北邮通信原理课件 第三章 随机过程
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通信原理随机过程
4
通信原理
2.随机过程的均值及相关函数 （时域） (1) 均值: E X (t) mX (t)
任何随机过程都可以看成是一个零均值随机 过程与一个确定函数的和。 X (t) X (t) mX (t)
(2) 相关函数:自相关函数 E X (t1)X (t2) RX (t1,t2) 互相关函数 E X (t1)Y (t2 ) RXY (t1,t2)
（2）自相关函数
RY (t1,t2 ) E[Y (t)Y (t )]
E[ X (t u)X (t v)h(u)h(v)dvdu]
RX ( u v)h(u)h(v)dvdu RY ( )
(6) 零均值随机过程和确定信号之和的功率谱密度为PX ( f ) Pm( f )
7
通返信回原目理录
3.2 平稳随机过程
1.定义 2.各态历经性（遍历性） 3.联合平稳 4.复平稳过程 5.零均值平稳过程通过滤波器 6.平稳序列 7.循环平稳过程
1.定义
（1）严平稳随机过程(狭义平稳)
如果对于任意n和t1, t2 , …,tn以及 有
通信原理
安建伟
北京科技大学通信工程系
第3章随机过程
3.1 随机过程的统计特性 3.2 平稳随机过程 3.3 高斯过程 3.4 高斯白噪声 3.5 匹配滤波器
2
通信原理
引言
为什么研究随机过程？
– 通信中，信号、干扰、噪声等都是随机信号， 具有一定的统计规律性。
– 随机过程是随机信号的数学模型。
研究什么？
T 2T T
时间平均
1T
lim x(t)
x(t )dt
通信原理-随机过程课件
一个随机过程在时间上是否具有某种 稳定的统计特性。如果一个随机过程 在长时间观察下表现出稳定的统计特 性，则称该随机过程具有遍历性。
遍历性的数学描述
对于一个随机过程，如果存在一个常 数$c$，使得对于任意的时间$t$，有 $E[X(t)]=c$，则称该随机过程具有遍 历性。其中$X(t)$表示在时刻$t$的随 机变量的取值。
标量乘法
标量乘法满足结合律和分 配律，即对于任意标量a 和任意随机过程X，有 a(X+Y)=aX+aY。
线性变换的应用
信号处理
在通信系统中，信号经常 需要进行线性变换以实现 调制、解调、滤波等操作 。
控制系统
在控制系统中，线性变换 被广泛应用于系统的分析 和设计，如传递函数、状 态方程等。
图像处理
在图像处理中，线性变换 被广泛应用于图像的增强 、滤波、变换等操作。
04
CATALOGUE
随机过程的平稳性
平稳性的定义
平稳性定义
一个随机过程如果对于任何正整数n，以及任何非负整数k，其n维联合分布函 数与n+k维联合分布函数相同，则称该随机过程是严平稳的。
数学表达式
若对于任意的正整数n和任意的非负整数k，都有P(X_1, X_2, ..., X_n) = P(X_1+k, X_2+k, ..., X_n+k)，则称随机过程{X_t}是严平稳的。
06
CATALOGUE
随机过程的功率谱密度
功率谱密度的定义
功率谱密度
表示随机信号的功率随频率的分布， 是描述随机信号频域特性的重要参数 。
定义方式
功率谱密度函数通常由傅里叶变换来 定义，将随机信号的时域表示转换为 频域表示。
遍历性的数学描述
对于一个随机过程，如果存在一个常 数$c$，使得对于任意的时间$t$，有 $E[X(t)]=c$，则称该随机过程具有遍 历性。其中$X(t)$表示在时刻$t$的随 机变量的取值。
标量乘法
标量乘法满足结合律和分 配律，即对于任意标量a 和任意随机过程X，有 a(X+Y)=aX+aY。
线性变换的应用
信号处理
在通信系统中，信号经常 需要进行线性变换以实现 调制、解调、滤波等操作 。
控制系统
在控制系统中，线性变换 被广泛应用于系统的分析 和设计，如传递函数、状 态方程等。
图像处理
在图像处理中，线性变换 被广泛应用于图像的增强 、滤波、变换等操作。
04
CATALOGUE
随机过程的平稳性
平稳性的定义
平稳性定义
一个随机过程如果对于任何正整数n，以及任何非负整数k，其n维联合分布函 数与n+k维联合分布函数相同，则称该随机过程是严平稳的。
数学表达式
若对于任意的正整数n和任意的非负整数k，都有P(X_1, X_2, ..., X_n) = P(X_1+k, X_2+k, ..., X_n+k)，则称随机过程{X_t}是严平稳的。
06
CATALOGUE
随机过程的功率谱密度
功率谱密度的定义
功率谱密度
表示随机信号的功率随频率的分布， 是描述随机信号频域特性的重要参数 。
定义方式
功率谱密度函数通常由傅里叶变换来 定义，将随机信号的时域表示转换为 频域表示。
通信原理教程3-随机过程
X (t1 ) 和 X (t2 ) 分别是在时刻
