1.2.3同角三角函数的基本关系式
1.2.3 同角三角函数的基本关系式
②
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·必修4
求三角函数式的值
1 已知 tanα＝－3，求下列各式的值： 4sinα－2cosα (1) ； 5cosα＋3sinα 3 (2)2sin α－2sinαcosα＋5cos2α；
2
1 (3) . 1－sinαcosα
象限，然后再分象限讨论．
第一章
1.2
1.2.3
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·必修4
[解析] 因为 cosα<0， 且 cosα≠－1， 故 α 是第二或第三象 限角． 如果 α 是第二象限角，那么 sinα＝ 1－cos α＝
2
8 2 15 1－－17 ＝17，
第一章
1.2
1.2.3
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·必修4
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·必修4
4 已知 tanα＝3，且 α 是第三象限角，求 sinα、cosα 的值. sinα 4 [解析] 由 tanα＝cosα＝3，得 4 sinα＝3cosα. ①
又 sin2α＋cos2α＝1， 16 2 9 2 2 所以由①②得 9 cos α＋cos α＝1，即 cos α＝25. 又 α 是第三象限角， 3 4 4 ∴cosα＝－5，sinα＝3cosα＝－5.
[答案] B
)
B．－2 1 D．－2
第一章
1.2
1.2.3
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·必修4
2 5 π [解析] ∵sinα＝ 5 ，2<α<π， ∴cosα＝－
1.2.3 同角三角函数的基本关系式
1.2.3 同角三角函数的基本关系式教材知识检索考点知识清单1．同角三角函数的两个最基本的关系为 和 ．2．知道一个角的某一三角函数值，利用这两个关系式和 ，就可以求出这个角的其余____，此外还可以利用他们 和 ．3．证明一个三角恒等式，可以从它的 开始，推出等于另一边，也可以用 证明等式两边之差等于零；还可以先证得 ，并由此推出需要证明的等式成立． 要点核心解读1.同角三角函数的基本关系式如图1-2 -3 -1，在单位圆中，由三角函数的定义和勾股定理可得αααααcos sin tan ,1cos sin 22==+2．需要注意的几个问题(1)公式成立的条件：公式1cos sin 22=+αα对一切R ∈α均成立；αααcos sin tan =仅在)(2z k k ∈+=/ππα时成立． (2)学习同角三角函数的基本关系式时，首先要突出“同角”的含义，这里的“同角”应作广义的理解，例如αππ3,33与与α3是同角，76πβ+与76πβ+也是同角． 同角的三角函数关系是三角学的最基本而且也是最重要的公式，掌握好这些公式对以后的学习至关重要．学习时要从“公式的证”“公式的记忆”“公式的应用”三个方面人手．通过本节的学习，有意识的培养推理论证能力和分析转化能力．(3)使用平方关系,1cos ,cos 1sin 22ααααms -±=-±=正、负号由α所在的象限来确定，而对于其他形式的公式就不必考虑符号问题．(4)运用同角三角函数的基本关系式，应注意公式变形及逆用：如,cos sin 1,sin 1..,cos 1sin 222222αααααα+=-=-=co =αsin ,cos .tan αα.tan cos sin ,11sin cos ααααωαα==(5)这两个关系式是三角函数中最基本的关系式．当我们知道一个角的某一三角函数值时，利用这两个关系式和三角函数的定义，就可求出这个角的其余三角函数值．此外，还可以用它们化简三角函数式和证明三角恒等式．3．两类重要题型的处理方法(1)化简三角函数的目的是为了简化运算，化简的一般要求： ①能求出函数值的要求出函数值来；②函数种类尽可能地少； ③要使化简后的式子项数最少，次数最低；④尽量化去含有根式的式子，尽可能地不含分母，化简的关键是消元和降次．(2)证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，就是有目的的化简，根据不同题型，可采用： ①左边⇒右边；②右边⇒左边；③右边，左边⇒中间．这是就证明题的“方向”而亩的，从“繁、简”角度讲，一般由繁到简，另外要注意“切、割化弦”的变形．典例分类剖析考点1知一求其他问题 命题规律已知一个角的某一三角函数值求这个角的其余三角函数值．[例1] (1)已知,54sin =α且α是第二象限角，则αtan 的值是( )． 34.-A 43.-B 43.C 34.D(2)已知,54sin =α求αtan 的值．[解析] (1),54sin =α 且α是第二象限角，,53)54(1sin 1cos 22-=--=--=∴αα⋅-=-==∴345354cos sin tan ααα 故选A ．αα∴>=,054)2(ms 是第一或第二象限角， 当α为第一象限角时，,53sin 1cos 2=-=αα;34cos sin tan ==∴ααα当α为第二象限角时，,53sin 1cos 2-=--=αα⋅-==∴34cos sin tan ααα∴ 当α为第一象限角时，;34tan =α当α为第二象限角时，⋅-=34tan α[答案】 (1)A(2)见解析．[点拨] (1)已知ααααcot tan cos sin 、、、四个三角函数值中的一个，就可以求另外三个，但在利用平方关系时，符号的选择是看α属于哪个象限，这是易出错的地方，应引起重视．当α的象限不确定时，则需分象限讨论．(2)同角三角函数的基本关系式反映了各种三角函数之间的内在联系，为三角函数式的变形提供了工具和方法，1．(1)已知,51sin =α求.tan ,cos αα(2)A 是△ABC 的—个内角，且,54sin =A 求7cos 158sin 5-+A A 的值 考点2 含字母的知一求其他问题命题规律已知一个角的莱一三角函数值以字母呈现，求这个角的其他三角函数值．[例2] 已知),1|(|sin ≤=m m α求αtan 的值．[解析] 可先由,sin 1cos 2αα-±=根据正、负号的选取情况对α作出讨论，再求.tan α (1)当0=m 时，.0cos sin tan ==ααα (2)当1±=m 时，α的终边落在y 轴上，此时αtan 无意义． (3)当α在第一、四象限时，,0cos >α,11cos 2m ms -=-=∴αα ⋅--=-==∴22111cos sin tan m m m mm ααα 当α在第二、三象限时，,0cos <α,1cos 2m --=∴α⋅--=--==∴111cos sin tan 22m m m mm ααα 2．已知,tan m =α求.cos sin αα、考点3 关于ααcos sin 、齐次式的求值问题 命题规律已知αtan 的值，求含有ααcos sin 、的齐次式的三角函数式的值． [例3] 已知,0cos 2sin 3=-αα求下列各式的值．;sin cos sin cos sin cos sin cos )1(αααααααα-+++-.cos 4cos sin 2sin )2(22αααα+-[解析] 解此题的常规思路是由ααcos 2sin 3=得=αtan ⋅32再讨论α在第一或第三象限时αsin 和αcos 的值，进而可求出所要求的值．但这种方法计算量过大．我们注意到(1)中分子、分母都是关于ααcos sin 和的一次齐次式，因此在它的分子、分母中同除以,cos α就转化成用αtan 表示，因而很容易求出其值．(2)中把分母看做是l ，并用22cos +αm s 的式子α来代替，因而与(1)类似地转化即可．(1)显然,32tan ,0cos =∴=/αα ++-=-+++-=-+++-321321tan 1tan 1tan 1tan 1sin cos sin cos sin cos sin cos αααααααααααα526321321=-+=++-=+-αααααααααα222222cos sin cos 4cos sin 2sin cos 4cos sin 2sin )2( ⋅=++-=++-1328194434941tan 4tan 2tan 22ααα 3．已知,3tan =α求下列各式的值：;sin cos 3sin cos 3sin cos 4sin cos 4)1(αααααααα+-+-+.4cos sin 3sin 2)2(2+-ααα考点4化简问题 命题规律化简给出的三角函数式， [例4] 化简下列各式：;sin 1sin 1sin 1sin 1tan 1cos 1)1(αααααα+---+++⋅----θθθθ4466cos sin 1cos sin 1)2( [解析] (1)原式=--+++ααααα22sin 1)sin 1(cos sin 1.cos 1+=--ααααcos |cos |sin 1)sin 1(2|cos |sin 1|cos |sin 1αααα--+⎩⎨⎧≡---+==N h zrx hLhhk z x z αααα(tan 21),*9(tan 21 (2)原式=θθθθθθθθ44226622cos sin cos sin cos cos sin --+--+ms)cos 1(cos )sin 1(sin )cos 1(cos )1(sin 22224242θθθθθθθθ-+--+-=ms )cos 1(cos )sin 1(sin )cos 1)(cos 1(cos )sin 1)(sin 1(sin 2222222222θθθθθθθθθθ-+--++-+=θθθθθθθθθθ2222222222sin cos cos sin )cos 1(cos .sin )sin 1(cos sin ⋅+⋅+++⋅=⋅=+++⋅=23cos .sin 2)cos 1sin 1(cos 8222222θθθθθθm [点拨】对(1)运用公式，想方设法将无理式化为有理式，将结果化为最简形式．对(2)，遇到高次，要通过基本关系式降次，将l 代换为,cos 22θθ+ms 再因式分解．注意切化弦的技巧， 4．化简：++++ 38281in )1(222in in s o ;89sin 2;cos sin 3sin cos )2(2266αααα++.cos sin 1cos sin 2cos sin 1)3(⋅+++++αααααα考点5 三角式的证明 命题规律证明给出的三角恒等式成立．[例5] 求证：.)cos sin 1()1)(sin 1(22αααα+-=+-coB[解析] 左边=+=-+-+1cos sin 2cos 2sin 211ααααsin2cos sin 22-+αα+ααcos-+=-ααα(cos 21)sin (cos 2=+-=-+22cos sin 1()sin (cos )sin ）ααααα右边．[点拨]证明三角恒等式的常用方法与证明代数恒等式的常用方法基本相同，即(1)从右证到左；(2)从左证到右；(3)证明左右归一．选择哪一种的原则是化繁为简，另外还有变更命题法，如要证,DCB A = 可证,BC AD =或证A CB D =等． 5．(1)证明：=+-+ααααcos 1sin sin 1cos ⋅++-ααααcos sin 1)sin (cos 2 (2)已知,1tan 2tan22+=βα求证：.1sin 2sin 22-=αβ考点61cos sin 22=+αα的变式应用命题规律已知ααααsin cos cos sin ⋅±、中之一，求其余两个的值或求ααcos sin 、的值． [例6] 已知：),,0(,51cos sin πθθθ∈=+求值： .cos sin )3(;cos sin )2(;tan )1(33θθθθθ+-[解析] ),,0(,51cos sin πθθθ∈=+ .02512cos <-=∴θθms ,0cos ,0sin <>∴θθ且θθcos ,sin 是方程02512512=--x x 的两根，解方程得⋅-==53,5421x x ⋅-==∴53cos ,54sin θθ⋅=+=--=∴12537cos sin ,57cos ,34tan 33θθθθθm s 6．(1)已知,41cos .sin =αα且<<απ4,2π求ααsin cos -的值．(2)设θθcos sin h -是方程0)13(22=++-m x x 的两根，求m 与θθθθθθcos sin 2tan 1cos cot 1sin --+-的值。
