人教A版高中数学高三一轮第六章不等式6.2一元二次不等式及其解法(练习)【学生版】(无答案) (1)

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高考数学一轮复习《一元二次不等式》练习题(含答案)

高考数学一轮复习《一元二次不等式》练习题（含答案）一、单选题1．已知集合{}23A x x =-<<，()(){}170B x x x =--<，则A B ⋃=（） A ．{}13x x <的解集是（） A ．{x |x <－1或x >1} B ．{x |－1<x <2} C ．{x |x <－1或x >2}D ．{x |－2<x <1}3．已知集合{}{}22,1,0,2,3,4,|340A B x x x =--=--<，则A B =（）A ．{}1,0,2,3,4-B ．{}0,2,3,4C ．{}0,2,3D ．{}2,34．已知x ＞0，y ＞0，且x +2y ＝1，若不等式21x y+≥m 2+7m 恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．﹣8≤m ≤1B ．m ≤﹣8或m ≥1C ．﹣1≤m ≤8D ．m ≤﹣1或m ≥85．已知集合(){}30A x x x =-<，{}0,1,2,3B =，则A B ⋂（） A ．{}0,1,2,3 B ．{}0,1,2 C ．{}1,2,3D ．{}1,26．已知集合{}1A x x =>，{}240B x x =-≤，则A B =（）A ．{}2x x ≥-B ．{}12x x <<C ．{}12x x <≤D ．{}2x x ≥7．若对任意12x ≤≤，有2x a ≤恒成立，则实数的取值范围是（） A ．{|2}a a ≤ B ．{|4}a a ≥ C ．{|5}a a ≤D ．{|5}a a ≥8．已知集合{}2|3440=--<M x x x ，{}||1|1N y y =-≤，则M N ⋂=（）A ．[]0,2B ．2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．[]1,2D ．∅9．若集合{}220A x x x =--<，{}21B x x =<，则A B =（）A ．AB ．BC ．()1,0-D ．()0,210．若命题“x ∃∈R ，()2214(1)30k x k x -+-+≤”是假命题，则k 的范围是（）A ．()1,7B ．[)1,7C ．()7,1--D ．(]7,1--11．若关于x 不等式20ax bx c ++≥的解集为[2,3]-，则关于x 不等式20cx bx a ++≥的解集为（） A ．11[,]23-B ．11[,]32-C ．11(,][,)23-∞-+∞D ．11(,][,)32-∞-+∞12．已知一元二次不等式kx 2 -x +1<0的解集为{x |a <x <b } ，则2a +b 的最小值是（）A ．3+B ．5+C ．3+D ．5+二、填空题13．若命题:P x R ∀∈，210ax a ++-≥是真命题，则实数a 的取值范围是______.14．已知集合{}2202120200A x x x =-+<，{}B x x a =<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是______．15．若关于x 的一元二次不等式210x ax -+≤的解集为∅，则实数a 的取值范围是______.16．已知命题0:p x ∃∈R ，200(1)10x a x +-+<，若命题p 是假命题，则a 的取值范围为__________．三、解答题17．已知函数)(23f x x ax =-+．（1）若不等式)(f x b <的解集为)(0,2，求实数a ，b 的值；（2）若函数)()()(212g x f x a x =+--在区间](0,2有零点，求实数a 的范围．18．已知不等式组22,780x x x -<⎧⎨+-<⎩的解集为A ，集合{}535B x a x a =-<<-．(1)求A ；(2)若A B B ⋃=，求a 的取值范围．19．已知集合(){}222120A x x a x a a =-+++<．(1)若{}13A x x =<<，求实数a 的值； (2)设，若“x B ∀∈，x A ∈”是真命题，求实数a 的取值范围．20．（1）求不等式2560x x -++>的解集；（2）解不等式：()()20x a x -->；（3）关于x 的不等式210ax ax ++>的解集为R ，求实数a 的取值范围．21．命题p ：函数()22lg 43(0)y x ax a a =-+->有意义，命题q ：实数x 满足302x x -<-．（1）当1a =且p 和q 都为真命题，求实数x 的取值范围；（2）若q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．22．已知集合()(){}130A x x x =--≤，集合{}1B x m x m =-≤≤． (1)当1m =时，求A B ⋃和()RA B ⋃．(2)若B A ⊆，求实数m 的取值范围．23．二次函数2(2)3(0)y ax b x a =+-+≠. (1)当1a =，6b =时，求此函数的零点；(2)若不等式0y >的解集为{}11xx -<<∣，求实数a ，b 的值； (3)当1b a =-时，不等式10y ->在R 上恒成立，求实数a 的取值集合。

高考数学一元二次不等式及其解法大全(含练习和答案)

一元二次不等式及其解法1．一元二次不等式(20(0)ax bx c a ++>>)与相应的二次函数（2(0)y ax bx c a =++>）及一元二次方程（20(0)ax bx c a ++=>）的关系(简称三个二次之间的关系)判别式Δ＝b 2－4acΔ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)的根有两相异实根1212,()x x x x < 有两相等实根 122b x x a==-没有实数根 ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集R ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集∅ 注：（1）若0a <时，可以先将二次项系数化为正数，若对应方程有两实根，则可根据“大于取两边，小于取中间”求解集。