t1 、 t 2 观察X(t)
得到的两个随机变量。自相关函数表示在两个时 刻对同一个随机过程抽样的两个随机值的相关程 度。
平稳随机过程
平稳随机过程的定义：
统计特性与时间起点无关的随机过程。 所谓平稳随机过程，是指它的统计特性不随时间的推移 而变化。 设随机过程{Ｘ(t)，t∈T},若对于任意n和任意选定t1 ＜t2＜…＜tn, tk∈T， k=1, 2, …, n，以及h为任意值，且 x1, x2, …, xn∈R，有
随机过程的统计特性
随机过程的统计特性用分布函数、概率密度函数或数字 特征来描述。 设X(t)表示一个随机过程，在任意给定的时刻t1∈T， 其 取值X(t1)是一个一维随机变量。而随机变量的统计特性可以 用分布函数或概率密度函数来描述。我们把随机变量X(t1)小 于或等于某一数值x1 的概率P［X(t1)≤x1 ］，简记为FX(x1, t1)， 即 FX(x1,t1)=P［X(t1)≤x1］
E[ ST j d
R( ) PX ( f )e
j
df
上式表明，PX(f )和R( )是一对傅里叶变换：
PX(f
)的性质：
PX(f ) 0, 并且PX(f )是实函数。 PX(f ) ＝PX(-f )，即PX(f )是偶函数。
【例】某随机相位余弦波X(t)=Acos(ωc t+θ)， 其中A和ωc均为常数，θ是在(0, 2π)内均匀分 布的随机变量。 （1） 求X(t)的自相关函数与功率谱密度； （2） 讨论X(t)是否具有各态历经性。
解 (1) 先考察ξ(t)是否广义平稳。 X(t)的数学期望为
t1 、 t 2 观察X(t)
得到的两个随机变量。自相关函数表示在两个时 刻对同一个随机过程抽样的两个随机值的相关程 度。
平稳随机过程
平稳随机过程的定义：
统计特性与时间起点无关的随机过程。 所谓平稳随机过程，是指它的统计特性不随时间的推移 而变化。 设随机过程{Ｘ(t)，t∈T},若对于任意n和任意选定t1 ＜t2＜…＜tn, tk∈T， k=1, 2, …, n，以及h为任意值，且 x1, x2, …, xn∈R，有
随机过程的统计特性
随机过程的统计特性用分布函数、概率密度函数或数字 特征来描述。 设X(t)表示一个随机过程，在任意给定的时刻t1∈T， 其 取值X(t1)是一个一维随机变量。而随机变量的统计特性可以 用分布函数或概率密度函数来描述。我们把随机变量X(t1)小 于或等于某一数值x1 的概率P［X(t1)≤x1 ］，简记为FX(x1, t1)， 即 FX(x1,t1)=P［X(t1)≤x1］
E[ ST j d
R( ) PX ( f )e
j
df
上式表明，PX(f )和R( )是一对傅里叶变换：
PX(f
)的性质：
PX(f ) 0, 并且PX(f )是实函数。 PX(f ) ＝PX(-f )，即PX(f )是偶函数。
【例】某随机相位余弦波X(t)=Acos(ωc t+θ)， 其中A和ωc均为常数，θ是在(0, 2π)内均匀分 布的随机变量。 （1） 求X(t)的自相关函数与功率谱密度； （2） 讨论X(t)是否具有各态历经性。
解 (1) 先考察ξ(t)是否广义平稳。 X(t)的数学期望为
随机过程_课件---第三章
随机过程_课件---第三章第三章随机过程3.1 随机过程的基本概念1、随机过程定义3-1 设(),,F P Ω是给定的概率空间，T 为一指标集，对于任意t T ∈，都存在定义在(),,F P Ω上，取值于E 的随机变量()(),X t ωω∈Ω与它相对应，则称依赖于t 的一族随机变量(){},:X t t T ω∈为随机过程，简记(){}tX ω，{}tX 或(){}X t 。
注：随机过程(){,:,}X t t T ωω∈Ω∈是时间参数t 和样本点ω的二元函数，对于给定的时间是()00,,t T X t ω∈是概率空间(),,F P Ω上的随机变量；对于给定样本点()00,,X t ωω∈Ω是定义在T 上的实函数，此时称它为随机过程对应于0ω的一个样本函数，也成为样本轨道或实现。
E 称为随机过程的相空间，也成为状态空间，通常用""t X x =表示t X 处于状态x 。
2、随机过程分类：随机过程t X 按照时间和状态是连续还是离散可以分为四类：连续型随机过程、离散型随机过程、连续随机序列、离散随机序列。
3、有穷维分布函数定义3-2 设随机过程{}t X ，在任意n 个时刻1,,n t t 的取值1,,nt tX X 构成n 维随机向量()1,,n t t XX ，其n 维联合分布函数为：()()11,,11,,,,nnt t nt t nF x x P X x Xx ≤≤其n 维联合密度函数记为()1,,1,,n t tn f x x 。
我们称(){}1,,11,,:1,,,nt t n n Fx x n t t T ≥∈ 为随机过程{}t X 的有穷维分布函数。
