复合函数求导法-教案

2.2.2 复合函数求导法

教学要求：

理解并熟练掌握复合函数求导法，会用反函数求导数 教学内容：

一、复习提问：

1、导数的基本公式

2、导数的四则运算法则

上一节介绍了函数的定义、导数的四则运算法则、基本初等函数求导公式，并能求出了一些简单函数的导数。但是求常见的初等函数的导数时，往往需要借助于求导法则，本节就将介绍这些求导法则。 二、复合函数的求导法则

1、比如求函数x y 2sin =的导数。 错误解答：x y 2cos ='

正确解答：()()()

x x x x x x y 2cos 2sin cos 2cos sin 22sin 22=-='

='=' 对比一下，答案错误的原因是把x 2当成了自变量。

我们先把复合函数x y 2sin =进行分解为x u u y 2,sin ==。x u dx

du du dy dx dy y 2cos 22cos =⋅=⋅==

' 1、 求复合函数的导数可分两步： 第一步（关键步骤）：先将复合函数分为若干个简单函数，辨明各函数的中间变量和自变量。 第二步：逐一分步求导。

复合函数求导法则: 设函数()y f u =在点u 处可导，()u x ϕ=在点x 处可导，则复合函数[()]y f u ϕ=在点x 处可导，且有

()()dy f u x dx ϕ''=⋅ 或 dy dy du

dx du dx

=⋅ 证明 设变量x 有改变量x ∆，相应地，变量u 有改变量u ∆，从而y 有改变量y ∆. 由于u 可导，所以

0lim 0

=∆→∆u x ，

即 x u x u y y '⋅'='.

现在利用复合函数求导法则求x y 2sin =的导数：u y sin =，x u 2=（中间变量为u ,自变量为x ），即

（对u 求导)(对x 求导) （回代）

可以推广到有限多个复合步骤构成的复合函数求导。

推论 设函数()y f u =，()u v ϕ=，()v x ψ=都是可导函数，则复合函数{[()]}y f x ϕψ=也可导，且

()()()u v x

dy f u v x y u v dx ϕψ''''''=⋅⋅=⋅⋅ 或 dy dy du dv

dx du dv dx

=⋅⋅ 注意： {[()]}f x ϕ'表示复合函数y 对自变量x 的导数， 如 2

[sin(1)]y x '=+=2

2cos(1)x x +

[()]f x ϕ'表示复合函数y 对中间变量()u x ϕ=的导数 而 2sin (1)y x '=+=2cos(1)x +

求复合函数的导数时，关键要分清复合函数的复合过程，认清中间变量。 例1设函数(

)

3cos 22

+=x y ，求y '。

解：因为(

)

3cos 22

+=x y 是由3,cos 22

+==x u u y 复合而成的，所以

复合函数求导法步骤：

第一步(关键步骤)：将复合函数写成或分解为简单函数，辨明各步求导中函数与自变量各是什么？ 第二步：再逐层分步求导.

当然熟练以后可以不必写出中间变量U 、V ，U 和V 写在心上。由内到外，层层求导。

例2 求函数ln(sin 3)y x =的导数.

解法1 ln(sin 3)y x =分解成三个简单函数：u y ln =，v u sin =，3v x =.

=

1

cos 3v u ⋅⋅ 1sin 3x

=⋅3cot3=解法2 []ln(sin 3)x y x ''=3cot3x =.

注: 解法2例3 求函数y =解 x x

y '

'=

=

练习 求下列函数的导数 1 1

sin x

y e

= 2. lnsin y x = 3. 3

arctan

y x

= 4. y =1解： 1111sin

sin

sin sin 211111

()(sin )cos ()cos x

x

x x y e

e

e e x x x x x

''''====-

对于既有四则运算，又有复合运算的初等函数，则利用相应的求导法则. 例4 求函数e

x x y 2

2cos ⋅⋅=

解 (

)23cos 2x

y x x e

-''=⋅⋅

323232cos 22sin 23cos 2x

x x x x e

x x e x x e ---=⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅.

例5 求函数2

3

sin 3cos 2tan 2y x x x =⋅+的导数.

解 3

2

2

2

2sin 3cos3cos 2sin 33cos 2(sin 2)2sec 22y x x x x x x x '=⋅⋅+⋅⋅-⋅+⋅ 求导时，若能对函数先化简，可使求导运算简便 例6 求函数

y =

的导数 “先化简，再求导”

解：

先分母有理化，则y x =

=+然后求导，得

211)1y x ''=+-=+

练习

求ln y =的导数

三．反函数求导法则

函数()y f x =的反函数：()x y ϕ=。一般说的y '是指x y '，写出来就是dy

dx

，即y 是函数，x 是自变量；但是对于()x y ϕ=如果x '指的是y x '，写出来就是

dx dy ，即x 是函数，y 是自变量。111

()()y dy y f x dx dx x y dy

ϕ''====='' 例7 设函数(0,1)x

y a a a =>≠，证明：a a y x

ln ='.

证明 因为x

y a =的反函数y x a log =在(0,)+∞内既单调，又可导，而且

10ln dx dy y a

=≠. 所以由定理得 ()a a

a y dy

dx a

y x

x

ln ln 1

==='='. 特别地，当a e =时，()'x x e e =.

例8

证明：(arcsin )'x =

，(1,1)x ∈-.

证明 因为()sin x y y ϕ==在(,)22

ππ

-

内严格单调、可导，且'()0y ϕ≠，所以其反函数()x

x f y arcsin ==在(1,1)-内严格单调、可导，且有

11(arcsin )''()cos x y y ϕ=

===

.