2016届高考数学一轮复习 题组层级快练81(含解析)
2016届高考数学一轮复习 题组层级快练3(含解析)
题组层级快练(三)1．(2015·衡水调研)下列命题中正确的是( )A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题B．“x＝5”是“x2－4x－5＝0”的充分不必要条件C．命题“若x<－1，则x2－2x－3>0”的否定为：“若x≥－1，则x2－2x－3≤0”D．已知命题p：∃x∈R，x2＋x－1<0，则綈p：∃x∈R，x2＋x－1≥0答案 B解析若p∨q为真命题，则p，q有可能一真一假，此时p∧q为假命题，故A错；易知由“x＝5”可以得到“x2－4x－5＝0”，但反之不成立，故B正确；选项C错在把命题的否定写成了否命题；特称命题的否定是全称命题，故D错．2．若命题p：x∈A∩B，则綈p：( )A．x∈A且x∉B B．x∉A或x∉BC．x∉A且x∉B D．x∈A∪B答案 B3．(2015·郑州二模)已知命题p：∀x>2，x3－8>0，那么綈p是( )A．∀x≤2，x3－8≤0 B．∃x>2，x3－8≤0C．∀x>2，x3－8≤0 D．∃x≤2，x3－8≤0答案 B解析由“∀→∃，>→≤”，可知綈p是：∃x>2，x3－8≤0，选B.4．命题p：∀x∈[0，＋∞)，(log32)x≤1，则( )A．p是假命题，綈p：∃x0∈[0，＋∞)，(log32)x0>1B．p是假命题，綈p：∀x∈[0，＋∞)，(log32)x≥1C．p是真命题，綈p：∃x0∈[0，＋∞)，(log32)x0>1D．p是真命题，綈p：∀x∈[0，＋∞)，(log32)x≥1答案 C解析因为0<log32<1，所以∀x∈[0，＋∞)，(log32)x≤1.p是真命题，綈p：∃x0∈[0，＋∞)，(log32)x0>1.5．(2014·重庆理)已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是( )A．p∧q B．綈p∧綈qC．綈p∧q D．p∧綈q答案 D解析依题意，命题p是真命题．由x＞2⇒x＞1，而x＞1 x＞2，因此“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，故命题q是假命题，则綈q是真命题，p∧綈q是真命题，选D.6．(2015·潍坊一模)已知命题p，q，“綈p为真”是“p∧q为假”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析因为綈p为真，所以p为假，那么p∧q为假，所以“綈p为真”是“p∧q为假”的充分条件；反过来，若“p∧q为假”，则“p真q假”或“p假q真”或“p假q假”，所以由“p∧q为假”不能推出綈p为真．综上可知，“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件．7．若“綈(p∨q)”为假命题，则( )A．p，q均为真命题B．p，q均为假命题C．p，q中至少有一个为真命题D．p，q中至多有一个为真命题答案 C解析綈(p∨q)为假命题，则p∨q为真命题，所以，根据真值表，故选C.8．已知命题p：∃x∈R，mx2＋1≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0，若p∧q为真命题，则实数m的取值范围是( )A．(－∞，－2) B．[－2,0)C．(－2,0) D．(0,2)答案 C解析由题可知若p∧q为真命题，则命题p和命题q均为真命题，对于命题p为真，则m<0，对于命题q为真，则m2－4<0，即－2<m<2，所以命题p和命题q均为真命题时，实数m的取值范围是(－2,0)．故选C.9．已知命题p：|x－1|≥2，命题q：x∈Z，若“p且q”与“非q”同时为假命题，则满足条件的x 为( )A．{x|x≥3或x≤－1，x∈Z}B．{x|－1≤x≤3，x∈Z}C．{0,1,2}D．{－1,0,1,2,3}答案 C解析由题意知q真，p假，∴|x－1|<2.∴－1<x<3且x∈Z.∴x＝0,1,2.10．已知p：1x2－x－2>0，则綈p对应的x的集合为________．答案{x|－1≤x≤2}解析p：1x2－x－2>0⇔x>2或x<－1，∴綈p：－1≤x≤2.11．已知命题p ，若ab ＝0，则a ＝0，则綈p 为________；命题p 的否命题为________． 答案 若ab ＝0，则a ≠0；若ab ≠0，则a ≠0.12．命题“存在实数x 0，y 0，使得x 0＋y 0>1”，用符号表示为________；此命题的否定是________(用符号表示)，是________(填“真”或“假”)命题．答案 ∃x 0，y 0∈R ，x 0＋y 0>1；∀x ，y ∈R ，x ＋y ≤1；假13．若命题“存在实数x ，使x 2＋ax ＋1<0”的否定是假命题，则实数a 的取值范围为________． 答案 a <－2或a >2解析 因为命题“存在实数x ，使x 2＋ax ＋1<0”的否定是假命题，所以命题“存在实数x ，使x 2＋ax ＋1<0”是真命题，所以a 2－4>0，解得a <－2或a >2.14．已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数，p 2：函数y ＝2x ＋2－x在R 上为减函数． 则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(綈p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(綈p 2)中，真命题是________． 答案 q 1，q 4解析 p 1是真命题，则綈p 1为假命题；p 2是假命题，则綈p 2为真命题． ∴q 1：p 1∨p 2是真命题，q 2：p 1∧p 2是假命题．∴q 3：(綈p 1)∨p 2为假命题，q 4：p 1∧(綈p 2)为真命题． ∴真命题是q 1，q 4.15．若f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a >0)，∀x 1∈[－1,2]，∃x 0∈[－1,2]，使g (x 1)＝f (x 0)，则实数a 的取值范围是________．答案 (0，12]解析 由于函数g (x )在定义域[－1,2]内是任意取值的，且必存在x 0∈[－1,2]，使得g (x 1)＝f (x 0)，因此问题等价于函数g (x )的值域是函数f (x )值域的子集．函数f (x )的值域是[－1,3]，函数g (x )的值域是[2－a,2＋2a ]，则有2－a ≥－1且2＋2a ≤3，即a ≤12.又a >0，故a 的取值范围是(0，12]．16．已知a >0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递增；命题q ：不等式ax 2－ax ＋1>0对∀x ∈R 恒成立．若p 且q 为假，p 或q 为真，求实数a 的取值范围．答案 (0,1]∪[4，＋∞)解析 ∵y ＝a x在R 上单调递增，∴p ：a >1. 又不等式ax 2－ax ＋1>0对∀x ∈R 恒成立， ∴Δ<0，即a 2－4a <0，∴0<a <4. ∴q ：0<a <4.而命题p 且q 为假，p 或q 为真，那么p ，q 中有且只有一个为真，一个为假． (1)若p 真，q 假，则a ≥4； (2)若p 假，q 真，则0<a ≤1.所以a 的取值范围为(0,1]∪[4，＋∞)．17．(2015·吉林大学附中一模)设a 为实常数，y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝9x ＋a 2x＋7.若“∃x ∈[0，＋∞)，f (x )<a ＋1”是假命题，求实数a 的取值范围．答案 a ≤－87解析 y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，故可求解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋a 2x－7，x >0，0，x ＝0，9x ＋a 2x ＋7，x <0.又“∃x ≥0，f (x )<a ＋1”是假命题，则∀x ≥0，f (x )≥a ＋1是真命题，①当x ＝0时，0≥a ＋1，解得a ≤－1；②当x >0时，9x ＋a 2x －7≥a ＋1，结合基本不等式有6|a |－7≥a ＋1，得a ≥85或a ≤－87，①②取交集得a 的取值范围是a ≤－87.1．设命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1>0，则綈p 为( ) A ．∃x 0∈R ，x 20＋1>0 B ．∃x 0∈R ，x 20＋1≤0 C ．∃x 0∈R ，x 20＋1<0 D ．∀x ∈R ，x 2＋1≤0答案 B解析 由已知，该命题是一个全称命题，故其否定是一个特称命题，则綈p ：∃x 0∈R ，x 20＋1≤0.故选B.2．命题“∃x 0∈∁R Q ，x 30∈Q ”的否定是( ) A ．∃x 0∉∁R Q ，x 30∈Q B ．∃x 0∈∁R Q ，x 30∈Q C ．∀x ∉∁R Q ，x 3∈Q D ．∀x ∈∁R Q ，x 3∉Q答案 D解析 该特称命题的否定为“∀x ∈∁R Q ，x 3∉Q ”．3．若∀a ∈(0，＋∞)，∃θ∈R ，使a sin θ≥a 成立，则cos(θ－π6)的值为________．答案 12解析 因为∀a ∈(0，＋∞)，∃θ∈R ，使a sin θ≥a 成立，所以sin θ≥1.又sin θ∈[－1,1]，所以sin θ＝1，故θ＝π2＋2k π(k ∈Z )．所以cos(θ－π6)＝cos[(π2＋2k π)－π6]＝cos(π3＋2k π)＝cosπ3＝12. 4．对于中国足球队参与的某次大型赛事，有三名观众对结果作如下猜测：甲：中国非第一名，也非第二名；乙：中国非第一名，而是第三名；丙：中国非第三名，而是第一名．竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球队得了第________名．答案 一解析 由上可知：甲、乙、丙均为“p 且q ”形式，所以猜对一半者也说了错误“命题”，即只有一个为真，所以可知是丙是真命题，因此中国足球队得了第一名．5．设命题p ：若a >b ，则1a <1b ；命题q ：1ab<0⇔ab <0.给出下面四个复合命题：①p ∨q ；②p ∧q ；③(綈p )∧(綈q )；④(綈p )∨(綈q )．其中真命题的个数有________个．答案 2解析 p 假，q 真，故①④真．。
2016届高考数学一轮复习 题组层级快练10(含解析)
题组层级快练(十)1．(2015·四川泸州一诊)2lg2－lg 125的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 2lg2－lg 125＝lg(22÷125)＝lg100＝2，故选B.2．(log 29)·(log 34)＝( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4答案 D解析 原式＝(log 232)·(log 322)＝4(log 23)·(log 32)＝4·lg3lg2·lg2lg3＝4.3．(2015·石家庄一模)已知a ＝312，b ＝log 1312，c ＝log 213，则( )A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >b >aD ．b >a >c答案 A解析 因为312>1,0<log 1312<1，c ＝log 213<0，所以a >b >c ，故选A.4．已知函数f (x )＝2＋log 2x ，x ∈[1,2]，则函数y ＝f (x )＋f (x 2)的值域为( ) A ．[4,5] B ．[4，112]C ．[4，132]D ．[4,7]答案 B解析 y ＝f (x )＋f (x 2)＝2＋log 2x ＋2＋log 2x 2＝4＋3log 2x ，注意到为使得y ＝f (x )＋f (x 2)有意义，必有1≤x 2≤2，得1≤x ≤2，从而4≤y ≤112.5．(2014·四川文)已知b >0，log 5b ＝a ，lg b ＝c,5d＝10，则下列等式一定成立的是( ) A ．d ＝ac B ．a ＝cd C ．c ＝ad D ．d ＝a ＋c答案 B解析 由已知得5a ＝b,10c ＝b ，∴5a ＝10c,5d ＝10，∴5dc ＝10c ，则5dc ＝5a，∴dc ＝a ，故选B. 6．若x ∈(e －1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a答案 C 解析 由x ∈(e －1,1)，得－1<ln x <0，a －b ＝－ln x >0，a >b ，a －c ＝ln x (1－ln 2x )<0，a <c ，因此有b <a <c ，选C.7．若点(a ，b )在y ＝lg x 图像上，a ≠1，则下列点也在此图像上的是( ) A ．(1a，b )B ．(10a,1－b )C ．(10a，b ＋1)D ．(a 2,2b )答案 D解析 当x ＝a 2时，y ＝lg a 2＝2lg a ＝2b ，所以点(a 2,2b )在函数y ＝lg x 图像上． 8．设log b N ＜log a N ＜0，N ＞1，且a ＋b ＝1，则必有( ) A ．1＜a ＜b B ．a ＜b ＜1 C ．1＜b ＜a D ．b ＜a ＜1答案 B解析 ∵0＞log a N ＞log b N ⇒log N b ＞log N a ，∴a ＜b ＜1.9．若0<a <1，则在区间(0,1)上函数f (x )＝log a (x ＋1)是( ) A ．增函数且f (x )>0 B ．增函数且f (x )<0 C ．