09102 42《高数下》多元微分学复习

1 x = arcsin − x y 1 y −x
2 2
．
∂z ∂z =0。 故满足 x + y ∂x ∂y
12． 12．设 z = e (A) 2e
x2 + y 2
x2 + y 2
，则 dz = [ (B) e
D ]。
x2 + y 2
( d x + dy ) ；
( xdx + ydy ) ；
(C) 2e
6．设 z = u ( x, y ) ⋅ e ax + y ，其中 u y ≠ 0, u xy = 0 。试求常
数 a 使得 z xy − z x − z y + z = 0 。 解： z x = ( u x + au ) e ax + y ， z y = ( u y + u ) e ax + y 。
解： du =
2 xdx + 2 ydy + 2 zdz 2 x2 + y 2 + z 2
=
xdx + ydy + zdz x2 + y 2 + z 2
。
15． 处有连续一阶偏导数， 15．若 z = f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处有连续一阶偏导数， 则 f ( x, y ) 在 ( x0 , y0 ) 处 [
(C)
lim
(D)
( x , y )→( x0 , y0 )
lim
5．求 z = tan ( x + x 2 y − π ) 的偏导数 z x 。
解： z x = sec 2 ( x + x 2 y − π ) ⋅ (1 + 2 xy ) 。 x ∂z ∂2z 6．已知 z = x 2 y + 2 + e 2 ，求 和 。 ∂x∂y y ∂x ∂z 1 ∂2 z 2 2 = 2x − 3 。 解： = 2xy + 2 ， ∂x y ∂x∂y y ∂z ∂2 z 7．已知 z = ln ( e x + e y ) ，求 和 。 ∂x ∂x∂y ∂z ex ∂2 z exe y =− 解： = x ， 。 2 y ∂x e + e ∂x∂y ex + e y ) (
5．已知 z = f ( x 2 , xy ) ，求 z x 和 z xy ，其中 f 具有连续
阶偏导数。 二阶偏导数。
解： z x = 2 xf1′ + yf 2′ 。
′′ ′′ ′′ ′′ z xy = 2 x ( 0 + xf12 ) + f 2′ + y ( 0 + xf 22 ) = f 2′ − 2 x 2 f12 + xyf 22 。
ux =
′ ( xf1′− 1)( 2 yvg 2 − 1) − f 2 g1′ ′ ( xf1′− 1) ( g1′ − v 2 g 2 ) + uf1′g1′ vx = 。 ′ ( xf1′− 1)( 2 yvg 2 − 1) − f 2′g1′
′ ′ ′ −uf1′( 2 yvg 2 − 1) − f 2′ ( g1 − v 2 g 2 )
，
偏导数的几何应用， 三、偏导数的几何应用，方向导数和梯度
1．求螺旋线 x = a cos θ , y = a sin θ , z = bθ 在点 ( a, 0, 0 )
处的切线及法平面方程。 处的切线及法平面方程。 r 解： T = ( − a sin θ , a cos θ , b ) 。 r 在点 ( a, 0, 0 ) 处 θ = 0 和 T = ( 0, a, b ) 。 x−a y z 切线方程： = = 。 切线方程： 0 a b
的曲面的切平面方程。 的曲面的切平面方程。
r 解：曲面上点 ( x0 , y0 , z0 ) 处法向量 n = ( y0 , x0 , −1) 平行 r 于已知平面的法向 n0 = (1,3,1) 。 y0 x0 −1 = = −1 ，解得 x0 = −3 ， y0 = −1 ， z0 = 3 。 所以 = 1 3 1 x + 3 y +1 z − 3 = = 法线方程： 法线方程： 。 1 3 1 切平面方程为 1 ⋅ ( x + 3) + 3 ⋅ ( y + 1) + 1 ⋅ ( z − 3) = 0 ，
即 x + 3y + z + 3 = 0 。
3．证明曲面 Σ ： x 2 + y 2 + z 2 + 4 x z + 1 = 0 的切平面 Π 不
z xy = ( z x ) y = ( u x + au y + au ) e ax + y 。
z xy − z x − z y + z = ( a − 1) ⋅ u y ⋅ e ax + y = 0 ⇒ a = 1 。
所确定的隐函数为 7．设由方程 e z − z + 2 xy = 9 所确定的隐函数为 ∂z z = z ( x , y ) ，求 。 ∂x
