解一元二次方程及一元二次不等式练习题 -
(完整版)一元二次不等式练习题(完)
一、一元二次不等式及其解法1．形如0)的不等式称为关于x的一元二次不等式．ax2bx c0(或0)(其中a2．一元二次不等式ax2bxc0(a0)与相应的函数y ax2bxc(a0)、相应的方程ax2bxc0(a0)之间的关系：判别式b24ac0002二次函数y ax bx cax2bx c 0a 0ax2bx c 0(a 0)的解集ax2bx c 0(a 0)的解集3、解一元二次不等式步骤：1、把二次项的系数变为正的。
〔如果是负，那么在不等式两边都乘以-1，把系数变为正〕2、解对应的一元二次方程。
〔先看能否因式分解，假设不能，再看△，然后求根〕3、求解一元二次不等式。
〔根据一元二次方程的根及不等式的方向〕不等式的解法---穿根法一．方法:先因式分解,再使用穿根法.注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正.使用方法:①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点 .②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿).③数轴上方曲线对应区域使“>〞成立, 下方曲线对应区域使“<〞成立.例1:解不等式(1)(x+4)(x+5)2(2-x)3<0x2-4x+1(2)3x2-7x+2≤1解:原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0根据穿根法如图不等式解集为{x∣x>2或x<-4且x≠5}.-5-42(2x-1)(x-1)(2)变形为(3x-1)(x-2) ≥0根据穿根法如图不等式解集为1 11112 {xx<3或2≤x≤1或x>2}.32稳固练习一、解以下一元二次不等式：1、x25x 6 0 2 、x25x 6 0 3 、x27x 12 04、x27x 6 0 5 、x2x 12 0 6 、x2x 12 07、x28x 12 0 8 、x24x 12 0 9 、3x25x 12 010、3x216x 12 0 11 、3x237x 12 0 12 、2x215x 7 013、2x211x 12 0 14 、3x27x 10 15 、2x26x 5 016、10x233x 20 0 17 、x24x 5 0 18 、x24x 4 0 19、 x22x 3 0 20 、6x2x 2 0 21 、x2 3x 5 022、3x27x 2 0 23 、6x2x 1 0 24 、4x24x 3 025、2x211x 6 0 26 、3x211x 4 0 27 、x24 028、5x214x 3 0 29 、12x27x 12 0 30 、2x211x 21 031、8x22x 3 0 32 、8x210x 3 0 33 、4x215x 4 034、37、2x2x 21 0 35 、4x28x 21 0 36 、4x28x 5 05x217x 12 0 38 、10x211x 6 0 39 、16x28x 3 040、16x28x 3 0 41 、10x27x 12 0 42 、10x2x 2 043、4x229x 24 0 44 、4x221x 18 0 45 、9x26x 8 046、12x216x 3 0 47 、4x29 0 48 、12x220x 3 049、6x225x 14 0 50 、20x241x 9 0 51 、(x 2)(x 3) 6二填空题1、不等式(x1)(12x)0的解集是；2．不等式6x25x4的解集为____________.3、不等式3x2x10的解集是；4、不等式x22x10的解集是；5、不等式4x x25的解集是；9、集合M{x|x24}，N{x|x22x30}，那么集合MIN=；10、不等式mx2mx20的解集为R，那么实数m的取值范围为；11、不等式(2x1)29的解集为。
(完整版)一元二次不等式的经典例题及详解
一元二次不等式专题练习例1 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(32<-++x x x ．例2 解下列分式不等式： （1）22123+-≤-x x （2）12731422<+-+-x x x x例3 解不等式242+<-x x例4 解不等式04125622<-++-x x x x ． 例5 解不等式x xx x x <-+-+222322． 例6 设R m ∈，解关于x 的不等式03222<-+mx x m ．例7 解关于x 的不等式)0(122>->-a x a ax ． 例8 解不等式331042<--x x ．例9 解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x ． 例10 已知不等式02>++c bx ax 的解集是{})0(><<αβαx x ．求不等式02>++a bx cx 的解集．例11 若不等式1122+--<++-x x b x x x a x 的解为)1()31(∞+-∞，， ，求a 、b 的值． 例12不等式022<-+bx ax 的解集为{}21<<-x x ，求a 与b 的值． 例13解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax ． 例14 解不等式x x x ->--81032．例1解：（1）原不等式可化为0)3)(52(>-+x x x把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或 （2）原不等式等价于⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++2450)2)(4(050)2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{}2455>-<<--<x x x x 或或说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．分析：当分式不等式化为)0(0)()(≤<或x g x f 时，要注意它的等价变形 ①0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ②0)()(0)(0)()(0)(0)()(0)()(<⋅=⇔≤⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或或例2（1）解：原不等式等价于⎩⎨⎧≠-+≥+-+-⇔≥+-+-⇔≤+-++-⇔≤+---+⇔≤+--⇔+≤-0)2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2)(2()1)(6(0)2)(2(650)2)(2()2()2(302232232x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x用“穿根法”∴原不等式解集为[)[)+∞⋃-⋃--∞,62,1)2,(。
解一元二次方程及一元二次不等式练习题 -
解一元二次方程及一元二次不等式练习题-一元二次方程练题1.解下列方程：1) x-1=2;2) (2x+1)^2=3;3) 6x-1=5;4) 81(x-2)^2=16.2.用直接开平方法解下列方程：1) 5(2y-1)^2=20;2) (3x+2)^2=4.3.填空：1) x^2+3x+2=0，解得x1=-1，x2=-2；2) (3x+1)^2=64，解得x1=1，x2=-7；3) (ax-c)^2=4b^2，解得x1=(c+2b)/a，x2=(c-2b)/a；4) x^2-x+22=0，解得x1=(1+sqrt(87))/2，x2=(1-sqrt(87))/2；5) (x-1)^2=4，解得x1=3，x2=-1；6) y^2-(a+b)y+ab=0，解得y1=a，y2=b.4.用适当的数（式）填空：1) x^2-3x+9/4=(x-3/2)^2；2) x^2-px+q=(x-p/2)^2-q+p^2/4.5.用配方法解方程：1) 3x^2-6x-1=0，解得x1=(3+sqrt(21))/6，x2=(3-sqrt(21))/6；2) 2x^2-5x-4=0，解得x1=2，x2=-1/2.6.关于x的方程x-9a-12ab-4b=0的根x1=3a+4b，x2=-b/3.7.用适当的方法解方程：1) (2x-3)^2=9，解得x1=2，x2=5/2；2) y^2+4y+1=0，解得y1=-2+sqrt(3)，y2=-2-sqrt(3)；3) x^2-8x=12，解得x1=2+2sqrt(7)，x2=2-2sqrt(7)；4) y^2+3y+1=0，解得y1=(-3+sqrt(5))/2，y2=(-3-sqrt(5))/2；5) (2x-3)^2=16，解得x1=5/2，x2=1/2；6) x^2-6x-1=0，解得x1=3+sqrt(10)，x2=3-sqrt(10).一元二次不等式2.一元二次不等式ax^2+bx+c>0(a>0)与相应的函数y=ax^2+bx+c(a>0)、相应的方程ax^2+bx+c=0(a>0)之间的关系：判别式Δ=b^2-4acΔ>0时，方程有两个不等实根，函数图象在x轴上的交点为两个实根Δ=0时，方程有两个相等实根，函数图象在x轴上的交点为一个实根Δ<0时，方程没有实根，函数图象在x轴上没有交点3.解一元二次不等式步骤：1.把二次项的系数变为正的。
