上海市徐汇区高一上期末数学试卷

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2022-2023学年上海市徐汇区高一上学期期末数学试题1(含解析)

2022-2023学年上海市徐汇区高一上学期期末数学试题一、填空题1．已知集合{1,1,2}A =-，{}20B x x x =+=，则A B = __________．【正确答案】{}1-【分析】可求出集合B ，然后进行交集的运算即可．【详解】解：{1A =- ，1，2}，{1B =-，0}，{1}A B ∴=- ．故{}1-．2．函数()2log 2y x =+-的定义域为____________．【正确答案】1,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭和()2log 2x -的定义域，再求交集.【详解】由题意21020x x +≥⎧⎨->⎩，解得122x -≤<，即1,22x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭；故1,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.3．若幂函数a y x =的图像经过点(，则此幂函数的表达式为y =___________.【正确答案】12x 【分析】由幂函数所过的点求参数a ，即可得函数表达式.【详解】由题设，1233a ==，可得12a =，∴幂函数表达式为12y x =.故答案为.12x 4．已知函数()3x f x a =+的反函数为1()y f x -=，若函数1()y f x -=的图像过点(3,2)，则实数a 的值为__________．【正确答案】-6【分析】由1()y f x -=的图象过点(3,2)得函数()y f x =的图象过点(2,3)，把点(2,3)代入()y f x =的解析式求得a 的值．【详解】解：1()y f x -= 的图象过点(3,2)，∴函数()y f x =的图象过点(2,3)，又()3x f x a =+，233a ∴+=，即6a =-．故6-．5．设一元二次方程2630x x --=的两个实根为1x 、2x ，则2212x x +=________.【正确答案】42【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，结合完全平方和公式进行求解即可.【详解】一元二次方程2630x x --=的两个实根为1x 、2x ，所以有12126,3x x x x +==-，因此222121212()2362(3)42x x x x x x +=+-=-⨯-=，故426．若关于x 的方程34xa ⎛⎫= ⎪⎝⎭有负根，则实数a 的取值范围____________．【正确答案】()1,+∞【分析】关于x 的方程34x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭有负根可转化为指数函数34xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与y a =在第二象限有交点，结合图象即可求得实数a 的取值范围．【详解】关于x 的方程34x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭有负根等价于指数函数34xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与y a =在第二象限有交点，则当1a >时，34xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与y a =在第二象限有交点，所以实数a 的取值范围()1,+∞．故()1,+∞．7．若关于x 的不等式()2140x k x +-+>对一切实数x 恒成立，则实数k 的取值范围是___________.【正确答案】()3,5-【分析】根据一元二次不等式与二次函数的关系，可知只需判别式Δ0<，利用所得不等式求得结果.【详解】不等式()2140x k x +-+>对一切实数x 恒成立，()2Δ1160414k k ∴=--<⇒-<-<，解得：35k -<<故答案为.()3,5-8．已知lg 2a =，103b =，试用a 、b 表示12log 25=________.【正确答案】2(1)2a a b-+【分析】根据对数式指数式互化公式，结合对数换底公式、对数的运算性质进行求解即可.【详解】因为103b =，所以lg 3b =，因此有：2122lg 25lg52lg52lg(102)2(1lg 2)2(1)log 25lg12lg(32)lg32lg 2lg32lg 2lg32lg 22a a b÷--======⨯++++，故2(1)2a a b-+9．已知函数22([0,1])y x ax x =+∈的最小值为-2，则实数a =________.【正确答案】32-【分析】根据二次函数的对称轴与所给区间的相对位置进行分类讨论求解即可.【详解】222()2()y f x x ax x a a ==+=+-，所以该二次函数的对称轴为：x a =-，当1a ≤-时，即1a ≤-，函数2()2f x x ax =+在[0,1]x ∈时单调递减，因此min 3()(1)1222f x f a a ==+=-⇒=-，显然符合1a ≤-；当01a <-<时，即10a -<<时，2min ()2f x a a =-=-⇒=，显然不符合10a -<<；当0a -≤时，即0a ≥时，函数2()2f x x ax =+在[0,1]x ∈时单调递增，因此min ()(0)02f x f ==≠-，不符合题意，综上所述：32a =-，故32-10．已知函数()y f x =是定义在实数集R 上的偶函数，若()f x 在区间(0,)+∞上是严格增函数，且(2)0f =，则不等式()0f x x≤的解集为______.【正确答案】(,2](0,2]-∞-⋃【分析】()f x 在区间(0,)+∞上是严格增函数，且(2)0f =，得到在(0,2)内()0f x <,在(2,+∞)内()0,f x >进一步利用偶函数的性质得到在0x <时函数的正负区间，然后根据不等式的基本性质将要求解的不等式分情况讨论求得解集.【详解】∵()f x 在区间(0,)+∞上是严格增函数，且(2)0f =，∴在(0,2)内()0f x <,在(2,+∞)内()0,f x >又∵()f x 为偶函数，∴在(-2,0)上，()0,f x <在(-∞，-2)内()0f x >,且()()220f f -==,不等式()0f x x≤等价于x >0时()0≤f x ，即2(]0,x ∈；当x <0时，()0f x ≥，即(],2,x ∈-∞-故答案为.(,2](0,2]-∞-⋃二、单选题11．“12a =”是“指数函数x y a =在R 上是严格减函数”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【正确答案】A【分析】根据定义，分充分性和必要性分别判断即可.【详解】充分性：12a =时，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上是严格减函数成立，故充分性满足；必要性：由“指数函数x y a =在R 上是严格减函数”可得：01a <<，所以12a =不一定成立，故必要性不满足.故“12a =”是“指数函数x y a =在R 上是严格减函数”的充分非必要条件.故选：A.12．任意x R ∈，下列式子中最小值为2的是（）A ．1x x +B ．22x x-+C ．222x x +D【正确答案】B【分析】A.通过举例排除；BCD 通过基本不等式及等号的成立条件来判断.【详解】A.当=1x -时，12x x+=-，排除；B.222-+≥=x x ，当且仅当0x =时等号成立，符合；C.222x x +≥2x =D.2=，当且仅当221x +=时等号成立，故等号不能2>，排除.故选：B.13．已知函数1,0()0,01,0x f x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，若2()()F x x f x =⋅，则()F x 是（）A ．奇函数，在(,)∞∞-+上为严格减函数B ．奇函数，在(,)∞∞-+上为严格增函数C ．偶函数，在(,0)-∞上严格减，在(0,)+∞上严格增D ．偶函数，在(,0)-∞上严格增，在(0,)+∞上严格减【正确答案】B【分析】由()()f x f x -=-可知()f x 为奇函数,利用奇偶函数的概念即可判断设2()()F x x f x =⋅的奇偶性,从而得到答案.【详解】1,01,0()0,00,0()1,01,0x x f x x x f x x x ⎧->>⎧⎪⎪-===-==-⎨⎨⎪⎪<-<⎩⎩ ()f x ∴为奇函数,又2()()F x x f x =⋅22()()()()()F x x f x x f x F x ∴-=-⋅-=-⋅=-()F x ∴是奇函数,可排除C,D.又222,0()()0,0,0x x F x x f x x x x ⎧>⎪=⋅==⎨⎪-<⎩()F x ∴在(,)∞∞-+上单调递增.故选：B三、解答题14．已知全集为R ，集合{}|342=->A x x .(1)求A ；(2)已知集合{}01B xx m =≤≤+∣，且A B = R ，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1)2|23⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭A x x (2){}|1≥m m 【分析】（1）根据补集的运算可得答案；（2）利用A B = R 结合图形可得实数m 的取值范围.【详解】（1）因为{}{342|2=->=>A x x x x 或23⎫<⎬⎭x ，所以2|23⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭A x x .（2）因为A B = R ，所以12m +≥，解得m 1≥.实数m 的取值范围是{}|1≥m m .15．已知函数()()2112f x x =++．(1)请说明该函数图象是由函数2y x -=的图象经过怎样的平移得到的；(2)已知函数()()g x f x m =-的一个零点为3，求函数()g x 的另一个零点．【正确答案】(1)答案见解析(2)7-【分析】（1）根据函数平移变换即可得到答案.（2）首先根据题设得到()03g =得到2625m =，再求函数另一个零点即可.【详解】（1）21y x =向左平移2个单位得到()212y x =+，再向上平移1个单位得到()()2112f x x =++.（2）()()()2112g x f x m m x =-=+-+，因为函数()g x 的一个零点为3，所以11025m +-=，解得2625m =.所以()()211252g x x =-+，令()()2110252g x x =-=+，解得7x =-.所以函数()g x 的另一个零点为7-.16．将长为12米的钢筋截成12段，做成底面为正方形的长方体水箱骨架，问水箱的高h 及底面边长x 分别为多少时，这个水箱的表面积为最大？并求出这个水箱最大的表面积.【正确答案】1x =,1h =时,水箱的表面积为最大,最大值为6【分析】根据题意列出表面积关于x 的函数关系式以及定义域,再根据二次函数的性质求得结果.【详解】依题意可得8412x h +=,即32h x =-,所以302x <<,水箱的表面积224S x hx =+2224(32)612x x x x x =+-=-+26(1)6x =--+,因为302x <<,所以1x =时,max 6S =.所以1x =,1h =时,水箱的表面积为最大,最大值为6.本题考查了二次函数模型的应用,关键是根据题意列出函数关系式,属于基础题.17．已知关于x 的不等式2320ax x -+>的解集为{1x x ＜或}x b >（1）求实数a ､b 的值；（2）解关于x 的不等式0x cax b->-(c 为常数)【正确答案】（1）1,2a b ==；（2）答案见解析.（1）结合一元二次不等式的解集，利用韦达定理列方程，由此求得,a b .（2）对c 分成2,2,2c c c =><进行分类讨论，利用分式不等式的解法，求得不等式0x cax b->-的解集.【详解】（1）由题意可得，1和b 是2320ax x -+=的两个实数根，由韦达定理可得31b a+=，且21b a⨯=，解得1,2a b ==（2）关于x 的不等式0x cax b->-等价于()()20x c x -->，当2c =时，不等式的解集为{}2x x ≠；当2>c 时，不等式的解集为{x x c >，或2}x <；当2c <时，不等式的解集为{x x c <，或2}x >.本小题主要考查一元二次不等式解集与根的关系，考查分式不等式的解法，属于中档题.18．设21()21x x f x -=+.（1）判断函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；（2）求证：函数()y f x =在R 上是严格增函数；（3）若()2(1)10f t f t -+-<，求t 的取值范围.【正确答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）证明见解析；（3）1t >或2t <-．【分析】（1）根据奇偶函数的定义进行判断即可；（2）利用单调性的定义，结合指数函数的单调性进行证明即可；（3）利用（1）（2）的结论，结合一元二次不等式的解法进行求解即可.【详解】（1）函数()y f x =为奇函数，证明如下：21()21x xf x -=+的定义域为(,)∞∞-+，关于原点对称，()()2212112()()2112221x xx xx xx x f x f x --------===-+++∴()y f x =为奇函数；（2）证明：任取12,x x R ∈，且12x x <212122()1212121x x x x x f x +--===-+++()()()()()1212212212222222211212121212121x x x x x x x x f x f x -⎛⎫-=--=-= ++++++⎝⎭∵12x x <，∴21220x x >>，12220x x -<，2210x +>，1210x +>∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <∴函数()y f x =在R 上是严格增函数（2）∵()y f x =在R 上是奇函数且严格增函数，所以()()()2222(1)10(1)1111f t f t f t f t f t t t -+-<⇔-<--=-⇔-<-220t t ⇔+->(2)(1)0t t ⇔+->，解得1t >或2t <-所以t 的取值范围是1t >或2t <-．。

2020-2021学年上海市徐汇区高一(上)期末数学试卷(附详解)