2．简单的分式不等式(1)()0()f x g x >⇔______________；（2）()0()f xg x <⇔____________ (3)()0()f x g x ≥⇔ ___________ （4）()0()f x g x ≤⇔_____________ 3.二次不等式恒成立的条件（1）ax 2＋bx ＋c >0 (a ≠0)对一切x ∈R 恒成立的充要条件是___________ （2）ax 2＋bx ＋c <0 (a ≠0)对一切x ∈R 恒成立的充要条件是___________1．(人教A 版教材习题改编)不等式2x 2－x －1＞0的解集是( )A ．(－12，1) B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－12)∪(1，＋∞)2．不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A ．(－12，1]B ．{x |x ≥1或x ＜－12}C ．[－12，1]D ．{x |x ≥1或x ≤－12} 3．(2012·福建高考)已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________．4．一元二次不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是(－12，13)，则a ＋b 的值是________．（一）考向1 一元二次不等式的解法例1 求下列不等式的解集（1）22730x x ++> （2）3＋2x －x 2≥0；（3）2830x x -+-> （4）213502x x -+-> （5）22320x x -+-< （6）2xx －1≤1解一元二次不等式的步骤： (1)把二次项系数化为正数；(2)先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别式法； (3)写出不等式的解集．变式训练1 解下列不等式：（1）2310x x -+≤ （2）23520x x +-> （3）22530x x --+> （4）29610x x -+-<（5）3012x x+≤- （6）－1≤x 2＋2x －1≤2；（二）考向2 三个二次的关系例2 已知关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集(－1，2)，试求关于x 的不等式ax 2＋x ＋b ＜0的解集．【思路点拨】不等式解集的端点值是相应方程的根．(1)给出一元二次不等式的解集，则可知二次项系数的符号和相应一元二次方程的两根．(2)三个二次的关系体现了数形结合，以及函数与方程的思想方法．变式训练2 若关于x的不等式axx－1＜1的解集是{x|x＜1或x＞2}，求实数a的取值范围．（三）考向3含参数的一元二次不等式的解法例3求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集．【思路点拨】先求方程12x2－ax＝a2的根，讨论根的大小，确定不等式的解集．解含参数的一元二次不等式的步骤(1)二次项若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程实根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定方程无实根时可直接写出解集，确定方程有两个相异实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．变式训练3 解关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0.（四）考向4 不等式恒成立问题例4 若不等式mx 2－mx －1＜0对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．【思路点拨】分m ＝0与m ≠0两种情况讨论，当m ≠0时，用判别式法求解．1．不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＞0；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0；不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＜0；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＜0.2．解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．变式训练4 对任意a ∈[－1，1]不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则实数x 的取值范围是________．一个过程解一元二次不等式的一般过程是：一看(看二次项系数的符号)，二算(计算判别式，判断方程根的情况)，三写(写出不等式的解集)．两点联想不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(或ax 2＋bx ＋c ＜0)(a ≠0)的求解，善于联想：(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴的交点，(2)方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，运用好“三个二次”间的关系．三个防范1.二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数是否为零的情况．2．解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．3．不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述．课时训练1.设集合M={}2230x x x --<，N=12log 0,x x M N ⎧⎫<⋂⎨⎬⎩⎭则等于（）A ．-（1,1） B.(1,3) C.(0,1) D.(-1,0)2.在R 上定义运算:(1)x y x y ⊗⊗=-，若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 成立，则（）A 、11a -<或运算a b ad bc c d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则不等式1011x x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭的解集为（） A ．(1,1)- B. (1,0)(0,1)-⋃C. (1)(1-⋃D.5.设A ＝{x ∈Z ||x －2|≤5}，则A 中最小元素为( )A ．2B ．－3C ．7D ．06、不等式20x ax b --<的解集为{}223,10x x bx ax <<-->则的解集为（）A 、{}23x x <12”是“2x 2＋x －1>0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8.不等式102xx-≥+的解集为（） A.[]2,1- B. (]2,1- C. ()(),21,-∞-⋃+∞ D. (](),21,-∞-⋃+∞ 9． “关于x 的不等式x 2－2ax ＋a ＞0的解集为R ”是“0≤a ≤1”( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 10.不等式22530x x --≥成立的一个必要不充分条件是（）A ．0x ≥ B. 02x x <>或 C. 12x <- D. 132x x ≤-≥或 11.不等式22253x x a a -+≥-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．[]1,4- B. [)(,2)5,-∞-⋃+∞ C. (][),14,-∞-⋃+∞ D. []2,5-12、若函数222,0(),0x x x f x x ax x ⎧-≥=⎨-+<⎩是奇函数，则满足()f x a x >的的取值范围是________13.若不等式2(1)0x a x a --+≤的解集是[-4,3]的子集，则a 的取值范围是________14．已知不等式|x －2|＞1的解集与不等式x 2＋ax ＋b ＞0的解集相等，则a ＋b 的值为________．15. 设命题p ：2x 2－3x ＋1≤0；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若命题p 是命题q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________． 16．不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．一元二次不等式及其解法答案1、D 【解析】 ∵2x 2－x －1＝(x －1)(2x ＋1)＞0， ∴x ＞1或x ＜－12.故原不等式的解集为(－∞，－12)∪(1，＋∞)．2、A 【解析】原不等式等价于(1)(21)0210x x x -+≤⎧⎨+≠⎩.∴原不等式的解集为(－12，1]．3、(0，8) 【解析】 ∵x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立， ∴Δ＝a 2－4×2a <0，∴0<a <8.4、－14 【解析】由已知得方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12，13.则⎩⎨⎧－b a ＝－12＋132a ＝（－12）×13解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2， ∴a ＋b ＝－14.典例分析：例1：（1）原不等式可化为(3)(21)0x x ++> 故原不等式的解集为132x x x ⎧⎫<->-⎨⎬⎩⎭或（2）原不等式化为x 2－2x －3≤0，即(x －3)(x ＋1)≤0，故原不等式的解集为{x |－1≤x ≤3}．（3）原不等式可化为2830x x -+<284(1)(3)520∆=-⨯-⨯-=>212830413413x x x x ∴-+-===方程有两个实根，故原不等式的解集为{}413413x x << （4）原不等式可化为26100x x -+≤ 26411040∆=-⨯⨯=-<∴原不等式的解集为∅（5）原不等式可化为22620x x -+> 2(6)42270∆=--⨯⨯=-<∴故原不等式的解集为R(6) ∵2x x －1≤1⇔2xx －1－1≤0 ⇔x ＋1x －1≤0 ⇔(1)(1)01110x x x x ≤⎧⇔-≤<⎨-≠⎩－＋∴原不等式的解集为[－1，1)．变式训练1 （1）9450∆=-=> 12353522x x ∴==对应的方程有两实数根 ∴原不等式的解集为35352x ⎧-+⎪≤≤⎨⎪⎪⎩⎭（2）原不等式可化为(31)(2)0x x -+> ∴原不等式的解集为123x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或（3）∵－2x 2－5x ＋3＞0， ∴2x 2＋5x －3＜0，∴(2x －1)(x ＋3)＜0， ∴原不等式的解集为{x |－3＜x ＜12}．（4）原不等式可化为2(31)0x -> ∴原不等式的解集为13x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭（5）原不等式可化为(3)(12)0120x x x +-≤⎧⎨-≠⎩ (3)(21)0120x x x +-≥⎧⎨-≠⎩则 13212x x x ⎧≤-≥⎪⎪∴⎨⎪≠⎪⎩或∴原不等式的解集为132x x x ⎧⎫≤->⎨⎬⎩⎭或（6）这是一个双向不等式，可转化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1≥－1，x 2＋2x －1≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ≥0， ①x 2＋2x －3≤0. ② 由①得x ≥0或x ≤－2；由②得－3≤x ≤1. 故得所求不等式的解集为{x |－3≤x ≤－2或0≤x ≤1}.例2 由于x 2＋ax ＋b ＜0的解集是(－1，2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＋b ＝0，4＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.故不等式即为－x 2＋x －2＜0， ∵⎩⎪⎨⎪⎧－1＜0，Δ＝1－8＝－7＜0∴不等式ax 2＋x ＋b ＜0的解集为R .,变式训练2 解： axx －1＜1⇔（a －1）x ＋1x －1＜0⇔[(a －1)x ＋1](x －1)＜0，由原不等式的解集是{x |x ＜1或x ＞2}，知⎩⎪⎨⎪⎧a －1＜0，－1a －1＝2⇒a ＝12. ∴实数a 的取值范围是{12}．例3 ∵12x 2－ax ＞a 2， ∴12x 2－ax －a 2＞0，即(4x ＋a )(3x －a )＞0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，得：x 1＝－a 4，x 2＝a3.①a ＞0时，－a 4＜a 3，解集为{x |x ＜－a 4或x ＞a3}；②a ＝0时，x 2＞0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；③a ＜0时，－a 4＞a 3，解集为{x |x ＜a 3或x ＞－a4}．综上所述：当a ＞0时，不等式的解集为{x |x ＜－a 4或x ＞a3}；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；当a ＜0时，不等式的解集为{x |x ＜a3或x ＞－变式训练3 【解】原不等式可化为(x －a )(x －1)＜0.当a ＞1时，原不等式的解集为(1，a )；当a ＝1时，原不等式的解集为空集；当a ＜1时，原不等式的解集为(a ，例4 要使mx 2－mx －1＜0对一切实数x 恒成立，若m ＝0，显然－1＜0；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0，解得－4＜m ＜0，故实数m 的取值范围是(－4，0]．,变式训练4 【解析】设f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则原问题可转化为一次函数(或常数函数)f (a )在区间[－1，1]上恒正时x 应满足的条件，故应有⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＞0，f （1）＞0. 即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0，化为⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）（x －3）＞0，（x －1）（x －2）＞0. 解之，得x ＜1或x ＞3.课时训练1、B 解：由2230x x --<，得13x -<<由12log 0x <，得1x > 所以{}13M N x x ⋂=<<2、C 解：()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 成立，即()(1)1x a x a ---<对任意实数x 成立2210x x a a ∴--++>恒成立 214(1)0a a ∴∆=--++< 1322a ∴-<< 3. B 【解析】 ∵|x －1|＜2⇔－1＜x ＜3，又x (x －3)＜0⇔0＜x ＜3.则(0，3)(－1，3)． 4、C 解：由题意可知原不等式即为2011x <-< ，212x ∴<<1221x x ∴<<<-或5. B 【解析】由|x －2|≤5，得－3≤x ≤7，又x ∈Z ，∴A 中的最小元素为－36、C 解：由题意知2,3是方程20x ax b --=的解235,236a ab b +==⎧⎧∴∴⎨⎨⨯=-=-⎩⎩ 22106510bx ax x x ∴-->--->不等式为2116+5+1023x x x x ⎧⎫<∴-<<-⎨⎬⎩⎭即， 7、 A 【解析】 2x 2＋x －1>0的解集为{x |x >12或x <－1}，故由x >12⇒2x 2＋x －1>0，但2x 2＋x －1>0D ⇒/x >12. 则“x ＞12”是“2x 2＋x －1＞0”的充分不必要条件． 8、B 解：由102x x -≥+，得(1)(2)020x x x -+≥⎧⎨+≠⎩ 则(1)(2)020x x x -+≤⎧⎨+≠⎩解得21x -<≤ (]2,1∴-原不等式的解集为9、A 【解析】关于x 的不等式x 2－2ax ＋a ＞0的解集为R ，则Δ＝4a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜1，由集合的包含关系可知选A.10、B 解：原不等式可化为(21)(3)0x x +-≥，解得132x x ≤-≥或所以原不等式成立的一个必要不充分条件是02x x <>或11、A 解：由题意知，2225(1)4x x x -+=-+的最小值为4，所以22253x x a a -+≥- 对任意实数x 恒成立，只需234a a -≤，解得14a -≤≤12、(13,)-+∞ 解：()(1)(1)f x f f ∴-=-是奇函数，即1(12)a --=--2()2a f x ∴=->-，则不等式等价于22002222x x x x x x ≥<⎧⎧⎨⎨->--->-⎩⎩，或，解得030x x ≥<<，或-1- 即(13,)x ∈--+∞13、43a -≤≤ 解：原不等式可化为()(1)0x a x --≤，当1a <时，不等式的解集为[],1a ，此时只要4a ≥-即可，即41a -≤<，当1a =时，不等式的解集为1x =，此时符合要求；当1a >时，不等式的解集为[]1,a ，此时只要3a ≤即可，即13a <≤，综上可得43a -≤≤14. －1 【解析】由|x －2|＞1得x －2＜－1或x －2＞1，即x ＜1或x ＞3.依题意得知，不等式x 2＋ax ＋b ＞0的解集是(－∞，1)∪(3，＋∞)于是有⎩⎪⎨⎪⎧1×3＝b ，1＋3＝－a ，即a ＝－4，b ＝3，a ＋b ＝－1. 15、[0，12], 解：由2x 2－3x ＋1≤0，得12≤x ≤1，由x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，得a ≤x ≤a ＋1，由命题p 是命题q 的必要不充分条件知，p 是q 的充分不必要条件，即{x |12≤x ≤1}{x |a ≤x ≤a ＋1}， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥1，∴0≤a ≤12. 16、 (2，＋∞) 【解析】由题意知，不等式(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1＞0对一切x ∈R 恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＞0，Δ＝16－4（a ＋2）（a －1）＜0，解得a ＞2.。