(完整)高中数学一元二次不等式练习题
一元二次不等式及其解法1．形如)0)(0(02≠<>++a c bx ax 其中或的不等式称为关于x 的一元二次不等式．2．一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程20(0)ax bx c a ++=>判别式ac b 42-=∆ 0>∆ 0=∆0<∆ 二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象()002>=++a c bx ax的解集)0(02>>++a c bx ax的解集)0(02><++a c bx ax 1、把二次项的系数变为正的。
（如果是负，那么在不等式两边都乘以-1，把系数变为正）2、解对应的一元二次方程。
（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根）3、求解一元二次不等式。
（根据一元二次方程的根及不等式的方向）不等式的解法---穿根法一．方法:先因式分解,再使用穿根法.注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正.使用方法:①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点. ②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿).③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立.例1:解不等式(1) (x+4)(x+5)2(2-x)3<0 x 2-4x+1 3x 2-7x+2 ≤1 解:(1) 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0根据穿根法如图不等式解集为{x ∣x>2或x<-4且x ≠5}.(2) 变形为 (2x-1)(x-1) (3x-1)(x-2) ≥0 根据穿根法如图不等式解集为{x |x< 1 3 或 1 2 ≤x ≤1或x>2}. 2-4 -5 2 21 1 3 1一、解下列一元二次不等式：1、0652>++x x2、0652≤--x x3、01272<++x x4、0672≥+-x x5、0122<--x x6、0122>-+x x7、01282≥+-x x 8、01242<--x x 9、012532>-+x x10、0121632>-+x x 11、0123732>+-x x 12、071522≤++x x13、0121122≥++x x 14、10732>-x x 15、05622<-+-x x16、02033102≤+-x x 17、0542<+-x x 18、0442>-+-x x19、2230x x --+≥ 20、0262≤+--x x 21、0532>+-x x22、02732<+-x x 23、0162≤-+x x 24、03442>-+x x25、061122<++x x 26、041132>+--x x 27、042≤-x28、031452≤-+x x 29、0127122>-+x x 30、0211122≥--x x31、03282>--x x 32、031082≥-+x x 33、041542<--x x34、02122>--x x 35、021842>-+x x 36、05842<--x x1．(2012年高考上海卷)不等式2－x x ＋4＞0的解集是________． 2．已知不等式ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)的解集是R ，则( )A ．a ＜0，Δ＞0B ．a ＜0，Δ＜0C ．a ＞0，Δ＜0D ．a ＞0，Δ＞03．不等式x 2x ＋1＜0的解集为( ) A ．(－1,0)∪(0，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－1,0)D ．(－∞，－1)4．已知集合P ＝{0，m }，Q ＝{x |2x 2－5x ＜0，x ∈Z }，若P ∩Q ≠∅，则m 等于( )A ．1B ．2C ．1或25D ．1或2X k b 1 . c o m 5．如果A ＝{x |ax 2－ax ＋1＜0}＝∅，则实数a 的集合为( )A ．{a |0＜a ＜4}B ．{a |0≤a ＜4}C ．{a |0＜a ≤4}D ．{a |0≤a ≤4}6．不等式x ＋1x －2≥0的解集是( ) A ．{x |x ≤－1或x ≥2} B ．{x |x ≤－1或x >2} C ．{x |－1≤x ≤2} D ．{x |－1≤x <2}二.填空题1、不等式(1)(12)0x x -->的解集是 ；2．不等式2654x x +<的解集为____________. 3、不等式2310x x -++>的解集是 ； 4、不等式2210x x -+≤的解集是 ； 5、不等式245x x -<的解集是 ；9、已知集合2{|4}M x x =<，2{|230}N x x x =--<，则集合M N = ； 10、不等式220mx mx +-<的解集为R ，则实数m 的取值范围为 ；11、不等式9)12(2≤-x 的解集为__________. 12、不等式0＜x 2+x -2≤4的解集是___________ .13、若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x R ∈恒成立,则a 的取值范围是______________. 三、典型例题：1、已知对于任意实数x ，22kx x k -+恒为正数，求实数k 的取值范围．（1）03222<--a ax x （2）0)1(2<--+a x a x。
一元二次方程与一元二次函数练习
一元二次方程与一元二次函数练习副标题一、计算题（本大题共32小题，共192.0分）1.求出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标．（1）y=x2+2x-3（配方法）；（2）y=x2-x+3（公式法）．2.某商品的进价为每件20元，售价为每件25元时，每天可卖出250件．市场调查反映：如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件．（1）若某天的销售利润为2000元，为最大限度让利于顾客，则该商品销售价是多少？（2）求销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大，请说明理由．3.用适当的方法解下列一元二次方程（1）4（x-1）2-36=0（直接开平方法）（2）x2+2x-3=0（配方法）（3）x（x-4）=8-2x（因式分解法）（4）（x+1）（x-2）=4（公式法）4.已知二次函数y=x2-4x+5．（1）将y=x2-4x+5化成y=a（x-h）2+k的形式；5.投资1万元围一个矩形菜园（如图），其中一边靠墙，另外三边选用不同材料建造．墙长24m，平行于墙的边的费用为200元/m，垂直于墙的边的费用为150元/m，设平行于墙的边长为x m（1）设垂直于墙的一边长为y m，直接写出y与x之间的函数关系式；（2）若菜园面积为384m2，求x的值；（3）求菜园的最大面积．6.解下列一元二次方程（1）x2-6x-16=0（2）x2-2x-9=0（3）3x（x-1）=2-2x（4）2x2-3x-6=0．7.已知二次函数y=x2-（2k+1）x+k2+k（k＞0）（1）当k=时，将这个二次函数的解析式写成顶点式；（2）求证：关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0有两个不相等的实数根．