4.4 换元法与因式分解(课时练习)-2016届九年级数学二轮复习(原卷版)

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人教版数学九年级上学期课时练习-一元二次方程解法-因式分解法(巩固篇)(人教版)

专题21.13 一元二次方程解法-因式分解法（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．方程()22x x x -=-的根是（）A ．1x =B ．12x =，20x =C ．11x =，22x =D ．2x =2．在数轴上原点两侧两点A 、B ，其中点A 表示的数是a ，点B 表示的数是2a a +，如果A ，B 两数的绝对值相等，那么a 的值是（）A ．0或2B ．0C ．2D ．-23．在平面直角坐标系中，点2(2,1)A x x +与点(3,1)B -关于y 对称，则x 的值为（） A ．1 B ．3或1 C ．3-或1 D ．3或1-4．已知关于x 的方程20x px q ++=的两个根为11x =，22x =-，则二次三项式2x px q++可分解为（）A ．()()12x x +-B ．()()12x x ++C ．()()12x x -+D ．()()12x x --5．已知实数x 满足（x 2﹣2x +1）2+4（x 2﹣2x +1）﹣5＝0，那么x 2﹣2x +1的值为（）A ．﹣5或1B ．﹣1或5C ．1D ．56．若实数a 、b 满足2222()(3)10a b a b +++=，则a 2+b 2的值为（） A ．-5 B ．-2或5 C ．2 D ．-5或-2 7．用换元法解分式方程2221x x x x -+=-时，如果设2x x y -=，则原方程可化为关于y 的整式方程是（）．A ．2210y y ++=B ．2210y y +-=C ．220y y -+=D ．220y y +-= 8．解方程2221x x x x++=+时．如果设2y x x =+，那么原方程可化为（）A ．220y y +-=B ．220y y -+=C ．220y y ++=D ．220y y --= 9．已知矩形的长和宽是方程2680x x -+=的两个实数根，则矩形的对角线的长为（）A ．6B ．7C ．20D ．10．已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程x 2﹣14x ＋48＝0的两根，则此三角形的斜边长为（）A ．6B ．8C ．10D ．1411．若三角形两边长分别为3和4，第三边的长是方程257(5)x x x -=-的根，则此三角形的周长为（）A ．12B ．14C ．12或14D ．13或1512．如图，一次函数y =-3x +4的图象交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，点P 在线段AB 上（不与点A ，B 重合），过点P 分别作OA 和OB 的垂线，垂足为C ，D ．若矩形OCPD 的面积为1时，则点P 的坐标为（）A ．（13，3）B ．（12，2）C ．（12，2）和（1，1）D ．（13，3）和（1，1）二、填空题13．方程220220x x -＝的解是______．14．已知关于x 的一元二次方程x 2-4mx +3m 2=0，若m ＞0，且该方程较大的实数根为1，则m 的值为_________．15．x =-的解是_____．16．若0x >，0y >，50x y --=，则x y =__________． 17．方程x 2213x x-=-3x ﹣4中，如果设y ＝x 2﹣3x ，那么原方程可化为关于y 的整式方程是________．18．已知实数a 、b 满足()()2222228a b a b +-+=，则22a b +的值为___________． 19．在实数范围内，已知221221x x x x +++=，则1x x+的值是______． 20．阅读下面的材料，回答问题：解方程42540x x -+=，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设2x y =，那么42x y =，于是原方程可变为2540y y -+=①，解得11y =，24y =．当1y =时，21x =，①1x =±；当4y =时，24x =，①2x =±；①原方程有四个根：11x =，21x =-，32x =，42x =-．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用__法达到__的目的，体现了数学的转化思想．（2）方程222()4()120x x x x +--+=的解为________________．21．如果m 是方程x 2＋2x －3＝0的实根，那么代数式m 3－7m 的值是 _____．22．“降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解高次方程x 3－x ＝0，它的解是_____________．23．已知正比例函数513y x =图像上有一个点M ，点M 的横坐标是方程x 2+6x ﹣91＝0的根，则点M 的纵坐标为 ___．24．如图，点A 在数轴的负半轴，点B 在数轴的正半轴，且点A 对应的数是21x -，点B 对应的数是2x x +，已知5AB =，则x 的值为______．三、解答题25．解方程：(1)x 2－2x －3＝0 (2)（x ﹣3）2＝2x ﹣626．用适当的方法解下列方程：(1)2-430x x (2)()3-2-2x x x =27．阅读下列例题的解答过程：解方程：3（x －2）2＋7（x －2）＋4＝0解：设x －2＝y ，则原方程化为：3y 2＋7y ＋4＝0①a ＝3，b ＝7，c ＝4，①b 2－4ac ＝72－4×3×4＝1①y 716-±=． ①y 1＝－1，y 2＝－43．当y ＝－1时，x －2＝－1，①x ＝1；①当y ＝－43时，x －2＝－43，①x ＝23． ①原方程的解为：x 1＝1，x 2＝23．(1)请仿照上面的例题解一元二次方程：（x －3）2－5（x －3）－6＝0；(2)若()()222223a b a b ++-=，求代数式22a b +的值．28．例：解方程()()42181150x x ---+=解：设()21t x =-，则28150t t -+=解得3t =或5t =当3t =时有()213x -=，解得1x =±当5t =时有()215x -=，解得1x =±①原方程的解为1x =1x =±认真阅读例题的解法，体会解法中蕴含的数学思想，并使用例题的解法及相关知识解方程()()632172180x x +-+-=29．阅读例题，解答问题：例：解方程220x x --=．解：原方程化为220x x --=．令y x =，原方程化成220y y --=解得12y =，21y =-（不合题意，舍去）． 2x ∴=．2x ∴=±．①原方程的解是12x =，22x =- 请模仿上面的方法解方程：()215160x x ----=．30．以下是婷婷解方程 x （x －3）＝2（x －3）的解答过程：解：方程两边同除以（x －3），得：x ＝2①原方程的解为x ＝2试问婷婷的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．31．对于实数a 、b ，定义一种新运算“a ①b ”，规定如下：2a b ab b =-☆，例如22322130=⨯-=☆．(1)若12x =☆，则满足条件的x 值为______；(2)对于()12a x -=☆，存在两个不同的数值x ，求a 的取值范围；(3)若22x x >☆☆时，求x 的取值范围．32．阅读例题，解答问题：例：解方程x 2﹣|x |﹣2＝0，解：原方程化为|x |2﹣|x |﹣2＝0．令y ＝|x |，①y 2﹣y ﹣2＝0解得：y 1＝2，y 2＝-1当|x |＝2，x ＝±2；当|x |＝-1时（不合题意，舍去）①原方程的解是x 1＝2，x 1＝-2，仿照上例解方程（x +1）2﹣5|x +1|﹣6＝0．参考答案1．C【分析】移项后用因式分解法求解即可．解：①x (x −2)=x −2，①x (x −2)−(x −2)=0，①(x −2)(x −1)=0，①x -2=0，或x -1=0，①x 1=2，x 2=1．故选：C ．【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．2．D【分析】根据A ，B 两数的绝对值相等，且在数轴上原点两侧，可得关于a 的一元二次方程，解方程并检验即可得到答案．解：①点A 、B 在数轴上原点两侧，且表示的两数的绝对值相等，①20a a a ++=，解得：120,2a a ==-，当10a =时，点A 、B 表示的两数都是0，是在数轴上的同一个点，①不符合题意，应舍去，①2a =-．故选：D ．【点拨】本题考查了数轴上绝对值相等的两点对应的数之间的关系，涉及到了绝对值的意义，相反数的概念和解一元二次方程等知识点，解决本题的关键是能正确列出方程并且正确求解，最后要检验结果是否符合题意．3．C【分析】先根据关于y 轴对称点的坐标特点建立方程，然后解一元二次方程，即可得出结果．解：①A 、B 两点关于y 轴对称，①223x x +=，①()()310x x +-=，解得3x =-或1，故选：C ．【点拨】本题考查了关于y 轴对称点的坐标特点和解一元二次方程，根据关于y 轴对称点的坐标特点建立方程是解题的关键．4．C【分析】根据方程的两根，将其配成两个相乘的式子，即是原方程的分解式，即可得出答案．解：①关于x 的方程20x px q ++=的两个根为11x =，22x =-，①原方程为：（x －1）（x ＋2）＝0，①二次三项式2x px q ++可分解为()()12x x -+，故选：C ．【点拨】本题考查了一元二次方程解的定义，运用因式分解法反向求方程的分解式． 5．C【分析】设y ＝x 2﹣2x +1，将已知方程转化为关于y 的一元二次方程，然后利用因式分解法解方程即可．解：设y ＝x 2﹣2x +1，则y 2+4y ﹣5＝0，整理，得（y +5）（y ﹣1）＝0，解得y ＝﹣5（舍去）或y ＝1，即x 2﹣2x +1的值为1，故选C ．【点拨】本题考查了用换元法解和因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握换元法解和因式分解法．6．C【分析】根据换元法，令a 2+b 2=m ，将原式整理成含有m 的一元二次方程，解出m 的值，根据题意对m 的值进行取舍即可.解：令a 2+b 2=m ，原式可化为：(3)10m m +=，即23100m m +-=，解得：m=-5或m=2，因为a 2+b 2≥0所以m=2a²+b²=2故答案为C.【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，利用换元法求一元二次方程根，进而求出相应代数式的值，解决本题的关键是正确理解题意，能够用m 将所求式子替换下来.7．C【分析】根据换元法，可得答案．解：设x 2﹣x ＝y ，原方程等价于y ﹣1＋2y＝0，两边都乘以y ，得y 2﹣y ＋2＝0，故选：C ．【点拨】本题考查了解分式方程，解题的关键是利用换元法．8．A【分析】根据方程的特点，设2y x x =+，可将方程中的x 全部换成y ，转化为关于y 的分式方程，去分母转化为一元二次方程．解：把2y x x =+代入原方程得：21y y +=，方程两边同乘以y 整理得：220y y +-=. 故选A.【点拨】此题考查换元法解分式方程，解题关键在于掌握运算法则.9．D【分析】设矩形的长和宽分别为a 、b ，解出a 、b ，利用勾股定理得到矩形的对角线长代入计算出矩形的对角线长即可．解：设矩形的长和宽分别为a 、b ，①x 2﹣6x +8＝0①(x ﹣4)(x ﹣2)=0①x =4或x =2，①长和宽是方程的两个实数根∴a ＝4，b ＝2，所以矩形的对角线长==故选：D ．【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，也考查了矩形的性质及勾股定理，熟练掌握一元二次方程的解法及勾股定理是解题的关键．10．C【分析】先解方程x 2-14x +48=0，得出两根，再利用勾股定理来求解即可．解：①x 2﹣14x +48＝0，①（x ﹣6）（x ﹣8）＝0，①x ＝6或8；①两直角边为6和8，①10，故选：C ．【点拨】本题考查一元二次方程的解法，用到的知识点是因式分解法和勾股定理，关键是根据方程的特点选择合适的解法．11．A【分析】首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理，确定第三边的长，进而求其周长．解：解方程257(5)x x x -=-得：12=7=5x ，x ，①1＜第三边的边长＜7，①第三边的边长为5．①这个三角形的周长是3+4+5=12．故选：A ．【点拨】此题考查因式分解法解一元二次方程，三角形的三边关系，解题关键在于要注意已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．12．