高考数学一轮复习第六章不等式 6.2 一元二次不等式及其解法课件

12/8/2021
第十八页，共三十九页。
当2a<－1，即－2<a<0 时，解得2a≤x≤－1. 综上所述，当 a＝0 时，不等式的解集为{x|x≤－1}；
当－2<a<0 时，不等式的解集为x2a≤x≤－1
；
当 a＝－2 时，不等式的解集为{－1}；
பைடு நூலகம்
当 a<－2 时，不等式的解集为x－1≤x≤2a
.
1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)a>b⇔ac2>bc2.( × )
(2)若方程 ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实数根，则不等式 ax2＋bx＋c>0
的解集为 R.( × )
(3)不等式 ax2＋bx＋c≤0 在 R 上恒成立的条件是 a<0 且 Δ＝b2－
4ac≤0.( × )
12/8/2021
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2．求不等式 12x2－ax>a2(a∈R)的解集．解：原不等式可化为 12x2－ax－a2>0，即(4x＋a)(3x－a)>0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得 x1＝－a4，x2＝a3. 当 a>0 时，不等式的解集为－∞，－a4∪a3，＋∞；当 a＝0 时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；当 a<0 时，不等式的解集为 12/8/202－1 ∞，a3∪－a4，＋∞.
解析：当 k＝0 时，不等式 kx2－6kx＋k＋8≥0 化为 8≥0，其对任意的 x∈R 恒成立；当 k<0 时，不等式 kx2－6kx＋k＋8≥0 不能恒成立；当 k>0 时，要使不等式 kx2－6kx＋k＋8≥0 对任意的 x ∈R 恒成立，对于方程 kx2－6kx＋k＋8＝0，需 Δ＝36k2－4(k2＋ 8k)≤0，得 0<k≤1.综上，实数 k 的取值范围是[0,1]，故选 A．

人教A版高中数学高三一轮第六章不等式 6-2 一元二次

6.2 一元二次不等式及其解法考向归纳考向1一元二次不等式的解法1．(2015·广东高考)不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示) 【解析】由－x 2－3x ＋4>0，得x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1. 【答案】 (－4,1)2．已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－2或x >－12，则ax 2－bx ＋c >0的解集为________．【解析】由题意知，方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为－2和－12，且a <0，所以－b a ＝－52，c a ＝1.不等式ax 2－bx ＋c >0可转化为x 2－b a x ＋c a <0，即x 2－52x ＋1<0，即2x 2－5x ＋2<0.解得12<x <2，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <2. 【答案】 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <2 3．解关于x 的不等式：ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.【解】当a ＝0时，原不等式可化为－x ＋1<0，即x >1.当a <0时，原不等式可化为(ax －1)(x －1)<0，即⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)>0. ∵1a <1，∴x >1或x <1a. 当a >0时，原不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0， ①若0<a <1，则1a >1，∴1<x <1a .②若a ＝1，则1a ＝1，∴不等式无解．③若a >1，则1a <1，∴1a<x <1.综上知，当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <1a或x >1；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x >1}；当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1a ；当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a <x <1.解含参数的一元二次不等式的步骤1．二次项系数若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．2．判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．3．确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．考向2一元二次不等式恒成立问题(1)如果不等式(m ＋1)x 2＋2mx ＋m ＋1>0对任意实数x 都成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m >－1B ．－1<m <－12C ．m >－12D ．m <－1或m >－12(2)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝⎛⎦⎤0，12成立，求a 的最小值．【解析】 (1)当m ＋1＝0时，不等式可化为－2x >0，不满足题意．当m ＋1≠0时，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1>0，Δ＝4m 2－4 m ＋1 2<0. 解得m >－12.【答案】 C(2)设f (x )＝x 2＋ax ＋1，则对称轴为x ＝－a2，若－a 2≥12，即a ≤－1时，则f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上是减函数．应有f ⎝⎛⎭⎫12≥0⇒－52≤a ≤－1，若－a2≤0，即a ≥0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上是增函数，应有f (0)＝1>0恒成立，故a ≥0. 若0≤－a 2≤12，即－1≤a ≤0.则应有f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a 24－a 22＋1＝1－a24≥0恒成立．故－1≤a ≤0.综上a ≥－52，即a 的最小值为－52.解不等式恒成立问题的技巧1．对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．2．解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数． [变式训练]1.设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．【解】要使f (x )<－m ＋5在[1,3]上恒成立．则mx 2－mx ＋m －6<0，即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0 在x ∈[1,3]上恒成立，令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6<0. 所以m <67，则0<m <67.当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)＝m －6<0，所以m <6，则m <0.综上所述m 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪0<m <67或m <0. 考向3不等式的实际应用1.甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得利润是100⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x 元． (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．【解】 (1)根据题意，200⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x ≥3 000，整理得5x －14－3x ≥0.即5x 2－14x －3≥0.又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10.即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x 的取值范围是[3,10]． (2)设利润为y 元，则y ＝900x ·100⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x ＝9×104⎝⎛⎭⎫5＋1x －3x 2 ＝9×104⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫1x －162＋6112，故x ＝6时，y max ＝457 500元．即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品获得的利润最大，最大利润为457 500元．不等式实际应用的解题思路不等式的实际应用，常以函数模型为载体，解题时要理解题意，准确找出其中的不等关系，引进数学符号恰当表示，最后用不等式的解集回答实际问题．[变式训练]1.某小商品2015年的价格为8元/件，年销售量是a 件．现经销商计划在2016年将商品的价格降至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格是4元/件．经测算，该商品价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k .该商品的成本价为3元/件．(1)写出该商品价格下降后，经销商的年收益y 与实际价格x 的函数关系式；(2)设k ＝2a ，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2016年的收益比2015年至少增长20%?【解】 (1)设该商品价格下降后为x 元/件，则由题意可知年销量增加到⎝⎛⎭⎫kx －4＋a 件，故经销商的年收益y ＝⎝⎛⎭⎫kx －4＋a (x －3)(5.5≤x ≤7.5)．(2)当k ＝2a 时，依题意有⎝⎛⎭⎫2ax －4＋a (x －3)≥(8－3)a ×(1＋20%)，化简得x 2－11x ＋30x －4≥0，即x 2－11x ＋30≥0.解得x ≥6或4≤x ≤5. 又5.5≤x ≤7.5，故6≤x ≤7.5，即当实际价格最低定为6元/件时，仍然可以保证经销商2016年的收益比2015年至少增长20%.易错辨析忽视二次项的符号而致误1.已知不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－13≤x ≤2，则不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集为________________．[错误解法] 由题意知－13，2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根，因此由根与系数的关系得－13＋2＝－b a ，⎝⎛⎭⎫－13×2＝c a ，所以b ＝－53a ，c ＝－23a ，所以不等式cx 2＋bx ＋a <0可化为－23ax 2－53ax ＋a <0，即23x 2＋53x －1>0，解得x <－3或x >12.[错解分析] 指出上述解法的错误并指出错误原因．提示：忽视二次项系数的符号．原因是对一元二次不等式的解法掌握不牢固． [自我纠正] 由题意知，－13，2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根，由根与系数的关系知⎩⎨⎧－b a ＝－13＋2，c a ＝⎝⎛⎭⎫－13×2，所以b ＝－53a ，c ＝－23a .所以不等式cx 2＋bx ＋a <0可化为－23ax 2－53ax ＋a <0. 由题意知a <0，∴原不等式等价于23x 2＋53x －1<0，解得－3<x <12.∴不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－3<x <12. 【答案】 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－3<x <12。

新人教A版必修1高中数学一元二次不等式及其解法(2)学案

高中数学一元二次不等式及其解法（2）学案新人教A版必修1学习目标：1、进一步掌握图象法解一元二次不等式的方法；2、掌握分式不等式的解法。

3、遇到参数培养学生分类讨论的思想方法。

学习重点：掌握分式不等式的解法学习难点：含有参数不等式求解一、复习回顾：完成下表格，并回答思考问题：有两相等实根二、新课讲解：分式不等式的解法：（1）标准化：移项通分化为()()f xg x>(或()()f xg x<)；()()f xg x≥(或()()f xg x≤)的形式，2）转化为整式不等式（组）()()0 ()()0()()00()0 ()()f xg xf x f xf xg xg xg x g x≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩；三、例题分析：例1. 011>-+x x 2、 022≤+-x x 3、4、四、含有参数不等式求解：例2（1）、(5)()0x x a +-< （2）)0( 01)1(2≠<++-a x aa x（3）)(04)1(22R a a x a x ∈>++- （4）.01)1(2<++-x a ax五、利用一元二次函数的判别式对于一元二次函数),0(0)(2R x a c bx ax x f ∈≠>++=有：（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a例3：若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。