8.2（）求这个二次函数的解析式；（2）用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴．9.“白马服饰城”某服装柜的某款裤子每条的成本是50元，经市场调查发现，当销售单价是100元时，每天可以卖掉50条，每降低1元，可多卖5条．（1）要使每天的利润为4000元，裤子的定价应该是多少元？（2）如何定价可以使每天的利润最大？最大利润是多少？10.已知：二次函数y=2x2+bx+c过点（1，1）和点（2，10），求二次函数的解析式，并用配方法求二次函数图象的顶点坐标．11.函数y=（m+2）是关于x的二次函数，求：（1）满足条件的m值；（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点．这时，当x为何值时，y随x的增大而增大？（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时，当x为何值时，y随x的增大而减小．12.已知二次函数y=x2+4x-5．（1）将y =x2+4x-5化成y=a（x+h）2+k的形式；13.解方程．（1）（3x+2）2=25（2）3x2-1=4x（3）（2x+1）2=3（2x+1）（4）x2-7x+10=0．14.已知二次函数y=-．（1）将y=-+x+用配方法化为y=a（x-h）2+k的形式；（2）求该函数图象与两坐标轴交点的坐标；（3）画出该函数的图象．15.根据下列条件，求出二次函数的解析式．（1）抛物线y=ax2+bx+c经过点（0，1），（1，3），（-1，1）三点．（2）抛物线顶点P（-1，-8），且过点A（0，-6）．为对称轴．（4）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过一次函数y=-3/2x+3的图象与x轴、y轴的交点；且过（1，1），求这个二次函数解析式，并把它化为y=a（x-h）2+k的形式．16.商场某种新商品每件进价是40元，在试销期间发现，当每件商品售价50元时，每天可销售500件，当每件商品售价高于50元时，每涨价1元，日销售量就减少10件．据此规律，请回答：（1）当每件商品售价定为55元时，每天可销售多少件商品？商场获得的日盈利是多少？（2）在上述条件不变，商品销售正常的情况下，每件商品的销售定价为多少元时，商场日盈利可达到8000元？17.已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（-1，0），B点坐标为（5，0）点C（0，5），M为它的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）求△MAB的面积．18.已知二次函数的顶点坐标为A（1，9），且其图象经过点（-1，5）19.如图，抛物线经过点A、B、C．（1）求此抛物线的解析式；（2）若抛物线和x轴的另一个交点为D，求△ODC的面积．20.已知函数y=-x2+（m-1）x+m（m为常数）．（1）该函数的图象与x轴公共点的个数是______．A.0B.1C.2D.1或2（2）求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=（x+1）2的图象上．（3）当-2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．21.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中点A（-1，0），点C（0，5），点D（1，8）都在抛物线上，M为抛物线的顶点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求△MCB的面积；（3）根据图形直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．22.如图，抛物线y1=ax2+2ax+1与x轴有且仅有一个公共点A，经过点A的直线y2=kx+b交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点．（1）求a的值；（2）求直线AB对应的函数解析式；（3）直接写出当y1≥y2时，x的取值范围．23.先阅读下面的例题，再按要求解答后面的问题．例题：解一元二次不等式x2-3x+2＞0解：令y=x2-3x+2，画出y=x2-3x+2如图所示，由图象可知：当x＜1或x＞2时，y＞0所以一元二次不等式x2-3x+2＞0的解集为x＜1或x＞2 （1）填空：x2-3x+2＜0的解集为______；x2-3x≥0的解集为______．（2）用类似的方法解一元二次不等式：-x2-2x+3＞0．24.如图，抛物线y=-x2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为（1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，并证明你的结论；（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△ACM 的周长最小时，求点M的坐标．25.选择适当的方法解下列方程：（1）x2-3x=0（2）（2x-5）2-（x+4）2=0（3）x2-2x-8=0（4）（x+1）（x+2）=2x+4（5）3（x-2）2=x2-4（6）x2+2x-143=0．26.已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0．（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）当m为何整数时，原方程的根也是整数．27.已知x1，x2 是关于x的一元二次方程x2-2（m+1）x+m2+5=0的两实数根．（1）若（x1-1）（x2 -1）=28，求m的值；（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．28.已知二次函数y＝－x2－x＋.(1)在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；(2)根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围；(3)若将此图象沿x轴向左平移3个单位，请写出平移后图象对应的函数解析式．29.已知关于x的一元二次方程5x2+kx-10=0一个根是-5，求k的值及方程的另一个根．30.设x1，x2是方程2x2-6x-1=0的两个实数根，不解方程，求下列代数式的值．（1）x12+x22；（2）（x1-1）（x2-1）．31.已知关于x的方程（m2-1）x2-3（3m-1）x+18=0有两个正整数根（m是正整数）．△ABC的三边a、b、c满足，m2+a2m-8a=0，m2+b2m-8b=0．求：（1）m的值；（2）△ABC的面积．32.如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为11米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．（1）如果要围成面积为45平方米的花圃，那么AD的长为多少米？（2）能否围成面积为60平方米的花圃？若能，请求出AD的长；若不能，请说明理由．答案和解析1.【答案】解：（1）y=x2+2x-3=x2+2x+1-4=（x+1）2-4，所以抛物线的开口向上，对称轴为直线x=-1，顶点坐标为（-1，-4）；（2）∵a=,b=-1,c=3,∴-=-=1，==，所以抛物线的开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，）．【解析】（1）利用配方法把一般式变形为顶点式y=（x+1）2-4，然后根据二次函数的性质求解；（2）利用抛物线的顶点坐标公式分别计算出-和的值，然后根据二次函数的性质求解．本题考查了二次函数将一般式化为顶点式的方法：配方法和公式法．2.【答案】解：（1）设销售价格为x元时，当天销售利润为2000元，则（x-20）•[250-10（x-25）]=2000，整理，得：x2-70x+1200=0，解得：x1=30，x2=40（舍去），答：该商品销售价是30元/件；（2）设该商品每天的销售利润为y，则y=（x-20）•[250-10（x-25）]=-10x2-700x+10000=-10（x-35）2+2250，答：当销售单价为35元/件时，销售利润最大．【解析】（1）设销售价格为x元，根据“单件利润×销售量=总利润”列出关于x的方程，解之可得；（2）根据（1）中所列相等关系列出总利润y关于x的函数解析式，配方成顶点式，再利用二次函数的性质求解可得．