D【分析】由点P 在线段AB 上可设点P 的坐标为（m ，-3m +4）（0＜m ＜43），进而可得出OC =m ，OD =-3m +4，结合矩形OCPD 的面积为1，即可得出关于m 的一元二次方程，解之即可得出m 的值，再将其代入点P 的坐标中即可求出结论．解：①点P 在线段AB 上（不与点A ，B 重合），且直线AB 的解析式为y =-3x +4，①设点P 的坐标为（m ，-3m +4）（0＜m ＜43）， ①OC =m ，OD =-3m +4．①矩形OCPD 的面积为1，①m （-3m +4）=1，①m 1=13，m 2=1， ①点P 的坐标为（13，3）或（1，1）．故选：D ．【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及解一元二次方程，利用一次函数图象上点的坐标特征及，找出关于m 的一元二次方程是解题的关键．13．0或2022【分析】先将x 提取出来，可得等式()20220x x -=，则x =0或x -2022=0，由此可解出x 的值．解：220220x x -＝，()20220x x -=，则x =0或x -2022=0，解得：10x =，22022x =，故答案为：0或2022．【点拨】本题考查利用提取公因式解一元二次方程，能够掌握提取公因式是解决本题的关键．14．13【分析】直接由因式分解法解出一元二次方程的两根，然后根据0m >比较大小代入即可得出答案．解：22430x mx m -+=，()(3)0x m x m ∴--=，即方程的两根为1x m =，23x m =，0m >，3m m ∴>，即31m =，得13m =．故答案为：13．【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程．15．x ＝﹣1【分析】将方程两边同时平方，再解一元二次方程，根据二次根式有意义的条件取舍解．x =-，∴5x +6＝x 2，∴x 2﹣5x ﹣6＝0，（x ﹣6）（x +1）＝0∴x 1＝6，x 2＝﹣1，当x ＝6时原方程没有意义，∴x ＝﹣1．答案：x ＝﹣1．【点拨】本题考查了解无理方程，解一元二次方程，二次根式有意义的条件，正确的计算是解题的关键．16．25【分析】根据题意原方程可变形为2250-=，再利用因式分解法解答，即可求解．解：①0x >，0y >，50x y --=，①2250-=，①0=，①0x >，0y >0≠，0=5=， ①25x y =．故答案为：25【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，二次根式的性质，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．17．y 2+4y ﹣1＝0【分析】先将原方程移项，把y ＝x 2﹣3x 代入整理即可得到答案．解：原方程移项得：x 2﹣3x 213x x-+-4＝0中，把y ＝x 2﹣3x 代入原方程得：y 1y-+4＝0，方程两边同乘以y 整理得：y 2+4y ﹣1＝0．故答案为：y 2+4y ﹣1＝0．【点拨】此题考查了用换元法解一元二次方程，正确掌握方程换元的方法是解题的关键．18．4【分析】设y =a 2+b 2，原式化为关于y 的一元二次方程，求出方程的解得到y 的值，即为a 2-b 2的值．解：设y =a 2+b 2，原式化为y 2-2y -8=0，即（y -4）（y +2）=0，可得y -4=0或y +2=0，解得：y 1=4，y 2=-2，①y =a 2+b 2>0①a 2+b 2=4．故答案为：4．【点拨】本题考查了换元法解一元二次方程，学生做题时注意a 2+b 2的值为正数． 19．-3【分析】直接利用换元法解方程，再利用一元二次方程的解法分析得出答案．解：设1x a x+=，则221221x x x x +++=， 211()2()21x x x x+++-=，故2230a a +-=，解得：11a =，23a =-，当11x x+=时，则210x x -+=，此时△241430b ac =-=-=-<，∴此方程无解，故11x x+≠，故1x x +的值是3-．故答案为：3-．【点拨】此题主要考查了换元法解方程，正确解一元二次方程是解题关键． 20．换元降次 13x =-，22x =【分析】（1）本题主要是利用换元法降次来达到把一元四次方程转化为一元二次方程，来求解，然后再解这个一元二次方程．（2）利用题中给出的方法先把x 2＋x 当成一个整体y 来计算，求出y 的值，再解一元二次方程．解：（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想．（2）设x 2＋x ＝y ，原方程可化为y 2−4y −12＝0，解得y 1＝6，y 2＝−2．由x 2＋x ＝6，得x 1＝−3，x 2＝2．由x 2＋x ＝−2，得方程x 2＋x ＋2＝0，①=b 2−4ac ＝1−4×2＝−7＜0，此时方程无实根．所以原方程的解为x 1＝−3，x 2＝2．故答案为：① 换元；①降次；①x 1＝−3，x 2＝2．【点拨】本题应用了换元法，把关于x 的方程转化为关于y 的方程，这样书写简便且形象直观，并且把方程化繁为简化难为易，解起来更方便．21．6-【分析】先求出m 的值，再代入代数式求解即可．解： x 2＋2x －3＝0∴ ()()310x x +-=∴ 13,1x x x =-=m 是方程x 2＋2x －3＝0的实根∴ 13,1x x x =-=∴()()33737327216m m =--⨯-=-+=-－或 ()()337171176m m =-⨯=-=-－故答案为：6-．【点拨】本题考查了代数式的计算问题，掌握解一元二次方程的方法、代入法是解题的关键．22．1230,1,1x x x ==-=【分析】先把方程的左边分解因式，再化为三个一次方程进行降次，再解一次方程即可. 解：30,x x110,x x x则0x =或10x +=或10,x -=解得：1230,1, 1.x x x故答案为：1230,1, 1.x x x【点拨】本题考查的是利用因式分解的方法把高次方程转化为一次方程，掌握“因式分解的方法与应用”是解本题的关键.23．3513或5-##5-或3513【分析】根据因式分解法解一元二次方程，进而将两根分别代入正比例函数解析式即可求得点M 的纵坐标解：x 2+6x ﹣91＝0即()()7130x x -+=解得127,13x x ==-点M 的横坐标是方程x 2+6x ﹣91＝0的根，∴当7x =，解得3513y =，当13x =-时，解得5y =- ∴点M 的纵坐标为3513或5- 故答案为：3513或5- 【点拨】本题考查了解一元二次方程，正比例函数上点的特征，正确的解一元二次方程是解题的关键．24．-2【分析】根据数轴上点的位置可得2210x x x -<<+，即可得到()2215AB x x x =+--=，由此解方程，再根据210x -<即12x <进行求解即可．解：由数轴上点的位置可得2210x x x -<<+，①()2215AB x x x =+--=即260x x --=，①()()230+-=x x ，解得3x =或2x =-，①210x -<即12x <， ①2x =-，故答案为：-2．【点拨】本题主要考查了数轴上两点的距离，解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握数轴上两点的距离以及解一元二次方程的方法．25．(1)x 1＝3，x 2＝－1(2)x 1＝3，x 2＝5【分析】（1）把常数项移到右边后，用配方法解一元二次方程即可；（2）把右边部分移项后，用因式分解法解一元二次方程即可．(1)解：x 2－2x －3＝0移项，得：x 2－2x ＝3，配方，得：x 2－2x ＋1＝3＋1，即（x －1）2＝4．两边同时开方，得：x －1＝±2，①x 1＝3，x 2＝－1．(2)解：（x ﹣3）2＝2x ﹣6①（x ﹣3）2＝2（x ﹣3），①（x ﹣3）2﹣2（x ﹣3）＝0，则（x ﹣3）（x ﹣5）＝0，①x ﹣3＝0或x ﹣5＝0，解得：x 1＝3，x 2＝5．【点拨】此题考查了用配方法和因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤是解题的关键．26．(1)1231x x ==， (2)12123x x ==，【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可解：(1)2-430x x()()310x x --=解得1231x x ==，(2)()322x x x -=-()()2310x x --= 解得12123x x ==，【点拨】本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 27．(1)122,9x x == (2)223a b +=【分析】（1）令3t x =-，则原方程为2560t t -=-，然后根据因式分解法进行求解方程即可；（2）令22y a b =+，则原方程可化简为2230y y --=，然后根据因式分解法进行求解方程即可．(1)解：令3t x =-，则原方程为2560t t -=-， ()()160t t +-=①60t -=或10t +=，①121,6t t =-=，当1t =-时，则31x -=-，解得：2x =；当6t =时，则36x -=，解得：9x =；①原方程的解为122,9x x ==；(2)解：令22y a b =+，则原方程可化简为2230y y --=，()()130y y +-=①30y -=或10y +=，①121,3y y =-=，①220a b +≥，①当1y =-时不符合题意，①3y =，即223a b +=；①原方程的解为223a b +=．【点拨】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用换元法求解一元二次方程是解题的关键．28．11x =-，212x =【分析】利用题中给出的方法先把(2x +1)3当成一个整体t 来计算，求出t 的值，再解一元二次方程．解：设()321t x =+，则2780t t --=，解得1t =-或8t =，当1t =-时有()3211x +=-，解得1x =-，当8t =时有()3218x +=，解得12x =， ①原方程的解为11x =-，212x =．【点拨】本题考查了一元二次方程-换元法，看懂题例理解换元法是关键．换元法的一般步骤有：设元、换元、解元、还原几步．29．17x =，25x =-【分析】根据题意利用换元法解一元二次方程，然后解绝对值方程即可．解：原方程化为215160x x ----=．令1y x =-，原方程化成2560y y --=．解得16y =，21y =-（不合题意，舍去）．16x ∴-=，16x ∴-=±．①原方程的解是17x =，25x =-．【点拨】本题主要考查了用换元法和因式分解法解一元二次方程，解绝对值方程，解题的关键在于能够准确根据题意使用换元法解方程．30．有错误，见分析【分析】首先判断出婷婷解方程的过程是错误的，再移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．解：婷婷的解答过程有错误．(3)2(3)x x x -=-移项，得：()()3230x x x ---=()()320x x --=x －3＝0或x －2＝013x =，22x =【点拨】本题考查了解一元二次方程，能够选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．31．(1)2或1- (2)78a >且a ≠1 (3)12x <或2x > 【分析】（1）根据定义列出一元二次方程，解方程求解即可；（2）根据定理列出一元二次方程，根据一元二次方程有2个不同实根，令0∆>，求得a 的范围即可；（3）根据题意列出不等式，进而因式分解，根据同号为正列出一元一次不等式组求解即可(1) 解：2a b ab b =-☆∴211x x x =⨯-☆12x =☆22x x ∴-=即()()210x x -+=解得122,1x x ==-故答案为：2或1-(2)()12a x -=☆()212a x x ∴--=即()2120a x x ---=①存在两个不同的数值x ，()()()214120a ∴∆=---⨯->，且a ≠1，解得78a >且a ≠1 (3)22x x >☆☆∴2242x x x ->-即()()2120x x -->则2102x x ->⎧⎨>⎩或2102x x -<⎧⎨<⎩解得12x <或2x > 【点拨】本题考查了新定义运算，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式组，理解新定义是解题的关键．32．15=x ，27x =-【分析】原方程化为215160x x +-+-=，令1y x =+，得2560y y --=，再利用因式分解法解一元二次方程即可．解：原方程化为215160x x +-+-=，令1y x =+，∴2560y y --=，解得1261y y ==-，，当16x +=，16x +=±，即x ＝5或x ＝-7，当11x +=-时（不合题意，舍去），∴原方程的解是15=x ，27x =-．【点拨】本题主要考查解一元二次方程和换元法，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．。