减函数且f (x )>0 D ．减函数且f (x )<0答案 D解析 ∵0<a <1时，y ＝log a u 为减函数，又u ＝x ＋1增函数，∴f (x )为减函数；又0<x <1时，x ＋1>1，又0<a <1，∴f (x )<0.选D.10．函数f (x )＝2|log2x |的图像大致是( )答案 C解析 ∵f (x )＝2|log2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥1，1x，0<x <1，∴选C.11．设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．b ＞a ＞c D ．b ＞c ＞a答案 A解析 ∵a ＝log 3π＞log 33＝1，b ＝log 23＜log 22＝1，∴a ＞b .又b c ＝12log 2312log 32＝(log 23)2＞1，∴b ＞c .故a ＞b ＞c .选A.12．若0＜a ＜1，则不等式1log a x＞1的解是( ) A ．x ＞a B ．a ＜x ＜1 C ．x ＞1 D ．0＜x ＜a答案 B解析 易得0＜log a x ＜1，∴a ＜x ＜1.13．若log a (x ＋1)>log a (x －1)，则x ∈________，a ∈________. 答案 (1，＋∞) (1，＋∞)14．若log a (a 2＋1)＜log a 2a ＜0，则实数a 的取值范围是__________． 答案 (12，1)解析 ∵a 2＋1＞1，log a (a 2＋1)＜0，∴0＜a ＜1. 又log a 2a ＜0，∴2a ＞1，∴a ＞12.∴实数a 的取值范围是(12，1)．15．若函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >0，且a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a ＝________. 答案 2解析 f (x )＝log a (x ＋1)的定义域是[0,1]，∴0≤x ≤1，则1≤x ＋1≤2. 当a >1时，0＝log a 1≤log a (x ＋1)≤log a 2＝1，∴a ＝2；当0<a <1时，log a 2≤log a (x ＋1)≤log a 1＝0，与值域是[0,1]矛盾． 综上，a ＝2.16．(2015·广东韶关调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．答案 a >1解析 如图，在同一坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图像，其中a 表示直线在y 轴上的截距，由图可知，当a >1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝log 2x 只有一个交点．17．设函数f (x )＝|lg x |，(1)若0<a <b 且f (a )＝f (b )．证明：a ·b ＝1； (2)若0＜a ＜b 且f (a )＞f (b )．证明：ab ＜1. 答案 略解析 (1)由|lg a |＝|lg b |，得－lg a ＝lg b .∴ab ＝1. (2)由题设f (a )＞f (b )，即|lg a |＞|lg b |.上式等价于(lg a )2＞(lg b )2，即(lg a ＋lg b )(lg a －lg b )＞0，lg(ab )lg ab ＞0，由已知b ＞a ＞0，得0＜a b＜1.∴lg a b＜0，故lg(ab )＜0.∴ab ＜1.18．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的取值范围． 答案 (1){x |－1<x <1} (2)奇函数 (3){x |0<x <1}解析 (1)f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1.故所求定义域为{x |－1<x <1}． (2)f (x )为奇函数．证明如下： 由(1)知f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )． 故f (x )为奇函数．(3)由f (x )>0，得log a (x ＋1)－log a (1－x )>0. ∴log a (x ＋1)>log a (1－x )．又a >1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，x ＋1>1－x ，解得0<x <1.所以使f (x )>0的x 的取值范围是{x |0<x <1}．若a >0且a ≠1，x >y >0，n ∈N *，则下列各式：①(log a x )n ＝n log a x ；②(log a x )n ＝log a x n；③log a x ＝－log a 1x ；④n log a x ＝1n log a x ；⑤log a x n＝log a n x ；⑥log ax －y x ＋y ＝－log a x ＋yx －y.其中正确的有________．答案③⑤⑥。
2016届高考数学一轮复习 题组层级快练3(含解析)
题组层级快练(三)1．(2015·衡水调研)下列命题中正确的是( )A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题B．“x＝5”是“x2－4x－5＝0”的充分不必要条件C．命题“若x<－1，则x2－2x－3>0”的否定为：“若x≥－1，则x2－2x－3≤0”D．已知命题p：∃x∈R，x2＋x－1<0，则綈p：∃x∈R，x2＋x－1≥0答案 B解析若p∨q为真命题，则p，q有可能一真一假，此时p∧q为假命题，故A错；易知由“x＝5”可以得到“x2－4x－5＝0”，但反之不成立，故B正确；选项C错在把命题的否定写成了否命题；特称命题的否定是全称命题，故D错．2．若命题p：x∈A∩B，则綈p：( )A．x∈A且x∉B B．x∉A或x∉BC．x∉A且x∉B D．x∈A∪B答案 B3．(2015·郑州二模)已知命题p：∀x>2，x3－8>0，那么綈p是( )A．∀x≤2，x3－8≤0 B．∃x>2，x3－8≤0C．∀x>2，x3－8≤0 D．∃x≤2，x3－8≤0答案 B解析由“∀→∃，>→≤”，可知綈p是：∃x>2，x3－8≤0，选B.4．命题p：∀x∈[0，＋∞)，(log32)x≤1，则( )A．p是假命题，綈p：∃x0∈[0，＋∞)，(log32)x0>1B．p是假命题，綈p：∀x∈[0，＋∞)，(log32)x≥1C．p是真命题，綈p：∃x0∈[0，＋∞)，(log32)x0>1D．p是真命题，綈p：∀x∈[0，＋∞)，(log32)x≥1答案 C解析因为0<log32<1，所以∀x∈[0，＋∞)，(log32)x≤1.p是真命题，綈p：∃x0∈[0，＋∞)，(log32)x0>1.5．(2014·重庆理)已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是( )A．p∧q B．綈p∧綈qC．綈p∧q D．p∧綈q答案 D解析依题意，命题p是真命题．由x＞2⇒x＞1，而x＞1 x＞2，因此“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，故命题q是假命题，则綈q是真命题，p∧綈q是真命题，选D.6．(2015·潍坊一模)已知命题p，q，“綈p为真”是“p∧q为假”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析因为綈p为真，所以p为假，那么p∧q为假，所以“綈p为真”是“p∧q为假”的充分条件；反过来，若“p∧q为假”，则“p真q假”或“p假q真”或“p假q假”，所以由“p∧q为假”不能推出綈p为真．综上可知，“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件．7．若“綈(p∨q)”为假命题，则( )A．p，q均为真命题B．p，q均为假命题C．p，q中至少有一个为真命题D．p，q中至多有一个为真命题答案 C解析綈(p∨q)为假命题，则p∨q为真命题，所以，根据真值表，故选C.8．已知命题p：∃x∈R，mx2＋1≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0，若p∧q为真命题，则实数m的取值范围是( )A．(－∞，－2) B．[－2,0)C．(－2,0) D．(0,2)答案 C解析由题可知若p∧q为真命题，则命题p和命题q均为真命题，对于命题p为真，则m<0，对于命题q为真，则m2－4<0，即－2<m<2，所以命题p和命题q均为真命题时，实数m的取值范围是(－2,0)．故选C.9．已知命题p：|x－1|≥2，命题q：x∈Z，若“p且q”与“非q”同时为假命题，则满足条件的x 为( )A．{x|x≥3或x≤－1，x∈Z}B．{x|－1≤x≤3，x∈Z}C．{0,1,2}D．{－1,0,1,2,3}答案 C解析由题意知q真，p假，∴|x－1|<2.∴－1<x<3且x∈Z.∴x＝0,1,2.10．已知p：1x2－x－2>0，则綈p对应的x的集合为________．答案{x|－1≤x≤2}解析p：1x2－x－2>0⇔x>2或x<－1，∴綈p：－1≤x≤2.11．已知命题p ，若ab ＝0，则a ＝0，则綈p 为________；命题p 的否命题为________． 答案 若ab ＝0，则a ≠0；若ab ≠0，则a ≠0.12．命题“存在实数x 0，y 0，使得x 0＋y 0>1”，用符号表示为________；此命题的否定是________(用符号表示)，是________(填“真”或“假”)命题．答案 ∃x 0，y 0∈R ，x 0＋y 0>1；∀x ，y ∈R ，x ＋y ≤1；假13．若命题“存在实数x ，使x 2＋ax ＋1<0”的否定是假命题，则实数a 的取值范围为________． 答案 a <－2或a >2解析 因为命题“存在实数x ，使x 2＋ax ＋1<0”的否定是假命题，所以命题“存在实数x ，使x 2＋ax ＋1<0”是真命题，所以a 2－4>0，解得a <－2或a >2.14．已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数，p 2：函数y ＝2x ＋2－x在R 上为减函数． 则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(綈p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(綈p 2)中，真命题是________． 答案 q 1，q 4解析 p 1是真命题，则綈p 1为假命题；p 2是假命题，则綈p 2为真命题． ∴q 1：p 1∨p 2是真命题，q 2：p 1∧p 2是假命题．∴q 3：(綈p 1)∨p 2为假命题，q 4：p 1∧(綈p 2)为真命题． ∴真命题是q 1，q 4.15．若f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a >0)，∀x 1∈[－1,2]，∃x 0∈[－1,2]，使g (x 1)＝f (x 0)，则实数a 的取值范围是________．答案 (0，12]解析 由于函数g (x )在定义域[－1,2]内是任意取值的，且必存在x 0∈[－1,2]，使得g (x 1)＝f (x 0)，因此问题等价于函数g (x )的值域是函数f (x )值域的子集．函数f (x )的值域是[－1,3]，函数g (x )的值域是[2－a,2＋2a ]，则有2－a ≥－1且2＋2a ≤3，即a ≤12.又a >0，故a 的取值范围是(0，12]．16．已知a >0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递增；命题q ：不等式ax 2－ax ＋1>0对∀x ∈R 恒成立．若p 且q 为假，p 或q 为真，求实数a 的取值范围．答案 (0,1]∪[4，＋∞)解析 ∵y ＝a x在R 上单调递增，∴p ：a >1. 又不等式ax 2－ax ＋1>0对∀x ∈R 恒成立， ∴Δ<0，即a 2－4a <0，∴0<a <4. ∴q ：0<a <4.而命题p 且q 为假，p 或q 为真，那么p ，q 中有且只有一个为真，一个为假． (1)若p 真，q 假，则a ≥4； (2)若p 假，q 真，则0<a ≤1.所以a 的取值范围为(0,1]∪[4，＋∞)．17．(2015·吉林大学附中一模)设a 为实常数，y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝9x ＋a 2x＋7.若“∃x ∈[0，＋∞)，f (x )<a ＋1”是假命题，求实数a 的取值范围．答案 a ≤－87解析 y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，故可求解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋a 2x－7，x >0，0，x ＝0，9x ＋a 2x ＋7，x <0.又“∃x ≥0，f (x )<a ＋1”是假命题，则∀x ≥0，f (x )≥a ＋1是真命题，①当x ＝0时，0≥a ＋1，解得a ≤－1；②当x >0时，9x ＋a 2x －7≥a ＋1，结合基本不等式有6|a |－7≥a ＋1，得a ≥85或a ≤－87，①②取交集得a 的取值范围是a ≤－87.1．设命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1>0，则綈p 为( ) A ．∃x 0∈R ，x 20＋1>0 B ．∃x 0∈R ，x 20＋1≤0 C ．∃x 0∈R ，x 20＋1<0 D ．∀x ∈R ，x 2＋1≤0答案 B解析 由已知，该命题是一个全称命题，故其否定是一个特称命题，则綈p ：∃x 0∈R ，x 20＋1≤0.故选B.2．命题“∃x 0∈∁R Q ，x 30∈Q ”的否定是( ) A ．∃x 0∉∁R Q ，x 30∈Q B ．∃x 0∈∁R Q ，x 30∈Q C ．∀x ∉∁R Q ，x 3∈Q D ．∀x ∈∁R Q ，x 3∉Q答案 D解析 该特称命题的否定为“∀x ∈∁R Q ，x 3∉Q ”．3．若∀a ∈(0，＋∞)，∃θ∈R ，使a sin θ≥a 成立，则cos(θ－π6)的值为________．答案 12解析 因为∀a ∈(0，＋∞)，∃θ∈R ，使a sin θ≥a 成立，所以sin θ≥1.又sin θ∈[－1,1]，所以sin θ＝1，故θ＝π2＋2k π(k ∈Z )．所以cos(θ－π6)＝cos[(π2＋2k π)－π6]＝cos(π3＋2k π)＝cosπ3＝12. 4．对于中国足球队参与的某次大型赛事，有三名观众对结果作如下猜测：甲：中国非第一名，也非第二名；乙：中国非第一名，而是第三名；丙：中国非第三名，而是第一名．竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球队得了第________名．答案 一解析 由上可知：甲、乙、丙均为“p 且q ”形式，所以猜对一半者也说了错误“命题”，即只有一个为真，所以可知是丙是真命题，因此中国足球队得了第一名．5．设命题p ：若a >b ，则1a <1b ；命题q ：1ab<0⇔ab <0.给出下面四个复合命题：①p ∨q ；②p ∧q ；③(綈p )∧(綈q )；④(綈p )∨(綈q )．其中真命题的个数有________个．答案 2解析 p 假，q 真，故①④真．。