高中数学_1.2.3 同角三角函数的基本关系式教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计(一)自主学习推导公式1、证明公式：（同角三角函数基本关系）（1）平方关系：（2）商的关系：回忆：任意角三角函数的定义？学生回答：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y）则：sinα=y；cosα=x，引导学生注意：单位圆中所以，sin2α+cos2α=1；设计意图：引导学生运用已知知识解决未知知识，体会数学知识的形成过程。
2、辨析讨论—深化公式辨析1思考：上述两个公式成立有什么要求吗？设计意图：注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的。
如（2）式中辨析2判断下列等式是否成立：设计意图：注意“同角”，至于角的形式无关重要，突破难点。
辨析3思考：你能将两个公式变形么？（师生活动：对于公式变式的认识，强调灵活运用公式的几大要点。
）设计意图：对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用）等(二)小组合作及时训练自然界的万物都有着千丝万缕的联系，大家只要养成善于观察的习惯，也许每天都会有新的发现。
刚才我们发现了同角三角函数的基本关系式,那么这些关系式能用于解决哪些问题呢？[例1] 已知sinα=0.8，且α是第二象限角，求cosα，tanα的值．思考1：条件“α是第二象限的角”有什么作用？思考2：如何建立cosα与sinα的联系？如何建立他们与tanα的联系？设计意图：借助学生对于刚学习的知识所拥有的探求心理，让他们学习使用两个公式来求三角函数值。
变式：α是第四象限角，tanα＝－5/12，求sinα.思考：本题与例题一的主要区别在哪儿？如何解决这个问题？设计意图: 对比之前例题，强调他们之间的区别，并且说明解决问题的方法：针对α可能所处的象限分类讨论。
小结：（由学生自己总结，师生共同归纳得出）2.注意：若α所在象限未定，应讨论α所在象限。
设计意图：利用例题与变式，共同总结两类问题的解决方法，培养学生归纳分析能力。
[例2]本题已知正切的值欲求sin α，tan α的值．设计意图：利用商的关系的灵活使用，解法多样，通过对公式正向、逆向、变式使用加深对公式的理解与认识。
同角三角函数
同角三角函数1.同角三角函数的基本关系式根据三角函数定义，容易得到如下关系式(1)平方关系 sin2α+cos2α=11+tan2α=sec2α1+cot2α=csc2α(2)乘积关系 sinα=cosα²tanα,cosα=sinα²cotαcotα=cosα²cscα,cscα=cotα²secαsecα=cscα²tanα,tanα=secα²sinα(3)倒数关系 sinα²cscα=1,cosα²secα=1,tanα²cotα=1说明：(1)以上关系式仅当α的值使等式两边都有意义时才能成立.例如，当α=(k∈Z)时，tanα²cotα=1就不成立.另外，要注意是同角，如sin2α+cos2α=1，但sin2α+cos2β=1就不恒成立.(2)对公式除了顺用，还应学会逆用、变用、活用.例如，由sin2α+cos2α=1变形为cos2=1-sin2α,cosα=±,sinα²cosα=等等.对于cosα=±,“±”号的选取要由α所在象限来确定，当α在第一或第四象限时，取“+”；当α在第二或第三象限时，取“-”.而对于其他形式的公式就不必考虑符号问题.如α是第二象限角，tanα=而不能认为tanα=- (因为α是第二象限角，所以tanα为负值).其实α在第二象限，sinα为正值，cosα为负值，所以tanα=结果自然得负值，如果再加“-”，结果就得正值了.(3)要注意“1”的代换.如可用sin2α+cos2α,sec2α-tan2α,sinα²cscα,tanα²cot α等去代换1.(4)记忆方法(如图).首先某函数与它的余函数在同一水平线上.①在对角线上的两个三角函数值的乘积等于1，如tanα²cotα=1.②在阴影的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方，如1+tan2α=sec2α。
同角三角函数的基本关系式
1.2.3 同角三角函数的基本关系式【课前准备】 1．课时目标（1）正确理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α+cos 2α=1，tan α=ααcos sin ；（2）会利用同角三角函数关系式进行化简、求值与证明等；（3）特别注意确定三角函数值的符号；（4）掌握等价转化的思想方法，提高分析问题与解决问题的能力．2．基础预探同角三角函数的基本关系式：sin 2α+cos 2α=________（平方关系），tan α=________（商数关系）． 说明：①注意“同角”，至于角的形式无关重要，如sin 24α+cos 24α=________等； ②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，以后遇到的关系式（包括已证的和待证的）也是这样；③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：sin 2α=________，sin α=________，cos α=________等．【知识训练】1．α是第四象限角，cos α=1312，则sin α=（ ） A ．135 B ．－135 C ．125 D ．－1252．已知sin α=55，则sin 4α－cos 4α的值为（ ） A ．－53 B ．－51 C ．51 D ．53 3．若sin θθ2sin +cos θθ2cos =－1（θ≠2πk ，k ∈Z ），则θ所在象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知tan α=－2，则ααααcos 3sin 2cos sin +-的值是________．5．已知sinθ＋cosθ＝22，求tanθ＋θtan 1的值．6．化简：（1）2sin 12sin 2cos 2sin 212-+-；（2）x x xx 4266sin sin cos sin 1---． 【学习引领】1．运用同角三角函数的基本关系，由一个角的一个三角函数值求这个角的其他三角函数值时，一般先用平方关系，然后两边开方，这时要考虑正负，要对角的象限加以讨论（特别，用平方关系求正弦（或余弦）时要考虑正负，要对角的象限加以讨论）．2．计算、化简或证明三角函数式时常用技巧有：①“1”的代换．为了解题的需要有时可以将1用sin 2α+cos 2α代替． ②切化弦．利用商数关系把正切化为正弦和余弦函数． ③整体代替．将计算式适当变形使条件可以整体代入或将条件适当变形找出与算式之间的关系．3．应掌握公式的一些常见的等价变形，如sin 2α=1－cos 2α，sin α=tan αcos α等． 题型二：简单的求值问题例2．已知sin α= t 且|t|<1，求角α的余弦和正切值．思路导析：根据条件sin α= t 且|t|<1，可以确定角α可能为四个象限和x 轴上的轴线角，通过分类讨论加以确定相应的角α的余弦和正切值，这里的讨论可以根据余弦值的正负值加以分类，简化讨论类型．解析：∵sin α= t 且|t|<1，∴角α可能为四个象限和x 轴上的轴线角， （1）当α为第一、第四象限和x 轴非负半轴上时，有cos α=α2sin 1- =21t -，tan α=ααcos sin =21tt-；（2）当α为第二、第三象限和x 轴非正半轴上时，有 cos α=－α2sin 1- =－21t -，tan α=ααcos sin =－21tt -．点评：若已知正弦、余弦、正切中的某一个三角函数值是用字母给出的，且角所在的象限也没有指定时，这个角可能在四个象限（也可能是轴线角），这时，解这类问题不必按四个象限分别讨论，只须将四个象限角（可能含轴线角）的三角函数值分成两组去求，所以从形式上仍可看作是有两组结果．变式练习2：已知－2π<x<0，sinx+cosx=51，求sinx －cosx 的值．题型三：简单的证明问题 例3．证明：ααααcos sin 1)sin (cos 2++-=ααsin 1cos +－ααcos 1sin +．思路导析：由于等式的左右两边都较繁，结合同角三角函数基本关系式，可以多角度入手，加以证明与应用．证明：证法一：右边=)cos 1)(sin 1(sin sin cos cos 22αααααα++--+=ααααααααcos sin cos sin 1)sin cos 1)(sin (cos +++++-=)cos sin cos sin 1(2)sin cos 1)(sin (cos 2αααααααα+++++- =ααααααααααcos sin 2cos 2sin 2cos sin 1)sin cos 1)(sin (cos 222+++++++- =2)cos sin 1()cos sin 1)(sin (cos 2αααααα++++-=左边，所以原式成立．证法二：欲证等式ααααcos sin 1)sin (cos 2++-=ααsin 1cos +－ααcos 1sin +=)cos 1)(sin 1()cos sin 1)(sin (cos αααααα++++-，只需证：2（1+sin α）（1+cos α）=（1+sin α+cos α）2，即证：2+2sin α+2cos α+2sin αcos α=1+sin 2α+cos 2α+2sin α+2cos α+2sin αcos α， 即1= sin 2α+cos 2α，显然成立．证法三：先转化命题改证：2（cos α－sin α）=（1+sin α+cos α）（ααsin 1cos +－ααcos 1sin +），接下来加以证明：因为（1+sin α+cos α）（ααsin 1cos +－ααcos 1sin +）=cos α+ααsin 1cos 2+－sin α－ααcos 1sin 2+= cos α+1－sin α－sin α－1+ cos α=2（cos α－sin α），所以原式成立．点评：证明等式常用方法：①左边证明到右边或右边证明到左边（从繁到简的原则）；②由两边向中间证；③分析法：欲证B A =DC，只证A·D=B·C 从而使分式化成整式． 变式练习3：求证：cos2x-sin2x cos2x+sin2x =1-tan2x1+tan2x．题型四：简单应用问题 例4．设α是第三象限的角，问是否存在实数m ，使sin α，cos α是关于x 的方程8x 2＋6mx ＋2m ＋1＝0的两个根？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．思路导析：综合利用同角三角函数基本关系式，方程存在实根的条件以及根与系数的关系加以综合应用有关的存在性问题．解析：假设存在实数m 满足条件，由题设得△＝36m 2－32（2m ＋1）≥0…①，sin α＋cos α＝－34m …②，sin αcos α＝18（2m ＋1）…③，由sin 2α＋cos 2α＝1，得（sin α＋cos α）2＝1＋2sin αcos α…④， 将②、③代入④整理得9m 2－8m －20＝0，解得m ＝2或m ＝－109，∵m ＝2不满足①，又α是第三象限角，∴sin α＜0，cos α＜0，从而sin α＋cos α＜0， ∴m ＝－109不满足②，故满足条件的实数m 不存在．点评：此类问题一要注意灵活运用公式sin 2α＋cos 2α= 1解题；二不要忽视方程存在实根的条件；三要利用根与系数的关系列成混合组．变式练习4：已知α是三角形的一个内角，且sinα＋cosα=32，则这个三角形是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形 【随堂练习】1．若x ∈[0，2π），且1－cos 2x ＋1－sin 2x ＝sin x －cos x ，则x 的取值范围是（ ）A ．[0，π2]B ．[π2，π]C ．[0，3π2]D ．[3π2，2π）2．已知α是第二象限的角，tanα=21，则cosα=（ ） A ．552 B ．－552 C ．55 D ．－553．已知sin α+cos α=51，那么角α所在的象限是（ ） A ．第一或第二象限 B ．第三或第四象限 C ．第一或第三象限 D ．第二或第四象限 4．已知sin θ=a a +-11，cos θ=aa +-113，若θ是第二象限角，则实数a 的值为________． 5．已知sin α+cos α=57，且tan α＞1则cos α=________． 6．若cos α＝－35，且tan α＞0，求tan αcos 3α1－sin α的值．【课后作业】1．