2020-2021学年九年级数学下册第2章圆2.3垂径定理练习新版人教版
2020--2021学年中考数学一轮复习专项练习圆的三大定理：垂径定理(含答案)
一轮复习专项练习圆的三大定理：垂径定理一．选择题1．如图所示，在半径为10cm的⊙O中，弦AB＝16cm，OC⊥AB于点C，则OC等于（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm2．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝2，以A为圆心AB为半径作圆A，延长BC交圆A 于点D，则CD长为（）A．5 B．4 C．D．23．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是（）A．B．3C．3D．44．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE＝CD＝8，∠BAC＝∠BOD，则⊙O的半径为（）A．4B．5 C．4 D．35．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD＝8，OP＝3，则⊙O的半径为（）A．10 B．8 C．5 D．36．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB＝8，CD＝2，则EC的长为（）A．2B．8 C．2D．27．如图，将⊙O沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心O．如果半径为4，那么⊙O的弦AB长度为（）A．2 B．4 C．2D．48．如图，点C是半圆O的中点，AB是直径，CF⊥弦AD于点E，交AB于点F，若CE＝1，EF ＝，则BF的长为（）A．B．1 C．D．9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，DE∥CB．若AB＝10，CD＝6，则DE的长为（）A．B．C．6 D．10．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE，BCFG，DE，FG，AC，BC的中点分别是M，N，PQ若MP+NQ＝12，AC+BC＝18，则AB的长为（）A．9B．C．11 D．15二．填空题11．若过⊙O内一点M的最长弦为10，最短弦为6，则OM的长为．12．已知⊙O的半径为13，弦AB＝24，CD＝10，且AB∥CD，则弦AB与CD之间的距离为．13．如图AB是⊙O的直径，弦CD⊥OB于点E，交⊙O于点D，已知OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝cm．14．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，弦PQ∥AB交弦CD于点M，BE＝18，CD＝PQ ＝24，则OM的长为．15．在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是．三．解答题16．如图，AB为⊙O的直径，C，D是半圆上两点，且AC＝CD＝DB，AB＝10cm （1）求AC的长度；（2）证明CD∥AB．17．如图，已知BC是⊙O的直径，弦AD⊥BC于点H，与弦BF交于点E，AD＝8，BH＝2．（1）求⊙O的半径；（2）若∠EAB＝∠EBA，求证：BF＝2AH．18．如图①，已知点O是∠EPF的平分线上的一点，以点O为圆心的圆与角两边分别交于A，B和C，D四点．（1）求证：AB＝CD；（2）若角的顶点P在圆上，如图②，其他条件不变，结论成立吗？（3）若角的顶点P在圆内，如图③，其他条件不变，结论成立吗？19．如图，直线l：y＝x，点A1坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1为半径画弧交x轴于点A2；再过点A2作x的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3，…，按此做法进行下去．求：（1）点B1的坐标和∠A1OB1的度数；（2）弦A4B3的弦心距的长度．20．如图，A，B，C，D在⊙O上，AB∥CD经过圆心O的线段EF⊥AB于点F，与CD交于点E．（1）如图1，当⊙O半径为5，CD＝4，若EF＝BF，求弦AB的长；（2）如图2，当⊙O半径为，CD＝2，若OB⊥OC，求弦AC的长．参考答案一．选择题1．解：连接OA，如图：∵AB＝16cm，OC⊥AB，∴AC＝AB＝8cm，在Rt△OAC中，OC＝＝＝6（cm），故选：D．2．解：如图，过点A作AE⊥BD于点E，连接AD，∴AD＝AB＝5，根据垂径定理，得DE＝BE，∴CE＝BE﹣BC＝DE﹣2，根据勾股定理，得AD2﹣DE2＝AC2﹣CE2，∴52﹣DE2＝42﹣（DE﹣2）2，解得DE＝，∴CD＝DE+CE＝2DE﹣2＝．故选：C．3．解：连接OD，交AC于F，∵D是的中点，∴OD⊥AC，AF＝CF，∴∠DFE＝90°，∵OA＝OB，AF＝CF，∴OF＝BC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，在△EFD和△ECB中∴△EFD≌△ECB（AAS），∴DF＝BC，∴OF＝DF，∵OD＝3，∴OF＝1，∴BC＝2，在Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2，∴AC＝＝＝4，故选：D．4．解：∵∠BAC＝∠BOD，∴＝，∴AB⊥CD，∵AE＝CD＝8，∴DE＝CD＝4，设OD＝r，则OE＝AE﹣r＝8﹣r，在Rt△ODE中，OD＝r，DE＝4，OE＝8﹣r，∵OD2＝DE2+OE2，即r2＝42+（8﹣r）2，解得r＝5．故选：B．5．解：连接OC，∵CD⊥AB，CD＝8，∴PC＝CD＝×8＝4，在Rt△OCP中，∵PC＝4，OP＝3，∴OC＝＝＝5．故选：C．6．解：∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB＝8，∴AC＝AB＝4，设⊙O的半径为r，则OC＝r﹣2，在Rt△AOC中，∵AC＝4，OC＝r﹣2，∴OA2＝AC2+OC2，即r2＝42+（r﹣2）2，解得r＝5，∴AE＝2r＝10，连接BE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，在Rt△ABE中，∵AE＝10，AB＝8，∴BE＝＝＝6，在Rt△BCE中，∵BE＝6，BC＝4，∴CE＝＝＝2．故选：D．7．解：如图；过O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，连接OA；则AD＝BD，由折叠的性质得：OD＝CD，在Rt△OAD中，OD＝CD＝OC＝2，OA＝4；根据勾股定理得：AD＝＝＝2，∴AB＝2AD＝4；故选：D．8．解：如图，连接AC，BC，OC，过点B作BH⊥CF交CF的延长线于H，设OC交AD于J．