2016届高考数学一轮复习 题组层级快练60(含解析)
题组层级快练(六十)1．以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，半径为2的圆的方程为( ) A ．x 2＋y 2－2x －1＝0 B ．x 2＋y 2－2x －3＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －1＝0 D ．x 2＋y 2＋2x －3＝0答案 B解析 ∵抛物线y 2＝4x 的焦点是(1,0)，∴圆的标准方程是(x －1)2＋y 2＝4，展开得x 2＋y 2－2x －3＝0.2．若圆(x ＋3)2＋(y －1)2＝1关于直线l ：mx ＋4y －1＝0对称，则直线l 的斜率为( ) A ．4 B ．－4 C.14 D ．－14答案 D解析 依题意，得直线mx ＋4y －1＝0经过点(－3,1)， 所以－3m ＋4－1＝0.所以m ＝1.故直线l 的斜率为－14.3．过点P (0,1)与圆x 2＋y 2－2x －3＝0相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是( ) A ．x ＝0 B ．y ＝1 C ．x ＋y －1＝0 D ．x －y ＋1＝0答案 C解析 依题意得所求直线是经过点P (0,1)及圆心(1,0)的直线，因此所求直线方程是x ＋y ＝1，即x ＋y －1＝0，选C.4．过点A (1，－1)，B (－1,1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4 B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4 D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4答案 C解析 设圆心C 的坐标为(a ，b )，半径为r . ∵圆心C 在直线x ＋y －2＝0上，∴b ＝2－a . ∵|CA |2＝|CB |2，∴(a －1)2＋(2－a ＋1)2＝(a ＋1)2＋(2－a －1)2. ∴a ＝1，b ＝1.∴r ＝2. ∴方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.5．(2015·四川成都外国语学校)已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1 D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1答案 B解析 C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(－1,1)，它关于直线x －y －1＝0对称的点为(2，－2)，对称后半径不变，所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.6．(2015·山东青岛一模)若过点P (1，3)作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A 和B ，则弦长|AB |＝( )A. 3 B ．2 C. 2 D ．4答案 A解析 如图所示，∵PA ，PB 分别为圆O ：x 2＋y 2＝1的切线，∴OA ⊥AP .∵P (1，3)，O (0,0)， ∴|OP |＝1＋3＝2. 又∵|OA |＝1，∴在Rt △APO 中，cos ∠AOP ＝12.∴∠AOP ＝60°，∴|AB |＝2|AO |sin ∠AOP ＝ 3.7．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．5 2B ．10 2C ．15 2D ．20 2答案 B解析 圆的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10，则圆心(1,3)，半径r ＝10，由题意知AC ⊥BD ，且|AC |＝210，|BD |＝210－5＝25，所以四边形ABCD 的面积为S ＝12|AC |·|BD |＝12×210×25＝10 2. 8．已知点P 在圆x 2＋y 2＝5上，点Q (0，－1)，则线段PQ 的中点的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2－x ＝0 B ．x 2＋y 2＋y －1＝0 C ．x 2＋y 2－y －2＝0 D ．x 2＋y 2－x ＋y ＝0答案 B解析 设P (x 0，y 0)，PQ 中点的坐标为(x ，y )，则x 0＝2x ，y 0＝2y ＋1，代入圆的方程即得所求的方程是4x 2＋(2y ＋1)2＝5，化简，得x 2＋y 2＋y －1＝0.9．已知两点A (0，－3)，B (4,0)，若点P 是圆x 2＋y 2－2y ＝0上的动点，则△ABP 面积的最小值为( ) A ．6 B.112 C ．8 D.212答案 B解析 如图，过圆心C 向直线AB 作垂线交圆于点P ，连接BP ，AP ，这时△ABP 的面积最小．直线AB 的方程为x 4＋y－3＝1，即3x －4y －12＝0，圆心C 到直线AB 的距离为d ＝|3×0－4×1－12|32＋－2＝165， ∴△ABP 的面积的最小值为12×5×(165－1)＝112.10．在平面直角坐标系中，若动点M (x ，y )满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，y －1≥0，动点Q 在曲线(x －1)2＋y 2＝12上，则|MQ |的最小值为( )A. 2B.322C ．1－22D.5－12答案 C解析 作出平面区域，由图形可知|MQ |的最小值为1－22.11．以直线3x －4y ＋12＝0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为________． 答案 (x ＋2)2＋(y －32)2＝254解析 对于直线3x －4y ＋12＝0，当x ＝0时，y ＝3；当y ＝0时，x ＝－4.即以两点(0,3)，(－4,0)为端点的线段为直径，则r ＝32＋422＝52，圆心为(－42，32)，即(－2，32)．∴圆的方程为(x ＋2)2＋(y －32)2＝254.12．从原点O 向圆C ：x 2＋y 2－6x ＋274＝0作两条切线，切点分别为P ，Q ，则圆C 上两切点P ，Q 间的劣弧长为________．答案 π解析 如图，圆C ：(x －3)2＋y 2＝94，所以圆心C (3,0)，半径r ＝32.在Rt △POC 中，∠POC ＝π6.则劣弧PQ 所对圆心角为2π3.弧长为23π×32＝π.13．设圆C 同时满足三个条件：①过原点；②圆心在直线y ＝x 上；③截y 轴所得的弦长为4，则圆C 的方程是________．答案 (x ＋2)2＋(y ＋2)2＝8或(x －2)2＋(y －2)2＝8 解析 由题意可设圆心A (a ，a )，如图，则22＋22＝2a 2，解得a ＝±2，r 2＝2a 2＝8.所以圆C 的方程是(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝8或(x －2)2＋(y －2)2＝8.14．一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且在直线y ＝x 上截得的弦长为27，求此圆的方程．答案 x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0解析 方法一：∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上，且与y 轴相切， ∴设所求圆的圆心为C (3a ，a )，半径为r ＝3|a |.又圆在直线y ＝x 上截得的弦长为27， 圆心C (3a ，a )到直线y ＝x 的距离为d ＝|3a －a |12＋12.∴有d 2＋(7)2＝r 2.即2a 2＋7＝9a 2，∴a ＝±1. 故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9. 方法二：设所求的圆的方程是(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则圆心(a ，b )到直线x －y ＝0的距离为|a －b |2.∴r 2＝(|a －b |2)2＋(7)2.即2r 2＝(a －b )2＋14.①由于所求的圆与y 轴相切，∴r 2＝a 2.② 又因为所求圆心在直线x －3y ＝0上， ∴a －3b ＝0.③ 联立①②③，解得a ＝3，b ＝1，r 2＝9或a ＝－3，b ＝－1，r 2＝9.故所求的圆的方程是(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9. 方法三：设所求的圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，圆心为(－D 2，－E 2)，半径为12D 2＋E 2－4F .令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0.由圆与y 轴相切，得Δ＝0，即E 2＝4F .④又圆心(－D 2，－E2)到直线x －y ＝0的距离为|－D 2＋E2|2，由已知，得⎝⎛⎭⎪⎪⎫|－D 2＋E 2|22＋(7)2＝r 2，即(D －E )2＋56＝2(D 2＋E 2－4F )．⑤ 又圆心(－D 2，－E2)在直线x －3y ＝0上，∴D －3E ＝0.⑥ 联立④⑤⑥，解得D ＝－6，E ＝－2，F ＝1或D ＝6，E ＝2，F ＝1.故所求圆的方程是x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.15．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程． 答案 (1)x ＋y －3＝0(2)(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40 解析 (1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)， ∴直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0. (2)设圆心P (a ，b )，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又直径|CD |＝410， ∴|PA |＝210. ∴(a ＋1)2＋b 2＝40.由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)．∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40. 16．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－2y ＝0. (1)求2x ＋y 的取值范围；(2)若x ＋y ＋c ≥0恒成立，求实数c 的取值范围． 答案 (1)1－5≤2x ＋y ≤1＋ 5 (2)c ≥2－1解析 (1)方法一：圆x 2＋(y －1)2＝1的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ，∴2x ＋y ＝2cos θ＋sin θ＋1. ∵－5≤2cos θ＋sin θ≤5， ∴1－5≤2x ＋y ≤5＋1.方法二：2x ＋y 可看作直线y ＝－2x ＋b 在y 轴的截距，当直线与圆相切时b 取最值，此时|2×0＋1－b |5＝1.∴b ＝1±5，∴1－5≤2x ＋y ≤1＋ 5.