高中数学 第二章 平面向量数量积的有关概念详解示例素材 北师大版必修4
必修4平面向量数量积考点归纳
“平面向量”误区警示“平而向呈:”概念繁多容易混淆，对于初学者更是一头雾水.现将与平而向量基本概念相关的误区整理如下.①向量此是育向线段解析：向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.有向线段是向量的一种表示方法，不能说向疑就是有向线段.⑵若向童砸与CD相普，则有向找段AB与CD *含解析：长度相等且方向相同的向疑叫做相等向量.因此，若A B = CD,则有向线段AB与CD 长度相等且方向相同，但它们可以不重合.⑶若AB II CD ,则筑段AB//CD解析：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.故由忑与Cb平行，只能得到线段AB与CD方向相同或相反，它们可能平行也可能共线.购若向爻血与CD共线，则线段AB与CD共线解析:」行向量也叫做共线向量，共线向量就是方向相同或相反的非零向量.故由应与C&共线，只能得到线段AB与CD方向相同或相反，它们可能平行也可能共线.(5)若 a // b, b II 6, flja II c解析：由尹零色量与任一向量平行，故当b = 0时，向量d、2不一定平行.当且仅当亍、6、5都为非零向量时，才有丘II c.⑹若|a| = |6|,则a=6无a=-b解析：也131=1 bl,只能㊇定向的长度相等,不能确定其方向有何关系.当孑与B不共线时，a = b或d=—6都不能成立.⑺草住向董都相等解析：长度等于一个长度单位的向量叫做单位向量，由于单位向量的方向不一左相同，故单位向量也不一定相等.⑻若I 3 | =0,则3 =0解析：向量和实数是两个截然不同的概念，向量组成的集合与实数集合的交集是空集.故若la 1=0,则a = 0 ,不能够说a =0.平面向量数量积四大考点解析考点一.考査概念型问题例1.已知7、I、7是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数( )(1)a ・ b = a - b o a lib ; (2)a,b反向o "・b = — a - bf —> f —> f —> f f f⑶么丄b o a + b = u — b ；(4) a = b <=>"・/? = b-cA. 1B.2C. 3D. 4评注：两向量同向时，夹角为0(或(T )：而反向时，夹角为n (或180°)：两向量垂直时，夹角为90° ,因此当两向量共线时，夹角为0或几，反过来若两向量的夹角为0或兀，则两向量共线.考点二、考査求模问题例2•已知向虽：方=(一2,2加=(5,小，若a + b不超过5,则k的取值范用是_____________评注：本题是已知模的逆向题，运用左义即可求参数的取值范1刊。
北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》平面向量小结与复习
几何意义： 数量积 a · 等于 a 的长度 |a|与 b 在 b
a 的方向上的投影 |b| cosθ的乘积。
B b B b
B
b
O θ
a
B1 A B1
θ
O a
θ
A O (B1)
a
16
A
5、数量积的运算律： ⑴交换律： a b b a ⑵对数乘的结合律： ( a ) b ( a b ) a ( b ) ⑶分配律： ( a b ) c a c b c
= (λ x , λ y)
14
1、平面向量的数量积 （1）a与b的夹角：
a θ b
共同的起点
[00 ，1800] •（2）向量夹角的范围：
• （3）向量垂直：
B B A A O B A O A O B
15
B A
a O θ
O
b
（4）两个非零向量的数量积：
a · = |a| |b| cosθ b
3)向量的表示 4)向量的模（长度）
4
二、向量的运算
1）加法：①两个法则 ②坐标表示
减法: ①法则 ②坐标表示
运算律
注:
AB a , AD b
(1) a
b , 则四边形是什么图形
? ?