人教版数学九年级上学期课时练习- 一元二次方程解法-因式分解法(知识讲解)(人教版)

专题21.11 一元二次方程解法-因式分解法（知识讲解）【学习目标】1. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；2. 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．【要点梳理】知识要点一：因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 特别说明：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式；（4）解一元二次方程时如果能用因式分解法进行解题，它是首选。

知识要点二：换元法解一元二次方程1、解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法.换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理.2、我们常用的是整体换元法,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发现.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程,从而达到降次的目的.【典型例题】类型一、用因式分解法解一元二次方程1．用适当的方法解下列方程：(1)2430x x -+= (2)2(3)2(3)x x x -=-【答案】(1)11x =，23x = (2)13x =-，23x =【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可．(1) 解：2430x x -+=(1)(3)0x x --=解得11x =，23x =(2) 2(3)2(3)x x x -=-(3)(32)0x x x ---=(3)(3)0x x ---=解得13x =-，23x =【点拨】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．举一反三：【变式1】用适当的方法解方程：(1)23210x x +-=． (2)()()2122x x x +-=-．【答案】(1)11x =-，213x =； (2)11x =，24x =- 【分析】()1将左边利用十字相乘法因式分解，继而可得两个关于x 的一元一次方程，分别求解即可得出答案；()2先移项，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于x 的一元一次方程，分别求解即可得出答案．(1) 解：()213210x x +-=，()()1310x x +-=，则10x +=或310x -=，解得11x =-，213x =，所以，原方程的解为11x =-，213x =； (2) ()()2122x x x +-=-()()()21210x x x ∴+-+-= ，则()()140x x -+=，10x ∴-=或40x +=，解得11x =，24x =-．所以，原方程的解为11x =，24x =-．【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握和运用一元二次方程的解法是解决本题的关键．【变式2】解方程： (1)x 2－x －2＝0； (2)3x (x －2)＝2－x ．【答案】(1)x 1＝2，x 2＝－1 (2)x 1＝－13，x 2＝2 【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）利用因式分解法解方程；(1) 解：x 2－x －2＝0，(x －2)(x ＋1)＝0，x －2＝0或x ＋1＝0，x 1＝2，x 2＝－1．(3) 3x (x －2)＝2－x ，3x (x －2)＋(x －2)＝0，(3x ＋1)(x －2)＝0，3x ＋1＝0或x －2＝0，x 1＝－13，x 2＝2．【点拨】本题考查了因式分解法解一元二次方程：将方程的右边化为零，把方程的左边分解为两个一次因式的积，令每个因式分别为零，解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．类型二、用换元法解一元二次方程2．请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题：已知()()3410x y x y +-++=-，求x y +的值．解：设t x y =+，则原方程变形为()()3410t t -+=-，即220t t +-=∴()()210t t +-=得t 1＝﹣2，t 2＝1∴2x y +=-或1x y +=已知()()2222427+-++=x y x y ，求22x y +的值．【答案】5【分析】先换元，再求出t 的值，最后求出答案即可．解：设220=+≥t x y∴()()427-+=t t即22150--=t t ，∴()()530-+=t t ，解得：15t =，23t =-（舍去）∴225x y +=即22x y +的值为5．【点拨】本题考查了解一元二次方程，能够正确换元是解此题的关键．举一反三：【变式1】解方程：22110x x x x+++=．【答案】1x =- 【分析】设1 y x x=+，用完全平方公式将方程化为关于y 的一元二次方程，求出方程的解得到y 的值，即为1x x +的值，进而求出x 的值，将x 的值代入原方程进行检验，即可得到原分式方程的解．解：设1y x x =+，则222211()22x y x x x+=+-=-，原方程化成220y y +-=，解这个方程，得11y =，22y =-，当y ＝1时，1x x+=1，即210x x -+=．由30=-＜，此方程无实根，当y ＝－2时，12x x +=-，即2210x x ++=，解得：121x x ==-，经检验，x ＝－1是原分式方程的解，∴原方程的解为x ＝－1．【点拨】题目主要考查了换元法解分式方程，关键是利用22211()2x x x x+=+-进行转化，进而设1 y x x=+，将原方程转化为一元二次方程．【变式2】解方程：256022x x x x ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭【答案】1125x =，21x = 【分析】先设：2x y x =-得到2560y y --=解出y 的值，再求解x 的值并把结果进行检验即可得到答案；解：设2x y x =- ，原方程化为：2560y y --=，运用十字相乘法得到：()()610y y -+=，解得126,1y y ==-，当16y =时62x x =-，解得1125x =，当21y =-时12x x =--，解得21x =，经检验，1125x =和21x =原方程的分母均不为0，故原方程的解为：1125x =或21x =；【点拨】本题主要考查了用换元法求解一元二次方程，掌握换元法求解一元二次方程的步骤是解题的关键．类型三、因式分解法解一元二次方程的应用3．阅读例题，解答问题：例：解方程220x x --=．解：原方程化为220x x --=．令y x =，原方程化成220y y --=解得12y =，21y =-（不合题意，舍去）． 2x ∴=．2x ∴=±．∴原方程的解是12x =，22x =- 请模仿上面的方法解方程：()215160x x ----=．【答案】17x =，25x =-【分析】根据题意利用换元法解一元二次方程，然后解绝对值方程即可．解：原方程化为215160x x ----=．令1y x =-，原方程化成2560y y --=．解得16y =，21y =-（不合题意，舍去）． 16x ∴-=，16x ∴-=±．∴原方程的解是17x =，25x =-．【点拨】本题主要考查了用换元法和因式分解法解一元二次方程，解绝对值方程，解题的关键在于能够准确根据题意使用换元法解方程．举一反三：【变式1】如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别是（﹣3，0），（0，6），动点P 从点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C 从点B 出发，沿射线BO 方向以每秒2个单位的速度运动．以CP ，CO 为邻边构造∴PCOD ，在线段OP 延长线上取点E ，使PE =AO ，设点P 运动的时间为t 秒．（1）当点C 运动到线段OB 的中点时，求t 的值及点E 的坐标；（2）当点C 在线段OB 上时，求证：四边形ADEC 为平行四边形；（3）在线段PE 上取点F ，使PF =2，过点F 作MN ∴PE ，截取FM = ，FN =1，且点M ，N 分别在第一、四象限，在运动过程中，当点M ，N 中，有一点落在四边形ADEC 的边上时，直接写出所有满足条件的t 的值．【答案】（1）32t =，（ 92，0）；（2）见解析；（3） 121t =-，t 2=1.5. 【分析】（1）由C 是OB 的中点求出时间，然后确定OP ，即可求出点E 的坐标；（2）连接CD ，根据平行四边形的性质可得：OG GP =，CG GD =，在由线段的数量关系可得：AG GE =，依据平行四边形的判定定理即可证明；（3）C 的坐标是()062t ，﹣，P 的坐标是(),0t ，则F 的坐标是()2,0t +，E 的坐标是()3,0t +，D 的坐标是(),26t t -，设CE 的解析式是()0y kx b k =+≠，将点坐标代入即可确定函数解析式，同理可得DE 的解析式，然后分两种情况讨论：当M 在CE 上时，M 的坐标是(t +；当N 在DE 上时，N 的坐标是()21t +-，；将M 、N 两点坐标分别代入求解即可．（1）解：132BC OC ==，则 32t = ，32OP = ，则39322OE OP PE OP OA =+=+=+=，则E 的坐标是9,02⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）解：连接CD ，如图所示：∴四边形PCOD 是平行四边形，∴OG GP =，CG GD =，∴AO PE =，∴OG AO GP PE +=+，即：AG GE =∴四边形ADEC 是平行四边形；（3）解：C 的坐标是()062t ，﹣，P 的坐标是(),0t ，则F 的坐标是()2,0t +，E 的坐标是()3,0t +，D 的坐标是(),26t t -．设CE 的解析式是()0y kx b k =+≠，则()62{30b tt k b =-++=，解得：62{263b tt k t =--=+，则CE 的解析式是()26623t y x t t -=+-+，同理DE 的解析式是()2262339t t y x -+-=，当M 在CE 上时，M的坐标是(t +，, 则()()262623t t t t -++-=+，解得：21t =-当N 在DE 上时，N 的坐标是()21t +-，，则 ()()226133922t t t -+-+=-，解得： 1.5t =，综合可得： 121t =-2 1.5t =．【点拨】题目主要考查平行四边形与动点问题，包括平行四边形的判定和性质，一次函数解析式的确定，一元二次方程的求解等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．【变式2】某花卉生产基地举行花卉展览，如图所示是用这两种花卉摆成的图案，白色圆点为盆景，灰色圆点为盆花．图1中盆景数量为2，盆花数量为2；图2中盆景数量为4，盆花数量为6；图3中盆景数量为6，盆花数量为12……按照以上规律，解决下列问题：(1)图6中盆景数量为________，盆花数量为___________；(2)已知该生产基地展出以上两种花卉在某种图案中的数量之和为130盆，分别求出该图案中盆景和盆花的数量；(3)若有n （n 为偶数，且2n ≥）盆盆景需要展出（只摆一种图案），照此组合图案，需要盆花的数量为________．（用含n 的代数式表示）【答案】(1)12；42 (2)该图案中盆景和盆花的数量分别为20和110 (3)122n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【分析】（1）由图可知，依次写出图1到图5的盆景的数量，盆花的数量；推导出一般性规律：图n 中盆景的数量为：2n ；盆花的数量为：()1n n +，将6n =代入求解即可；（2）由题意知，()21130n n n ++=，求出满足要求的n 值，进而可得盆景，盆花的数量；（3）根据推导出的一般性规律作答即可．(1) 解：由图可知，盆景的数量依次为：12⨯、22⨯、32⨯、42⨯、52⨯······盆花的数量依次为：12⨯、23⨯、34⨯、45⨯、56⨯······∴可推导出一般性规律：图n 中盆景的数量为：2n ；盆花的数量为：()1n n + ∴图6中盆景的数量为：2612⨯=；盆花的数量为：()66142⨯+=故答案为：12；42．(2)由题意知，()21130n n n ++=整理得+-=231300n n()()10130n n -+=解得10n =，13n =-（不合题意，舍去）当10n =时，盆景数量为221020n =⨯=，盆花数量为13020110-=∴该图案中盆景和盆花的数量分别为20和110．(3)由一般性规律可知，当有n 盆盆景需要展出时，需要盆花的数量为122n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭故答案为：122n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．【点拨】本题考查了图形类规律探究，列代数式，解一元二次方程．解题的关键在于推导出一般性规律．。

