高二数学三角函数化简及证明测试题
高中数学三角函数的恒等变换及化简求值精选题
三角函数的恒等变换及化简求值精选题一．选择题（共7小题） 1．若3ta n 4α=，则2c o s 2s in 2(αα+=)A ．6425B ．4825C ．1D ．16252．若3c o s ()45πα-=，则sin 2(α=)A ．725B ．15C ．15-D ．725-3．已知向量(sin ,2),(1,c o s )ab θθ=-=，且ab⊥，则2sin 2c o s θθ+的值为( )A ．1B ．2C ．12D ．34．若1ta n 3θ=，则c o s 2(θ=)A ．45-B ．15- C ．15D ．455．已知角α的终边经过点(2,1)P -，则sin c o s (sin c o s αααα-=+ )A ．3B ．13C ．13-D ．3- 6．已知函数()s in (2)6f x x π=-，若方程3()5f x =的解为1x ，212(0)x x x π<<<，则12sin ()(x x -=)A ．45-B ．35-C ．3-D ．3-7．已知1ta n 4ta n θθ+=，则2c o s ()(4πθ+=)A ．12B ．13C ．14D ．15二．填空题（共15小题）9．设当x θ=时，函数()s in o s f x x x=+取得最大值，则ta n ()4πθ+=．10．求值：s in 50(1n 10)︒+︒=．11．1s in 10c o s 10-=︒︒．12．已知s in 10c o s 102c o s 140m ︒+︒=︒，则m=．13．4c o s 50ta n 40︒-︒=．14．2c o s 10s in 20s in 70︒-︒=︒．15．已知1ta n 31ta n αα+=-，则2sin 2sin co s 1ααα-+=．16．若1s in ()43πα-=，则c o s ()4πα+=．17．若o s 2in 2c o s ()4θθπθ=+，则s in 2θ=．18．若ta n 3α=，则s in 2ta n ()4απα+的值为 ．19．若ta n 3,(0,)2παα=∈，则c o s ()4πα-=．20．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为2s in 18m =︒，若24m n +=，si n 63=︒．21．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现0.618就是黄金分割，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为2s in 18a=︒，若24a b +=，则2=．22．函数2()ta n 60s in 2inf x x x=︒+在[,]2ππ上的值域为 ．三．解答题（共3小题） 23．设函数()s in ()s in ()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<，已知()06f π=．（Ⅰ）求ω； （Ⅱ）将函数()yf x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在[4π-，3]4π上的最小值．24．已知α，β为锐角，4ta n 3α=，c o s ()5αβ+=-（1）求c o s 2α的值； （2）求tan ()αβ-的值．25．已知函数22()s inc o s in f x x x x =--co s ()x x R ∈．（Ⅰ）求2()3f π的值．（Ⅱ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间．三角函数的恒等变换及化简求值精选题25道参考答案与试题解析一．选择题（共7小题） 1．若3ta n 4α=，则2c o s 2s in 2(αα+=)A ．6425B ．4825C ．1D ．1625【分析】将所求的关系式的分母“1”化为22(c o s sin )αα+，再将“弦”化“切”即可得到答案． 【解答】解：3ta n 4α=，22222314c o s 4s in c o s 14ta n 644c o s 2s in 29s in c o s ta n 125116ααααααααα+⨯++∴+====+++．故选：A ．【点评】本题考查三角函数的化简求值，“弦”化“切”是关键，是基础题． 2．若3c o s ()45πα-=，则sin 2(α=)A ．725B ．15C ．15-D ．725-【分析】法1︒：利用诱导公式化s in 2c o s (2)2παα=-，再利用二倍角的余弦可得答案．法︒：利用余弦二倍角公式将左边展开，可以得s in c o s αα+的值，再平方，即得s in2α的值【解答】解：法31:c o s ()45πα︒-=，297s in 2c o s (2)c o s 2()2c o s ()1212442525πππαααα∴=-=-=--=⨯-=-，法32:c o s ()in c o s )425πααα︒-=+=，∴19(1s in 2)225α+=，97s in 2212525α∴=⨯-=-，故选：D ．【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，熟练掌握诱导公式化与二倍角的余弦是关键，属于中档题．3．已知向量(sin ,2),(1,c o s )ab θθ=-=，且ab⊥，则2sin 2c o s θθ+的值为( )A ．1B ．2C ．12D ．3【分析】由题意可得a b ⋅=，即解得ta n 2θ=，再由222222s in c o s c o s 2ta n 1s in 2c o s c o s s in 1ta n θθθθθθθθθ+++==++，运算求得结果．【解答】解：由题意可得sin 2co s 0ab θθ⋅=-=，即ta n 2θ=．222222s in c o s c o s 2ta n 1s in 2c o s 1c o s s in 1ta n θθθθθθθθθ++∴+===++，故选：A ．【点评】本题主要考查两个向量数量积公式的应用，两个向量垂直的性质；同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题． 4．若1ta n 3θ=，则c o s 2(θ=)A ．45-B ．15- C ．15D ．45【分析】原式利用二倍角的余弦函数公式变形，再利用同角三角函数间的基本关系化简，将ta n θ的值代入计算即可求出值．【解答】解：1ta n 3θ=，22224c o s 22c o s 11111519ta n θθθ∴=-=-=-=++．故选：D ．【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．5．已知角α的终边经过点(2,1)P -，则sin c o s (sin c o s αααα-=+ )A ．3B ．13C ．13-D ．3-【分析】先根据已知条件得到ta n α，再化简s in c o s s in c o s αααα-+代入即可得到结果．【解答】解：因为角α的终边经过点(2,1)P -，所以1ta n 2α=-，则11s in c o s ta n 1231s in c o s ta n 112αααααα----===-++-+，故选：D ．【点评】本题考查三角函数的化简求值，着重考查同角三角函数的基本关系式，考查任意角的三角函数的定义，属于中档题． 6．已知函数()s in (2)6f x x π=-，若方程3()5f x =的解为1x ，212(0)x x x π<<<，则12sin ()(x x -=)A ．45- B ．35-C．3-D．3-【分析】由已知可得2123x x π=-，结合12x x <求出1x 的范围，再由12112s i n ()s i n (2)c o s (2)36x xx x ππ-=-=--求解即可． 【解答】解：因为0x π<<，∴112(,)666x πππ-∈-，又因为方程3()5f x =的解为1x ，212(0)x x x π<<<，∴1223x x π+=，∴2123x x π=-，∴12112s in ()s in (2)c o s (2)36x x x x ππ-=-=--，因为12212,3x x x x π<=-，103x π∴<<，∴12(,)662x πππ-∈-，∴由113()s in (2)65f x x π=-=，得14c o s (2)65x π-=，∴124s in ()5x x -=-，故选：A ．【点评】本题考查了三角函数的恒等变换及化简求值和三角函数的图象与性质，属中档题． 7．已知1ta n 4ta n θθ+=，则2c o s ()(4πθ+=)A ．12B ．13C ．14D ．