2020-2021学年上海市徐汇区高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共16.0分）1. 若a 为实数，则“a <1”是“1a >1”的( ) A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2. 下列函数中，在R 上既是奇函数又是减函数的是( )A. y =1xB. y =ln 1−x 1+xC. y =−x|x|D. y =3−x3. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2−m 1=52lg E1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k =1,2).已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A. 1010.1B. 10.1C. lg10.1D. 10−10.14. 若函数f(x)的图象上存在关于直线y =x 对称的不同两点，则称f(x)具有性质P ，已知a ，b 为常数，函数g(x)=2x +a x ，ℎ(x)=bxx 2+1，对于命题：①存在a ∈R +，使得g(x)具有性质P ；②存在b ∈R +，使得ℎ(x)具有性质P ，下列判断正确的是( ) A. ①和②均为真命题B. ①和②均为假命C. ①为真命题，②为假命题D. ①为假命题，②为真命题二、单空题（本大题共12小题，共36.0分） 5. 设全集U =R ，已知集合A ={x|4−x <2x +1}，则A −= ______ ．6. 已知函数f(x)=√2−x 的定义域为M ，g(x)=3x −2的值域为N ，则M ∩N =______．7. 设f(x)=2√x−1，g(x)=√x−1x ，则f(x)⋅g(x)=______． 8. 设集合M ={x|x 2≤1}，N ={b}，若M ∪N =M ，则实数b 的取值范围为______．9. 已知a >0，化简√a 23⋅(1a )52⋅a 56=______．10. 幂函数f(x)=(m 2−m −1)x m 2+m−3在(0,+∞)上为减函数，则m = ．11. 已知lg2=a ，lg3=b ，用字母a 和b 表示log 512=______．12. 已知a ，b ∈R ，且a −3b +6=0，则2a +18b 的最小值为．13. 习近平在庆祝改革开放40周年大会上的讲话中说“我们始终坚持以经济建设为中心，不断解放和发展社会生产力，我们国内生产总值由1978年初的3679亿元增长到2017的年末的82.7万亿元”，现请你计算出年平均增长率______(结果精确到0.1%)．14. 已知函数f(x)={(1−2a)x +3a,x <12x−1,x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是． 15. 下列四个命题中正确的是______．①已知定义在R 上的偶函数y =f(1+x)，则f(1+x)=f(1−x)；②若函数y =f(x)，x ∈D ，值域为A(A ≠D)，且存在反函数，则函数y =f(x)，x ∈D 与函数x =f −1(y)，y ∈A 是两个不同的函数；③已知函数f(x)=1x−3.5，x ∈N ∗，既无最大值，也无最小值；④函数f(x)=(2|x|−1)2−5(2|x|−1)+6的所有零点构成的集合共有4个子集．16. 若关于x 的方程(4x +5x )−|5x −4x |=m 在(0,+∞)内恰有三个相异实根，则实数m的取值范围为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共48.0分）17. 设函数f(x)=x+1x−2(x >3)．(1)指出f(x)在(3,+∞)上的单调性，并证明你的结论；(2)若f(x)−a <0在(3,+∞)上有解，求a 的取值范围．18. 已知集合A ={x|(12)x 2−x−6<1}，B ={x||x +a −2|<2}，若A ∩B =⌀．(1)求实数a 的取值范围；(2)求y =f(a)=2⋅32a −16⋅3a 的最值．)2(x>0)．19.已知函数f(x)=(x+1x(1)求函数f(x)的反函数f−1(x)；(2)若x≥2时，不等式(x−1)f−1(x)>a(a−√x)恒成立，求实数a的范围．20.研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数y与听课时间x(单位：分钟)之间的变化曲线如图所示，当x∈[0,16]时，曲线是二次函数图象的一部分；当x∈[16,40]时，曲线是函数y=80+log0.8(x+a)图象的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”．(1)求函数y=f(x)的解析式；(2)在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？(精确到1分钟)21.已知常数a∈R，函数f(x)=log2(1x+a)．(1)若a=3，求不等式f(x)>0的解集；(2)若函数y=f(x)−log2[(a−4)x+2a−5]至少有一个零点在(−12,12)内，求实数a的取值范围；(3)若a>0，且存在t∈[12,1]，使函数在区间[t,t+1]上的最大值与最小值之差不超过1，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：由1a >1得0<a <1，则“a <1”是“1a >1”的必要不充分条件，故选：B ．求出不等式1a >1的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键． 2.【答案】C【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，y =1x ，为反比例函数，在其定义域上不是减函数，不符合题意；对于B ，y =ln 1−x 1+x ，有1−x 1+x >0，解可得−1<x <1，即函数的定义域为(−1,1)，不是R 上的奇函数，不符合题意；对于C ，y =−x|x|={−x 2,x ≥0x 2,x <0，在R 上既是奇函数又是减函数，符合题意；对于D ，y =3−x =(13)x ，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；故选：C ．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性以及单调性的判定方法．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查对数的运算，是基础题．把已知数值代入m 2−m 1=52lg E1E 2，化简后利用对数的运算性质求解．【解答】解：设太阳的星等是m 1=−26.7，天狼星的星等是m 2=−1.45，太阳的亮度是E 1，天狼星的亮度是E 2，由题意可得：−1.45−(−26.7)=52lg E1E 2， ∴lg E 1E 2=50.55=10.1，则E1E 2=1010.1．故选：A ．4.【答案】C【解析】解：关于直线y =x 对称的两点一定在直线y =−x +m 上，所以若函数f(x)具有性质P ，则函数f(x)与直线y =−x +m 有两个不同交点．①令g(x)=2x +2x =−x +m ，化简得3x 2−mx +a =0，若有两个交点，则△=m 2−12a >0，可取m =4，a =1，故存在a ∈R +，使得g(x)具有性质P ，即①为真命题；②令ℎ(x)=bx x 2+1=−x +m ，化简得x 3−mx 2+bx −1=0，即x 2(x −m)+b(x −m b )=0，因为b ∈R +，所以该式子不可能有两个根，故不存在b ∈R +，使得ℎ(x)具有性质P ，即②为假命题．故选：C ．关于直线y =x 对称的两点一定在直线y =−x +m 上，所以若函数f(x)具有性质P ，则函数f(x)与直线y =−x +m 有两个不同交点，然后联立函数与直线方程，求解方程根的个数问题即可．本题考查了函数的新定义问题，考查了学生转化与化归的能力，属于中档题．5.【答案】{x|x ≤1}【解析】解：∵全集U =R ，集合A ={x|4−x <2x +1}={x|x >1}，∴A −={x|x ≤1}．故答案为：{x|x ≤1}．先求出集合A ，由此能求出A −．本题考查补集的求法，考查补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】(−2,2)【解析】解：要使函数有意义，则2−x>0，得x<2，即函数的定义域为M=(−∞,2)，∵3x>0，∴3x−2>−2，即函数g(x)的值域为N=(−2,+∞)，则M∩N=(−2,2)，故答案为：(−2,2)．分别求出函数的定义域和值域，然后利用集合的交集定义进行计算即可．本题主要考查集合的基本运算，根据条件求出函数的定义域和值域是解决本题的关键，是基础题．7.【答案】x，x∈(1,+∞)【解析】解：∵f(x)=2√x−1，g(x)=√x−1x，∴f(x)的定义域是(1,+∞)，g(x)的定义域是[1,+∞)，∴f(x)⋅g(x)=x，x∈(1,+∞)，故答案为：x，x∈(1,+∞)．根据f(x)，g(x)的解析式求出f(x)⋅g(x)的解析式即可．本题考查了求函数的解析式问题，考查函数的定义域，是一道基础题．8.【答案】[−1,1]【解析】解：M={x|x2≤1}={x|−1≤x≤1}，∵M∪N=M，∴N⊆M，∵N={b}，∴−1≤b≤1．故答案为：[−1,1]．求出集合M，将条件M∪N=M转化为N⊆M，利用集合关系即可得到结论．本题主要考查集合与集合之间的关系，比较基础．9.【答案】a−1【解析】解：原式=a23⋅a−52⋅a56=a23−52+56=a−1，故答案为：a−1．利用有理数指数幂的运算性质求解．本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，是基础题．10.【答案】−1【解析】【分析】本题考查幂函数的定义和单调性，属于基础题．根据幂函数的定义列出方程求出m的值；将m的值代入f(x)检验函数的单调性即可．【解答】解：由题有m2−m−1=1，则m=2或m=−1．当m=2时，f(x)=x3在(0,+∞)上为增函数，不合题意，舍去；当m=−1时，f(x)=x−3在(0,+∞)上为减函数，满足要求．故答案为−1．11.【答案】2a+b1−a【解析】解：log512=lg12lg5=2lg2+lg31−lg2=2a+b1−a．故答案为2a+b1−a．利用换底公式和对数的运算性质即可算出．熟练掌握对数的换底公式和对数的运算性质是解题的关键．12.【答案】14【解析】【分析】本题考查基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题．化简所求表达式，利用基本不等式转化求解即可．【解答】解：a ，b ∈R ，且a −3b +6=0，可得：3b =a +6，则2a +18b =2a +12a+6=2a +126⋅2a≥2√2a ⋅1262a =14，当且仅当2a =12a+6，即a =−3时取等号．2a +18b 的最小值为：14．故答案为：14．13.【答案】14.5%【解析】解：∵国内生产总值由1978年初的3679亿元增长到2017的年末的82.7万亿元， ∴年平均增长率为√82700367940−1≈0.1450=14.5%．故答案为：14.5%．由已知条件可得，年平均增长率为√82700367940−1，即可求解．本题主要考查函数函数的实际应用，掌握年平均增长率的计算公式是解本题的关键，属于基础题．14.【答案】[0,12)【解析】【分析】本题考查了分段函数的值域问题，属于中档题．根据分段函数的表达式，得到不等式组{1−2a >01−2a +3a ≥1，求解即可．【解答】解：当x ≥1时，f(x)=2x−1≥1，当x <1时，f(x)=(1−2a)x +3a ，∵函数f(x)={(1−2a)x +3a,x <12x−1,x ≥1的值域为R ， ∴当x <1时，f(x)=(1−2a)x +3a 的值域必须包含(−∞,1)，即满足：{1−2a >01−2a +3a ≥1，解得0≤a <12，故答案为：[0,12).15.【答案】①②【解析】解：①已知定义在R 上是偶函数y =f(1+x)，设F(x)=f(1+x)，可得F(−x)=F(x)，则f(1+x)=f(1−x)，故①正确；②若函数y =f(x)，x ∈D ，值域为A(A ≠D)，且存在反函数，则函数y =f(x)，x ∈D 与函数x =f −1(y)，y ∈A ，即y =f −1(x)，x ∈A ，由于A ≠D ，故函数y =f(x)，x ∈D 与函数x =f −1(y)，y ∈A 是两个不同的函数，故②正确；③已知函数f(x)=1x−3.5，x ∈N ∗，由f(x)在[1,3.5)单调递减，在(3.5,+∞)单调递减，可得x =3时，f(x)取得最小值−2，故③错误；④函数f(x)=(2|x|−1)2−5(2|x|−1)+6，由f(x)=0，可得2|x|−1=2或3，解得x =±log 23或x =±2，f(x)的所有零点构成的集合中共有四个元素，共有16个子集，故④错误．故答案为：①②．由偶函数的定义可判断①；由互为反函数的定义可判断②；由f(x)的单调性可判断③；由f(x)=0的解的个数和集合的子集个数可判断④．本题以命题为载体，考查函数的奇偶性和互为反函数的定义，以及函数的单调性和函数零点的求法，考查运算能力和推理能力，属于基础题．16.【答案】(6,4110√5)【解析】解：当x ≥2√55时，5x −4x ≥0， ∵方程(4x +5x )−|5x −4x |=m ，∴(4x +5x )−(5x −4x )=m ，即−x +9x =m ；∴m ≤4110√5．当0<x <2√55时，5x −4x <0，∵方程(4x +5x )−|5x −4x |=m ， ∴(4x +5x )+(5x −4x )=m ，即9x +1x =m ； ∵9x +1x ≥6；∴当m <6时，方程9x +1x =m 无解；当m =6时，方程9x +1x =m 有且只有一个解；当6<m <10时，方程9x +1x =m 在(0,1)上有两个解；当m =10时，方程9x +1x =m 的解为1，19；综上所述，实数m 的取值范围为(6,4110√5). 故答案为：(6,4110√5).分类讨论以去掉绝对值号，从而利用基本不等式确定各自方程的根的个数，从而解得．本题考查了绝对值方程的解法与应用，同时考查了基本不等式的应用及转化思想的应用．17.【答案】解：(1)f(x)在(3,+∞)上单调递减，∵f(x)=x+1x−2=1+3x−2证明：任取3<x 1<x 2，f(x 1)−f(x 2)=(1+3x1−2)−(1+3x 2−2)=3(x 2−x 1)(x 1−2)(x 2−2)，∵3<x 1<x 2，∴x 2−x 1>0，x 1−2>0，x 2−2>0， ∴f(x 1)>f(x 2)，∴f(x)在(3,+∞)上单调递减． (2)∵f(x)=1+3x−2(x >3)， ∴f(x)∈(1,4)，∵f(x)−a <0在(3,+∞)上有解， ∴a >(f(x))min ，∴a 的取值范围是{a|a >1}．【解析】(1)根据解析式可得f(x)在(3,+∞)上为减函数，用定义证明即可； (2)若f(x)−a <0在(3,+∞)上有解，则a >(f(x))min 即可．本题考查了函数单调性的证明，以及函数取值范围问题，考查了函数的基本性质及应用，属于基础题．18.【答案】解：(1)由(12)x2−x−6<1，得x 2−x −6>0，解得x >3，或x <−2 ∴A =(−∞,−2)∪(3,+∞)；由|x +a −2|<2，得−2<x +a −2<2，得−a <x <4−a ， ∴B =(−a,4−a)．∵A ∩B =⌀，∴{−a ≥−24−a ≤3，解得1≤a ≤2，∴实数a 的取值范围是[1,2]；(2)y =f(a)=2⋅32a −16⋅3a =2⋅(3a )2−16⋅3a ，令t =3a ，∵a ∈[1,2]，∴t ∈[3,9]，则函数化为g(t)=2t 2−16t =2(t −4)2−32，当t =4时，g(t)有最小值，即原函数有最小值为−32；当t =9时，g(t)有最大值，即原函数有最大值为18．【解析】(1)求解指数不等式化简A ，求解绝对值的不等式化简B ，再由A ∩B =⌀，得关于A 的不等式组，即可求得a 的范围； (2)利用换元法及配方法求y =f(a)的最值．本题考查指数不等式与绝对值不等式的解法，考查交集及其运算，训练了利用换元法及配方法求函数的最值，是中档题．19.【答案】解：(1)∵y =(x+1x)2=(1+1x )2(x >0).∴y >1(2分)由原式有：x+1x=√y ，∴x +1=√yx∴x =√y−1分)∴f −1(x)=√x−1，x ∈(1,+∞)(2分)(2)∵(x −1)f −1(x)>a(a −√x)∴(x−1)1√x−1>a(a−√x)(x>0)∴(√x+1)(√x−1)1√x−1>a(a−√x)∴√x+1>a2−a√x∴(a+1)√x>a2−1(2分)①当a+1>0即a>−1时√x>a−1对x≥2恒成立−1<a<√2+1②当a+1<0即a<−1时√x<a−1对x≥2恒成立∴a>√2+1此时无解(3分)综上−1<a<√2+1.(1分)a∈(−1,1+√2)．【解析】(1)从条件中函数式f(x)=(x+1x)2=y，(x>0)中反解出x，再将x，y互换即得f(x)的反函数f−1(x)．(2)利用(1)的结论，将不等式(x−1)f−1(x)>a(a−√x)化成(a+1)√x>a2−1，下面对a分类讨论：①当a+1>0；②当a+1<0.分别求出求实数a的取值范围，最后求它们的并集即可．本小题主要考查反函数、函数恒成立问题等基础知识，考查运算求解能力．求反函数，一般应分以下步骤：(1)由已知解析式y=f(x)反求出x=Ф(y)；(2)交换x=Ф(y)中x、y的位置；(3)求出反函数的定义域(一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域)．20.【答案】解：(1)当x∈(0,16]时，设f(x)=b(x−12)2+84(b<0)，∵f(16)=b(16−12)2+84=80，∴b=−14，∴f(x)=−14(x−12)2+84．当x∈(16,40]时，f(x)=log0.8(x+a)+80，由f(16)=log0.8(16+a)+80=80，解得a=−15，∴f(x)=log0.8(x−15)+80．综上，f(x)={−14(x−12)2+84,x∈(0,16]log0.8(x−15)+80,x∈(16,40]；(2)当x∈(0,16]时，令f(x)=−14(x−12)2+84<68，得x∈[0,4]，当x∈(16,40]时，令f(x)=log0.8(x−15)+80<68，得x≥15+0.8−12≈29.6，∴x∈[30,40]，故学生处于“欠佳听课状态”的时间长为4−0+40−30=14分钟．【解析】(1)当x∈(0,16]时，设f(x)=b(x−12)2+84(b<0)，代入点的坐标求解b，当x∈(16,40]时，直接在给出的函数模型中代入点的坐标求解a，则分段函数解析式可求；(2)分别求解二次不等式得到x的范围，即可求得学生处于“欠佳听课状态”的时长．本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用待定系数法求函数解析式，考查不等式的解法，是中档题．21.【答案】解：(1)f(x)>0⇒1x +3>1解得：x<−12或x>0，即x∈(−∞,−12)∪(0,+∞)；(2)因为f(x)−log2[(a−4)x+2a−5]=0在(−12,12)上有解，所以(a−4)x2+(a−5)x−1=0在(−12,12)上有解，且1x+a>0，当a=4时，x=−1，不符合题意；当a≠4时，x=−1或x=1a−4，{a−4+a>0−12<1a−4<12⇒{2a−4>01a−4>−121a−4<12，解得a>6，所以a∈(6,+∞)；(3)由a>0，t∈[12,1]，x∈[t,t+1]则1x+a>0恒成立，又f(x)=log2(1x+a)在[t,t+1]上单调递减，所以f(x)max=f(t)，f(x)min=f(t+1)，所以f(t)−f(t+1)≤1，即存在t∈[12,1]使(at+1)(t+1)t[a(t+1)+1]≤2成立，由(at+1)(t+1) t[a(t+1)+1]≤2可得a≥1−tt+t2，即a≥1t −2t+1在t∈[12,1]有解，令g(t)=1t−2t+1，任取12≤t1<t2≤1，则g(t1)−g(t2)=(1t1−2t1+1)−(1t2−2t2+1)=t1+t2+1−t1t2t1t2(t1+1)(t2+1)，由12≤t1<t2≤1，所以g(t1)−g(t2)>0，即g(t1)>g(t2)，所以g(t)在[12,1]单调递减，所以g(t)min=g(1)=0，所以a≥0，又因为a>0，所以a>0，故实数a的取值范围为：(0,+∞)．【解析】(1)a=3，然后根据对数函数的单调性进行求解即可．(2)f(x)−log2[(a−4)x+2a−5]=0在(−12,12)上有解，化简为(a−4)x2+(a−5)x−1=0，对a=4和a≠4讨论即可．(3)化为存在t∈[12,1]使得f(x)max−f(x)min≤1在x∈[t,t+1]成立，然后计算即可．本题考查了分类讨论思想和数形结合思想，属于难题．。