∵＝，∴AC＝BC，OC⊥AB，∵AB是直径，∴ACB＝90°，∴∠ACJ＝∠CBF＝45°，∵CF⊥AD，∴∠ACF+∠CAJ＝90°，∠ACF+∠BCF＝90°，∴∠CAJ＝∠BCF，∴△CAJ≌△BCF（ASA），∴CJ＝BF，AJ＝CF＝1+＝，∵OC＝OB，∴OJ＝OF，设BF＝CJ＝x．OJ＝OF＝y，∵∠AEC＝∠H＝90°，∠CAE＝∠BCH，CA＝CB，∴△ACE≌△CBH（AAS），∴EC＝BH＝1，∵∠ECJ＝∠FCO，∠CEJ＝∠COF＝90°，∴△CEJ∽△COF，∴＝＝，∴＝＝，∴EJ＝，∵BF＝CJ，∠H＝∠CEJ，∠CJE＝∠BFH，∴△BHF≌△CEJ（AAS），∴FH＝EJ＝，∵AE∥BH，∴＝，∴＝，整理得，10x2+7xy﹣6y2＝0，解得x＝y或x＝﹣y（舍弃），∴y＝2x，∴＝，解得x＝或﹣（舍弃）．∴BF＝，故选：A．9．解：设AB与CD交于H，连接OD，作OM⊥DE，交BC于N，作DG⊥BC，∵DE∥BC，∴MN⊥BC，DG⊥DE，∴DG＝MN，∵OM⊥DE，ON⊥BC，∴DM＝EM＝DE，BN＝CN，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，弦DE∥CB．∴CH＝DH＝CD＝3，∴OH＝＝＝4，∴BH＝9，∴BC＝＝3，∴BN＝BC＝，∴ON＝＝，∵sin∠BCH＝＝，即＝，∴DG＝，∴MN＝DG＝，∴OM＝MN﹣ON＝，∴DM＝＝，∴DE＝2DM＝．故选：A．10．解：连接OP，OQ，∵DE，FG，，的中点分别是M，N，P，Q，∴OP⊥AC，OQ⊥BC，∴H、I是AC、BD的中点，∴OH+OI＝（AC+BC）＝9，∵MH+NI＝AC+BC＝18，MP+NQ＝12，∴PH+QI＝18﹣12＝6，∴AB＝OP+OQ＝OH+OI+PH+QI＝9+6＝15，故选：D．二．填空题（共5小题）11．解：由已知可知，最长的弦是过M的直径AB，最短的是垂直平分直径的弦CD，已知AB＝10，CD＝6，则OD＝5，MD＝3，由勾股定理得OM＝4．故答案为：4．12．解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1，∵AB＝24，CD＝10，∴AE＝12，CF＝5，∵OA＝OC＝13，∴EO＝5，OF＝12，∴EF＝12﹣5＝7；②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，∵AB＝24，CD＝10，∴AE＝12，CF＝5，∵OA＝OC＝13，∴EO＝5，OF＝12，∴EF＝OF+OE＝17．∴AB与CD之间的距离为7或17．故答案为7或17．13．解：∵CD⊥OB，∴CE＝DE＝CD＝4，在Rt△OCE中，OE＝＝3，∴AE＝AO+OE＝5+3＝8（cm）．故答案为8．14．解：作OF⊥PQ于F，连接OP，∴PF＝PQ＝12，∵CD⊥AB，PQ∥AB，∴CD⊥PQ，∴四边形MEOF为矩形，∵CD＝PQ，OF⊥PQ，CD⊥AB，∴OE＝OF，∴四边形MEOF为正方形，设半径为x，则OF＝OE＝18﹣x，在直角△OPF中，x2＝122+（18﹣x）2，解得x＝13，则MF＝OF＝OE＝5，∴OM＝5．故答案为：5．15．解：过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．∵AB＝2，∴AE＝，PA＝2，∴PE＝1．∵点D在直线y＝x上，∴∠AOC＝45°，∵∠DCO＝90°，∴∠ODC＝45°，∴∠PDE＝∠ODC＝45°，∴∠DPE＝∠PDE＝45°，∴DE＝PE＝1，∵⊙P的圆心是（2，a），∴点D的横坐标为2，∴OC＝2，∴DC＝OC＝2，∴a＝PD+DC＝2+．故答案为：2+．三．解答题（共5小题）16．解：（1）连接OC，OD，∵AB为⊙O的直径，AB＝10cm，∴OA＝OB＝5cm．∵AC＝CD＝DB，∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴OA＝AC＝5cm；（2）∵由（1）知∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°，∴△AOC、△COD与△BOD均是等边三角形，∴∠A+∠ACD＝180°，∴CD∥AB．17．（1）解：连结OA交BF于G，如图，⊙O的半径为r，∵AD⊥OB，在Rt△OHA中，OH＝r﹣2，OA＝r，∴r2＝42+（r﹣2）2，解得r＝5，即⊙O的半径为5；（2）证明：连结CF，如图，∵AD⊥OB，∴弧AB＝弧DB，∵∠EAB＝∠EBA，∴弧BD＝弧AF，∴弧AB＝弧AF，∴OA⊥BG，∴BG＝FG，∴∠OAH＝∠OBG，在△OAH和△OBG中，，∴△OAH≌△OBG（AAS），∴AH＝BG，∴BF＝2AH．18．解：（1）相等．如图：作OG⊥AB于G，OH⊥CD于H，连接OA，OC，OB，OD．AG＝BG，CH＝DH，∵∠EPO＝∠FPO，∴OG＝OH．在Rt△OBG和Rt△ODH中，由HL定理得：△OBG≌△ODH，∴GB＝HD，∴AB＝CD；（2）点P在圆上，结论成立：顶点P在圆上，此时点P，A，C重合于点A，作OG⊥AB于G，OH⊥AD于H，∴AG＝GB，AH＝HD，∵∠EAO＝∠DAO，∴OG＝OH．在Rt△OAG和Rt△OAH中，由HL定理得：△OAG≌△OAH，∴AG＝AH，∴AB＝AD．即点P在圆上，结论成立．（3）顶点P在圆内，作OG⊥AB于G，OH⊥CD于H，则AG＝GB，CH＝HD，∵∠EPO＝∠FPO，∴OG＝OH，∴GB＝HD，∴AB＝CD．即点P在圆内，结论成立．19．解：（1）∵直线的解析式y＝x，∴tan∠A1OB1＝＝，∴∠A1OB1＝60°，OA1＝1，∴A1B1＝，OA2＝OB1＝2，∴B1（1，）．（2）连接A 4B 3，作OH ⊥A 4B 3于H ．由题意OA 1＝1，OA 2＝2，OA 3＝4，OA 4＝8，∵OA 4＝OB 3，OH ⊥A 4B 3，∴∠A 4OH ＝∠A 4OB 3＝30°，∴OH ＝OA 4•cos30°＝8×＝4．20．解：（1）如图1中，连接OB ，OC ．设BF ＝EF ＝x ，OF ＝y ．∵AB ∥CD ，EF ⊥AB ，∴EF ⊥CD ，∴∠CEF ＝∠BFO ＝90°∴AF ＝BF ＝x ，DE ＝EC ＝2， 根据勾股定理可得：， 解得（舍弃）或，∴BF ＝4，AB ＝2BF ＝8．（2）如图2中，作CH ⊥AB 于H ．∵OB⊥OC，∴∠A＝∠BOC＝45°，∵AH⊥CH，∴△ACH是等腰直角三角形，∵AC＝CH，∵AB∥CD，EF⊥AB，∴EF⊥CD，∠CEF＝∠EFH＝∠CHF＝90°，∴四边形EFHC是矩形，∴CH＝EF，在Rt△OEC中，∵EC＝，OC＝，OE＝＝＝2，∵∠EOC+∠OCE＝90°，∠EOC+∠FOB＝90°，∴∠FOB＝∠ECO，∵OB＝OC，∴△OFB≌△CEO（AAS），∴OF＝EC＝，∴CH＝EF＝3，∴AC＝EF＝6．。
2024九年级数学下册第2章圆2.3垂径定理习题课件新版湘教版 (1)
为(
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A.
