2019_2020学年高中数学课时作业16超几何分布北师大版选修2_3

课时作业(十六)
1．盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则抽取1个白球和2个红球的概率是( ) A.37
42 B.1742 C.1021 D.
1721
答案 C
解析 设从中任取3个球，抽到白球个数为X ，
则X 服从N ＝9，M ＝4，n ＝3的超几何分布，{X ＝1}表示事件“抽出1个白球和2个红球”， 故所求的概率为P(X ＝1)＝C 41
C 52
C 93＝1021
.
2．一批产品共50件，次品率为4%，从中任取10件，则抽到1件次品的概率是( ) A.C 21
C 48
9
C 5010 B.C 21C 509
C 5010 C.C 2
1C 5010 D.C 489
C 50
10 答案 A
解析 50件产品中，次品有50×4%＝2件，设抽到的次品数为X ，则X 服从N ＝50，M ＝2，n ＝10的超几何分布，其中抽到1件次品的概率是P(X ＝1)＝C 21
C 48
9
C 50
10.
3．在15个村庄中有6个村庄交通不便，现从中任意选取10个村庄，其中有X 个村庄交通不便，下列概率中等于C 64
C 9
6
C 1510的是( )
A ．P(X ＝4)
B ．P (X≤4)
C ．P(X ＝6)
D ．P (X≤6)
答案 A
解析 易知X 服从N ＝15，M ＝6，n ＝10的超几何分布， 故P(X ＝r)＝C 6r
C 9
10－r
C 1510，r ＝0，1，2，3，4，5，6.
令r ＝4，得P(X ＝4)＝C 64
C 9
6
C 1510.
故选A 项．
4．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任取3个，那么至少有一个是一等品的概率是( ) A.C 161
C 42
C 20
3
B.C 162C 41
C 20
3
C.C 162C 41＋C 163
C 203
D ．以上均不对
答案 D
解析 “至少有一个是一等品”包含3个中有1个一等品，3个中有2个一等品和3个中有3个一等品三种情况，其概率应为C 161
C 42
＋C 162
C 41
＋C 163
C 20
3
. 5．某导游团有外语导游10人，其中6人会说日语，现要选出4人去完成一项任务，则有两人会说日语的概率为________． 答案
37
解析 设选出4人中，会说日语的人数为X ，则X 服从N ＝10，M ＝6，n ＝4的超几何分布． ∴有两个会说日语的概率为： P(X ＝2)＝C 62
C 42
C 104＝37
.
6．10个产品中有2个不合格品，从中随机取出2个，至多有1个不合格品的概率为________(精确为0.001)． 答案 0.978
解析 记随机取2个产品，不合格品个数为X ，则X 服从N ＝10，M ＝2，n ＝2的超几何分布， 故至多有1个不合格品的概率为P(X≤1)＝C 20
C 82
＋C 21
C 81
C 102
＝44
45
≈0.978. 7．某医院内科有5名主任医师和15名主治医师，现从中随机挑选4人组织一个医疗小组．设X 是所选4人中主任医师人数． (1)写出X 的分布列；
(2)求4人中至少有1名主任医师的概率(精确到0.001)． 解析 (1)X 的所有可能取值为0，1，2，3，4.
P(X ＝0)＝C 50
C 154
C 204＝91323，P(X ＝1)＝C 51
C 153
C 204＝455969，P(X ＝2)＝C 52
C 152
C 204＝
70
323， P(X ＝3)＝C 53
C 151
C 204＝
10323，P(X ＝4)＝C 54
C 204＝1
969. ∴X 的分布列为
(2)P(X≥1)＝1－P(X<1)＝1－P(X ＝0)＝1－323≈0.718.
故4人中至少有1名主任医师的概率约为0.718.