2021-2022学年上海市徐汇区高一上学期期末数学试题(解析版)

2021-2022学年上海市徐汇区高一上学期期末数学试题一、单选题1．若0a b <<，则下列不等式中不能成立的是（） A ．11a b> B ．11a b a>- C ．a b > D ．22a b >【答案】B【分析】对于A,C,D 利用不等式的性质分析即可，对于B 举反例即可【详解】对于A ，因为0a b <<，所以0ab >，所以0a bab ab <<，即11a b>，所以A 成立；对于B ，若2,1a b =-=-，则11a b =--，112a =-，此时11a a b>-，所以B 不成立；对于C ，因为0a b <<，故0a b ->->，所以||||a b >，所以C 成立；对于D ，若0a b <<，故0a b ->->，即22()()0a b ->->，则22a b >，所以D 成立；故选：B2．若12x x 、是方程22630x x ++=的两个根，则2112x x x x +=( ) A ．12-B ．2C ．4D ．8【答案】C【分析】根据一元二次方程的根与系数之间的关系即可求解. 【详解】因为12x x 、是方程22630x x ++=的两个根，所以由根与系数之间的关系，123x x +=-，1232x x =，故22221121212121212()24x x x x x x x x x x x x x x ++-+===. 故选：C.3．已知函数22,0()lg ,0x x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则函数()()31g x f x =--的零点个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】利用已知条件求出(3)f x -的表达式，利用函数的图象，求解两个函数图象交点个数即可．【详解】函数22,0()||,0x x x f x lgx x ⎧+=⎨>⎩，∴2815,3(3)|(3)|,3x x x f x lg x x ⎧-+-=⎨-<⎩，则函数()(3)1g x f x =--的零点个数就是(3)y f x =-与1y =交点个数，如图可知，两个函数的图象有3个交点，函数()(3)1g x f x =--的零点个数为3．故选：C ．【点睛】本题考查函数的零点个数的判断与应用，考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力．4．对于函数()y f x =，若存在0x ，使()()00f x f x =--，则称点()()00,x f x 与点()()00,x f x ---是函数() f x 的一对“隐对称点”．若函数22,0 ()2,0x x x f x mx x ⎧+<=⎨+≥⎩的图象存在“隐对称点”，则实数m 的取值范围是（） A ．[22,0)- B ．(,22]-∞- C ．(,222]-∞+ D ．(0,22]+【答案】B【分析】由隐对称点的定义可知函数()f x 图象上存在关于原点对称的点，由函数奇偶性的定义将问题转化为方程222(0)mx x x x +=-+>的零点问题，再结合基本不等式得出实数m 的取值范围．【详解】解：由隐对称点的定义可知函数()f x 图象上存在关于原点对称的点设()g x 的图象与函数22y x x =+，0x <的图象关于原点对称令0x >，则0x -<，22()()2()2f x x x x x ∴-=-+-=- 2()2g x x x ∴=-+故原题义等价于方程222(0)mx x x x +=-+>有零点，解得22m x x=--+又因为222222x x x x--+≤-⨯=-，当且仅当2x (,222]m ∞∴∈--．故选：B ．二、填空题5．已知{},0U R A x x ==<，则UA _________.【答案】|0x x【分析】根据补集的定义计算即可【详解】因为{},0U R A x x ==<，故|0UA x x故答案为：|0x x6．函数y =____________．【答案】13,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】由被开方数非负可求得答案【详解】由题意得210340x x +≥⎧⎨-≥⎩，得1324x -≤≤，所以函数的定义域为13,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故答案为：13,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7．不等式10x -<的解集为___________ 【答案】(1,1)-【分析】直接利用绝对值的几何意义求解即可【详解】由10x -<，得1x <，解得11x -<<，所以不等式的解集为(1,1)-，故答案为：(1,1)-8．已知关于x 的不等式2320ax x -+>的解集为{1x x <或}x b >，则b 的值为______．【答案】2【分析】由题意可得1和b 是方程2320ax x -+=的两个根，由根与系数的关系可得321,1b b a a+=⨯=，从而可求出b 的值【详解】因为关于x 的不等式2320ax x -+>的解集为{1x x <或}x b >，所以1和b 是方程2320ax x -+=的两个根，所以321,1b b a a+=⨯=，解得1,2a b ==，故答案为：29．若32x =，则23log 9log 8-用含x 的代数式表示为___________.【答案】23x x-23x x -+【分析】将指数式32x =化为对数式3log 2x =，再根据对数的运算性质可求出结果. 【详解】因为32x =，所以3log 2x =，所以23log 9log 8-2323log 3log 2=-22log 3=33log 2-23x x=-. 故答案为：23x x -10．不等式512x ≤-的解集是___________ 【答案】(),2-∞[)7,+∞【分析】直接解分式不等式即可【详解】由512x ≤-，得5102x -≤-，5(2)02x x --≤-， 702xx -≤-，所以(7)(2)020x x x --≤⎧⎨-≠⎩，解得2x <或7x ≥，所以不等式的解集为(),2-∞[)7,+∞，故答案为：(),2-∞[)7,+∞11．已知集合{}2320A xx x =-+=∣，{06,}B x x x N =<<∈∣，则满足条件A ⊂C B ⊆的集合C 的个数为_________个【答案】7【分析】化简集合A ，B ，根据条件A C B ⊂⊆确定集合C 的个数即可. 【详解】因为{}2320{1,2}A xx x =-+==∣， {06,}{1,2,3,4,5}B x x x N =<<∈=∣,因为A C B ⊂⊆，所以1，2都是集合C 的元素，集合C 中的元素还可以有3，4，5，且至少有一个，所以集合C 为：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}， {1,2,3,4,5}，共7个. 故答案为：712．函数2y =________________．【答案】[]0,2．【分析】先求出2044x x ≤-+≤，再利用不等式的性质逐步求出函数的值域得解. 【详解】224(2)44x x x -+=--+≤，且240x x -+≥，∴2044x x ≤-+≤，∴02≤≤，∴20-≤，∴022≤，故函数2y =[]0,2．故答案为：[]0,213．已知函数()()1,1,,1x a x x f x a x ⎧-≤=⎨>⎩（0a >且1a ≠）在x ∈R 上有最大值，那么实数a 的取值范围为__________ 【答案】10,2⎛⎤⎥⎝⎦【分析】由于()f x 在x ∈R 上有最大值，所以可得当1x ≤时，函数要为增函数，当1x >时，函数为减函数，并且1a a -≥，从而可求出实数a 的取值范围【详解】因为函数()()1,1,,1x a x x f x a x ⎧-≤=⎨>⎩（0a >且1a ≠）在x ∈R 上有最大值，所以11001(1)1a a a a ->⎧⎪<<⎨⎪-⨯≥⎩，解得102a <≤，所以实数a 的取值范围为10,2⎛⎤⎥⎝⎦，故答案为：10,2⎛⎤⎥⎝⎦14．已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞单调递增，则满足()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 取值范围是______.【答案】1233x <<【解析】利用偶函数可得图象关于y 轴对称，结合单调性把()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭转化为1213x -<求解.【详解】()f x 是偶函数，()()f x f x ∴=，∴不等式等价为()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，()f x 在区间[)0,+∞单调递增， 1213x ∴-<，解得1233x <<. 故答案为：1233x <<.【点睛】本题主要考查利用函数的性质求解抽象不等式，抽象不等式一般是利用单调性转化为具体不等式求解，侧重考查数学抽象的核心素养.15．狄利克雷函数是高等数学中的一个典型函数，若1,()0,R x Qf x x Q ∈⎧=⎨∈⎩，则称()f x 为狄利克雷函数.对于狄利克雷函数()f x ，给出下面4个命题：其中真命题的有_________ ①．对任意x ∈R ，都有()1f f x ⎡⎤=⎣⎦ ②．对任意x ∈R ，都有()()0f x f x -+=③．对任意1x R ∈，都存在2x ∈Q ，()121()f x x f x += ④．若0a <，1b >，则有(){}(){}|x f x a x f x b >=< 【答案】①③④【分析】根据自变量x 是有理数和无理数进行讨论，可判定①、②；根据()11(0)f x f x +=，可判定③；根据()f x 的值域，可判定④.【详解】对于①中，若自变量x 是有理数，则[]()(1)1f f x f ==，若自变量x 是无理数，则[]()(0)1f f x f ==，所以①是真命题；对于②中，若自变量x 是有理数，则x -也是有理数，可得()()112f x f x +-=+=，所以②是假命题；对于③中，显然当20x =时，对任意1x R ∈，都存在2x ∈Q ，()121()f x x f x +=，所以③是真命题；对于④中，由1,()0,R x Qf x x Q ∈⎧=⎨∈⎩，可得函数()f x 的值域为{}0,1，当0a <时，{|()}x f x a R >=，当1b >时，(){}|x f x b R <=，故(){}(){}|x f x a x f x b >=<，所以④为真命题. 故答案为：①③④ 16．已知函数()bf x ax x=+，若存在两相异实数,m n 使()()f m f n c ==，且40a b c ++=，则||m n -的最小值为________【分析】由题意，m ，n 是方程20ax cx b -+=的两个不等实数根，利用根与系数的关系把||m n -化为含有a ，b 的代数式，令bt a=，进一步转化为关于t 的二次函数，再由配方法求最值．【详解】解：由题意，当()b f x ax c x=+=，有20(0)ax cx b a -+=≠，()()f m f n c ==，m ∴，n 是方程20ax cx b -+=的两个不等实数根，cm n a∴+=，bmn a =，而||m n - 40a b c ++=，即4c b a =--，||m n ∴-==令b t a =，则||m n -==则当18t =-时，||m n -三、解答题17．已知正数x 、y 满足x +2y =1，求1x +1y 的最小值，并求出1x +1y取到最小值时x 、y的值.【答案】x ，y ，(1x +1y )min =3+【分析】已知x +2y =1，可以借助“1”的代换，让要求解的式子乘以“1”，化成一个乘积为定值的两项和的关系，然后再使用基本不等式即可完成求解.【详解】解： ∵ x >0，y >0，且x +2y =1，∴ 1x +1y =(1x +1y )(x +2y )=3+2y x +x y≥3+(当且仅当2y x =x y ，即x ，y 时，等号成立)∴ 当x -1，y =22-时，(1x +1y )min =3+18．已知非空集合{}22|(31)20A x x a x a a =--+-<，集合{}2|430B x x x =-+<．（1）当2a =时，求A B ；（2）命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{|23}x x << （2）(1,2]【分析】（1）利用一元二次不等式的解法和集合的交运算即可求解；（2）若q 是p 的必要条件，则集合A B ⊆，对集合A 对应的不等式，根据其解集的端点21a - 和a ，分1a <，1a =，1a >三种情况进行讨论，在每种情况下，借助数轴列出集合A B ⊆时实数a 需满足的不等式组，解不等式组即可求解.【详解】（1）当2a =时，集合{}}{256023A x x x x x =-+<=<<，集合{}2|430{|13}B x x x x x =-+<=<<，所以由集合的交运算可得，{|23}A B x x ⋂=<<．（2）若q 是p 的必要条件，则集合A B ⊆，因为集合{}2|(31)20{|()[(21)]0}A x x a x a a x x a x a =--+-<=---<．①当1a <时，21a a >-，集合{|21}A x a x a =-<<，要使A B ⊆，则3211a a ≤⎧⎨-≥⎩，解得13a ≤≤，因为1a <，故这种情况不成立；②当1a =时，21a a =-，集合A =∅，这与题目条件矛盾； ③当1a >时，21a a <-，集合{|21}A x a x a =<<-，要使A B ⊆，则2131a a -≤⎧⎨≥⎩，解得12a ≤≤，因为1a >，故12a <≤，综上可知：实数a 的取值范围为(1,2]．【点睛】本题考查一元二次不等式的解法和集合的交运算、把必要条件等价转化为集合间的包含关系求参数的范围；考查运算求解能力、分类讨论思想和转化与化归能力；把必要条件等价转化为集合间的包含关系是求解本题的关键；属于综合型、难度大型试题.19．已知函数)21=+gx(1)求函数()g x 的解析式； (2)设()()2g x xf x x-=，若存在[]2,3x ∈使()0f x kx -≤成立，求实数k 的取值范围．【答案】(1)()()()212=-≥g x x x (2)3,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭【分析】（1）方法一、由完全平方公式和代换法可得所求解析式；方法二、运用换元法可得所求解析式，注意函数的定义域；（2）求得f （x ）的解析式，由题意可得2141⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭k x x 在[]2,3x ∈时有解．，由换元法和二次函数的最值求法，可得所求范围． (1)解法一：∵))22121gx =+=-，∴()()21g x x =-．22≥，∴()()()212=-≥g x x x ．解法二：令2t =，则()22x t =-0≥，所以2t ≥．代入原式有()()()()2222211=-+-+=-g t t t t ，所以()()()212=-≥g x x x ． (2) ∵()()2-=g x x f x x，∴()14=+-f x x x ．∵存在[]2,3x ∈使()0f x kx -≤成立， ∴2141⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭k x x在[]2,3x ∈时有解．令1t x=，由[]2,3x ∈，得111,32t x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，设()()224123=-+=--h t t t t ．则函数()h t 的图象的对称轴方程为2t =， ∴当12t =时，函数()h t 取得最小值34-．∴34k ≥-，即k 的取值范围为3,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭．20．随着全球5G 网络技术的不断升温，中美两国5G 的技术较量已进入白热化阶段.特朗普政府宣布将在5G 领域具有全球领导力的华为公司列入禁止出口实体名单.值此国家危难之际，炎黄子孙当为中华之崛起而读书.华为投资研究部表明：市场占有率y 与每日研发经费x （单位：亿元）有关，其公式为23(0)22xy x x mx =>++(1)若0m =时，华为市场占有率超过23，试估计每日研发经费的取值范围（单位：亿元）？4.2≈，保留小数点后两位）(2)若11m -<<时，华为市场占有率的最大值为45，求常数m 的值.【答案】(1)0.61亿元到1.64亿元之间 (2)14m =-【分析】（1）由已知得232223x x >+，解出x 的值，即可的解；（2）依题意得312y x mx =⎛⎫++ ⎪⎝⎭，结合基本不等式求出最大值，即可得出答案. (1)解：由已知得232223x x >+，整理得24940x x -+<x <4.2≈代入得0.61 1.64x <<，∴每日研发经费大约在0.61亿元到1.64亿元之间；(2)解：依题意得312y x m x =⎛⎫++ ⎪⎝⎭， 1122x x x x+⋅⋅=，当且仅当1x x =，即1x =时，取等号，3341452y m x mx ∴==+⎛⎫++ ⎪⎝⎭， 14m ∴=-.21．已知函数()2x b f x x a +=+是定义在[]22-,上的奇函数，且()115f =．（1）求实数a ，b 的值；（2）判断()f x 在[]22-,上的单调性，并用定义证明；（3）设()()2210g x kx kx k =++≠，若对任意的[]12,2x ∈-，总存在[]21,2x ∈-，使得()()12f x g x =成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）4a =，0b =；（2）()f x 在[]22-,上递增，证明见解析；（3）532k ≤-或54k ≥．【分析】（1）利用奇函数的性质可求得0b =,再由(1)f 的值，可求得4a =.（2）用定义法证明即可.（3）由题意可得，函数()f x 的值域为函数()g x 的值域的子集，并由集合的第 11 页共 11 页包含关系建立关于参数k 的不等式，从而得解. 【详解】（1）依题意函数()2x b f x x a +=+是定义在[]2,2-上的奇函数，所以()00bf a==，所以0b = ()111415f a a ==⇒=+，所以()24xf x x =+，经检验，该函数为奇函数．故4a =，0b =.（2）()f x 在[]2,2-上递增，证明如下：任取1222x x -≤<≤，()()()()()()221221121222221212444444x x x x x x f x f x x x x x +-+-=-=++++()()()()()()()()()()2212212112211212122222221212124444444444x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -----+--===++++++其中1240x x -<，210x x ->，所以()()()()12120f x f x f x f x -<⇒<，故()f x 在[]2,2-上递增．（3）由于对任意的[]12,2x ∈-，总存在[]21,2x ∈-，使得()()12f x g x =成立，所以()f x 的值域为()g x 的值域的子集．而由（2）知：()11,44f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，当0k >时，()g x 在[]1,2-上递增，()[]1,81g x k k ∈-+，所以1141814k k ⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，即54k ≥；当0k <时，()g x 在[]1,2-上递减，()[]81,1g x k k ∈+-，所以1814114k k⎧+≤-⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，即532k ≤-．综上所述，532k ≤-或54k ≥．故若对任意的[]12,2x ∈-，总存在[]21,2x ∈-，使得()()12f x g x =成立，则实数k 的取值范围为：532k ≤-或54k ≥．。

