，在载荷集度、剪力和弯矩之间存在着普遍的微分关系。
现从一般情况出发加以论证。
剪力弯矩计算
2023剪力弯矩计算•剪力弯矩的基本概念•剪力弯矩的力学计算•剪力弯矩的效应分析•剪力弯矩的抗震计算目•剪力弯矩的调整与优化录01剪力弯矩的基本概念由于截面上有扭矩作用，截面各点沿着垂直于轴线方向发生相对位移，在截面内任意一点沿任意方向作用有剪力。
剪力由于截面上有弯矩作用，截面各点在垂直于中轴线方向发生相对位移，在截面内任意一点沿任意方向作用有弯矩。
弯矩剪力和弯矩的定义剪力的符号用字母F表示，单位为牛顿（N）或千牛顿（kN）。
弯矩的符号用字母M表示，单位为牛顿·米（N·m）或千牛顿·米（kN·m）。
剪力和弯矩的符号和单位1剪力和弯矩的关系23剪力和弯矩之间的关系可以通过弯曲正应力和弯曲剪应力来表示。
在纯弯曲情况下，截面上的剪力为零，弯矩等于弯曲正应力乘以截面面积。
在有剪力的情况下，截面上的弯矩可以表示为弯曲正应力和弯曲剪应力的合力乘以截面面积。
剪力弯矩图剪力弯矩图是一种表示剪力和弯矩随截面位置变化的图形。
在剪力弯矩图中，横轴表示截面位置，纵轴表示剪力和弯矩的大小。
图中绘制出在不同截面位置处剪力和弯矩的大小和方向，可以清楚地看出剪力和弯矩的变化规律。
02剪力弯矩的力学计算计算公式剪力弯矩的计算公式为M=F*x。
其中，F为梁所受的剪力，x为梁的跨度。
符号规定梁的剪力弯矩符号规定为正，即向下为正，向上为负。
静定梁的剪力弯矩计算静定刚架的剪力弯矩计算公式与静定梁相同，也为M=F*x。
计算公式刚架的剪力弯矩符号规定为正，即向下为正，向上为负。
符号规定静定刚架的剪力弯矩计算计算公式拱的剪力弯矩计算公式为M=F*x/2。
其中，F为拱所受的压力，x为拱的水平跨度。
符号规定拱的剪力弯矩符号规定为正，即向下为正，向上为负。
静定拱的剪力弯矩计算计算公式静定桁架的剪力弯矩计算公式与静定梁相同，也为M=F*x。
符号规定桁架的剪力弯矩符号规定为正，即向下为正，向上为负。
静定桁架的剪力弯矩计算03剪力弯矩的效应分析剪力弯矩会引起结构整体或局部的变形，如扭转、弯曲等。
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步骤/方法
1.剪力和弯矩
根据作用在梁上的已知载荷，求出静定梁的支座反力以后，梁横截面上的
内力可利用前面讲过的“截面法”来求解，如图7-8a所示简支梁在外力
作用下处于平衡状态，现在讨论距支座距离为的截面上的内力。
图7-8 简支梁指定截面的剪力、弯矩计算
根据截面法计算内力的基本步骤“切、代、平”，计算梁的内力的步骤为：
①、首先根据静力平衡方程求支座反力和，为推导计算的一般过程，
暂且用和代替。
②、用截面假想沿处把梁切开为左、右两段，如图7-8b、7-8c所示，
取左段梁为脱离体，因梁原来处于平衡状态，所以被截取的左段梁也同样
保持平衡状态。
从图7-8b中可看到，左段梁上有一向上的支座反力、向
下的已知力作用，要使左段梁不发生竖向移动，则在截面上必定存在一个
竖直方向的内力与之平衡；同时，、对截面形心点有一个力矩，会引起左段梁转动，为了使其不发生转动，在截面上必须有一个力偶矩与之平衡，
才能保持左段梁的平衡。
和即为梁横截面上的内力，其中内力使横截面有被剪开的趋势，称为剪力；力偶矩将使梁发生弯曲变形，称为弯矩。
由于外载荷的作用线垂直于梁的轴线，所以轴力为零，通常不予考虑。
剪力和弯矩的大小可由左段梁的静力平衡方程来求解。
2.剪力与弯矩的正负号规定
从上面的分析可知，用截面法将梁切开分成两段，同一截面上的内力，取左段梁为脱离体和取右段梁为脱离体所得结果虽然数值相等，但方向却是相反的，为此根据剪力和弯矩引起梁的变形情况来规定它们的正负号。
图7-9 剪力、弯矩的符号规定
①、剪力正负号的规定如图7-9a、7-9b所示，在横截面处，从梁中取出一微段，若剪力使微段顺时针方向转动，则该截面上的剪力为正；反之为负。
②、弯矩正负号的规定如图7-9c、7-9d所示，在横截面处，从梁中取出一微段，若弯矩使微段产生向下凸的变形，即上部受压，下部受拉，则该截面上的弯矩为正；反之为负。
为方便起见，在计算时通常将剪力和弯矩假设成正方向，它的实际方向根据最后计算结果的正负号来确定，如果计算结果为正，则说明实际方向与假设方向相同；否则，相反。
1.用截面法求指定截面上的内力
下面举例说明用截面法求梁指定截面上的内力。
例7-1 如图7-10a所示外伸梁，试计算1-1、2-2和3-3截面上的剪力和弯矩。
图7-10 外伸梁指定截面的内力计算
2.计算剪力、弯矩的简便方法
利用上面的关系，可以直接根据作用在梁上的外力计算出任意截面的剪力、弯矩，从而省去取脱离体列平衡方程的步骤，使计算过程简化。