(2)∵x ＋y ＝cos θ＋1＋sin θ＝2sin(θ＋π4)＋1，∴x ＋y ＋c 的最小值为1－2＋c . ∴x ＋y ＋c ≥0恒成立等价于1－2＋c ≥0. ∴c 的取值范围为c ≥2－1.1．将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y ＋3＝0答案 C解析 因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选C.2．设A (0,0)，B (1,1)，C (4,2)，若线段AD 是△ABC 外接圆的直径，则点D 的坐标是( ) A ．(－8,6) B ．(8，－6) C ．(4，－6) D ．(4，－3)答案 B解析 线段AB 的垂直平分线x ＋y －1＝0与线段AC 的垂直平分线2x ＋y －5＝0的交点即圆心(4，－3)，直径为10，易得点D 的坐标为(8，－6)．3．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴相切，则该圆的标准方程是( ) A ．(x －3)2＋(y －73)2＝1B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D ．(x －32)2＋(y －1)2＝1答案 B解析 设圆心为(a,1)，由已知得d ＝|4a －3|5＝1，∴a ＝2(舍－12)．4．圆心在抛物线x 2＝2y (x >0)上，并且与抛物线的准线及y 轴均相切的圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2－x －2y －14＝0B ．x 2＋y 2＋x －2y ＋1＝0 C ．x 2＋y 2－x －2y ＋1＝0 D ．x 2＋y 2－2x －y ＋14＝0答案 D解析 ∵圆心在抛物线上，∴设圆心(a ，a 22)．∴圆的方程为(x －a )2＋(y －a 22)2＝r 2.∴x 2＋y 2－2ax －a 2y ＋a 2＋a 44－r 2＝0.对比A ，B ，C ，D 项，仅D 项x ，y 前系数符合条件．5．若方程16－x 2－x －m ＝0有实数解，则实数m 的取值范围为( ) A ．－42≤m ≤4 2 B ．－4≤m ≤4 2 C ．－4≤m ≤4 D ．4≤m ≤4 2答案 B解析 由题意知方程16－x 2＝x ＋m 有实数解，分别作出y ＝16－x 2与y ＝x ＋m 的图像，若两图像有交点，需－4≤m ≤4 2.6．若直线l ：4x －3y －12＝0与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，O 为坐标原点，则△AOB 内切圆的方程为________．答案 (x －1)2＋(y ＋1)2＝1解析 由题意知，A (3,0)，B (0，－4)，则|AB |＝5.∴△AOB 的内切圆半径r ＝3＋4－52＝1，内切圆的圆心坐标为(1，－1)．∴内切圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1.7．已知圆C 的方程为x 2＋y 2－mx －2my ＝0(m ≠0)，以下关于这个圆的叙述中，所有正确命题的序号是________．①圆C 必定经过坐标原点；②圆C 的圆心不可能在第二象限或第四象限； ③y 轴被圆C 所截得的弦长为2m ；④直线y ＝x 与y 轴的夹角的平分线必过圆心． 答案 ①②8．(2015·吉林长春一调)若圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，则由点(a ，b )向圆所作的切线长的最小值为________．答案 4解析 圆C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝2，圆心坐标为C (－1,2)代入直线2ax ＋by ＋6＝0，得－2a ＋2b ＋6＝0即点(a ，b )在直线x －y －3＝0上．过C (－1,2)作l 的垂线，垂足设为D ，过D 作圆C 的切线，切点设为E ，则切线长|DE |最短，于是有|CE |＝2，|CD |＝|6|2＝32，∴切线长|DE |＝|CD |2－r 2＝4.9．在直角坐标系xOy 中，以M (－1,0)为圆心的圆与直线x －3y －3＝0相切． (1)求圆M 的方程；(2)如果圆M 上存在两点关于直线mx ＋y ＋1＝0对称，求实数m 的值．(3)已知A (－2,0)，B (2,0)，圆内的动点P 满足|PA |·|PB |＝|PO |2，求PA →·PB →的取值范围． 答案 (1)(x ＋1)2＋y 2＝4 (2)m ＝1 (3)[－2,6)解析 (1)依题意，圆M 的半径r 等于圆心M (－1,0)到直线x －3y －3＝0的距离，即r ＝|－1－3|1＋3＝2.∴圆M 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.(2)∵圆M 上存在两点关于直线mx ＋y ＋1＝0对称， ∴直线mx ＋y ＋1＝0必过圆心M (－1,0)． ∴－m ＋1＝0，∴m ＝1.(3)设P (x ，y )，由|PA ||PB |＝|PO |2，得x ＋2＋y 2·x －2＋y 2＝x 2＋y 2，即x 2－y 2＝2.∴PA →·PB →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y ) ＝x 2－4＋y 2＝2(y 2－1)． ∵点P 在圆M 内，∴(x ＋1)2＋y 2<4，∴0≤y 2<4，∴－1≤y 2－1<3. ∴PA →·PB →的取值范围为[－2,6)．。
2016届高考数学一轮复习 题组层级快练88(含解析)
题组层级快练(八十八)1．如图，已知点A，D在直线BC上的射影分别为B，C，点E为线段AD的中点，则BE与CE的大小关系为( )A．BE>CE B．BE<CEC．BE＝CE D．无法确定答案 C解析过点E作EF⊥BC于F，则AB∥EF∥CD.因为E为AD的中点，所以F为BC的中点．所以EF是BC的中垂线，则BE＝CE.2．如图，E是▱ABCD的边AB延长线上的一点，且DC∶BE＝3∶2，则AD∶BF＝( )A．5∶3 B．5∶2C．3∶2 D．2∶1答案 B解析由题可得△BEF∽△CDF，∴DCBE＝DFEF＝32，∴ADBF＝DEEF＝DFEF＋1＝52.3．如图所示，在▱ABCD中，BC＝24，E，F为BD的三等分点，则BM－DN＝( )A．6 B．3C．2 D．4答案 A解析∵E，F为BD的三等分点，四边形ABCD为平行四边形，∴M为BC的中点．连CF交AD于P，则P为AD的中点，由△BCF∽△DPF及M为BC中点知，N为DP的中点，∴BM－DN＝12－6＝6，故选A.4.如右图，DE∥BC，DF∥AC，AD＝4 cm，BD＝8 cm，DE＝5 cm，则线段BF的长为( )A ．5 cmB ．8 cmC ．9 cmD ．10 cm答案 D解析 ∵DE ∥BC ，DF ∥AC ， ∴四边形DECF 是平行四边形． ∴FC ＝DE ＝5 cm.∵DF ∥AC ，∴BF FC ＝BDDA.即BF 5＝84，∴BF ＝10 cm. 5．在Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，AD ⊥BC 于D ，AB ∶AC ＝3∶2，则CD ∶BD ＝( ) A ．3∶2 B ．2∶3 C ．9∶4 D ．4∶9答案 D解析 由△ABD ∽△CBA ，得AB 2＝BD ·BC . 由△ADC ∽△BAC ，得AC 2＝DC ·BC .∴CD ·BC BD ·BC ＝AC 2AB 2＝49，即CD ∶BD ＝4∶9. 6.(2014·梅州联考)如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝12，AD ＝10，将此矩形折叠使点B 落在AD 边的中点E 处，则折痕FG 的长为( )A ．13 B.635 C.656D.212答案 C解析 过A 作AH ∥FG 交DG 于H ， 则四边形AFGH 为平行四边形． ∴AH ＝FG .∵折叠后B 点与E 点重合，折痕为FG ， ∴B 与E 关于FG 对称． ∴BE ⊥FG ，∴BE ⊥AH .∴∠ABE ＝∠DAH ，∴Rt △ABE ∽Rt △DAH . ∴BE AB ＝AH AD. ∵AB ＝12，AD ＝10，AE ＝12AD ＝5，∴BE ＝122＋52＝13. ∴FG ＝AH ＝BE ·AD AB ＝656. 7.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，若BC ＝3，DE ＝2，DF ＝1，则AB 的长为________．答案 92解析AD AB ＝DE BC ＝23，DF AD ＝CE AC ＝13.∵BC ＝3，DE ＝2，DF ＝1，解得AB ＝92. 8.如图，在Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，CD ＝6，且AD ∶BD ＝3∶2，则斜边AB 上的中线CE 的长为________．答案562解析 ∵CD 2＝BD ·AD ， 设BD ＝2k ，则AD ＝3k ，∴36＝6k 2，∴k ＝6，∴AB ＝5k ＝5 6. ∴CE ＝12AB ＝562.9.(2015·广东梅州联考)如图，在△ABC 中，BC ＝4，∠BAC ＝120°，AD ⊥BC ，过B 作CA 的垂线，交CA 的延长线于E ，交DA 的延长线于F ，则AF ＝________.答案433解析 设AE ＝x ，∵∠BAC ＝120°，∴∠EAB ＝60°.又AE BE ＝x 3x ＝13， 在Rt △AEF 与Rt △BEC 中，∠F ＝90°－∠EAF ＝90°－∠DAC ＝∠C ， ∴△AEF ∽△BEC ，∴AF BC ＝AE BE. ∴AF ＝4×13＝433.10.如图，在正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，且BP ＝3PC ，Q 是CD 的中点，求证：△ADQ ∽△QCP .证明 在正方形ABCD 中， ∵Q 是CD 的中点，∴AD QC＝2. ∵BP PC ＝3，∴BCPC＝4. 又∵BC ＝2DQ ，∴DQPC＝2. 在△ADQ 和△QCP 中，AD QC ＝DQPC，且∠D ＝∠C ＝90°，∴△ADQ ∽△QCP .11.如图所示，AD ，BE 是△ABC 的两条高，DF ⊥AB ，垂足为F ，直线FD 交BE 于点G ，交AC 的延长线于H ，求证：DF 2＝GF ·HF .证明 在△AFH 与△GFB 中， 因为∠H ＋∠BAC ＝90°， ∠GBF ＋∠BAC ＝90°， 所以∠H ＝∠GBF .因为∠AFH ＝∠GFB ＝90°，所以△AFH ∽△GFB . 所以HF BF ＝AFGF，故AF ·BF ＝GF ·HF .因为在Rt △ABD 中，FD ⊥AB ， 由射影定理，得DF 2＝AF ·BF .故DF 2＝GF ·HF .12．如图，在△ABC 中，BC >AC ，点D 在BC 上，且DC ＝AC ，∠ACB 的平分线CF 交AD 于F ，点E 是AB 的中点，连接EF .(1)求证：EF ∥BC ；(2)若四边形BDFE 的面积为6，求△ABD 的面积． 答案 (1)略 (2)8解析 (1)证明：∵CF 平分∠ACB ，∴∠ACF ＝∠DCF . 又∵DC ＝AC ，∴CF 是△ACD 的中线． ∴点F 是AD 的中点．∵点E 是AB 的中点，∴EF ∥BD ，即EF ∥BC . (2)由(1)知，EF ∥BD ，∴△AEF ∽△ABD . ∴S △AEF S △ABD ＝(AE AB)2. 又∵AE ＝12AB ，S △AEF ＝S △ABD －S 四边形BDFE＝S △ABD －6，∴S △ABD －6S △ABD ＝(12)2，∴S △ABD ＝8. ∴△ABD 的面积为8.13．(2015·贵阳市高三适应性监测考试)如图，已知圆O 两弦AB 与CD 交于点E ，EF ∥AD ，EF 与CB 延长线交于点F ，FG 切圆O 于点G .(1)求证：△BEF ∽△CEF ； (2)求证：FG ＝EF .证明 (1)因为EF ∥AD ，所以∠FEA ＝∠DAB .又∠DAB ＝∠BCD ，所以∠FEB ＝∠FCD . 又∠BFE ＝∠BFE ，所以△BEF ∽△ECF .(2)由(1)得EF FC ＝FB FE，所以EF 2＝FC ·FB . 又因为FG 2＝FB ·FC ，所以EF 2＝FG 2. 所以FG ＝EF .14.(2015·沧州七校联考)如图，点A 为圆外一点，过点A 作圆的两条切线，切点分别为B ，C ，ADE 是圆的割线，连接CD ，BD ，BE ，CE .(1)求证：BE ·CD ＝BD ·CE ；(2)延长CD ，交AB 于点F ，若CE ∥AB ，证明：F 为线段AB 的中点． 证明 (1)如图，由题意可得 ∠ACD ＝∠AEC ，∠CAD ＝∠EAC ，∴△ADC ∽△ACE ，∴CD CE ＝AC AE .同理△ADB ∽△ABE ，BD BE ＝AB AE.又∵AB ＝AC ， ∴CD CE ＝BDBE，∴BE ·CD ＝BD ·CE . (2)如图，由切割线定理，得FB 2＝FD ·FC . ∵CE ∥AB ，∴∠FAD ＝∠AEC .又∵AC 切圆于C ，∴∠ACD ＝∠AEC ，∴∠FAD ＝∠FCA ，又∠F ＝∠F ， ∴△AFD ∽△CFA ，∴AF CF ＝FD AF，即AF 2＝FD ·FC . ∵FB 2＝AF 2，即FB ＝FA ，∴F 为线段AB 的中点．。
2016届高考数学一轮复习 题组层级快练82(含答案解