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D.
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4.[2023·随州中考]如图，在☉O中，OA⊥BC，∠AOB＝
60°，则∠ADC的度数为
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30° .
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5.如图，半径为5的☉A与y轴交于点B(0，2)，C(0，10)，求点A的坐标.
解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，连接AB.根据题意，
答：水面下盛水筒的最大深度为2 m.
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根据以上信息，可得北纬28°纬线的长度约为 33792
km.
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11.如图，已知AB是☉O的直径，∠ACD是所对的圆周
角，∠ACD＝30°.
(1)求∠DAB的度数；
解：(1)连接BD.∵∠ACD＝30°，
∴∠B＝∠ACD＝30°.
∵AB是☉O的直径，∴∠ADB＝90°.
m，CD＝20 m，求这段弯路的半径.
解：如图，连接OB.∵OC⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝×80＝40(m)，
设这段弯路的半径为r m，则OD＝(r－20)m.
在Rt△OBD中，由勾股定理，得OD2＋BD2＝OB2，
精选2019届九年级数学下册第二章2-3垂径定理练习(新版)湘教版
2.3 垂径定理基础题知识点1 垂径定理1．(长沙中考改编)如图，在⊙O 中，弦AB ＝6，圆心O 到AB 的距离OC ＝2，则⊙O 的半径长为(B)A.72B.13C ．23D ．42．如图，AB 是⊙O 的弦，OD⊥AB 于D ，交⊙O 于E ，则下列说法错误的是(D)A ．AD ＝BDB ．∠AOE＝∠BOEC.AE ︵＝BE ︵ D ．OD ＝DE3．如图，在⊙O 中，直径CD 垂直于弦AB.若∠C＝25°，则∠BOD 的度数是(D)A ．25° B．30° C．40° D．50°4．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC⊥AB 于点D.若⊙O 的半径为5，AB ＝8，则CD 的长是(A)A ．2B ．3C ．4D ．55．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点E ，OC ＝5 cm ，CD ＝6 cm ，则OE ＝4cm.24．7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB.若CD＝16，BE＝4，求⊙O的直径．解：∵AB⊥CD，CD＝16，∴CE＝DE＝8.设OB＝x，∵BE＝4，∴x2＝(x－4)2＋82.解得x＝10.∴⊙O的直径是20.知识点2 垂径定理的实际应用8．(教材P60习题T1变式)一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径OB＝10，截面圆圆心O到水面的距离OC是6，则水面宽AB是(A)A．16B．10C ．8D ．69．如图所示，某窗户是由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB ＝3 m ，弓形的高EF ＝1 m ，现计划安装玻璃，请帮工程师求出AB ︵所在圆O 的半径r.解：由题意，知OA ＝OE ＝r.∵EF＝1，∴OF＝r －1.∵OE⊥AB，∴AF＝12AB ＝12×3＝1.5.在Rt△OAF 中，OF 2＋AF 2＝OA 2，即(r －1)2＋1.52＝r 2.解得r ＝138.∴圆O 的半径为138 m.易错点 忽略垂径定理的推论中的条件“不是直径”10．下列说法正确的是(D)A ．过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧B ．弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心C ．过弦的中点的直径垂直于弦D ．平分弦所对的两条弧的直径平分弦中档题11．如图，将半径为2 cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为(C)A ．2 cmB. 3 cm C ．2 3 cm D ．2 5 cm。
2019最新九年级数学下册 第2章 圆 2.3 垂径定理练习 (新版)湘教版
2.3 垂径定理知|识|目|标1．通过圆的对称性折叠操作，理解垂径定理．2．通过对垂径定理的理解，采用转化和对称思想解决有关直角三角形的计算与证明问题．3．在掌握垂径定理的基础上，能应用垂径定理解决实际生活中的问题.目标一理解垂径定理例1 教材补充例题如图2－3－1所示的图形中，哪些图形能得到AE＝BE的结论，哪些不能，为什么？①②③④图2－3－1【归纳总结】理解垂径定理的“三点注意”：(1)这里的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线(线段)，其本质是“过圆心”；(2)垂径定理中的弦为直径时，结论仍然成立；(3)平分弦所对的两条弧，是指平分弦所对的劣弧和优弧，不要漏掉优弧．目标二能运用垂径定理进行计算或推理证明例2 教材补充例题如图2－3－2，⊙O的半径为17 cm，弦AB∥CD，AB＝30 cm，CD＝16 cm，圆心O位于AB，CD的上方，求AB和CD之间的距离．图2－3－2【归纳总结】垂径定理中常用的两种辅助线：(1)若已知圆心，则作垂直于弦的直径；(2)若已知弦、弧的中点，则作弦、弧中点的连线或连半径等．目标三能利用垂径定理解决实际问题例3 教材补充例题赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙．如图2－3－3，若桥跨度AB 约为40米，主拱高CD 约为10米，则桥弧AB 所在圆的半径R ＝________米．图2－3－3图2－3－4【归纳总结】1．垂径定理基本图形的四变量、两关系：(1)四变量：如图2－3－4，弦长a ，圆心到弦的距离d ，半径r ，弧的中点到弦的距离(弓形高)h ，这四个变量知任意两个可求其他两个．(2)两关系：①⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋d 2＝r 2；②h ＋d ＝r.2．