252(1)x x +-≥1212<++x x 2112x x ->-+0321>+-x x课后作业： 1：解下列不等式：1223≥+x x 23234x x -≤- 025≥-+x x2：已知一元二次不等式2260ax x a -+<的解集为{|1}x x m <<，求m 的值.3：已知函数的定义域为R ，求实数m 的取值范围。

高考数学一轮复习第6章不等式第1讲不等关系与不等式的性质及一元二次不等式讲义理(含解析)-

第六章不等式第1讲不等关系与不等式的性质及一元二次不等式[考纲解读] 1.不等式性质是进行变形、证明、解不等式的依据，掌握不等式关系与性质及比较大小的常用方法：作差法与作商法．(重点)2.能从实际情景中抽象出一元二次不等式模型，通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数，一元二次方程之间的联系，能解一元二次不等式．(重点、难点)[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点内容，但一般不会单独命题．预测2020年将会考查：利用不等式的性质判断结论的成立性，求参数的取值X围；一元二次不等式的解法，对含参数的二次不等式的分类讨论等．命题时常将不等式与函数的单调性相结合．试题一般以客观题的形式呈现，属中、低档题型.1．两个实数比较大小的依据2．不等式的基本性质3．必记结论 (1)a >b ，ab >0⇒1a <1b.(2)a <0b >0,0<c <d ⇒a c >b d. (4)0<a <x b >0，m >0，则b a b －m a －m (b －m >0)；a b >a ＋m b ＋m ； a b <a －m b －m(b －m >0)． 4．一元二次函数的三种形式(1)一般式：□01y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． (2)顶点式：□02y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a (a ≠0)． (3)两根式：□03y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 5．三个二次之间的关系1．概念辨析(1)a＞b⇔ac2＞bc2.( )(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( )(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( )(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×2．小题热身(1)设集合M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N等于( )A ．(0,4]B ．[0,4)C ．[－1,0)D ．(－1,0] 答案 B解析因为M ＝{x |－1<x <4}，N ＝{x |0≤x ≤5}，所以M ∩N ＝[0,4)． (2)已知a ，b ，c 满足c ac B ．c (b －a )<0 C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )>0 答案 A解析因为c 0，c <0.b 的符号不确定，b －a <0，a －c >0，据此判断A 成立，B ，C ，D 不一定成立．(3)设M ＝2a (a －2)，N ＝(a ＋1)(a －3)，则有( ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M <N D ．M ≤N 答案 A解析 M －N ＝2a (a －2)－(a ＋1)(a －3)＝a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2>0，故M >N . (4)已知函数f (x )＝ax 2＋ax －1，若对任意实数x ，恒有f (x )≤0，则实数a 的取值X 围是________．答案 [－4,0]解析当a ＝0时，f (x )＝－1≤0成立，当a ≠0时，若对∀x ∈R ，f (x )≤0，须有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4×a ×－1≤0，a <0，解得－4≤a ＜0.综上知，实数a 的取值X 围是[－4,0]．题型一不等式性质的应用1．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a c ＞b d B.a c ＜b d C.a d ＞b c D.a d ＜b c答案 D 解析解法一：⎭⎪⎬⎪⎫c ＜d ＜0⇒cd ＞0 c ＜d ＜0⇒⎭⎪⎬⎪⎫c cd ＜d cd ＜0⇒1d ＜1c ＜0⇒－1d ＞－1c ＞0 a ＞b ＞0⇒－a d ＞－b c ⇒a d ＜b c .故选D. 解法二：依题意取a ＝2，b ＝1，c ＝－2，d ＝－1，代入验证得A ，B ，C 均错误，只有D 正确．故选D.2．已知等比数列{a n }中，a 1>0，q >0，前n 项和为S n ，则S 3a 3与S 5a 5的大小关系为________．答案S 3a 3<S 5a 5解析当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3<S 5a 5. 当q >0且q ≠1时，S 3a 3－S 5a 5＝a 11－q 3a 1q 21－q －a 11－q 5a 1q 41－q ＝q 21－q 3－1－q 5q 41－q ＝－q －1q 4<0，所以S 3a 3<S 5a 5.综上可知S 3a 3<S 5a 5.3．已知二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且1≤f (－1)≤2,3≤f (1)≤4，求f (－2)的取值X 围．解由题意知f (x )＝ax 2＋bx ，则f (－2)＝4a －2b ，由f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，设存在实数x ，y ，使得4a －2b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，即4a －2b ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，所以f (－2)＝4a －2b ＝(a ＋b )＋3(a －b )．又3≤a ＋b ≤4,3≤3(a －b )≤6，所以6≤(a ＋b )＋3(a －b )≤10，即f (－2)的取值X 围是[6,10]．1．判断不等式是否成立的方法(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．(2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断．2．比较两个数(式)大小的两种方法3．求代数式的取值X 围利用不等式性质求某些代数式的取值X 围时，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体X 围，是避免错误的有效途径．如举例说明3.1．若1a <1b <0，给出下列不等式：①1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>ln b 2.其中正确的不等式是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④ 答案 C解析因为1a <1b <0，所以b <a <0，|b |>|a |，所以|a |＋b <0，ln a 2<ln b 2，由a >b ，－1a>－1b 可推出a －1a >b －1b ，显然有1a ＋b <0<1ab，综上知，①③正确，②④错误． 2．若a >0，且a ≠7，则( ) A ．77a a<7a a 7B ．77a a ＝7a a 7C ．77a a >7a a 7D ．77a a与7a a 7的大小不确定答案 C解析显然77a a>0,7a a 7>0，因为77a a7a a 7＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 7a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7·⎝ ⎛⎭⎪⎫7a －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a.当a >7时，0<7a <1,7－a <0，⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a>1，当0<a <7时，7a>1,7－a >0，⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a>1. 综上知77a a>7a a 7.3．若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值X 围是________．答案 (－3,3)解析 ∵－4<β<2，∴0≤|β|<4，∴－4<－|β|≤0. ∴－3<α－|β|<3.题型二不等式的解法1．函数f (x )＝1ln －x 2＋4x －3的定义域是( )A ．(－∞，1)∪(3，＋∞) B．(1,3) C ．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(1,2)∪(2,3) 答案 D解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x －3>0，ln －x 2＋4x －3≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0，x 2－4x ＋4≠0.解得1<x <3且x ≠2，所以函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,3)． 2．解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )．解本题采用分类讨论思想．原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1.②当a >0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0，解得x ≥2a或x ≤－1.③当a <0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.当2a >－1，即a <－2时，解得－1≤x ≤2a；当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意；当2a<－1，即0>a >－2，解得2a≤x ≤－1.综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；当a >0时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≥2a或x ≤－1；当－2<a <0时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2a≤x ≤－1；当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}；当a <－2时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1≤x ≤2a .条件探究把举例说明2中的不等式改为“ax 2－(a ＋1)x ＋1<0，a ∈R ”，如何解答？解若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1.若a <0，则原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0，解得x <1a或x >1.若a >0，原不等式等价于⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0.①当a ＝1时，1a＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1a<x <1；③当0<a <1时，1a>1，解⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1<x <1a.综上所述，当a <0时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <1a或x >1；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1<x <1a ；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1a<x <1.1．解一元二次不等式的四个步骤2．分式不等式的解法求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解． (1)f xg x>0(<0)⇔f (x )·g (x )>0(<0)；如巩固迁移2.(2)f xg x ≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f x ·g x ≥0≤0，g x ≠0.1．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( ) A.52 B.72 C.154 D.152 答案 A解析由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2.故(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，得a ＝52，故选A.2．不等式2x ＋1x －5≥－1的解集为________．答案 {x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤43或x >5解析将原不等式移项通分得3x －4x －5≥0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧3x －4x －5≥0，x －5≠0，解得x ≤43或x >5.∴原不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤43或x >5.题型三二次不等式中的任意性与存在性角度1 任意性与存在性1．(1)若关于x 的不等式x 2－ax －a ＞0的解集为(－∞，＋∞)，某某数a 的取值X 围； (2)若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，某某数a 的取值X 围．解 (1)设f (x )＝x 2－ax －a ，则关于x 的不等式x 2－ax －a ＞0的解集为(－∞，＋∞)⇔f (x )＞0在(－∞，＋∞)上恒成立⇔f (x )min ＞0，即f (x )min ＝－4a ＋a24＞0，解得－4＜a ＜0(或用Δ<0)．(2)设f (x )＝x 2－ax －a ，则关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集⇔f (x )≤－3在(－∞，＋∞)上能成立⇔f (x )min ≤－3，即f (x )min ＝－4a ＋a24≤－3，解得a ≤－6或a ≥2.角度2 给定区间上的任意性问题2．(1)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值X 围是________．(2)设函数f (x )＝mx 2－mxx ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值X 围．答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 (2)见解析解析 (1)要满足f (x )＝x 2＋mx －1＜0对于任意x ∈[m ，m ＋1]恒成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧ f m ＜0，f m ＋1＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2m 2－1＜0，m ＋12＋m m ＋1－1＜0，解得－22＜m ＜0.(2)要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：解法一：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6<0，所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)，即m －6<0，所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值X 围是{m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m <67.解法二：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以m 的取值X 围是{m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m <67.角度3 给定参数X 围的恒成立问题3．已知a ∈[－1,1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值X 围为()A ．(－∞，2)∪(3，＋∞)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．(1,3)答案 C解析把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则由f (a )＞0对于任意的a ∈[－1,1]恒成立，所以f (－1)＝x 2－5x ＋6＞0，且f (1)＝x 2－3x ＋2＞0即可，解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0，得x ＜1或x ＞3.故选C.形如f (x )≥0(f (x )≤0)恒成立问题的求解思路(1)x ∈R 的不等式确定参数的X 围时，结合二次函数的图象，利用判别式来求解． (2)x ∈[a ，b ]的不等式确定参数X 围时，①根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求参数的X 围；②数形结合，利用二次函数在端点a ，b 处的取值特点确定不等式求X 围．如举例说明2.(3)已知参数m ∈[a ，b ]的不等式确定x 的X 围，要注意变换主元，一般地，知道谁的X围，就选谁当主元，求谁的X 围，谁就是参数．如举例说明3.1．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值X 围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ 解析由Δ＝a 2＋8>0，知方程x 2＋ax －2＝0恒有两个不等实数根，又知两根之积为负，所以方程x 2＋ax －2＝0必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0，解得a >－235，故a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞. 2．函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，某某数a 的取值X 围；(2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，某某数a 的取值X 围； (3)当a ∈[4,6]时，f (x )≥0恒成立，某某数x 的取值X 围．解 (1)∵当x ∈R 时，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，∴实数a 的取值X 围是[－6,2]．(2)当x ∈[－2,2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)： ①如图1，当g (x )的图象恒在x 轴上方且满足条件时，有Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即－6≤a ≤2.②如图2，g (x )的图象与x 轴有交点，但当x ∈[－2，＋∞)时，g (x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x ＝－a 2≤－2，g －2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－43－a ≥0，－a 2≤－2，4－2a ＋3－a ≥0，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6，a ≥4，a ≤73，解得a ∈∅. ③如图3，g (x )的图象与x 轴有交点，但当x ∈(－∞，2]时，g (x )≥0. 即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x ＝－a 2≥2，g 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－43－a ≥0，－a 2≥2，7＋a ≥0，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥2或a ≤－6，a ≤－4，a ≥－7.∴－7≤a ≤－6.综上，实数a 的取值X 围是[－7,2]．(3)令h (a )＝xa ＋x 2＋3.当a ∈[4,6]时，h (a )≥0恒成立．只需⎩⎪⎨⎪⎧ h 4≥0，h 6≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0，解得x ≤－3－6或x ≥－3＋ 6.∴实数x 的取值X 围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)．。