题组层级快练(八十二)(第二次作业)1．已知ξ的分布列为则在下列式中：①E (ξ)＝－13；②D (ξ)＝27；③P (ξ＝0)＝3.正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 C解析 E (ξ)＝(－1)×12＋1×16＝－13，故①正确．D (ξ)＝(－1＋13)2×12＋(0＋13)2×13＋(1＋13)2×16＝59，故②不正确．由分布列知③正确．2．抛掷两枚骰子，当至少有一枚5点或一枚6点出现时，就说这次实验成功，则在30次实验中成功次数X 的均值是( )A.556 B.403C.503D ．10答案 C解析 至少有一枚5点或一枚6点的概率为1－(1－13)(1－13)＝1－49＝59.∴X ～B (30，59)，∴E (X )＝30×59＝503.3．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c (a ，b ，c ∈(0,1))，已知他投篮一次得分的数学期望为2(不计其他得分情况)，则ab 的最大值为( )A.148 B.124C.112D.16答案 D解析 设投篮得分为随机变量X ，则X 的分布列为E (X )＝3a ＋2b ＝2≥23a ×2b ，所以ab ≤6.当且仅当3a ＝2b 时，等号成立．4．设等差数列{a n }的公差为d ，若a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7的方差为1，则d ＝________. 答案 ±12解析 a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7的均值为a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 77＝a 4，则a 1－a 42＋a 2－a 42＋…＋a 7－a 427＝4d 2＝1，d ＝±12，故填±12.5．设一次试验成功的概率为p ，进行100次独立重复试验，当p ＝______时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为______．答案 12，25解析 D (ξ)＝100p (1－p )≤100·(p ＋1－p2)2＝25，当且仅当p ＝1－p .即p ＝12时，D (ξ)最大为25.6．某校举行一次以“我为教育发展做什么”为主题的演讲比赛，比赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段，已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别为23，13，14，且各阶段通过与否相互独立．(1)求该选手在复赛阶段被淘汰的概率；(2)设该选手比赛的次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 答案 (1)49 (2)179解析 (1)记“该选手通过初赛”为事件A ，“该选手通过复赛”为事件B ，“该选手通过决赛”为事件C ，则P (A )＝23，P (B )＝13，P (C )＝14.所以所求的概率P ＝P (A B )＝P (A )P (B )＝23×(1－13)＝49.(2)依题意知ξ的可能取值为1,2,3.P (ξ＝1)＝P (A )＝1－23＝13，P (ξ＝2)＝P (A B )＝P (A )P (B )＝23×(1－13)＝49， P (ξ＝3)＝P (AB )＝P (A )P (B )＝23×13＝29.ξ的分布列为ξ的数学期望E (ξ)＝1×13＋2×49＋3×9＝9.7．(2015·郑州质检)工人在包装某产品时不小心将2件不合格的产品一起放进了一个箱子里，此时该箱子中共有外观完全相同的6件产品．只有将产品逐一打开检验才能确定哪2件产品是不合格的，产品一旦打开检验不管是否合格都将报废．记ξ表示将2件不合格产品全部检测出来后4件合格产品中报废品的数量．(1)求报废的合格品少于2件的概率； (2)求ξ的分布列和数学期望． 答案 (1)15 (2)83解析 (1)报废的合格品少于2件，即ξ＝0或ξ＝1， 而P (ξ＝0)＝A 226×5＝115，P (ξ＝1)＝A 22A 12A 146×5×4＝215，故P (ξ<2)＝P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＝115＋215＝15.(2)依题意，ξ的可能取值为0,1,2,3,4， P (ξ＝2)＝A 13×A 12×A 24A 46＝15， P (ξ＝3)＝A 14×A 12×A 34A 56＝415， P (ξ＝4)＝A 15×A 12×A 44A 66＝13， 由(1)知P (ξ＝0)＝115，P (ξ＝1)＝215.故ξ的分布列为E (ξ)＝0×115＋1×215＋2×5＋3×15＋4×3＝3.8．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X (单位：mm)对工期的影响如下表：求：(1)工期延误天数Y 的均值与方差；(2)在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率． 答案 (1)均值为3，方差为9.8 (2)67解析 (1)由已知条件和概率的加法公式有：P (X <300)＝0.3，P (300≤X <700)＝P (X <700)－P (X <300)＝0.7－0.3＝0.4， P (700≤X <900)＝P (X <900)－P (X <700)＝0.9－0.7＝0.2， P (X ≥900)＝1－P (X <900)＝1－0.9＝0.1.所以Y 的分布列为于是，E (Y )D (Y )＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.故工期延误天数Y 的均值为3，方差为9.8.(2)由概率的加法公式，得P (X ≥300)＝1－P (X <300)＝0.7. 又P (300≤X <900)＝P (X <900)－P (X <300)＝0.9－0.3＝0.6， 由条件概率，得P (Y ≤6|X ≥300)＝P (X <900|X ≥300)＝P XP X＝0.60.7＝67. 故在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率是67.9．为提高学生学习语文的兴趣，某地区举办了中学生“汉语听写比赛”．比赛成绩只有90分，70分，60分，40分，30分五种，将本次比赛的成绩分为A ，B ，C ，D ，E 五个等级．从参加比赛的学生中随机抽取了30名，并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计，得到如下数据表：(1)1人，其成绩等级为“A 或B ”的概率；(2)根据(1)的结论，若从该地区参加“汉语听写比赛”的学生(参赛人数很多)中任选3人，记X 表示抽到成绩等级为“A 或B ”的学生人数，求X 的分布列及数学期望E (X )．答案 (1)13(2)1解析 (1)根据统计数据可知，从这30名学生中任选1人，其成绩等级为“A 或B ”的频率为430＋630＝1030＝13.故从该地区参加“汉语听写比赛”的学生中任意抽取1人，其成绩等级为“A 或B ”的概率约为13.(2)由已知得，随机变量X 的可能取值为0,1,2,3， 所以P (X ＝0)＝C 03(13)0×(23)3＝827，P (X ＝1)＝C 13(13)1×(23)2＝1227＝49， P (X ＝2)＝C 23(13)2×(23)1＝627＝29， P (X ＝3)＝C 33(13)3×(23)0＝127. 故随机变量X 的分布列为所以E (X )＝0×827＋1×49＋2×9＋3×27＝1.讲评 新课标高考的数学试题对概率与统计内容的考查已经悄然发生了变化，其侧重点由以往的概率及概率分布列的问题，变为统计与概率及分布列知识的综合，包括统计案例分析．10．(2015·衡水调研卷)某选修课的考试按A 级，B 级依次进行，只有当A 级成绩合格时，才可继续参加B 级的考试．已知每级考试允许有一次补考机会，两个级别的成绩均合格方可获得该选修课的合格证书．现某人参加这个选修课的考试，他A 级考试成绩合格的概率为23，B 级考试合格的概率为12.假设各级考试成绩合格与否均互不影响．(1)求他不需要补考就可获得该选修课的合格证书的概率；(2)在这个考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的数学期望E (ξ)．答案 (1)13 (2)83解析 设“A 级第一次考试合格”为事件A 1，“A 级补考合格”为事件A 2；“B 级第一次考试合格”为事件B 1，“B 级补考合格”为事件B 2.(1)不需要补考就获得合格证书的事件为A 1B 1，注意到A 1与B 1相互独立， 则P (A 1B 1)＝P (A 1)×P (B 1)＝23×12＝13.故该考生不需要补考就获得该选修课的合格证书的概率为13.(2)由已知，得ξ＝2,3,4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得：P (ξ＝2)＝P (A 1B 1)＋P (A 1A 2)＝23×12＋13×13＝13＋19＝49.P (ξ＝3)＝P (A 1B 1B 2)＋P (A 1B 1B 2)＋P (A 1A 2B 1)＝23×12×12＋23×12×12＋13×23×12 ＝16＋16＋19＝49， P (ξ＝4)＝P (A 1A 2B 1B 2)＋P (A 1A 2B 1B 2)＝13×23×12×12＋13×23×12×12＝118＋118＝19， 故E (ξ)＝2×49＋3×49＋4×19＝83.即该考生参加考试的次数的期望为83.11．(2014·陕西理)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1 000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：(1)设X (2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率． 答案 (1)略 (2)0.896思路 (1)根据X 的可能取值分解为相互独立事件和互斥事件；(2)至少有2季的事件包括恰有2季、恰有3季两类事件，应分类求解．解析 (1)设A 表示事件“作物产量为300 kg”，B 表示事件“作物市场价格为6元/kg”，由题设知P (A )＝0.5，P (B )＝0.4，因为利润＝产量×市场价格－成本， 所以X 所有可能的取值为500×10－1 000＝4 000,500×6－1 000＝2 000. 300×10－1 000＝2 000,300×6－1 000＝800.P (X ＝4 000)＝P (A )P (B )＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，P (X ＝2 000)＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5， P (X ＝800)＝P (A )P (B )＝0.5×0.4＝0.2.所以X 的分布列为(2)设C i 表示事件“第i 由题意知C 1，C 2，C 3相互独立，由(1)知，P (C i )＝P (X ＝4 000)＋P (X ＝2 000)＝0.3＋0.5＝0.8(i ＝1,2,3)，3季的利润均不少于2 000元的概率为P (C 1C 2C 3)＝P (C 1)P (C 2)P (C 3)＝0.83＝0.512；3季中有2季利润不少于2 000元的概率为P (C 1C 2C 3)＋P (C 1C2C 3)＋P (C 1C 2C 3)＝3×0.82×0.2＝0.384，所以这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为0.512＋0.384＝0.896.1．(2015·江南十校联考)甲、乙、丙三人独立地对某一技术难题进行攻关．甲能攻克的概率为23，乙能攻克的概率为34，丙能攻克的概率为45.(1)求这一技术难题被攻克的概率；(2)现假定这一技术难题已被攻克，上级决定奖励a 万元．奖励规则如下：若只有1人攻克，则此人获得全部奖金a 万元；若只有2人攻克，则奖金奖给此二人，每人各得a2万元；若三人均攻克，则奖金奖给此三人，每人各得a3万元．设甲得到的奖金数为X ，求X 的分布列和数学期望．答案 (1)5960 (2)1759a解析 (1)这一技术难题被攻克的概率P ＝1－(1－23)(1－34)(1－45)＝1－13×14×15＝5960.(2)X 的可能取值分别为0，a 3，a2，a .P (X ＝0)＝13－14×155960＝1959， P (X ＝a 3)＝23×34×455960＝2459，P (X ＝a 2)＝2334×15＋14×455960＝1459，P (X ＝a )＝23×14×155960＝259.∴X 的分布列为∴E (X )＝0×1959＋a 3×2459＋a 2×59＋a ×59＝59a .2．某制药厂新研制出一种抗感冒药，经临床试验疗效显著，但由于每位患者的身体素质不同，可能有少数患者服用后会出现轻微不良反应，甲、乙、丙三位患者均服用了此抗感冒药，若他们出现轻微不良反应的概率分别是15，13，14.(1)求恰好有一人出现轻微不良反应的概率； (2)求至多有两人出现轻微不良反应的概率；(3)设出现轻微不良反应的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 答案 (1)1330 (2)5960 (3)4760解析 (1)患者甲出现轻微不良反应，患者乙、丙没有出现轻微不良反应的概率为15×23×34＝110；患者乙出现轻微不良反应，患者甲、丙没有出现轻微不良反应的概率为45×13×34＝15；患者丙出现轻微不良反应，患者甲、乙没有出现轻微不良反应的概率为45×23×14＝215，所以，恰好有一人出现轻微不良反应的概率为P 1＝110＋15＋215＝1330.