八年级数学线段的和差问题专题
中考复习线段和差的最大值与最小值(拔高)
中考二轮复习之线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。
填空题：1．如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB+PE的最小值是．2．如图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则P A+PC的最小值是．3．如图，在锐角△ABC中，AB＝42，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是．4．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．5．已知A(－2，3)，B(3，1)，P点在x轴上，若P A＋PB长度最小，则最小值为．若P A—PB长度最大，则最大值为．6．如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为．7、如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为8、如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD 和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为．综合题：1．如图，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．第1题第2题第3题第4题2．如图，已知平面直角坐标系，A ，B 两点的坐标分别为A (2，－3），B (4，－1）设M ，N 分别为x 轴和y 轴上的动点，请问：是否存在这样的点M (m ，0），N (0，n ),使四边形ABMN 的周长最短？若存在，请求出m ＝______，n ＝ ______（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由．中考赏析：1．著名的恩施大峡谷（A ）和世界级自然保护区星斗山（B ）位于笔直的沪渝高速公路X 同侧，AB =50km 、B 到直线X 的距离分别为10km 和40km ，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P ，向A 、B 两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP 与直线X 垂直，垂足为P ），P 到A 、B 的距离之和S 1＝P A ＋PB ，图（2）是方案二的示意图（点A 关于直线X 的对称点是A'，连接BA'交直线X 于点P ），P 到A 、B 的距离之和S 2＝P A ＋PB ． （1）求S 1、S 2，并比较它们的大小； （2）请你说明S 2＝P A ＋PB 的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B 到直线Y 的距离为30km ，请你在X 旁和Y 旁各修建一服务区P 、Q ，使P 、A 、B 、Q 组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．2．如图，抛物线y ＝35x 2－185x ＋3和y 轴的交点为A ，M 为OA 的中点，若有一动点P ，自M 点处出发，沿直线运动到x 轴上的某点（设为点E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F ），最后又沿直线运动到点A ，求使点P 运动的总路程最短的点E ，点F 的坐标，并求出这个最短路程的长．3、在x轴的正半轴上，OA=AB=2，OC=3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC 绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F．（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ＝1，要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P、Q两点的坐标．4．如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2，－3），B(4，－1）若C(a，0)，D(a+3，0)是x轴上的两个动点，则当a为何值时，四边形ABDC的周长最短．5、如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边)1.直线2x-y-4=0上有一点P ，它与两定点A （4，-1）、B （3，4）的距离之差最大，则P 点的坐标是 .2.已知A 、B 两个村庄的坐标分别为（2，2），（7，4），一辆汽车（看成点P ）在x 轴上行驶．试确定下列情况下汽车（点P ）的位置：（1）求直线AB 的解析式，且确定汽车行驶到什么点时到A 、B 两村距离之差最大？ （2）汽车行驶到什么点时，到A 、B 两村距离相等？3. 如图，抛物线y ＝－14x 2－x ＋2的顶点为A ，与y 轴交于点B ．(1)求点A 、点B 的坐标；(2)若点P 是x 轴上任意一点，求证：P A －PB ≤AB ； (3)当P A －PB 最大时，求点P 的坐标.4. 