15【分析】由已知求得s in c o s θθ的值，再由二倍角的余弦及诱导公式求解2c o s ()4πθ+的值．【解答】解：由1ta n 4ta n θθ+=，得s in c o s 4c o s s in θθθθ+=，即224s in c o s s in c o s θθθθ+=，1s in c o s 4θθ∴=，∴21c o s (2)1s in 22c o s ()422πθπθθ++-+==11212s in c o s 14224θθ-⨯-===．故选：C ．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查了同角三角函数基本关系式及诱导公式的应用，是基础题．二．填空题（共15小题） 9．设当xθ=时，函数()s in o s f x x x=+取得最大值，则ta n ()4πθ+=2+【分析】()f x 解析式提取，利用两角和与差的正弦公式化为一个角的正弦函数，由x θ=时函数()f x 取得最大值，得到θ的取值，后代入正切公式中计算求值．【解答】解：()sin o s 2sin ()3f x x x x π=+=+；当xθ=时，函数()f x 取得最大值2,32k k zππθπ∴+=+∈；26k πθπ∴=+，kz∈；∴1ta n ()ta n (2)ta n ()2464463k πππππθπ++=++=+==+故答案为：2+．【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．10．求值：s in 50(1n 10)︒+︒=1 ．【分析】先把原式中切转化成弦，利用两角和公式和整理后，运用诱导公式和二倍角公式化简整理求得答案．【解答】解：原式2s in 40s in 80c o s 10s in 50c o s 401c o s 10c o s 10c o s 10c o s 10︒︒︒=︒⋅=︒===︒︒︒︒故答案为：1【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换及其化简求值，以及两角和公式，诱导公式和二倍角公式的化简求值．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用． 11．1s in 10c o s 10-=︒︒4 ．【分析】s in 10c o s 10得结果．【解答】解：12(c o s 10in 10)1221s in 10c o s 10s in 10c o s 10s in 202︒-︒-==︒︒︒︒︒4s in 20420S in ==故答案为：4【点评】本题主要基础知识的考查，考查了在三角函数的化简与求值中，综合运用二倍角正弦公式、两角和的正弦公式，要求考生熟练运用公式对三角函数化简． 12．已知s in 10c o s 102c o s 140m ︒+︒=︒，则m=【分析】由题意可得2c o s 140s in 10c o s 10m ︒-︒=︒，再利用三角恒等变换求得它的值． 【解答】解：由题意可得2c o s 140s in 102c o s 40s in 102c o s (3010)s in 10c o s 10c o s 10c o s 10m ︒-︒-︒-︒-︒+︒-︒===︒︒︒2c o s 10s in 10s in 102c o s 10-︒+︒-︒==︒故答案为：【点评】本题主要考查三角恒等变换，属于中档题． 13．4c o s 50ta n 40︒-︒=【分析】表达式第一项利用诱导公式化简，第二项利用同角三角函数间的基本关系切化弦，通分后利用同分母分式的减法法则计算，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，约分即可得到结果． 【解答】解：4c o s 50ta n 404s in 40ta n 40︒-︒=︒-︒4s in 40c o s 40s in 40c o s 40︒︒-︒=︒2s in 80s in (3010)c o s 40︒-︒+︒=︒12c o s 10c o s 10in 1022c o s 40︒-︒-︒=︒3c o s 10in 1022c o s 40︒-︒=︒==．【点评】本题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键． 14．2c o s 10s in 20s in 70︒-︒=︒【分析】利用两角和差的余弦公式，进行化简即可．【解答】解：原式12o s 20s in 20)s in 202c o s (3020)s in 2022c o s 20c o s 20︒+︒-︒︒-︒-︒==︒︒o s 20s in 20s in 20o s 20c o s 20c o s 20︒+︒-︒︒===︒︒【点评】本题主要考查三角函数值的化简，利用两角和差的余弦公式是解决本题的关键． 15．已知1ta n 31ta n αα+=-，则2sin 2sin co s 1ααα-+=25．【分析】由1ta n 31ta n αα+=-，我们可计算出ta n α的值，由于2sin α2c o s +α1=，所以将所求的代收式变形为222222s in c o s s in s in c o s s in c o s ααααααα-+++，然后化弦为切，代入求值．【解答】解：1ta n 31ta n αα+=-，1ta n 2α∴=．22222222222112()212s in c o s 2ta n 1222s in 2s in c o s 1115()12s in s in c o s ta n ta n s in c o s ta n αααααααααααααα⨯-⨯+-++-++∴-+====+++． 故答案是：25．【点评】本题考查的知识点是三角函数的恒等变换及化简求值，同角三角函数间的基本关系，解题的关键是将角的弦化切，属于中档题． 16．若1s in ()43πα-=，则c o s ()4πα+=13．【分析】由已知利用诱导公式化简所求即可得解． 【解答】解：1sin ()43πα-=，∴1c o s ()s in (())s in ()42443a ππππαα+=--=-=．故答案为：13．【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 17．若o s 2in 2c o s ()4θθπθ=+，则s in 2θ=23-．【分析】由已知利用三角函数恒等变换的应用可得：2(c o s s in )in 2θθθ+=，平方后整理可得：23sin 24sin 240θθ--=，进而解得s in 2θ的值． 【解答】解：o s 22c o s()4θθπθ=+，∴2(c o s s in )in 22θθθ=+=，∴平方可得：24(1sin 2)3sin 2θθ+=，整理可得：23sin 24sin 240θθ--=，∴解得：2s in 23θ=-，或2（舍去）．故答案为：23-．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 18．若ta n 3α=，则s in 2ta n ()4απα+的值为310-．【分析】直接利用三角函数关系式的变换和倍角公式的应用求出结果．【解答】解：由于ta n 3α=，所以22ta n 3s in 21ta n 5ααα==+，1ta n 4ta n ()241ta n 2πααα++===---所以3s in 235210ta n ()4απα==--+．故答案为：310-【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，倍角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 19．若ta n 3,(0,)2παα=∈，则c o s ()4πα-=5．【分析】由已知结合同角三角函数基本关系式求解s in α、c o s α的值，然后展开两角差的余弦求解．【解答】解：由ta n 3α=，得s in 3c o s αα=，即s in 3c o s αα=．又22sin c o s 1αα+=，且(0,)2πα∈，解得：s in 10α=，c o s 10α=．∴c o s ()c o s c o s s in s in4441021025πππααα-=+=+=．故答案为：5．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查了同角三角函数基本关系式及两角差的余弦，是基础题．20．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为2s in 18m=︒，若24m n +=，则s i n 63m +=︒【分析】根据三角函数同角三角函数关系表示n ，利用辅助角公式结合两角和差的正弦公式进行化简即可． 