复合函数求导法-教案

2.2.2 复合函数求导法
教学要求：
理解并熟练掌握复合函数求导法，会用反函数求导数 教学内容：
一、复习提问：
1、导数的基本公式
2、导数的四则运算法则
上一节介绍了函数的定义、导数的四则运算法则、基本初等函数求导公式，并能求出了一些简单函数的导数。

但是求常见的初等函数的导数时，往往需要借助于求导法则，本节就将介绍这些求导法则。

二、复合函数的求导法则
1、比如求函数x y 2sin =的导数。

错误解答：x y 2cos ='
正确解答：()()()
x x x x x x y 2cos 2sin cos 2cos sin 22sin 22=-='
='=' 对比一下，答案错误的原因是把x 2当成了自变量。

我们先把复合函数x y 2sin =进行分解为x u u y 2,sin ==。

x u dx
du du dy dx dy y 2cos 22cos =⋅=⋅==
' 1、 求复合函数的导数可分两步： 第一步（关键步骤）：先将复合函数分为若干个简单函数，辨明各函数的中间变量和自变量。

第二步：逐一分步求导。

复合函数求导法则: 设函数()y f u =在点u 处可导，()u x ϕ=在点x 处可导，则复合函数[()]y f u ϕ=在点x 处可导，且有
()()dy f u x dx ϕ''=⋅ 或 dy dy du
dx du dx
=⋅ 证明 设变量x 有改变量x ∆，相应地，变量u 有改变量u ∆，从而y 有改变量y ∆. 由于u 可导，所以
0lim 0
=∆→∆u x ，
即 x u x u y y '⋅'='.
现在利用复合函数求导法则求x y 2sin =的导数：u y sin =，x u 2=（中间变量为u ,自变量为x ），即
（对u 求导)(对x 求导) （回代）
可以推广到有限多个复合步骤构成的复合函数求导。

推论 设函数()y f u =，()u v ϕ=，()v x ψ=都是可导函数，则复合函数{[()]}y f x ϕψ=也可导，且
()()()u v x
dy f u v x y u v dx ϕψ''''''=⋅⋅=⋅⋅ 或 dy dy du dv
dx du dv dx
=⋅⋅ 注意： {[()]}f x ϕ'表示复合函数y 对自变量x 的导数， 如 2
[sin(1)]y x '=+=2
2cos(1)x x +
[()]f x ϕ'表示复合函数y 对中间变量()u x ϕ=的导数 而 2sin (1)y x '=+=2cos(1)x +
求复合函数的导数时，关键要分清复合函数的复合过程，认清中间变量。

例1设函数(
)
3cos 22
+=x y ，求y '。

解：因为(
)
3cos 22
+=x y 是由3,cos 22
+==x u u y 复合而成的，所以
复合函数求导法步骤：
第一步(关键步骤)：将复合函数写成或分解为简单函数，辨明各步求导中函数与自变量各是什么？ 第二步：再逐层分步求导.
当然熟练以后可以不必写出中间变量U 、V ，U 和V 写在心上。

由内到外，层层求导。

例2 求函数ln(sin 3)y x =的导数.
解法1 ln(sin 3)y x =分解成三个简单函数：u y ln =，v u sin =，3v x =.
=
1
cos 3v u ⋅⋅ 1sin 3x
=⋅3cot3=解法2 []ln(sin 3)x y x ''=3cot3x =.
注: 解法2例3 求函数y =解 x x
y '
'=
=
练习 求下列函数的导数 1 1
sin x
y e
= 2. lnsin y x = 3. 3
arctan
y x
= 4. y =1解： 1111sin
sin
sin sin 211111
()(sin )cos ()cos x
x
x x y e
e
e e x x x x x
''''====-
对于既有四则运算，又有复合运算的初等函数，则利用相应的求导法则. 例4 求函数e
x x y 2
2cos ⋅⋅=
解 (
)23cos 2x
y x x e
-''=⋅⋅
323232cos 22sin 23cos 2x
x x x x e
x x e x x e ---=⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅.
例5 求函数2
3
sin 3cos 2tan 2y x x x =⋅+的导数.
解 3
2
2
2
2sin 3cos3cos 2sin 33cos 2(sin 2)2sec 22y x x x x x x x '=⋅⋅+⋅⋅-⋅+⋅ 求导时，若能对函数先化简，可使求导运算简便 例6 求函数
y =
的导数 “先化简，再求导”
解：
先分母有理化，则y x =
=+然后求导，得
211)1y x ''=+-=+
练习
求ln y =的导数
三．反函数求导法则
函数()y f x =的反函数：()x y ϕ=。

一般说的y '是指x y '，写出来就是dy
dx
，即y 是函数，x 是自变量；但是对于()x y ϕ=如果x '指的是y x '，写出来就是
dx dy ，即x 是函数，y 是自变量。

111
()()y dy y f x dx dx x y dy
ϕ''====='' 例7 设函数(0,1)x
y a a a =>≠，证明：a a y x
ln ='.
证明 因为x
y a =的反函数y x a log =在(0,)+∞内既单调，又可导，而且
10ln dx dy y a
=≠. 所以由定理得 ()a a
a y dy
dx a
y x
x
ln ln 1
==='='. 特别地，当a e =时，()'x x e e =.
例8
证明：(arcsin )'x =
，(1,1)x ∈-.
证明 因为()sin x y y ϕ==在(,)22
ππ
-
内严格单调、可导，且'()0y ϕ≠，所以其反函数()x
x f y arcsin ==在(1,1)-内严格单调、可导，且有
11(arcsin )''()cos x y y ϕ=
===
.
同理可得
(arccos )'x =.
练习 证明：2
1
(arctan )'1x x =
+ . 证明 因为()tan x y y ϕ==在(,)22
ππ
-
内严格单调、可导，且'()0y ϕ≠，所以其反函数()x x f y arctan ==在(,)-∞+∞内严格单调、可导，且有 222
1111
(arctan )' '()sec 1tan 1x y y y x ϕ=
===++. 同理可得2
1
(cot )'1arc x x =-
+. 作业。