初中数学线段最值问题专题训练PPT
2020年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈(56张PPT)
y
B
M1
O
点M1为最值点， P1D1为所求线段 M
x
D1
H
P1
P
D C
“阿氏圆”问题
【问题背景】阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点 A、B， 则所有满足PA/PB=k（k≠1）的点 P 的轨迹是一个圆，这个轨迹 最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿波罗尼斯圆”简称 “阿氏圆”.如下图所示，其中PA：PB＝OP：OB＝OA：OP＝k.
小伙子从A走到P，然后从P折往B，可望最早到达B。
问 题 ： 若 在 驿 道 上 行 走 的 速 度 为 v1=8km/h ， 在 沙 地 上 行 走 的 速 度 为
v2=4km/h.（1）小伙子回家需要的时间可表示为 （2）点P选择在何处他回家的时间最短？
AP P; B
84
1 4
1 2
PA
PB
PA最长 PB最短
⑦圆圆之间，连心线截距最短（长）
基本图形
E
A
O
C
B DM
F
结论
AB最长 CD最短
解决策略
复杂的几何最值问题都是在基本图形的基础上进行变式 得到的，在解决这一类问题的时候，常常需要通过几何变换 进行转化，逐渐转化为“基本图形”，再运用“基本图形” 的知识解决。常运用的典型几何变换有： （1）平移------“架桥选址” （2）翻折------“将军饮马“ （3）旋转------“费马点问题“ （4）相似------“阿氏圆问题“ （5）三角------“胡不归问题“ （6）多变换综合运用
解题要点：
将定点沿定长方向平移
定长距离 将军饮马
B1
B1
架桥选址类
【例20】如图，在矩形ABCD中，AB＝ 3 ，BC＝1，将△ABD
2020年中考备考专题复习课件：线段的和(差)最值问题(共18张PPT)
线段和（差）的最值问题
一、已知两个定点，一条直线，求 直线上一点，到两定点之和最小。
方法：作其中一点关于直 线的对称点 ，连接另一 点与对称点 ，与直线的 A 交点就是所要求的点。
基本图形 ： FA+FB=F+FB`=AB` 此时，和最小
A
Bm
Bm F
B`
根据：两点间线段最短
5
BD
的最小值为4
5
B
C
5
E D
C
典型题解析
4.如图，△ABC为等边三角形，AB=2，若P为△ABC内一动点，
且满足∠PAB =∠ACP,则线段PB长度的最小值为___________.
C
解析：由∠PAB =∠ACP，且 ∠PAB+∠PAC=600,可得∠P=1200， 所以P应该是在AC所对的弧上运 动。由A、P、C三点确定辅助圆， 当B、P、O三点在一条直线上时， PB长度最小，根据两点间线段最 短。
解析：此题 A、C是两定点，点P在OB上为动点， 故可作C关于OB的对称点C`，连接AC`交OB于点P.
∵OA⊥OB, ∴∠AOB=900. ∵∠AOC=600, ∴∠BOC=300. ∴∠AOC`=300 ∴∠AOC=∠C`OC=600, ∠AOC`=1200 ∴OC⊥AC` ∴∠OAC`=300,AH=HC`.
y A
解析 ：由PA-PB≤AB，故取等号时，差 最大，也就是当点P与点H重合时，差最 大。
∵A(-2,3) , B（3，1），
∴AB= 52 + 22 = 29 即：PA-PB长度最大为 29
y A
B
x
O
P
H
PO
B
中考数学专题复习求线段和差的最值问题(共26张PPT)
第一步 寻找、构造几何模型
要求四边形MNFE F/
F
的周长最小？
使线段PO与PD之差最大？若存在，请求出这个最大值和点P的坐标。
N
E
⑵练习①：当已M知点二在次何函处数时图，像AM的＋顶C点M坐的标值为最C小(3；，-2)，且在x轴上截得的线段AB的长为4，在y轴上有一点P，使△APC的周长最小，求P点
线段和差的最值问题解题策略 一、两条线段和的最小值
例4:在矩形ABCD中，F是BC的三等分点，E是AB的二等分点，在x轴、y轴上是否分别存在点M、N,使得四边形MNFE的周长最小？如
y 果存在,求出周长的最小值;如果不存在,请说明理由.