已知tanx=21，那么sinxcosx 的值为（ ） A ．51 B ．52 C ．53 D ．542．如果关于x 的一元二次方程（3sin α）x 2－4（cos α）x+2=0有两个实数根，则sin α的取值范围是（ ）A ．－1≤sin α≤12B ．－2≤sin α≤12C ．1≤sin α<0或0<sin α≤12 D ．－1≤sin α<03．若ααsin sin 1-1+=ααcos sin 1+，则α的取值范围是________．4．若2cos 2x+3cosxsinx －3sin 2x=1，则tanx=________．5．a 、b 为何值时，函数y ＝（a －b ）sin 2x ＋a ＋b 2cos 2x 的值恒为2？6．已知角α为三角形内角，且sin α－cos α=51，求： （1）sin αcos α； （2）sin α+cos α； （3）sin 3α+cos 3α．答案：【课前准备】 2．基础预探1，ααcos sin ；1，1－cos 2α，tan αcos α，ααtan sin ； 【知识训练】1．B ；解析：由于α是第四象限角，cos α=1312，则sin α=－α2cos 1-=－135；2．A ；解析：由于sin α=55，则sin 4α－cos 4α=（sin 2α+cos 2α）（sin 2α－cos 2α）=sin 2α－cos 2α=2sin 2α－1=－53； 3．C ；解析：由于sin θθ2sin +cos θθ2cos =sin θ|sin θ|+cos θ|cos θ|=－1，那么sin θ<0，cos θ<0，即θ所在象限是第三象限角；4．3；解析：由于cos α≠0（否则等式不成立），则分式同时除以cos α得ααααcos 3sin 2cos sin +-=3tan 21tan +-αα=3)2(212+-⨯--=3；5．解析：由sinθ＋cosθ＝22两边平方，得1＋2sinθcosθ＝12，即sinθcosθ＝－14， ∴tanθ＋θtan 1＝θθcos sin +θθsin cos =θθθθcos sin cos sin 22+=θθcos sin 1=－4．6．解析：（1）原式=2cos 2sin 2cos 2sin 22cos 2sin 222+-+=|2cos |2sin )2cos 2(sin 2+-，由于2∈（2π，π），则sin2>0，cos2<0，sin2－cos2>0， 则|2cos |2sin )2cos 2(sin 2+-=2cos 2sin 2cos 2sin --=1；（2）原式=)sin 1(sin )cos (sin 12266x x x x -+-=x x x x x x x x 22422422cos sin )cos cos sin )(sin cos (sin 1+-+-=x x x x x x 2222222cos sin ]cos sin 3)cos [(sin 1-+- =xx x x 2222cos sin cos sin 311+-=x x x x 2222cos sin cos sin 3=3．【典例导析】变式练习1：解析：原式=sin θcos θ（tanθ＋θtan 1）= sin θcos θ（θθcos sin +θθsin cos ）= sin 2θ+cos 2θ=1；变式练习2：解析：方法一：由sinx+cosx=51，平方得sin 2x+2sinxcosx+cos 2x=251，即2 sinxcosx=－2524，由于（sinx －cosx ）2=1－2 sinxcosx=2549， 又因为－2π<x<0，所以sinx<0，cosx>0，则有sinx －cosx<0，故sinx －cosx=－57． 方法二：联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1cos sin 51cos sin 22x x x ，把sinx=51－cosx 将其代入得sin 2x+cos 2x=1，整理得25cos 2x －5cosx －12=0，所以解得cosx=－53或cosx=54，因为－2π<x<0，所以cosx>0，即cosx=54，此时sinx=51－cosx=51－54=－53，故sinx －cosx=－53－54=－57．变式练习3：证明：cos2x-sin2x cos2x+sin2x ＝cos2x-tan2xcos2x cos2x+tan2xcos2x ＝cos2x(1-tan2x)cos2x(1+tan2x)＝1-tan2x1+tan2x ，即cos2x-sin2x cos2x+sin2x =1-tan2x1+tan2x．变式练习4：B ；解析：由于sinα＋cosα=32，则（sinα＋cosα）2=94，即sinαcosα=－185<0，而由于α是三角形的一个内角，则0<α<π，那么sin α>0，cos α<0，则这个三角形是钝角三角形；【随堂练习】 1．B ；解析：由同角三角函数的基本关系式，原式化为：1－cos 2x ＋1－sin 2x ＝|sin x |＋|cos x |＝sin x －cos x ．故应有sin x ≥0，cos x ≤0，则x ∈[π2，π]；2．B ；解析：由于tanα=ααcos sin =21，则sin α=21cosα，代入sin 2α+cos 2α=1得cos 2α=54，而知α是第二象限的角，则cosα=－552； 3．D ；解析：两边平方得1+2sin αcos α=251，∴sin αcos α=－2512＜0，∴α是第二或第四象限角；4．91；解析：依题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-++-<+-<-<+-<.11131101131111022）（）（，，a a a a a a a a解得a =91或a =1（舍去），故实数a =91； 5．53；解析：由sin α＋cos α=57，两边平方得：sin αcos α=2512，因此sin α＞0，cos α＞0，所以α为第一象限角又tan α＞1，所以sin α＞cos α，由sin α＋cos α与sin αcos α的值构造方程x 2－57x ＋2512=0，可得方程的根为：53、54，所以sin α=54，cos α=53；6．解析：由cos α=－35，且tan α＞0，知α在第三象限，由sin 2α+cos 2α=1，得sin 2α=1－cos 2α，sin α=－1－cos 2α=－45，∴tan αcos 3α1－sin α=tan αcos α·cos 2α1－sin α=sin α(1－sin 2α)1－sin α=sin α（1+sin α）=－45×（1－45）=－45×15=－425．【课后作业】1．B ；解析：由于sinxcosx=1cos sin x x =x x x x 22cos sin cos sin +=1tan tan 2+x x =14121+=52； 2．C ；解析：原方程有两个实数根，则应满足下列条件⎩⎨⎧ sin α≠0△=(-4cos α)2﹣4×(3sin α)×2≥0，即⎩⎨⎧sin α≠0-2≤sin α≤12，又－1≤sin α≤1，∴－1≤sin α≤12，但 sin α≠0，从而有1≤sin α<0或0<sin α≤12；3．（2k π－2π，2k π+2π）（k ∈Z ）；解析：∵ααsin sin 1-1+=)sin 1)(sin ()sin 1(2ααα+-1+=|cos |sin 1αα+=ααcos sin 1+，∴cos α＞0，∴α∈（2k π－2π，2k π+2π）（k ∈Z ）； 4．1或－41；解析：由于2cos 2x+3cosxsinx －3sin 2x=1，则2cos 2x+3cosxsinx －3sin 2x －1=0，即cos 2x+3cosxsinx －4sin 2x=0，由于cos x ≠0（否则等式不成立），则两边都除以cos 2x 得1+3tanx －4tan 2x=0，解得tanx=1或tanx=－41； 5．解析：∵（a －b ）sin 2x ＋a ＋b 2cos 2x ＝2，（a －b ）sin 2x ＋a ＋b 2cos 2x ＝2·1， ∴（a －b ）sin 2x ＋a ＋b 2cos 2x ＝2（sin 2x ＋cos 2x ），两边同时除以cos 2x ，可得（a －b ）tan 2x ＋a ＋b 2＝2tan 2x ＋2，即（a －b －2）tan 2x ＝2－a ＋b2，∵对任意tanx ，该式恒成立，则⎩⎨⎧a －b －2＝02－a ＋b 2＝0，解得a ＝3，b ＝1． 6．解析：（1）由于角α为三角形内角，则α∈（0，π），由sin α－cos α=51，平方得sin 2α－2sin αcos α+cos 2α=251， 则2sin αcos α=2524，即sin αcos α=2512；（2）由于sin αcos α=2512>0，且α∈（0，π），则可知角α为锐角， 那么sin α+cos α=2)cos (sin αα+=ααααcos sin 2cos sin 22++=57； （3）sin 3α+cos 3α=（sin α+cos α）（sin 2α－sin αcos α+cos 2α）=57×（1－2512）=12591．。
三角函数的基本关系式
1. 同角三角函数的基本关系式 tan α ⋅ cot α = 1 sin α ⋅ csc α = 1 cos α ⋅ sec α = 1 2. 倒数关系:
tan α =
sin α sec α = cos α csc α 1 cos α csc α = = tan α sin α sec α
正弦为奇函数 余弦为偶函数 正切为奇函数 sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα sin（3π/2＋α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝ sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanα sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα (其中 k∈Z)
3. 商的关系： cot α = 4. 平方关系：
sin 2 α + cos 2 α = 1
1 + tan 2 α = sec2 α =
(对应于勾股定理)
1 (上述公式的扩展) cos 2 α 1 1 + cot 2 α = csc2 α = sin 2 α
5. 诱导公式 单一角公式 sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα sin（3π/2－α）＝－cosα cos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝cotα cot（3π/2－α）＝tanα sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα
第一章 1.2.3同角三角函数的基本关系式(二)
填一填·知识要点、记下疑难点
1.2.3（二）
本 课 时 栏 目 开 关
1．同角三角函数的基本关系 2 2 2 cos2α ；1 (1)平方关系： sin α＋cos α ＝1.变形：1－sin α＝ 2 －cos2α＝ sin α . sin α cos (2)商数关系：tan α＝ .变形：sin α＝ tan α· α ；cos α cos α sin α ＝ tan α . 2．(sin α＋cos α)2＝ 1＋2sin αcos α ； (sin α－cos α)2＝ 1－2sin αcos α . t2－1 3．若设 sin α＋cos α＝t，则 sin αcos α＝ 2 ； 1－t2 若设 sin α－cos α＝t，则 sin αcos α＝ 2 .
＝左边．
tan α· α sin sin α 方法二 左边＝ ＝ ， tan α－tan αcos α 1－cos α tan α＋tan αcos α 1＋cos α 右边＝ ＝ tan αsin α sin α 1－cos2α sin2α sin α ＝ ＝ ＝ . sin α1－cos α sin α1－cos α 1－cos α ∴左边＝右边，原等式成立．
研一研·问题探究、课堂更高效
1－cos4α－sin4α 跟踪训练 1 化简： . 1－cos6α－sin6α