【解答】解：2s in 18m =︒，∴由24m n +=，得222444sin 184co s 18nm =-=-︒=︒，则2s in 182c o s 18in (4518)in 63s in 63s in 63s in 63s in 63m +︒+︒︒+︒︒====︒︒︒︒故答案为：【点评】本题主要考查三角函数值的化简和求解，利用辅助角公式以及两角和差的正弦公式进行化简是解决本题的关键．21．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现0.618就是黄金分割，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为2s in 18a=︒，若24a b +=，则2=12-．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求24co s 18b =︒，然后利用降幂公式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式化简得答案． 【解答】解：2s in 18a =︒，若24a b +=，2222444sin 184(1sin 18)4c o s 18b a∴=-=-︒=-︒=︒，∴22c o s 54sin 3614sin 18c o s 182sin 362-︒-︒====-︒︒︒，故答案为：12-．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，降幂公式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．22．函数2()ta n 60s in 2inf x x x=︒+在[,]2ππ上的值域为．【分析】由已知利用三角函数恒等变换的应用可求()in (2)4f x x π=-+[,]2x ππ∈，可得：32[44x ππ-∈，7]4π，进而利用正弦函数的性质即可得解．【解答】解：2()tan 60sin 22f x x x=︒+1c o s 2in 22xx -=+2o s 2x x=+-in (2)4x π=-+又[,]2x ππ∈，可得：32[44xππ-∈，7]4π，s in (2)[14x π∴-∈-，2，可得()in (2)4f x x π=-+-，．故答案为：．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用及正弦函数的性质，考查了转化思想和函数思想，属于基础题． 三．解答题（共3小题） 23．设函数()s in ()s in ()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<，已知()06f π=．（Ⅰ）求ω； （Ⅱ）将函数()yf x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在[4π-，3]4π上的最小值．【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化函数()f x 为正弦型函数，根据()06f π=求出ω的值；（Ⅱ）写出()f x 解析式，利用平移法则写出()g x 的解析式，求出[4x π∈-，3]4π时()g x 的最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数()s in ()s in ()62f x x x ππωω=-+-s in c o sc o s s ins in ()662x x x πππωωω=---3in c o s 22x xωω=-in ()3x πω=-，又()in ()0663f πππω=-=，∴63k ππωπ-=，k Z∈，解得62k ω=+，又03ω<<，2ω∴=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()in (2)3f x x π=-，将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数in ()3y x π=-的图象；再将得到的图象向左平移4π个单位，得到in ()43yx ππ=+-的图象，∴函数()in ()12yg x x π==-；当[4x π∈-，3]4π时，[123xππ-∈-，2]3π，s in ()[122x π∴-∈-，1]，∴当4xπ=-时，()g x取得最小值是322-=-．【点评】本题考查了三角恒等变换与正弦型函数在闭区间上的最值问题，是中档题． 24．已知α，β为锐角，4ta n 3α=，c o s ()5αβ+=-（1）求c o s 2α的值； （2）求tan ()αβ-的值．【分析】（1）由已知结合平方关系求得s in α，c o s α的值，再由倍角公式得c o s 2α的值； （2）由（1）求得t a n 2α，再由c o s ()5αβ+=-求得t a n (αβ+，利用tan ()tan [2()]αβααβ-=-+，展开两角差的正切求解．【解答】解：（1）由22431s in c o s s in c o s ααααα⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪⎩为锐角，解得4s in 53c o s 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，227c o s 225c o s s in ααα∴=-=-；（2）由（1）得，24s in 22s in c o s 25ααα==，则s in 224ta n 2c o s 27ααα==-．α，(0,)2πβ∈，(0,)αβπ∴+∈，s in ()5αβ∴+==．则s in ()ta n ()2c o s ()αβαβαβ++==-+．ta n 2ta n ()2ta n ()ta n [2()]1ta n 2ta n ()11ααβαβααβααβ-+∴-=-+==-++．【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是中档题． 25．已知函数22()s inc o s in f x x x x =--co s ()x x R ∈．（Ⅰ）求2()3f π的值．（Ⅱ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间．【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式，（Ⅰ）代入可得：2()3f π的值．（Ⅱ）根据正弦型函数的图象和性质，可得()f x 的最小正周期及单调递增区间【解答】解：函数22()s inc o s in f x x x x =--7c o s in 2c o s 22s in (2)6x x x x π=-=+（Ⅰ）2275()2s in (2)2s in 23362f ππππ=⨯+==，（Ⅱ）2ω=，故Tπ=，即()f x 的最小正周期为π，由72[262xk πππ+∈-+，2]2k ππ+，k Z∈得：5[6x k ππ∈-+，]3k ππ-+，kZ∈，故()f x 的单调递增区间为5[6k ππ-+，]3k ππ-+或写成[6k ππ+，2]3k ππ+，kZ∈．【点评】本题考查的知识点是三角函数的化简求值，三角函数的周期性，三角函数的单调区间，难度中档。
必修第二册三角函数之诱导公式化简题练习