8．某摇奖器有10个小球，其中8个小球上标有数字2，2个小球上标有数字5，现摇出3个小球，规定所得奖金(元)为这3个小球上标数之和，求此次摇奖获得奖金数额X 的概率分布列．
解析 当摇出的3个小球均标有数字2时，X ＝6；
当摇出的3个小球中有2个标有数字2，1个标有数字5时，X ＝9； 当摇出的3个小球有1个标有数字2，2个标有数字5时，X ＝12. ∴P(X ＝6)＝C 83
C 103＝715，P(X ＝9)＝C 82
C 21
C 103＝715，P(X ＝12)＝C 81
C 22
C 103＝115.
∴此次摇奖获得奖金数额的概率分布列为
9.为振兴旅游业，某省发行的是金卡，向省内人士发行的是银卡．某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到该省旅游，其中34是省外游客，其余是省内游客．在省外游客中有1
3持金卡，在省内游客中有
2
3
持银卡． (1)在该团中随机采访3名游客，求至少有1人持金卡且恰有1人持银卡的概率； (2)在该团的省外游客中随机采访3名游客，设其中持金卡人数为随机变量X ，求X 的分布列．
解析 (1)由题意知，省外游客有27人，其中9人持有金卡，省内游客有9人，其中6人持有银卡．
记事件B 为“采访该团3人中，至少有1人持金卡且恰有1人持银卡”， 记事件A 1为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”， 记事件A 2为“采访该团3人中，2人持金卡，1人持银卡”， 则P(B)＝P(A 1)＋P(A 2)＝C 91
C 61
C 211
C 363
＋C 92
C 61
C 363＝45
238
. 所以在该团中随机采访3名游客，至少有1人持金卡且恰有1人持银卡的概率为45
238.
(2)X 的可能取值为0，1，2，3.
因为P(X ＝0)＝C 183
C 273＝272975，P(X ＝1)＝C 91
C 182
C 273＝153325，P(X ＝2)＝C 92
C 181
C 273＝
72
325， P(X ＝3)＝C 93
C 273＝28
975.
所以X 的分布列为
10.任意取5枚棋子，如果取出5枚棋子中恰有5枚白棋子或4枚白棋子或3枚白棋子，则有奖品，奖励方法如下表：
解析 X 可能取的值为50，30，10，0.
P(X ＝50)＝C 55
C 105＝1252，P(X ＝30)＝C 54
C 51
C 105＝25252，P(X ＝10)＝C 52
C 53
C 105＝100252，
P(X ＝0)＝1－1252－25252－100252＝1
2.
∴X 的分布列为
►重点班选做题
11．从4名男生和2名女生中任选3人参加数学竞赛，则所选3人中，女生人数不超过1人的概率为________． 答案
45
解析 设所选女生数为随机变量X ，X 服从超几何分布，P (X≤1)＝P(X ＝0)＋P(X ＝1)＝C 20
C 4
3
C 63
＋C 21
C 42
C 63＝45
.
12．(2011·广东)为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x ，y 的含量(单位：毫克)．下表是乙厂的5件产品的测量数据：
(1)(2)当产品中的微量元素x ，y 满足x≥175且y≥75时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；
(3)从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列．
解析 (1)设乙厂生产的产品数量为a 件，则98a ＝14
5，解得a ＝35，所以乙厂生产的产品数
量为35件．
(2)从乙厂抽取的5件产品中，编号为2、5的产品是优等品，即5件产品中有2件是优等品，由此可以估算出乙厂生产的优等品的数量为35×2
5
＝14(件)．
(3)依题意知，ξ服从超几何分布，其中N ＝5，M ＝2，n ＝2，ξ的可能取值为0，1，2，则 P (ξ＝0)＝C 20
C 32
C 52＝310，P (ξ＝1)＝C 21
C 31
C 52＝3
5，
P (ξ＝2)＝C 22
C 30C 52＝1
10
，∴ξ的分布列为
13.(2011·辽宁)(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙．假设n ＝4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X ，求X 的分布列． 解析 随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4，且
P(X ＝0)＝1C 84＝170，P(X ＝1)＝C 41
C 43
C 84＝835，P(X ＝2)＝C 42
C 42
C 84＝1835，P(X ＝3)＝C 43
C 41
C 84＝835，
P(X ＝4)＝1C 84＝1
70.
即X 的分布列为。