3.2 随机过程的数字特征1、数学期望对于任何一个时间t T ∈，随机过程{}t X 的数学期望定义为()()tX t t E X xdF x μ+∞-∞==?()t E X 是时间t 的函数。
2、方差与矩随机过程{}t X 的二阶中心矩22()[(())],tX t t t Var X E X E X t T σ==-∈称为随机过程{}t X 的方差。
北邮通信原理课件A-3随机过程讲解学习共53页PPT
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
谢谢！
北邮通信原理课件A-3随机过 程讲解学习
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
15、机会是不守纪律的。——雨果
谢谢！
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11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
第3章-通信原理-随机过程
第3章随机过程3.1 随机过程基本概念自然界中事物的变化过程可以大致分成为两类：(1) 确定性过程：其变化过程具有确定的形式，数学上可以用一个或几个时间t的确定函数来描述。
(2) 随机过程：没有确定的变化形式。
每次对它的测量结果没有一个确定的变化规律。
数学上，这类事物变化的过程不可能用一个或几个时间t的确定函数来描述。
随机信号和噪声统称为随机过程。
1. 随机过程的分布函数随机过程定义：设S k(k=1, 2, …)是随机试验。
每一次试验都有一条时间波形(称为样本函数)，记作x i(t)，所有可能出现的结果的总体{x1(t), x2(t)，…, x n(t)，…}构成一随机过程，记作ξ(t)。
无穷多个样本函数的总体叫做随机过程。
随机过程具有随机变量和时间函数的特点。
在进行观测前是无法预知是空间中哪一个样本。
在一个固定时刻t1，不同样本的取值x i(t1)是一个随机变量。
随机过程是处于不同时刻的随机变量的集合。
设ξ(t)表示一个随机过程，在任意给定的时刻t1其取值ξ(t1)是一个一维随机变量。
随机变量的统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。
把随机变量ξ(t1)小于或等于某一数值x1的概率记为F1(x1, t1)，即如果F1对x1的导数存在，即ξ (t)样本函数的总体（随机过程）11{()}P t xξ≤11111(,){()}F x t P t xξ=≤称为ξ(t)的一维概率密度函数。
同理，任给t 1, t 2, …, t n ∈T, 则ξ(t)的n 维分布函数被定义为为ξ(t)的n 维概率密度函数。
2. 随机过程的数字特征用数字特征来描述随机过程的统计特性，更简单直观。
数字特征是指均值、方差和相关系数。
是从随机变量的数字特征推广而来的。
(1) 数学期望（均值）表示随机过程的n 个样本函数曲线的摆动中心，即均值。
积分是对x 进行的，表示t 时刻各个样本的均值，不同时刻t 的均值构成摆动中心。
北邮通信原理课件A-3随机过程讲解学习53页PPT
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
北邮通信原理课件A-3随机过程讲解 学习
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 要素 。
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
北邮通信原理课件A-3随机过程讲解 学习
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 要素 。
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
【北邮考研通信原理课件】第三章 随机过程
3.3 平稳随机过程
• 平稳随机过程相关函数的性质
1 RX 0 E X 2 t ，是统计平均功率，与t无关 2 RX RX 需实随机过程 3 RX RX 0 4若X t T X t ，则RX T RX 5一般， 时，可以认为X t 和X t 相互独立，
所以若E
u
h
v
dudv
RX
u
v h u h v dudv
RY
3.5 平稳随机过程通过线性系统
• X(t)和Y(t)的互相关函数与互功率谱密度
RXY t1,t2 E X t1 Y t2
E
X
t1
h
u
X
t2
u
du
RX
u
h
u
du
RX
*
h
RXY
PXY f F RXY PX f H f
RXY t1, t2 mX t1 mY t2
3.2 随机过程的统计特性
• 不相关与独立 •