诱导公式化简题1. 设k 为整数，化简：sin(kπ−α)cos[(k−1)π−α]sin[(k+1)π+α]cos(kπ+α)．2. 已知角α的终边经过单位圆上的点P(45,−35). (1)求sin α的值; (2)求cos(2π−α)sin(π+α)·tan(π+α)cos(3π−α)的值．3. 已知角α的终边经过点P(m,2√2)，sinα=2√23且α为第二象限角．(1)求m 、cosα、tanα的值；(2)若tanβ=√2，求sinαcosβ+3sin(π2+α)sinβcos(π+α)cos(−β)−3sinαsinβ的值．4. 已知f (α)=sin (α−3π)cos (2π−α)sin(−α+3π2)cos (−π−α)sin (−π−α)．(1)化简f(α)；(2)若α是第三象限角，且cos (α−3π2)=15，求f(α)的值； (3)若α=−31π3，求f(α)的值．5. 已知角α的终边经过点P(m,2√2)，sinα=2√23且α为第一象限角． (1)求m 的值；(2)若tanβ=√2，求sinαcosβ+3sin(π2+α)sinβcos(π+α)cos(−β)−3sinαcos(3π2+β)的值．6. 已知角α为第一象限角，且sinα=√55．(1)求cosα，tanα的值； (2)求3sin(π−α)−2cos(π+α)cos(π2−α)的值．7. (1)cos 2(α−2π3)+sin 2(a +π6)−sin 2α (22cos40∘+cos 10∘(1+tan 60∘tan 10∘)√1−cos 170°cos 40°+sin 50°(1+√3tan 10°)sin 70°√1+cos 40°8. A 、B 是单位圆O 上的点，点A 是单位圆与x 轴正半轴的交点，点B 在第二象限.记∠AOB =θ且sinθ=45． (1)求B 点坐标； (2)求sin(π+θ)+2sin(π2−θ)2cos(π−θ)的值．9. 已知角α的终边过点P (45,−35)． (1)求sinα的值; (2)求式子sin(π2−α)sin (α+π)⋅tan (α−π)cos (3π−α)的值．10.已知f(α)=sin 2 (π−α)⋅cos (2π−α)⋅tan (−π+α)sin (−π+α)⋅tan (−α+3π)．(1)化简f(α)；(2)若f(α)=18，且π4<α<π2，求cos α−sin α的值11.已知角α的终边过点A (−1,m )，且sinα=√55m(m ≠0)．(1)求非零实数m 的值；(2)当m >0，求sin(2π−α)+cos(π+α)cos(α−π)−cos(3π2−α)的值．12.已知cos (π+α)=−12，且α是第四象限角，计算： (1)sin(2π−α)； (2)sin [α+(2n+1)π]+sin [α−(2n+1)π]sin (α+2nπ)cos (α−2nπ)(n ∈Z )．13.已知．(1)化简f (a )；(2)若α是第三象限角，且cos (α−3π2)=15，求f (a )的值．14.已知f(α)=sin(α−3π)cos(2π−α)sin(−α+3π2)cos(−π−α)sin(−π−α)．(1)化简f(α)；(2)若α是第三象限角，且cos(α−3π2)=15，求f(α)的值； (3)若α=−31π3，求f(α)的值．15.已知sinα=−45，且α是第____象限角.从(1)一，(2)二，(3)三，(4)四，这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的横线上，并根据你的选择，解答以下问题： (1)求cosα,tanα的值； (2)化简求值：sin(π−α)cos(2π−α)sin(32π+α)cos(2021π+α)tan(2021π−α)−cos 2(π+α)．16.证明：17.已知cosα=−45，且α为第二象限角． (Ⅰ)求cos (π2−2α)的值；(Ⅱ)求tan (2α+π4)的值．18.已知sin (π−α)−cos (π+α)=√23(π2<α<π)，求(1)sinα−cosα的值;(2)sin 3(2π−α)+cos 3(2π−α)的值．19.已知f(α)=sin(π+α)⋅sin(π−α)+cos(2π+α)⋅cos(π2−α)tan(3π+α)⋅cos(2π−α)(1)化简f(α)；(2)若α的终边经过点P(−3,4)，求f(α)．20.已知cos (π+α)=45，且tanα>0． (1)求tanα的值； (2)求2sin(π−α)+sin(π2−α)cos(−α)+4cos(π2+α)的值．答案和解析1.【答案】解：方法一：当k为偶数时，设k=2m(m∈Z)，则原式=sin(2mπ−α)cos[(2m−1)π−α]sin[(2m+1)π+α]cos(2mπ+α)=sin(−α)cos(π+α) sin(π+α)cosα=−sinα(−cosα)−sinαcosα=−1．当k为奇数时，设k=2m+1(m∈Z)，同理可得原式=−1．方法二：由于kπ−α+kπ+α=2kπ，(k+1)π+α+(k−1)π−α=2kπ，故sin(kπ−α)=−sin(kπ+α)，cos[(k−1)π−α]=cos[(k+1)π+α]=−cos(kπ+α)，又sin[(k+1)π+α]=−sin(kπ+α).所以原式=−sin(kπ+α)[−cos(kπ+α)]−sin(kπ+α)cos(kπ+α)=−1．【解析】本题考查诱导公式的运用，考查三角函数的化简求值，属于中档题．方法一：分k为偶数和奇数两种情况结合诱导公式进行求解即可；2.【答案】解：(1)∵点P在单位圆上，∴由正弦的定义得sinα=−35．(2)原式=cosα−sinα·tanα−cosα=sinαsinα·cosα=1cosα，由余弦的定义得cosα=45，故原式=54．【解析】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式的应用，属于基础题．(1)利用任意角的三角函数的定义，求得sinα的值．(2)利用三角函数的诱导公式进行化简，再根据已知求出、，代入即可求解．3.【答案】解：(1)∵由题意，m<0，则sinα=2√2√m2+8=2√23，解得m=−1．∴cosα=−1√(−1)2+(2√2)2=−13，tanα=−2√2；(2)由(1)知，tanα=−2√2，又tanβ=√2，∴sinαcosβ+3sin(π2+α)sinβcos(π+α)cos(−β)−3sinαsinβ=sinαcosβ+3cosαsinβ−cosαcosβ−3sinαsinβ=tanα+3tanβ−1−3tanαtanβ=−2√2+3√2−1−3×(−2√2)×√2=√211．【解析】(1)由题意，m<0，再由正弦函数的定义列式求得m，则cosα，tanα的值可求；值，本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．4.【答案】解：(1)f(α)=(−sinα)cosα(−cosα)(−cosα)sinα=−cosα．(2)∵cos(α−3π2)=−sinα，∴sinα=−15，又α是第三象限的角，∴cosα=−√1−(−15)2=−2√65，∴f(α)=2√65．(3)f(−31π3)=−cos(−31π3)=−cos(−6×2π+5π3)=−cos5π3=−cosπ3=−12．【解析】【试题解析】本题考查了同角三角函数的基本关系、诱导公式、三角函数的化简求值和证明的相关知识，试题难度一般．(1)直接利用诱导公式化简即可；(2)利用诱导公式可得sinα=−15，然后利用同角三角函数关系求出结果；(3)利用诱导公式求解即可．5.【答案】解：(1)由三角函数定义可知sinα=2√23=√2√m2+8，解得m=±1，则m =1；(2)由(1)知tanα=2√2，sinαcosβ+3sin(π2+α)sinβcos(π+α)cos(−β)−3sinαcos(3π2+β)=−sinαcosβ+3cosαsinβcosαcosβ+3sinαsinβ=−tanα+3tanβ1+3tanαtanβ=√2+3√21+3×2√2×√2=−5√213．【解析】本题考查了任意角的三角函数、诱导公式，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属中档题．(1)由三角函数定义可知sinα=2√23=√2√m 2+8，从而得出结果；(2)化简得sinαcosβ+3sin(π2+α)sinβcos(π+α)cos(−β)−3sinαcos(3π2+β)=−tanα+3tanβ1+tanαtanβ，代入tanα=2√2和tanβ=√2即可得出结果．6.【答案】解：(1)∵角α为第一象限角，且sinα=√55，∴cosα=√1−sin 2α=2√55，tanα=sinαcosα=12．(2)3sin(π−α)−2cos(π+α)cos(π2−α)=3sinα+2cosαsinα=3+2tanα=3+212=7．【解析】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题． (1)由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解； (2)利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可化简求解． 7.【答案】(1)解：cos 2(α−2π3)+sin 2(a +π6)−sin 2α=12(1−12cos2α−√32sin2α+1−12cos2α+√32sin2α−1+cos2α)=12×1=12． (2)解：∘∘∘∘√1−cos 170°=2cos40∘+cos 10∘(1+√3sin 10∘cos10°)√1+cos 10°=2cos40∘+√3sin 10∘+cos 10∘√2cos5°=2cos40∘+2sin 40∘√2cos5°=2√2sin 85∘√2cos5°=2√2cos 5∘√2cos5°=2． (3)解：√3tan 10°)sin 70°√1+cos 40°=cos 40°+sin 50°(1+√3sin10°cos10°) cos 20°·√2cos20°=cos 40°+sin 50°(cos10°+√3sin10°cos10°)√2cos220°=cos 40°+cos 40°×2sin40°cos10°√2cos220°=cos 40°+sin80°cos10°√2×1+cos40°2=cos 40°+cos10°cos10°√22×(1+cos40°)=cos 40°+1√22×(1+cos40°)=√2．