垂径定理在应用中常作的辅助线： 作垂线，连半径，构造直角三角形． 3．垂径定理在应用中常用的技巧： 设未知数，根据勾股定理列方程．知识点 垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条____，并且平分________________． [点拨] (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． (2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．已知CD 是⊙O 的一条弦，作直径AB ，使AB ⊥CD ，垂足为E ，若AB ＝10，CD ＝8，求BE 的长． 解：如图2－3－5，连接OC ，则OC ＝5.图2－3－5∵AB 是⊙O 的直径，AB ⊥CD ， CD ＝8， ∴CE ＝12CD ＝4.在Rt △OCE 中，OE ＝OC 2－CE 2＝3， ∴BE ＝OB ＋OE ＝5＋3＝8.以上解答完整吗？若不完整，请进行补充．教师详解详析【目标突破】例1 解：①②能，③④不能．理由略． 例2 [解析] 如图，过圆心O 作弦AB 的垂线，易证它也与弦CD 垂直，由垂径定理知AE ＝BE ，CF ＝DF ，根据勾股定理可求OE ，OF 的长，进而可求出AB 和CD 之间的距离．解：如图，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，交CD 于点F ，连接OA ，OC.∵AB ∥CD ，∴OF ⊥CD. 在Rt △OAE 中，∵OA ＝17 cm ，AE ＝BE ＝12AB ＝15 cm ，∴OE ＝172－152＝8(cm)．同理可求OF ＝172－82＝15(cm)． ∵圆心O 位于AB ，CD 的上方， ∴EF ＝OF －OE ＝15－8＝7(cm)． 即AB 和CD 之间的距离是7 cm. 例3 [答案] 25[解析] 根据垂径定理，得AD ＝12AB ＝20米．在Rt △AOD 中，根据勾股定理，得R 2＝202＋(R－10)2，解得R ＝25(米)． 【总结反思】[小结] 知识点 弦 弦所对的两条弧 [反思] 不完整．补充：若垂足E 在线段OA 上，则BE ＝OB ＋OE ＝5＋3＝8； 若垂足E 在线段OB 上， 则BE ＝OB －OE ＝5－3＝2. 综上所述，BE 的长为8或2. 其长度保持不变．。
湘教版九年级数学下册第2章 圆 §2.3 垂径定理 教案与同步练习含答案-必备
湘教版九年级数学下册第2章 圆 §*2.3 垂径定理教案与同步练习教学目标：【知识与技能】1.理解圆是轴对称图形,由圆的折叠猜想垂径定理,并进行推理验证.2.理解垂径定理,灵活运用定理进行证明及计算.【过程与方法】在探索圆的对称性以及直径垂直于弦的性质的过程中,培养我们观察,比较,归纳,概括的能力.【情感态度】通过对圆的进一步认识,加深我们对圆的完美性的体会,陶冶美育情操,激发学习热情.【教学重点】垂径定理及运用.【教学难点】用垂径定理解决实际问题.教学过程：一、情境导入，初步认识教师出示一张图形纸片,同学们猜想一下:①圆是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？②如图，AB 是⊙O 的一条弦，直径CD ⊥AB 于点M ，能发现图中有哪些等量关系？（在纸片上对折操作）学生回答或展示：【教学说明】（1）是轴对称图形，对称轴是直线CD.（2）AM=BM ，AC BC AD BD ==，. 二、思考探究，获取新知探究1垂径定理及其推论的证明.1.由上面学生折纸操作的结论,教师再引导学生用逻辑思维证明这些结论,学生们说出已知、求证,再由小组讨论推理过程.已知:直径CD,弦AB,且CD ⊥AB,垂足为点M.求证:AM=BM, AC BC AD BD ==，【教学说明】连接OA=OB,又CD ⊥AB 于点M,由等腰三角形三线合一可知AM=BM,再由⊙O 关于直线CD 对称,可得AC BC AD BD ==，.学生尝试用语言叙述这个命题.2.得出垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.还可以得出结论(垂径定理推论):平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.3.学生讨论写出已知、求证,并说明.学生回答:【教学说明】已知:AB 为⊙O 的弦(AB 不过圆心O),CD 为⊙O 的直径,AB 交CD 于点M,MA=MB.求证:CD ⊥AB, AC BC AD BD ==，. 证明:在△OAB 中,∵OA=OB,MA=MB,∴CD ⊥AB.又CD 为⊙O 的直径,∴AC BC AD BD ==，. 4.同学讨论回答,如果条件中,AB 为任意一条弦,上面的结论还成立吗?学生回答:【教学说明】当AB 为⊙O 的直径时,直径CD 与直径AB 一定互相平分,位置关系是相交,不一定垂直.探究2 垂径定理在计算方面的应用.例1讲教材P 59例1例2已知⊙O 的半径为13cm,弦AB ∥CD ，AB=10cm,CD=24cm,求AB 与CD 间的距离.解:(1)当AB 、CD 在O 点同侧时,如图①所示，过O 作OM ⊥AB 于M ，交CD 于N ，连OA 、OC.∵AB ∥CD,∴ON ⊥CD 于N.在Rt △AOM 中，22OA AM -=12cm.在Rt △OCN 中，22OC CN -∵MN=OM-ON,∴MN=7cm.(2)当AB 、CD 在O 点异侧时，如图②所示，由（1）可知OM= 12cm,ON=5cm,MN=OM+ON,∴MN=17cm.∴AB 与CD 间的距离是7cm 或17cm.【教学说明】1.求直径往往只要能求出半径，即把它放在由半径所构成的直角三角形中去.2.AB 、CD 与点O 的位置关系没有说明,应分两种情况:AB 、CD 在O 点的同侧和AB 、CD 在O 点的两侧.探究3与垂径定理有关的证明.例3讲教材P 59例2【教学说明】1.作直径EF ⊥AB,∴AE BE =.又AB ∥CD ，EF ⊥AB ，∴EF ⊥CD.∴CE DE =.∴AE CE BE DE -=-，即AC BD =.2.说明直接用垂径定理即可.三、运用新知，深化理解1.如上图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，已知CD=12，BE=2，则⊙O 的直径为（ ）A.8B.10C.16D.202.如图，半径为5的⊙P 与y 轴交于点M （0,-4),N(0,-10), 函数k y x= (x ＜0)的图象过点P ，则k=______.3.