此题主要考查了二次函数的应用，根据题意利用函数性质得出最值是解题关键．3.【答案】解：（1）方程整理得：（x-1）2=9，开方得：x-1=3或x-1=-3，解得：x1=4，x2=-2；（2）方程整理得：x2+2x=3，配方得：x2+2x+1=4，即（x+1）2=4，开方得：x+1=2或x+1=-2，解得：x1=1，x2=-3；（3）方程整理得：x（x-4）+2（x-4）=0，分解因式得：（x-4）（x+2）=0，解得：x1=4，x2=-2；（4）方程整理得：x2-x-6=0，这里a=1，b=-1，c=-6，∵△=1+24=25，∴x=，解得：x1=3，x2=-2．【解析】此题考查了解一元二次方程-直接开方法、配方法、因式分解法以及公式法，熟练掌握各种求解方法是解本题的关键．（1）方程整理后，利用直接开平方法求出解即可；（2）方程整理后，利用配方法求出解即可；（3）方程整理后，利用因式分解法求出解即可；（4）方程整理为一般形式，找出a，b，c的值，代入求根公式求出解即可．4.【答案】解：（1）y=x2-4x+4-4+5=（x-2）2+1，即y=（x-2）2+1；（2）根据（1）的函数解析式知，对称轴为x=2，顶点坐标为（2，1）；（3）根据（1）、（2）的结论画出二次函数的大致图象（如图所示），从图象中可知，当x＞2时，y随x的增大而增大．【解析】（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式；（2）利用（1）的解析式求该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；（3）根据二次函数的图象的单调性解答．此题主要考查了二次函数顶点坐标的求法，二次函数图象的性质．二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（x-h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x-x1）（x-x2）．5.【答案】解：（1）根据题意知，y==-x+；（2）根据题意，得：（-x+）x=384，解得：x=18或x=32，∵墙的长度为24m，∴x=18；（3）设菜园的面积是S，则S=（-x+）x=-x2+x=-（x-25）2+∵-＜0，∴当x＜25时，S随x的增大而增大，∵x≤24，∴当x=24时，S取得最大值，最大值为416，答：菜园的最大面积为416m2．【解析】（1）根据“垂直于墙的长度=÷2”可得函数解析式；（2）根据矩形的面积公式列方程求解可得；（3）根据矩形的面积公式列出总面积关于x的函数解析式，配方成顶点式后利用二次函数的性质求解可得．本题主要考查二次函数和一元二次方程的应用，解题的关键是将实际问题转化为一元二次方程和二次函数的问题．6.【答案】解：（1）分解得：（x-8）（x+2）=0，可得x-8=0或x+2=0，解得：x=8或x=-2；（2）方程移项得：x2-2x=9，配方得：x2-2x+1=10，即（x-1）2=10，开方得：x-1=±，解得：x=1±；（3）方程整理得：3x（x-1）+2（x-1）=0，分解因式得：（x-1）（3x+2）=0，解得：x=1或x=-；（4）这里a=2，b=-3，c=-6，∵△=9+48=57，∴x=．【解析】（1）方程利用因式分解法求出解即可；（2）方程利用配方法求出解即可；（3）方程移项后，利用因式分解法求出解即可；（4）方程利用公式法求出解即可．此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．7.【答案】（1）解：把k=代入y=x2-（2k+1）x+k2+k（k＞0）得y=x2-2x+，因为y=（x-1）2-所以抛物线的顶点坐标为（1，-）；（2）证明：△=（2k+1）2-4（k2+k）=1＞0，所以关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0有两个不相等的实数根．【解析】（1）把k代入抛物线解析式，然后利用配方法可确定抛物线的顶点坐标；（2）计算判别式的值，然后判别式的意义进行证明．本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．8.【答案】解：（1）由题意，得，解这个方程组，得a=1，b=3，c=-2，所以，这个二次函数的解析式是y=x2+3x-2；（2）y=x2+3x-2=（x+）2-，顶点坐标为（-，-），对称轴是直线x=-．【解析】（1）把已知三点坐标代入求出a，b，c的值，即可确定出解析式；（2）利用顶点坐标公式及对称轴公式求出即可．此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．9.【答案】解：（1）设裤子的定价为每条x元，根据题意，得：（x-50）[50+5（100-x）]=4000，解得：x=70或x=90，答：裤子的定价应该是70元或90元；（2）销售利润y=（x-50）[50+5（100-x）]=（x-50）（-5x+550）=-5x2+800x-27500，=-5（x-80）2+4500，∵a=-5＜0，∴抛物线开口向下．∵50≤x≤100，对称轴是直线x=80，∴当x=80时，y最大值=4500；答：定价为每条80元可以使每天的利润最大，最大利润是4500元．【解析】（1）根据“利润=（售价-成本）×销售量”列出方程求解可得；（2）根据（1）中的相等关系列出二次函数解析式，再转化为顶点式，利用二次函数图象的性质进行解答．本题考查二次函数的实际应用．建立数学建模题，借助二次函数解决实际问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出函数关系式和方程．10.【答案】解：把（1，1）和（2，10）代入y=2x2+bx+c得：，解得：，∴二次函数的解析式为：y=2x2+3x-4，y=2x2+3x-4，=2（x2+x+）--4，=2（x2+x+）-，=2（x+）2-，∴二次函数的顶点坐标为（-，-）．【解析】将（1，1）和（2，10）代入y=2x2+bx+c求得b，c的值，再用配方法求得顶点式，从而得出顶点坐标．本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、以及二次函数解析式的三种形式．11.【答案】解：（1）根据题意得m+2≠0且m2+m-4=2，解得m1=2，m2=-3，所以满足条件的m值为2或-3；（2）当m+2＞0时，抛物线有最低点，所以m=2，抛物线解析式为y=4x2，所以抛物线的最低点为（0，0），当x≥0时，y随x的增大而增大；（3）当m=-3时，抛物线开口向下，函数有最大值；抛物线解析式为y=-x2，所以二次函数的最大值是0，这时，当x≥0时，y随x的增大而减小．【解析】（1）根据二次函数的定义得到m+2≠0且m2+m-4=2，然后解两个不等式即可得到满足条件的m的值为2或-3；（2）根据二次函数的性质得当m+2＞0时，抛物线有最低点，所以m=2，则y=4x2，然后根据二次函数的性质确定顶点坐标和增减性；（3）根据二次函数的性质得到当m=-3时，抛物线开口向下，函数有最大值，则y=-x2，然后根据二次函数的性质确定最大值和增减性．本题考查了二次函数的最值：先把二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）配成顶点式为y=a（x+）2+，当a＞0，y最小值=；当a＜0，y最，大值=．也考查了二次函数的定义以及二次函数的性质．12.【答案】解：（1）y=x2+4x-5＝（-8x+10）＝（-8x+16-16+10）＝－＝－（2）根据（1）的函数解析式知，对称轴为直线x=4，顶点坐标为（4，3）.【解析】此题主要考查了用配方法求二次函数顶点坐标和对称轴，要熟知配方法的步骤.（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式；（2）利用（1）的解析式求该二次函数图象的对称轴和顶点坐标.13.【答案】解：（1）3x+2=±5，解得x1=1，x2=-；（2）3x2-4x-1=0，△=（-4）2-4×3×（-1）=28，x===，所以x1=，x2=；（3）（2x+1）2-3（2x+1）=0，（2x+1）（2x+1-3）=0，2x+1=0或2x+1-3=0，解得x1=-，x2=1；（4）（x-2）（x-5）=0，x-2=0或x-5=0，解得x1=2，x2=5．