【解析】(1)本题主要考查的是三角函数化简求值问题，属于基础题．可先利用倍角公式化倍角，再利用两角和差公式展开化简求值即可．(2)本题主要考查的是三角函数化简求值问题，属于基础题．可结合倍角公式对根式化简，同时对分子中的正切化弦，再结合辅助角公式化简求值即可．(3)本题主要考查的是三角函数化简求值问题，属于基础题．可结合倍角公式对根式化简，同时对分子中的正切化弦，再结合辅助角公式化简求值即可．8.【答案】解：(1)A 、B 是单位圆O 上的点，点B 在第二象限， sinθ=45，则cosθ=−35，设B 点坐标为(x,y )， 则B (−35,45)；=−45+2(−35)−2(−35)=−53．【解析】本题考查任意角的三角函数三角函数以及用诱导公式化简三角函数式，属于基础题． (1)利用三角函数定义求出B (−35,45)；(2)化简，将sinθ=45，则cosθ=−35代入求值即可． 9.【答案】解：(1)∵角α的终边经过点P(45,−35)， ∴x =45，y =−35，r =|OP|=1，由正弦函数的定义得sinα=y r=−35．(2)由(1)可得cosα=xr =45，tanα=yx =−34，sin(π2−α)sin(α+π)·tan(α−π)cos(3π−α) =cosα−sinα·tanα−cosα=1cosα=54．【解析】【试题解析】本题主要考查任意角的三角函数的定义、同角三角函数基本关系式、诱导公式的应用，属于中档题．(1)利用任意角的三角函数的定义，求得sinα的值． (2)利用诱导公式及同角三角函数基本关系式求得sin(π2−α)sin(α+π)·tan(α−π)cos(3π−α)=1cosα，再代入求解即可．10.【答案】解：(1)f(α)=sin 2α⋅cosα⋅tanα−sinα⋅(−tanα)=sinαcosα=12sin2α．(2)f(α)=sinαcosα=18，∴(cosα−sinα)2=cos 2α+sin 2α−2sinαcosα=1−2×18=34，∵π4<α<π2，∴cosα−sinα<0． ∴cosα−sinα=−√32．【解析】本题考查了诱导公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． (1)利用诱导公式即可得出．(2)f(α)=sinαcosα=18，由(cosα−sinα)2=cos 2α+sin 2α−2sinαcosα，代入化简，根据π4<α<π2，可得cosα−sinα<0.即可得出．11.【答案】解：(1)点A 到原点的距离r =√1+m 2，sinα=y r=√1+m 2=√55m(m ≠0)，解得m =±2；(2)由题可知，m 取2，α为第二象限角，sinα=2√55，cosα=−√55，tanα=−2， sin(2π−α)+cos(π+α)cos(α−π)−cos(3π2−α)=−sinα−cosα−cosα+sinα=sinα+cosαcosα−sinα=tanα+11−tanα=−13．【解析】本题考查三角函数的定义，诱导公式及同角三角函数的基本关系，考查了运算与求解能力，属于基础题． (1)根据三角函数的定义可得sinα=y r=m √1+m 2=√55m ，解方程即可求出结果；(2)由题可知，m 取2，α为第二象限角，求出，利用诱导公式积及同角三角函数的基本关系化简所求式子，即可求出结果．12.【答案】解：∵cos (π+α)=−12，∴−cosα=−12，即cosα=12．又∵α是第四象限角，∴sinα=−√1−cos 2α=−√32．(1)sin(2π−α)=sin[2π+(−α)]=sin(−α)=−sinα=√32． (2)sin [α+(2n +1)π]+sin [α−(2n +1)π]sin (α+2nπ)cos (α−2nπ)=sin (2nπ+π+α)+sin (−2nπ−π+α)sin (2nπ+α)cos (−2nπ+α) =sin (π+α)+sin (−π+α)sinαcosα=−sinα−sin (π−α)sinαcosα=−2sinαsinαcosα=−2cosα=−4．【解析】本题考查了同角三角函数的基本关系、诱导公式的相关知识，属于基础题.由诱导公式先求出cosα=12，利用α所在的象限，结合同角公式求出sinα的值． (1)利用诱导公式即可求出结果； (2)利用诱导公式化简即可求出结果． 13.【答案】解：；(2)∵cos(α−3π2)=cos(3π2−α)=−sinα=15，∴sinα=−15，又α为第三象限角， ∴cosα=−√1−(−15)2=−2√65， ∴f(α)=2√65．【解析】本题考查同角三角函数的基本关系、诱导公式，属于基础题．(1)利用诱导公式化简；(2)由诱导公式可得，再利用同角三角函数关系求出cosα即可．14.【答案】解：(1) f(α)=(−sinα)·cosα·(−cosα)(−cosα)·sinα=−cos α；(2) ∵cos (α−3π2)=−sin α，∴sin α=−15， ∵α是第三象限角，∴cos α=−√1−(−15)2=−2 √65，∴f(α)=2 √65；(3) ∵−31π3=−6×2π+5π3，∴f (−31π3)=−cos (−31π3)=−cos (−6×2π+5π3)=−cos 5π3=−cos π3=−12，∴f(α)=−12．【解析】本题主要考查诱导公式，三角恒等变换，同角三角函数的基本关系，终边相同的角化简求值． (1)由诱导公式化简求解即可；(2)化简得到sin α=−15，再根据同角三角函数的基本关系，得到cos α=−√1−(−15)2=−2 √65，即可解得最后结果； (3)根据终边相同的角，可得f (−31π3)=−cos (−31π3)=−cos (−6×2π+5π3)=−cos 5π3=−cos π3=−12，f(α)的值．15.【答案】解：(1)因为sin α=−45，所以α为第三象限或第四象限角；若选③，cos α=−√1−sin 2 α=−35,tan α=sin αcos α=43；若选④，cos α=√1−sin 2 α=35,tan α=sin αcos α=−43； (2)原式=sin αcos α(−cos α)−cos αtan (−α)−cos 2α=−sin αcos αtan α−cos 2α=−sin αcos αsin αcos α−cos 2α=−2cos 2 α=−2[1−(45)2]=−1825．【解析】本题考查三角函数的化简求值以及诱导公式和同角三角函数关系，属于基础题．(1)根据同角三角函数关系求解即可； (2)利用诱导公式结合cos 2α求出结果． 16.【答案】证明：原式−sin(5π−θ)cos(π−θ)⋅sinθ−sin(3π−θ)⋅cosθ−sin(θ+4π)=−sinθ−cosθ⋅sinθ−sinθ⋅cosθ−sinθ=1．【解析】本题主要考查诱导公式的应用，属于简单题． 根据诱导公式化简计算即可．17.【答案】解：(1)∴cosα=−45，且α为第二象限角， ∴sinα=35∴cos(π2−2α)=sin2α=2sinαcosα=2×35×(−45)=−2425(2)由(1)知，tanα=35−45=−34，∴tan2α=2×(−34)1−916=−247，．【解析】本题考查了三角函数求值，涉及同角三角函数的基本关系，二倍角公式，诱导公式，两角和差的三角函数，属于基础题．(1)由同角三角函数的基本关系求得sinα=35，再利用诱导公式及二倍角公式求解即可．(2)由同角三角函数的基本关系求得tanα=−34，再利用二倍角公式及两角和的正切求解即可．18.【答案】解：(1)∵sin(π−α)−cos(π+α)=sinα+cosα=√23，∴两边平方得：(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=29，即2sinαcosα=−79，，∴sinα>0，cosα<0，即sinα−cosα>0，则．(2)sin3(2π−α)+cos3(2π−α)=−sin3α+cos3α=(cosα−sinα)(1+sinαcosα)=−43×(1−718)=−2227．【解析】(1)已知等式利用诱导公式化简，两边平方并利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系化简求出2sinαcosα的值，根据α的范围判断出sinα与cosα的正负，得到sinα−cosα的正负，利用完全平方公式及二次根式的性质即可求出sinα−cosα的值；(2)原式利用诱导公式化简，再利用立方差公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．