如图，已知直线y ＝21x ＋1与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线y ＝21x 2＋bx ＋c 与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B （1）求该抛物线的解析式；（3）在抛物线的对称轴上找一点M ，使|AM －MC |大，求出点M 的坐标．5. 如图，直线y ＝－3x ＋2与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，点A 为y 轴正半轴上的一点，⊙A 经过点B 和点O ，直线BC 交⊙A 于点D ． （1）求点D 的坐标；（2）过O ，C ，D 三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使线段PO 与PD 之差的值最大？若存在，请求出这个最大值和点P 的坐标．若不存在，请说明理由．好题赏析：原型：已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求P A ＋PB ＋PC 的最小值．例题：如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM ． （1）求证：△AMB ≌△ENB ；（2）①当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小；②当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由； （3）当AM ＋BM ＋CM 的最小值为3＋1时，求正方形的边长．变式：如图四边形ABCD 是菱形，且∠ABC ＝60，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM ，则下列五个结论中正确的是（ ）①若菱形ABCD 的边长为1，则AM ＋CM 的最小值1； ②△AMB ≌△ENB ；③S 四边形AMBE =S 四边形ADCM ；④连接AN ，则AN ⊥BE ；⑤当AM ＋BM ＋CM 的最小值为23时，菱形ABCD 的边长为2． A ．①②③ B ．②④⑤ C ．①②⑤三、其它非基本图形类线段和差最值问题1、求线段的最大值与最小值需要将该条线段转化到一个三角形中，在该三角形中，其他两边是已知的，则所求线段的最大值为其他两线段之和，最小值为其他两线段之差。
八年级数学专题 全等三角形之线段的和差
八年级数学培优第2课时全等三角形线段的和差问题一、截长补短例1.已知四边形ABCD 中，AB ⊥AD,BC ⊥CD,AB=BC, 0120,60ABC MBN ∠=∠=,MBN ∠绕B 点旋转，它的两边分别交AD 、CD(或它们的延长线)与E 、F 。
（1）如图1，求证：AE CF EF +=。
（2）当MBN ∠绕B 点旋转至如图2所示的位置，求证：AE —CF=EF 。
例2.在正方形ABCD 中，045MAN ∠=，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC （或它们的延长线）于M 、N 。
（1）如图1，求证：BM+DN=MN.（2）当MAN ∠绕点A 顺时针旋转至如图2所示的位置时，求证：MN+BM=DN.NMF E DCBAN M F E D C B A N MD CBA M DC BA巩固练习：1.已知如图1，在△ABC 中，2ABC ACB ∠=∠,AD 为BAC ∠的平分线。
（1）求证：AC=AB+BD ；（2）如图2，若AD 为BAC ∠的外角的平分线，其它条件不变，探索AC 、AB 、BD 三者之间的关系，并证明你的结论。
2.已知：如图，在△ABC 中，2ABC ACB ∠=∠，且AD ⊥BC 于D ， （1）求证：CD=AB+BD 。
（2）若2ABC ACB ∠=∠＞90º，其它条件不变，探索（1）中线段CD 、AB 、BD 三者之间的关系，画图并证明你的结论。
D C BAD C B A CB AD B C A3.已知：AD ⊥CD ，BC ⊥CD, 12,34∠=∠∠=∠,直线DC 过点E 交AD 于D ，交BC 于C 。
求证：AD+BC=AB.4.如图：在在△ABC 中，AB=AC, ∠A=90°，BD 平分∠ABC 。
求证：AB+AD=BC.5. 如图：在△ABC 中，AB=AC, ∠A=108°，BD 平分∠ABC. 求证：AB+CD=BC.6.已知：如图，在△ABC 中，O 是,ABC ACB ∠∠的角平分线的交点，BD+CE=BC. 求A ∠的度数。
《线段的和与差》PPT课件
AE B
C
F
D
解：设AB=3x，BC=2x，CD=5x，
因为E、F分别是AB、CD的中点，
所以 BE 1 AB 3 x,
2
2
CF 1 CD 5 x,
2
2
所以EF=BE+BC+CF=
3 2
x
2x
5 2
x
6 x.
因为EF=24，所以6x=24,解得x=4.
所以AB=3x=12，BC=2x=8，CD=5x=20.
∴ MN＝CM+CN＝4+2＝6（cm）.
(2)猜测MN
＝
1 2
a
cm.
∵ M,N分别是AC,BC的中点,∴ CM＝
1AC,CN＝ 1BC,
2
2
∴
MN＝CM+CN＝
12(AC+BC)＝
1 2
a
cm.
随堂训练
1. A，B，C三点在同一直线上，线段AB=5cm，BC=4cm，那么
A，C两点的距离是（C）
B
几何语言：∵ M 是线段 AB 的中点，
∴ AM = MB = 1 AB ， ( 或 AB = 2 AM = 2 MB ).
2
反之也成立：∵
AM
=
MB
=
1 2
AB(
或
AB
=
2
AM
=
2
AB
)，
∴ M 是线段 AB 的中点.