专题6.2 一元二次不等式及其解法(解析版)

第六篇不等式、推理与证明专题6.2 一元二次不等式及其解法【考纲要求】1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.【命题趋势】对一元二次不等式的考查，主要以考查解法为主，同时也考查一元二次方程的判别式、根的存在性及二次函数的图象与性质等．另外，以函数、数列为载体，以一元二次不等式的解法为手段求参数的取值范围也是热点.【核心素养】本讲内容主要考查数学运算、数学建模的核心素养.【素养清单•基础知识】三个二次之间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集{x|x＜x1或x＞x2}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠－b2a Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅【素养清单•常用结论】(x－a)(x－b)＞0或(x－a)(x－b)＜0型不等式的解法不等式解集a ＜ba ＝b a ＞b (x －a )· (x －b )＞0 {x |x ＜a 或x ＞b }{x |x ≠a }{x |x ＞a 或x ＜b }(x －a )·(x －b )＜0{x |a ＜x ＜b }∅{x |b ＜x ＜a }不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(＜0)恒成立的条件(1)ax 2＋bx ＋c ＞0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c ＞0或 ⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ＝b 2－4ac ＜0 . (2)ax 2＋bx ＋c ＜0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c ＜0或 ⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝b 2－4ac ＜0【真题体验】1.【2018年高考全国I 卷理数】已知集合，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】解不等式得，所以，所以可以求得，故选B ．2．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x －13－x ＞0，集合B ＝{x |}y ＝4－2x ，则A ∩B ＝( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．[2,3) D ．(1,2] 【答案】D【解析】因为x －13－x ＞0，所以(x －1)(x －3)＜0，所以1＜x ＜3.又因为4－2x ≥0，所以4≥2x ，所以x ≤2，所以A ∩B ＝{x |1＜x ≤2}．故选D.3．不等式x (2－x )＞0的解集为__________．【答案】 (0,2)【解析】因为x (2－x )＞0，所以x (x －2)＜0，所以0＜x ＜2，故解集为(0,2)．4．(2019·海安中学期中)若不等式x 2＋px ＋2＜0的解集为(1,2)，则p ＝__________. 【答案】－3【解析】由题意可知1和2是方程x 2＋px ＋2＝0的两个根，所以1＋2＝－p ，即p ＝－3. 5．不等式x 2＋ax ＋4≤0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是__________．【答案】 (－∞，－4]∪[4，＋∞)【解析】由题意可知Δ＝a 2－16≥0，解得a ≥4或a ≤－4. 【考法解码•题型拓展】考法一一元二次不等式的解法归纳总结(1)解一元二次不等式的一般步骤①化为标准形式(二次项系数大于0)；②确定判别式Δ的符号；③若Δ≥0，则求出该不等式对应的二次方程的根，若Δ<0，则对应的二次方程无实根；④结合二次函数的图象得出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式，需要对参数进行分类讨论①二次项中若含有参数，应讨论是小于零、等于零，还是大于零，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式；②当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与零的关系；③确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．【例1】 (1)(2019·山东实验中学诊断)不等式－x 2＋|x |＋2＜0的解集是( ) A ．{x |－2＜x ＜2} B ．{x |x ＜－2或x ＞2} C ．{x |－1＜x ＜1} D ．{x |x ＜－1或x ＞1} 【答案】B【解析】原不等式化为|x |2－|x |－2>0，所以(|x |－2)(|x |＋1)>0.因为|x |＋1＞0，所以|x |－2＞0，即|x |＞2，解得x ＜－2或x ＞2.故选B.(2)(2019·长春外国语学校质检)若关于x 的不等式ax －b ＞0的解集是(－∞，－2)，则关于x 的不等式ax 2＋bx x －1＞0的解集为( )A ．(－2,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1,2)C ．(－∞，－2)∪(0,1)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞) 【答案】B【解析】关于x 的不等式ax －b ＞0的解集是(－∞，－2)，所以a ＜0，ba ＝－2，所以b ＝－2a ，所以ax 2＋bx x －1＝ax 2－2ax x －1.因为a ＜0，所以x 2－2xx －1＜0，解得x ＜0或1＜x ＜2.故选B.(3)(2019·泉州中学月考)若不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－12＜x ＜13，则不等式2x 2＋bx ＋a ＜0的解集是__________．【答案】{x |－2＜x ＜3}【解析】由题意知－12和13是一元二次方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根且a ＜0，所以⎩⎨⎧－12＋13＝－b a ，－12×13＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2.则不等式2x 2＋bx ＋a ＜0，即2x 2－2x －12＜0，所以x 2－x －6＜0，解得－2＜x ＜3. 考法二一元二次不等式恒成立问题解题技巧:不等式恒成立问题的求解方法(1)x ∈R 的不等式确定参数的范围时，结合二次函数的图象，利用判别式来求解．(2)x ∈[a ，b ]的不等式确定参数范围时，①根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求出参数的范围；②数形结合，利用二次函数在端点a ，b 处的取值特点确定不等式求参数的取值范围． (3)已知参数m ∈[a ，b ]的不等式确定x 的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．【例2】函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围； (2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围； (3)当a ∈[4,6]时，f (x )≥0恒成立，求x 的取值范围．【答案】见解析【解析】 (1)因为x ∈R 时，有x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，所以－6≤a ≤2，故a 的取值范围为[－6,2]．(2)当x ∈[－2,2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)：①如图①，当g (x )的图象恒在x 轴上方时，满足条件，有Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即－6≤a ≤2. ②如图②，g (x )的图象与x 轴有2个交点，但在x ∈ [－2，＋∞)时，g (x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x ＝－a2＜－2，g (－2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－4(3－a )>0，－a2＜－2，4－2a ＋3－a ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >2或a <－6，a ＞4，a ≤73，解得a ∈∅.③如图③，g (x )的图象与x 轴有2个交点，但在x ∈(－∞，2]时，g (x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x ＝－a2＞2，g (2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4(3－a )>0，－a2＞2，7＋a ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >2或a <－6，a ＜－4，a ≥－7，所以－7≤a <－6.综上，得－7≤a ≤2，即a 的取值范围是[－7,2]． (3)令h (a )＝xa ＋x 2＋3，当a ∈[4,6]时，h (a )≥0恒成立．只需⎩⎪⎨⎪⎧ h (4)≥0，h (6)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0，解得x ≤－3－6或x ≥－3＋6，故x 的取值范围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)．考法三一元二次不等式的实际应用答题模板：求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读、理解、审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型． (3)解不等式，得出数学结论，并注意数学模型中自变量的实际意义． (4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果．【例3】甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得的利润是100·⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x 元．(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．【答案】见解析【解析】 (1)根据题意得200⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x ≥3 000，整理得5x －14－3x ≥0，即5x 2－14x －3≥0，又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10，故要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x 的取值范围是[3,10]． (2)设利润为y 元，则y ＝900x ·100⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x＝9×104⎝⎛⎭⎫5＋1x －3x 2＝9×104⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫1x －162＋6112，故x ＝6时，y max ＝457 500元，即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品获得的利润最大，最大利润为457 500元．【易错警示】易错点不能正确转换简单的分式不等式【典例】 (2019·襄阳五中月考)已知R 是实数集，集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x －62x －1≥0，则A ∩(∁R B )＝( )A ．(1,6)B ．[－1,2]C.⎣⎡⎦⎤12，2D.⎝⎛⎦⎤12，2【错解】：由x 2－x －2≤0可得A ＝{x |－1≤x ≤2}．由x －62x －1≥0可得(2x －1)(x －6)≥0，所以B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≤12或x ≥6，所以∁R B ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫12＜x ＜6，所以A ∩(∁R B )＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫12＜x ≤2.故选D.【错因分析】：本例的解答错在x －62x －1≥0的转化上，这里显然x ≠12，转化过程不等价，因而导致错误．【正解答案】：C【正解】：由x 2－x －2≤0可得A ＝{x |－1≤x ≤2}．由x －62x －1≥0得⎩⎪⎨⎪⎧(x －6)(2x －1)≥0，2x －1≠0，所以B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＜12或x ≥6，所以∁R B ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫12≤x ＜6，所以A ∩(∁R B )＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫12≤x ≤2.故选C.归纳总结：解分式不等式的方法就是将其转换为整式不等式再求解．常见的转换方式为f (x )g (x )≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x )≥0(≤0)，g (x )≠0；f (x )g (x )＞0(＜0)⇔f (x )g (x )＞0(＜0)，但转换时一定要注意判断条件是否有改变．【跟踪训练】不等式3x －12－x ≥1的解集是( )A.⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫34≤x ≤2B.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫34≤x ＜2C.⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＞2或x ≤34D.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≥34 【答案】B【解析】 3x －12－x ≥1⇒4x －32－x ≥0⇒34≤x ＜2.故选B.【递进题组】1．已知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{}x |2＜x ＜4，则不等式cx 2＋bx ＋a ＜0的解集为( )A ．{x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＞12 B ．{x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＜14C ．{x ⎪⎪⎭⎬⎫14＜x ＜12 D ．