点A为 y 轴正半轴上的一点，⊙A经过点B和点O,直线BC交⊙A与点D。
（1）点A、B在直线m两侧：
（2）点A、B在直线同侧：
A
A
m B
m P
A
B
A
B m
B m
P
A'
一、求两条线段之和的最小值
例1：在△ABC中，AC=BC=2，
∠ACB=90O，D是BC边的中点，E是AB
上的一动点，则EC+ED的最小值
为
。
A
p
E
C
D
.
B
2、抛物线在坐标系中的位置如图：对 在其称轴上找一点P，使得△PBC的周 长最小，请求出点P的坐标 .
举一反三
典例2 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点F
在边AC上,并且CF=2,点E为边BC上的动点,将△CEF沿
直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最小
值是
.
1.2
中考专题复习
“线段和差最值问题”专题学习 ppt
专题学习
1、如图，直线L外有点A与点B，点P是L 上一 动点，当PA+PB最小时，试确定点P的位置.
2、如图，射线AC外有一点B，点P是射线AC 上一动点，当PB + 1 PA最小时，试确定点 P
2 的位置.
◆如图，平面直角坐标系中，OA =2， 点P为 x 轴正半轴上一动点， ∠POA=30 °. 求：OP+2PA的最小值。分别是y轴与x轴上的动点， 当 MC+MN — 2 AN最小时，试确定动
2
点M、N 的位置，并求 MC+MN — 2 AN
2
的最小值。
◆如图，射线AC外有一点B，点P是射线AC 上一动点，
当PB — 1 PA 最小时，试确定点 P 的位置. 2
◆如图，点A在第一象限，点B在x轴正半轴上，点M、N分别是y轴与x轴上
的动点，当 MA+MN + 1 BN最小时，试在坐标系中确定动点M、N 的位置。 2
【思考】如图，抛物线 y x2 2x 3 与x轴交于A、B两点，抛物线的
中考专题复习ppt课件：利用轴对称解决线段最值问题
最小值，模型一。会
扒开问题表面，找到
P
问题本质，突出数学
模型思想的重要性。
7
2.一点两线
如图，点P是∠MON内 的一点，分别在OM， ON上作点A，B，使 △ABP的周长最小
解题思路：分别作P 点关于OM和ON的对 称点P1和P2，连接 P1P2分别交OM，ON 于A，B两点，此时 △ABP的周长最小
复习课题
利用对称轴解决最值 问题
1
2
用对称轴 解决最值
问题
线段和 的最小
值
线段差 的最大
值
两点一线 一点两线 两点两线 两点同侧 Nhomakorabea两点异侧
3
1.两点一线
“小河问题” 如图，你家和我家在小河l 的同侧两点A、 B处，两家共用一个水泵，水泵放小河边哪一点能使 所用的水管最短，即PA+PB最小
4
5
8
例题2
如图，点P是∠AOB内一点，∠AOB＝45o，OP ＝10，M是OA上的一个动点，N是OB上的一个 动点，△PMN的周长最小时，求此时的周长
A
M
P
B N O
9
例题1 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、 B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对 称轴． ① 求抛物线的函数关系式； ②设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的 周长最小时，求点P的坐标；
6
以抛物线为背景，三
角形周长最小，看似
三条线段和最小，实
质仍是两条线段和最
小问题，即PA+PC的
2020年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈(56张PPT)
MN，NA．则四边形ABMN周长的最小值为.河边Fra bibliotekB1M1
河边
N1
A1
将军饮马类
【例14】（两动一定型）如图，∠AOB＝45°，点P是∠AOB
内的定点且OP＝ 2，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点
O的动点，则△PMN周长的最小值是
．
P1
河边
N1
M1
P2
河边
将军饮马类
【例15】（三动点型）如图，点A是⊙O2上一动点，点B是⊙O1
PA最长 PB最短
⑦圆圆之间，连心线截距最短（长）
基本图形
E
A
O
C
B DM
F
结论
AB最长 CD最短
解决策略
复杂的几何最值问题都是在基本图形的基础上进行变式 得到的，在解决这一类问题的时候，常常需要通过几何变换 进行转化，逐渐转化为“基本图形”，再运用“基本图形” 的知识解决。常运用的典型几何变换有： （1）平移------“架桥选址” （2）翻折------“将军饮马“ （3）旋转------“费马点问题“ （4）相似------“阿氏圆问题“ （5）三角------“胡不归问题“ （6）多变换综合运用
【例3】如图,直角 ABC中,∠C=90∘,D是AC边上一动点,以BD为边,
在BD上方作等腰直角 BDE,使得∠BDE=90∘，连接AE.若BC=4，
AC=5，则AE的最小值是
.
