复合函数求导

当t

时, x a( 1), y a . 2 2

所求切线方程为
y a x a( 1) 2
即 y x a( 2 ) 2


七. 小结
复合函数求导法则 初等函数的求导问题 1.常数和基本初等函数的导数公式 2.函数的和、差、积、商的求导法则 3.复合函数的求导法则 一阶微分的形式不变性 隐函数的导数 对数求导法 参数形式的函数的求导公式
第四节
复合函数求导 法则及其应用
一、复合函数求导法则 二、初等函数的求导问题 三、一阶微分的形式不变性 四、隐函数的导数
五、对求导法
六、参数形式的函数的求导公式
一、复合函数求导法则
定理4.4.1 (复合函数求导法则 ) 设函数 u g( x )在 x0可导， 而函数 y f (u) 在 u0 g( x0 ) 处可导，则复合函数
推广
设 y f ( u), u (v ), v ( x ),
则复合函数
y f { [ ( x )]}的导数为 :
dy dy du dv dx du dv dx
例4.4.1 解:
求函数 y ln sin x 的导数.
y ln u, u sin x.
f (u0 ) g( x0 ).
复合函数的求导法则可以写成:
dy dy du dx du dx
即因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求
导乘以中间变量对自变量求导，我们称它为链式法则.
复合函数的微分公式为:
d [ f ( g( x ))] f ( u) g( x )dx
dy dy du 1 cos x cot x cos x dx du dx u sin x
例4.4.2 解:
求函数 y
y e
sin 1 x (sin
1 sin e x
的导数.
1
sin 1 1 1 ) e x cos ( ) x x x

1 x
x y 2
问题:
消参困难或无法消参的如何求导？ 中， 设 ( t )和 (t ) 在( , )
x (t ) t 在方程 y (t )
上可导, ( t )在 ( , ) 上严格单调且 (t ) 0，
x (t ) 在 ( , )上存在反函数 由反函数求导法则， 1 1 －1 t ( x )，且成立 ( x ) ， 从而 y [ 1 ( x )]. ( t ) 由复合函数求导法则: dy dy dy dt 1 dy dt (t ) 即 dx dt dx ( t ) dx dx dt
(t )dt dx
dy f ( x )dx
结论：不论 x 是自变量还是中间变量，函数 y f ( x ) 的微分形式总是 dy f ( x )dx . 例4.4.5 解: 设 y sin( 2 x 1) ,求dy .
y sin u
u 2x 1
四、隐函数的导数
定义4.4.1 由方程 F ( x, y ) 0 所确定的函数 y y( x ) 称为隐函数。 y f ( x ) 形式称为显函数 .
F ( x, y ) 0 y f ( x )
问题:
隐函数的显化
隐函数不易显化或不能显化如何求导?
隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导,或利用 一阶微分的形式不变性对方程两边求微分.
求函数 y f n [ n (sin x n )] 的导数. y nf n1[ n (sin x n )] f [ n (sin x n )] n n1 (sin x n ) (sin x n ) cos x n nx n1
n 3 x n1 cos x n f n1[ n (sin x n )]
dy cos udu cos(2 x 1)d (2 x 1) cos(2 x 1)2dx 2 cos(2 x 1)dx
例4.4.6 设 y e ax sin bx ，求 dy .
解:
dy e ax cos bx d (bx) sin bx e ax d (ax) e ax cos bx b dx sin bx e ax (a ) dx e ax (b cos bx a sin bxe)dx
n1 (sin x n ) f [ n (sin x n )] (sin x n ).
三、一阶微分的形式不变性
设函数 y f ( x )有导数 f ( x )
dy f ( x )dx （1）若x 是自变量时，
（2）若x是中间变量时，即是另一变量 t 的可微函数
x (t ) 则 dy f ( x ) (t )dt .
y f [ g( x )] 在 x0 可导，且有:
[ f ( g( x ))]x x 0 f ( u0 ) g( x0 ) f ( g( x0 )) g( x0 )
证明：由 y f (u) 在 u0 g( x0 )可导也即可微
y f '(u0 )u o(u)
例4.4.7 求由方程 e xy x 2 y 1 0 确定的隐函数 y y( x )
的导数.
解:
法一、方程两边对 x 求导 (注: y 看成 x 的函数)
e xy ( xy) ( x 2 y ) 0 e xy ( y xy) 2 xy x 2 y 0
六、参数形式的函数的求导公式
x (t ) 定义4.4.2 若参数方程 确定 x 与 y 间的函数关系， y (t ) 称此为 参数形式的函数. x x 2 t t 例如 消去参数 t 2 2 y t
2 x x y t 2 ( )2 2 4
2.函数的和、差、积、商的求导法则 设 u u(x),v=v(x)可导，则
(1) (u v ) u v, (3) (uv ) uv uv,
( 2) cu cu (c是常数, )
u uv uv (4) ( ) . 2 v v
3.复合函数的求导法则


也可以直接求微分 dy (t )dt
dx (t )dt
两边相除，得
dy ' ( t ) dx ' ( t )
x a( t sin t ) 例4.4.11 求摆线 在 t 处的切线方程. 2 y a(1 cos t ) dy a sin t sin t dy dt 解: a a cos t 1 cos t dx dx dt sin dy 2 1. dx t 2 1 cos 2
即
f (u0 u) f (u0 ) f '(u0 )u o(u)
令 u g( x0 x) g( x0 ) 则
u0 u g( x0 x)
f ( g( x0 x )) f ( g( x0 )) u o( u) f ( u0 ) x x x u g ( x 0 ) 又由u g( x ) 在 x0可导，因此 lim x 0 x o( u) o( u) u lim lim 0 而 x 0 x x 0 u x f ( g( x0 x )) f ( g( x0 )) 于是 [ f ( g( x ))]x x 0 lim x 0 x
dy (e xy 2 x ) y xy dx (e x ) x
例4.4.8 设曲线 C 的方程为 x 3 y 3 3 xy ，
3 3 求过 C 上点 ( , ) 的切线方程，并证明曲线 C 在该点 2 2
的法线通过原点. 解:
方程两边对 x求导, 3 x 2 3 y 2 y 3 y 3 xy
二、初等函数的求导问题
1.常数和基本初等函数的导数公式
(C ) 0 (sin x ) cos x (tan x ) sec2 x (sec x ) sec x tan x
( x ) x 1 (cos x ) sin x (cot x ) csc2 x (csc x ) csc x cot x
2
e
sin
1 x
1 cos . x
例4.4.3
求函数 y ln
x2 1
3
x2
( x 2) 的导数.
1 1 2 y ln( x 1) ln( x 2), 解: 2 3 x 1 1 1 1 y 2 2x 2 2 x 1 3( x 2) x 1 3( x 2)
设y f ( u), 而u ( x )则复合函数 y f [ ( x )]的
dy dy du 导数为 或 dx du dx
y( x ) f ( u) ( x ).
利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决. 注意:初等函数的导数仍为初等函数. 例4.4.4 解:
解: 等式两边取对数得 1 ln y ln( x 1) ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3
上式两边对 x求导得 y 1 1 2 1 y x 1 3( x 1) x 4
( x 1)3 x 1 1 1 2 y 1 2 x x 1 3( x 1) x 4 ( x 4) e
y
(e xy 2 x ) y (e xy x ) x
法二、方程两边同时求微分
d (e xy ) d ( x 2 y ) 0 e xy d ( xy) yd ( x 2 ) x 2dy 0 e xy ( xdy ydx ) y 2 xd ( x ) x 2dy 0 (e xy x ) xdy (e xy 2 x ) ydx 0