上海市徐汇区高一上期末数学试卷((含答案))

上海市徐汇区高一（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共12小题，每小题3分，共20分）.1．（3分）已知A={x|x≤7}，B={x|x＞2}，则A∩B= ．2．（3分）不等式的解集是．3．（3分）函数f（x）=的定义域是．4．（3分）若x＞0，则函数f（x）=+x的最小值为．5．（3分）若函数，，则f（x）+g（x）= ．6．（3分）不等式|2x﹣1|＜3的解集为．7．（3分）设f（x）是R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，则f（1）= ．8．（3分）已知函数，则方程f﹣1（x）=4的解x= ．9．（4分）若函数f（x）=x2+为偶函数，则实数a= ．10．（4分）函数y=的值域是．11．（4分）已知函数f（x）=，且函数F（x）=f（x）+x﹣a有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是．12．（4分）关于x的方程4x﹣k•2x+k+3=0，只有一个实数解，则实数k的取值范围是．二、选择题：本大题共4小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．13．（4分）“x+y=3”是“x=1且y=2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也必要条件14．（4分）下列各对函数中，相同的是（）A．f（x）=lgx2，g（x）=2lgxB．f（x）=lg，g（x）=lg（x+1）﹣lg（x﹣1）C．f（u）=，g（v）=D．f（x）=x，g（x）=15．（4分）设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是（）A．a2＜b2B．ab2＜a2b C． D．16．（4分）若f（x）是R上的奇函数，且f（x）在[0，+∞）上单调递增，则下列结论：①y=|f（x）|是偶函数；②对任意的x∈R都有f（﹣x）+|f（x）|=0；③y=f（﹣x）在（﹣∞，0]上单调递增；④y=f（x）f（﹣x）在（﹣∞，0]上单调递增．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4三、解答题：本大题共5小题，共44分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．B）．17．（6分）已知全集为R，集合A={x|≤0}，集合B={x||2x+1|＞3}．求A∩（∁R 18．（8分）设函数f（x）=a﹣（a∈R）．（1）请你确定a的值，使f（x）为奇函数；（2）用单调性定义证明，无论a为何值，f（x）为增函数．19．（8分）关于x的不等式＞1+（其中k∈R，k≠0）．（1）若x=3在上述不等式的解集中，试确定k的取值范围；（2）若k＞1时，上述不等式的解集是x∈（3，+∞），求k的值．20．（10分）已知f（x）=（）2（x＞1）（1）求f（x）的反函数及其定义域；（2）若不等式（1﹣）f﹣1（x）＞a（a﹣）对区间x∈[，]恒成立，求实数a的取值范围．21．（12分）设a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|+2x．（1）若a=3，求函数f（x）在区间[0，4]上的最大值；（2）若存在a∈（2，4]，使得关于x的方程f（x）=t•f（a）有三个不相等的实数解，求实数t 的取值范围．上海市徐汇区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共12小题，每小题3分，共20分）.1．（3分）已知A={x|x≤7}，B={x|x＞2}，则A∩B= {x|2＜x≤7} ．【解答】解：∵A={x|x≤7}，B={x|x＞2}，∴A∩B={x|2＜x≤7}，故答案为：{x|2＜x≤7}2．（3分）不等式的解集是（﹣4，2）．【解答】解：由不等式可得＜0，即（x﹣2）（x+4）＜0，解得﹣4＜x＜2，故不等式的解集为（﹣4，2），故答案为（﹣4，2）．3．（3分）函数f（x）=的定义域是{x|x≥﹣2且x≠1} ．【解答】解：由题意，要使函数有意义，则，解得，x≠1且x≥﹣2；故函数的定义域为：{x|x≥﹣2且x≠1}，故答案为：{x|x≥﹣2且x≠1}．4．（3分）若x＞0，则函数f（x）=+x的最小值为2．【解答】解：x＞0，则函数f（x）=+x≥2=2，当且仅当x=时，f（x）取得最小值2．故答案为：2．5．（3分）若函数，，则f（x）+g（x）= 1（0≤x≤1）．【解答】解：；解得，0≤x≤1；∴（0≤x≤1）．故答案为：．6．（3分）不等式|2x﹣1|＜3的解集为{x|﹣1＜x＜2} ．【解答】解：∵|2x﹣1|＜3⇔﹣3＜2x﹣1＜3⇔﹣1＜x＜2，∴不等式|2x﹣1|＜3的解集为{x|﹣1＜x＜2}．故答案为：{x|﹣1＜x＜2}．7．（3分）设f（x）是R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，则f（1）= ﹣3 ．【解答】解：∵f（x）是R上的奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1），∵当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，∴f（﹣1）=2+1=3，∴f（1）=﹣f（﹣1）=﹣3．故答案为：﹣3．8．（3分）已知函数，则方程f﹣1（x）=4的解x= 1 ．【解答】解：由题意得，即求f（4）的值∵，，（1+2）=1，∴f（4）=log3∴f（4）=1．即所求的解x=1．故答案为1．9．（4分）若函数f（x）=x2+为偶函数，则实数a= 1 ．【解答】解：∵函数f（x）=x2+为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即x2﹣=x2+，则=0，则a=1，故答案为：110．（4分）函数y=的值域是（﹣1，）．【解答】解：函数y===﹣1．∵2x+3＞3，∴0＜．∴函数y=的值域是（﹣1，）故答案为（﹣1，）11．（4分）已知函数f（x）=，且函数F（x）=f（x）+x﹣a有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是a≤1 ．【解答】解：由F（x）=f（x）+x﹣a=0得f（x）=﹣x+a，作出函数f（x）和y=﹣x+a的图象如图：当直线y=﹣x+a经过点A（0，1）时，两个函数有两个交点，此时1=﹣0+a，即a=1，要使两个函数有两个交点，则a≤1即可，故实数a的取值范围是a≤1，故答案为：a≤112．（4分）关于x的方程4x﹣k•2x+k+3=0，只有一个实数解，则实数k的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪{6} ．【解答】解：设t=2x，t＞0x的方程4x﹣k•2x+k+3=0转化为t2﹣kt+k+3=0，设f（t）=t2﹣kt+k+3，原方程只有一个根，则换元以后的方程有一个正根，∴f（0）＜0，或△=0，∴k＜﹣3，或k=6故答案为（﹣∞，﹣3）∪{6}．二、选择题：本大题共4小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．13．（4分）“x+y=3”是“x=1且y=2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也必要条件【解答】解：当x=0，y=3时，满足x+y=3，但x=1且y=2不成立，即充分性不成立，若x=1且y=2，则x+y=3成立，即必要性成立，即“x+y=3”是“x=1且y=2”的必要不充分条件，故选：B14．（4分）下列各对函数中，相同的是（）A．f（x）=lgx2，g（x）=2lgxB．f（x）=lg，g（x）=lg（x+1）﹣lg（x﹣1）C．f（u）=，g（v）=D．f（x）=x，g（x）=【解答】解：对于A：f（x）=lgx2，g（x）=2lgx两个函数的定义域不同，不是相同的函数；对于B：f（x）=lg，g（x）=lg（x+1）﹣lg（x﹣1）函数底的定义域不同，不是相同的函数；对于C：f（u）=，g（v）=，满足相同函数的要求，是相同的函数；对于D：f（x）=x，g（x）=，定义域相同，都是对应关系以及值域不同，不是相同的函数．故选C．15．（4分）设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是（）A．a2＜b2B．ab2＜a2b C． D．【解答】解：A选项不正确，因为a=﹣2，b=1时，不等式就不成立；B选项不正确，因为a=1，b=2时，不等式就不成立；C选项正确，因为⇔a＜b，故当a＜b时一定有；D选项不正确，因为a=1，b=2时，不等式就不成立；选项正确，因为y=2x是一个增函数，故当a＞b时一定有2a＞2b，故选C．16．（4分）若f（x）是R上的奇函数，且f（x）在[0，+∞）上单调递增，则下列结论：①y=|f（x）|是偶函数；②对任意的x∈R都有f（﹣x）+|f（x）|=0；③y=f （﹣x ）在（﹣∞，0]上单调递增； ④y=f （x ）f （﹣x ）在（﹣∞，0]上单调递增．其中正确结论的个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：∵f （x ）是R 上的奇函数，且f （x ）在[0，+∞）上单调递增， ∴y=|f （x ）|是偶函数，故①正确；对任意的x ∈R ，不一定有f （﹣x ）+|f （x ）|=0，故②不正确； y=f （﹣x ）在（﹣∞，0]上单调递减，故③不正确；y=f （x ）f （﹣x ）=﹣[f （x ）]2在（﹣∞，0]上单调递增，故④正确．故选B ．三、解答题：本大题共5小题，共44分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程． 17．（6分）已知全集为R ，集合A={x|≤0}，集合B={x||2x+1|＞3}．求A ∩（∁R B ）．【解答】解：全集为R ，集合A={x|≤0}={x|﹣1＜x ≤3}，集合B={x||2x+1|＞3}={x|2x+1＞3或2x+1＜﹣3}={x|x ＞1或x ＜﹣2}，所以∁R B={x|﹣2≤x ≤1}， A ∩（∁R B ）={x|﹣1＜x ≤1}．18．（8分）设函数f （x ）=a ﹣（a ∈R ）．（1）请你确定a 的值，使f （x ）为奇函数；（2）用单调性定义证明，无论a 为何值，f （x ）为增函数．【解答】解：（1）∵函数f （x ）是R 上的奇函数， ∴f （0）=a ﹣=0，∴a=1；（2）证明：任取：x 1＜x 2∈R ， ∴f （x 1）﹣f （x 2）=a ﹣﹣a+=2•∵x 1＜x 2，∴，又＞0，，∴f （x 1）﹣f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2），∴f （x ）在R 上的单调递增．19．（8分）关于x 的不等式＞1+（其中k ∈R ，k ≠0）．（1）若x=3在上述不等式的解集中，试确定k 的取值范围；（2）若k ＞1时，上述不等式的解集是x ∈（3，+∞），求k 的值．【解答】解：（1）由题意：x=3时，不等式＞1+化简为，即，可得（5﹣k ）k ＞0，解得：0＜k ＜5．∴当x=3在上述不等式的解集中，k 的取值范围是（0，5）（2）不等式＞1+化简可得（其中k ∈R ，k ≠0）． ∵k ＞1，可得：⇔kx+2k ＞k 2+x ﹣3 不等式的解集是x ∈（3，+∞），∴x=3是方程kx+2k=k 2+x ﹣3的解．即3k+2k=k 2， ∵k ≠0， ∴k=5．故得若k ＞1时，不等式的解集是x ∈（3，+∞）时k 的值为5．20．（10分）已知f （x ）=（）2（x ＞1）（1）求f （x ）的反函数及其定义域；（2）若不等式（1﹣）f﹣1（x）＞a（a﹣）对区间x∈[，]恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解；（1）∵x＞1，∴0＜f（x）＜1．令y=（）2（x＞1），解得x=，∴f﹣1（x）=（0＜x＜1）；（2）∵f﹣1（x）=（0＜x＜1），∴不等式（1﹣）f﹣1（x）＞a（a﹣）在区间x∈[，]恒成立⇔在区间x∈[，]恒成立，对区间x∈[，]恒成立．当a=﹣1时，不成立，当a＞﹣1时，a＜在区间x∈[，]恒成立，a＜（），﹣1＜a＜．min，a无解．当a＜﹣1时，a＞在区间x∈[，]恒成立，a＞（）max综上：实数a的取值范围：﹣1＜a＜．21．（12分）设a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|+2x．（1）若a=3，求函数f（x）在区间[0，4]上的最大值；（2）若存在a∈（2，4]，使得关于x的方程f（x）=t•f（a）有三个不相等的实数解，求实数t 的取值范围．【解答】解：（1）当a=3，x∈[0，4]时，f（x）=x|x﹣3|+2x=，可知函数f（x）在区间[0，]递增，在（，3]上是减函数，在[3，4]递增，则f（）=，f（4）=12，所以f（x）在区间[0，4]上的最大值为f（4）=12．（2）f（x）=，①当x≥a时，因为a＞2，所以＜a．所以f（x）在[a，+∞）上单调递增．②当x＜a时，因为a＞2，所以＜a．所以f（x）在（﹣∞，）上单调递增，在[，a]上单调递减．当2＜a≤4时，知f（x）在（﹣∞，]和[a，+∞）上分别是增函数，在[，a]上是减函数，当且仅当2a＜t•f（a）＜时，方程f（x）=t•f（a）有三个不相等的实数解．即1＜t＜=（a++4）．令g（a）=a+，g（a）在a∈（2，4]时是增函数，=5．故g（a）max∴实数t的取值范围是（1，）．。