【解析】（1）利用直接开平方法解方程；（2）利用公式法解方程；（3）先移项得到（2x+1）2-3（2x+1）=0，然后利用因式分解法解方程；（4）利用因式分解法解方程．本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了直接开平方法和公式法解一元二次方程．14.【答案】解：（1）y=-=-（x2-2x+1-1）+=-（x-1）2+2；（2）当x=0时，y=-=，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，），当y=0时，-（x-1）2+2=0，解得x1=3，x2=-1，则抛物线与x轴的交点坐标为（3，0），（-1，0），（3）如图，【解析】（1）利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式；（2）计算自变量为0对应的函数值得到抛物线与y轴的交点坐标；通过解方程-（x-1）2+2=0得抛物线与x轴的交点坐标；（3）利用描点法画二次函数图象．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．15.【答案】解：（1）根据题意得，解得，所以抛物线解析式为y=x2+x+1；（2）设抛物线解析式为y=a（x+1）2-8，把（0，-6）代入得a（0+1）2-8=-6，解得a=2，所以抛物线解析式为y=2（x+1）2-8；（3）抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-1，0），设抛物线解析式为y=a（x-3）（x+1），把（2，-3）代入得a（2-3）（2+1）=-3，解得a=1，所以抛物线解析式为y=（x-3）（x+1），即y=x2-2x-3；（4）当x=0时，y=-x+3=3，则直线与y轴的交点坐标为（0，3），当y=0时，-x+3=0，解得x=2，则直线与x轴的交点坐标为（2，0），设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，把（0，3），（2，0），（1，1）代入得，解得，所以抛物线解析式为y=x2-x+3．【解析】（1）把三个已知点的坐标代入得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组即可；（2）设顶点式y=a（x+1）2-8，然后把A点坐标代入求出a即可；（3）利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-1，0），设交点式y=a（x-3）（x+1），然后把（2，-3）代入求出a即可；（4）先求出直线与坐标轴的交点坐标，然后利用一般式求抛物线解析式．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数性质．16.【答案】解：（1）当每件商品售价为55元时，比每件商品售价50元高出5元，即55-50=5（元），则每天可销售商品450件，即500-5×10=450（件），商场可获日盈利为（55-40）×450=6750（元）．答：每天可销售450件商品，商场获得的日盈利是6750元；（2）设商场日盈利达到8000元时，每件商品售价为x元．则每件商品比50元高出（x-50）元，每件可盈利（x-40）元，每日销售商品为500-10(x-50）=1000-10x（件）．依题意得方程（1000-10x）（x-40）=8000，整理，得x2-140x+4800=0，解得x=60或80．答：每件商品售价为60或80元时，商场日盈利达到8000元．【解析】（1）首先求出每天可销售商品数量，然后可求出日盈利；（2）设商场日盈利达到8000元时，每件商品售价为x元，根据每件商品的盈利×销售的件数=商场的日盈利，列方程求解即可．本题考查了一元二次方程的实际应用，根据每件商品的盈利×销售的件数=商场的日盈利，列出方程是关键．17.【答案】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-5），把C（0，5）代入得a•1•（-5）=5，解得a=-1，所以抛物线解析式为y=-x2+4x+5；（2）y=-x2+4x+5=-（x-2）2+9，则M（2，9）所以△MAB的面积=×（5+1）×9=27．【解析】（1）设交点式y=a（x+1）（x-5），然后把C（0，5）代入求出a即可得到抛物线解析式；（2）先把解析式配成顶点式，然后写出M点的坐标，再利用三角形面积公式求解．本题考查了抛物线与x轴的交点：从二次函数的交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a，b，c是常数，a≠0）可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．18.【答案】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x-1）2+9，把（-1，5）代入得a（-1-1）2+9=5，解得a=-1，所以抛物线解析式为y=-（x-1）2+9；（2）当y=0时，-（x-1）2+9=0，解得x1=4，x2=-2，所以B、C两点的坐标为（-2，0），（4，0），所以△ABC的面积=×9×（4+2）=27．【解析】（1）先利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）通过解方程-（x-1）2+9=0得到B、C两点的坐标，然后根据三角形面积公式求解．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．19.【答案】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-1）2-4，把A（-1，0）代入得a•（-1-1）2-4=0，解得a=1，所以抛物线的解析式为y=（x-1）2-4；（2）因为抛物线的对称轴为直线x=1，则点A（-1，0）关于直线x=1的对称点D的坐标为（3，0），所以△ODC的面积=×3×4=6．【解析】（1）由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y=a（x-1）2-4，然后把A点坐标代入求出a的值即可；（2）利用抛物线的对称性易得D点坐标，然后根据三角形面积公式求解．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．20.【答案】（1）D∵函数y=-+（m-1）x+m（m为常数），∴△=+4m=≥0，则该函数图象与x轴的公共点的个数是1或2，故选D；（2）y=+（m-1）x+m=-+，把x=代入y=得：y==，则不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=的图象上；（3）设函数z=，当m=-1时，z有最小值为0；当m＜-1时，z随m的增大而减小；当m＞-1时，z随m的增大而增大，当m=-2时，z=；当m=3时，z=4，则当-2≤m≤3时，该函数图象的顶点坐标的取值范围是0≤z≤4．【解析】解析：（1）表示出根的判别式，判断其正负即可得到结果；（2）将二次函数解析式配方变形后，判断其顶点坐标是否在已知函数图象即可；（3）根据m的范围确定出顶点纵坐标范围即可．此题考查了抛物线与x轴的交点，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．21.【答案】解：（1）∵A（-1，0），C（0，5），D（1，8）三点在抛物线y=ax2+bx+c 上，∴ 解方程组得，∴抛物线的解析式为y=-x2+4x+5；（2）连接OM，如图，∵y=-x2+4x+5=-（x-2）2+9，∴M（2，9），∵抛物线的对称轴为直线x=2，∴B（5，0），∴S△BCM=S△OCM+S△BOM-S△OBC=×5×2+×5×9-×5×5=15；（3）x＜0或x＞2．【解析】（1）把A点、C点和D点坐标代入y=ax2+bx+c得到关于a、b、c的方程组，然后解方程求出a、b、c即可得到抛物线解析式；（2）连接OM，如图，先把（1）中解析式配成顶点式得到M（2，9），再利用对称性得到B（5，0），然后利用S△BCM=S△OCM+S△BOM-S△OBC进行计算；（3）观察函数图象，写出一次函数图象在抛物线上方所对应的自变量的范围即可．本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．也考查了待定系数法求抛物线解析式．22.