(2)有两人出现轻微不良反应的概率P 2＝15×13×34＋45×13×14＋15×23×14＝120＋115＋130＝320.三人均没有出现轻微不良反应的概率P 0＝45×23×34＝25，所以，至多有两人出现轻微不良反应的概率为25＋1330＋320＝5960. (3)依题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3，由(1)(2)得，P (ξ＝0)＝25，P (ξ＝1)＝1330，P (ξ＝2)＝320，P (ξ＝3)＝1－25－1330－320＝160.于是ξ的分布列为ξ的数学期望E (ξ)＝0×25＋1×30＋2×20＋3×60＝60.3．(2014·福建理)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求： ①顾客所获的奖励额为60元的概率； ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成，为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．答案 (1)①12，②40元 (2)略解析 (1)设顾客所获的奖励额为X . ①依题意，得P (X ＝60)＝C 11C 13C 24＝12，即顾客所获的奖励额为60元的概率为12.②依题意，得X 的所有可能取值为20,60. P (X ＝60)＝12，P (X ＝20)＝C 23C 24＝12，即X 的分布列为所以顾客所获的奖励额的期望为E (X )＝20×2＋60×2＝40(元)．(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元，所以，先寻找期望为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励额为X 1，则X 1的分布列为X 1的期望为E (X 1)＝20×16＋60×23＋100×6＝60，X 1的方差为D (X 1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝1 6003. 对于方案2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励额为X 2，则X 2的分布列为X 2的期望为E (X 2)＝40×16＋60×23＋80×6＝60，X 2的方差为D (X 2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003. 由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.。
2016届高考数学一轮复习 题组层级快练86(含解析)
题组层级快练(八十六)1.商场在2014年国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为( )A ．6万元B ．8万元C ．10万元D ．12万元 答案 C解析 由0.40.1＝x2.5，得10万元，故选C.2．一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( )A ．57.2,3.6B ．57.2,56.4C ．62.8,63.6D ．62.8,3.6答案 D解析 平均数增加60，即为62.8. 方差＝1n∑ni －1[(a i ＋60)－(a ＋60)]2 ＝1n∑ni －1(a i －a )2＝3.6，故选D. 3．在某次测量中得到的A 样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差答案 D解析 只有标准差不变，其中众数、平均数和中位数都加2.4．(2013·辽宁)某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )A ．45B ．50C ．55D ．60答案 B解析 由频率分布直方图，得低于60分的同学所占频率为(0.005＋0.01)×20＝0.3，故该班的学生人数为150.3＝50.故选B.5．(2014·山东理)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( ) A ．6 B ．8 C ．12 D ．18答案 C解析 第一组和第二组的频率之和为0.4，故样本容量为200.4＝50，第三组的频率为0.36，故第三组的人数为50×0.36＝18，故第三组中有疗效的人数为18－6＝12.6．(2015·荆州市质检)已知一组数据按从小到大的顺序排列，得到－1,0,4，x,7,14，中位数为5，则这组数据的平均数和方差分别为( )A ．5,2423B ．5,2413C ．4,2513D ．4,2523答案 A7．如图所示，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为x A 和x B ，样本标准差分别为S A 和S B ，则( )A.x A >x B ，S A >S BB.x A <x B ，S A >S BC.x A >x B ，S A <S BD.x A <x B ，S A <S B答案 B解析 由图可知A 组的6个数为2.5,10,5,7.5,2.5,10，B 组的6个数为15,10,12.5,10,12.5,10，所以x A ＝2.5＋10＋5＋7.5＋2.5＋106＝37.56，x B ＝15＋10＋12.5＋10＋12.5＋106＝706.显然x A <x B ，又由图形可知，B 组的数据分布比A 均匀，变化幅度不大，故B 组数据比较稳定，方差较小，从而标准差较小，所以S A >S B ，故选B.8．(2015·南昌一模)甲、乙两个数学兴趣小组各有5名同学，在一次数学测试中，成绩统计用茎叶图表示如图，若甲、乙小组的平均成绩分别是x 甲，x 乙，则下列结论正确的是( )A ．x 甲>x 乙，甲比乙成绩稳定B ．x 甲>x 乙，乙比甲成绩稳定C ．x 甲<x 乙，甲比乙成绩稳定D ．x 甲<x 乙，乙比甲成绩稳定 答案 A 解析 依题意得x 甲＝15(80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90， x 乙＝15(80×4＋90×1＋3＋4＋8＋9＋1)＝87， x 甲>x 乙；s 2甲＝15[(88－90)2＋(89－90)2＋(92－90)2＋(91－90)2]＝2，s 2乙＝15[(83－87)2＋(84－87)2＋(88－87)2＋(89－87)2＋(91－87)2]＝9.2，s 2甲<s 2乙，因此甲比乙成绩更稳定，选A.9．(2013·四川文)某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是( )答案 A解析 由茎叶图知，各组频数统计如下表：10．下面茎叶图是甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为________．答案 45解析 设被污损的数字为a (0≤a ≤9且a ∈N )，则由甲的平均成绩超过乙的平均成绩得88＋89＋90＋91＋92>83＋83＋87＋99＋90＋a ，解得8>a ，即得0≤a ≤7且a ∈N ，∴甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为P ＝810＝45.11．某中学共有1 000名学生参加了该地区高三第一次质量检测的数学考试，数学成绩如下表所示：(1)100名同学进行问卷调查，甲同学在本次测试中数学成绩为95分，求他被抽中的概率；(2)已知本次数学成绩的优秀线为110分，试根据所提供数据估计该中学达到优秀线的人数； (3)作出频率分布直方图，并估计该学校本次考试的数学平均分．(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)答案 (1)110(2)290 (3)90分解析 (1)分层抽样中，每个个体被抽到的概率均为样本容量总体中个体总数，故甲同学被抽到的概率P ＝110.(2)由题意得x ＝1 000－(60＋90＋300＋160)＝390.故估计该中学达到优秀线的人数m ＝160＋390×120－110120－90＝290.(3)频率分布直方图如图所示．该学校本次考试的数学平均分 x －＝60×15＋90×45＋300×75＋390×105＋160×1351 000＝90.估计该学校本次考试的数学平均分为90分．12．(2014·重庆文)20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如下：(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数；(3)从成绩在[50,70)的学生中任选2人，求此2人的成绩都在[60,70)中的概率． 答案 (1)0.005 (2)2,3 (3)310思路 (1)根据所有小矩形的面积之和为1求a 的值；(2)先求对应组的频率，再由频率的计算公式求落在该组的人数；(3)先对落在[50,60)，[60,70)中的个体进行编号，列举出所有的基本事件，从中找出2人成绩都在[60,70)的基本事件的个数，代入古典概型的概率公式求解．解析 (1)据直方图知组距＝10， 由(2a ＋3a ＋6a ＋7a ＋2a )×10＝1，解得a ＝1200＝0.005.(2)成绩落在[50,60)中的学生人数为2×0.005×10×20＝2， 成绩落在[60,70)中的学生人数为3×0.005×10×20＝3.(3)记成绩落在[50,60)中的2人为A 1，A 2，成绩落在[60,70)中的3人为B 1，B 2，B 3，则从成绩在[50,70)的学生中任选2人的基本事件共有10个：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，其中2人的成绩都在[60,70)中的基本事件有3个：(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，故所求概率为P ＝310.13．(2015·衡水调研)在每年的春节后，某市政府都会发动公务员参与到植树活动中去．为保证树苗的质量，该市林管部门都会在植树前对树苗进行检测．现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，量出树苗的高度如下(单位：厘米)：甲：37,21,31,20,29,19,32,23,25,33； 乙：10,30,47,27,46,14,26,10,44,46.(1)根据抽测结果，完成下列的茎叶图，并根据你填写的茎叶图，对甲、乙两种树苗的高度作比较，写出两个统计结论；(2)设抽测的10件甲种树苗高度平均值为x －，将这10株树苗的高度依次输入按程序框图进行的运算，问输出的S 大小为多少？并说明S 的统计学意义．答案 (1)略 (2)S ＝35 解析 (1)茎叶图：统计结论：①甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度；②甲种树苗比乙种树苗长得更整齐；③甲种树苗的中位数为27，乙种树苗的中位数为28.5；④甲种树苗的高度基本上是对称的，而且大多数集中在均值附近，乙种树苗的高度分布较为分散． (2)x －＝37＋21＋31＋20＋29＋19＋32＋23＋25＋3310＝27，S ＝35.S 表示10株甲种树苗高度的方差，是描述树苗高度离散程度的量．S 值越小，表示树苗长得越整齐，S 值越大，表示树苗长得越参差不齐．14．(2014·辽宁理)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望E (X )及方差D (X )．答案 (1)0.108 (2)E (X )＝1.8，D (X )＝0.72解析 (1)设A 1表示事件“日销售量不低于100个”，A 2表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”．因此P (A 1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P (A 2)＝0.003×50＝0.15， P (B )＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X 可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为P (X ＝0)＝C 03(1－0.6)3＝0.064， P (X ＝1)＝C 13·0.6(1－0.6)2＝0.288， P (X ＝2)＝C 23·0.62(1－0.6)＝0.432， P (X ＝3)＝C 33·0.63＝0.216.∴X 分布列为因为X ～B (3,0.6)0.6)＝0.72.1．(2013·重庆文)如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的频率为( )A ．0.2B ．0.4C ．0.5D ．0.6答案 B解析 由茎叶图可知数据落在区间[22,30)内的频数为4，所以数据落在区间[22,30)内的频率为410＝0.4，故选B.2．(2013·湖北理)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示．(1)直方图中x 的值为________；(2)在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为________． 答案 (1)0.004 4 (2)70解析 (1)由频率分布直方图知[200,250)小组的频率为1－(0.002 4＋0.003 6＋0.006 0＋0.002 4＋0.001 2)×50＝0.22，于是x ＝0.2250＝0.004 4.(2)∵数据落在[100,250)内的频率为(0.003 6＋0.006 0＋ 0．004 4)×50＝0.7， ∴所求户数为100×0.7＝70.3．(2013·江苏)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：答案 2解析 由题中数据可得x －甲＝90，x －乙＝90.于是s 2甲＝15[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4，s 2乙＝15[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2，由s 2甲>s 2乙，可知乙运动员成绩稳定，故应填2.4．(2013·广东理)某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数.(1)根据茎叶图计算样本均值；(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？(3)从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率． 答案 (1)22 (2)4 (3)1633解析 (1)样本均值为17＋19＋20＋21＋25＋306＝1326＝22.(2)由(1)知样本中优秀工人占的比例为26＝13，故推断该车间12名工人中有12×13＝4名优秀工人．(3)设事件A ：从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人，则P (A )＝C 14C 18C 212＝1633.。