上海市徐汇区高一(上)期末数学试卷

太原市2016-2017 学年高一第一学期期末考试高一政治一、选择题(本大题共2 5 小题,每小题2 分,共5 0 分。

在每小题列出白勺四个选项中，只有一项最符合题目要求。

请将正确答案白勺字母填在下列表格内。

)1.用陪驾交换电脑维修，用太极拳招式交换摄影技术……越来越多白勺人加入到“技术交换”中，成为“换客一族”。

“技术交换”是一种绿色白勺学习方式。

下列关于“技术交换”白勺说法正确白勺是（）①交换中白勺“技术”是使用价值和价值白勺统一体②从过程上看“技术交换”属于商品流通③从消费类型看“技术交换”属于享受资料消费④“技术交换”应该遵循等价交换原则A.①②B.②③C.①④D.③④解析： C.2.某地市场有一种经济现象：柜台上名牌服装售价虽然较高,但销售也旺盛;非名牌服装价格虽然便宜且一再走低，但销售仍然平淡。

对此现象白勺分析合理白勺是（）①非名牌服装满足人们基本白勺着装需要,需求弹性小②该地居民收入水平较高，对名牌服装有消费偏好③非名牌服装存在低价恶性竞争，市场规模小④该地居民在服装消费方面普遍具有攀比心理A.①②B.②③C.①④D.②④解析： A.3.2016 年上半年，我国旅游市场规模稳步扩大，国内旅游比上年同期增长10.47%、出境旅游增长4.1 %、旅游总收入增长12.4%。

旅游市场日益火爆白勺根本原因是（）A.景点门票打折，吸引游客B.国家扩大内需，鼓励消费C.食品支出减少，恩格尔系数降低D.经济持续发展，居民收入增加解析： D.4.“今天你低碳了吗？”已成为当今白勺一种问候语。

低碳消费成为一种时尚，由此带动了低碳产业白勺发展和壮大。

这表明（）①消费对生产具有导向作用②生产决定消费白勺对象和方式③消费对生产白勺发展起决定作用④一个新白勺消费热点白勺出现往往能带动一个产业白勺出现和成长A.①④B.②③C.①②D.③④解析： A.5.党白勺十八届五中全会强调，实现“十三五”发展目标，破解发展难题，厚植发展优势，必须牢固树立并切实贯彻创新、协调、绿色、开放、共享白勺五大发展理念。

2018-2019学年上海市徐汇区高一(上)期末数学试卷

2018-2019学年上海市徐汇区高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题满分40分，1～8题每小题3分，9～12题每小题3分）1．（3分）函数y＝log2（x﹣2）的定义域是．2．（3分）函数f（x）＝x﹣1的零点为．3．（3分）若函数f（x）＝a x+1（a＞0，a≠1）过点A（2，10），则a＝．4．（3分）计算的值是．5．（3分）若4x﹣2x+1＝0，则x＝．6．（3分）若函数（x≠1）的反函数为f﹣1（x），则＝．7．（3分）若x＞1，则函数f（x）＝+x的最小值为．8．（3分）方程log2（x2﹣4）＝log23x的解x＝．9．（4分）若f（x）＝x2+|x﹣a|是定义在R上的偶函数，则a＝．10．（4分）函数f（x）＝（x≠0），若f（a）＞a，则实数a的取值范围是．11．（4分）如果函数y＝（m2﹣9m+19）x是幂函数，且图象不经过原点，则实数m＝．12．（4分）已知函数f（x）＝|x2﹣2ax+b|（x∈R），给出下列命题：①f（x）必为偶函数；②若f（0）＝f（2），则f（x）的图象关于直线x＝1对称；③若a2﹣b≤0，则f（x）在区间[a，+∞）上是增函数；④f（x）有最大值|a2﹣b|．其中正确命题的序号是．（填出所有你认为正确的命题的序号）二、选择题（本大题满分16分，每小题4分）13．（4分）下列函数中，奇函数是（）A．y＝B．y＝x2﹣2x C．y＝2x D．y＝log3x 14．（4分）某地区的绿化面积每年平均比上一年增长10.4%，经过x年，绿化面积与原绿化面积之比为y，则y＝f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．15．（4分）函数f（x）＝x2+1（x＞2）的反函数是（）A．y＝（1≤x＜3）B．y＝（x＞3）C．y＝﹣（1≤x＜3）D．y＝﹣（x＞3）16．（4分）函数f（x）的定义域为D，若满足：（1）f（x）在D内是单调函数；（2）存在[a，b]⊆D（a＜b）使得f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，则称y＝f（x）为闭函数；若f （x）＝k+是闭函数，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．三、解答题：（本大题共5题，满分44分）17．（6分）已知函数f（x）＝log4（7+6x﹣x2）．（1）求函数的定义域：（2）求函数的单调递增区间18．（8分）已知A＝{x||x﹣a|＜4}，B＝{x||x﹣2|＞3}．（I）若a＝1，求A∩B；（II）若A∪B＝R，求实数a的取值范围．19．（8分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝a x﹣1．其中a＞0且a≠1．（1）求f（2）+f（﹣2）的值；（2）求f（x）的解析式．20．（10分）运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶300千米，按交通法规限制50≤x≤100（单位：千米/小时），假设柴油的价格是每升6元，而汽车每小时耗油（4+）升，司机的工资是每小时46元．（1）求这次行车总费用y关于x的表达式（总费用为油费与司机工资的总和）；（2）当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．21．（12分）已知函数f（x）＝+．（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）设F（x）＝•[f2（x）﹣2]+f（x）（a为实数），求F（x）在a＜0时的最大值g（a）；（3）对（2）中g（a），若﹣m2+2tm+≤g（a）对a＜0所有的实数a及t∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．2018-2019学年上海市徐汇区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分40分，1～8题每小题3分，9～12题每小题3分）1．【解答】解：要使函数有意义，则x﹣2＞0，即x＞2，∴函数的定义域为（2，+∞），故答案为：（2，+∞）．2．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝x﹣1，若f（x）＝x﹣1＝0，解可得x＝1，即函数f（x）的零点为1；故答案为：1．3．【解答】解：∵函数f（x）＝a x+1（a＞0，a≠1）过点A（2，10），∴10＝a2+1，∴a2＝9，解得a＝3，a＝﹣3（舍去），故答案为：34．【解答】解：＝＝＝．故答案为：．5．【解答】解：∵4x﹣2x+1＝0，∴2x（2x﹣2）＝0，∴2x﹣2＝0，解得x＝1．故答案为：16．【解答】解：根据互为反函数的性质，令，解得x＝3，∴．故答案为：3．7．【解答】解：x＞1，则函数f（x）＝+x＝+x﹣1+1≥2+1＝2+1，当且仅当＝x﹣1时，即x＝1+时取等号，故函数f（x）＝+x的最小值为2+1，故答案为：2+18．【解答】解：由方程log2（x2﹣4）＝log23x，得：，解得：x＝4，故答案为：49．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数；∴f（﹣x）＝f（x）；∴x2+|x+a|＝x2+|x﹣a|；∴|x+a|＝|x﹣a|；∴（x+a）2＝（x﹣a）2；∴x2+2ax+a2＝x2﹣2ax+a2；∴2ax＝﹣2ax；∴2a＝﹣2a；∴a＝0．故答案为：0．10．【解答】解：；∴由f（a）＞a得，；解得0＜a＜1，或a＜﹣1；∴实数a的取值范围是{a|a＜﹣1，或0＜a＜1}．故答案为：{a|a＜﹣1，或0＜a＜1}．11．【解答】解：根据题意，得；解m2﹣9m+19＝1，得m＝3，或m＝6；当m＝3时，2m2﹣7m﹣9＝﹣5≤0，满足题意；当m＝6时，2m2﹣7m﹣9＝11＞0，不满足题意；∴m＝3．故答案为：3．12．【解答】解：当a≠0时，f（x）不具有奇偶性，①错误；令a＝0，b＝﹣2，则f（x）＝|x2﹣2|，此时f（0）＝f（2）＝2，但f（x）＝|x2﹣2|的对称轴为y轴而不关于x＝1对称，②错误；又∵f（x）＝|x2﹣2ax+b|＝|（x﹣a）2+b﹣a2|，图象的对称轴为x＝a．根据题意a2﹣b≤0，即f（x）的最小值b﹣a2≥0，f（x）＝（x﹣a）2+（b﹣a2），显然f（x）在[a，+∞）上是增函数，故③正确；又f（x）无最大值，故④不正确．答案：③．二、选择题（本大题满分16分，每小题4分）13．【解答】解：是奇函数，y＝x2﹣2x，y＝2x和y＝log3x都是非奇非偶函数．故选：A．14．【解答】解：设某地区起始年的绿化面积为a，∵该地区的绿化面积每年平均比上一年增长10.4%，∴经过x年，绿化面积g（x）＝a（1+10.4%）x，∵绿化面积与原绿化面积之比为y，则y＝f（x）＝＝（1+10.4%）x＝1.104x，∵y＝1.104x为底数大于1的指数函数，故可排除A，当x＝0时，y＝1，可排除B、C；故选：D．15．【解答】解：由y＝x2+1得x＝，（y＞3）∴f﹣1（x）＝，（x＞3）故选：B．16．【解答】解：是单调增函数∴即使方程x2﹣x﹣k＝0有两个相异的非负实根令f（x）＝x2﹣x﹣k∴解得k∈故选：D．三、解答题：（本大题共5题，满分44分）17．【解答】解：（1）对于函数f（x）＝log4（7+6x﹣x2），可得7+6x﹣x2＞0，求得﹣1＜x ＜7，可得函数的定义域为（﹣1，7）；（2）本题即求函数y＝7+6x﹣x2 在定义域内的增区间，再利用二次函数的性质可得y＝7+6x﹣x2 在定义域内的增区间为（﹣1，3]．18．【解答】解：（I）当a＝1时，则由|x﹣1|＜4，即﹣4＜x﹣1＜4，解得﹣3＜x＜5，由|x﹣2|＞3，即x﹣2＞3或x﹣2＜﹣3，解得x＜﹣1或x＞5，∴A＝{x|﹣3＜x＜5}．B＝{x|x＜﹣1或x＞5}．∴A∩B＝{x|﹣3＜x＜﹣1}．（II）由|x﹣a|＜4得，a﹣4＜x＜a+4，则A＝{x|a﹣4＜x＜a+4}，因B＝{x|x＜﹣1或x＞5}，且A∪B＝R，用数轴表示如下：∴，解得1＜a＜3，∴实数a的取值范围是（1，3）．19．【解答】解：（1）因f（x）是奇函数，所以有f（﹣2）＝﹣f（2），所以f（2）+f（﹣2）＝0．（2）当x＜0时，﹣x＞0∴f（﹣x）＝a﹣x﹣1由f（x）是奇函数有，f（﹣x）＝﹣f（x），∴﹣f（x）＝a﹣x﹣1∴f（x）＝1﹣a﹣x∴f（x）＝20．【解答】解：（1）设行车所用的时间为t，则t＝小时，行车总费用为y；根据行车总费用＝耗费柴油的费用+司机的工资，可得：y＝×6×（4+）+46×，50≤x≤100，化简整理可得，y＝+，50≤x≤100，故这次行车总费用y关于x的表达式为：y＝+，50≤x≤100；（2）由（1）可知，y＝+，50≤x≤100，∴y≥2＝2×300＝600，当且仅当＝，即x＝70时取“＝”，∴当x＝70时，y取得最小值为600，故当x＝70时，这次行车的总费用最低为600元．21．【解答】解：（1）由1+x≥0且1﹣x≥0，得﹣1≤x≤1，所以函数的定义域为[﹣1，1]，又[f（x）]2＝2+2∈[2，4]，由f（x）≥0，得f（x）∈[，2]，所以函数值域为[，2]；（2）因为F（x）＝＝a++，令t＝f（x）＝+，则＝﹣1，∴F（x）＝m（t）＝a（﹣1）+t＝，t∈[，2]，由题意知g（a）即为函数m（t）＝，t∈[，2]的最大值．注意到直线t＝﹣是抛物线m（t）＝的对称轴．因为a＜0时，函数y＝m（t），t∈[，2]的图象是开口向下的抛物线的一段，①若t＝﹣∈（0，]，即a≤﹣，则g（a）＝m（）＝；②若t＝﹣∈（，2]，即﹣＜a≤﹣，则g（a）＝m（﹣）＝﹣a﹣；③若t＝﹣∈（2，+∞），即﹣＜a＜0，则g（a）＝m（2）＝a+2，综上有g（a）＝，（3）易得，由﹣≤g（a）对a＜0恒成立，即要使﹣≤g min（a）＝恒成立，⇒m2﹣2tm≥0，令h（t）＝﹣2mt+m2，对所有的t∈[﹣1，1]，h（t）≥0成立，只需，解得m的取值范围是m≤﹣2或m＝0，或m≥2．。