( 2) a b
a b , 则四边形是什么图形
5
2)实数λ与向量 a 的积
3)平面向量的数量积：
(1)两向量的交角定义 (2)平面向量数量积的定义 (3)a在b上的投影 (4)平面向量数量积的几何意义 (5)平面向量数量积的运算律
高中数学必修四北师大版 2.4.2 平面向量线性运算的坐标表示ppt课件(17张)
示。 （ 1）向量加减法的坐标等于向量坐 标的加减法 （2）实数与向量的积的坐标等于是属于向 量坐标的积。 （3）一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的 坐标减去 起点坐标。
注意事项
1：任意向量的坐标与表示该向量的有向线段的
起点、终点的具体位置无关系，只与其相对位置
有关。
2：当把坐标原点作为向量的起点，这时向量的
法、减法和实数与向量的积完全代数化，也是学
习向量数量积的基础，因此是平面向量中的重要
内容之一，也是高考中命题的热点内容．在这里，
充分体现了转化和数形结合的思想方法.
误区解密：
(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k； (2)设d＝(x，y)满足(d－c)∥(a＋b)且|d－c|＝1， 求 d.
【解析】
k)．
(1)a＋kc＝(3,2)＋k(4,1)＝(3＋4k,2＋
2b－a＝(－2,4)－(3,2)＝(－5,2)
课堂总结
平面向量的坐标运算承前启后，不仅使向量的加
a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、 ya ，使得 = xi + y j
我们把（x，y）叫做向量a的（直角）坐标，记作 a =（x，y） 其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标
平面向量的坐标运算 自主探究
向量是可以作运算的，运用所学的知识研究两个向 量的和与差的坐标表示，及实数与向量积的坐标表
顶点D的坐标。
预习测评
向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若 A(x，y)， OA 则 (xy 2－ x1， ＝________，若 A(x1， 1)， B(y x22－ ，y y12) )，则 AB ＝
(
________________________.
最新-2021版高中数学人教B版必修四课件：第二单元 233 向量数量积的坐标运算与度量公式 精品
π A.6
√B.π4
π
π
C.3
D.2
解析 ∵|a|＝ 10，|b|＝ 5，a·b＝5，
∴cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝
5 10×
5＝ 22.
又∵a，b的夹角范围为[0，π]，∴a 与 b 的夹角为π4.
12345
解析 答案
2.已知向量B→A＝12， 23，B→C＝ 23，12，则∠ABC 等于
12345
解答
规律与方法
1.平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同 的途径.准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以 优化解题过程.同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形” 转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具. 2.应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何 问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力.
3.注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、 记忆.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，a⊥b⇔x1x2＋ y1y2＝0. 4.事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹 角问题却隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的 概念”和忽视“两向量夹角的范围”，稍不注意就会带来失误与错误.
答案
梳理
设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a·b＝ a1b1＋a2b2 .即两个向量的数量 积等于相应坐标乘积的和.
知识点二 向量模的坐标表示及两点间距离公式
思考
若a＝(a1，a2)，试将向量的模|a|用坐标表示. 答案 ∵a＝(a1，a2)， ∴|a|2＝a·a＝(a1，a2)·(a1，a2) ＝a21＋a22， ∴|a|＝ a21＋a22.
2.4.1[平面向量数量积的物理背景及其含义]课件(苏教版必修4)
![2.4.1[平面向量数量积的物理背景及其含义]课件(苏教版必修4)](https://img.taocdn.com/s3/m/fa3873037cd184254b353539.png)
物理背景及其含义
学法指导
• • • • 1.多动脑筋 2.数形结合 3.总结基本题型 4.限时训练
复习：数乘
b a
(1)| b | | | | a | (2)当 0时 a , b同向;
当 0时 a , b反向.
复习：向量的夹角
a
O
a b
O
θ
θ
例题：
a 8, b 7, C 60，求 BC CA 在△ABC中，
解：
| BC | 8 | CA | 7
A
7
B
60
120
120
8
C
BC CA | BC | | CA | cos120 1 8 7 ( ) 28 2
例题：
a 4, b 9, C 30，求 BC CA 在△ABC中，
• 总结规律：a, b反向 a b | a || b |
a和a的夹角为 0， cos0 1 练习
(1) | a | 2， a a 2 2 4 (2) | a | 10， a a 10 10 100 (3) | a | 8， a a 8 8 64
a | a |2
2
作业
• A.小结 • B.P121 A1（前两个）， A2
1. 2.