1－cos4α－sin4α 解 原式＝ 1－cos6α－sin6α 1－cos2α1＋cos2α－sin4α ＝ 1－cos2α1＋cos2α＋cos4α－sin6α sin2α1＋cos2α－sin4α ＝ 2 sin α1＋cos2α＋cos4α－sin6α 1＋cos2α－sin2α ＝ 1＋cos2α＋cos4α－sin4α 2cos2α ＝ 1＋cos2α＋cos2α＋sin2αcos2α－sin2α 2cos2α 2cos2α 2 ＝ ＝ 2 ＝ . 1＋cos2α＋cos2α－sin2α 3cos α 3
高考数学复习同角三角函数的基本关系与诱导公式
第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式 最新考纲考向预测1.理解同角三角函数的基本关系式sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin xcos x ＝tan x .2.借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π2，α±π的正弦、余弦、正切. 命题趋势 考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式解决条件求值问题，常与三角恒等变换相结合起到化简三角函数关系的作用，强调利用三角公式进行恒等变形的技巧以及基本的运算能力.核心素养数学运算1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2x ＋cos 2x ＝1．(2)商数关系：tan x ＝sin x cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中x ≠k π＋π2，k ∈Z .2．三角函数的诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 α＋2k π (k ∈Z ) π＋α －α π－α π2－α π2＋α 正弦 sin α －sin__α －sin__α sin__α cos__α cos__α 余弦 cos α －cos__α cos__α －cos__α sin__α －sin__α正切tan αtan__α－tan__α－tan__α常用结论1．诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．2．同角三角函数的基本关系式的几种变形 (1)sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；cos 2α＝1－sin 2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (2)sin α＝tan αcos α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2＋k π，k ∈Z .(3)sin 2α＝sin 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2αtan 2α＋1；cos 2α＝cos 2αsin 2α＋cos 2α＝1tan 2α＋1.常见误区1．同角三角函数的基本关系式及诱导公式要注意角的范围对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系求三角函数值，进行开方时要根据角的范围，判断符号后，正确取舍．2．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意的角α，β，都有sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( )(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( ) (4)若cos(n π－θ)＝13(n ∈Z )，则cos θ＝13.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)×2．(易错题)已知cos(π＋α)＝23，则tan α＝( ) A ．52 B ．255 C ．±52D ．±255解析：选C.因为cos(π＋α)＝23， 所以cos α＝－23，则α为第二或第三象限角，所以sin α＝±1－cos 2α＝±53.所以tan α＝sin αcos α＝±53－23＝±52. 3．已知sin αcos α＝12，则tan α＋1tan α＝( ) A ．2 B ．12 C ．－2D ．－12解析：选A.tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝112＝2.4．sin 2 490°＝________；cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52π3＝________．解析：sin 2 490°＝sin(7×360°－30°)＝－sin 30°＝－12.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52π3＝cos 52π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫16π＋π＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝－cos π3＝－12. 答案：－12 －125．化简cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π＋α·cos(2π－α)的结果为________．解析：原式＝sin αcos α·cos α＝sin α. 答案：sin α同角三角函数的基本关系式 角度一 “知一求二”问题(2020·北京市适应性测试)已知α是第四象限角，且tan α＝－34，则sinα＝( )A ．－35 B.35 C.45 D ．－45 【解析】 因为tan α＝sin αcos α＝－34， 所以cos α＝－43sin α ①.sin 2α＋cos 2α＝1 ②，由①②得sin 2α＝925，又α是第四象限角，所以sin α<0，则sin α＝－35，故选A.【答案】 A利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．角度二 sin α，cos α的齐次式问题已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值：(1)sin α－3cos αsin α＋cos α；(2)sin 2α＋sin αcos α＋2. 【解】 由已知得tan α＝12. (1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝－53.(2)sin 2α＋sin αcos α＋2＝sin 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2＝tan 2α＋tan αtan 2α＋1＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＋2＝135.关于sin α与cos α的齐n 次分式或齐二次整式的化简求值的解题策略已知tan α，求关于sin α与cos α的齐n次分式或齐二次整式的值．角度三sin α±cos α，sin αcos α之间的关系已知α∈(－π，0)，sin α＋cos α＝1 5.(1)求sin α－cos α的值；(2)求sin 2α＋2sin2α1－tan α的值．【解】(1)由sin α＋cos α＝1 5，平方得sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝1 25，整理得2sin αcos α＝－24 25.所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝49 25.由α∈(－π，0)，知sin α<0，又sin α＋cos α>0，所以cos α>0，则sin α－cos α<0，故sin α－cos α＝－7 5.(2)sin 2α＋2sin2α1－tan α＝2sin α（cos α＋sin α）1－sin αcos α＝2sin αcos α（cos α＋sin α）cos α－sin α＝－2425×1575＝－24175.sin α±cos α与sin αcos α关系的应用技巧(1)通过平方，sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α之间可建立联系，若令sin α＋cos α＝t ，则sin αcos α＝t 2－12，sin α－cos α＝±2－t 2(注意根据α的范围选取正、负号)．(2)对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，可以知一求二．1．(2020·河南六市一模)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则tan α＝( )A ．43 B ．34 C ．－34D ．±34解析：选B.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，所以sin α＝－35.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝34.2．已知tan α＝－34，则sin α(sin α－cos α)＝( ) A.2125 B.2521 C.45D.54解析：选 A.sin α(sin α－cos α)＝sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1，将tan α＝－34代入得原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－342－⎝ ⎛⎭⎪⎫－34⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＋1＝2125.3．(一题多解)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－22 C ．22D ．1解析：选A.方法一：由⎩⎨⎧sin α－cos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，得2cos 2α＋22cos α＋1＝0，即(2cos α＋1)2＝0， 所以cos α＝－22.又α∈(0，π)，所以α＝3π4， 所以tan α＝tan 3π4＝－1.方法二：因为sin α－cos α＝2， 所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1.因为α∈(0，π)，所以α＝3π4，所以tan α＝－1.法三：由sin α－cos α＝2得1－sin 2α＝2，所以sin 2α＝－1. 设sin α＋cos α＝t ，所以1＋sin 2α＝t 2，所以t ＝0.由⎩⎨⎧sin α－cos α＝2，sin α＋cos α＝0得sin α＝22，cos α＝－22， 所以tan α＝－1.诱导公式的应用(1)sin(－1 200°)cos 1 290°＝________．(2)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线3x －y ＝0上，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＋2cos （π－θ）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin （π－θ）等于________．【解析】 (1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290° ＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°) ＝－sin 120°cos 210°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°) ＝sin 60°cos 30°＝32×32＝34.(2)由题意可知tan θ＝3，原式＝－cos θ－2cos θcos θ－sin θ＝－31－tan θ＝32.【答案】 (1)34 (2)32【引申探究】 (变问法)若本例(2)的条件不变，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－sin （－π－θ）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋θ＝________．解析：由题意可知tan θ＝3， 原式＝－sin θ＋sin （π＋θ）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π－π2－θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π2＋θ ＝－sin θ－sin θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝－2sin θ－sin θ＋cos θ＝2tan θtan θ－1＝2×33－1＝3.答案：3(1)诱导公式用法的一般思路①化负为正，化大为小，化到锐角为止；②角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍． (2)常见的互余和互补的角①常见的互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等； ②常见的互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．1．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6的值是( )A ．－13 B.13 C.223 D ．－223解析：选A.因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－13.2．(多选)已知A ＝sin （k π＋α）sin α＋cos （k π＋α）cos α＋tan （k π＋α）tan α，则A 的值可以是( )A ．3B ．－3C ．1D ．－1解析：选AD.由已知可得，当k 为偶数时，A ＝sin （k π＋α）sin α＋cos （k π＋α）cos α＋tan （k π＋α）tan α＝sin αsin α＋cos αcos α＋tan αtan α＝3；当k 为奇数时，A ＝sin （k π＋α）sin α＋cos （k π＋α）cos α＋tan （k π＋α）tan α＝－sin αsin α＋－cos αcos α＋tan αtan α＝－1，所以A 的值可以是3或－1.故答案为AD.同角三角函数的基本关系式与诱导公式的综合应用(2020·湖北宜昌一中期末)已知α是第三象限角，且cos α＝－1010. (1)求tan α的值；(2)化简并求cos （π－α）2sin （－α）＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值．【解】 (1)因为α是第三象限角，cos α＝－1010， 所以sin α＝－1－cos 2α＝－31010，所以tan α＝sin αcos α＝3.(2)原式＝－cos α－2sin α＋cos α＝cos α2sin α－cos α＝12tan α－1，由(1)知tan α＝3，所以原式＝12×3－1＝15.求解诱导公式与同角关系综合问题的基本思路和化简要求基本 思路①分析结构特点，选择恰当公式； ②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式化简 要求①化简过程是恒等变换；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值1．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝35，所以tan α的值为( )A ．－43B ．－34C ．±43D ．±34解析：选C.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝35，所以sin α＝±45，tan α＝sin αcos α＝±43.2．已知tan(π－α)＝－23，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，则cos （－α）＋3sin （π＋α）cos （π－α）＋9sin α的值为( )A ．－15B ．－37 C.15 D.37解析：选 A.因为tan(π－α)＝－23，所以tan α＝23，所以cos （－α）＋3sin （π＋α）cos （π－α）＋9sin α＝cos α－3sin α－cos α＋9sin α＝1－3tan α－1＋9tan α＝1－2－1＋6＝－15，故选A.[A 级 基础练]1．(多选)已知x ∈R ，则下列等式恒成立的是( ) A ．sin(－x )＝sin x B ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x ＝cos xC ．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝－sin xD ．cos(x －π)＝－cos x解析：选CD.sin(－x )＝－sin x ，故A 不成立；sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x ＝－cos x ，故B 不成立；cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝－sin x ，故C 成立；cos(x －π)＝－cos x ，故D 成立．2．(多选)若sin α＝45，且α为锐角，则下列选项中正确的有( )A ．tan α＝43 B ．cos α＝35 C ．sin α＋cos α＝85D ．sin α－cos α＝－15解析：选AB.因为sin α＝45，且α为锐角， 所以cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35，故B 正确， 所以tan α＝sin αcos α＝4535＝43，故A 正确，所以sin α＋cos α＝45＋35＝75≠85，故C 错误， 所以sin α－cos α＝45－35＝15≠－15，故D 错误．3．已知角α是第二象限角，且满足sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＋3cos(α－π)＝1，则tan(π＋α)＝( )A ． 3B ．－ 3C ．－33D ．－1解析：选B.由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＋3cos(α－π)＝1，得cos α－3cos α＝1，所以cos α＝－12， 因为角α是第二象限角，所以sin α＝32， 所以tan(π＋α)＝tan α＝sin αcos α＝－ 3.4．已知f (α)＝sin （2π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋αtan （π＋α），则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝( ) A ．12 B ．22 C ．32D ．－12解析：选A.f (α)＝sin （2π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋αtan （π＋α）＝－sin α·（－sin α）sin α·tan α＝sin 2αsin α·sin αcos α＝cos α，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝cos π3＝12.5．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点A (2sin α，3)(sin α≠0)，则cos α＝( )A ．12B ．－12C ．32D ．－32解析：选A.由三角函数定义得tan α＝32sin α，即sin αcos α＝32sin α，得3cos α＝2sin 2α＝2(1－cos 2α)，解得cos α＝12或cos α＝－2(舍去)．故选A.6．计算：sin 11π6＋cos 10π3的值为________．解析：原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋π3＝－sin π6－cos π3＝－12－12＝－1.答案：－17．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π2＋α＝1225，且0＜α＜π4，则sin α＝________，cos α＝________．解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π2＋α＝－cos α·(－sin α)＝sin αcos α＝1225.因为0＜α＜π4，所以0＜sin α＜cos α.又因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝35，cos α＝45.答案：35 45 8．化简1－2sin 40°cos 40°cos 40°－1－sin 250°＝________． 解析：原式＝sin 240°＋cos 240°－2sin 40°cos 40°cos 40°－cos 50°＝|sin 40°－cos 40°|sin 50°－sin 40°＝|sin 40°－sin 50°|sin 50°－sin 40°＝sin 50°－sin 40°sin 50°－sin 40°＝1.答案：19．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin 2α＋sin 2α.解：由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85.10．已知角θ的终边与单位圆x 2＋y 2＝1在第四象限交于点P ，且点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y .(1)求tan θ的值；(2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋cos （θ－2π）sin θ＋cos （π＋θ）的值．解：(1)由θ为第四象限角，终边与单位圆交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋y 2＝1，y <0，解得y ＝－32，所以tan θ＝－3212＝－ 3.(2)因为tan θ＝－3， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋cos （θ－2π）sin θ＋cos （π＋θ）＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝tan θ＋1tan θ－1＝－3＋1－3－1＝2－ 3. [B 级 综合练]11．(多选)已知角θ的终边与坐标轴不重合，式子1－sin 2（π＋θ）化简的结果为－cos θ，则( )A ．sin θ>0，tan θ>0B ．sin θ<0，tan θ>0C ．sin θ<0，tan θ<0D ．sin θ>0，tan θ<0解析：选BD.1－sin 2（π＋θ）＝1－sin 2θ＝cos 2θ＝|cos θ|＝－cos θ，所以cos θ<0，角θ的终边落在第二或三象限，所以sin θ>0，tan θ<0或sin θ<0，tan θ>0，故选BD.12．(2020·陕西汉中月考)已知角α为第二象限角，则cos α·1＋sin α1－sin α＋sin 2α1＋1tan 2α＝( )A ．1B ．－1C ．0D ．2解析：选B.因为角α为第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以cos α 1＋sin α1－sin α＝cos α（1＋sin α）2cos 2α＝cos α·1＋sin α|cos α|＝－1－sin α，sin 2α1＋1tan 2α＝sin 2α1＋cos 2αsin 2α＝sin 2αsin 2α＋cos 2αsin 2α＝sin 2α1sin 2α＝sin 2α⎪⎪⎪⎪⎪⎪1sin α＝sin α，所以cos α1＋sin α1－sin α＋sin 2α1＋1tan 2α＝－1－sin α＋sin α＝－1.故选B.13．是否存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈()0，π使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．解：假设存在角α，β满足条件． 