19.【答案】解：(1)f(α)=sin(π+α)⋅sin(π−α)+cos(2π+α)⋅cos(π2−α)tan(3π+α)⋅cos(2π−α)=−sinα⋅sinα+cosα⋅sinαtanα⋅cosα=sinα⋅(cosα−sinα)sinα=cosα−sinα．(2)因为α的终边经过点P(−3,4)，所以sinα=45，cosα=−35，所以f(α)=cosα−sinα=−75．【解析】本题主要考查了诱导公式，任意角的三角函数的定义，考查了转化思想，属于基础题．(1)利用诱导公式即可化简得解．(2)利用任意角的三角函数的定义可求sinα，cosα的值，即可得解．20.【答案】解：(1)由cos(π+α)=45，得cosα=−45<0， 又tanα>0，则α为第三象限角，所以sinα=−35，所以tanα=sinαcosα=34．(2)2sin(π−α)+sin(π2−α)cos(−α)+4cos(π2+α)=2sinα+cosαcosα−4sinα =2tanα+11−4tanα=2×34+11−4×34=−54．【解析】本题考查了诱导公式和同角三角函数基本关系式，是基础题．(1)先根据诱导公式得cosα=−4，再根据同角三角函数关系求5tanα的值;(2)先根据诱导公式化简得2sinα+cosα，再利用同角三角函数关系cosα−4sinα，最后将(1)的数值代入化简得结果．化切：2tanα+11−4tanα。
三角函数化简题
三角函数的化简、求值与证明 日期：2021年 月 日星期式进行三角函数式的化简与恒等式的证明．用．〔1〕常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。
〔2〕化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数2、三角函数的求值类型有三类：〔1〕给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；〔2〕给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角〞，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；〔3〕给值求角：实质上转化为“给值求值〞问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。
3、三角等式的证明：〔1〕三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端的化“异〞为“同〞；〔2〕三角条件等式的证题思路是通过观察，发现条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法．三角函数的求值： 2．正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值； 3．一些常规技巧：“1〞的代换、切割化弦、和积互化、异角化同角等． 1．三角函数式的化简： 三角函数式的化简常用方法是：异名函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切割化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化． 2．三角恒等式的证明： 三角恒等式包括有条件的恒等式和无条件的恒等式．①无条件的等式证明的根本方法是化繁为简、左右归一、变更命题等，使等式两端的“异〞化为“同〞；②有条件的等式1、θ是第三象限角，且4459sin cos θθ+=，那么2sin θ等于 〔 A 〕A B 、 C 、23 D 、23-2、函数22y sin x x =-的最小正周期 〔 B 〕A 、2πB 、πC 、3πD 、4π3、tan70cos10(3tan 201)-等于 〔 D 〕A 、1B 、2C 、－1D 、－24、46sin (4)4m m m αα--=≠-，那么实数m 的取值范围是＿＿[－1，73]＿＿＿。
三角函数化简练习题及答案
三角函数化简练习题及答案1．能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简和恒等式证明2．掌握三角函数式的化简和证明的方法及步骤。
1．cosαcosβ=sinαcosβ=2．sinθ+sinφ= ；sinθ-sinφ= ；cosθ+cosφ= ； cosθ-cosφ=1cos2a1.已知tan ? ? ,则sin2a?2的值是4cos2a-4sin2a5A.B.?22C. 1D.?114142.?sin22?cos4等于A.C. sin B.D.4?cos?3coscos. 1 a等于 cosa-sina?sin2asinA.C. cosa sina B. cos2aD sin2a4.化简2?sin4?2?2cos4的结果是sin? sin?]可化简为. ? ?)cosa ?[sin?sin?B. ?sinC. sin?D. 0?)??)等于.化简4北京一对一上门家教品牌家教电话：010—6256125 xx??x2xx A. tanx B.tanxtan2tan222cos100-sin200的值是 D.1 A. C.2. tan700?cos100等于化简 ??a?cos?a-cos?a10. cos sina a?sin???11.如果tana,tna?是方程x2?3x?3?0两根，则。
cossin12．2cos2a?1化简2?a)sin24413．求证： sinsin??2cos?sina sina1214．讨论函数f?cos?cos??2coscosxcos?的值域、周期性、2奇偶性及单调性北京一对一上门家教品牌家教电话：010—6256125515．设sin??msin?2?????m?0?,????k??k?z?，求证：tan??????无论是化简还是证明都要注意：角度的特点函数名的特点化切为弦是常用手段升降幂公式的灵活应用1?mtan? 1?m3.2.2三角函数化简及证明111．[cos+cos]；[sin+sin]；22．2sin3．2cos???2coscos???22；2cos；-2sin???22sinsin???22； ???2?????????1.C2.D3.B4.2sin25.C.6.B北京一对一上门家教品牌家教电话：010—62561255 7.C8.C9.-210.cos?11.?12.cos2a?1-a)??cos2＝2cosa?113. ?a)?-a)442cos2a-1cos2a? ? 1 cos2acos2a2证明∵sin?2cossina=sin[?a]?2cossina＝sincosa?cossina?2cossina＝sincosa?cossina＝sin[-a]＝sin?.sinsin?两边同除以sina?2cos＝.sinasina12214.解：f?[2cos?1]?cos??2coscosxcos?12 =cos??2coscosxcos??cos?12=cos[cos?2cosxcos?]?cos??12=cos[sinxsin??cosxcos?]?cos??11=cos[?cos]?cos2? ??cos2x211∴f的值域为[?,]，周期为π，是偶函数，2??当x?[k?,k??]时f是增函数，当x?[k??,k?]时f是减函22北京一对一上门家教品牌家教电话：010—62561255 数。
三角函数化简和证明题练习
