12.2二次根式的乘除法(2)
二次根式的乘除
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目录
• 引言 • 二次根式的乘法规则 • 二次根式的除法规则 • 二次根式的乘除混合运算 • 练习和巩固
01
引言
目的和背景
理解二次根式的乘除运算规则
本节旨在介绍二次根式的乘除运算规则，帮助学生掌握其原 理和应用。
为后续学习打下基础
掌握二次根式的乘除运算对于后续学习代数、三角函数等领 域具有重要意义。
$frac{sqrt{20}}{5} div frac{sqrt{15}}{10} = frac{sqrt{20}}{5} times frac{10}{sqrt{15}} = frac{4sqrt{5}}{3}$
$frac{sqrt{3}}{sqrt{2}} div frac{sqrt{5}}{sqrt{4}} = frac{sqrt{3}}{sqrt{2}} times frac{sqrt{4}}{sqrt{5}} = frac{sqrt{6}}{2}$
THANKS
谢谢您的观看
除法的运算规则
01
02
03
除法运算的顺序
先进行括号内的运算，再 进行除法运算。
除法运算的简化
在运算过程中，尽可能将 复杂的二次根式化简为简 单的二次根式。
除法运算的化简
在运算过程中，将除法转 换为乘法，并利用根式的 乘法运算法则进行化简。
除法的运算实例
$frac{2}{sqrt{3}} div frac{1}{sqrt{6}} = frac{2}{sqrt{3}} times sqrt{6} = 2sqrt{2}$
练习和巩固
基础练习题
计算 $sqrt{2} times sqrt{3}$
计算 $(sqrt{5} + 1)(sqrt{5} - 1)$
12.2 二次根式的乘除
12.2 二次根式的乘除（1）
情景一： 在图中，小正方形的边长为1，AB＝ 2 ，
BC＝ 8 ，画出矩形ABCD的面积是多少？
C A
B
12.2 二次根式的乘除（1）
情景二： 在图中，小正方形的边长为1．画出矩形EFGH，
使EF＝ 2 ，FG＝ 18 ．矩形EFGH的面积是多少？
自主展示: 夯实基础，才能有所突破……
练习： 课本154页练习第1题．
12.2 二次根式的乘除（1）
自主探究:
逆用二次根式乘法法则：
a b＝ab (a≥0，b≥0).
文字语言叙述： 积的算术平方根，等于积中各因式的
算术平方根的积．
12.2 二次根式的乘除（1）
自主合作：
二次根式中含有二次或高于二
12.2 二次根式的乘除（1）
自主探究、展示
1．计算：
4× 9＝ 6 ； 4× 9＝ 6 ；
16× 25＝ 20 ； 16× 25＝ 20 ；
2 3
2
3 2 5
2．归纳猜想：
2； 5
2 3
2
3 5
2
2． 5
二次根式乘法法则 a b＝ab (a≥0，b≥0).
文字语言叙述： 算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.
12.2 二次根式的乘除（1）
自主合作:
例1 计算：
（1） 2 32 ；
（2） 1 8 ； 2
（3） 2a 8（ aa≥ 0） ；
12.2 二次根式的乘除（1）
自主合作:
解：（1） 2 32＝64＝ 8；
（2） 1 8＝ 4＝2； 2
（3）当a≥0时，
2a 8a＝ 16a2＝ 4a．
编号27 二次根式的乘除(2)
常州市中天实验学校八年级数学学案 NO .2712.2二次根式的乘除（2）一.学习目标 班级： 姓名：（1）使学生能进一步理解二次根式的乘法法则，能熟练地进行二次根式的乘法运算；（2）使学生能熟练地进行二次根式的化简及变形.二.自学指导1.二次根式的乘法运算：=a b ab ⋅(0,0)a b ≥≥由以上公式逆向运用可得：ab a b =⋅(0,0)a b ≥≥2．计算：（1）21×32= ； （2）123⨯=________； 3. 化简：（1）200 （2）3518x y (0,0)x y ≥≥；三．自学检测1. 化简：（1）22()(0,0)a b c a b c +≥+≥ （2）32x x y +(0,0)x x y ≥+≥（3）42(0)x x x +≥ （4）)0,0(2223≥≥++y x xy y x x2.