2016届高考数学一轮复习 题组层级快练8(含解析)
题组层级快练(八)1．若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (4)＝f (1)，则( ) A ．f (2)>f (3) B ．f (3)>f (2) C ．f (3)＝f (2)D ．f (3)与f (2)的大小关系不确定 答案 C解析 ∵f (4)＝f (1)，∴对称轴为52，∴f (2)＝f (3)．2．若二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1，则f (x )的表达式为( ) A ．f (x )＝－x 2－x －1 B ．f (x )＝－x 2＋x －1 C ．f (x )＝x 2－x －1 D ．f (x )＝x 2－x ＋1答案 D解析 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a x ＋2＋b x ＋＋c －ax 2＋bx ＋c ＝2x .故⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，c ＝1，则f (x )＝x 2－x ＋1.故选D.3.如图所示，是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像，则|OA |·|OB |等于( )A.caB ．－c aC ．±c aD ．无法确定答案 B解析 ∵|OA |·|OB |＝|OA ·OB |＝|x 1x 2|＝|c a |＝－c a(∵a <0，c >0)．4．(2015·上海静安期末)已知函数f (x )＝－x 2＋4x ，x ∈[m,5]的值域是[－5,4]，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,2]C ．[－1,2]D ．[2,5)答案 C解析 二次函数f (x )＝－x 2＋4x 的图像是开口向下的抛物线，最大值为4，且在x ＝2时取得，而当x ＝5或－1时，f (x )＝－5，结合图像可知m 的取值范围是[－1,2]．5．一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图像大致是( )答案 C6．(2015·山东济宁模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c x ≤，2 x ，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为( )A ．4B ．2C ．1D ．3答案 D解析 由解析式可得f (－4)＝16－4b ＋c ＝f (0)＝c ，解得b ＝4.f (－2)＝4－8＋c ＝－2，可求得c ＝2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2x ，2 x 又f (x )＝x ，则当x ≤0时，x 2＋4x ＋2＝x ，解得x 1＝－1，x 2＝－2. 当x >0时，x ＝2，综上可知有三解．7．二次函数f (x )的二次项系数为正数，且对任意的x ∈R 都有f (x )＝f (4－x )成立，若f (1－2x 2)<f (1＋2x －x 2)，则实数x 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0,2)C ．(－2,0)D ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)答案 C解析 由题意知，二次函数的开口向上，对称轴为直线x ＝2，图像在对称轴左侧为减函数．而1－2x 2<2,1＋2x －x 2＝2－(x －1)2≤2，所以由f (1－2x 2)<f (1＋2x －x 2)，得1－2x 2>1＋2x －x 2，解得－2<x <0.8．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则实数b 的取值范围是( )A ．－1<b <0B ．b >0C ．b <－1或b >2D ．不能确定答案 C解析 由f (1－x )＝f (1＋x )，得对称轴方程为x ＝1＝a2.∴a ＝2，f (x )在[－1,1]上是增函数． ∴要使x ∈[－1,1]，f (x )>0恒成立．只要f (x )min ＝f (－1)＝b 2－b －2>0，∴b >2或b <－1.9．(2015·上海虹口二模)函数f (x )＝－x 2＋4x ＋1(x ∈[－1,1])的最大值等于________． 答案 4解析 因为对称轴为x ＝2∉[－1,1]，所以函数在[－1,1]上单调递增，因此当x ＝1时，函数取最大值4.10．设函数f (x )＝mx 2－mx －1，若f (x )<0的解集为R ，则实数m 的取值范围是________． 答案 (－4,0]11．设函数y ＝x 2＋(a ＋2)x ＋3，x ∈[a ，b ]的图像关于直线x ＝1对称，则b ＝________. 答案 612．已知函数f (x )＝x 2－6x ＋5，x ∈[1，a ]，并且函数f (x )的最大值为f (a )，则实数a 的取值范围是________．答案 a ≥5解析 ∵f (x )的对称轴为x ＝3，要使f (x )在[1，a ]上f (x )max ＝f (a )，由图像对称性知a ≥5. 13．已知y ＝(cos x －a )2－1，当cos x ＝－1时，y 取最大值，当cos x ＝a 时，y 取最小值，则实数a 的范围是________．答案 0≤a ≤1解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤0，－1≤a ≤1，∴0≤a ≤1.14．若函数f (x )＝x 2－2x ＋3在区间[0，m ]上的最小值是2，最大值是3，则实数m 的取值范围是________．答案 [1,2]解析 ∵f (x )＝(x －1)2＋2≥2， ∴x ＝1∈[0，m ]．∴m ≥1.① ∵f (0)＝3，而3是最大值．∴f (m )≤3⇒m 2－2m ＋3≤3⇒0≤m ≤2.② 由①②知：1≤m ≤2，故应填[1,2]．15．在函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 中，若a ，b ，c 成等比数列且f (0)＝－4，则f (x )有最________值(填“大”或“小”)，且该值为________．答案 大 －3解析 ∵f (0)＝c ＝－4，a ，b ，c 成等比，∴b 2＝a ·c ，∴a <0.∴f (x )有最大值，最大值为c －b 24a＝－3.16．函数f (x )＝x 2＋2x ，若f (x )>a 在区间[1,3]上满足：①恒有解，则a 的取值范围为________；②恒成立，则a 的取值范围为________．答案 a <15 a <3解析 ①f (x )>a 在区间[1,3]上恒有解，等价于a <[f (x )]max ，又f (x )＝x 2＋2x 且x ∈[1,3]，当x ＝3时，[f (x )]max ＝15，故a 的取值范围为a <15.②f (x )>a 在区间[1,3]上恒成立，等价于a <[f (x )]min ，又f (x )＝x 2＋2x 且x ∈[1,3]，当x ＝1时，[f (x )]min ＝3，故a 的取值范围为a <3.17．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数； (3)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间． 答案 (1)最小值－1，最大值35 (2)a ≤－6或a ≥4(3)单调递增区间(0,6]，单调递减区间[－6,0]解析 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4,6]， ∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增．∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图像开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4.(3)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋3，x ∈，6]，x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0].∴f (|x |)的单调递增区间是(0,6]， 单调递减区间是[－6,0]．18．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a >0)，设f (x )＝x 的两个实根为x 1，x 2. (1)如果b ＝2且|x 2－x 1|＝2，求实数a 的值；(2)如果x 1<2<x 2<4，设函数f (x )的对称轴为x ＝x 0，求证：x 0>－1. 答案 (1)a ＝2－12(2)略 解析 (1)若b ＝2，则f (x )＝ax 2＋2x ＋1. 由f (x )＝x ，得ax 2＋2x ＋1＝x . 即ax 2＋x ＋1＝0.由|x 2－x 1|＝2，得(x 2－x 1)2＝4. ∴(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4.∴(1a )2－41a ＝4，得a ＝2－12(a >0)．(2)由f (x )＝x ，得ax 2＋bx ＋1＝x . 即ax 2＋(b －1)x ＋1＝0. 设g (x )＝ax 2＋(b －1)x ＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧g ，g ，即⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b －1<0，16a ＋4b －3>0.画出点(a ，b )的平面区域知该区域内有点均满足2a －b >0.从而2a >b ，∴x 0＝－b2a>－1.1．(2013·浙江)已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( ) A ．a >0,4a ＋b ＝0 B ．a <0,4a ＋b ＝0 C ．a >0,2a ＋b ＝0 D ．a <0,2a ＋b ＝0答案 A解析 由f (0)＝f (4)，得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝－b2a ＝2，∴4a ＋b ＝0，又f (0)>f (1)，∴f (x )先减后增，∴a >0，选A.2．已知f (x )是二次函数，且函数y ＝ln f (x )的值域为[0，＋∞)，则f (x )的表达式可以是( ) A ．y ＝x 2B ．y ＝x 2＋2x ＋2 C ．y ＝x 2－2x ＋3 D ．y ＝－x 2＋1答案 B解析 由题意可知f (x )≥1.3．已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( ) A ．[2－2，2＋2] B ．(2－2，2＋2) C ．[1,3] D ．(1,3)答案 B解析 由题可知f (x )＝e x －1>－1，g (x )＝－x 2＋4x －3＝－(x －2)2＋1≤1，若有f (a )＝g (b )，则g (b )∈(－1,1]．即－b 2＋4b －3>－1，解得2－2<b <2＋ 2.4．对一切实数x ，若不等式x 4＋(a －1)x 2＋1≥0恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥－1 B ．a ≥0 C ．a ≤3 D ．a ≤1答案 A解析 令t ＝x 2≥0，则原不等式转化为t 2＋(a －1)t ＋1≥0，当t ≥0时恒成立． 