一、化简题1、已知α为第四象限角，化简：ααααααcos 1cos 1sin sin 1sin 1cos +-++- 2、已知 360270<<α，化简α2cos 21212121++ 3、化简： 440sin 12- 4、已知αααααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+是第三象限角，化简5、),2(cos 1cos 1cos 1cos 1ππθθθθθ∈-+++-6、x x x x xx sin tan sin tan cos 1sin +-⋅- 7、θθθθcos cos 1sin 1sin 22-+- 二、证明题 1、在ΔABC 中，设tanA+tanC=2tanB,求证cos(B+C-A)=CC 2cos 452cos 54++.2、求证：)sin 2)(cot 2()cot 21)(cos 2(2222αααα-+=+-3、求证：()xx x x 4cos 14cos 32cot tan 22-+=+4、证明：222(3cos 4)tan cot 1cos 4x x x x++=-5、sin(2)sin 2cos()sin sin A B B A B A A+-+=答案一、化简题1、因为α为第四象限角 所以原式=αααααα2222cos 1)cos 1(sin sin 1)sin 1(cos --+-- ()ααααααααααsin cos cos 1sin 1sin cos 1sin cos sin 1cos -=---=--+-= 2、 360270<<α，02cos ,0cos <>∴αα所以原式=2cos 2cos 2cos 1cos 212122cos 1212122ααααα-==+=+=++ 3、解：原式80cos 80cos 80sin 1)80360(sin 1222==-=+-= 4、解：)sin 1)(sin 1()sin 1)(sin 1()sin 1)(sin 1()sin 1)(sin 1(αααααααα-+----+++=原式|cos |sin 1|cos |sin 1sin 1)sin 1(sin 1)sin 1(2222αααααααα--+=----+= 0cos <∴αα是第三象限角，αααααt a n 2c o s s i n 1c o s s i n 1-=----+=∴原式 （注意象限、符号）5、原式＝θθθθ2222sin )cos 1(sin )cos 1(++- ＝θθθθsin cos 1sin cos 1++- ＝θθsin 2sin 2= ),2(ππθ∈6、原式＝x x x x x x x x sin cos sin sin cos sin cos 1sin +-⋅- ＝)cos 1(sin )cos 1(sin cos 1sin x x x x x x +-⋅- ＝x x x x x x sin sin sin cos 1cos 1sin =-⋅-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈++++∈-∈++++∈=)()22,232()232,2(1)()2,22()22,2(1z k k k k k x z k k k k k x πππππππππππππππ θθθθcos sin cos sin 7+=、原式 ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+<<+∈+<<+-+<<++<<= )(0)22232(0)( )2322(tan 2 )222(0 )222(tan 2πθππθππππθππθππθππππθπθk k k z k k k k k k k二、证明题 1、证明：C C B A tan )tan()tan(-=-=+πC B A B A tan tan tan 1tan tan -=-+∴C B A C B A tan tan tan tan tan tan ⋅⋅=++⇒ 由条件得B C B A tan 3tan tan tan =++∴C B A B tan tan tan tan 3⋅⋅=∴而0tan ,0tan ≠≠C B ，C A tan 3tan =∴ 又A A A A CB 22tan 1tan 12cos )cos(+--=-=-+C C C C 2222tan 9tan 91tan 31tan 3+-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=2、证明：可先证：αααα2222cot 21cot 2sin 2cos 2++=-- （※） 右式＝αααα2222sin cos 21sin cos 2++＝αααα2222cos 2sin cos sin 2++ ＝αααα2222sin 22sin cos cos 22-++-＝αα22sin 2cos 2--＝左式∴（※）式成立，即原等式成立．而C C 2cos 452cos 54++C C C C C C 222222tan 9tan 9tan 1tan 145tan 1tan 154+-=+-⋅++-⋅+=∴ cos(B+C-A)=C C2cos 452cos 54++3、思路点拨：要据角度x 与4x 的特点和函数名的特点，可采用化切为弦，并用倍角公式证明。
浙江省黄岩中学高中数学《3.2.2三角函数化简及证明》练习题 新人教版必修4
a 2sin 4-a 2cos 4a2cos 2a 2sin ,21tan +-=则2525-141141-a 4asin 2sin 41a 8sin -a 8cos +]sin )a 2[sin(21)cosa sin(a βββ-+-+)2x4tan()4x xtan(--+ππ2xtan 2x tan 2§3.2.2 三角函数化简及证明【学习目标 细解考纲】1． 能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简和恒等式证明（包括引出半角、积化和差、和差化积公式，但不要求记忆）；2． 掌握三角函数式的化简和证明的方法及步骤。
【知识梳理、双基再现】1．cos αcos β= ；si n αcos β=2．sin θ+sin φ= ； sin θ-sin φ= ；cos θ+cos φ= ； cos θ-cos φ=【小试身手、轻松过关】1.已知 的值是（ ）A. B. C. D. 2. 4cos 22sin 2+-等于 （ ）A. 2sinB. 2cos -C. 2cos 3D. 2cos 3-3. 等于（ ）A. cosaB. cos2aC. sina D a 2sin4.化简4cos 224sin 12+++的结果是 。
【基本训练、锋芒初显】5. 可化简为（ ）A. ββsin )a 2sin(++-B. )a 2sin(β+-C. βsinD. 06.化简 等于A. tanxB. 2tanxC.D. .70sin 020sin -010cos 22123a a -1tan =θ=++θθθθcos -a 2sin cos a 2sin =-+2a 4sin 82a 2sin 6a 2cos =-+)cos(a )sin(a ββa)4(2a)sin 4tan(21a 2cos 2+--ππsinasin )cos(a 2sina )a 2sin(βββ=+-+7. 的值是（ ）A. B. C.3 D. 2 8. )1020tan 3(010cos 070tan -∙等于（ ）9. 若 （其中0<a<1）化简 10. 11.如果βtna tana,是方程03x 32x =--两根，则 。
三角函数化简求值练习题（超级好）
三⾓函数化简求值练习题（超级好）三⾓化简求值测试题1．若sin α＝35，α∈(－π2，π2)，则cos(α＋5π4)＝________.2．已知π<θ<32π，则 12＋12 12＋12cos θ＝________.3．计算：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝________.4．函数y ＝2cos 2x ＋sin2x 的最⼩值是__________________．5．函数f (x )＝(sin 2x ＋12010sin 2x )(cos 2x ＋12010cos 2x)的最⼩值是________． 6．若tan(α＋β)＝25，tan(β－π4)＝14，则tan(α＋π4)＝_____.7．若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α的值为________．8.2＋2cos8＋21－sin8的化简结果是________．9．若tan α＋1tan α＝103，α∈(π4，π2)，则sin(2α＋π4)的值为_________．10．若函数f (x )＝sin2x －2sin 2x ·sin2x (x ∈R )，则f (x )的最⼩正周期为________．11． 2cos5°－sin25°cos25°的值为________．12．向量a ＝(cos10°，sin10°)，b ＝(cos70°，sin70°)，|a －2b |＝________________.13．已知1－cos2αsin αcos α＝1，tan(β－α)＝－13，则tan(β－2α)＝________.14．设a ＝sin14°＋cos14°，b ＝sin16°＋cos16°，c ＝62，则a 、b 、c 的⼤⼩关系是________.15．已知⾓α∈(π4，π2)，且(4cos α－3sin α)(2cos α－3sin α)＝0.(1)求tan(α＋π4)的值；(2)求cos(π3－2α)的值．16. 已知tan α＝2.求(1)tan(α＋π4)的值；(2)sin2α＋cos 2(π－α)1＋cos2α的值．17．如图，点A ，B 是单位圆上的两点，A ，B 两点分别在第⼀、⼆象限，点C 是圆与x 轴正半轴的交点，△AOB 是正三⾓形，若点A 的坐标为(35，45)，记∠COA ＝α. (1)求1＋sin2α1＋cos2α的值；(2)求|BC |2的值．18．△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，tan C ＝sin A ＋sin Bcos A ＋cos B，sin(B －A )＝cos C .，，求⾓A 。