多元函数概念、极限、连续、 一、多元函数概念、极限、连续、偏导数和全微分 x2 + y2 的定义域。 + x 2 + y 2 − 4 的定义域。 1．求函数 z = arcsin 9 解： D = ( x , y ) 4 ≤ x 2 + y 2 ≤ 9 。
{
}
3 − xy + 9 2．求 lim 。 ( x , y )→( 0,0 ) 5 xy 3 − xy + 9 −1 1 = lim =− 。 解： lim ( x , y )→( 0,0 ) ( x , y )→( 0,0 ) 5(3 + xy + 9) 5 xy 30 sin ( xy ) 3．求 lim 。 ( x , y )→( 2,0 ) y
此点存在全微分的 [ (A)充分条件； (A)充分条件； 充分条件
(C)必要条件； (C)必要条件； 必要条件
C
]。
(B)充要条件； (B)充要条件； 充要条件
(D)非充分非必要的条件。 (D)非充分非必要的条件。 非充分非必要
复合函数求导法和 二、复合函数求导法和隐函数求导法
dz 1．设 z = arctan ( xy ) ， y = e ，求全导数 。 dx x dz (1 + x ) e 解： z = arctan xe x ，故 = 。 2 2x dx 1 + x e
有定义； (A) f ( x0 , y0 ) 有定义；
]。
(B)
( x , y )→( x0 , y0 ) ( x , y )→( x0 , y0 )
lim
存在； f ( x, y ) 存在；
f ( x, y ) 和 f ( x0 , y0 ) 都存在； 都存在； f ( x, y ) = f ( x0 , y0 ) 。
法平面方程： 法平面方程： 0 ⋅ ( x − a ) + a ( y − 0 ) + b ( z − 0 ) = 0 ， 即 ay + bz = 0 。
上求一点， 2．在曲面 z = xy 上求一点，使这点处的法线垂直于平
写出该法线的方程， 面 x + 3 y + z + 9 = 0 ，写出该法线的方程，并求这点处
∂z 2y ∂z ∂z 求导， − + 2y = 0 ⇒ = 解：对 x 求导， e 。 z ∂x ∂x ∂x 1 − e
z
所确定的隐函数为 8．设由方程 xyz = sin 2 z 所确定的隐函数为
z = z ( x , y ) ，求 z x 和 z y 。
求导， 解：对 x 求导， yz + xyz x = cos 2 z ⋅ 2 z x
yz xz ⇒ zx = 。同理 z y = 。 2 cos 2 z − xy 2 cos 2 z − xy
∂z x z ∂z 9．设 = ln ，求 和 。 z y ∂x ∂y x 解： = ln z − ln y 。 z z − xz x z x z 求导， = ⇒ zx = 对 x 求导， ； 2 z z x+z − xz y z y 1 z2 求导， 对 y 求导， 2 = − ⇒ z y = 。 y (x + z) z z y
(1,2 )
8．设 z = e xy + yx 2 ，则 z x
= [
C
]。
(A) e + 4 ； (B) e 2 + 4 ；(C) 2e 2 + 4 ；(D) 2e + 4 。
cos ( x − y ) π 9．已知 f ( x, y ) = ，求 f y π , 。 cos ( x + y ) 4 − cos y π = 1 ，故 f y π , = 0 。 解： f (π , y ) = − cos y 4 x2 + y2 + z 2 10． 10．已知 f ( x, y , z ) = e ，求 f yy ( 5,1, 0 ) 。
x
( )
的所有的一阶偏导数， 2．求函数 u = f ( x, xy, xyz ) 的所有的一阶偏导数，其
具有连续一阶偏导数。 中 f 具有连续一阶偏导数。 解： u x = f1′+ yf 2′ + yzf3′ ， u y = xf 2′ + zxf3′ ， u z = xyf3′ 。
∂z ∂z y 的表达式。 3．已知 z = f x + y , ，求 和 的表达式。 ∂y x ∂x
u = f ( ux, v + y ) , 10． 10．求方程组 确定的隐函数的偏导 2 v = g ( u − x, v y ) ∂u ∂v 具有一阶连续偏导数。 数 和 ，其中 f , g 具有一阶连续偏导数。 ∂x ∂x 求偏导数， 解：两方程都对 x 求偏导数， u x = f1′⋅ ( xu x + u ) + f 2′ ⋅ vx , 得到 ′ ′ vx = g1 ⋅ ( u x − 1) + g 2 ⋅ 2 yvvx . ( xf1′ − 1) u x + f 2′ ⋅ vx = −uf1′ , 即 ′ ′ g1u x + ( 2 yvg 2 − 1) vx = g1 . ′