高数习题课

2
(2)a 0或b 1,
当a b 1, a b 1时，x 1为函数的连续点， x 1为第一类跳跃间断点； 当a b 1, a b 1时，x 1为函数的连续点； x 1为第一类跳跃间断点； 当a b 1且a b 1时，x 1，x 1为第一 类跳跃间断点。
而 F (a ) f (a ) a
0,
由零点定理,
F ( b ) f ( b ) b 0,
(a, b), 使 F ( ) f ( ) 0,
即 f ( ) .
练
习
题
设 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续， 0 a c d b ,试证明： 至 少有一点 [ c , d ] ,使 af (b) bf (a ) (a b) f ( ) .
3.下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点 属于哪一类型。如果是可去间断点，则补充或改 变函数的定义使它连续：
习题1-8 65页
x 1 (1) y 2 ，x 1, x 2; x 3x 2
2
2
解
x 1 函数f ( x ) 2 的定义域为 x 3x 2 D ( ,1) (1, 2) (2, ).
解
原式 lim
x 0
e
x ln
2 cos x 3
x
3
2 cos x x ln 1 3 lim x 0 x3
cos x 1 1 2 ln(1 ) x cos x 1 3 2 lim lim lim 2 2 x 0 x 0 x 0 3 x 2 3 x x
(C )周期函数；
( D )偶函数。
题型二 求函数极限 例4 求 lim
4 x2 x 1 x 1 x 2 sin x 1 1 1 解 4 2 1 x x x 4 1 原式 lim 3 x sin x 1 1 x
x
.
1 2 cos x x 例5 求 lim 3 [( ) 1]. x 0 x 3
1 6
例7 求 lim( x 0
解 原式 lim[(1
x 0
e e
x
x 2x
2x
n
n
e
nx
nx
) .
)
e x e 2 x e nx n e x e 2 x e nx n nx n
1 x
e e

e n
]
e x0
e
lim
e e
x
间断点定义
左右连续
在区间[a,b] 上连续
连续的 充要条件
连续函数的 运算性质 初等函数 的连续性
第一类 第二类 可跳 去跃 间间 断断 点点 无振 穷荡 间间 断断 点点
连续函数 的 性 质
主要定理：
1、(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有界并且有最 大值和最小值. 若 f ( x ) C[a, b], 则 1 , 2 [a, b], 使得 x [a, b], 有 f (1 ) f ( x ), f ( 2 ) f ( x ).
回顾
连续函数的运算与初等函数的连续性； 闭区间上连续函数的性质：最值定理、 零点定理、介质性定理。
例3 设函数 f ( x )在区间[a, b]上连续, 且f (a ) a, f (b) b. 证明 (a , b), 使得 f ( ) . 证明思路:利用根的存在定理的定理条件构造 辅助函数证得结论。而如何构造辅助函数成 为难点：一般在构造辅助函数时，从结论出 发要找什么样的函数，在左端点值与右端点 值异号。
2
b lim ( x x x ) xlim
x
x x x2 x
lim
1 综上，a 3, b . 2
1 x 1 2 1 1 x
补充题
2 n 1
a b1 ab 1 2 a 0, b 1 a b lim 1 lim f ( x ) lim( ax bx ) a b , x 1 x 1 x x 1 x 1 1 a b1 f ( x ) lim 1, f (1) , xlim 1 x 1 x 2 a b1 2 , lim f ( x ) lim (ax bx ) a b, f ( 1) 2 x 1 x 1
4
下面考察函数y f ( x)在x 2点的连续性 ( x 1)( x 1) x 1 lim f ( x ) lim lim x 2 x 2 ( x 1)( x 2) x 2 x 2
2
-2
-1
1
2
3
4
5
-2
-4
x (2) y ，x k , x k ( k 0, 1, 2, tan x 2
证 f ( x )在[a, b]上连续,
若取等号，即f (a ) f (b) , 则 任意。
min{ f (a ), f (b)} af (b ) bf (a ) max{ f (a ), f (b)} ab
若严格不等号，由介值定理， af (b) bf (a ) (a, b) , 使得f ( ) ab 即 [a, b] , 使得af (b) bf (a) (a b) f ( ).
)
1 -50 -100 -150
2
3
4
5
6
三、典型题型
题型一 函数的概念及性质
1, 例1 设f ( x ) 0, x 1 x 1
1 . , 则f [ f ( x )] ______
1 1 例2 设f ( x )满足方程2 f ( x ) f ( ) , 求f ( x ). x x 1 1 解 设 t , 则 x , 代入方程2 f ( x ) f ( 1 ) 1 ， x t x x
零点定理（根的存在定理） 若1) f ( x ) C[a , b], 2) f (a ) f (b) 0 则 (a , b), f ( ) 0
介值定理
设f (x) C([a, b]),则f (x)取得
介于其在[a, b]上的最大值M和最小
值m之间的任何一个值.
二、作业题讲解
下面补充定义，使得函数y f ( x )在 x 0, k

2
( k 0, 1, 2,
)点连续.
x tan x ，x k , x k 2 g( x ) x k 0, 2 x0 1，
100 50
( k 0, 1, 2,
一、主要内容
函数的定义；
极限概念、求极限； 无穷小阶的比较、无穷 小代换求极限； 连续函数及其性质。
基本初等函数
复合函数 初等函数
函 数 的定义
反函数 反函数与直接 函数之间关系
函 数 的性质 奇偶性 单调性 有界性 周期性
连
x 0
续
定
义
lim y 0
x x0
lim f ( x ) f ( x 0 )
分析： 证明 (a, b), 使得 f ( ) . 就是要找到一个 (a, b), 使得 f ( ) 0. 即找 函数f ( x ) x在(a, b)上的根。 于是，构造的辅助函数为
F ( x) f ( x) x，研究区间为[a, b].
证 令 F ( x ) f ( x ) x, 则F ( x )在[a, b]上连续,
1 1 2 f ( ) f ( t ) t 即2 f ( ) f ( x ) x t x
1 1 2 f ( x) f ( ) x x 2 x f ( x) . 3x 3 2 f ( 1 ) f ( x) x x
cos x f ( x ) x sin x e , x 是（ D ） 例3 ( A)有界函数； ( B )单调函数；
2
x 1是函数y f ( x )的第一类可去间断点。
下面补充定义，使得函数y g( x )在x 1点连续. x2 1 ，当x 1且x 2 2 g( x ) x 3 x 2 2, 当x 1
x 2是函数y f ( x)的第二类无穷间断点。
x
的值。
解
x
lim [2 x x x (ax b)]
2
1 b lim x(2 1 a ) 0 x x x
1 b lim (2 1 a ) 0 x x x
a3
将a 3代入题中极限式，
x
lim ( x 2 x x b) 0
x lim f ( x ) lim 0 x k x k tan x 2 2 x 但函数y 在x k ( k 0, 1, 2, )无定义。
tan x
x k

2
2 第一类可去间断点。
( k 0, 1, 2,
x )是函数y 的 tan x
解 y f ( x)
);
定义域为 D {x
x tan x
x k 且x k

2
( k 0, 1, 2,
)};
x 函数y 在x k , x k tan x 2 ( k 0, 1, 2, )点处没有定义。
x lim f ( x ) lim 1 x 0 x 0 tan x x x 0是函数y 的第一类可去间断点。 tan x x lim f ( x ) lim x k 0 x k 0 tan x x x k ( k 1, 2, )是函数y 的第 tan x 二类无穷间断点。