【答案】解：（1）∵抛物线y1=ax2+2ax+1与x轴有且仅有一个公共点A，∴△=4a2-4a=0，而a≠0，∴a=1；（2）抛物线的解析式为y=x2+2x+1=（x+1）2，∴A（-1，0），把A（-1，0）代入y=kx+b得-k+b=0，解得b=k，∴一次函数解析式为y=kx+k，当x=0时，y=kx+k=k，则C（0，k），∵点C是线段AB的中点，∴B（1，2k），把B（1，2k）代入y=x2+2x+1得2k=1+2+1，解得k=2，∴直线AB的解析式为y=2x+2；（3）当x≤-1或x≥1时，y1≥y2．【解析】（1）根据判别式的意义得到△=4a2-4a=0，然后解方程和根据二次函数的定义可确定a的值；（2）把抛物线的解析式配成顶点式得到A（-1，0），则把A点坐标代入y=kx+b 中得b=k，所以一次函数解析式为可表示为y=kx+k，则C（0，k），利用线段中点坐标公式得到B（1，2k），然后把B（1，2k）代入y=x2+2x+1求出k即可得到直线AB的解析式；（3）利用函数图象，写出抛物线在直线AB上方所对应的自变量的范围即可．本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．也考查了抛物线与x轴的交点和二次函数的性质．23.【答案】1＜x＜2；x≤0或x≥3【解析】解：（1）x2-3x+2＜0的解集为1＜x＜2；x2-3x≥0的解集为x≤0或x≥3；故答案为1＜x＜2；x≤0或x≥3；（2）令y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，画出y=-x2-2x+3的图象，如图所示，由图象可知当-3＜x＜1时，y＞0，所以一元二次不等式-x2-2x+3＞0的解集为-3＜x＜1．（1）利用题中的函数图象写出抛物线在x轴下方对应的自变量的范围得到x2-3x+2＜0的解集；函数值y=x2-3x+2≥2对应的自变量的范围得到x2-3x≥0的解集；（2）先画出y=-x2-2x+3的图象，然后写出函数图象在x轴上方所对应的自变量的范围即可．本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解．24.【答案】解：（1）∵点A（1，0）在抛物线y=-x2+bx+2上，∴-+b+2=0，解得，b=-，抛物线的解析式为y=-x2-x+2，y=-x2-x+2=-（x+）2+，则顶点D的坐标为（-，）；（2）△ABC是直角三角形，证明：点C的坐标为（0，2），即OC=2，-x2-x+2=0，解得，x1=-4，x2=1，则点B的坐标为（-4，0），即OB=4，OA=1，OB=4，∴AB=5，由勾股定理得，AC=，BC=2，AC2+BC2=25=AB2，∴△ABC是直角三角形；（3）由抛物线的性质可知，点A与点B关于对称轴对称，连接BC交对称轴于M，此时△ACM的周长最小，设直线BC的解析式为：y=kx+b，由题意得，，解得，，则直线BC的解析式为：y=x+2，当x=-时，y=，∴当M的坐标为（-，）．【解析】（1）把点A的坐标代入解析式，求出b，利用配方法求出抛物线的顶点坐标；（2）解一元二次方程求出OB，根据勾股定理求出AC、BC，根据勾股定理的逆定理判断即可；（3）连接BC交对称轴于M，由轴对称的性质得到此时△ACM的周长最小，利用待定系数法求出直线BC的解析式，求出点M的坐标．本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，掌握二次函数与一元二次方程的关系、待定系数法求二次函数解析式的一般步骤、轴对称-最短路径问题是解题的关键．25.【答案】解：（1）x（x-3）=0，所以x1=0，x2=3；（2）（2x-5+x+4）（2x-5-x-4）=0，2x-5+x+4=0或2x-5-x-4=0，所以x1=，x2=9；（3）（x-4）（x+2）=0，所以x1=4，x2=-2；（4）（x+1）（x+2）-2（x+2）=0，（x+2）（x+1-2）=0，所以x1=-2，x2=1；（5）3（x-2）2-（x+2）（x-2）=0，（x-2）（3x-6-x-2）=0，x-2=0或3x-6-x-2=0，所以x1=2，x2=4；（6）（x+13）（x-11）=0，所以x1=-13，x2=11．【解析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．（1）利用因式分解法解方程；（2）利用因式分解法解方程；（3）利用因式分解法解方程；（4）先变形为（x+1）（x+2）-2（x+2）=0，再利用因式分解法解方程；（5）先变形为3（x-2）2-（x+2）（x-2）=0，再利用因式分解法解方程；（6）利用因式分解法解方程．26.【答案】（1）证明：△=（m+3）2-4（m+1）=m2+6m+9-4m-4=m2+2m+5=（m+1）2+4，∵（m+1）2≥0，∴（m+1）2+4＞0，则无论m取何实数时，原方程总有两个不相等的实数根；（2）解：关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0，利用公式法解得：x=，要使原方程的根是整数，必须使得（m+1）2+4是完全平方数，设（m+1）2+4=a2，变形得：（a+m+1）（a-m-1）=4，∵a+m+1和a-m-1的奇偶性相同，可得或，解得：或，将m=-1代入x=，得x1=-2，x2=0符合题意，∴当m=-1时，原方程的根是整数．【解析】（1）表示出根的判别式，配方后得到根的判别式大于0，进而确定出方程总有两个不相等的实数根；（2）由（1）得到方程有两个不相等的实数根，利用求根公式表示出解，要使原方程的根是整数，必须使得（m+1）2+4是完全平方数，设（m+1）2+4=a2，变形得：（a+m+1）（a-m-1）=4，由a+m+1和a-m-1的奇偶性相同，列出方程组，求出方程组的解得到a与m的值，代入解中检验即可得到满足题意m的值．此题考查了根的判别式，以及求根公式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．27.【答案】解：（1）根据题意得△=4（m+1）2-4（m2+5）≥0，解得m≥2，x1+x2=2（m+1），x1x2=m2+5，∵（x1-1）（x2 -1）=28，即x1x2-（x1+x2）+1=28，∴m2+5-2（m+1）+1=28，整理得m2-2m-24=0，解得m1=6，m2=-4，而m≥2，∴m的值为6；（2）若x1=7时，把x=7代入方程得49-14（m+1）+m2+5=0，整理得m2-14m+40=0，解得m1=10，m2=4，当m=10时，x1+x2=2（m+1）=22，解得x2=15，而7+7＜15，故舍去；当m=4时，x1+x2=2（m+1）=10，解得x2=3，则三角形周长为3+7+7=17；若x1=x2，则m=2，方程化为x2-6x+9=0，解得x1=x2=3，则3+3＜7，故舍去，所以这个三角形的周长为17．【解析】1）根据判别式的意义可得m≥2，再根据根与系数的关系得x1+x2=2（m+1），x1x2=m2+5，接着利用（x1-1）（x2 -1）=28得到m2+5-2（m+1）+1=28，解得m1=6，m2=-4，于是可得m的值为6；（2）分类讨论：若x1=7时，把x=7代入方程得49-14（m+1）+m2+5=0，解得m1=10，m2=4，当m=10时，由根与系数的关系得x1+x2=2（m+1）=22，解得x2=15，根据三角形三边的关系，m=10舍去；当m=4时，x1+x2=2（m+1）=10，解得x2=3，则三角形周长为3+7+7=17；若x1=x2，则m=2，方程化为x2-6x+9=0，解得x1=x2=3，根据三角形三边的关系，m=2舍去．本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=．也考查了根的判别式和等腰三角形的性质．28.【答案】解：（1）二次函数的顶点坐标为：x==-1，y==2，当x=0时，y=，当y=0时，x=1或x=-3，图象如图：。
(完整版)一元二次不等式练习题(完)
一、一元二次不等式及其解法1．形如)0)(0(02≠<>++a c bx ax 其中或的不等式称为关于x 的一元二次不等式．2．一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程20(0)ax bx c a ++=>判别式ac b 42-=∆0>∆ 0=∆0<∆ 二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象()002>=++a c bx ax的解集)0(02>>++a c bx ax 的解集)0(02><++a c bx ax1、把二次项的系数变为正的。