E A
E1
5
D
法二： 构造法 定轨迹
解题顺口溜 “两动两定取新点” “相同操作连新从” “手拉手型得相似”
B
4
C
“相似定值得轨迹”
深刻理解把握这一问题的基本原理、解决策略，利于我们 把握中考方向，在教学实践中才能做到有的放矢，提高教学的 针对性、有效性。
专题复习----“线段和 (差)的最值”28页PPT
之差小于第三边。
课本原型（八上85页）
• 如图所示，牧马人从A地出发，到一条笔直 的河边 l饮马，然后到B地。木马人到河边 的什么地方饮马，可是所走路径最短？
B
A
CC
A`
• 理论依据：两点之间，线段最短 • 用途：求两条线段和的最小值
课本原型（八上86页）
得BM+MN的最小值为4
C D B
变式训练
练习1，如图，正方形ABCD的边长为4， ∠CDB的平分线DE交BC于点E，若点P,Q分 别是DE和DC上的动点，则PQ+PC的最小
值（ ） A.2 B. 2 2 C.4 D. 4 2
Q
D
C
PE
A
B
【变式训练】
练习2，如图，∠AOB=45°，P是∠AOB内一 点，OP=10，Q、R分别是OB、OA上的动
由题知：|PA-PB|<AB，所以当|PA-
P
PB|的值最大时，先找出点B关于直线 A
x=2的对称点Bl，连接AB与直线x=2的 交点即为所求点P，O B1 NhomakorabeaBx
此时满足： |PA-PB|的值最大；
P
解析：点B与点Bl关于直线x=2对称，B（3,0），得 B′（1，0）；易求直线AB′ ：y=-x+1,因为点P在x=2 上，所以联立可解得：P(2,-1)
A
a
M’
A’
M
b
N’
N B
应用：求两条线段和的最小值
模型一：（两点同侧）：如图1，点P在直线l上 运动，画出一点P使PA+PB取最小值。
模型二：（两点异侧）：如图2，点P在直线l上 运动，画出一点P使PA+PB取最小值。
2023中考数学专题复习-利用“两点之间,线段最短”解决最值问题(课件)
问题2：解决以几何图形为背景的最值问题我们
将运用到哪些知识？
“两点之间，线段最短”、轴对称点、勾股定理、
三角形三边关系、垂线段最短、线段垂直平分线的
性质、矩形、菱形……
复习回顾
O
(1)两点之间线段最短。
(1)两点之间线段最短。
(2)线段垂直平分线的性质、轴对称。
(2)线段垂直平分线的性质、轴对称。
第2题答图
3．如图，在菱形 ABCD 中，若 AD＝6，∠ABC＝120°，E 是 BC 的中点，
P 为对角线 AC 上的一个动点，连接 PB，PE，则 PE＋PB 的最小值为
3 3
__________．
【解析】如答图，连接 BD，DP，DE.∵四边形 ABCD 是菱形，∴B，D
关于直线 AC 对称，∴DE 的长即为 PE＋PB 的最小值．∵∠ABC＝120°，
M，N 分别是射线 OA，OB 上异于点 O 的动点，则△PMN 周长的最小
值是__________．
6
【解析】如答图，作点 P 关于 OB 的对称点 P′，作点 P 关于 OA 的对称
点 P″，连接 P′P″，则 P′P″的长就是△PMN 周长的最小值．在△OP′P″
中，OP′＝OP″，∠AOB＝30°，∴∠P′OP″＝60°.∵OP＝6，∴P′P″＝6.