{x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＞12或x ＜14 【答案】D【解析】由已知得a ＜0且2,4为一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，得－b a ＝2＋4 ①，ca ＝2×4 ②.①除以②得－b c ＝34，由②得a c ＝18.因为a ＜0，所以c ＜0，所以不等式cx 2＋bx ＋a ＜0⇔x 2＋b c x ＋a c ＞0⇔x 2－34x ＋18＞0⇔⎝⎛⎭⎫x －12⎝⎛⎭⎫x －14＞0，所以x ＞12或x ＜14.故选D.2．若不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3,0)B ．[－3,0)C ．[－3,0]D ．(－3,0] 【答案】D【解析】当k ＝0时，显然成立；当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，k 2－4×2k ×⎝⎛⎭⎫－38＜0，解得－3＜k ＜0.综上，满足不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(－3,0]．故选D.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x ＞1，若对任意的x ∈R ，不等式f (x )≤m 2－34m 恒成立，则实数m 的取值范围为__________．【答案】 ⎝⎛⎦⎤－∞，－14∪[1，＋∞)【解析】由题意知m 2－34m ≥f (x )max .当x ＞1时，f (x )＝log 13x 是减函数，且f (x )＜0；当x ≤1时，f (x )＝－x 2＋x ，其图象的对称轴方程是x ＝12，且开口向下，所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－14＋12＝14，所以m 2－34m ≥14，即4m 2－3m －1≥0，所以m ≤－14或m ≥1.4．(2019·天津河东一模)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m ＜n )． (1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )＞0的解集； (2)若a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a ，比较f (x )与m 的大小．【答案】见解析【解析】 (1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )．当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0，即a (x ＋1)(x －2)>0. 当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}；当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}．(2)f (x )－m ＝F (x )＋x －m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)，因为a >0，且0<x <m <n <1a ，所以x －m <0,1－an ＋ax >0.所以f (x )－m <0，即f (x )<m .5．汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速为40 km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离s (单位：m)与车速x (单位：km/h)之间分别有如下关系：s 甲＝0.1x ＋0.01x 2，s 乙＝0.05x ＋0.005x 2，问：甲、乙两车有无超速现象？【答案】见解析【解析】由题意知，对于甲车，有0.1x ＋0.01x 2＞12，即x 2＋10x －1 200＞0，解得x ＞30或x ＜－40(不合实际意义，舍去)，这表明甲车的车速超过30 km/h.若x ≥40，则s 甲≥20，但根据题意知刹车距离略超过12 m ．所以甲车车速不超过限速40 km/h.对于乙车，有0.05x ＋0.005x 2＞10，即x 2＋10x －2 000＞0，解得x ＞40或x ＜－50(舍去)，这表明乙车的车速超过40 km/h ，超过规定限速．【考卷送检】一、选择题1．(2019·南昌月考)已知p ：|5x －2|＞3，q ：1x 2＋4x －5≥0，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由|5x －2|>3，得x <－15或x >1，故p ：x ∈M ＝⎝⎛⎭⎫－∞，－15∪(1，＋∞)．由1x 2＋4x －5≥0，得{x |x <－5或x >1}，故q ：x ∈N ＝(－∞，－5)∪(1，＋∞)．因为N ⊆M ，所以p 是q 的必要不充分条件，故选B. 2．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)＜0的实数x 的取值范围为( ) A ．(0,2) B ．(－2,1) C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D ．(－1,2) 【答案】B【解析】根据条件，由x ⊙(x －2)<0得(x ＋2)(x －1)<0，解得－2<x <1.故选B.3．函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为( )A ．{x |－1<x <2}B ．{x |0<x <1}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |－1<x ≤2} 【答案】C【解析】由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x ＞0，1－x 2≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0或x ＜－1，－1≤x ≤1，所以函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为{x |0＜x ≤1}．故选C.4．已知关于x 的不等式kx 2－6kx ＋k ＋8≥0对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是( ) A ．[0,1] B ．(0,1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0]∪[1，＋∞) 【答案】A【解析】当k ＝0时，不等式kx 2－6kx ＋k ＋8≥0化为8≥0恒成立；当k ＜0时，不等式kx 2－6kx ＋k ＋8≥0不能恒成立；当k ＞0时，要使不等式kx 2－6kx ＋k ＋8≥0恒成立，需Δ＝36k 2－4(k 2＋8k )≤0，解得0＜k ≤1.故选A.5．若ax 2＋bx ＋c <0的解集为{x |x <－2或x >4}，则对于函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 应有( ) A ．f (5)<f (2)<f (－1) B ．f (5)<f (－1)<f (2) C ．f (－1)<f (2)<f (5) D ．f (2)<f (－1)<f (5) 【答案】B【解析】因为ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为{x |x ＜－2或x ＞4}，所以a ＜0，而且函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象的对称轴方程为x ＝4－22＝1，所以f (－1)＝f (3)．又因为函数f (x )在[1，＋∞)上是减函数，所以f (5)＜f (3)＜f (2)，即f (5)＜f (－1)＜f (2)．故选B.6．若不等式(a －a 2)(x 2＋1)＋x ≤0对一切x ∈(0,2]恒成立，则a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1－32B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋32，＋∞C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋32，＋∞ D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，1＋32【答案】C【解析】因为x ∈(0,2]，所以a 2－a ≥x x 2＋1＝1x ＋1x .要使a 2－a ≥1x ＋1x 在x ∈(0,2]时恒成立，则a 2－a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1x max ，由基本不等式得x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1时，等号成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1x max ＝12.由a 2－a ≥12，解得a ≤1－32或a ≥1＋32. 二、填空题7．某产品的总成本y (单位：万元)与产量x (单位：台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0＜x ＜240，x ∈N *)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是________台．【答案】 150【解析】设产品的利润为f (x )万元，则f (x )＝25x －y ＝0.1x 2＋5x －3 000，若生产者不亏本，则0.1x 2＋5x －3 000≥0，解得x ≥150或x ≤－200(舍去)，即最低产量为150台．8．若对任意实数p ∈[－1,1]，不等式px 2＋(p －3)x －3>0成立，则实数x 的取值范围为________．【答案】 (－3，－1)【解析】不等式可变形为(x 2＋x )p －3x －3＞0，令f (p )＝(x 2＋x )p －3x －3，p ∈[－1,1]．原不等式成立等价于f (p )＞0(p ∈[－1,1])恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)＞0，f (1)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x －3x －3＞0，x 2＋x －3x －3＞0，解得－3＜x ＜－1. 9．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )>0的解集为(1,2)，若方程f (x )的最大值小于1，则a 的取值范围是________．【答案】 (－4,0)【解析】由题意知a ＜0，可设f (x )＝a (x －1)(x －2)＝ax 2－3ax ＋2a ，所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫32＝－a 4＜1，所以a ＞－4，故－4＜a ＜0.三、解答题10．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6.(1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值．【答案】见解析【解析】 (1)由题意知f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3＞0，即a 2－6a －3＜0，解得3－23＜a ＜3＋2 3.所以不等式的解集为{a |3－23＜a ＜3＋23}．(2)因为f (x )＞b 的解集为(－1,3)，所以方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，所以⎩⎨⎧ (－1)＋3＝a (6－a )3，(－1)×3＝－6－b 3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3. 11．(2019·扬州中学模拟)某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品每件售价提高1元，销量就要减少10件，问他将单价定为多少元时，才能使得每天的利润最大？单价定为多少元时，才能保证每天的利润在300元以上？【答案】见解析【解析】设每件提高x 元(0≤x ≤10)，即每件获利润(2＋x )元，则每天可销售(100－10x )件，每天获总利润为y 元，由题意有y ＝(2＋x )·(100－10x )＝－10x 2＋80x ＋200＝－10(x －4)2＋360.当x ＝4时，y 取得最大值360.所以当售价定为14元时，每天所赚利润最大，为360元．要使每天所赚的利润在300元以上，则有－10x 2＋80x ＋200＞300，即x 2－8x ＋10＜0，解得4－6＜x ＜4＋ 6.故每件定价在(14－6)元到(14＋6)元之间时，能确保每天的利润在300元以上．12．已知函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab ，当x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f (x )＜0，当x ∈(－3,2)时，f (x )＞0.(1)求f (x )在[0,1]内的值域；(2)若ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R ，求实数c 的取值范围．【答案】见解析【解析】 (1)因为当x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f (x )＜0，当x ∈(－3,2)时，f (x )＞0.所以－3,2是方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两根，所以⎩⎨⎧－3＋2＝8－b a ，－3×2＝－a －ab a⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝5.所以f (x )＝－3x 2－3x ＋18＝－3⎝⎛⎭⎫x ＋122＋754.因为函数图象关于x ＝－12对称且抛物线开口向下，所以f (x )在[0,1]上为减函数，所以f (x )max ＝f (0)＝18，f (x )min ＝f (1)＝12，故f (x )在[0,1]内的值域为[12,18]．(2)由(1)知不等式ax 2＋bx ＋c ≤0可化为－3x 2＋5x ＋c ≤0，要使－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R ，只需⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3＜0，Δ＝b 2－4ac ≤0，即25＋12c ≤0，所以c ≤－2512，所以实数c 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－2512. 13．在R 上定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a ＋1 x ≥1对x ∈R 恒成立，则实数a 的最大值为________．【答案】32 【解析】原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1，即x 2－x －1≥(a －2)(a ＋1)对x ∈R 恒成立，因为x 2－x－1＝⎝⎛⎭⎫x －122－54≥－54，所以(a －2)(a ＋1)≤－54，解得－12≤a ≤32，所以a max ＝32.。