中考数学一轮复习第二讲整式与分解因式专题训练-人教版初中九年级全册数学试题

第2讲整式及因式分解考纲要求备考指津1.能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示，会求代数式的值；能根据特定问题找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算．2．了解整数指数幂的意义和基本性质；了解整式的概念和有关法则，会进行简单的整式加、减、乘、除运算．3．会推导平方差公式和完全平方公式，会进行简单的计算；会用提公因式法、公式法进行因式分解.整式及因式分解主要考查用代数式表示数量关系，单项式的系数及次数，多项式的项和次数，整式的运算，多项式的因式分解等内容．中考题型以选择题、填空题为主，同时也会设计一些新颖的探索型问题．考点一整式的有关概念1．整式整式是单项式与多项式的统称．2．单项式单项式是指由数字或字母的乘积组成的式子；单项式中的数字因数叫做单项式的系数；单项式中所有字母指数的和叫做单项式的次数．3．多项式几个单项式的和叫做多项式；多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项；多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数．考点二整数指数幂的运算正整数指数幂的运算法则：a m·a n＝a m＋n，(a m)n＝a mn，(ab)n＝a n b n，a ma n＝a m－n(m，n是正整数)．考点三同类项与合并同类项1．所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项．2．把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项，合并的法则是系数相加，所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变．考点四求代数式的值1．一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算关系计算出的结果就叫做代数式的值．2．求代数式的值的基本步骤：(1)代入：一般情况下，先对代数式进行化简，再将数值代入；(2)计算：按代数式指明的运算关系计算出结果．考点五整式的运算1．整式的加减(1)整式的加减实质就是合并同类项；(2)整式加减的步骤：有括号，先去括号；有同类项，再合并同类项．注意去括号时，如果括号前面是负号，括号里各项的符号要变号． 2．整式的乘除 (1)整式的乘法①单项式与单项式相乘：把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． ②单项式与多项式相乘：m (a ＋b ＋c )＝ma ＋mb ＋mC ．③多项式与多项式相乘：(m ＋n )(a ＋b )＝ma ＋mb ＋na ＋nB ． (2)整式的除法①单项式除以单项式：把系数、同底数幂相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．②多项式除以单项式：(a ＋b )÷m ＝a ÷m ＋b ÷m . 3．乘法公式(1)平方差公式：(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2；(2)完全平方公式：(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2. 考点六因式分解 1．因式分解的概念把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解． 2．因式分解的方法 (1)提公因式法公因式的确定：第一，确定系数(取各项整数系数的最大公约数)；第二，确定字母或因式底数(取各项的相同字母)；第三，确定字母或因式的指数(取各相同字母的最低次幂)． (2)运用公式法①运用平方差公式：a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )．②运用完全平方公式：a 2±2ab ＋b 2＝(a ±b )2.1．单项式－3π5m 2n 的系数是__________，次数是__________．2．下列运算中，结果正确的是( )．A ．a ·a ＝a 2B ．a 2＋a 2＝a 4C ．(a 3)2＝a 5D ．a 3÷a 3＝a3．下列各式中，与x 2y 是同类项的是( )．A ．xy 2B ．2xyC ．－x 2yD ．3x 2y 24．如果a －3b ＝－3，那么代数式5－a ＋3b 的值是( )． A ．0 B ．2C ．5 D ．85．把代数式mx 2－6mx ＋9m 分解因式，下列结果中正确的是( )．A ．m (x ＋3)2B ．m (x ＋3)(x －3)C ．m (x －4)2D ．m (x －3)26．下列运算正确的是( )．A ．x 3·x 4＝x 12B ．(－6x 6)÷(－2x 2)＝3x 3C ．2a －3a ＝－aD ．(x －2)2＝x 2－4 7．(1)化简：(a ＋2b )(a －2b )－12b (a －8b )；(2)先化简，再求值：(a ＋b )2＋(a －b )(2a ＋b )－3a 2，其中a ＝－2－3，b ＝3－2；(3)在实数X 围内分解因式：x 2－2x －4.一、整数指数幂的运算【例1】下列运算正确的是( )．A ．3ab －2ab ＝1B ．x 4·x 2＝x 6C ．(x 2)3＝x 5D ．3x 2÷x ＝2x解析：A 项是整式的加减运算，3ab －2ab ＝ab ，A 项错；B 项是同底数幂相乘，x 4·x 2＝x 4＋2＝x 6，B 项正确；C 项是幂的乘方，(x 2)3＝x 2×3＝x 6，C 项错；D 项是单项式相除，3x 2÷x ＝(3÷1)x 2－1＝3x ，D 项错．答案：B幂的运算问题除了注意底数不变外，还要弄清幂与幂之间的运算是乘、除还是乘方，以便确定结果的指数是相加、相减还是相乘．二、同类项与合并同类项【例2】单项式－13x a ＋b ·y a －1与3x 2y 是同类项，则a －b 的值为( )．A ．2B ．0C ．－2D ．1解析：本题主要考查了同类项的概念及方程组的解法，由－13x a ＋b ·y a －1与3x 2y 是同类项，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，a －1＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝0.∴a －b ＝2－0＝2.答案：A1．同类项必须具备以下两个条件：(1)所含字母相同；(2)相同字母的指数分别相同．二者必须同时具备，缺一不可；2．同类项与项的系数无关，与项中字母的排列顺序无关，如xy 2与－y 2x 也是同类项； 3．几个常数项都是同类项，如－1,5，12等都是同类项．三、整式的运算【例3】先化简，再求值：(a ＋b )(a －b )＋(a ＋b )2－2a 2，其中a ＝3，b ＝－13.解：(a ＋b )(a －b )＋(a ＋b )2－2a 2＝a 2－b 2＋a 2＋2ab ＋b 2－2a 2＝2ab ，当a ＝3，b ＝－13时，2ab ＝2×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－2.整式的乘法法则和除法法则是整式运算的依据，必须在理解的基础上加强记忆，并在运算时灵活运用法则进行计算．使用乘法公式时，要认清公式中a ，b 所表示的两个数及公式的结构特征，不要犯类似下面的错误：(a+b)2=a2+b2，(a-b)2=a2-b2. 四、因式分解【例4】分解因式：－x 3－2x 2－x ＝__________.解析：由于多项式中有公因式－x ，先提公因式再用公式法．－x 3－2x 2－x ＝－x (x 2＋2x ＋1)＝－x (x ＋1)2.答案：－x (x ＋1)2因式分解的一般步骤： (1)“一提”：先考虑是否有公因式，如果有公因式，应先提公因式； (2)“二套”：再考虑能否运用公式法分解因式．一般根据多项式的项数选择公式，二项式考虑用平方差公式，三项式考虑用完全平方公式；(3)分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．分解因式：4－a 2＋2ab －b 2＝__________.1．(2012某某某某)计算(a 2)3÷(a 2)2的结果是( )．A ．aB ．a 2C ．a 3D ．a 42．(2012某某某某)下列计算正确的是( )．A ．a ＋a ＝2aB ．b 3·b 3＝2b 3C ．a 3÷a ＝a 3D ．(a 5)2＝a 73．(2011某某枣庄)如图，边长为(m ＋3)的正方形纸片剪出一个边长为m 的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形(不重叠，无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是( )．A ．m ＋3B ．m ＋6C ．2m ＋3D ．2m ＋64．(2012某某某某)分解因式：3m 2－6mn ＋3n 2＝________.1．下列运算中，正确的是( )．A ．4m ＋n ＝5mnB ．－(m －n )＝m ＋nC ．(m 2)3＝m 6D ．m 2÷m 2＝m2．把代数式mx 2－my 2分解因式，下列结果正确的是( )．A ．m (x ＋y )2B ．m (x －y )2C ．m (x ＋2y )2D ．m (x ＋y )(x －y ) 3．已知代数式3x 2－4x ＋6的值为9，则x 2－43x ＋6的值为( )．A ．7B ．18C ．12D ．94．如图所示，在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形(a ＞b )，把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了公式( )．A ．(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2B ．(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2C ．a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )D ．(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 25．若3x m ＋5y 2与x 3y n 的和是单项式，则n m＝__________.6．若m 2－n 2＝6，且m －n ＝3，则m ＋n ＝__________.7．若2x ＝3,4y ＝5，则2x －2y的值为__________．8．给出3个整式：x 2,2x ＋1，x 2－2x .(1)从上面3个整式中，选择你喜欢的两个整式进行加法运算，若结果能因式分解，请将其因式分解；(2)从上面3个整式中，任意选择两个整式进行加法运算，其结果能因式分解的概率是多少？ 9．观察下列各式(x －1)(x ＋1)＝x 2－1；(x －1)(x 2＋x ＋1)＝x 3－1；(x －1)(x 3＋x 2＋x ＋1)＝x 4－1；(x －1)(x 4＋x 3＋x 2＋x ＋1)＝x 5－1； ……(1)试求26＋25＋24＋23＋22＋2＋1的值；(2)判断22 009＋22 008＋22 007＋22 006＋…＋2＋1的值的末位数．参考答案基础自主导学自主测试 1．－3π5．C7．解：(1)原式＝a 2－4b 2－12ab ＋4b 2＝a 2－12ab .(2)原式＝a 2＋2ab ＋b 2＋2a 2－ab －b 2－3a 2＝ab .当a ＝－2－3，b ＝3－2时，原式＝(－2－3)(3－2)＝(－2)2－(3)2＝1.(3)x 2－2x －4＝x 2－2x ＋1－5＝(x －1)2－5＝(x －1＋5)(x －1－5)．规律方法探究变式训练 (2＋a －b )(2－a ＋b ) 知能优化训练中考回顾1．B2.A3.C4.3(m －n )2模拟预测1．C2.D3.A4.C 5.146.27.358．解：(1)x 2＋(2x ＋1)＝x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2或x 2＋(x 2－2x )＝2x 2－2x ＝2x (x －1)或(2x ＋1)＋(x 2－2x )＝2x ＋1＋x 2－2x ＝x 2＋1. (2)由(1)可知，概率为23.9．解：由给出的式子不难看出：(x －1)(x n ＋x n －1＋…＋x ＋1)＝x n ＋1－1.(1)26＋25＋24＋23＋22＋2＋1＝(2－1)(26＋25＋24＋23＋22＋2＋1)＝27－1＝127.(2)22 009＋22 008＋22 007＋22 006＋…＋2＋1＝(2－1)(22 009＋22 008＋22 007＋…＋2＋1)＝22 010－1， ∵21＝2,22＝4,23＝8,24＝16,25＝32,26＝64,27＝128,28＝256，…，∴2n 的个位数字按2,4,8,6循环出现，2 010＝4×502＋2.∴22 010的末位数是4.∴22 010－1的末位数是3.。