（如果是负，那么在不等式两边都乘以-1，把系数变为正）2、解对应的一元二次方程。
（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根）3、求解一元二次不等式。
（根据一元二次方程的根及不等式的方向）不等式的解法---穿根法一．方法:先因式分解,再使用穿根法.注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正. 使用方法:①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点. ②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿). ③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立. 例1:解不等式(1) (x+4)(x+5)2(2-x)3<0 (2)x 2-4x+13x 2-7x+2≤1解:(1) 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0 根据穿根法如图不等式解集为{x ∣x>2或x<-4且x ≠5}.2-4-5(2)变形为(2x-1)(x-1)(3x-1)(x-2)≥0根据穿根法如图不等式解集为 {x |x< 1 3 或 12≤x ≤1或x>2}.巩固练习一、解下列一元二次不等式：1、0652>++x x2、0652≤--x x3、01272<++x x4、0672≥+-x x5、0122<--x x6、0122>-+x x7、01282≥+-x x 8、01242<--x x 9、012532>-+x x10、0121632>-+x x 11、0123732>+-x x 12、071522≤++x x13、0121122≥++x x 14、10732>-x x 15、05622<-+-x x16、02033102≤+-x x 17、0542<+-x x 18、0442>-+-x x19、2230x x --+≥ 20、0262≤+--x x 21、0532>+-x x22、02732<+-x x 23、0162≤-+x x 24、03442>-+x x25、061122<++x x 26、041132>+--x x 27、042≤-x28、031452≤-+x x 29、0127122>-+x x 30、0211122≥--x x31、03282>--x x 32、031082≥-+x x 33、041542<--x x34、02122>--x x 35、021842>-+x x 36、05842<--x x37、0121752≤-+x x 38、0611102>--x x 39、038162>--x x40、038162<-+x x 41、0127102≥--x x 42、02102>-+x x43、0242942≤--x x 44、0182142>--x x 45、08692>-+x x46、0316122>-+x x 47、0942<-x 48、0320122>+-x x49、0142562≤++x x 50、0941202≤+-x x 51、(2)(3)6x x +-<二填空题1、不等式(1)(12)0x x -->的解集是 ；2．不等式2654x x +<的解集为____________.3、不等式2310x x -++>的解集是 ；4、不等式2210x x -+≤的解集是 ；5、不等式245x x -<的解集是 ； 9、已知集合2{|4}M x x =<，2{|230}N x x x =--<，则集合MN = ；10、不等式220mx mx +-<的解集为R ，则实数m 的取值范围为 ；11、不等式9)12(2≤-x 的解集为___________________________。
高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式经典大题例题(带答案)
高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式经典大题例题单选题1、实数a,b满足a>b，则下列不等式成立的是（）A．a+b<ab B．a2>b2C．a3>b3D．√a2+b2<a+b答案：C分析：利用不等式的性质逐一判断即可.A，若a=1,b=0，则a+b>ab，故A错误；B，若a=1,b=−2，则a2<b2，故B错误；C，若a>b，则a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)=(a−b)[(a+b2)2+3b24]>0，所以a3>b3，故C正确；D，若a=1,b=−2，则√a2+b2>a+b，故D错误.故选：C2、将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a（元/个）的取值范围应是（）A．90<a<100B．90<a<110C．100<a<110D．80<a<100答案：A分析：首先设每个涨价x元，涨价后的利润与原利润之差为y元，结合条件列式，根据y>0，求x的取值范围，即可得到a的取值范围.设每个涨价x元，涨价后的利润与原利润之差为y元，则a=x+90,y=(10+x)⋅(400−20x)−10×400=−20x2+200x.要使商家利润有所增加，则必须使y>0，即x2−10x<0，得0<x<10,∴90<x+90<100，所以a的取值为90<a<100.故选：A3、已知y=(x−m)(x−n)+2022(n>m)，且α,β(α<β)是方程y=0的两实数根，则α，β，m，n的大小关系是（）A．α<m<n<βB．m<α<n<βC．m<α<β<n D．α<m<β<n答案：C分析：根据二次函数图像特点，结合图像平移变换即可得到答案.∵α，β为方程y=0的两实数根，∴α，β为函数y=(x−m)(x−n)+2022的图像与x轴交点的横坐标，令y1=(x−m)(x−n)，∴m，n为函数y1=(x−m)(x−n)的图像与x轴交点的横坐标，易知函数y= (x−m)(x−n)+2022的图像可由y1=(x−m)(x−n)的图像向上平移2022个单位长度得到，所以m<α<β<n.故选:C.4、关于x的不等式ax2−|x|+2a≥0的解集是(−∞,+∞)，则实数a的取值范围为（）A．[√24,+∞)B．(−∞,√24]C．[−√24,√24]D．(−∞,−√24]∪[√24,+∞)答案：A分析：不等式ax2−|x|+2a≥0的解集是(−∞,+∞)，即对于∀x∈R，ax2−|x|+2a≥0恒成立，即a≥|x|x2+2，分x=0和a≠0两种情况讨论，结合基本不等式即可得出答案.解：不等式ax2−|x|+2a≥0的解集是(−∞,+∞)，即对于∀x∈R，ax2−|x|+2a≥0恒成立，即a≥|x|x2+2，当x=0时，a≥0，当a≠0时，a≥|x|x2+2=1|x|+2|x|，因为1|x|+2|x|≤2√|x|⋅2|x|=√24，所以a≥√24，综上所述a∈[√24,+∞). 故选：A.5、不等式1+5x −6x 2>0的解集为（ ）A ．{x|x >1或x <−16}B ．{x |−16<x <1 }C ．{x|x >1或x <−3}D ．{x |−3<x <2 } 答案：B分析：解一元二次不等式，首先确保二次项系数为正，两边同时乘−1，再利用十字相乘法，可得答案， 法一：原不等式即为6x 2−5x −1<0，即(6x +1)(x −1)<0，解得−16<x <1，故原不等式的解集为{x |−16<x <1 }．法二：当x =2时，不等式不成立，排除A ，C ；当x =1时，不等式不成立，排除D ． 故选：B ．6、已知正实数a ，b 满足a +1b=2，则2ab +1a的最小值是（ ）A ．52B ．3C ．92D ．2√2+1 答案：A分析：由已知得， a =2−1b 代入得2ab +1a =2(2b −1)+b2b−1，令2b −1=t ，根据基本不等式可求得答案. 解：因为a +1b=2，所以a =2−1b>0，所以0<b <2 ，所以2ab +1a =2(2−1b )b +b 2b−1=2(2b −1)+b2b−1， 令2b −1=t ，则b =t +12，且−1<t <3 ，所以2ab +1a =2t +t +12t=2t +12t +12≥2√2t ⋅12t +12=52，当且仅当2t =12t ，即t =12，b =34,a =23时，取等号，所以2ab +1a 的最小值是52. 故选：A.7、已知−1≤x +y ≤1,1≤x −y ≤5，则3x −2y 的取值范围是（ ） A ．[2,13]B ．[3,13]C ．[2,10]D ．