点 M , N 是线段 AB 的三等分点： A
M
N
B
1
AM = MN = NB = _3__ AB (或 AB = _3__AM = __3_ MN = __3_NB)
初中几何中线段和差的最大值与最小值练习题(最全)
初中几何中线段和差的最大值与最小值练习题(最全)初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值基本图形解析：一）已知两个定点：1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小。
1）点A、B在直线m两侧：在直线m上找到点P使得PA=PB，则PA+PB最小。
2）点A、B在直线同侧：在直线m上找到点A'，使得A'是关于直线m的对称点，再找到点P使得PA'+PB最小，则PA+PB最小。
2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。
1）两个点都在直线外侧：在直线m上找到点A'，使得A'是关于直线m的对称点，在直线n上找到点B'，使得B'是关于直线n的对称点，再找到点P和Q，使得PA'+PQ+QB'最小，则PA+PQ+QB最小。
2）一个点在内侧，一个点在外侧：在直线m上找到点P，使其与A点连线垂直直线m，再在直线n上找到点Q，使其与B点连线垂直直线n，使PA+PQ+QB最小。
3）两个点都在内侧：在直线m上找到点A'，使得A'是关于直线m的对称点，在直线n上找到点B'，使得B'是关于直线n的对称点，再找到点P和Q，使得PA'+PQ+QB'最小，则PA+PQ+QB最小。
4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A、B位于直线m,n的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短。
在直线m上找到点A'，使得A'是关于直线m的对称点，在直线n上找到点B'，使得B'是关于直线n的对称点，连接A'和B'，交直线m和n于D和E，使ADEB为矩形，则ADEB周长最短。
变式二：已知点A位于直线m,n的内侧,在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短。
在直线m上找到点A'，使得A'是关于直线m的对称点，连接AA'，在直线n上找到点Q，使得A'Q垂直直线n，连接AQ，使得PA+PQ+QA最小。
中考数学之 线段和(差)的最值问题
求线段和（差）的最值问题【知识依据】：1．线段公理——两点之间，线段最短；2．对称的性质——①关于一条直线对称的两个图形全等；②对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线；3．三角形两边之和大于第三边；4．三角形两边之差小于第三边。
5、垂直线段最短 一、已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。
2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。
（1）两个点都在直线外侧：mm ABm ABm n mn（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.nm Annnm二、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：m nm nm nmmmmm三、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。
(原理用平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧：过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左移动PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。
（2）点A 、B 在直线m 同侧：四、求两线段差的最大值问题(运用三角形两边之差小于第三边) 1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA 与PB 的差最大； （1）点A 、B 在直线m 同侧：（2）点A 、B 在直线m 异侧：过B 作关于直线m 的对称点B ’,连接AB ’交点直线m 于P,此时PB=PB ’，PA-PB 最大值为AB ’Bmmmmm Q。
初中数学线段和差最值问题（史上最全版）
初中数学线段和差最值问题（史上最全版）⼀、知识依据1．线段公理：两点之间，线段最短；2．对称的性质：①关于⼀条直线对称的两个图形全等；②对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线；3．三⾓形的三边关系：①三⾓形两边之和⼤于第三边；②三⾓形两边之差⼩于第三边。
4.垂直线段最短。
⼆、从“将军饮马”说起话说在古罗马时代，在亚历⼭⼤城有⼀位精通数学和物理的学者，名叫海伦。
