2013届高考数学专题复习测试卷第二十八讲 等差数列

第二十八讲 等差数列一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．) 1．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 2＋a 4＋a 15的值是一个确定的常数，则数列{a n }中也为常数的项是( )A ．S 7B ．S 8C ．S 13D ．S 15解析：设a 2＋a 4＋a 15＝p (常数)， ∴3a 1＋18d ＝p ，解a 7＝13p .∴S 13＝13×(a 1＋a 13)2＝13a 7＝133p .答案：C2．等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 为( )A ．48B ．49C ．50D ．51解析：∵a 2＋a 5＝2a 1＋5d ＝4，则由a 1＝13得d ＝23，令a n ＝33＝13＋(n －1)×23，可解得n ＝50.故选C.答案：C3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≥10，S 5≤15，则a 4的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5解析：a 5＝S 5－S 4≤5，S 5＝a 1＋a 2＋…＋a 5＝5a 3≤15，a 3≤3，则a 4＝a 3＋a 52≤4，a 4的最大值为4.故选C.答案：C4．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 5＝3(a 2＋a 8)，则a 5a 3的值为( )A.16B.13C.35D.56解析：∵{a n }是等差数列，∴a 5a 3＝a 2＋a 82a 1＋a 52＝S 56(a 1＋a 5)×52×5＝56S5S 5＝56，故选D. 答案：D5．(2011·济宁市模拟)已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使S n >0的n 的最大值为( )A ．11B ．19C ．20D ．21解析：∵a 11a 10<－1，且S n 有最大值，∴a 10>0，a 11<0，且a 10＋a 11<0， ∴S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19·a 10>0，S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10(a 10＋a 11)<0.所以使得S n >0的n 的最大值为19，故选B. 答案：B6．如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横纵坐标分别对应数列{a n }(n ∈N *)的前12项，如下表所示：200920102011A ．1003 B ．1005 C ．1006 D ．2011解析：依题意得，数列a 2，a 4，a 6，…，a 2k ，…，是以a 2＝1为首项，1为公差的等差数列，因此a 2010＝a 2×1005＝1＋(1005－1)×1＝1005.数列a 1，a 3，a 5，a 7，…，a 2k －1，…，即是以1，－1,2，－2，…，的规律呈现，且a 2009是该数列的第1005项，且1005＝2×502＋1，因此a 2009＝503，a 2011＝－503，a 2009＋a 2010＋a 2011＝1005，选B.答案：B二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．) 7．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝________. 解析：S 9＝9a 5＝－9，∴a 5＝－1，S 16＝8(a 5＋a 12)＝－72. 答案：－728．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则a 6b 6＝________.解析：本题考查等差数列的基础知识，由于这是选择题可直接由结论a n b n ＝A 2n －1B 2n －1求得．答案：6179．设f (x )＝12x＋2，利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为________．解析：∵f (x )＝12x ＋2，∴f (1－x )＝121－x ＋2＝2x2＋2·2x ＝12·2x 2＋2x，∴f (x )＋f (1－x )＝12x ＋2＋12·2x 2＋2x ＝1＋12·2x2＋2x ＝22. 设S ＝f (－5)＋f (－4)＋…＋f (6)， 则S ＝f (6)＋f (5)＋…＋f (－5)，∴2S ＝[f (6)＋f (－5)]＋[f (5)＋f (－4)]＋…＋ [f (－5)＋f (6)]＝62，∴S ＝f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)＝3 2. 答案：3 210．