九年级数学上册《解一元二次方程(因式分解法)》练习题

九年级数学上册《解一元二次方程（因式分解法）》练习题（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：______________一、单选题1．方程x 2﹣x ＝0的解是（）A ．x ＝0B ．x ＝1C ．x 1＝0，x 2＝﹣1D ．x 1＝0，x 2＝12．关于x 的方程x （x ﹣5）＝3（x ﹣5）的根是( )A ．x ＝5B ．x ＝﹣5C ．x 1＝﹣5；x 2＝3D ．x 1＝5；x 2＝33．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，放置边长分别为3，4，x 的三个正方形，则x 的值为（）A ．12B ．7C ．6D ．54．若m ，n 是方程x 2－x －2 022＝0的两个根，则代数式（m 2－2m －2 022）（－n 2＋2n ＋2 022）的值为（）A ．2 023B ．2 022C ．2 021D ．2 0205．下列关于x 的一元二次方程()200++=≠ax bx c a 的命题中，真命题有（）∠若0a b c -+=，则240b ac -≥；∠若方程()200++=≠ax bx c a 两根为1和－2，则0a b -=；∠若方程()200++=≠ax bx c a 有一个根是()0c c -≠，则1b ac =+A ．∠∠∠B ．∠∠C ．∠∠D ．∠∠6．若函数y ＝m 22m m x +++4是二次函数，则m 的值为（）A ．0或﹣1B ．0或1C ．﹣1D ．17．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x 2﹣9x +18＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（）A ．12B ．9C ．15D ．12或158．下列式子运算正确的是（）A ．（2a+b ）（2a ﹣b ）=2a 2﹣b 2B ．（a+2）（b ﹣1）=ab ﹣2C ．（a+1）2=a 2+1D ．（x ﹣1）（x ﹣2）=x 2﹣3x+29．已知方程x 2+2x ﹣3=0的解是x 1=1，x 2=﹣3，则另一个方程（x +3）2+2（x +3）﹣3=0的解是（）A ．x 1=﹣1，x 2=3B ．x 1=1，x 2=﹣3C ．x 1=2，x 2=6D ．x 1=﹣2，x 2=﹣6 10．下列解方程变形：∠由3x ＋4＝4x －5，得3x ＋4x ＝4－5；∠由1132x x +-=，去分母得2x －3x ＋3＝6； ∠由()()221331x x ---=，去括号得4x －2－3x ＋9＝1；∠由344x =，得x ＝3．其中正确的有（） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个二、填空题11．一元二次方程()()120x x --=可化为两个一次方程为______________，方程的根是_________．12．方程2x 2+1=3x 的解为________．13．已知()()212x kx x a x b ++=++，()()215x kx x c x d ++=++，其中a b c d ,,,均为整数，则k =____________ 14．已知()()2222142x y x y ++-=，则22x y +的值是___________．15．若a ，b 是一元二次方程2220220x x +-=的两个实数根，则242a a b ++的值是_________．三、解答题16．已知关于x 的方程()()2222130k k x k x +-++-=（k 为常数）．(1)该方程一定是一元二次方程吗？如果一定是，请说明理由；如果不一定是，请求出当方程不是一元二次方程时k 的值；(2)求1k =时方程的解；(3)求出一个()1k k ≠的值，使这个k 的值代人原方程后，所得的方程中有一个解与（2）中方程的一个解相同．（本小题只需求一个k 的值即可）17．为解方程（x 2﹣1）2﹣5（x 2﹣1）+4＝0，我们可以将x 2﹣1视为一个整体，然后设x 2﹣1＝y ，则原方程可化为y 2﹣5y +4＝0，解此方程得y 1＝1，y 2＝4．当y ＝1时，x 2﹣1＝1，所以x =当y ＝4时，x 2﹣1＝4，所以x =所以原方程的根为1x =，2x =3x =4x =．以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法解下列方程：（1）（x 2﹣x ）（x 2﹣x ﹣4）＝﹣4；（2）x 4+x 2﹣12＝0．参考答案与解析：1．D【分析】因式分解后求解即可.【详解】x 2﹣x ＝0，x （x -1）=0，x =0，或x -1=0，解得x 1＝0，x 2＝1，故选：D【点睛】此题考查因式分解法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程的一般步骤：∠移项，使方程的右边化为零；∠将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；∠令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；∠解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．2．D【分析】利用因式分解法求解可得．【详解】解：∠x （x ﹣5）﹣3（x ﹣5）＝0，∠（x ﹣5）（x ﹣3）＝0，则x ﹣5＝0或x ﹣3＝0，解得x ＝5或x ＝3，故选：D ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．3．B【分析】根据已知条件可以推出△CEF∠∠OME∠∠PFN然后把它们的直角边用含x的表达式表示出来，利用对应边的比相等，即可推出x的值．【详解】解：∠在Rt△ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，∠OM∠AB∠PN∠EF，EO∠FP，∠C=∠EOM=∠NPF=90°，∠∠CEF∠∠OME∠∠PFN，∠OE：PN=OM：PF，∠EF=x，MO=3，PN=4，∠OE=x-3，PF=x-4，∠（x-3）：4=3：（x-4），∠（x-3）（x-4）=12，即x2-4x-3x+12=12，∠x=0（不符合题意，舍去）或x=7．故选：B．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质，解题的关键在于找到相似三角形，用x 的表达式表示出对应边．4．B【详解】解：∠m、n是方程x2-x-2022=0的两个根，∠m2-m-2022=0，n2-n-2022=0，mn=-2022，∠m2-m=2022，n2-n=2022，∠（m2－2m－2 022）（－n2＋2n＋2 022）=（m2-m-m-2022）(-(n2-n)+n+2022)=(2022-m-2022)((-2022+n+2022)=-mn=2022，故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义和一元二次方程根与系数的关系，能根据已知条件得出m 2-m -2022=0，n 2-n -2022=0，mn =-2022是解此题的关键．5．A【分析】把b =a +c 代入判别式中得到24b ac -=（a -c ）2≥0，则可对∠进行判断；利用根与系数的关系得到2c a=-，根据根的定义可得0a b c ++=，于是可对∠进行判断；由方程的根的定义可得20ac bc c -+=，即可对∠进行判断．【详解】解：a -b +c =0，则b =a +c ，24b ac -=（a +c ）2-4ac =（a -c ）2≥0，所以∠正确；∠方程ax 2+bx +c =0两根为1和-2， ∠2c a=-，则2c a =-，0a b c ++= 20a b a ∴+-=∠0a b -=，所以∠正确；∠方程()200++=≠ax bx c a 有一个根是()0c c -≠，∠20ac bc c -+=0c ≠∠10ac b -+=∠1b ac =+所以∠正确．