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE ⊥AC于E，求证：四边形ADOE为正方形.【教学说明】1.在解决与弦的有关问题时，常过圆心作弦的垂线（弦心距），然后构造以半径、弦心距、弦的一半为边的直角三角形，利用直角三角形的性质求解.2.求k值关键是求出P点坐标.3.利用垂径定理,由AB=AC→AE=AD，再由已知条件→三个直角→正方形.【答案】1.D 2.283.解:由OE⊥CA,OD⊥AB,AC⊥AB,∴四边形ADOE为矩形.再由垂径定理;AE=12AC,AD=12AB,且AB=AC,∴AE=AD,∴矩形EADO为正方形.四、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么?还有哪些疑惑?2.在学生回答基础上.3.教师强调:①圆是轴对称图形，对称轴是过圆心的任一条直线；②垂径定理及推论中注意“平分弦（不是直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”中的限制；③垂径定理的计算及证明，常作弦心距为辅助线，用勾股定理列方程；④注意计算中的两种情况.课堂作业：1.教材P60第1、2题.2.完成同步练习册中本课时的练习.教学反思：本节课由折叠圆形入手,让学生猜想垂径定理并进一步推导论证,在整个过程中着重学习动手动脑和推理的能力,加深了对圆的完美性的体会,陶冶美育情操,激发学习热情.湘教版九年级数学下册第2章 圆 §*2.3 垂径定理 同步练习一．选择题（共8小题）1．如图，在半径为5cm 的⊙O 中，弦AB=6cm ，OC ⊥AB 于点C ，则OC=（ ）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm2．如图，AB 为圆O 的直径，BC 为圆O 的一弦，自O 点作BC 的垂线，且交BC 于D 点．若AB=16，BC=12，则△OBD 的面积为何？（ ）A ．6B ．12C ．15D ．303．如图，在⊙O 中，直径CD ⊥弦AB ，则下列结论中正确的是（ ）A ．AC=AB B ．∠C=∠BODC ．∠C=∠BD ．∠A=∠BOD4．如图，在⊙O 内有折线OABC ，点B 、C 在圆上，点A 在⊙O 内，其中OA=4cm ，BC=10cm ，∠A=∠B=60°，则AB 的长为（ ）A ．5cmB ．6cmC ．7cmD ．8cm5．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆半径OB=5，截面圆圆心O 到水面的距离OC 是3，则水面宽AB 是（ ）A ．8B ．5C ．4D ．3第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图6．当宽为3cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图所示（单位：cm）那么该圆的半径为（）A．8cm B．9cm C ．cm D．10cm7．在某岛A的正东方向有台风，且台风中心B距离小岛A km，台风中心正以30km/h的速度向西北方向移动，距离中心50公里以内圆形区域（包括边界）都受影响，则小岛A受到台风影响的时间为（）A．不受影响B．1小时C．2小时D．3小时8．温州是著名水乡，河流遍布整个城市．某河流上建有一座美丽的石拱桥（如图）．已知桥拱半径OC为5m，水面宽AB为m，则石拱桥的桥顶到水面的距离CD为（）A．4m B．7m C．5+m D．6 m二．填空题（共6小题）9．如图，已知点A（0，1），B（0，﹣1），以点A为圆心，AB为半径作圆，交x 轴的正半轴于点C，则∠BAC等于度．第6题图第7题图10．如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD=4，AE=1，则⊙O的半径为．11．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=8，P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C，当△PAB是等腰三角形时，线段BC 的长为．12．如图，AD是⊙O的直径，弦BC⊥AD于E，AB=BC=12，则OC= ．13．如图，圆O的直径AB=8，AC=3CB，过C作AB的垂线交圆O于M，N两点，连结MB，则∠MBA的余弦值为．14．如图，有一圆弧形门拱的拱高AB为1m，跨度CD为4m，则这个门拱的半径为m．三．解答题（共2小题）第10题图第11题图第12题图第13题图第14题图15．如图，某新建公园有一个圆形人工湖，湖中心O处有一座喷泉，小明为测量湖的半径，在湖边选择A、B两个点，在A处测得∠OAB=45°，在AB延长线上的C处测得∠OCA=30°，已知BC=50米，求人工湖的半径．（结果保留根号）16．要测量一个钢板上的小孔的直径，通常采用间接的测量方法．如果用一个直径为10mm的标准钢珠放在小孔上，测的钢珠顶端与小孔平面的距离h=8 mm（如图），求此小孔的直径d．湘教版九年级数学下册第2章圆§*2.3 垂径定理同步练习参考答案一．选择题（共8小题）1．B 2．A 3．B 4．B 5．A 6．C 7．C 8．D二．填空题（共6小题）9．60 10． 11．8，或12．4 13． 14．三．解答题（共2小题）15．略 16．略。
2019最新九年级数学下册 第2章 圆 2.3 垂径定理练习 (新版)湘教版
2.3 垂径定理知|识|目|标1．通过圆的对称性折叠操作，理解垂径定理．2．通过对垂径定理的理解，采用转化和对称思想解决有关直角三角形的计算与证明问题．3．在掌握垂径定理的基础上，能应用垂径定理解决实际生活中的问题.目标一理解垂径定理例1 教材补充例题如图2－3－1所示的图形中，哪些图形能得到AE＝BE的结论，哪些不能，为什么？①②③④图2－3－1【归纳总结】理解垂径定理的“三点注意”：(1)这里的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线(线段)，其本质是“过圆心”；(2)垂径定理中的弦为直径时，结论仍然成立；(3)平分弦所对的两条弧，是指平分弦所对的劣弧和优弧，不要漏掉优弧．目标二能运用垂径定理进行计算或推理证明例2 教材补充例题如图2－3－2，⊙O的半径为17 cm，弦AB∥CD，AB＝30 cm，CD＝16 cm，圆心O位于AB，CD的上方，求AB和CD之间的距离．图2－3－2【归纳总结】垂径定理中常用的两种辅助线：(1)若已知圆心，则作垂直于弦的直径；(2)若已知弦、弧的中点，则作弦、弧中点的连线或连半径等．目标三能利用垂径定理解决实际问题例3 教材补充例题赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙．如图2－3－3，若桥跨度AB 约为40米，主拱高CD 约为10米，则桥弧AB 所在圆的半径R ＝________米．图2－3－3图2－3－4【归纳总结】1．垂径定理基本图形的四变量、两关系：(1)四变量：如图2－3－4，弦长a ，圆心到弦的距离d ，半径r ，弧的中点到弦的距离(弓形高)h ，这四个变量知任意两个可求其他两个．(2)两关系：①⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋d 2＝r 2；②h ＋d ＝r.2．垂径定理在应用中常作的辅助线： 作垂线，连半径，构造直角三角形． 3．垂径定理在应用中常用的技巧： 设未知数，根据勾股定理列方程．知识点 垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条____，并且平分________________． [点拨] (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． (2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．已知CD 是⊙O 的一条弦，作直径AB ，使AB ⊥CD ，垂足为E ，若AB ＝10，CD ＝8，求BE 的长． 解：如图2－3－5，连接OC ，则OC ＝5.图2－3－5∵AB 是⊙O 的直径，AB ⊥CD ， CD ＝8， ∴CE ＝12CD ＝4.在Rt △OCE 中，OE ＝OC 2－CE 2＝3， ∴BE ＝OB ＋OE ＝5＋3＝8.以上解答完整吗？若不完整，请进行补充．教师详解详析【目标突破】例1 解：①②能，③④不能．理由略． 例2 [解析] 如图，过圆心O 作弦AB 的垂线，易证它也与弦CD 垂直，由垂径定理知AE ＝BE ，CF ＝DF ，根据勾股定理可求OE ，OF 的长，进而可求出AB 和CD 之间的距离．解：如图，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，交CD 于点F ，连接OA ，OC.∵AB ∥CD ，∴OF ⊥CD. 在Rt △OAE 中，∵OA ＝17 cm ，AE ＝BE ＝12AB ＝15 cm ，∴OE ＝172－152＝8(cm)．同理可求OF ＝172－82＝15(cm)． ∵圆心O 位于AB ，CD 的上方， ∴EF ＝OF －OE ＝15－8＝7(cm)． 即AB 和CD 之间的距离是7 cm. 例3 [答案] 25[解析] 根据垂径定理，得AD ＝12AB ＝20米．在Rt △AOD 中，根据勾股定理，得R 2＝202＋(R－10)2，解得R ＝25(米)． 【总结反思】[小结] 知识点 弦 弦所对的两条弧 [反思] 不完整．补充：若垂足E 在线段OA 上，则BE ＝OB ＋OE ＝5＋3＝8； 若垂足E 在线段OB 上， 则BE ＝OB －OE ＝5－3＝2. 综上所述，BE 的长为8或2. 其长度保持不变．。
【中小学资料】九年级数学下册 第2章 圆 2.3 垂径定理同步练习 (新版)湘教版
2.3 垂径定理一、选择题1．下列命题错误的是链接听课例1归纳总结( )A．平分弧的直径平分这条弧所对的弦B．平分弦的直径平分这条弦所对的弧C．垂直于弦的直径平分这条弦D．弦的垂直平分线经过圆心2．2018·菏泽如图K－14－1，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC＝32°，则∠OBA的度数是( )图K－14－1A．64° B．58° C．32° D．26°3．过⊙O内一点M的最长弦长为10 cm，最短弦长为8 cm，则OM的长为( )A．9 cm B．6 cmC．3 cm D.41 cm4．2017·泸州如图K－14－2所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是 ( )图K－14－2A.7 B．27 C．6 D．85.2017·金华如图K－14－3，在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为( )图K－14－3A．10 cm B．16 cmC．24 cm D．26 cm6．如图K－14－4，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝8，则CD的长为( )图K－14－4A．4 2B．8 2C．8D．167．如图K－14－5，在等边三角形ABC中，AB，AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，如果MN＝1，那么△ABC的面积为( )图K－14－5A．3 B. 3 C．4 D.3 38．2017·襄阳模拟⊙O的半径为5 cm，弦AB∥CD，AB＝6 cm，CD＝8 cm，则AB和CD间的距离是( )图K－14－6A．7 cm B．8 cmC．7 cm或1 cm D．1 cm二、填空题9．如图K－14－6，OD是⊙O的半径，弦AB⊥OD于点E，若∠O＝70°，则∠A＋∠C＝________°. 10．如图K－14－7，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3.若P是AB上的一动点，则OP的取值范围是________．图K－14－711．2017·孝感已知半径为2的⊙O中，弦AC＝2，弦AD＝2 2，则∠COD的度数为________．三、解答题12．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D(如图K－14－8所示)．(1)求证：AC＝BD；(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长.链接听课例2归纳总结图K－14－813．如图K－14－9所示，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A(0，2)，B(4，2)，C(6，0)，解答下列问题：(1)请在图中确定该圆弧所在圆圆心D的位置，并写出点D的坐标为________；(2)连接AD，CD，求⊙D的半径(结果保留根号)．图K－14－914．如图K－14－10，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，∠M＝∠D.(1)判断BC，MD的位置关系，并说明理由；(2)若AE＝16，BE＝4，求线段CD的长；(3)若MD恰好经过圆心O，求∠D的度数．图K－14－1015．如图K－14－11，有一拱形公路桥，圆弧形桥拱的水面跨度AB＝80米，桥拱到水面的最大高度为20米．