⼀天，⼀位罗马将军专程去拜访他，向他请教⼀个百思不得其解的问题：将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧B地开会，应该怎样⾛才能使路程最近？从此，这个被称为“将军饮马”的问题⼴泛流传。
这个问题的解决并不难，据说海伦略作思考就解决了它。
为了解决“将军饮马”问题，我们先看下⾯的问题。
（⼀）点A、B在直线m的异侧，在直线m上，求⼀点P，使PA+PB最⼩由两点之间线段最短知，由A到B⾛直线距离最短，所以连接AB与直线m交于点P，此时PA+PB最⼩。
我们选取除P之外的任意⼀点P’，由三⾓形的三边关系可以证明。
综上，我们可知点A、B在直线m异侧时，连接AB与直线m交于点P，即为所求。
搞清楚上⾯这个问题后，我们再来研究“将军饮马”问题就简单了。
（⼆）点A、B在直线m的同侧，在直线m上，求⼀点P，使PA+PB最⼩作图步骤：①作点A关于直线m的对称点A,②连接BA,，与直线L相交于点P③此时PA+PB最⼩。
看到这个问题后，我们会怎么思考呢？结合上⾯的问题及解答思路，我们会想到将直线m同侧的两个点转化到直线m异侧，那么问题就迎刃⽽解了。
所以，我们作A关于直线m的对称点A’（做B的对称点也⼀样），则将同侧的两点A、B转化到了异侧两点A’、B。
此时，连接A’B与直线m交于点P，即为所求。
综上，我们可知“将军饮马”问题转化为对称点，则问题就轻松解决了。
三、“将军饮马”的拓展延伸总结“将军饮马”问题，我们发现是两个顶点及定直线上的⼀个动点问题，那么接下来我们将刚才的问题进⾏升级。
线段的和差问题
线 段 的 和 差 问 题薛志军(湖南长沙中南大学附属实验中学 410083)线段的和差问题是几何证明中常见的题型，它与证明线段相等紧密相联.一般来说，通过作辅助线可转化为线段相等问题.解决线段的和差问题，需要综合应用三角形全等，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，含有30º角的直角三角形的性质，线段中垂线的性质，角平分线性质，三角形，梯形中位线性质等知识.因此，通过此问题的讨论，一方面，帮助学生对与之相关的知识、定理进行梳理，系统化，进而建构有效的知识系统；另一方面，使他们在学习具体的几何知识的同时，掌握“化归”的数学思想方法.一、 利用图形中已有的线段和差关系进行证明例1 已知：如图1，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 相邻外角∠ACG 的平分线相交于D ，DE∥BC 交AB 于E ，交AC 于F .求证：EF=BE-CF . 分析 要证EF=BE-CF ，而图中有EF=ED-FD ，若能证出BE=ED ，CF=FD ，则此题可证出.说明 本题利用了等腰三角形的判定来证明线段的差的问题. (图1) 例2 已知：如图2，△ABC 中，∠BAC=90o ，AB=AC ，AE 是过点A 的一条直线且B ，C 在AE 的异侧，BD⊥AE 于D ，CE⊥AE 于E . 求证：BD=DE+CE .E 分析 本题主要利用△BAD≌△ACE，得BD=AE ，AD=CE ，从而得BD=AE=DE+AD=DE+CE .说明 本题主要利用三角形全等的方法直接证明线段的和的问题.二、截长法（在第三条线段上截取一段等于第一条线段，然后证明余下的线段等于第二条线段）例3 已知：如图3，四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD，CE⊥AB 于E ，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE .分析 要证AE=AD+BE ，则可转化为证AE-BE=AD ，则需找到一条线段使它等于AE-BE ，再证其与AD 相等，在EA 上截取EF=BE ，连结CF ，问题转化为证AF=AD ，即要证出△AFC≌△ADC .证明 在EA 上截取EF=BE ，连结CF . ∵CE⊥AB 于E, ∴CF=CB . ∴∠1=∠B .∵∠1+∠2=180°，∠B+∠D=180°, (图3) ∴∠2=∠D .∵∠FAC =∠D AC ，AC=AC,∴△AFC≌△ADC .∴AF=AD.∵AE=AF+EF, ∴AE=AD+BE.三、补短法（延长一条线段，作出两条线段的和，然后证明这条线段等于第三条线段）例4 已知: 如图4，在△ABC 中,∠BAC =2∠B,CD 是∠ACB 的平分线.求征: BC=AC+AD .证明 延长CA 至E ，使AE=AD ，连结DE .∴∠E=∠EDA . (图4) ∴∠BAC=∠E+∠EDA=2∠E . ∵∠BAC=2∠B , ∴∠B =∠E .在△CDE 和△CDB 中 . ∠1=∠2，CD=CD ，∠E=∠B , ∴△CDE≌△CDB .E'∴CE=CB ,∴BC=CE=EA+AC=AD+AC .四、旋转法例5 已知:如图5，已知F 为正方形ABCD 的边BC 上一点，AE 平分∠DAF.求证：DE=AF-BF.