故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．6．C【分析】利用二次函数定义可得m 2+m +2＝2，且m ≠0，再解即可．【详解】解：由题意得：m 2+m +2＝2，且m ≠0，解得：m ＝﹣1，故C 正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y ＝ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．7．C【分析】利用因式分解法求出x 的值，再根据等腰三角形的性质分情况讨论求解【详解】解：∠ x 2﹣9x +18＝0，∠（x﹣3）（x﹣6）＝0，则x﹣3＝0或x﹣6＝0，解得x＝3或x＝6，当3是腰时，三角形的三边分别为3、3、6，不能组成三角形；当6是腰时，三角形的三边分别为3、6、6，能组成三角形，周长为3+6+6＝15．故选：C．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，要注意分情况讨论．8．D【分析】A、原式利用平方差公式计算即可得到结果；B、原式利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，即可做出判断；C、原式利用完全平方公式计算得到结果，即可做出判断；D、原式利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，即可做出判断．【详解】解：A、原式=4a2-b2，错误；B、原式=ab-a+2b-2，错误；C、原式=a2+2a+1，错误；D、原式=x2-3x+2，正确．故选D．【点睛】此题考查了平方差公式，多项式乘多项式，以及完全平方公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．9．D【分析】根据已知方程的解得出x+3=1，x+3=﹣3，求出两个方程的解即可．【详解】解：∠方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，∠方程（x+3）2+2（x+3）﹣3=0中x+3=1或﹣3，解得：x=﹣2或﹣6，即x1=﹣2，x2=﹣6，故选：D．【点睛】本题考查了解一元二次方程，换元法解一元二次方程，能根据方程的解得出x+3=1，x+3=﹣3，是解此题的关键．10．B【分析】根据解一元一次方程的步骤进行逐一求解判断即可．【详解】解：∠由3x +4=4x -5，得3x -4x =-5-4；方程变形错误，不符合题意；∠由1132x x +-=，去分母得2x -3x -3=6；方程变形错误，不符合题意； ∠由()()221331x x ---=，去括号得4x -2-3x +9=1；正确，符合题意；∠由344x =，得x =163．方程变形错误，不符合题意；综上，正确的是∠，只1个，故选：B ．【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次方程的方法． 11． x ﹣1＝0，x ﹣2＝0 11x =，22x =【分析】两个因式的积为0，这两个因式都可以为0，得到两个一次方程，然后求出方程的根．【详解】解：（x ﹣1）（x ﹣2）＝0∠x ﹣1＝0或x ﹣2＝0∠11x =，22x =．故答案分别是：x ﹣1＝0，x ﹣2＝0；11x =，22x =．【点睛】本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，因式分解得到两个因式的积为0，这两个因式分别为0，得到两个一次方程，然后求出方程的根．12．1211,2x x == 【分析】先移项，再利用因式分解法解答，即可求解．【详解】解：移项得：22310x x -+=，∠()()2110x x --=，∠210x -=或10x -=，解得：1211,2x x ==，故答案为：1211,2x x ==．【点睛】此题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，并灵活选用合适的方法解答是解题的关键．13．8±．【分析】根据等式两边对应相等的关系，可得到ab 和cd 的值，以及a+b 和c+d 的关系，再根据a 、b 、c 、d 是整数，即可得到结果．【详解】解：由题可得()()()2x a x b x a b x ab ++=+++，()()()2x c x d x c d x cd ++=+++12ab ∴=，15cd =，a b c d k +=+=又a b c d ，，，均为整数，∠2a =，6b =，3c =，5d =或2a =-，6b =-，3c =-，5d =-即8k =±．故答案为：±8．【点睛】本题考查多项式乘多项式，属基础知识．14．7【分析】换元法，令22x y t +=，将原方程化为t （t －1）＝42（t 0≥），求解一次方程即可．【详解】令22x y t +=（t 0≥），∠原方程化为t （t －1）＝42，解得t ＝7，或t ＝－6（舍），∠227x y +=，故答案为：7．【点睛】本题考查用换元法求解方程．解题关键是要注意换元之后一定要考虑新未知数的取值范围，换元法的实际应用，是解题关键．15．2018【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到222022a a +=，再根据根与系数的关系得到2a b +=-，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∠a ，b 是一元二次方程2220220x x +-=的两个实数根，∠2220220a a +-=∠222022a a +=∠a ，b 是一元二次方程2220220x x +-=的两个实数根，∠2a b +=-，∠242a a b ++2222a a a b =+++()222a a a b=+++()202222=+⨯-2018=故答案为：2018．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，还有整体的思想，熟练掌握一元二次方程的解的定义和根与系数的关系是解本题的关键．16．(1)不一定是，1k=-(2)x1=1，x2=-3；(3)4-或8 3 -【分析】（1）不一定，当2220k k+-=时该方程为一元一次方程，解得k的值即可；（2）把k=1代入方程计算即可；（3）把（2）中解得的x的值代入原方程解得k的值即可．（1）解：不一定是．当2220k k+-=时该方程为一元一次方程，解得：1k=-±答：方程不一定是一元二次方程，当方程不是一元二次方程时k的值为1-（2）解：当k=1代入得：2230x x+-=解得：x1=1，x2=-3；（3）解：x=1代入得k=-4，或x=-3代入得k＝83 -，答：k的值为4-或83 -．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程的解以及解一元二次方程，掌握定义与解法是解题的关键．17．（1）x 1＝2，x 2＝﹣1；（2）12x x ==【分析】（1）设x 2﹣x ＝a ，原方程可化为a 2﹣4a +4＝0，求出a 的值，再代入x 2﹣x ＝a 求出x 即可；（2）设x 2＝y ，原方程化为y 2+y ﹣12＝0，求出y ，再把y 的值代入x 2＝y 求出x 即可．【详解】解：（1）（x 2﹣x ）（x 2﹣x ﹣4）＝﹣4，设x 2﹣x ＝a ，则原方程可化为a 2﹣4a +4＝0，解此方程得：a 1＝a 2＝2，当a ＝2时，x 2﹣x ＝2，即x 2﹣x ﹣2＝0，因式分解得：（x ﹣2）（x +1）＝0，解得：x 1＝2，x 2＝﹣1，所以原方程的解是x 1＝2，x 2＝﹣1；（2）x 4+x 2﹣12＝0，设x 2＝y ，则原方程化为y 2+y ﹣12＝0，因式分解，得（y ﹣3）（y +4）＝0，解得：y 1＝3，y 2＝﹣4，当y ＝3时，x 2＝3，解得：x =当y ＝﹣4时，x 2＝﹣4，无实数根，所以原方程的解是1x 2x =【点睛】本题考查了用换元法解一元二次方程和用因式分解法解一元二次方程，能正确换元是解此题的关键．。