(1)求桥拱的半径；(2)现有一艘宽60米，船舱顶部为长方形并高出水面9米的轮船要经过这里，这艘轮船能顺利通过吗？并说明理由．图K－14－11素养提升探究性问题如图K －14－12，在半径为5的扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，C 是弧AB 上的一个动点(不与点A ，B 重合)，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，垂足分别为D ，E. (1)当BC ＝6时，求线段OD 的长．(2)探究：在△DOE 中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．图K －14－121．B2．[解析] D ∵OC ⊥AB ，∴AC ︵＝BC ︵.∠ADC 是AC ︵所对的圆周角，∠BOC 是BC ︵所对的圆心角，∴∠BOC ＝2∠ADC ＝64°，∴∠OBA ＝90°－∠BOC ＝90°－64°＝26°.故选D.3．[解析] C 由题意知，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦，如图所示．直径ED ⊥AB 于点M ，则ED ＝10 cm ，AB ＝8 cm ，由垂径定理知M 为AB 的中点， ∴AM ＝4 cm.∵半径OA ＝5 cm ，∴OM 2＝OA 2－AM 2＝25－16＝9， ∴OM ＝3(cm)． 4．B5．[解析] C 如图，过点O 作OD ⊥AB 于点C ，交⊙O 于点D.∵CD ＝8 cm ，OD ＝13 cm ，∴OC ＝5 cm. 又∵OB ＝13 cm ，∴在Rt △BCO 中，BC ＝OB 2－OC 2＝12 cm ，∴AB ＝2BC ＝24 cm.6．[解析] B ∵∠A ＝22.5°，∴∠BOC ＝2∠A ＝45°.∵⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，∴CE ＝DE ，△OCE 为等腰直角三角形，∴CE ＝22OC ＝4 2，∴CD ＝2CE ＝8 2.故选B. 7．[解析] B ∵OM ⊥AB ，ON ⊥AC ，垂足分别为M ，N ， ∴M ，N 分别是AB ，AC 的中点， ∴MN 是等边三角形ABC 的中位线． ∵MN ＝1，∴AB ＝AC ＝BC ＝2MN ＝2， ∴S △ABC ＝12×2×2×sin60°＝2×32＝ 3.8．C9．[答案] 55[解析] 连接OB.∵OA ＝OB ，∴∠A ＝∠ABO.又∵OD 是⊙O 的半径，弦AB ⊥OD 于点E ，∠AOD ＝70°， ∴AD ︵＝BD ︵，∠AOB ＝140°，∴∠C ＝12∠AOD ＝35°，∠A ＝∠ABO ＝20°，∴∠A ＋∠C ＝55°.故答案是55.10．[答案] 3≤OP≤5[解析] 连接OA ，作OC ⊥AB 于点C ，则AC ＝12AB ＝4.由勾股定理，得OA ＝AC 2＋OC 2＝5，则OP 的取值范围是3≤OP≤5.11．[答案] 150°或30°[解析] 如图所示，连接OC ，过点O 作OE ⊥AD 于点E.∵OA ＝OC ＝AC ，∴∠OAC ＝60°.∵AD ＝2 2，OE ⊥AD ，∴AE ＝2，OE ＝OA 2－AE 2＝2，∴∠OAD ＝45°，∴∠CAD ＝∠OAC ＋∠OAD ＝105°或∠CAD ＝∠OAC －∠OAD ＝15°，∴∠COD ＝360°－2×105°＝150°或∠COD ＝2×15°＝30°.故答案为150°或30°.12．解：(1)证明：过点O 作OE ⊥AB 于点E ，则CE ＝DE ，AE ＝BE ， ∴AE －CE ＝BE －DE ， 即AC ＝BD.(2)连接OA ，OC ，由(1)可知OE ⊥AB 且OE ⊥CD ， ∴CE ＝OC 2－OE 2＝82－62＝2 7，AE ＝OA 2－OE 2＝102－62＝8， ∴AC ＝AE －CE ＝8－2 7.13．(1)确定点D 的位置略 (2，－2) (2)⊙D 的半径为2 5 14．解：(1)BC ∥MD.理由：∵∠M ＝∠D ，∠M ＝∠C ， ∴∠D ＝∠C ，∴BC ∥MD. (2)∵AE ＝16，BE ＝4， ∴OB ＝16＋42＝10，∴OE ＝10－4＝6.连接OC ，如图①. ∵CD ⊥AB ，∴CE ＝12CD.在Rt △OCE 中，∵OE 2＋CE 2＝OC 2，即62＋CE 2＝102，∴CE ＝8，∴CD ＝2CE ＝16.(3)如图②，∵∠M ＝12∠BOD ，∠M ＝∠D ，∴∠D ＝12∠BOD.又∵AB ⊥CD ，∴∠D ＝13×90°＝30°.15．解：(1)如图①，设E 是桥拱所在圆的圆心，过点E 作EF ⊥AB 于点F ，延长EF 交⊙E 于点D ，则F 是AB 的中点，AF ＝FB ＝12AB ＝40米，EF ＝ED －FD ＝AE －DF.由勾股定理知AE 2＝AF 2＋EF 2＝AF 2＋(AE －DF)2.设⊙E 的半径是r ，则r 2＝402＋(r －20)2， 解得r ＝50.即桥拱的半径为50米．①②(2)这艘轮船能顺利通过这座拱桥． 理由：如图②，设MN 与DE 交于点G ， GM ＝30米．在Rt △GEM 中，GE ＝EM 2－GM 2＝502－302＝40(米)． ∵EF ＝50－20＝30(米)，∴GF ＝GE －EF ＝40－30＝10(米)． ∵10米＞9米，∴这艘轮船能顺利通过这座拱桥．[素养提升]解：(1)∵OD ⊥BC ，∴BD ＝12BC ＝12×6＝3.∵∠BDO ＝90°，OB ＝5，BD ＝3，∴OD ＝OB 2－BD 2＝4， 即线段OD 的长为4.(2)存在，DE 的长度保持不变．理由：连接AB ，如图． ∵∠AOB ＝90°，OA ＝OB ＝5， ∴AB ＝OB 2＋OA 2＝5 2. ∵OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，∴D 和E 分别是线段BC 和AC 的中点， ∴DE ＝12AB ＝5 22，其长度保持不变．。
2022春九年级数学下册 第2章 圆2.3垂径定理习题课件湘教版
【点拨】根据垂径定理，可知①②③一定正确；因 为CD不一定平分OB，所以④不一定正确．本题的易 错之处是对垂径定理理解不透，并且图形画得比较 特殊，容易误认为CD平分OB. 【答案】C
10．【中考·湖州】已知在以点O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于点C，D(如图)．
(1)求证：AC＝BD. 证明：如图， 过点O作OE⊥AB于点E， 则CE＝DE，AE＝BE. ∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD.