3.
a· b=|a| |b| cosθ
数量积几何意义 重要性质
b
0
Oa
0
b
O
a
2
b
Oa
b
我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生 位移s
F θ S
力F所做的功W可用下式计算
(常考题)北师大版高中数学必修四第二章《平面向量》测试(包含答案解析)(1)
【分析】
设 ， ，设 ，则 ，由 ，得到 ， ，再利用 ，得到 ，再设 ，得到 ，根据 ，可解得结果.
【详解】
因为 ，所以可设 ， ，
设 ，则 ，
由 ，得 ，所以 ，
由 ，得 ，化简得 ，所以 ，
所以由 ，得 ，
所以 ，
设 ，则 ，所以 ，
所以 ，
由 ，得 ，解得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为： .
15．已知正方形 的边长为4，若 ，则 的值为_________________.
16．已知圆 ， 点为圆上第一象限内的一个动点，将 逆时针旋转90°得 ，又 ，则 的取值范围为________．
17．已知平面非零向量 ，满足 且 ，已知 ，则 的取值范围是________
18． 中， ， ，且 ，则 ______.
6．C
解析：C
【详解】
由题意可得 ,所以 ,又因为 ,所以 ,选C.
7．B
解析：B
【分析】
根据方程有实根得到 ，利用向量模长关系可求得 ，根据向量夹角所处的范围可求得结果.
【详解】
关于 的方程 有实根
设 与 的夹角为 ，则
又
又
本题正确选项：
【点睛】
本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够利用方程有实根得到关于夹角余弦值的取值范围，从而根据向量夹角范围得到结果.
此时，符合条件的点 有 个.
综上所述，满足题中条件的点 的个数为 .
故选：D.
【点睛】
本题考查符合条件的点的个数的求解，考查了平面向量加法法则的应用，属于中等题.
9．B
解析：B
【分析】
由 知， ，根据平面向量的线性运算可推出
高中数学必修4第二章第六节《平面向量数量积的坐标表示》
2b
2
2 2 x2 y2 , 3a b x1 x2 y1 y2 , 4a b x1 x2 y1 y2 0
其中假命题序号是:
(2)
4.若a 0,1, b 1,1且 a b a, 则实数的值是
A．-1 B.0 C.1 D.2
3、 cos
x1 x2 y1 y2 x1 y1
2 2
x2 y2
2
2
4、 a // b x1y2 x2 y1 0 5、 a b x1 x2 y1 y2 0
6、已知:A（x1,x2),B(x1,x2)则
AB ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ,
学习目标：
1、理解掌握平面向量数量积的坐标表示、 向量的 夹角、模的 公式. 2、掌握两个向量垂直的坐标表示 3、能初步运用向量数量积的坐标表示 解决处理有关长度、垂直及夹角 的几 个问题.