上海市徐汇区2023届数学高一上期末联考试题含解析

故选C
【点睛】对于函数由可得对称轴方程，由可得对称中心横坐标.
10、C
【解析】根据，分，，讨论求解.
【详解】因为，
当时，集合为，不成立；
当时，集合为，成立；
当时，则（舍去）或，
当时，集合为
故选：C
11、A
【解析】由题意，可求解，解不等式即得解
【详解】根据题设，得，
【详解】(1)因为对于任意 ,有，令，
则，所以；
(2)令，则，所以，
令，则，所以函数为偶函数；
(3)因为，所以，
所以不等式可化为；
又因为在上是增函数，而函数为偶函数，
所以或；
当时，或；
当时，或；
综上，当时，的取值范围为或；
当时，的取值范围为或 .
（3）根据（2）的结论，对与进行比较即可.
【小问1详解】
，
，故的最小正周期为 .
【小问2详解】
先求出增区间，即：
令
解得
所以在区间上，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减；
所以的单调递增区间为，单调递减区间为
【小问3详解】
由（2）所得到的单调性可得，，
所以在时取得最小值0.
8．已知三条不重合的直线，，，两个不重合的平面，，有下列四个命题：
①若，，则；②若，，且，则；
③若，，，，则；
④若，，，，则 .其中正确命题的个数为
A. B.
C. D.
9．函数图象的一条对称轴是
A. B.x=π
C. D.x=2π
10．若，则的可能值为（）