[5,10] 答案：A分析：设3x −2y =m (x +y )−n (x −y )=(m −n )x +(m +n )y ，求出m,n 的值，根据x +y,x −y 的范围，即可求出答案.设3x −2y =m (x +y )−n (x −y )=(m −n )x +(m +n )y ，所以{m −n =3m +n =−2，解得：{m =12n =−52,3x −2y =12(x +y )+52(x −y ), ， 因为−1≤x +y ≤1,1≤x −y ≤5，所以3x −2y =12(x +y )+52(x −y )∈[2,13]， 故选：A.8、已知a >b >0，下列不等式中正确的是（ ） A ．ca >cb B ．ab <b 2C ．a −b +1a−b ≥2D ．1a−1<1b−1 答案：C分析：由a >b >0，结合不等式的性质及基本不等式即可判断出结论. 解：对于选项A ，因为a >b >0,0<1a<1b，而c 的正负不确定，故A 错误；对于选项B ，因为a >b >0，所以ab >b 2，故B 错误；对于选项C ，依题意a >b >0，所以a −b >0,1a−b >0，所以a −b +1a−b ≥2√(a −b )×1a−b =2，故C 正确； 对于选项D ，因为a >b >0,a −1>b −1>−1,1a−1与1b−1正负不确定，故大小不确定，故D 错误；故选：C. 多选题9、已知函数y =ax 2+bx -3，则下列结论正确的是（ ） A ．关于x 的不等式ax 2+bx -3<0的解集可以是{x |x >3 } B ．关于x 的不等式ax 2+bx -3>0的解集可以是∅C ．函数y =ax 2+bx -3的图象与x 轴正半轴可以有两个交点D ．“关于x 的方程ax 2+bx -3=0有一个正根和一个负根”的充要条件是“a >0” 答案：BCD分析：根据不等式的解集求出a 、b ，再解不等式ax 2+bx -3<0可判断A ；取a =-1，b =0，解不等式-x 2-3>0可判断B ；取a =-1，b =4可判断C ；根据根的分布、充要条件的定义可判断D ． 若不等式ax 2+bx -3<0的解集是{x |x >3}，则a =0且3b -3=0，得b =1，而当a =0，b =1时，不等式ax 2+bx -3<0，即x -3<0，得x <3，与x >3矛盾，故A 错误； 取a =-1，b =0，此时不等式-x 2-3>0的解集为∅，故B 正确；函数y =ax 2+bx -3的图象与x 轴正半轴可以有两个交点,即ax 2+bx -3=0可以有2个正根，取a =-1，b =4，则由y =-x 2+4x -3=0，得x =1或3，故C 正确；若关于x 的方程ax 2+bx -3=0有一个正根和一个负根，则{a ≠0,−3a<0,得a >0，若a >0，则Δ=b 2+12a >0，故关于x 的方程ax 2+bx -3=0有两个不等的实根x 1,x 2， 且x 1x 2=-3a <0，即关于x 的方程ax 2+bx -3=0有一个正根和一个负根．因此“关于x 的方程ax 2+bx -3=0有一个正根和一个负根”的充要条件是“a >0”，故D 正确． 故选：BCD ．10、已知x ，y 是正实数，则下列选项正确的是（ ） A ．若x +y =2，则1x+1y 有最小值2B ．若x +y =3，则x(y +1)有最大值5C ．若4x +y =1，则2√x +√y 有最大值√2D ．x4+y 2x+1y有最小值94答案：AC分析：将已知转化，再利用基本不等式可判断ABC 选项；利用特值法判断选项D 。
一元二次方程解法练习题
一元二次方程解法练习题在数学学习中，我们经常会遇到一元二次方程，它是一个常见而重要的数学概念。
掌握一元二次方程的解法对于解决实际问题和提高数学思维能力都具有重要意义。
在本文中，我们将通过一些练习题来巩固和应用我们对一元二次方程解法的理解。
练习题1：解下列一元二次方程：1. x^2 - 4x + 3 = 02. 2x^2 + 5x - 3 = 03. 3x^2 - 6x - 9 = 04. -x^2 + 7x - 10 = 0练习题2：根据以下条件列出一元二次方程，并求解：1. 已知方程有两个实数解，且解为3和-1。
2. 已知方程有一个实数解x=4，并且另一个解是方程x^2 + bx + c = 0的解。
练习题3：解下列一元二次方程组：1.x^2 - y^2 = 16x + y = 62.2x^2 + xy = 153x - y = 2练习题4：解下列应用题：1. 一个长方形的长比宽多2cm，长方形的周长是26cm，求长和宽分别是多少？2. 小明和小红两人总共获得了36个奖牌，小明获得的奖牌数是小红的两倍，小红获得了几个奖牌？练习题5：解下列一元二次不等式：1. x^2 - 4x > 02. 2x^2 - 3x < 03. x^2 + 6x + 8 ≥ 0以上是一些一元二次方程解法的练习题。
通过解这些题目，我们可以巩固和提高对一元二次方程解法的掌握程度。
在解题过程中，我们要注意将方程转化为标准形式，分离出x的系数、常数项，并应用求根公式或配方法进行求解。
此外，对于一些实际问题，我们需要将问题抽象为一元二次方程，再进行求解。
掌握一元二次方程的解法不仅仅是为了解答数学题目，更重要的是培养我们的逻辑思维和解决实际问题的能力。
通过反复练习和深入理解解题过程，我们可以在数学学习和实际生活中更加灵活地应用一元二次方程解法，进一步提高自己的数学水平。
这些练习题只是一元二次方程解法的一小部分，希望大家能够通过这些练习题加深对一元二次方程解法的理解，提高解题的准确性和效率。
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一元二次方程练习题
1. 解下列方程：（1）2(1)
9x -=； （2）2(21)3x +=；
（3）2(61)250x --=． （4）281(2)16x -=．
2. 用直接开平方法解下列方程：
（1）25(21)
180y -=； （2）21(31)644x +=；
（3）26(2)
1x +=； （4）2()(00)ax c b b a -=≠，≥
3. 填空
（1）28x
x ++（ ）=（x + ）2．（2）223x x -+（ ）＝（x - ）2． （3）2b y y a
-+（ ）＝（y - ）2． 4. 用适当的数（式）填空： 23x x -+ (x =-
2)；2x px -+ ＝(x - 2) 23223(x x x +-=+
2)+
． 5. 用配方法解方程． 23610x x --= 22540x x --=
6. 关于x 的方程22291240x a ab b ---=的根1x = ，2x =
． 7. 用适当的方法解方程（1）23(1)
12x +=； （2）2410y y ++=；
（3）2884x
x -=； （4）2310y y ++=．
（5）
()9322=-x ； （6）162=-x x ；
一元二次不等式
2．一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程2
0(0)ax bx c a ++=>之间判别式ac b 42-=∆ 0>∆ 0=∆
0<∆
二次函数c bx ax y ++=2
（0>a ）的图象
()002>=++a c bx ax
的解集)0(02>>++a c bx ax 的解集)0(02><++a c bx ax
1、把二次项的系数变为正的。
（如果是负，那么在不等式两边都乘以-1，把系数变为正）
2、解对应的一元二次方程。
（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根）
3、求解一元二次不等式。
（根据一元二次方程的根及不等式的方向）
一、解下列一元二次不等式：
1、0652>++x x
2、0652≤--x x
3、01272<++x x
4、0672≥+-x x
5、0122<--x x
6、0122>-+x x
7、2230x x --+≥ 8、0262≤+--x x 9、0532>+-x x
10、0142562≤++x x 11、0941202≤+-x x 11、(2)(3)6x x +-<
11、
x 2-4x+1 3x 2-7x+2
≤1
二、填空题
1、不等式220mx mx +-<的解集为R ，则实数m 的取值范围为 ；
2、若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x R ∈恒成立,则a 的取值范围是______________.
三解答题
1、已知对于任意实数x ，22kx x k -+恒为正数，求实数k 的取值范围．。