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4－a 2＝8，a 3＋a 5＝26，记T n ＝S nn2，如果存在正整数M ，使得对一切正整数n ，T n ≤M 都成立，则M 的最小值是________．解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . ∵a 4－a 2＝8，∴d ＝4.又∵a 3＋a 5＝26，即2a 1＋6d ＝26，∴a 1＝1. ∴S n ＝n ＋n (n －1)2×4＝2n 2－n ，则T n ＝S n n 2＝2－1n<2.∵对一切正整数T n ≤M 恒成立，∴M ≥2. ∴M 的最小值为2. 答案：2三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．) 11．已知：f (x )＝－4＋1x 2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点P n ⎝⎛⎭⎫a n ，－1a n ＋1在曲线y ＝f (x )上(n ∈N *)，且a 1＝1，a n >0.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为T n ，且满足T n ＋1a 2n ＝T na 2n ＋1＋16n 2－8n －3，问：当b 1为何值时，数列{b n }是等差数列．解：(1)由y ＝－4＋1x2， 点P n ⎝⎛⎭⎫a n ，－1an ＋1在曲线y ＝f (x )上，∴－1a n ＋1＝f (a n )＝－4＋1a 2n ， 并且a n >0，∴1a n ＋1＝4＋1a 2n，∴1a 2n ＋1－1a 2n＝4(n ∈N *)． 数列{1a 2n }是等差数列，首项1a 21＝1，公差d 为4，∴1a 2n ＝1＋4(n －1)＝4n －3，a 2n ＝14n －3. ∵a n >0，∴a n ＝14n －3(n ∈N *)．(2)由a n ＝14n －3，T n ＋1a 2n ＝T n a 2n ＋1＋16n 2－8n －3得 (4n －3)T n ＋1＝(4n ＋1)T n ＋(4n －3)(4n ＋1)， T n ＋14n ＋1＝T n4n －3＋1. 令c n ＝T n4n －3，如果c 1＝1，此时b 1＝T 1＝1，∴c n ＝1＋(n －1)×1＝n ，n ∈N *， 则T n ＝(4n －3)n ＝4n 2－3n ，n ∈N *，∴b n ＝8n －7，n ∈N *，∴b 1＝1时数列{b n }是等差数列． 12．数列{a n }满足a n ＝3a n －1＋3n －1(n ∈N *，n ≥2)，已知a 3＝95. (1)求a 1，a 2；(2)是否存在一个实数t ，使得b n ＝13n (a n ＋t )(n ∈N *)，且{b n }为等差数列？若存在，则求出t 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)n ＝2时，a 2＝3a 1＋32－1 n ＝3时，a 3＝3a 2＋33－1＝95， ∴a 2＝23.∴23＝3a 1＋8，∴a 1＝5. (2)当n ≥2时，b n －b n －1＝13n (a n ＋t )－13n －1(a n －1＋t )＝13n (a n ＋t －3a n －1－3t ) ＝13n (3n －1－2t )＝1－1＋2t 3n . 要使{b n }为等差数列，则必须使1＋2t ＝0，∴t ＝－12，即存在t ＝－12，使{b n }为等差数列．13．设f (x )＝axx ＋a(a ≠0)，令a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )，又b n ＝a n ·a n ＋1，n ∈N *.(1)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式； (3)求数列{b n }的前n 项和．分析：将题设中函数解析式转化为数列的递推关系，再将递推关系通过整理变形转化为等差数列，从而求数列的通项公式，本题在求{b n }前n 项和时运用了裂项相消法，这是数列求和的常用方法．解：(1)证明：a n ＋1＝f (a n )＝a ·a n a n ＋a ＝11a ＋1a n， ∴1a n ＋1＝1a ＋1a n ，即1a n ＋1－1a n ＝1a. ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公差为1a 的等差数列．(2)由(1)知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，∴1a n ＝1＋(n －1)1a .整理得a n ＝a (a －1)＋n. (3)b n ＝a n ·a n ＋1＝a (a －1)＋n ·a (a －1)＋n ＋1＝a 2⎝⎛⎭⎫1n ＋a －1－1n ＋a .设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝a 2⎣⎡⎝⎛⎭⎫1a －11＋a ＋⎝⎛⎭⎫11＋a －12＋a ＋⎦⎤…＋⎝⎛⎭⎫1n ＋a －1－1n ＋a＝a 2⎝⎛⎭⎫1a －1n ＋a ＝a 2·n ＋a －a a (n ＋a )＝na n ＋a . ∴数列{b n }的前n 项和为nan ＋a .。