2019版一轮创新思维文数(人教版A版)练习：第六章第一节不等式的性质及一元二次不等式

课时规范练 A 组基础对点练1．已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式成立的是( ) A ．xy >yz B ．xz >yz C ．xy >xzD ．x |y |>z |y |解析：因为x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，所以3x >x ＋y ＋z ＝0，所以x >0，又y >z ，所以xy >xz ，故选C. 答案：C 2．函数f (x )＝1－xx ＋2的定义域为( ) A ．[－2,1] B ．(－2,1]C ．[－2,1)D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析：要使函数f (x )＝1－x x ＋2有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧(1－x )(x ＋2)≥0，x ＋2≠0，解得－2<x ≤1，即函数的定义域为(－2,1]．答案：B3．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |x 2<9}，则A ∩B ＝( ) A ．{－2，－1,0,1,2,3} B ．{－2，－1,0,1,2} C ．{1,2,3}D ．{1,2}解析：易知B ＝{x |－3＜x ＜3}，又A ＝{1,2,3}，所以A ∩B ＝{1,2}．答案：D4．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，则A ∩B ＝( ) A ．[－2，－1] B ．[－1,2) C ．[－1,1]D ．[1,2)解析：A ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，故A ∩B ＝[－2，－1]，选A. 答案：A5．若a >b >0，则下列不等式不成立的是( ) A.1a <1bB ．|a |>|b |C ．a ＋b <2ab D.⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b解析：∵a >b >0，∴1a <1b，且|a |>|b |，a ＋b >2ab ，又f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x是减函数， ∴⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b .故C 项不成立．答案：C6．设集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，集合B 为函数y ＝1x －1的定义域，则A ∩B 等于( ) A ．(1,2) B ．[1,2] C ．[1,2)D ．(1,2]解析：A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}，由x －1>0得x >1，即B ＝{x |x >1}，所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}．答案：D7．不等式(1＋x )(1－x )>0的解集是( ) A ．{x |－1<x <1} B ．{x |x <1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x <1且x ≠－1}解析：原式可化为(x ＋1)(x －1)<0， ∴－1<x <1. 答案：A8．已知a >0，且a ≠1，m ＝aa 2＋1，n ＝a a ＋1，则( ) A ．m ≥n B ．m >n C ．m <nD ．m ≤n解析：由题易知m >0，n >0，两式作商，得mn ＝a (a 2＋1)－(a ＋1)＝a a (a －1)，当a >1时，a (a －1)>0，所以a a (a －1)>a 0＝1，即m >n ；当0<a <1时，a (a －1)<0，所以a a (a －1)>a 0＝1，即m >n .综上，对任意的a >0，a ≠1，都有m >n . 答案：B9．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0，2x 2－7x ＋6>0的解集是( )A ．(2,3) B.⎝⎛⎭⎫1，32∪(2,3) C.⎝⎛⎭⎫－∞，32∪(3，＋∞) D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：∵x 2－4x ＋3<0，∴1<x <3.又∵2x 2－7x ＋6>0，∴(x －2)(2x －3)>0，∴x <32或x >2，∴原不等式组的解集为⎝⎛⎭⎫1，32∪(2,3)．答案：B10．下列选项中，使不等式x <1x <x 2成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)解析：当x >0时，原不等式可化为x 2<1<x 3，解得x ∈∅，当x <0时，原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x 2>1，x 3<1，解得x <－1，选A. 答案：A11．若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A.a d >bc B.ad b dD.a c 1c >1d ，两边同乘－1，得－1d >－1c >0，又a >b >0，故由不等式的性质可知－a d >－b c >0，两边同乘－1，得a d <bc .故选B. 答案：B12．已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝⎛⎭⎫－13，12，则不等式－cx 2＋2x －a >0的解集为_ _________．解析：依题意知，⎩⎨⎧－13＋12＝－2a ，－13×12＝ca ，解得a ＝－12，c ＝2，∴不等式－cx 2＋2x －a >0，即为－2x 2＋2x ＋12>0，即x 2－x －6<0，解得－2<x <3.所以不等式的解集为(－2,3)．答案：(－2,3)13．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎫x －1a >0的解集是__________．解析：原不等式为(x －a )⎝⎛⎭⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪a <x <1a14．已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，即Δ＝(－a )2－8a <0，∴0<a <8，即a 的取值范围是(0,8)．答案：(0,8)15．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .那么，不等式f (x ＋2)＜5的解集是________．解析：当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x <5的解集为[0,5)，又f (x )为偶函数，所以f (x )<5的解集为(－5,5)．所以f (x ＋2)<5的解集为(－7,3)．答案：(－7,3)B 组能力提升练1．已知a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是( ) A ．a >b ⇒ac 2>bc 2 B.a c >bc ⇒a >b C.⎭⎬⎫a >b ab <0⇒1a >1bD.⎭⎬⎫a >b ab >0⇒1a >1b解析：当c ＝0时，ac 2＝0，bc 2＝0，故由a >b 不能得到ac 2>bc 2，故A 错误；当c <0时，a c >bc⇒a 0⇔⎩⎨⎧ab >0，a b ，故选项D 错误，C 正确．故选C. 答案：C2．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( ) A ．a >0,4a ＋b ＝0 B ．a <0,4a ＋b ＝0 C ．a >0,2a ＋b ＝0 D ．a <0,2a ＋b ＝0解析：∵f (0)＝f (4)>f (1)， ∴c ＝16a ＋4b ＋c >a ＋b ＋c ， ∴16a ＋4b ＝0，即4a ＋b ＝0，且15a ＋3b >0，即5a ＋b >0，而5a ＋b ＝a ＋4a ＋b ，∴a >0.故选A. 答案：A3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1(x <2)log 3(x 2－1)(x ≥2)，则不等式f (x )>2的解集为( )A ．(－2,4)B ．(－4，－2)∪(－1,2)C ．(1,2)∪(10，＋∞)D ．(10，＋∞)解析：令2e x －1>2(x <2)，解得1<x <2；令log 3(x 2－1)>2(x ≥2)，解得x >10，故选C. 答案：C4．在R 上定义运算：⎝⎛⎭⎪⎫a b cd ＝ad －bc ，若不等式⎝⎛ x －1a ＋1⎭⎪⎫a －2x≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为( ) A ．－12B ．－32C.12D.32解析：由定义知，不等式⎝⎛ x －1a ＋1⎭⎪⎫a －2x≥1等价于x 2－x －(a 2－a －2)≥1，∴x 2－x ＋1≥a 2－a 对任意实数x 恒成立．∵x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥34，∴a 2－a ≤34，解得－12≤a ≤32，则实数a 的最大值为32.答案：D5．“(m －1)(a －1)>0”是“log a m >0”的一个( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当(m －1)(a －1)>0时，有⎩⎪⎨⎪⎧ m >1，a >1，或⎩⎪⎨⎪⎧m <1，a <1，当m <0，a <0时，log a m 无意义，故log a m >0不一定成立；当log a m >0时，有⎩⎨⎧m >1，a >1或⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1，0<a <1，则(m －1)(a －1)>0恒成立，故“(m－1)·(a －1)>0”是“log a m >0”的必要不充分条件．