2022-2023学年上海市徐汇区高一年级上册学期期末数学试题【含答案】有重名 730229

2022-2023学年上海市徐汇区高一上学期期末数学试题一、填空题1．设集合，，，则______．{}1,2,3,4,5,6U ={}2,3,6A ={}1,3,4B =A B = 【答案】##{}2,6{}6,2【分析】利用补集及交集的定义运算即得.【详解】因为，{}{}1,2,3,4,5,6,1,3,4U B ==所以，又因为，{}2,5,6B ={}2,3,6A =所以.{}2,6A B = 故答案为：.{}2,62．关于的不等式，解集为，则不等式的解集为___________.x 230x ax +-<(3,1)-230ax x +-<【答案】3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】根据不等式的解集为，可得是方程的两根，即可求出a 的值，代(3,1)-3,1-230x ax +-=入所求不等式，根据一元二次不等式的解法，即可得答案.【详解】由题意得，是方程的两根，可得，解得，3,1-230x ax +-=31a -+=-2a =所以不等式为，整理为，解得，2230x x +-<(23)(1)0x x +-<312x -<<故答案为：.3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查含参的一元二次不等式的解法，考查分析理解，求值化简的能力，属基础题.3．幂函数在上单调递减，则的值为______．()()226633mm f x m m x -+=-+()0,∞+m 【答案】2【分析】利用幂函数定义求出m 值，再借助幂函数单调性即可判断作答.【详解】解：因为函数是幂函数，()()226633mm f x m m x -+=-+则有，解得或，2331m m -+=1m =2m =当时，函数在上单调递增，不符合题意，1m =()f x x =()0,+∞当时，函数在上单调递减，符合题意.2m =2()f x x -=()0,+∞所以的值为m 2m =故答案为：24．已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________.(21)y f x =+[]1,2-(1)=-y f x 【答案】[]0,6【分析】根据抽象函数的定义域求解规则求解即可.【详解】函数的定义域为，即，所以，(21)y f x =+[]12-，12x -≤≤1215x -≤+≤所以，即，115x -≤-≤06x ≤≤所以函数的定义域为.[]0,6故答案为：.[]0,65．设实数满足，则________．x 2log 4log 1x x -=x =【答案】或214【分析】结合对数的换底公式整理得，求出，结合对数和指数式的互化222(log )log 20x x +-=2log x 即可求出.x 【详解】由于，所以原式转化为，22log 42log 2log x x x ==222log 1log x x -=即，解得或，所以或．222(log )log 20x x +-=2log 2x =-2log 1x =14x =2x =故答案为: 或2.146．函数的值域是________.()20.4log 34y x x =-++【答案】[)2,-+∞【解析】先求出函数的定义域为，设，，根据()1,4-()223253424f x x x x ⎛⎫=-++=--+⎪⎝⎭()1,4x ∈-二次函数的性质求出单调性和值域，结合对数函数的单调性，以及利用复合函数的单调性即可求出的单调性，从而可求出值域.()20.4log 34y x x =-++【详解】解：由题可知，函数，()20.4log 34y x x =-++则，解得：，2340x x -++>14x -<<所以函数的定义域为，()1,4-设，，()223253424f x x x x ⎛⎫=-++=--+⎪⎝⎭()1,4x ∈-则时，为增函数，时，为减函数，31,2x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()f x 3,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x 可知当时，有最大值为，32x =()f x 254而，所以，()()140f f -==()2504f x <≤而对数函数在定义域内为减函数，0.4log y x =由复合函数的单调性可知，函数在区间上为减函数，在上为增函数，()20.4log 34y x x =-++31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭3,42⎛⎫ ⎪⎝⎭，0.425log 24y ∴≥=-∴函数的值域为.()20.4log 34y x x =-++[)2,-+∞故答案为：.[)2,-+∞【点睛】关键点点睛：本题考查对数型复合函数的值域问题，考查对数函数的单调性和二次函数的单调性，利用“同增异减”求出复合函数的单调性是解题的关键，考查了数学运算能力.7．已知：，：，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围是p 35x -<q 123a x a -<<-p qa ________．【答案】112a a ⎧⎫≥⎨⎩⎭【分析】先求解绝对值不等式，由是的充分不必要条件，可得，列出不等式组，p qP Q P Q ⊆≠，求解即可【详解】3553528x x x -<∴-<-<∴-<< 记{|28},{|123}P x x Q x a x a =-<<=-<<-由是的充分不必要条件，可得，且p qP Q ⊆P Q≠故，且等号不同时成立，解得12238a a -≤-⎧⎨-≥⎩112a ≥故答案为：112a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭8．设函数，若在上单调递增，则的取值范围是__________．221,1()(4),1xx ax x f x a x ⎧-++≤=⎨->⎩()f x R a 【答案】4[1,]3【分析】由函数在每一段上都递增，列出不等式，且有，再联立求解即得.()f x (1)4f a ≤-【详解】因函数在上单调递增，则有在上递增，221,1()(4),1xx ax x f x a x ⎧-++≤=⎨->⎩R 221=-++y x ax (,1]-∞于是得，1a ≥在上也递增，于是得，即，并且有，即，解得(4)x y a =-(1,)+∞41a ->3a <(1)4f a ≤-24a a ≤-，43a ≤综上得：，413a ≤≤所以的取值范围是.a 4[1,]3故答案为：4[1,]39．已知，且，则的最小值为_________．0,0a b >>1ab =11822a b a b +++【答案】4【分析】根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解.82a b a b +++【详解】，,0,0,0a b a b >>∴+> 1ab =11882222ab ab a b a b a b a b∴++=++++，当且仅当=4时取等号，842a b a b +=+≥=+ab +结合,解得.1ab =22a b =-=+22a b ==故答案为：4【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题.10．给出下列四个结论函数的最大值为；①211()2x y -+=12已知函数且在上是减函数，则a 的取值范围是；②()log 2(0a y ax a =->1)a ≠()0,1()1,2在同一坐标系中，函数与的图象关于y 轴对称；③2log y x =12log y x=在同一坐标系中，函数与的图象关于直线对称．④2xy =2log y x =y x =其中正确结论的序号是______．【答案】④【分析】根据指数函数的单调性可得二次函数的最值，求得的最小值为；根据①211()2x y -+=12②对数函数的图象与性质，求得a 的取值范围是；同一坐标系中，函数与(]1,2③2log y x =的图象关于x 轴对称；同一坐标系中，函数与的图象关于直线对12log y x=④2xy =2log y x=y x =称．【详解】对于，函数的最大值为1，的最小值为，错误；①21t x =-+211()2x y -+∴=12∴①对于，函数且在上是减函数，②()log 2(0a y ax a =->1)a ≠()0,1，{120a a >∴-≥解得a 的取值范围是，错误；(]1,2②对于，在同一坐标系中，函数与的图象关于x 轴对称，错误；③2log y x =12log y x=③对于，在同一坐标系中，函数与的图象关于直线对称，正确．④2xy =2log y x =y x =④综上，正确结论的序号是．④故答案为．④【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的性质与应用问题，是基础题．11．已知为R 上的奇函数，且，当时，，则()f x ()()20f x f x +-=10x -<<()2xf x =的值为______．()22log 5f +【答案】##-0.845-【分析】由题设条件可得的周期为2，应用周期性、奇函数的性质有()f x ，根据已知解析式求值即可.()2242log 5(log )5f f +=-【详解】由题设，，故，即的周期为2，(2)()()f x f x f x -=-=-(2)()f x f x +=()f x 所以，且，()22225542log 5(22log )(log )(log 445f f f f +=⨯+==-241log 05-<<所以.()24log 5242log 525f +=-=-故答案为：.45-12．设，对任意实数x ，记，其中．若R a ∈()2min{2,35}f x x x ax a =--+-{},min ,,a a ba b b a b ≤⎧=⎨>⎩至少有3个零点，则实数a 的取值范围为________．()f x 【答案】[)10,+∞【分析】设，，分析可知函数至少有一个零点，可得出()235g x x ax a =-+-()2h x x =-()g x ，求出的取值范围，然后对实数的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数的0∆≥a a a 不等式，综合可求得实数的取值范围.a 【详解】设，，由可得.()235g x x ax a =-+-()2h x x =-20x -=2x =±要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则，()f x 3()g x 212200a a ∆=-+≥解得或.2a ≤10a ≥①当时，，作出函数、的图象如下图所示：2a =()221g x x x =-+()g x ()h x 此时函数只有两个零点，不合乎题意；()f x ②当时，设函数的两个零点分别为、，2a <()g x 1x ()212x x x <要使得函数至少有个零点，则，()f x 322x ≤-所以，，解得；()2224550ag a ⎧<-⎪⎨⎪-=+-≥⎩a ∈∅③当时，，作出函数、的图象如下图所示：10a =()21025g x x x =-+()g x ()h x由图可知，函数的零点个数为，合乎题意；()f x 3④当时，设函数的两个零点分别为、，10a >()g x 3x ()434x x x <要使得函数至少有个零点，则，()f x 332x ≥可得，解得，此时.()222450a g a ⎧>⎪⎨⎪=+-≥⎩4a >10a >综上所述，实数的取值范围是.a [)10,+∞故答案为：.[)10,+∞【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.二、单选题13．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式恒成立的是（）A ．<B ．a 2>b 21a 1bC ．>D ．a |c |>b |c |21a c +21b c +【答案】C【分析】举特例即可判断选项A ，B ，D ，利用不等式的性质判断C 即可作答.【详解】当a =1，b =-2时，满足a >b ，但，a 2<b 2，排除A ，B ；11a b >因>0，a >b ，由不等式性质得，C 正确；211c +2211a b c c >++当c =0时，a |c |>b |c |不成立，排除D ，故选：C14．下列命题中，真命题是（）A ．B ．若且，则x ，y 至少有一个大于12R,2x x x∀∈>,R x y ∈2x y +>C ．D ．的充要条件是2R,20x x ∃∈+≤0a b +=1ab =-【答案】B【分析】举反例可判断AD ，由，可判断C ，由逆否命题与原命题同真假可证明B.2R,0x x ∀∈≥【详解】选项A ，当时，，错误；2x =22x x =选项B ，若，则，故若且，则x ，y 至少有一个大于1，正确；1,1x y ≤≤2x y +≤,R x y ∈2x y +>选项C ，由于，故，错误；2R,0x x ∀∈≥222R,x x ∈+≥∀选项D ，当时，无意义，错误.0a b ==ab 故选：B 15．若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，则可以是()f x ()422x g x x =+-()f x A ．B ．C ．D ．3()2f x x =-2()(2)f x x =-()1xf x e =-3()ln()4f x x =+【答案】D【详解】函数的零点即函数与函数图象交点横坐标，如图，()422xg x x =+-()4x h x =()22r x x =-a 据根的存在性定理结合图形不难判断出，而选项A 、B 、C 、D 的零点分别为，可102a <<31,2,024，立即排除A 、B 、C ，故选D ．16．已知函数，若存在使得，则()()ln2,01ln 2ln 2,12xx f x x x ⎧<<⎪=⎨-+≤<⎪⎩02a b c <<<<()()()f a f b f c ==的取值范围是（）111ab bc ca ++A ．B ．20,93⎛⎫ ⎪⎝⎭20,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．D．∞⎫+⎪⎪⎭⎫⎪⎪⎭【答案】A 【分析】，易得与的图象关于直线对称，()()ln 2ln 2ln 22x x -+=-ln2y x =()ln 2ln2y x =-+1x =由大小关系易判断，再将全部代换为含a 的式子得，,,a b c 12,4b c ab +==111ab bc ca ++()16281a a a +-令，利用换元法和对勾函数性质进而得解.81t a =-【详解】∵，∴与的图象关于直线对称，()()ln 2ln2ln 22x x ⎡⎤-+=-⎣⎦ln 2y x =()ln 2ln2y x =-+1x =作出的大致图象如图所示，()f x 易知，由，即，，得，2b c +=ln2ln2a b=ln 2ln 2a b -=ln 40ab =14ab =∵，∴，得，112b <<11124a <<1142a <<∴. ()()421621112181244a a a a b c a c ab bc ca abc a a +++++++====--设，则，.81t a =-()1,3t ∈111117184t ab bc cat ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭17t t +≥=t 故当时，令，单减，，()1,3t ∈()1718h t t t +=+()h t ()()80136,33h h ==故.1172018,943t t ⎛⎫⎛⎫++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：A三、解答题17．已知集合或，集合．{1A x x =≤-}5x ≥{}22B x a x a =≤≤+（1）若求和；1a =-，A B ⋂()R A B（2）若，求实数a 的取值范围．A B B = 【答案】（1），；{|21}A B x x ⋂=-≤≤-(){}R |25A B x x ⋃=-≤< （2）.(]()32-∞-⋃+∞，，【分析】（1）当时，，直接进行集合的并集和补集并集计算即可求解；1a =-{|21}B x x =-££（2）由题意可得再讨论和时列不等式组，解不等式即可求解.B A ⊆B =∅B ≠∅【详解】（1）当时，集合或，，1a =-{|1A x x =≤-5}x ³{|21}B x x =-££可得，{|21}A B x x ⋂=-≤≤-因为，{}R |15A x x =-<< 所以；(){}R |25A B x x ⋃=-≤< （2）因为，所以，A B B = B A ⊆当时，，可得，B =∅22a a >+2a >当时或，可得，B ≠∅2221a a a ≤+⎧⎨+≤-⎩2225a a a ≤+⎧⎨≥⎩3a ≤-综上所述：或．2a >3a ≤-所以实数a 的取值范围为.(]()32-∞-⋃+∞，，18．已知关于x 的不等式．250,R mx x m m ++<∈(1)若，求不等式的解集；2m =(2)若不等式的解集非空，则求m 的取值范围．【答案】(1)12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭(2)5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【分析】(1)代入，根据二次不等式的解法即可求解；2m =(2)分，和三种情况讨论，时，结合二次函数的性质即可求解．0m =0m <0m >0m ≠【详解】（1）当，不等式，2m =22520x x ++<解得，或，22520x x ++=12x =-2-故的解集是．22520x x ++<12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭（2）若，则解得，此时符合题意；0m =50x <0x <若，二次函数开口向下，必然存在函数值小于0，此时符合题意；0m <25y mx x m =++若，二次函数开口向上，0m >25y mx x m =++若要不等式的解集非空，则需解得；20Δ2540m m >⎧⎨=->⎩502m <<综上，的取值范围是．m 5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭19．十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划.2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2000万元，每生产x （百辆），需另投入成本（万元），且()C x ．由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年()210100,040,100005014500,40x x x C x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩能全部销售完．(1)求出2022年的利润（万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式；()L x (2)2022年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．【答案】(1)2104002000,040()100002500,40x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--⎪⎩ (2)当时，即2022年产量为100百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为2300万元．100x =【分析】（1）根据年利润销售额投入的总成本固定成本，分和两种情况得到=--040x <<40x 利润（万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式；()L x （2）当时利用二次函数的性质求出的最大值，当时，利用基本不等式求040x <<()L x 40x 的最大值，最后再比较即可．()L x 【详解】（1）解：当时，，040x <<22()500101002000104002000L x x x x x x =---=-+-当时，，40x 1000010000()500501450020002500L x x x x x x =--+-=--；2104002000,040()100002500,40x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪∴=⎨--⎪⎩ （2）当时，，040x <<2()104002000L x x x =-+-这个二次函数的对称轴为，所有当时，为最大值，20x =20x =()2000L x =当时，，40x 1000010000()25002500()L x x x x x =--=-+，当且仅当即时，等号成立， 10000200x x += 10000x x =100x =，()25002002300L x ∴-= 即当时，取到最大值2300，100x =()L x ，23002000> 当时，即2022年产量为100百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为2300万元．∴100x =20．已知函数()22x x a f x b +=+（1）当，时，解关于的方程；4a =2b =-x ()2x f x =（2）若函数是定义在上的奇函数，求函数解析式；()f x R ()f x （3）在（2）的前提下，函数满足，若对任意且，不等式()g x ()[()2]22x x f x g x -+⋅=-x R ∈0x ≠恒成立，求实数m 的最大值．()()210g x m g x ≥⋅-【答案】（1）；（2）；（3）221()21x x f x -=+【分析】（1）将，代入，可转化为关于的二次方程，解方程进而可得的值；4a =2b =-2xx （2）利用奇函数的性质直接求解；（3）化简可得，代入不等式分离参数，转化为函数求最值，利用换元法及基本不等()22x x g x -=+式直接求最值.【详解】（1）当，时，．4a =2b =-24()222x x x f x -+==即，2(2)3240x x -⋅-=解得：或（舍去），∴；24x =21x =-2x =（2）若函数是定义在上的奇函数，()f x R 则，即()()f x f x -=-2222x x x x a a bb --++=-++即恒成立，()(22)220x x a b ab -++++=解得：，，或，1a =1b =-1a =-1b =经检验，满足函数的定义域为，1a =-1b =R ．21()21x x f x -∴=+（3）当时，函数满足，0x ≠()g x ()[()2]22x x f x g x -⋅+=-∴，则()[()2]22,(0)x x f x g x x -⋅+=-≠()22x x g x -=+不等式恒成立，()()210g x m g x ≥⋅-即恒成立()()22222210x x x x m --+-≥⋅+-即恒成立，8(22)22x x x x m --≤+++设，则，即，恒成立，22x x t -=+2t >8m t t ≤+2t >由平均值不等式可得：当取最小值．t =8t t +故，即实数m 的最大值为m ≤【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．21．已知函数（其中，且）的图象关于原点对称.()ln 1ax f x b x =-+⎛⎫ ⎪⎝⎭a b ∈R 0a ≠（1）求，的值；a b （2）当时，0a >①判断在区间上的单调性（只写出结论即可）；()x y f e =()0,+¥②关于的方程在区间上有两个不同的解，求实数的取值范围.x ()ln 0x f e x k -+=(]0,ln 4k【答案】（1）或；（2）①在区间上单调递增；②.21a b =⎧⎨=⎩21a b =-⎧⎨=-⎩()0,+¥2033k <≤【分析】（1）由图象关于原点对称知：，结合函数解析式可得，即可()()0f x f x -+=()2211a b b ⎧-=⎪⎨=⎪⎩求参数.（2）由已知得，①为，的构成的复合函数，由它们()1ln 1x f x x -=+()x y f e =211x t e =-+()ln g t t =在上均单调递增，即知的单调性；②由①整理方程得在区间()0,+¥()x y f e =()11x x x e e k e +=-上有两个不同的解，令，有，结合基本不等式求其最值，进(]0,ln 41x u e =-(]0,3u ∈23k u u =++而确定的取值范围.k 【详解】（1）由题意知：，整理得，即()()0f x f x -+=()()ln[011a b x b a b x b x x -+--⨯=-+，对于定义域内任意都成立，()22221a b x b x --=-x ∴，解得或.()2211a b b ⎧-=⎪⎨=⎪⎩21a b =⎧⎨=⎩21a b =-⎧⎨=-⎩（2）由知：，故0a >21a b =⎧⎨=⎩()21ln 1ln 11x x x x f x -⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭①，由，在上均单调递增，()2ln(1)1x x y f e e ==-+211x t e =-+()ln g t t =()0,+¥∴在区间上的单调递增.()x y f e =()0,+¥②由①知，可得，即在区间上有1ln ln 01x x e x k e --+=+1ln ln ln 01x x x e e k e --+=+()11x x x e e k e +=-(]0,ln 4两个不同的解，令，1xu e =-(]0,3u ∈∴当且仅当()()()11223331x x x e e u u k u e u u +++===++≥+=+-u =在上递减，在上递增，且时.23k u u =++3]3u =203k =∴.2033k +<≤【点睛】关键点点睛：（1）利用函数的对称性，结合解析式列方程求参数值；（2）根据对数型复合函数的构成判断单调性，应用参变分离、换元思想，将方程转化为在上存在不同的对应相同的值，求参数范围.23k u u =++(]0,3u ∈u k。