由已知条件可得⎩⎨⎧sin α＝2sin β，①3cos α＝2cos β，②由①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2.所以sin 2α＝12，所以sin α＝±22.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以α＝±π4. 当α＝π4时，由②式知cos β＝32， 又β∈(0，π)，所以β＝π6，此时①式成立； 当α＝－π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)， 所以β＝π6，此时①式不成立，故舍去． 所以存在α＝π4，β＝π6满足条件． 14．在△ABC 中，(1)求证：cos 2A ＋B 2＋cos 2 C2＝1；(2)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋B tan(C －π)＜0，求证：△ABC 为钝角三角形．证明：(1)在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ， 所以A ＋B 2＝π2－C2，所以cos A ＋B 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 2＝sin C 2，所以cos 2A ＋ B 2＋cos 2C2＝1.(2)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋B tan(C －π)＜0，所以(－sin A )(－cos B )tan C ＜0， 即sin A cos B tan C ＜0.因为在△ABC 中，0＜A ＜π，0＜B ＜π，0＜C ＜π且sin A ＞0， 所以⎩⎨⎧cos B ＜0，tan C ＞0或⎩⎨⎧cos B ＞0，tan C ＜0，所以B 为钝角或C 为钝角，所以△ABC 为钝角三角形．[C 级 创新练]15．(2020·山东肥城统考)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现黄金分割比例为5－12≈0.618，这一数值也可以表示为m ＝2sin 18°.若m 2＋n ＝4，则m n2cos 227°－1＝( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选C.因为m ＝2sin 18°，且m 2＋n ＝4，所以n ＝4－m 2＝4－4sin 218°＝4(1－sin 218°)＝4cos 218°，所以m n2cos 227°－1＝2sin 18°4cos 218°cos 54°＝4sin 18°cos 18°sin 36°＝2.故选C.16．已知α，β∈(0，2π)且α<β，若关于x 的方程(x ＋sin α)(x ＋sin β)＋1＝0有实数根，则代数式3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－β2－sin （π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋β＝________．解析：整理方程(x ＋sin α)(x ＋sin β)＋1＝0得x 2＋x (sin α＋sin β)＋sin αsin β＋1＝0.由题意得Δ＝(sin α＋sin β)2－4sin αsin β－4≥0， 即(sin α－sin β)2≥4①.因为－1≤sin α≤1，－1≤sin β≤1，所以sin α－sin β∈[－2，2]，从而(sin α－sin β)2≤4②.由①②得sin α－sin β＝±2，所以⎩⎨⎧sin α＝1，sin β＝－1或⎩⎨⎧sin α＝－1，sin β＝1.因为α，β∈(0，2π)且α<β，所以α＝π2，β＝3π2，即⎩⎨⎧sin α＝1，sin β＝－1.因此3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－β2－sin （π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋β＝3cos α－sin β2－sin αsin β＝12＋1＝13.答案：13第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式 最新考纲考向预测1.理解同角三角函数的基本关系式sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin xcos x ＝tan x .2.借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π2，α±π的正弦、余弦、正切. 命题趋势 考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式解决条件求值问题，常与三角恒等变换相结合起到化简三角函数关系的作用，强调利用三角公式进行恒等变形的技巧以及基本的运算能力.核心素养数学运算1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2x ＋cos 2x ＝1．(2)商数关系：tan x ＝sin x cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中x ≠k π＋π2，k ∈Z .2．三角函数的诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 α＋2k π (k ∈Z ) π＋α －α π－α π2－α π2＋α 正弦 sin α －sin__α －sin__α sin__α cos__α cos__α 余弦 cos α －cos__α cos__α －cos__α sin__α －sin__α正切tan αtan__α－tan__α－tan__α常用结论1．诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．2．同角三角函数的基本关系式的几种变形 (1)sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；cos 2α＝1－sin 2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (2)sin α＝tan αcos α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2＋k π，k ∈Z .(3)sin 2α＝sin 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2αtan 2α＋1；cos 2α＝cos 2αsin 2α＋cos 2α＝1tan 2α＋1.常见误区1．同角三角函数的基本关系式及诱导公式要注意角的范围对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系求三角函数值，进行开方时要根据角的范围，判断符号后，正确取舍．2．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意的角α，β，都有sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( )(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( ) (4)若cos(n π－θ)＝13(n ∈Z )，则cos θ＝13.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)×2．(易错题)已知cos(π＋α)＝23，则tan α＝( ) A ．52 B ．255 C ．±52D ．±255解析：选C.因为cos(π＋α)＝23， 所以cos α＝－23，则α为第二或第三象限角，所以sin α＝±1－cos 2α＝±53.所以tan α＝sin αcos α＝±53－23＝±52. 3．已知sin αcos α＝12，则tan α＋1tan α＝( ) A ．2 B ．12 C ．－2D ．－12解析：选A.tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝112＝2.4．sin 2 490°＝________；cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52π3＝________．解析：sin 2 490°＝sin(7×360°－30°)＝－sin 30°＝－12.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52π3＝cos 52π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫16π＋π＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝－cos π3＝－12. 答案：－12 －125．化简cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π＋α·cos(2π－α)的结果为________．解析：原式＝sin αcos α·cos α＝sin α. 答案：sin α同角三角函数的基本关系式 角度一 “知一求二”问题(2020·北京市适应性测试)已知α是第四象限角，且tan α＝－34，则sinα＝( )A ．－35 B.35 C.45 D ．－45 【解析】 因为tan α＝sin αcos α＝－34， 所以cos α＝－43sin α ①.sin 2α＋cos 2α＝1 ②，由①②得sin 2α＝925，又α是第四象限角，所以sin α<0，则sin α＝－35，故选A.【答案】 A利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．角度二 sin α，cos α的齐次式问题已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值：(1)sin α－3cos αsin α＋cos α；(2)sin 2α＋sin αcos α＋2. 【解】 由已知得tan α＝12. (1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝－53.(2)sin 2α＋sin αcos α＋2＝sin 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2＝tan 2α＋tan αtan 2α＋1＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＋2＝135.关于sin α与cos α的齐n 次分式或齐二次整式的化简求值的解题策略已知tan α，求关于sin α与cos α的齐n次分式或齐二次整式的值．角度三sin α±cos α，sin αcos α之间的关系已知α∈(－π，0)，sin α＋cos α＝1 5.(1)求sin α－cos α的值；(2)求sin 2α＋2sin2α1－tan α的值．【解】(1)由sin α＋cos α＝1 5，平方得sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝1 25，整理得2sin αcos α＝－24 25.所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝49 25.由α∈(－π，0)，知sin α<0，又sin α＋cos α>0，所以cos α>0，则sin α－cos α<0，故sin α－cos α＝－7 5.(2)sin 2α＋2sin2α1－tan α＝2sin α（cos α＋sin α）1－sin αcos α＝2sin αcos α（cos α＋sin α）cos α－sin α＝－2425×1575＝－24175.sin α±cos α与sin αcos α关系的应用技巧(1)通过平方，sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α之间可建立联系，若令sin α＋cos α＝t ，则sin αcos α＝t 2－12，sin α－cos α＝±2－t 2(注意根据α的范围选取正、负号)．