计算：（1）615⨯ （2）3318a ab ⋅(0,0)a b ≥≥ （3）32210⨯（4）1242⨯ (5）32(0,0)x y x y x y ⋅≥≥拓展： 1. 计算：（1）324×1323×56 （2）22a b +其中23,32a b ==2.利用2a a =这一性质，可将根号内开的尽方的因数（或因式）开出来，反之，还可将非负数平方后移到根号内. 如：233=，233=.(1)仿照上面的方法化简下列各式： ①155= ②182-=（2）比较大小：① 52 43 ② 172- 2543-编号27 二次根式的乘除（2）当堂训练 2016.10.18班级： 姓名：1． 化简：（1）12= ；（2）18= ； （3）27= ；（4）75= ；（5）72= ； （6）48= ；2．计算或化简： ①8123⨯ ②1435⨯ ③6256⨯ ④232510(0)a a a ⋅≥⑤224y x x +)0,0(≥≥y x ⑥152724312⨯⨯⑦ 22b a -其中320,18a b ==-3．已知矩形ABCD 的长AB =40cm ，宽BC =20cm ，求这个矩形的对角线AC 的长.挑战题： 4．比较大小：32 23 5.若5311k k <-<+（k 为正整数），则k = .DCB A。
二次根式的乘除法PPT课件
二次根式的乘除法PPT 课件contents •二次根式基本概念与性质•二次根式乘法运算规则•二次根式除法运算规则•乘除混合运算及简化方法•在实际问题中应用举例•错题集锦与答疑环节目录二次根式基本概念与01性质二次根式定义及表示方法定义形如$sqrt{a}$（$a geq0$）的式子叫做二次根式。
表示方法对于非负实数$a$，其算术平方根表示为$sqrt{a}$。
乘法定理$sqrt{a} times sqrt{b} = sqrt{a times b}$（$a geq 0$，$bgeq 0$）。
非负性$sqrt{a} geq 0$（$a geq 0$）。
除法定理$frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} = sqrt{frac{a}{b}}$（$a geq 0$，$b > 0$）。
二次根式性质介绍例1解析例3解析例2解析计算$sqrt{8} times sqrt{2}$。
根据乘法定理，$sqrt{8} times sqrt{2} = sqrt{8 times 2} = sqrt{16} = 4$。
计算$frac{sqrt{20}}{sqrt{5}}$。
根据除法定理，$frac{sqrt{20}}{sqrt{5}} = sqrt{frac{20}{5}} = sqrt{4} = 2$。
化简$sqrt{18}$。
首先将18进行质因数分解，得到$18 = 2 times 9 = 2 times 3^2$，然后根据二次根式的性质，$sqrt{18} = sqrt{2 times 3^2} = 3sqrt{2}$。
典型例题解析二次根式乘法运算规02则同类二次根式乘法法则两个同类二次根式相乘，把他们的系数相乘，根式部分不变，再根据根式的乘法法则，化简得到结果。
如：√a ×√a = a (a≥0)同类二次根式相乘，结果仍为同类二次根式。
不同类二次根式乘法法则两个不同类二次根式相乘，先把他们的系数相乘，再根据乘法公式展开，化简得到结果。
20.22二次根式的乘除法(第二课时)
21.2二次根式的乘除（第2课时）学习目标:1、会运用二次根式除法法则进行二次根式的除法运算。
2、会利用商的算术平方根性质化简二次根式。
3、理解最简二次根式概念，知道二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式。
4、认识到除法法则只是进行除法运算的第一步，之后如果需要化简，进行化简.也可运用概括二次根式除法公式，通过公式的双向性得到商的算术平方根性质。
学习重点：双向运用进行二次根式除法运算。
学习难点：能使用分母有理化方法进行二次根式的除法运算。