上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则 1
CD的最大值为____2____．
6．如图，△ ABC 的三个顶点都在⊙O 上，∠AOB＝60°， AB＝AC＝2，则弦 BC 的长为( C ) A． 3 B．3 C．2 3 D．4
7．如图，若A︵N＝B︵N，MN 为直径，则下列结论：①AC＝ BC；②MN⊥AB；③A︵M＝B︵M；④ON＝AB.其中正确的 个数有( ) A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
*4.【中考·梧州】如图，在半径为 13的⊙O 中，弦 AB 与 CD 交于点 E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则 CD 的长是( ) A．2 6 B．2 10 C．2 11 D．4 3
【点拨】如图，过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB 于点G，连接OB，OD，OE. 则 CF＝DF，AG＝BG＝12AB＝3， ∴EG＝AG－AE＝3－1＝2.
卡车P沿道路ON方向行驶的速度 为18千米/时．
(1)求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离． 解：如图，过点A作AD⊥ON于点D. ∵∠NOM＝30°，AO＝80米， ∴AD＝40米，即对学校A的噪 声影响最大时卡车P与学校A的距离为40米．
(2)求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影 响的时间． 解：如图，以A为圆心，50 米长为半径画圆，分别交 ON于B，C两点，连接AB， AC，
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知|识|目|标
1．通过圆的对称性折叠操作，理解垂径定理．
2．通过对垂径定理的理解，采用转化和对称思想解决有关直角三角形的计算与证明问题．3．在掌握垂径定理的基础上，能应用垂径定理解决实际生活中的问题.
目标一理解垂径定理
例1 教材补充例题如图2－3－1所示的图形中，哪些图形能得到AE＝BE的结论，哪些不能，为什么？
①②③④
图2－3－1
【归纳总结】理解垂径定理的“三点注意”：
(1)这里的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线(线段)，其本质是“过圆心”；
(2)垂径定理中的弦为直径时，结论仍然成立；
(3)平分弦所对的两条弧，是指平分弦所对的劣弧和优弧，不要漏掉优弧．
目标二能运用垂径定理进行计算或推理证明
例2 教材补充例题如图2－3－2，⊙O的半径为17 cm，弦AB∥CD，AB＝30 cm，CD＝16 cm，圆心O位于AB，CD的上方，求AB和CD之间的距离．
图2－3－2
【归纳总结】垂径定理中常用的两种辅助线：
(1)若已知圆心，则作垂直于弦的直径；
(2)若已知弦、弧的中点，则作弦、弧中点的连线或连半径等．
目标三能利用垂径定理解决实际问题
例3 教材补充例题赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙．如图2－3－3，若桥跨度AB 约为40米，主拱高CD 约为10米，则桥弧AB 所在圆的半径R ＝________米． 图2－3－3
图2－3－4
【归纳总结】
1．垂径定理基本图形的四变量、两关系：
(1)四变量：如图2－3－4，弦长a ，圆心到弦的距离d ，半径r ，弧的中点到弦的距离(弓形高)h ，这四个变量知任意两个可求其他两个．
(2)两关系：①⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 22＋d 2＝r 2；②h ＋d ＝r. 2．垂径定理在应用中常作的辅助线：
作垂线，连半径，构造直角三角形．
3．垂径定理在应用中常用的技巧：
设未知数，根据勾股定理列方程．
知识点 垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条____，并且平分________________．
[点拨] (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
已知CD 是⊙O 的一条弦，作直径AB ，使AB ⊥CD ，垂足为E ，若AB ＝10，CD ＝8，求BE 的长．
解：如图2－3－5，连接OC ，则OC ＝5.
∵AB 是⊙O 的直径，AB ⊥CD ，
CD ＝8，
∴CE ＝12
CD ＝4. 在Rt △OCE 中，
OE ＝OC 2－CE 2＝3，
∴BE ＝OB ＋OE ＝5＋3＝8.
以上解答完整吗？若不完整，请进行补充．
教师详解详析
【目标突破】
例1 解：①②能，③④不能．理由略．
例2 [解析] 如图，过圆心O 作弦AB 的垂线，易证它也与弦CD 垂直，由垂径定理知AE ＝BE ，CF ＝DF ，根据勾股定理可求OE ，OF 的长，进而可求出AB 和CD 之间的距离．
解：如图，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，交CD 于点F ，连接OA ，OC.∵AB ∥CD ，∴OF ⊥CD.
在Rt △OAE 中，
∵OA ＝17 cm ，AE ＝BE ＝12
AB ＝15 cm ， ∴OE ＝172－152＝8(cm)．
同理可求OF ＝172－82＝15(cm)．
∵圆心O 位于AB ，CD 的上方，
∴EF ＝OF －OE ＝15－8＝7(cm)．
即AB 和CD 之间的距离是7 cm.
例3 [答案] 25
[解析] 根据垂径定理，得AD ＝12
AB ＝20米．在Rt △AOD 中，根据勾股定理，得R 2＝202＋(R －10)2，解得R ＝25(米)．
【总结反思】
[小结] 知识点 弦 弦所对的两条弧
[反思] 不完整．
补充：若垂足E 在线段OA 上，则BE ＝OB ＋OE ＝5＋3＝8；
若垂足E 在线段OB 上，
则BE ＝OB －OE ＝5－3＝2.
综上所述，BE 的长为8或2.
其长度保持不变．
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