(2)对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，可以知一求二．1．(2020·河南六市一模)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则tan α＝( )A ．43 B ．34 C ．－34D ．±34解析：选B.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，所以sin α＝－35.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝34.2．已知tan α＝－34，则sin α(sin α－cos α)＝( ) A.2125 B.2521 C.45D.54解析：选 A.sin α(sin α－cos α)＝sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1，将tan α＝－34代入得原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－342－⎝ ⎛⎭⎪⎫－34⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＋1＝2125.3．(一题多解)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－22 C ．22D ．1解析：选A.方法一：由⎩⎨⎧sin α－cos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，得2cos 2α＋22cos α＋1＝0，即(2cos α＋1)2＝0， 所以cos α＝－22.又α∈(0，π)，所以α＝3π4， 所以tan α＝tan 3π4＝－1.方法二：因为sin α－cos α＝2， 所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1.因为α∈(0，π)，所以α＝3π4，所以tan α＝－1.法三：由sin α－cos α＝2得1－sin 2α＝2，所以sin 2α＝－1. 设sin α＋cos α＝t ，所以1＋sin 2α＝t 2，所以t ＝0.由⎩⎨⎧sin α－cos α＝2，sin α＋cos α＝0得sin α＝22，cos α＝－22， 所以tan α＝－1.诱导公式的应用(1)sin(－1 200°)cos 1 290°＝________．(2)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线3x －y ＝0上，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＋2cos （π－θ）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin （π－θ）等于________．【解析】 (1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290° ＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°) ＝－sin 120°cos 210°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°) ＝sin 60°cos 30°＝32×32＝34.(2)由题意可知tan θ＝3，原式＝－cos θ－2cos θcos θ－sin θ＝－31－tan θ＝32.【答案】 (1)34 (2)32【引申探究】 (变问法)若本例(2)的条件不变，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－sin （－π－θ）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋θ＝________．解析：由题意可知tan θ＝3， 原式＝－sin θ＋sin （π＋θ）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π－π2－θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π2＋θ ＝－sin θ－sin θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝－2sin θ－sin θ＋cos θ＝2tan θtan θ－1＝2×33－1＝3.答案：3(1)诱导公式用法的一般思路①化负为正，化大为小，化到锐角为止；②角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍． (2)常见的互余和互补的角①常见的互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等； ②常见的互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．1．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6的值是( )A ．－13 B.13 C.223 D ．－223解析：选A.因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－13.2．(多选)已知A ＝sin （k π＋α）sin α＋cos （k π＋α）cos α＋tan （k π＋α）tan α，则A 的值可以是( )A ．3B ．－3C ．1D ．－1解析：选AD.由已知可得，当k 为偶数时，A ＝sin （k π＋α）sin α＋cos （k π＋α）cos α＋tan （k π＋α）tan α＝sin αsin α＋cos αcos α＋tan αtan α＝3；当k 为奇数时，A ＝sin （k π＋α）sin α＋cos （k π＋α）cos α＋tan （k π＋α）tan α＝－sin αsin α＋－cos αcos α＋tan αtan α＝－1，所以A 的值可以是3或－1.故答案为AD.同角三角函数的基本关系式与诱导公式的综合应用(2020·湖北宜昌一中期末)已知α是第三象限角，且cos α＝－1010. (1)求tan α的值；(2)化简并求cos （π－α）2sin （－α）＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值．【解】 (1)因为α是第三象限角，cos α＝－1010， 所以sin α＝－1－cos 2α＝－31010，所以tan α＝sin αcos α＝3.(2)原式＝－cos α－2sin α＋cos α＝cos α2sin α－cos α＝12tan α－1，由(1)知tan α＝3，所以原式＝12×3－1＝15.求解诱导公式与同角关系综合问题的基本思路和化简要求基本 思路①分析结构特点，选择恰当公式； ②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式化简 要求①化简过程是恒等变换；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值1．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝35，所以tan α的值为( )A ．－43B ．－34C ．±43D ．±34解析：选C.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝35，所以sin α＝±45，tan α＝sin αcos α＝±43.2．已知tan(π－α)＝－23，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，则cos （－α）＋3sin （π＋α）cos （π－α）＋9sin α的值为( )A ．－15B ．－37 C.15 D.37解析：选 A.因为tan(π－α)＝－23，所以tan α＝23，所以cos （－α）＋3sin （π＋α）cos （π－α）＋9sin α＝cos α－3sin α－cos α＋9sin α＝1－3tan α－1＋9tan α＝1－2－1＋6＝－15，故选A.[A 级 基础练]1．(多选)已知x ∈R ，则下列等式恒成立的是( ) A ．sin(－x )＝sin x B ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x ＝cos xC ．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝－sin xD ．cos(x －π)＝－cos x解析：选CD.sin(－x )＝－sin x ，故A 不成立；sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x ＝－cos x ，故B 不成立；cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝－sin x ，故C 成立；cos(x －π)＝－cos x ，故D 成立．2．(多选)若sin α＝45，且α为锐角，则下列选项中正确的有( )A ．tan α＝43 B ．cos α＝35 C ．sin α＋cos α＝85D ．sin α－cos α＝－15解析：选AB.因为sin α＝45，且α为锐角， 所以cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35，故B 正确， 所以tan α＝sin αcos α＝4535＝43，故A 正确，所以sin α＋cos α＝45＋35＝75≠85，故C 错误， 所以sin α－cos α＝45－35＝15≠－15，故D 错误．3．已知角α是第二象限角，且满足sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＋3cos(α－π)＝1，则tan(π＋α)＝( )A ． 3B ．－ 3C ．－33D ．－1解析：选B.由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＋3cos(α－π)＝1，得cos α－3cos α＝1，所以cos α＝－12， 因为角α是第二象限角，所以sin α＝32， 所以tan(π＋α)＝tan α＝sin αcos α＝－ 3.4．已知f (α)＝sin （2π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋αtan （π＋α），则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝( ) A ．12 B ．22 C ．32D ．－12解析：选A.f (α)＝sin （2π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋αtan （π＋α）＝－sin α·（－sin α）sin α·tan α＝sin 2αsin α·sin αcos α＝cos α，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝cos π3＝12.5．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点A (2sin α，3)(sin α≠0)，则cos α＝( )A ．12B ．－12C ．32D ．－32解析：选A.由三角函数定义得tan α＝32sin α，即sin αcos α＝32sin α，得3cos α＝2sin 2α＝2(1－cos 2α)，解得cos α＝12或cos α＝－2(舍去)．故选A.6．计算：sin 11π6＋cos 10π3的值为________．解析：原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋π3＝－sin π6－cos π3＝－12－12＝－1.答案：－17．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π2＋α＝1225，且0＜α＜π4，则sin α＝________，cos α＝________．解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π2＋α＝－cos α·(－sin α)＝sin αcos α＝1225.