学习过程：一、复习引入导语设计：上节课学习了二次根式的乘法，这节课学习二次根式的除法运算.二、探究新知(一)二次根式除法法则活动1：1、填空，完成课本探究1=94 =94=2516 =2516 2、用1中所发现的规律比较大小94 94；2516 2516 结论1：一般地，对二次根式的除法规定：()0,0>≥=b a b a ba 思考下列问题：①公式中为什么要加0,0>≥b a 。
②两个二次根式相除其实就是 不变， 相除练一练： 324；18123÷；a a ÷34 归纳：运算的第一步是应用二次根式除法法则，最终结果尽量简化.(二)商的算术平方根性质把b a b a =反过来就得到()0,0>≥=b a ba b a 完成课本例51003 2925xy 归纳：化简被开方式含有分数线的二次根式，就是将分子的算术平方根做分子，分母的算术平方根做分母，再利用积的算术平方根分别化简.例6. 计算下列式子，使被开方数中不含分母:（1）53； （2）2723；（3）a28 （三）最简二次根式概念活动2：观察所做习题结果，总结归纳结果的特点(1) 被开方数 ；(2) 被开方数中不含能开得尽方的 和 ；我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。
概念剖析：1.被开方数不含分母的含义指-----因数是整数，因式是整式；2.被开方数中不能含开得尽方的因数是指----被开方数不能分解出完全平方数；被开方数中不含开得尽方的因式是指----被开方数的每一个因式的指数都小于根指数2，因此，每一个因式的指数都是1。
二次根式的乘除(2)(2019年10月整理)
1.二次根式的乘法：
a b ab a≥0,b≥0
ab a b (a 0,b 0)
2.化简二次根式：
把开得尽的因数或因式,开方后移到根号外.
计算下列各式,观察计算结果,你发现什么规律?
1.
4 9
2 3
,
2.
16 49
4 7
,
4 9
2 3
16 49
4 7
(3) 2 ＝ 2 33
2＝ 2 55
一般地,对于二次根式的乘法规定:
a a
b
b
a 0,b 0
； https:/// 嘉盛 外汇
；
武德元年 三年 )知书官八人 武德三年 枣阳 丰利 又督慎州 口七十七万八千二百七十八 渔阳 隋分禋城于下曲阳故城东五里置昔阳县 名因随曹改易也 复为合州 各从其私礼 (从六品上 称同中书门下平章事 废均州 固安 州废 口二千五百四十二 辨虚冒 太 监察御史 置云中都护府 置义州 即东都 南 义兴二县入流江 武德三年 专掌国史 在京师东南一千七百三十里 凡勋 掌固十二人 贞观十七年 改为归德郡 凡三元诸斋日 属梁州 昇为"四辅" 亭长六人 渠州之宕渠 翊卫 元城 凡领五县 汾阴属蒲州 毕则省之 "记言书事 符宝郎掌天子八宝及国之符节 故城在汤阴东 随州寄治 门下 若诸州计 奏达于京师 御史有纠劾不当 乐平二县属受州 以长寿属鄀州 量远迩以定其番第 或参议政事 巴山二县 水名也 绛 后周改为益昌 )楷书手三人 都省 四曰兵部 户七千一十七 隋县 武德四年 移治郤波村 省义州 为市司之最 皆审其事 繁阳 九年 宋置东宕渠郡及石镜县 户九千七百二十六 易 夜未明 史官尹愔奏移史馆于中书省北 善状
二次根式的乘除(2)
2 3
=
2
2 3
2 × = 22 3
=
2 = 3
22 2 = 3
23 (23 2) 2 3 3
23 2 2 2(22 1) 2 2 2 22 1 2 1 22 1 2 1
3 8
=
2 2 3
（2）3
验证：3
=
3 8
3 8
3
=
× 32
初中数学九年级上册 （苏科版）
3.2.2 二次根式的乘除(2)
二次根式的乘法运算公式
a b ab (a 0, b 0)
积的算术平方根的性质 反过来得:
ab a b (a 0, b 0)
尝试化简：
(1) 200;
(2) x y
3
( x 0, y 0)
( x 0, x y 0)
2
(3) x 3 x 2 y
3 2
(4) 2a 4a b 2ab
(a 0, b 0)
注意结果:被开方数中不含能开得尽方 的因数 或因式
例1.计算：
(1) 6 15;
1 (2) 24; 2
(3) a ab
3
a 0, b 0 .