2021年高考数学 三角函数的求值、化简与证明练习
2021年高考数学三角函数的求值、化简与证明练习1、（1）求的值（2）已知，且，求的值2、（1）化简：；（2）已知，求的值；3、等差数列的公差，，且，则使得数列的前项和的的最大值为A.11B.10C.9D.84、已知函数为奇函数，且，其中（1）求的值；（2）若，求的值.5、是否存在∈，β∈(0，π)，使等式sin(3π－)＝，同时成立？若存在，求出，β的值；若不存在，请说明理由．6、已知为坐标原点，向量，，，点是直线上的一点，且.(1）若三点共线，求以线段为邻边的平行四边形的对角线长；(2）记函数，，已知：试求函数的值域．7、(1)有时一个式子可以分拆成两个式子, 求和时可以达到相消化简的目的, 如我们初中曾学过: ==请用上面的数学思维来证明如下:(注意: ）(2)当时, 且 , 求的值.8、在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足（Ⅰ）求证：三点共线；（Ⅱ）已知,，的最小值为，求实数m的值；（Ⅲ）若点，在y轴正半轴上是否存在点B满足，若存在，求点的坐标，若不存在，请说明理由.9、己知．(1)求．(2)若是钝角，是锐角，且，求的值．10、在平面直角坐标系xOy中，角α的终边经过点P（3，4）．（1）求sin（α+）的值；（2）若P关于x轴的对称点为Q，求•的值．11、设是平面上的两个向量, 若向量与互相垂直.(1) 求实数的值;(2) 若, 且, 求的值.12、已知，则= ；13、（1）已知，求的值.（2）若，若恒成立，求的取值范围.14、函数的最小值为．15、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，B=C．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）设函数f（x）=sin（2x+B），求的值．16、已知向量，．当时，求的值；设函数，已知在中，内角、、的对边分别为、、．若，，，求（）的取值范围．17、已知向量，．（Ⅰ）求证；（Ⅱ）若存在不等于0的实数k和t, 使，满足试求此时的最小值．18、已知函数f(x)=(1)求f(0)的值;(2)已知,,求;(3)已知,,求.19、△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列命题正确的是________(写出正确命题的编号)。
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知识改变命运
a
2sin 4-a 2cos 4a 2cos 2a 2sin ,21tan +-=则252
5-141141-a 4asin
2sin 41a 8sin -a 8cos +]sin )a 2[sin(2
1
)cosa sin(a βββ-+-+§3.2.2 三角函数化简及证明
编者：任传军
【学习目标 细解考纲】
1． 能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简和恒等式证明（包括引出半角、积化和差、和差化积公式，但不要求记忆）；
2． 掌握三角函数式的化简和证明的方法及步骤。
【知识梳理、双基再现】
1．cosαcosβ= ；sinαcosβ=
2．sinθ+sinφ= ； sinθ-sinφ= ； cos θ+cos φ= ； cos θ-cos φ=
【小试身手、轻松过关】 1.已知 的值是（ ）
A. B. C. D. 2. 4cos 22sin 2+-等于
（ ） A. 2sin B. 2cos -
C. 2cos 3
D.
2cos 3- 3. 等于（ ） A.
cosa B. cos2a C. sina D a 2sin
4.化简4cos 224sin 12+++的结果是 。
【基本训练、锋芒初显】
5. 可化简为（ ） A. ββsin )a 2sin(++- B. )a 2sin(β+-
知识改变命运
)2
x 4tan()4x x tan(--+ππ2x tan 2
x tan 20
70sin 020sin -010cos 22123a
a -1tan =θ=++θθθθcos -a 2sin cos a 2sin =-+2a 4sin 82a 2sin 6a 2cos =-+)cos(a )sin(a ββa)4
(2a)sin 4tan(21a 2cos 2+--ππsina sin )cos(a 2sina )a 2sin(βββ=+-+ C. βsin D. 0
6.化简 等于 A. tanx B. 2tanx C. D. .
7. 的值是（
） A. B. C.3 D. 2 8. )1020tan 3(
010cos 070tan -∙等于（ ） 9. 若 （其中0<a<1）化简 10.
11.如果β
tna tana,是方程03x 32x =--两根，则 。
12．
化简
13．求证：
【举一反三、能力拓展】
14．讨论函数ααααcos cos )cos(2cos )22cos(2
1)(2x x x x f --+-=的值域、周期性、奇偶性及单调性
知识改变命运
15．设()()()z k k m m ∈≠+≠+=πβαβαβ,02sin sin ，求证：()αβαtan 11tan m
m -+=+
【名师小结、感悟反思】
无论是化简还是证明都要注意：
（1）角度的特点
（2）函数名的特点
（3）化切为弦是常用手段
（4）升降幂公式的灵活应用
§3.2.2 三角函数化简及证明
【知识梳理、双基再现】
1．12[cos(α+β)+cos(α-β)]；12
[sin(α+β)+sin(α-β)]； 2．2sin
2θϕ+cos 2θϕ-；2cos 2θϕ+sin 2θϕ-； 3．2cos 2θϕ+cos 2θϕ-；-2sin 2θϕ+sin 2θϕ-
【小试身手、轻松过关】
1.C
2.D
知识改变命运
）a 4(2cos a)-4cos(a)-42sin(1
a 2cos 2-∙-πππ
a)-4cos(a)42sin(1a 2cos 2ππ∙--1a 2cos a 2cos cos2a 1-a 2cos 2==.sina sin )cos(a 2sina )a 2sin(sina βββ＝得：+-+3.B
4.2sin2
【基本训练、锋芒初显】
5.C.
6.B
7.C
8.C
9.-2
10.cos α 11.32
- 12. 解：原式＝
＝
=
13. 证明 ∵)sina cos(a 2)a 2sin(ββ+-+
=)sina cos(a 2a])sin[(a ββ+-++
＝)sina cos(a 2)sina cos(a )cosa sin(a βββ+-+++
＝)sina cos(a )cosa sin(a ββ+-+
＝a]-)sin[(a β+
＝.sin β
两边同除以
【举一反三、能力拓展】
14.解：ααααcos cos )cos(2cos ]1)(cos 2[2
1)(22x x x x f --+--= =αααα22cos cos cos )cos(22
1)(cos +----x x x =2
1cos ]cos cos 2))[cos(cos(2-+---ααααx x x
知识改变命运 =21cos ]cos cos sin )[sin cos(2-
+--ααααx x x =ααα2cos 21)]cos()[cos(+
+--x x x 2cos 21-= ∴)(x f 的值域为]21,21[-
，周期为π，是偶函数， 当)](2,[Z k k k x ∈+
∈πππ时)(x f 是增函数，当)](,2[Z k k k x ∈-∈πππ时)(x f 是减函数。
15. 思路点拨：已知等式中的角有：βαβ+2,
结论等式中的角有：αβα,+
联系：()αβαβ-+=，()αβαβα++=+2
证明：因为()()12sin sin ≠+=m m βαβ
所以()[]()[]αβααβα++=-+sin sin m
所以()()()()αβααβααβααβαsin cos cos sin sin cos cos sin +++=+-+m m 所以()()()()αβααβαsin cos 1cos sin 1++=+-m m
所以()αβαtan 11tan m
m -+=
+
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。
佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。
莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。