基础训练题
1.有四个式子: 10 a 0, 20 a 0, 3a b a c b c,
a // b x1y2 x2 y1 0
a b x1 x2 y1 y2 0
例３:已知向量a=(-2,-1),b=(λ,1)若a与b 的夹角为钝角,则λ取值范围是多少? 解：由题意可知： -1＜ cos
a b ab
＜0
∴λ∈（—
1 ，2）∪（2，+∞） 2
例４：已知A（1, 2）,B（2,3）,C（－2,5）试判 定△ABC的形状，并给出证明。
cos
x1 x2 y1 y2 x1 y1
2 2
x2 y2
2
2
例2:设a=(2,１),b=(１,３),求a· b及a 与b的夹角
北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》平面向量的应用举例
如图， 例2 如图， ABCD中，点E、F分别 中 、 分别 边的中点， 是AD 、 DC边的中点，BE 、 BF分别 边的中点 分别 交于R 两点， 与AC交于 、 T两点，你能发现 交于 两点 你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？ 之间的关系吗？ 之间的关系吗
D F T B C
猜想： 猜想： AR=RT=TC
平面几何中的向量方法
向量概念和运算， 向量概念和运算，都有明确的物理背 景和几何背景。 景和几何背景。当向量与平面坐标系结合 以后，向量的运算就可以完全转化为“ 以后，向量的运算就可以完全转化为“代 的计算， 数”的计算，这就为我们解决物理问题和 几何研究带来极大的方便。 几何研究带来极大的方便。 由于向量的线性运算和数量积运算具 有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质， 有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质， 如平移、全等、相似、长度、夹角都可以 如平移、全等、相似、长度、 由向量的线性运算及数量积表示出来， 由向量的线性运算及数量积表示出来，因 此，利用向量方法可以解决平面几何中的 一些问题。 一些问题。
A
E
R
u u ur r uuur r uuur r r uuur r AC = a + b A 设= a , A D = b , A R = r , B 解： 则 uuur uuur r r r 共线， 由于 A R 与AC 共线，故设r = n(a + b ), n ∈ R
u u ur u u ur 又因为 E R 与 E B
北师大版高中数学必修 4第二章《平面向量》 第二章《 第二章 平面向量》
教学目标： 一.教学目标： 教学目标 1.知识与技能：（ ）经历用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、 知识与技能：（ 知识与技能：（1）经历用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、 力学问题与其它一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、 力学问题与其它一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物 理问题等的工具.（ ）揭示知识背景，创设问题情景， 理问题等的工具 （2）揭示知识背景，创设问题情景，强化学生的参与意 发展运算能力和解决实际问题的能力. 识；发展运算能力和解决实际问题的能力 2.过程与方法：通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理平面 过程与方法： 过程与方法 通过本节课的学习， 几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具； 几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具；和同学 一起总结方法，巩固强化. 一起总结方法，巩固强化 3.情感态度价值观：通过本节的学习，使同学们对用向量研究几何以及 情感态度价值观： 情感态度价值观 通过本节的学习， 其它学科有了一个初步的认识；提高学生迁移知识的能力、 其它学科有了一个初步的认识；提高学生迁移知识的能力、运算能力和解 决实际问题的能力. 决实际问题的能力 教学重、 二.教学重、难点 教学重 重点: 体现向量的工具作用）， ），用向量的方法解决某些简单的平面几何 重点 （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何 问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用. 问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用 难点: 体现向量的工具作用）， ），用向量的方法解决某些简单的平面几何 难点 （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何 问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用. 问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用 三.学法与教法 学法与教法 (1)自主性学习法 探究式学习法；(2)反馈练习法：以练习来检验知识的 自主性学习法+探究式学习法 反馈练习法： 自主性学习法 探究式学习法； 反馈练习法 应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距 四.教学设想 教学设想