令f (t )＝t 2＋(a －1)t ＋1，则f (0)＝1>0. (1)当－a －12≤0即a ≥1时，恒成立． (2)当－a －12>0即a <1时，由Δ＝(a －1)2－4≤0，得－1≤a ≤3. ∴－1≤a <1，综上：a ≥－1.5．若二次函数y ＝8x 2－(m －1)x ＋m －7的值域为[0，＋∞)，则m ＝________. 答案 9或25 解析 y ＝8(x －m －116)2＋m －7－8·(m －116)2，∵值域为[0，＋∞)，∴m －7－8·(m －116)2＝0，∴m ＝9或25.6．已知t 为常数，函数y ＝|x 2－2x －t |在区间[0,3]上的最大值为2，则t ＝________. 答案 1解析 ∵y ＝|(x －1)2－t －1|，∴对称轴为x ＝1.若－t －1<0，即t >－1时，则当x ＝1或x ＝3时为最大值，即|1－2－t |＝t ＋1＝2或9－6－t ＝2，得t ＝1；若－t －1≥0，即t ≤－1时，则当x ＝3时为最大值，即9－6－t ＝2，t 无解．故得t ＝1.7．(2015·北京丰台期末)若f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )，其中a ≤b ≤c ，对于下列结论：①f (b )≤0；②若b ＝a ＋c2，则∀x ∈R ，f (x )≥f (b )；③若b ≤a ＋c2，则f (a )≤f (c )；④f (a )＝f (c )成立的充要条件为b ＝0.其中正确的是________．(请填写序号)答案 ①②③解析 f (b )＝(b －a )(b －b )＋(b －b )(b －c )＋(b －c )·(b －a )＝(b －c )(b －a )，因为a ≤b ≤c ，所以f (b )≤0，①正确；将f (x )展开可得f (x )＝3x 2－2(a ＋b ＋c )x ＋ab ＋bc ＋ac ，又抛物线开口向上，故f (x )min＝f (a ＋b ＋c3)．当b ＝a ＋c2时，a ＋b ＋c3＝b ，所以f (x )min ＝f (b )，所以②正确；f (a )－f (c )＝(a －b )(a －c )－(c －a )(c －b )＝(a －c )(a ＋c －2b )，因为a ≤b ≤c ，且2b ≤a ＋c ，所以f (a )≤f (c )，③正确；因为a ≤b ≤c ，所以当f (a )＝f (c )时，即(a －c )(a ＋c －2b )＝0，所以a ＝b ＝c 或a ＋c ＝2b ，故④不正确．8．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5(a >1)．(1)若f (x )的定义域和值域均是[1，a ]，求实数a 的值；(2)若f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求实数a 的取值范围．解析 (1)∵f (x )＝(x －a )2＋5－a 2(a >1)，∴f (x )在[1，a ]上是减函数．又定义域和值域均为[1，a ]，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ＝1－2a ＋5＝a ，f a ＝a 2－2a 2＋5＝1.解得a ＝2.(2)∵f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，∴a ≥2. 又x ＝a ∈[1，a ＋1]，且(a ＋1)－a ≤a －1， ∴f (x )max ＝f (1)＝6－2a ，f (x )min ＝f (a )＝5－a 2.∵对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4， ∴f (x )max －f (x )min ≤4，即(6－2a )－(5－a 2)≤4，解得－1≤a ≤3. 又a ≥2，∴2≤a ≤3.。
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题组层级快练(八十一)(第一次作业)1．随机变量X 的分布列为则E (5X ＋4)等于( ) A ．15 B ．11 C ．2.2 D ．2.3答案 A解析 ∵E (X )＝1×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝2.2， ∴E (5X ＋4)＝5E (X )＋4＝11＋4＝15.2．若X 是离散型随机变量，P (X ＝x 1)＝23，P (X ＝x 2)＝13，且x 1<x 2，又已知E (X )＝43，D (X )＝29，则x 1＋x 2的值为( )A.53 B.73 C ．3 D.113答案 C解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 1·23＋x 2·13＝43， x 1－43 2·23＋ x 2－43 2·13＝29，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝53，x 2＝23或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2.又∵x 1<x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2，∴x 1＋x 2＝3.3．设投掷1颗骰子的点数为ξ，则( ) A ．E (ξ)＝3.5，D (ξ)＝3.52B ．E (ξ)＝3.5，D (ξ)＝3512C ．E (ξ)＝3.5，D (ξ)＝3.5 D ．E (ξ)＝3.5，D (ξ)＝3516答案 B4．某运动员投篮命中率为0.6，他重复投篮5次，若他命中一次得10分，没命中不得分；命中次数为X ，得分为Y ，则E (X )，D (Y )分别为( )A ．0.6,60B ．3,12C ．3,120D ．3,1.2答案 C解析 X ～B (5,0.6)，Y ＝10X ，∴E (X )＝5×0.6＝3，D (X )＝5×0.6×0.4＝1.2.D (Y )＝100D (X )＝120. 5．已知随机变量X ＋Y ＝8，若X ～B (10,0.6)，则E (Y )，D (Y )分别是( ) A ．6和2.4 B ．2和2.4 C ．2和5.6 D ．6和5.6答案 B解析 由已知随机变量X ＋Y ＝8，所以Y ＝8－X .因此，求得E (Y )＝8－E (X )＝8－10×0.6＝2，D (Y )＝(－1)2D (X )＝10×0.6×0.4＝2.4.6．若X ～B (n ，p )，且E (X )＝6，D (X )＝3，则P (X ＝1)的值为( ) A ．3·2－2B ．2－4C ．3·2－10D ．2－8答案 C解析 ∵E (X )＝np ＝6，D (X )＝np (1－p )＝3，∴p ＝12，n ＝12，则P (X ＝1)＝C 112·12·(12)11＝3·2－10.7．签盒中有编号为1,2,3,4,5,6的六支签，从中任意取3支，设X 为这3支签的号码之中最大的一个，则X 的数学期望为( )A ．5B ．5.25C ．5.8D ．4.6答案 B解析 由题意可知，X 可以取3,4,5,6，P (X ＝3)＝1C 36＝120，P (X ＝4)＝C 23C 36＝320，P (X ＝5)＝C 24C 36＝310，P (X＝6)＝C 25C 36＝12.由数学期望的定义可求得E (X )＝5.25.8．有一批产品，其中有12件正品和4个次品，从中任取3件，若ξ表示取到次品的个数，则E (ξ)＝________.答案 34解析 次品个数ξ的可能取值为0,1,2,3， P (ξ＝0)＝C 312C 316＝1128，P (ξ＝1)＝C 212C 14C 316＝3370，P (ξ＝2)＝C 112C 24C 316＝970，P (ξ＝3)＝C 34C 316＝1140.ξ的分布列为E (ξ)＝0×1128＋1×3370＋2×70＋3×140＝140＝4. 9．(2014·浙江理)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.答案 25解析 设出ξ＝1，ξ＝2时的概率，利用分布列中概率之和为1及期望的公式求解． 设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ， 则⎩⎪⎨⎪⎧15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝35，b ＝15.所以D (ξ)＝15＋35×0＋15×1＝25.10．某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖且相应获奖概率是以a 1为首项，公比为2的等比数列，相应资金是以700元为首项，公差为－140元的等差数列，则参与该游戏获得资金的期望为________元．答案 500解析 ∵a 1＋2a 1＋4a 1＝1，∴a 1＝17，E (ξ)＝17×700＋27×560＋47×420＝500元．11．体育课的排球发球项目考试的规则是每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )>1.75，则p 的取值范围．答案 (0，12)解析 由已知条件可得P (X ＝1)＝p ，P (X ＝2)＝(1－p )p ，P (X ＝3)＝(1－p )2p ＋(1－p )3＝(1－p )2，则E (X )＝P (X ＝1)＋2P (X ＝2)＋3P (X ＝3)＝p ＋2(1－p )p ＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3>1.75，解得p >52或p <12.又由p∈(0,1)，可得p ∈(0，12)．12．(2014·重庆理)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列与数学期望． (注：若三个数a ，b ，c 满足a ≤b ≤c ，则称b 为这三个数的中位数．) 答案 (1)584 (2)4728解析 (1)由古典概型的概率计算公式知所求概率为p ＝C 34＋C 33C 39＝584.(2)X 的所有可能值为1,2,3，且 P (X ＝1)＝C 24C 15＋C 34C 39＝1742， P (X ＝2)＝C 13C 14C 12＋C 23C 16＋C 33C 39＝4384， P (X ＝3)＝C 22C 17C 39＝112.故X 的分布列为从而E (X )＝1×1742＋2×4384＋3×12＝28.13．(2015·山东潍坊一模)某次数学测验共有10道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确的，评分标准规定；每选对1道题得5分，不选或选错得0分．某考生每道题都选并能确定其中有6道题能选对，其余4道题无法确定正确选项，但这4道题中有2道题能排除两个错误选项，另2道只能排除一个错误选项，于是该生做这4道题时每道题都从不能排除的选项中随机选一个选项作答，且各题作答互不影响．(1)求该考生本次测验选择题得50分的概率；(2)求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望． 答案 (1)136 (2)1153解析 (1)设选对一道“能排除2个选项的题目”为事件A ，选对一道“能排除1个选项的题目”为事件B ，则P (A )＝12，P (B )＝13.该考生选择题得50分的概率为P (A )·P (A )·P (B )·P (B )＝(12)2×(13)2＝136.(2)该考生所得分数X ＝30,35,40,45,50，P (X ＝30)＝(12)2×(1－13)2＝19，P (X ＝35)＝C 12(12)2·(23)2＋(12)2·C 12·13×23＝13，P (X ＝40)＝(12)2×(23)2＋C 12·(12)2·C 12·13×23＋(12)2×(13)2＝1336， P (X ＝45)＝C 12(12)2·(13)2＋(12)2·C 12·13×23＝16，P (X ＝50)＝(12)2×(13)2＝136.该考生所得分数X 的分布列为所以E (X )＝30×19＋35×13＋40×36＋45×6＋50×36＝3.14.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，小球在下落的过程中，将遇到黑色障碍物3次，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是13，23.(1)分别求出小球落入A 袋或B 袋中的概率；(2)在容器的入口处依次放入4个小球；记ξ为落入B 袋中的小球个数．求ξ的分布列和数学期望． 答案 (1)13，23 (2)E (ξ)＝83解析 (1)记“小球落入A 袋中”为事件M ，“小球落入B 袋中”为事件N ，则事件M 的对立事件为事件N ，而小球落入A 袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，故P (M )＝(13)3＋(23)3＝127＋827＝13.从而P (N )＝1－P (M )＝1－13＝23.(2)显然，随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4. 且ξ～B (4，23)，故P (ξ＝0)＝C 04(23)0×(13)4＝181，P (ξ＝1)＝C 14(23)1×(13)3＝881， P (ξ＝2)＝C 24(23)2×(13)2＝827， P (ξ＝3)＝C 34(23)3×(13)1＝3281， P (ξ＝4)＝C 44(23)4×(13)0＝1681. 则ξ的分布列为故ξ的数学期望为E(ξ)＝4×3＝3.。