因为0＜α＜π4，所以0＜sin α＜cos α.又因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝35，cos α＝45.答案：35 45 8．化简1－2sin 40°cos 40°cos 40°－1－sin 250°＝________． 解析：原式＝sin 240°＋cos 240°－2sin 40°cos 40°cos 40°－cos 50°＝|sin 40°－cos 40°|sin 50°－sin 40°＝|sin 40°－sin 50°|sin 50°－sin 40°＝sin 50°－sin 40°sin 50°－sin 40°＝1.答案：19．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin 2α＋sin 2α.解：由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85.10．已知角θ的终边与单位圆x 2＋y 2＝1在第四象限交于点P ，且点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y .(1)求tan θ的值；(2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋cos （θ－2π）sin θ＋cos （π＋θ）的值．解：(1)由θ为第四象限角，终边与单位圆交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋y 2＝1，y <0，解得y ＝－32，所以tan θ＝－3212＝－ 3.(2)因为tan θ＝－3， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋cos （θ－2π）sin θ＋cos （π＋θ）＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝tan θ＋1tan θ－1＝－3＋1－3－1＝2－ 3. [B 级 综合练]11．(多选)已知角θ的终边与坐标轴不重合，式子1－sin 2（π＋θ）化简的结果为－cos θ，则( )A ．sin θ>0，tan θ>0B ．sin θ<0，tan θ>0C ．sin θ<0，tan θ<0D ．sin θ>0，tan θ<0解析：选BD.1－sin 2（π＋θ）＝1－sin 2θ＝cos 2θ＝|cos θ|＝－cos θ，所以cos θ<0，角θ的终边落在第二或三象限，所以sin θ>0，tan θ<0或sin θ<0，tan θ>0，故选BD.12．(2020·陕西汉中月考)已知角α为第二象限角，则cos α·1＋sin α1－sin α＋sin 2α1＋1tan 2α＝( )A ．1B ．－1C ．0D ．2解析：选B.因为角α为第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以cos α 1＋sin α1－sin α＝cos α（1＋sin α）2cos 2α＝cos α·1＋sin α|cos α|＝－1－sin α，sin 2α1＋1tan 2α＝sin 2α1＋cos 2αsin 2α＝sin 2αsin 2α＋cos 2αsin 2α＝sin 2α1sin 2α＝sin 2α⎪⎪⎪⎪⎪⎪1sin α＝sin α，所以cos α1＋sin α1－sin α＋sin 2α1＋1tan 2α＝－1－sin α＋sin α＝－1.故选B.13．是否存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈()0，π使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．解：假设存在角α，β满足条件． 由已知条件可得⎩⎨⎧sin α＝2sin β，①3cos α＝2cos β，②由①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2.所以sin 2α＝12，所以sin α＝±22. 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以α＝±π4. 当α＝π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，此时①式成立；当α＝－π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，此时①式不成立，故舍去．所以存在α＝π4，β＝π6满足条件．14．在△ABC 中，(1)求证：cos 2A ＋B 2＋cos 2 C 2＝1；(2)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋B tan(C －π)＜0，求证：△ABC 为钝角三角形． 证明：(1)在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ，所以A ＋B 2＝π2－C 2，所以cos A ＋B 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 2＝sin C 2， 所以cos 2A ＋ B 2＋cos 2C 2＝1.(2)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋B tan(C －π)＜0， 所以(－sin A )(－cos B )tan C ＜0，即sin A cos B tan C ＜0.因为在△ABC 中，0＜A ＜π，0＜B ＜π，0＜C ＜π且sin A ＞0，所以⎩⎨⎧cos B ＜0，tan C ＞0或⎩⎨⎧cos B ＞0，tan C ＜0， 所以B 为钝角或C 为钝角，所以△ABC 为钝角三角形．[C 级 创新练]15．(2020·山东肥城统考)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现黄金分割比例为5－12≈0.618，这一数值也可以表示为m ＝2sin 18°.若m 2＋n ＝4，则m n 2cos 227°－1＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1解析：选C.因为m ＝2sin 18°，且m 2＋n ＝4，所以n ＝4－m 2＝4－4sin 218°＝4(1－sin 218°)＝4cos 218°，所以m n 2cos 227°－1＝2sin 18°4cos 218°cos 54°＝4sin 18°cos 18°sin 36°＝2.故选C.16．已知α，β∈(0，2π)且α<β，若关于x 的方程(x ＋sin α)(x ＋sin β)＋1＝0有实数根，则代数式3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－β2－sin （π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋β＝________． 解析：整理方程(x ＋sin α)(x ＋sin β)＋1＝0得x 2＋x (sin α＋sin β)＋sin αsin β＋1＝0.由题意得Δ＝(sin α＋sin β)2－4sin αsin β－4≥0，即(sin α－sin β)2≥4①.因为－1≤sin α≤1，－1≤sin β≤1，所以sin α－sin β∈[－2，2]，从而(sin α－sin β)2≤4②.由①②得sin α－sin β＝±2，所以⎩⎨⎧sin α＝1，sin β＝－1或⎩⎨⎧sin α＝－1，sin β＝1.因为α，β∈(0，2π)且α<β，所以α＝π2，β＝3π2，即⎩⎨⎧sin α＝1，sin β＝－1. 因此3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－β2－sin （π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋β＝3cos α－sin β2－sin αsin β＝12＋1＝13. 答案：13。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例5化简： 1 sin 2 440
2 2 1 sin (360 80 ) 1 sin 80 解：原式=
cos2 80 cos80
例6. 求证：(1)sin4α－cos4α=2sin2α－1； (2) tan2α－sin2α=tan2α· sin2α；
cos 1 sin (3) 1 sin cos
证明：（1） 原式左边=(sin2α+cos2α)(sin2α－cos2α) =sin2α－cos2α =sin2α－(1－sin2α) =2sin2α－1右边. 所以原等式成立.
(2) tan2 sin 2 tan2 sin 2
证明：原式右边=tan2α(1－cos2α) =tan2α－tan2αcos2α
解：以题意和基本三角恒等式，得到方程组
5 sin cos 5 sin 2 cos2 1
消去sinα，得5cos2α－
cosα－2=0， 5
2 5 由方程解得cosα= 5
5 或cosα= 5
因为180º <α<270º ，所以cosα<0，即 cosα=
4 sin 4 5 tan cos 3 3 5
1 3 cot . tan 4
8 例2．已知 cos ，求sinα、tanα的值. 17
分析：∵cosα＜0
∴α是第二或第三象限
角．因此要对α所在象限分类讨论.
解：当α是第二象限角时，
8 2 15 sin 1 cos 1 ( ) , 17 17 15 sin 15 17 tan . cos 8 8 17
4 例1 已知 sin ，并且α是第二象限角， 5 求α的其他三角函数值．
分析：由平方关系可求cosα的值， 由已知条件和cosα的值可以求tanα的值， 进而用倒数关系求得cotα的值．
解：∵sin2α+cos2α=1，α是第二象限角. 4 2 3 2 cos 1 sin 1 ( ) , 5 5
sin 2 tan cos 2 cos =tan2α－sin2α =左边.
2 2
因此 tan sin tan sin
2 2 2 2
cos 1 sin (3) 1 sin cos
cos x cos x 证明：左边 (1 sin x)cos x
1.2.3同角三角函数的基本关系式
在单位圆中，角α的终边OP与OM、MP组
成直角三角形，|MP|的长度是正弦的绝对值，
|OM|的长度是余弦的绝对值，|OP|=1，
根据勾股定理得sin2α+cos2α=1.
y
又根据三角函数的定
y 义有sinα= ,cosα= r
所以sin2α+cos2α=1.
x r
N O
P
M
x
又知tanα=
注意事பைடு நூலகம்：
y sin tan , 所以 x cos
1. 公式中的角一定是同角，否则公式可能 不成立. 如sin230º +cos260º≠1.
2.同角不要拘泥于形式α， 2 ，6α等等都可以.
如sin24α+cos24α=1.
3. 在运用商数关系时，要注意等式成立的
限制条件. 即cosα≠0. α≠kπ+
同角三角函数关系式的应用：
，k∈Z. 2
(1) 当我们知道一个角的某一个三角函数值 时，可以利用这两个三角函数关系式和三角 函数定义，求出这个角的其余三角函数值。 (2) 此外，还可用它们化简三角函数式和证 明三角恒等式。
4.常用变形： 在公式应用中,不仅要注意公式的
正用,还要注意公式的逆用、活用 和变用.
sin 1 cos
2 2
cos 1 sin
2 2
sin cos tan
sin tan 2 1 sin
2 2
sin cos tan 2 1 cos 2 tan 2 cos
2
当α是第三象限角时，
8 2 15 sin 1 cos 1 ( ) , 17 17
2
15 sin 15 17 tan . cos 8 8 17
例3. 已知sinα－cosα=
5 ,180º <α<270º . 5
求tanα的值。
5 5
sin 于是tanα= =2. cos
2 5 代入原方程组得sinα= 5
sin cos 例4 化简： tan 1
sin cos 解：原式= sin 1 cos sin cos sin cos cos
=cosθ.
2
1 sin x (1 sin x) cos x 1 sin x cos x
=右边 ∴原等式成立.
证明等式的常用方法： 1.从等式的一边证得它等于另一边； 2.先证明另外一个等式成立，从而推出需要 证明的等式成立； 3.利用作差(作商)的方法。