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详解示例：平面向量数量积的有关概念
一.两个向量的夹角： 对于非零向量，，作,OA a OB b == ，AOB θ∠=
()0θπ≤≤称为向量，的夹角，当θ＝0时，，同向，当θ＝π时，，反向，当θ＝2
π时，，垂直。
二.平面向量的数量积： 如果两个非零向量，，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θ 叫做与的数
量积（或内积或点积），记作：∙，即∙＝cos a b θ 。
规定：零向量与任一向量的
数量积是0，注意:数量积是一个实数，不再是一个向量。
如
（1）△ABC 中，3||=−→−AB ，4||=−→−AC ，5||=−→
−BC ，则=⋅BC AB _________ （答：－9）； （2）已知11(1,),(0,),,22a b c a kb d a b ==-=+=- ，c 与d 的夹角为4
π，则k 等于____ （答：1）；
（3）已知2,5,3a b a b ===- ，则a b + 等于____
；
（4）已知,a b 是两个非零向量，且a b a b ==- ，则与a a b + 的夹角为____
（答：30 ）
三.向量在向量上的投影:
为||cos b θ ，它是一个实数，但不一定大于0。
如已知3||=→a ，5||=→b ，且12=⋅→→b a ，
则向量→a 在向量→
b 上的投影为______ （答：5
12） 四.∙的几何意义： 数量积∙等于的模||a 与在上的投影的积。
五.向量数量积的性质： 设两个非零向量a ，b ，其夹角为θ，则：
(1)0a b a b ⊥⇔∙= ；
(2)当a ，b 同向时，a ∙b ＝a b ，特别地，22,a a a a a =∙== ；当a 与b 反向时，a ∙b ＝－a b ；当θ为锐角时，a ∙b ＞0，且 a b 、不同向，θ为锐角可以推出
0a b ⋅> ,但0a b ⋅> 不一定可以推出θ为锐角；当θ为钝角时，∙＜0，且 a b 、不反向，
θ为钝角可以推出0a b ⋅< ,但0a b ⋅< 不一定可以推出θ为钝角;
(3)非零向量a ，b 夹角θ的计算公式：cos a b a b
θ∙= ；④||||||a b a b ∙≤ 。
如 ①已知)2,(λλ=→a ，)2,3(λ=→b ，如果→a 与→b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______ （答：43λ<-或0λ>且13
λ≠）； ②已知OFQ ∆的面积为S ，且1=⋅−→−−→−FQ OF ，若2
321<<S ，则−→−−→−FQ OF ,夹角θ的取值范围是_________ （答：(,)43
ππ）； ③已知(cos ,sin ),(cos ,sin ),a x x b y y == a 与b 之间有关系式
,0ka b kb k +=-> 其中，①用k 表示a b ⋅ ；②求a b ⋅ 的最小值，并求此时a 与b
的夹角θ的大小（答：①21(0)4k a b k k +⋅=> ；②最小值为12
，60θ= ） 六.两个向量的数量积与两个实数的乘积有什么区别？
(1)在实数中：若0≠a ，且ab=0,则b=0,但在向量的数量积中，若→→≠0a ，且0=∙→→b a ，不能推出→→=0b .
(2)已知实数)(,,,o b c b a ≠，且bc ab =，则a=c,但在向量的数量积中没有
→
→→→→→=⇒∙=∙c a c b b a .
(3)在实数中有)()(c b a c b a ∙∙=∙∙，但是在向量的数量积中
)()(→→→→→→∙∙≠∙∙c b a c b a ，这是因为左边是与→c 共线的向量，而右边是与→
a 共线的向量.
七.向量平行(共线)的充要条件： //a b a b λ⇔= 22()(||||)a b a b ⇔⋅= 1212x y y x ⇔-＝0。
如
(1)若向量(,1),(4,)a x b x == ，当x ＝_____时a 与b 共线且方向相同
（答：2）；
（2）已知(1,1),(4,)a b x == ，2u a b =+ ，2v a b =+ ，且//u v ，则x ＝______
（答：4）；
（3）设(,12),(4,5),(10,)PA k PB PC k === ，则k ＝_____时，A,B,C 共线
（答：－2或11）.
八、向量垂直的充要条件：
0||||a b a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔+=- 12120x x y y ⇔+=.特别地
()()AB AC AB AC AB AC AB AC
+⊥- 。
如 (1)已知(1,2),(3,)OA OB m =-= ，若OA OB ⊥ ，则m = （答：32
）； （2）以原点O 和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，90B ∠=︒，则点B 的坐标是________
（答：(1,3)或（3，－1））；
（3）已知(,),n a b = 向量n m ⊥ ，且n m = ，则m 的坐标是________
（答：(,)(,)b a b a --或）.。