即为所求，△PCD 周长的最小值即为线段 P′P″的长．
“两定两动”型
6．如图，已知正方形 ABCD 的边长为 3，点 E 在边 AB 上且 BE＝1，点
P，Q 分别是边 BC，CD 上的动点(均不与顶点重合)，则四边形 AEPQ 周
2＋2 13
长的最小值是__________．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
线段最值问题
1、“对称+点点最值”如图，在正方形ABCD中，AB=8，AC与BD交于点O，N是OC的中点，点M在BC边上，且BM=6，P为对角线BD上一点，则PM+PN的最小值为
2、“对称+点点最值”如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，E、 F、 G、H分别在矩形ABCD
的边AD、AB、BC、CD上。
若AF=2，DH=5，E、G分别为AD、BC上的动点，
求四边形EFGH周长的最小值
3、“双对称
+点点最值”如图，在边长为6的菱形
ABCD中，
AC是其对角线，∠B=60°，点P在
CD上，CP=2，点M在AD上，点N在AC上，则△PMN周长的最小值为
4、“双对称+点点最值”如图，∠AOB=30°，点P为∠AOB内一点，且OP=10，点M，N分别为OA，OB上的动点求△PMN周长的最小值
5、“平移+点点最值”如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD=60°，点E、F是对角线AC上的两点，且EF=1，点E在点F的左侧，求DE+BF的最小值。
6、“平移+对称+点点最值”(1)如图，菱形ABCD 的边长为3，∠BAD=60°，点E 、F 是对角线AC 上的两点，且EF=1，点E 在点F 的左侧，求DE+DF 的最小值。
（2）如图，矩形ABCD 中，AD =2，AB =4，AC 为对角线，E 、F 分别为边AB
、CD 上的动点，且EF ⊥AC 于点M ，连接AF 、CE ，求AF +CE 的最小值．
（3）如图，sinC=3/5，长度为2的线段ED 在射线CF 上滑动，点B 在射线CA 上，BC=5，则△BDE 的周长的最小值为_____.
（4）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点B 在原点，点A 、C 在坐标轴上，点D 的坐标为（6，4），E 为CD 的中点，点P 、Q 为BC 边上两个动点，且PQ =2，要使四边形APQE 的周长最小，则点P 的坐示应为______________．
7、“三对称+点点最值”如图，矩形ABCD 的边AB=3，BC=4，点E 为CD 边上一点，且CE=1，点F 、G 、H 分别是AD 、AB 、BC 边上的动点，则四边形EFGH 周长的最小值是多少？
A B C D
E
F
M
x
8、“隐形对称+点点最值”
(1)如图，直线l
外有一点
D,点D 到直线l 的距离为5,在△ABC 中
(2)如图，在矩形ABCD 中，AB=5，BC=3，动点P 满足S △PAB =
S 矩形ABCD ，则PA+PB 的最小值为多少？
9、“全等转化+点点最值”如图，在矩形ABCD 中，AB=15，AD=20，E 、F 分别是AC 和CB 上的两个动点，且AE=CF ，求DE+DF 的最小值。
10、“全等转化+点点最值”如图，等边△ABC 边长为2，AD 是高，点E 、F 分别在线段AD 、AC 上运动，且AE=CF ，则BF+CE 的最小值为______.
11、“对称+点点最值（差最大）”如图，在正方形ABCD 中，AB=8，AC 与BD 交于点O ，N 是OA 的中点，点M 在BC 边上，且BM=6，P 为对角线BD 上一点，则PM-PN 的最大值
为
12、“对称+点线最值”(1)如图，菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=45°，点P为对角线BD上一点，M为BC上一点，则PC+PM的最小值为
(2)边长为2的等边三角形中，P是动点，点P关于AB、BC的对称点为M、N
，求MN的最小值
(3)如图，△ABC为锐角三角形，∠ABC＝30°，AC＝6，△ABC的面积为33，点
E、F、P分别为
△ABC三边AB、BC、AC上的三个动点，求△EFP周长的最小值．
13、“对称+线线最值”
如图，等边三角形ABC中，点P、M、N分别是BC、CA、AB边上的动点，则
PM+MN的最小值为___. B
B。