分析 将△ADE 绕A 点顺时针旋转90º，则AE ⊥AE ´ 可证E ´，B ，F 共线，∠E ´= ∠E ´ (图5)则有AF= E ´F.∴DE=BE ´=E ´F-BF=AF-BF. 五、等积变换法例6 已知:如图6，已知在△ABC 中，AB=AC ，BD 为AC 边上的高，如果在BC 上取一点F ，过F 作FG ⊥AB 于G ，作FH ⊥AC 于H.求证：FG+FH=BD. 分析 连接AF.S SSAFCABFABC∆∆∆+=AC FH GF AC AC FH GF AB BD AC ⋅+⋅=⋅+⋅=⋅∴2121212121(图6)得BD=GF+FH . 例7 已知:如图7，在△ABC 中，∠A=90º，D 是AC 上一点，BD=CD ，P 是BC 上任一点，PE ⊥BD 于E ，PF ⊥AC 于F.求证：分析 连接PD .由S S SPDB PCD BCD∆∆∆+= , (图7)得得AB=PE+PF.六、归一法（将处于不同位置的线段转化到同一条线段中来） 例8 已知:如图8，已知平行四边形ABCD 的对角线交于O ，点P 是BD 上任一点（异于B ，O ，D 三点），过P 点作平行于AC 的直线交直线AD 于E ，交BA 的延长线于F.求证：AC=PE+PF.分析 ∵OD PD AO PE = ，OBPBAO PF =, 且OB=OD=BD 21, (图8) ∴OBPBOD PD AO PF AO PE +=+. 即22121==+=+BD BDBD PB PD AOPF PE . )(212121212121PE PF CD PE CD PF CD PE BD PF CD BA DC +=⋅+⋅=⋅+⋅=⋅∴1=+ACPFPE ，即AC=PE+PF.七、特殊定理法证明线段的和差时，可适当添加辅助线，以便于运用某些特殊的定理.这些 特殊的定理包括：三角形，梯形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等.例9 已知:如图9，AB 是O Θ的直径，直线MN 与 O Θ相切于C ，AE ⊥MN 于E ，BF ⊥MN 于F.求证：分析 连接OC ，则有OC ⊥MN.∵AE ⊥MN ，BF ⊥MN,∴AE ∥OC ∥BF . (图9) ∵OA=OB, ∴EC=CF.∴AE+BF=2OC=AB.。
线段和差问题与截长补短法(含答案)
线段和差问题的截长补短方案（一题多解）系列文章之一线段和差问题与截长补短法（含答案）四川崇州 平生曜曜数学好玩，因为定题型、树模型，招式路数皆可寻。
几何中的线段和差问题，截长补短法在实施过程中都有四种截长方案，八种补短方案，可谓十二重关。
本文即将推出一道线段和差问题，希望同学们努力破之。
作者曾闲着没事碰巧把这十二种方案都尝试成功了，所以对于同学而言这十二关障的破解就不再是渺茫的探求，而是一个已经有了答案的考题。
同学们尽管去尝试，要深信这十二种方案皆能破题，但也仅限于本文所推题目而已，至于其它的线段和差问题十二关障能否一一告破就不好说了。
比如本人正在攻克一道线段和差问题，被弄得昏天地转，仍未冲破牛角，现在只得将之当作休闲佐料耳。
作者打心底告诉各位同学，把一道“典型题”做透了，会领悟n 多，积淀一抹多。
但说得再多也是空谈，当你正真去把它做实，你才能感受到其中的丰富与藕联，而后你再通过提炼啊，总结啊，什么，什么的，定能铸就非凡的解题技艺。
数学可玩，因为按需补、应需造，综合分析可当道。
好了，大家来凑凑热闹，去感受那应需而生的几何构造是如何美妙？ 如图，等边⊿ABC 中M 、N 分别为线段AB 、BC 上的两点，且BM=CN ，AN 、CM 相交于点E ，将⊿ABC 绕点C 旋转，使CB 与CA 重合得到⊿ACD ，连结DE.（1）、求证：⊿BCM ≌⊿CAN ； （2）、求∠AED 的度数； （3）、求证：AE + CE = DE ；第一篇章：探讨第（1）、（2）问的解答第（1）问的解答（1）、∵⊿ABC 是等边三角形 ， ∴ BC = AC ，∠B =∠ACN又∵BM = CN ，∴⊿BCM ≌⊿CAN .第（2）问的解答〈分析一〉：通过量角器测量，可大胆猜想ο∠AED，怎样求证？60= Array由（1）题，容易证获CAN=∠，BCM∠再由外角性质易证ο∠AEM，从而∠=60得ο∠AEC，那么关键环节来了！120=在四边形AECD中，欲证边AD所对“帆尖角”ο60∠ACD，所以=60=∠AED，考虑到边AD所对另一“帆尖角”ο只需去求证“A、E、C、D”四点共圆即可。
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A
练习题
1.如图 已知四边形 如图,已知四边形 如图 已知四边形ABCD中，AC平分∠BAD, 中 平分 且∠D+ ∠ B=1800 求证： 求证：则AE=AD+BE
A D
D
F E B
C
练习题
1.如图 已知四边形 如图,已知四边形 如图 已知四边形ABCD中，AC平分∠BAD, 中 平分 且∠D+ ∠ B=1800 求证： 求证：则AE=AD+BE
F
C E