一元二次方程强化习题（2）——因式分解法和换元法（含解析）

一元二次方程强化习题（2）——因式分解法和换元法（含解析）一元二次方程强化习题—因式分解法和换元法一．选择题（共19小题）1．一元二次方程230x x -=的两个根是( ) A ．0和3-B ．0和3C ．1和3D ．1和3-2．下列实数中，方程20x x -=的根是( ) A ．2-B ．1-C ．1D ．23．方程(3)x x x +=的解是( ) A ．123x x ==-B ．11x =，23x =C ．10x =，23x =-D ．10x =．22x =-4．一个三角形的三边长都是方程27100x x -+=的根，则这个三角形的周长不可能是( )A ．6B ．9C ．12D ．155．方程250x x +=的解为( ) A ．5x =B ．5x =-C ．10x =，25x =D ．10x =，25x =-6．若一个三角形的两边长分别是2和6，第三边的边长是方程210210x x -+=的一个根，则这个三角形的周长为( ) A ．7B ．3或7C ．15D ．11或157．下列实数中，方程220x x -=的根是( ) A ．0B ．2C ．0或1D ．0或28．三角形两边的长是6和8，第三边满足方程2241400x x -+=，则三角形周长为( ) A ．24B ．28C ．24或28D ．以上都不对9．方程(5)5x x x -=-的根是( ) A ．5x =B ．0x =C ．15x =，20x =D ．15x =，21x =10．一元二次方程2(21)(21)(1)x x x +=+-的解为( ) A ．1x =B ．112x =-，21x =C ．112x =-，22x =-D ．112x =-，22x =11．一元二次方程2520x x -=的解是( )A ．10x =，225x =B ．10x =，225x =-C ．10x =，252x =D ．10x =，252x =-12．已知实数x 满足222(21)2(21)30x x x x -++-+-=，那么221x x -+的值为( ) A ．1-或3B ．3-或1C ．3D ．113．若22222()2()30a b a b +-+-=，则代数式22a b +的值( )A ．1-或3B ．1或3-C ．1-D ．314．2222()(2)80m n m n ----=，则22m n -的值是( ) A ．4B ．2-C ．4或2-D ．4-或215．已知a 、b 为实数，且满足222()90a b +-=，则22a b +的值为( ) A ．3±B ．3C ．9±D ．916．实数x ，y 满足2222()(1)2x y x y +++=，则22x y +的值为( ) A ．1B ．2C ．2-或1D ．2或1-17．设a ，b 满足等式2222()(221)3a b a b ++-=，则22331ab +-的值是( ) A ．72B ．52 C ．72-D ．52-18．已知x 为实数，且满足222(3)2(3)30x x x x +++-=，那么231x x +-的值为( ) A ．2±B ．0或4-C ．0D ．219．已知实数x 满足222()4()120x x x x ----=，则代数式21x x -+的值是( ) A ．7B ．1-C ．7或1-D ．5-或3二．填空题（共5小题）20．已知：2222()(1)20x y x y ++-=，那么22x y += ．21．已知x 为实数，且满足222(23)2(23)150x x +++-=，则223x +的值为． 22．已知()(4)4a b a b ++-=-，那么()a b += ．23．已知x 为实数，且满足222(3)2(3)30x x x x +++-=，那么23x x += ． 24．已知方程22222()2()30x y x y +-+-=，则22x y +的值为．三．解答题（共1小题） 25．阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．例：用换元法分解因式22(41)(42)12x x x x -+-+-．解：设24x y y -= 原式(1)(2)12y y =++- 2310y y =+-(5)(2)y y =+-22(45)(42)x x x x =-+--（1）请你用换元法对多项式22(32)(35)8x x x x -+---进行因式分解；（2）凭你的数感，大胆尝试解方程：22(21)(23)0x x x x -+--=．一元二次方程强化习题（2）——因式分解法和换元法参考答案与试题解析一．选择题（共19小题）1．一元二次方程230x x-=的两个根是()A．0和3-B．0和3C．1和3D．1和3-解：230x x-=，(3)0x x∴-=，则0x=或30x-=，解得0x=或3x=，故选：B．2．下列实数中，方程20x x-=的根是()A．2-B．1-C．1D．2解：20-=，(1)0x x∴-=，则0x=或10x-=，解得10x=，21x=，故选：C．3．方程(3) x x x+=的解是() A．123x x==-B．11x=，23x=C．10x=，23x=-D．1022x=-解：方程变形得：(3)0x x x+-=，分解因式得：(31)0x x+-=，可得0x=或20x+=，解得：10x=，22x=-．故选：D．4．一个三角形的三边长都是方程27100 x x-+=的根，则这个三角形的周长不可能是( ) A．6B．9C．12D．15解：(2)(5)0x x--=，20x-=或50x-=，所以12x=，25x=，当三角形三边分别为2、2、2时，三角形的周长为6；当三角形三边分别为5、5、2时，三角形的周长为12；当三角形三边分别为5、5、5时，三角形的周长为15．故选：B．5．方程250x x+=的解为()A．5x=B．5x=-C．10x=，25x=D．10x=，25x=-解：250x x+=，(5)0x x∴+=，x∴=或5x=-，故选：D．6．若一个三角形的两边长分别是2和6，第三边的边长是方程210210x x-+=的一个根，则这个三角形的周长为()A．7B．3或7C．15D．11或15解：210210x x-+=，(3)(7)0x x∴--=，3x∴=或7x=，当3x=时，236+<，2∴、3、6不能组成三角形，当7x=时，267+>，2∴、6、7能够组成三角形，∴这个三角形的周长为26715++=，故选：C．7．下列实数中，方程220x x -=的根是( ) A ．0 B ．2 C ．0或1 D ．0或2解：220x x -=，(2)0x x ∴-=，则0x =或20x -=，解得0x =或2x =，故选：D ．8．三角形两边的长是6和8，第三边满足方程2241400x x -+=，则三角形周长为( ) A ．24B ．28C ．24或28D ．以上都不对解：解方程2241400x x -+=得：110x =，214x =，当三边为6、8、10时，符合三角形三边关系定理，能组成三角形，此时三角形的周长为681024++=，当三边为6、8、14时，6814+=，不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形，即三角形的周长是24，故选：A ．9．方程(5)5x x x -=-的根是( ) A ．5x = B ．0x =C ．15x =，20x =D ．15x =，21x =解：(5)(5)0x x x ---=，(5)(1)0x x ∴--=，则50x -=或10x -=，解得5x =或1x =，故选：D ．10．一元二次方程2(21)(21)(1)x x x +=+-的解为( ) A ．1x =B ．112x =-，21x =C ．112x =-，22x =-D ．112x =-，22x =解：2(21)(21)(1)x x x +=+-，2(21)(21)(1)0x x x ∴+-+-=，(21)(211)0x x x ∴++-+=，12x ∴=-或2x =-，故选：C ．11．一元二次方程2520x x -=的解是( ) A ．10x =，225x = B ．10x =，225x =- C ．10x =，252x =D ．10x =，252x =-解：(52)0x x -=， 0x =或520x -=，所以10x =或225x =．故选：A ．12．已知实数x 满足222(21)2(21)30x x x x -++-+-=，那么221x x -+的值为( ) A ．1-或3 B ．3-或1C ．3D ．1解：设221x x a -+=，222(21)2(21)30x x x x -++-+-=，2230a a ∴+-=，解得：3a =-或1，当3a =-时，2213x x -+=-，即2(1)3x -=-，此方程无解；当1a =时，2211x x -+=，此时方程有解，故选：D ．13．若22222()2()30a b a b +-+-=，则代数式22a b +的值( ) A ．1-或3 B ．1或3- C ．1- D ．3解：令22x a b =+，则原方程可变形为2230x x --=， (3)(1)0x x -+=，30x ∴-=或10x +=，解得13x =，21x =-，又220x a b =+，223a b ∴+=，故选：D ．14．2222()(2)80m n m n ----=，则22m n -的值是( ) A ．4B ．2-C ．4或2-D ．4-或2解：设22x m n =-，则原方程可化为：(2)80x x --=即2280x x --= 解得：4x =或2-．故选：C ．15．已知a 、b 为实数，且满足222()90a b +-=，则22a b +的值为( ) A ．3±B ．3C ．9±D ．9解：设22(0)t a b t =+．由原方程得到290t -=．所以29t =．所以3t =或3t =-（舍去）即22a b +的值为3．故选：B ．16．实数x ，y 满足2222()(1)2x y x y +++=，则22x y +的值为( ) A ．1B ．2C ．2-或1D ．2或1-解：2222()(1)2x y x y +++=，设22x y a +=，则原方程化为：(1)2a a +=，即220a a +-=，解得：2a =-或1，不论xy 为何值，22x y +不能为负数，所以22x y +只能等于1，故选：A ．17．设a ，b 满足等式2222()(221)3a b a b ++-=，则22331a b +-的值是( )A ．72B ．52 C ．72-D ．52-解：令22a b t +=，0t (21)3t t ∴-=，1t ∴=-（舍去）或32t =，原式97122=-=；故选：A ．18．已知x 为实数，且满足222(3)2(3)30x x x x +++-=，那么231x x +-的值为( ) A ．2±B ．0或4-C ．0D ．2解：由23y x x =+，则222(3)2(3)30x x x x +++-=，可化为：2230y y +-=，分解因式，得，(3)(1)0y y +-=，解得，13y =-，21y =，当233x x +=-时，经△233430=-?=-<检验，可知x 不是实数当231x x +=时，经检验，符合题意．2310x x ∴+-=故选：C ．19．已知实数x 满足222()4()120x x x x ----=，则代数式21x x -+的值是( ) A ．7B ．1-C ．7或1-D ．5-或3解：222()4()120x x x x ----=，22(2)(6)0x x x x ∴-+--=，220x x ∴-+=或260x x --=，22x x ∴-=-或26x x -=．当22x x -=-时，220x x -+=， 24141270b ac -=-??=-<，∴此方程无实数解．当26x x -=时，217x x -+=故选：A ．二．填空题（共5小题）20．已知：2222()(1)20x y x y ++-=，那么22x y += 5 ．解：设22(0)t x y t =+，则(1)20t t -=．整理，得(5)(4)0t t -+=．解得5t =或4t =-（舍去）．所以225x y +=．故答案是：5．21．已知x 为实数，且满足222(23)2(23)150x x +++-=，则223x +的值为 3 ．解：设223x t +=，且3t ，∴原方程化为：22150t t +-=，3t ∴=或5t =-（舍去），2233x ∴+=，故答案为：322．已知()(4)4a b a b ++-=-，那么()a b += 2 ．解：设a b t +=，原方程化为：(4)4t t -=-，解得：2t =，即2a b +=，故答案为：223．已知x 为实数，且满足222(3)2(3)30x x x x +++-=，那么23x x += 1 ．解：设23x x y +=，方程变形得：2230y y +-=，即(1)(3)0y y -+=，解得：1y =或3y =-，即231x x +=或233x x +=-（无解），故答案为：1．24．已知方程22222()2()30x y x y +-+-=，则22x y +的值为 3 ．解：22a x y =+，则原方程变为2230a a --=，解得：11a =-，23a =，220x y +，223x y ∴+=．故答案为： 3 ．三．解答题（共1小题） 25．阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．例：用换元法分解因式22(41)(42)12x x x x -+-+-．解：设24x y y -= 原式(1)(2)12y y =++- 2310y y =+-(5)(2)y y =+-22(45)(42)x x x x =-+--（1）请你用换元法对多项式22(32)(35)8x x x x -+---进行因式分解；（2）凭你的数感，大胆尝试解方程：22(21)(23)0x x x x -+--=．解：（1）设23x x y -=，原式(2)(5)8y y =+--2318y y =--(6)(3)y y =-+22(36)(33)x x x x =---+；（2）设22t x x =-．则(1)(3)0t t +-=．解得1t =-或3t =．当1t =-时，221x x -=-，即2(1)0x -=．解得121x x ==．当3t =时，223x x -=，即(3)(1)0x x -+=．解得33x =，41x =-．综上所述，原方程的解为121x x ==，33x =，41x =-．。

九年级数学北师大版上册2 用因式分解法求解一元二次方程课时练(含答案)