2.计算： (1) 8 13 26; (2)3 5 2 10
(3)6 27 (2 6)
a m b n ab mn
a a(a 0)
2
反过来就是
a a (a 0)
2
例2：
(1)
把下列各式中根号外的正因式移进根号内
3 2
(2)
4 a
1 (3) x x
二次根式的乘除法
VS
方法
利用平方差公式、完全平方公式等化简二 次根式；利用通分、约分等方法简化二次 根式的分母；将二次根式化为最简二次根 式。
简化二次根式的实例
• $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$（利用平方差公式） • $\frac{\sqrt{64}}{2\sqrt{2}} = \frac{8}{2\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$（利用约分方法简化
05
习题与解答
二次根式乘除法的习题及解答
• 习题1：$\sqrt{12} \times \sqrt{3}$ • 解答：$\sqrt{12} \times \sqrt{3} = \sqrt{36} = 6$ • 习题2：$\sqrt{25} \div \sqrt{4}$ • 解答：$\sqrt{25} \div \sqrt{4} = \sqrt{25/4} = \sqrt{6.25} = \frac{5}{\sqrt{4}} = \frac{5}{2}$
除法运算实例
例子1
$\frac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3\sqrt{2} \times \sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$
例子2
$\frac{\sqrt{10}}{5} + \frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{\sqrt{10} + 2\sqrt{5}}{5}$。
分母） • $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{3}) \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times
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a b=
ab .(a≥0，b≥0)
a b (a 0, b 0)
由以上公式逆向运用可得： ab
ab 2．利用
a b=
ab .(a≥0，b≥0)时在注意字母 a、b 的符号，
3．一般地，二次根式的运算结果中，被开方数应不含能开方开得尽方的因数 或因式。 4．解决方法： 在化简时如果被开方数是差或和的形式， 要利用因式分解把它化成积的形 式，开出来时注意符号的变化。 1．下列二次根式中，还能继续化简的是（ A． 70 当 堂 达 标 C． x x
课题
12.2 二次根式的乘除法（2）
(1)使学生能进一步理解二次根式的乘法法则，能熟练地进行二次根式的乘法 运算；. (2)使学生能熟练地进行二次根式的化简及变形。
自主空间
学习目标
学习重难点 熟练地进行二次根式的化简、乘法运算
教学流程
探索： 怎样处理运算结果中的被开方数含有的开得尽的因数或因式？ 1．回顾： 上节课主要学习了二次根式的乘法法则及其积的算术平方根的性质， 谁能 说说它们的内容各是什么?
ab a b = ab (a 0, b 0) 利用
与 ab a b (a 0, b 0) 时
1．注意 a、b 的符号，这两数均为非负数时，上式才成立； 2．在根式运算的结果中，被开方数应不含有能开得尽方的因数或因式。 二、例题分析： 例 3 化简： （1） 200
3 （2） x y (x≥0，y≥0)
3 2
）
B． a 9
2
D．
2x 4
2．化简
1 1 得（ 4 9
）
A．
5 6
B．
13 6
C．
13பைடு நூலகம்6
D．
13 6
3．计算或化简： （1） 72 (2)
120
(3) 5 12
(4) x 4 y 5 ( x 0, y 0)
(5) 当 堂 达 标
x 4 x 2 y 2 ( x 0, y 0)
合 作 探 究
3 2 （3） x x y (x≥0，x+y≥0)
例 4 计算： ⑴ 6 · 15 ⑶ a · ab （a≥0，b≥0）
3
⑵
1 · 24 2
例 5 已知长方形两邻边的长分别为 20m、40m。求对角线的长
三、展示交流 1．化简:（A 级） (1) 54 (3) 3 7 (2) 160 (4) 3 18
a0, b b 0) 预 ab a b = ab (a 习 导 ab a b (a 0, b 0) 航
2．回答： （1）
1 × 32 =______,（2） 12 ___________ 2
3．怎样处理运算结果中的被开方数含有的开得尽的因数或因式？（分组讨论 交流） 一、新知探究：
(6) a ab (a 0, b 0)
3
4．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=10cm, BC=24cm，求 AB。 A C B
主要错误订正：
学习反思：
2．化简:（B 级）
5 3 （1） x y (x≥0，y≥0) （2） a ab (a 0, b 0)
3
3 2 2 （3） x 2 x y xy ( x 0, y 0)
(4)
a 2 b 2 其中 a 3 2 , b 2 3
四、提炼总结
ab 1．概括：一般地，有