故选B. 答案：B6．若0b C ．a b >b aD ．log b a >log a b解析：对于A ，函数y ＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，所以当0b 恒成立；对于C ，当0<a <1时，函数y ＝a x 单调递减，所以a b >a a ，函数y ＝x a 单调递增，所以a a >b a ，所以a b >a a >b a 恒成立．所以选D. 答案：D7．若a |b | B.1a －b >1a C.1a >1bD ．a 2>b 2解析：由不等式的性质可得|a |>|b |，a 2>b 2，1a >1b 成立．假设1a －b >1a 成立，由a 0，由1a －b >1a ⇒a (a －b )·1a －b >1a·a (a －b )⇒a >a －b ⇒b >0，与已知矛盾，故选B. 答案：B8．已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数．设a ＝f (log 47)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫log 123，c ＝f (21.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c <a log 47,21. 6>2，∴log 47<log 49<21.6.∵f (x )在(－∞，0]上是增函数，∴f (x )在[0，＋∞)上为减函数，则f (log 47)>f (log 49)>f (21.6)，即c 0⇒x <0或x >12，∴N ＝(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞，又∵M ＝{－1,1}，∴可知C 正确，A ，B ，D 错误，故选C. 答案：C10．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|3x －4|(x ≤2)，2x －1(x >2)，则f (x )≥1的解集为( )A.⎣⎡⎦⎤1，53 B.⎣⎡⎦⎤53，3C ．(－∞，1)∪⎣⎡⎭⎫53，＋∞ D ．(－∞，1]∪⎣⎡⎦⎤53，3解析：不等式f (x )≥1等价于⎩⎨⎧x >2，2x －1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，|3x －4|≥1，解之得x ≤1或53≤x ≤3，所以不等式的解集为(－∞，1]∪⎣⎡⎦⎤53，3，故选D. 答案：D11．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －(1＋a )≤0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－4]B ．[－4，＋∞)C ．[－4,3]D ．[－4,3)解析：不等式x 2－2x －3≤0的解集为[－1,3]，假设⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －(a ＋1)≤0的解集为空集，则不等式x 2＋4x －(a ＋1)≤0的解集为集合{x |x <－1或x >3}的子集，因为函数f (x )＝x 2＋4x －(a ＋1)的图象的对称轴方程为x ＝－2，所以必有f (－1)＝－4－a >0，即a <－4，则使⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －(1＋a )≤0的解集不为空集的a 的取值范围是a ≥－4. 答案：B12．设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为________．解析：由8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，得Δ＝(－8sin α)2－4×8cos 2α≤0，即64sin 2α－32(1－2sin 2α)≤0，得到sin 2α≤14，∵0≤α≤π，∴0≤sin α≤12，∴0≤α≤π6或5π6≤α≤π，即α的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦⎤5π6，π. 答案：⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦⎤5π6，π 13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ，x ≥0，bx 2－3x ，x <0为奇函数，则不等式f (x )<4的解集为__________．解析：若x >0，则－x <0，则f (－x )＝bx 2＋3x .因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即bx 2＋3x ＝－x 2－ax ，可得a ＝－3，b ＝－1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ，x ≥0，－x 2－3x ，x <0.当x ≥0时，由x 2－3x <4解得0≤x <4；当x <0时，由－x 2－3x <4解得x <0，所以不等式f (x )<4的解集为(－∞，4)．答案：(－∞，4)14．若关于x 的二次不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，则实数m 的取值范围是__________．解析：不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，相当于二次函数y ＝x 2＋mx ＋1的最小值非负，即方程x 2＋mx ＋1＝0最多有一个实根，故Δ＝m 2－4≤0，解得－2≤m ≤2. 答案：[－2,2]15．已知－12<a <0，A ＝1＋a 2，B ＝1－a 2，C ＝11＋a ，D ＝11－a ，则A ，B ，C ，D 的大小关系是__________．解析：令a ＝－14，则A ＝1716，B ＝1516，C ＝43，D ＝45，所以D <B <A <C .答案：D <B <A <C。

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高三一轮复习 6.2 一元二次不等式及其解法
（检测学生版）
一、选择题（共6小题，每题5分，共30分）
1．关于x 的不等式x 2－ax ＋a >0(a ∈R)在R 上恒成立的充分不必要条件是( )
A ．a <0或a >4
B ．0<a <2
C ．0<a <4
D ．0<a <8
2．设k ∈R ，若关于x 方程x 2－kx ＋1＝0的两根分别在区间(0，1)和(1，2)内，则k 的取值范围为( )
A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
B.⎝⎛⎫2，52 C ．(1，3) D ．(－∞，2)∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞
3．已知偶函数y ＝f (x )(x ∈R)在区间[0，2]上单调递增，在区间(2，＋∞)上单调递减，且满足f (－3)＝f (1)＝0，则不等式x 3f (x )<0的解集为( )
A ．(－3，－1)∪(1，3)
B ．(－∞，－3)∪(－1，1)∪(3，＋∞)
C ．(－∞，－3)∪(－1，0)∪(1，3)
D ．(－3，－1)∪(0，1)∪(3，＋∞)
4．已知f (x )＝ax 2－x －c ，不等式f (x )>0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (－x )的图象为( )
5．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 成立，则( )
A ．－1<a <1
B ．0<a <2
C ．－12<a <32
D ．－32<a <12
6．函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则f (2－x )>0的解集为( )
A ．{x |x >2或x <－2}
B ．{x |－2<x <2}
C ．{x |x <0或x >4}
D ．{x |0<x <4}
二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）
7.若不等式ax 2－3x ＋5>0的解集为{x |m <x <1}，则实数m ＝________．
8．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值是________．
9．若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 对任意x 均成立，则实数m 的取值范围是________．
10．若实数x ，y ，m 满足|x －m |>|y －m |，则称x 比y 远离m .若x 2－1比1远离0，则x 的取值范围是________．
三、解答题（共2小题，每题10分，共20分）
11．已知二次函数f (x )＝ax 2＋x ，若对任意x 1，x 2∈R ，恒有2f (x 1＋x 22
)≤f (x 1)＋f (x 2)成立，不等式f (x )<0的解集为A .
(1)求集合A ；
(2)设集合B ＝{x ||x ＋4|<a }，若集合B 是集合A 的子集，求a 的取值范围．
12．据调查，湖南某地区有100万从事传统农业的农民，人均年收入3 000元．为了增加农民的收入，当地政府积极引资建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作．据统计，如果有x (x >0)万人进入企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高2x %，而进入企业工作的农民人均年收入为 3 000 a 元(a >0为常数)．
(1)在建立加工企业后，要使该地区从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的年总收入，求x 的取值范围；
(2)在(1)的条件下，当地政府应安排多少万农民进入加工企业工作，才能使这100万农民的人均年收入达到最大？。

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