课时练第2单元用因式分解法求解一元二次方程一、选择题1.方程x2+x=0的解是( )A. x1=x2=0B. x1=x2=1C. x1=0，x2=1D. x1=0，x2=−12.方程2x2=3x的解为( )A. x=0B. x=32C. x=−32D. x1=0，x2=323.解一元二次方程(x−1)2=2(x−1)最适宜的方法是( )A. 直接开平方法B. 公式法C. 因式分解法D. 配方法4.已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2−6x+8=0的两根，则该等腰三角形的底边长为( )A. 2B. 4C. 8D. 2或45.一个菱形的边长是方程x2−8x+15=0的一个根，其中一条对角线长为8，则该菱形的面积为( )A. 48B. 24C. 24或40D. 48或806.一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2−8x+15=0的一根，则此三角形的周长是( )A. 16B. 12C. 14D. 12或167.若实数x满足方程(x2−2x)2+3(x2−2x)−4=0，则x2−2x的值为( )A. −4B. 1C. −1或4D. 1或−48.ΔABC的三边长都是方程x2−6x+8=0的解，求此三角形的周长( )A. 12B. 10或12或8或6C. 10D. 12或10或69.已知(x2+y2)2−y2=x2+6，则x2+y2的值是( )A. 2B. 3C. 2或3D. −2或310.已知点A(m 2−2,5m +4)在第一象限角平分线上，则m 的值为( )A. 6B. −1C. −1或6D. 2或3二、填空题11.方程3x(x −1)=2(x −1)的根为______．12.一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程x 2−6x +8=0的根，则三角形的周长为______．13.对于实数a ，b ，定义运算“◎”如下：a ◎b =(a +b)2−(a −b)2.若(m +2)◎(m −3)=24，则m = ．14.若(x 2+y 2)2−5(x 2+y 2)−6=0，则x 2+y 2=______．15.已知关于x 的方程x 2+1x 2+3(x +1x )=2，则x +1x +1的值为________ 三、计算题16.用合适的方法解下列方程：（1）x 2−5x −6=0; (2)2(x −3)2=8;(3)4x 2−6x −3=0; (4)(2x −3)2=5(2x −3)．四、解答题17.阅读材料，解答问题．解方程：(4x −1)2−10(4x −1)+24=0．解：把4x −1视为一个整体，设4x −1=y ，则原方程可化为y 2−10y +24=0．解得y 1=6，y 2=4． ∴4x −1=6或4x −1=4． ∴x 1=74，x 2=54．以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．请仿照材料解下列方程：（1）x4−x2−6=0;(2)(x2−2x)2−5x2+10x−6=0．参考答案11.x =1或x =23 12.12 13.−3或4 14.6 15.−316.解：(1)因式分解，得(x −6)(x +1)=0，于是得x −6=0或x +1=0， ∴x 1=6，x 2=−1．(2)方程两边同除以2，得(x −3)2=4，于是得x −3=±2， ∴x 1=5，x 2=1．(3)a =4，b =−6，c =−3，Δ=b 2−4ac =(−6)2−4×4×(−3)=84>0，方程有两个不相等的实数根 x =−b±√b 2−4ac2a =6±√842×4=6±2√218=3±√214， ∴x 1=3+√214，x 2=3−√214．(4)移项，得(2x −3)2−5(2x −3)=0，因式分解，得(2x −3)[(2x −3)−5]=0，于是得2x −3=0或2x −8=0， ∴x 1=32，x 2=4． 17.解：(1)设x 2=y ，原方程可化为y 2−y −6=0，整理得(y −3)(y +2)=0，解得y 1=3，y 2=−2．当y=3时，即x2=3，∴x=±√3;当y=−2时，x2=−2无解．∴原方程的解为x1=√3，x2=−√3．(2)设x2−2x=y，原方程可化为y2−5y−6=0，整理得(y−6)(y+1)=0，解得y1=6，y2=−1．当y=6时，即x2−2x=6，解得x1=1+√7，x2=1−√7;当y=−1时，即x2−2x=−1，解得x3=x4=1．综上所述，原方程的解为x1=1+√7，x2=1−√7，x3=x4=1．。

中考数学第二轮复习专题

中考数学二轮专题复习之一：配方法与换元法把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。

【范例讲析】：例1：填空题：1）．将二次三项式x 2+2x －2进行配方，其结果为。

2）．方程x 2+y 2+4x －2y+5=0的解是。

3）．已知M=x 2－8x+22，N=－x 2+6x －3，则M 、N 的大小关系为。

例2.已知△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，且a 2+b 2+c 2=ab+bc+ac ，则△ABC 的形状为。

例3.解方程：422740x x --=【闯关夺冠】 1.已知13x x +=．则221x x+的值为__________． 2．若a 、b 、c 是三角形的三边长，则代数式a 2–2ab+b 2–c 2的值（） A 大于零 B 等于零 C 小于零 D 不能确定 3已知：a 、b 为实数，且a 2+4b 2－2a+4b+2=0，求4a 2－b1的值。

4. 解方程： 211()65()11x x +=--中考数学专题复习之二：待定系数法对于某些数学问题，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可研究和引入一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果．通过变形与比较．建立起含有待定字母系数(或参数)的方程(组)，并求出相应字母系数(或参数)的值，进而使问题获解．这种方法称为待定系数法．【范例讲析】：【例1】二次函数的图象经过A(1，0)、B(3，0)、C(2，－1)三点．(1)求这个函数的解析式．(2)求函数与直线y=－x+1的交点坐标．【例2】一次函数的图象经过反比例函数xy 8-=的图象上的A 、B 两点，且点A 的横坐标与点B 的纵坐标都是2。

（1）求这个一次函数的解析式；（2）若一条抛物线经过点A 、B 及点C （1，7），求抛物线的解析式。

中考数学复习各课时训练题(含答案) 6、因式分解

六、因式分解一、填空题：1、分解因式：142-a =__________;2、分解因式：92-x =______________3、分解因式：362-x ＝_________。

4、因式分解：y x x 234-=__________。

5、分解因式：=+-4524x x ___________。

6、分解因式：5762-+x x =_________.7、分解因式：=-355x x . 8、分解因式3x 3－12x 2y ＋12xy 2＝9、分解因式：ax 2+ay 2-2axy-ab 2=____________。

10、因式分解：x x x ++232 =_______________11、分解因式：3223882xy y x y x ++=________________________12、分解因式：___________________2222=-++p mn n m13、若()a A a 3427643+=+，则A=__________； 14、在实数范围内分解因式：=--1422x x ____________________二、判断题：（1）()()()().2222y x y x x y y y x x +-=-+- （）（2）412+-x x 是完全平方式。

（）（3）()().51251122-+=+-a a a a （）（4）()().35315395+-=--+y x y x xy （）三、选择题：1、把多项式()()()111---+x x x 提公因式()1-x 后，余下的部分是（）（A ）()1+x （B ）()1+-x （C ）x （D ）()2+-x2、把1222-++y xy x 分解因式的结果是（）：(A )()()11-+++y x y x (B ) ()()11--++y x y x(C )()()11--+-y x y x (D ) ()()11-++-y x y x3、计算:19992-1998×2002,得 ( )A ．3B ．-3995C ．3995D ．-40034、下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是( )（A ） ()()1112-=-+x x x （B ）()12122+-=+-x x x x （C ）()()b a b a b a -+=-22 （D ）()()y x n y x m ny nx my mx +++=+++ 四、把下列各式分解因式：1、分解因式：232+-x x2、分解因式：ax ay x y -+-223、分解因式：b a b a 2222++-4、分解因式：bc c b a 2222+--5、分解因式：9222-+-y xy x6、分解因式：2296y x x -+-7、分解因式：()y x a y x +-- 8、分解因式：()()a b b b a a -+-229、分解因式：()4101062-+--n m n m 10、分解因式：.2010223--+x x x11、在实数范围内分解因式:5422--x x。

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初中数学中考二轮复习
第四章数学思想方法
第四节换元法与因式分解（练）
一、选择题
1．用换元法解方程222()()6x x x x +++=时，如果设2x x y +=，那么原方程可变形为（）
A ．260y y +-=
B ．260y y --=
C ．260y y -+=
D ．260y y ++=
2．已知方程2221x x x x ++=
+，用换元法解此方程时，可设2x x y +=，则原方程化为（） A ．220y y -+= B ．220y y --= C ．220y y +-= D ．220y y ++=
3．用换元法解分式方程2231073x x x x -+=-时，如果设23x y x
-=，那么原方程可化为（） A ．107y y
+= B ．17y y += C ．1107y y += D ．2107y y += 4．（2015宜宾）把代数式3231212x x x -+分解因式，结果正确的是（）
A ．23(44)x x x -+
B ．23(4)x x -
C ．3(2)(2)x x x +-
D ．23(2)x x -
5．多项式xyz y z x y z x x z z y y x 2222222-++-+-因式分解后的结果是（）．
A ．()()()y z x y x z -+-
B ．()()()y z x y x z --+
C ．()()()y z x y x z +-+
D ．()()()y z x y x z ++-
6．若多项式4316x mx nx ++-含有因式（x ﹣2）和（x ﹣1），则mn 的值是（）
A ．100
B ．0
C ．﹣100
D ．50
二、填空题
7．用换元法解方程
2141x x x x -+=-，若设1x y x =-，则可得关于的整式方程．
8．阅读填空：对于方程组4()3()1462
3x y x y x y x y +--=⎧⎪+-⎨+=⎪⎩，不妨设2x y u +=，3x y v -=，则原方程组变为以u ，
v 为未知数的方程组，解得，从而原方程组的解是，这种解法称之为“换元法”．
9．关于x ， y 的二次式22754324x xy my x y ++-+-可以分解为两个一次因式的乘积，则m 的值是．
10．若二次三项式26x px -+在整数范围内能进行因式分解，那么整数p 的取值是．
三、解答题
11．已知221x x ++是多项式32x x ax b -++的因式，试分解32x x ax b -++．
12．用换元法解下列方程：2261x x x x -+=
-．。