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2016-2017学年上海市徐汇区高一（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共12小题，每小题3分，共20分）.1．已知A={x |x ≤7}，B={x |x ＞2}，则A ∩B= ．2．不等式的解集是． 3．函数f （x ）=的定义域是．4．若x ＞0，则函数f （x ）=+x 的最小值为．5．若函数，，则f （x ）+g （x ）= ．6．不等式|2x ﹣1|＜3的解集为．7．设f （x ）是R 上的奇函数，当x ≤0时，f （x ）=2x 2﹣x ，则f （1）= ． 8．已知函数，则方程f ﹣1（x ）=4的解x= ． 9．若函数f （x ）=x 2+为偶函数，则实数a= ． 10．函数y=的值域是．11．已知函数f （x ）=，且函数F （x ）=f （x ）+x ﹣a 有且仅有两个零点，则实数a 的取值范围是．12．关于x 的方程4x ﹣k•2x +k +3=0，只有一个实数解，则实数k 的取值范围是．二、选择题：本大题共4小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．13．“x +y=3”是“x=1且y=2”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也必要条件14．下列各对函数中，相同的是（）A ．f （x ）=lgx 2，g （x ）=2lgxB ．f （x ）=lg，g （x ）=lg （x +1）﹣lg （x ﹣1） C ．f （u ）=，g （v ）=D ．f （x ）=x ，g （x ）=15．设a ，b 是非零实数，若a ＜b ，则下列不等式成立的是（）A ．a 2＜b 2B ．ab 2＜a 2bC ．D ．16．若f （x ）是R 上的奇函数，且f （x ）在[0，+∞）上单调递增，则下列结论：①y=|f （x ）|是偶函数；②对任意的x ∈R 都有f （﹣x ）+|f （x ）|=0；③y=f （﹣x ）在（﹣∞，0]上单调递增；④y=f （x ）f （﹣x ）在（﹣∞，0]上单调递增．其中正确结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4三、解答题：本大题共5小题，共44分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．已知全集为R ，集合A={x |≤0}，集合B={x ||2x +1|＞3}．求A ∩（∁R B ）． 18．设函数f （x ）=a ﹣（a ∈R ）．（1）请你确定a 的值，使f （x ）为奇函数；（2）用单调性定义证明，无论a 为何值，f （x ）为增函数．19．关于x 的不等式＞1+（其中k ∈R ，k ≠0）．（1）若x=3在上述不等式的解集中，试确定k 的取值范围；（2）若k ＞1时，上述不等式的解集是x ∈（3，+∞），求k 的值．20．已知f （x ）=（）2（x ＞1）（1）求f （x ）的反函数及其定义域；（2）若不等式（1﹣）f ﹣1（x ）＞a （a ﹣）对区间x ∈[，]恒成立，求实数a的取值范围．21．设a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|+2x．（1）若a=3，求函数f（x）在区间[0，4]上的最大值；（2）若存在a∈（2，4]，使得关于x的方程f（x）=t•f（a）有三个不相等的实数解，求实数t的取值范围．2016-2017学年上海市徐汇区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共12小题，每小题3分，共20分）.1．已知A={x |x ≤7}，B={x |x ＞2}，则A ∩B= {x |2＜x ≤7} ．【考点】交集及其运算．【分析】由A 与B ，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x |x ≤7}，B={x |x ＞2}，∴A ∩B={x |2＜x ≤7}，故答案为：{x |2＜x ≤7}2．不等式的解集是（﹣4，2）．【考点】其他不等式的解法．【分析】由不等式可得（x ﹣2）（x +4）＜0，解此一元二次不等式求得原不等式的解集．【解答】解：由不等式可得＜0，即（x ﹣2）（x +4）＜0，解得﹣4＜x ＜2，故不等式的解集为（﹣4，2），故答案为（﹣4，2）．3．函数f （x ）=的定义域是 {x |x ≥﹣2且x ≠1} ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由题意即分母不为零、偶次根号下大于等于零，列出不等式组求解，最后要用集合或区间的形式表示．【解答】解：由题意，要使函数有意义，则，解得，x ≠1且x ≥﹣2；故函数的定义域为：{x|x≥﹣2且x≠1}，故答案为：{x|x≥﹣2且x≠1}．4．若x＞0，则函数f（x）=+x的最小值为2．【考点】基本不等式．【分析】由x ＞0，直接运用基本不等式，计算即可得到最小值．【解答】解：x＞0，则函数f（x）=+x≥2=2，当且仅当x=时，f（x）取得最小值2．故答案为：2．5．若函数，，则f（x）+g（x）=1（0≤x ≤1）．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】容易求出f（x），g（x）的定义域，求交集便可得出f（x）+g（x）的定义域，并可求得f（x）+g（x）=．【解答】解：；解得，0≤x≤1；∴（0≤x≤1）．故答案为：．6．不等式|2x﹣1|＜3的解集为{x|﹣1＜x＜2} ．【考点】不等式；绝对值不等式．【分析】将2x﹣1看成整体，利用绝对值不等式将原不等式转化成整式不等式，最后利用不等式基本性质求解即可．【解答】解：∵|2x﹣1|＜3⇔﹣3＜2x﹣1＜3⇔﹣1＜x＜2，∴不等式|2x﹣1|＜3的解集为{x|﹣1＜x＜2}．故答案为：{x |﹣1＜x ＜2}．7．设f （x ）是R 上的奇函数，当x ≤0时，f （x ）=2x 2﹣x ，则f （1）= ﹣3 ．【考点】函数的值．【分析】根据函数奇偶性的性质求f （﹣1）即可求出f （1）的值．【解答】解：∵f （x ）是R 上的奇函数，∴f （﹣1）=﹣f （1），∵当x ≤0时，f （x ）=2x 2﹣x ，∴f （﹣1）=2+1=3，∴f （1）=﹣f （﹣1）=﹣3．故答案为：﹣3．8．已知函数，则方程f ﹣1（x ）=4的解x= 1 ．【考点】反函数；对数的运算性质．【分析】根据互为反函数的两个函数间的关系知，欲求满足f ﹣1（x ）=4的x 值，即求f （4）的值．【解答】解：由题意得，即求f （4）的值∵，，∴f （4）=log 3（1+2）=1，∴f （4）=1．即所求的解x=1．故答案为1．9．若函数f （x ）=x 2+为偶函数，则实数a= 1 ．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据偶函数的定义建立方程关系进行求解即可．【解答】解：∵函数f （x ）=x 2+为偶函数，∴f （﹣x ）=f （x ），即x 2﹣=x 2+，则=0，则a=1，故答案为：110．函数y=的值域是（﹣1，）．【考点】函数的值域．【分析】分离常数后，根据指数函数的值域即可求函数y 的范围．【解答】解：函数y===﹣1．∵2x +3＞3，∴0＜． ∴函数y=的值域是（﹣1，）故答案为（﹣1，）11．已知函数f （x ）=，且函数F （x ）=f （x ）+x ﹣a 有且仅有两个零点，则实数a 的取值范围是 a ≤1 ．【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据函数与方程的关系，将函数问题转化为两个函数的交点问题，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由F （x ）=f （x ）+x ﹣a=0得f （x ）=﹣x +a ，作出函数f （x ）和y=﹣x +a 的图象如图：当直线y=﹣x +a 经过点A （0，1）时，两个函数有两个交点，此时1=﹣0+a ，即a=1，要使两个函数有两个交点，则a≤1即可，故实数a的取值范围是a≤1，故答案为：a≤112．关于x的方程4x﹣k•2x+k+3=0，只有一个实数解，则实数k的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪{6} ．【考点】函数的零点．【分析】首先换元，令t=2x，则关于t方程t2﹣kt+k+3=0只有一个正根，根据根与系数的关系写出一元二次方程要满足的条件，得到结果．【解答】解：设t=2x，t＞0x的方程4x﹣k•2x+k+3=0转化为t2﹣kt+k+3=0，设f（t）=t2﹣kt+k+3，原方程只有一个根，则换元以后的方程有一个正根，∴f（0）＜0，或△=0，∴k＜﹣3，或k=6故答案为（﹣∞，﹣3）∪{6}．二、选择题：本大题共4小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．13．“x+y=3”是“x=1且y=2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：当x=0，y=3时，满足x +y=3，但x=1且y=2不成立，即充分性不成立，若x=1且y=2，则x +y=3成立，即必要性成立，即“x +y=3”是“x=1且y=2”的必要不充分条件，故选：B14．下列各对函数中，相同的是（）A ．f （x ）=lgx 2，g （x ）=2lgxB ．f （x ）=lg，g （x ）=lg （x +1）﹣lg （x ﹣1） C ．f （u ）=，g （v ）=D ．f （x ）=x ，g （x ）=【考点】判断两个函数是否为同一函数．【分析】对于A ，通过定义域判断是不是相同的函数；对于B 求出函数的定义域，即可判断是不是相同的函数；对于C ：判断是否满足相同函数的要求即可；对于D ：通过对应关系以及值域即可判断是不是相同的函数．【解答】解：对于A ：f （x ）=lgx 2，g （x ）=2lgx 两个函数的定义域不同，不是相同的函数；对于B ：f （x ）=lg，g （x ）=lg （x +1）﹣lg （x ﹣1）函数底的定义域不同，不是相同的函数；对于C ：f （u ）=，g （v ）=，满足相同函数的要求，是相同的函数；对于D ：f （x ）=x ，g （x ）=，定义域相同，都是对应关系以及值域不同，不是相同的函数．故选C ．15．设a ，b 是非零实数，若a ＜b ，则下列不等式成立的是（）A ．a 2＜b 2B ．ab 2＜a 2bC ．D ．【考点】一元二次不等式的应用；不等关系与不等式．【分析】由不等式的相关性质，对四个选项逐一判断，由于a ，b 为非零实数，故可利用特例进行讨论得出正确选项【解答】解：A 选项不正确，因为a=﹣2，b=1时，不等式就不成立； B 选项不正确，因为a=1，b=2时，不等式就不成立；C 选项正确，因为⇔a ＜b ，故当a ＜b 时一定有；D 选项不正确，因为a=1，b=2时，不等式就不成立；选项正确，因为y=2x 是一个增函数，故当a ＞b 时一定有2a ＞2b ，故选C ．16．若f （x ）是R 上的奇函数，且f （x ）在[0，+∞）上单调递增，则下列结论：①y=|f （x ）|是偶函数；②对任意的x ∈R 都有f （﹣x ）+|f （x ）|=0；③y=f （﹣x ）在（﹣∞，0]上单调递增；④y=f （x ）f （﹣x ）在（﹣∞，0]上单调递增．其中正确结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由f （x ）是R 上的奇函数，且f （x ）在[0，+∞）上单调递增，知：y=|f （x ）|是偶函数；对任意的x ∈R ，不一定有f （﹣x ）+|f （x ）|=0；y=f （﹣x ）在（﹣∞，0]上单调递减；y=f （x ）f （﹣x ）=﹣[f （x ）]2在（﹣∞，0]上单调递减．【解答】解：∵f （x ）是R 上的奇函数，且f （x ）在[0，+∞）上单调递增， ∴y=|f （x ）|是偶函数，故①正确；对任意的x ∈R ，不一定有f （﹣x ）+|f （x ）|=0，故②不正确；y=f （﹣x ）在（﹣∞，0]上单调递减，故③不正确；y=f （x ）f （﹣x ）=﹣[f （x ）]2在（﹣∞，0]上单调递增，故④正确．故选B ．三、解答题：本大题共5小题，共44分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．已知全集为R ，集合A={x |≤0}，集合B={x ||2x +1|＞3}．求A ∩（∁R B ）．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合A 、B ，根据补集与交集的定义写出A ∩（∁R B ）即可．【解答】解：全集为R ，集合A={x |≤0}={x |﹣1＜x ≤3}，集合B={x ||2x +1|＞3}={x |2x +1＞3或2x +1＜﹣3}={x |x ＞1或x ＜﹣2}，所以∁R B={x |﹣2≤x ≤1}，A ∩（∁RB ）={x |﹣1＜x ≤1}．18．设函数f （x ）=a ﹣（a ∈R ）．（1）请你确定a 的值，使f （x ）为奇函数；（2）用单调性定义证明，无论a 为何值，f （x ）为增函数．【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】（1）根据函数奇偶性的定义进行判断即可．（2）根函数单调性的定义进行证明即可．【解答】解：（1）∵函数f （x ）是R 上的奇函数，∴f （0）=a ﹣=0，∴a=1；（2）证明：任取：x 1＜x 2∈R ，∴f （x 1）﹣f （x 2）=a ﹣﹣a +=2•∵x 1＜x 2，∴，又＞0，，∴f （x 1）﹣f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2），∴f （x ）在R 上的单调递增．19．关于x 的不等式＞1+（其中k ∈R ，k ≠0）．（1）若x=3在上述不等式的解集中，试确定k 的取值范围；（2）若k ＞1时，上述不等式的解集是x ∈（3，+∞），求k 的值．【考点】其他不等式的解法．【分析】（1）若x=3在上述不等式的解集中，即x=3，求解关于k 的不等式＞1+即可．（2）根据不等式与方程的思想求解，移项通分，化简，利用x=3求解k 的值．【解答】解：（1）由题意：x=3时，不等式＞1+化简为，即，可得（5﹣k ）k ＞0，解得：0＜k ＜5．∴当x=3在上述不等式的解集中，k 的取值范围是（0，5）（2）不等式＞1+化简可得（其中k ∈R ，k ≠0）． ∵k ＞1，可得： ⇔kx +2k ＞k 2+x ﹣3 不等式的解集是x ∈（3，+∞），∴x=3是方程kx +2k=k 2+x ﹣3的解．即3k +2k=k 2，∵k ≠0，∴k=5．故得若k ＞1时，不等式的解集是x ∈（3，+∞）时k 的值为5．20．已知f （x ）=（）2（x ＞1）（1）求f （x ）的反函数及其定义域；（2）若不等式（1﹣）f ﹣1（x ）＞a （a ﹣）对区间x ∈[，]恒成立，求实数a 的取值范围．【考点】函数恒成立问题；反函数．【分析】（1）求出f （x ）的值域，即f ﹣1（x ）的定义域，令y=（）2，解得x=，可得f ﹣1（x ）．（2）不等式（1﹣）f ﹣1（x ）＞a （a ﹣）在区间x ∈[，]恒成立⇔在区间x ∈[，]恒成立，对区间x ∈[，]恒成立．【解答】解；（1）∵x ＞1，∴0＜f （x ）＜1．令y=（）2（x ＞1），解得x=，∴f ﹣1（x ）=（0＜x ＜1）；（2）∵f ﹣1（x ）=（0＜x ＜1），∴不等式（1﹣）f ﹣1（x ）＞a （a ﹣）在区间x ∈[，]恒成立⇔在区间x ∈[，]恒成立，对区间x ∈[，]恒成立．当a=﹣1时，不成立，当a ＞﹣1时，a ＜在区间x ∈[，]恒成立，a ＜（）min ，﹣1＜a ＜．当a ＜﹣1时，a ＞在区间x ∈[，]恒成立，a ＞（）max ，a 无解．综上：实数a 的取值范围：﹣1＜a ＜．21．设a ∈R ，函数f （x ）=x |x ﹣a |+2x ．（1）若a=3，求函数f （x ）在区间[0，4]上的最大值；（2）若存在a ∈（2，4]，使得关于x 的方程f （x ）=t•f （a ）有三个不相等的实数解，求实数t 的取值范围．【考点】分段函数的应用；根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）求出f （x ）的分段函数式，运用二次函数的性质，可得单调区间，求得最大值；（2）将x 分区间进行讨论，去绝对值写出解析式，求出单调区间，将a 分区间讨论，求出单调区间解出即可．【解答】解：（1）当a=3，x ∈[0，4]时，f （x ）=x |x ﹣3|+2x=，可知函数f （x ）在区间[0，]递增，在（，3]上是减函数，在[3，4]递增，则f （）=，f （4）=12，所以f （x ）在区间[0，4]上的最大值为f （4）=12．（2）f （x ）=， ①当x ≥a 时，因为a ＞2，所以＜a ．所以f （x ）在[a ，+∞）上单调递增．②当x ＜a 时，因为a ＞2，所以＜a ．所以f （x ）在（﹣∞，）上单调递增，在[，a ]上单调递减．当2＜a ≤4时，知f （x ）在（﹣∞，]和[a ，+∞）上分别是增函数，在[，a ]上是减函数，当且仅当2a ＜t•f （a ）＜时，方程f （x ）=t•f （a ）有三个不相等的实数解．即1＜t ＜=（a ++4）．令g （a ）=a +，g （a ）在a ∈（2，4]时是增函数，故g（a）max=5．∴实数t的取值范围是（1，）．。