要证明两条线段的和与一条线段 要证明两条线段的和与一条线段 时常用的两种方法： 相等时常用的两种方法 相等时常用的两种方法： 长线段上截取与 、可在长线段上截取 D1、可在长线段上截取与两条线段 中一条相等的一段， 中一条相等的一段，然后证明剩 余的线段与另一条线段相等。 余的线段与另一条线段相等。 （割） B 2、把一个三角形移到另一位置， 、把一个三角形移到另一位置， 移到另一位置 两线段补成一条线段， 使两线段补成一条线段，再证明 它与长线段相等。（补） 它与长线段相等。（补 长线段相等。（
M DBC来自拓展题3.如图 已知 ∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA， 如图,已知 如图 已知AC ， 、 分别平分 和 ， CD过点 ，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由。 过点E， 相等吗？ 过点 与 相等吗 请说明理由。
C E D
A
F
B
拓展题
3.如图 已知 ∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA， 如图,已知 如图 已知AC ， 、 分别平分 和 ， CD过点 ，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由。 过点E， 相等吗？ 过点 与 相等吗 请说明理由。
1.如图，AC=AB, ∠ACB=900,AD平分∠CAB, 如图， 平分∠ 如图 平分 求证： 求证：AC+CD=AB
A D F
E B
C
要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法： 要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法： 两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法 1、可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段，然 、可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段， 长线段上截取 后证明剩余的线段与另一条线段相等。（ 。（割 后证明剩余的线段与另一条线段相等。（割） 2、把一个三角形移到另一位置，使两线段补成一条线 、把一个三角形移到另一位置， 移到另一位置 再证明它与长线段相等。（补 长线段相等。（ 段，再证明它与长线段相等。（补） 注意辅助线的作法及语言的表达， 3、注意辅助线的作法及语言的表达，辅助线只能 实现一种功能。 实现一种功能。
A
3.如图 已知 ∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA， 如图,已知 如图 已知AC ， 、 分别平分 和 ， CD过点 ，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由。 过点E， 相等吗？ 过点 与 相等吗 F请说明理由。
C E D C E D A
F
B
B 要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法： 两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法 要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法： 1、可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段，然后证明 、可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段， 长线段上截取 剩余的线段与另一条线段相等。（ 。（割 剩余的线段与另一条线段相等。（割） 2、把一个三角形移到另一位置，使两线段补成一条线段，再证 、把一个三角形移到另一位置， 两线段补成一条线段， 移到另一位置 明它与长线段相等。（补 长线段相等。（ 明它与长线段相等。（补）
类型题回放： 类型题回放： 1.已知 在等腰Rt ABC中 已知： Rt△ 1.已知：在等腰Rt△ABC中，AC ＝ BC ∠C＝90° AD平分 平分∠ BAC，DE⊥AB于点 于点E ∠C＝90°，AD平分∠ BAC，DE⊥AB于点E。 求证：BD＋ 求证：BD＋DE ＝AC A
E
C
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类型题回放： 类型题回放： 2.已知 已知： ABC中 AC，直线MN经过点A, MN经过点 2.已知：△ABC中，AB ＝ AC，直线MN经过点A, ∠BAC＝90° BD⊥MN于点 于点D, CE⊥MN于点 于点E ∠BAC＝90°，BD⊥MN于点D, CE⊥MN于点E 。 求证： 求证：DE ＝BD+CE N E A