若两随机过程X t 和Y t 对任何t1,t2有 • 两随机过程C相XY互独t1立, t2，则必0定，不则相这关；两若随不相机关过，则程不不一相 定独关立
• 对于正态（高斯）随机过程，不相关与独立是等价的
• 系统框图
Y
t
X
t
*h
t
X
a
h
t
a
da
h
u
X
t
u du
3.5 平稳随机过程通过线性系统
• Y(t)为平稳随机过程
mY
t
E
Y
t
h
u
E
X
t
u
du
E
X
t
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若X(t)，Y(t)是宽平稳随机过程
互相关函数只 与t2-t1=τ 有关
RXY (t1, t2 ) E[ X (t )Y (t )] RXY ( )
称X(t)，Y(t)为联合宽平稳随机过程
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4. 平稳随机过程相关函数的性质 统计平均功率 (与t无关)
T, 此项为0
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所以
维纳-辛钦定理
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8. 平稳随机过程功率谱密度的性质
①
② ③ ④
PX ( ) 0
T
T
x(t )dt
时间相关函数
如果满足
1 x(t ) x(t ) lim T 2T
T
T
x(t ) x(t )dt
P{E[ X (t )] x(t )} 1 P{RX ( ) x(t ) x(t )} 1
均值遍 历过程
自相关遍 历过程
则X(t)称为宽遍历随机过程
' ' 2 ' m
'
' 2
' m
Fn,m Fn Fm
p n , m p n pm
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(2) 两个随机过程的数字特征
互相关函数
RXY (t1 , t2 ) E[ X (t1 )Y (t2 )]
3.2 随机过程的统计特性
1、概率分布函数和概率密度函数
一维 分布函数 概率密度 n维 分布函数
F1 ( x1 , t1 ) P[ X (t1 ) x1 ]
F1 ( x1 , t1 ) p1 ( x1 , t1 ) x1
Fn ( x1, x2 ,, xn ; t1, t2 ,, tn )
相互独立，必定不相关，反之，不一定
正态(高斯)过程，不相关和独立是等价的
2013-12-4 北京邮电大学信息与通信工程学院 niukai@ 10
3.3 平稳随机过程
1. 狭义(严)平稳随机过程定义
对于任意n和t1, t2, …, tn以及 有
分布函数
Fn ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t2 ,, tn ) Fn ( x1 , x2 ,, xn , t1 , t2 ,, tn )
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2、随机过程的数字特征
（1）数学期望 （2）方差
E[ X (t )]
xp1 ( x, t )dx m X (t )
D[ X (t )] E{X (t ) E[ X (t )]}2
2 2 E[ X 2 (t )] mX (t ) X (t )
（3）自相关函数(统计平均或称集平均)
E[ X (t1 ) X (t 2 )] R X (t1 , t 2 )
x1 x 2 p 2 ( x1 , x 2 , t1 , t 2 )dx1 dx2
当t2 = t1+ 时,
RX (t1, t2 ) R(t1, t1 )
第三章 随机过程
北京邮电大学信息工程学院 牛凯 2013年12月
3.1 引言
随机信号 –不能用确定的时间函数来描述，但有一 定的统计规律性的信号 通信系统中哪些信号是随机信号 – 通信信号 – 随机干扰和随机噪声 数学模型 – 随机过程: 是随机信号和随机噪声的数 学模型
2013-12-4 北京邮电大学信息与通信工程学院 niukai@ 2
3.两随机过程的联合分布函数 和数字特征
(1) 联合分布函数和概率密度 [n+m]维的联合分布函数
' ' Fn,m ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t2 ,, tn ; y1 , y2 ,, ym ; t 1' , t2 ,, tm )
' ' P{X (t1 ) x1 , X (t2 ) x2 ,, X (tn ) xn ; Y (t 1' ) y1 , Y (t2 ) y2 ,, Y (tm ) ym }
随机过程
随机过程是与时间有关的随机变量，在确定的时
刻它是随机变量
样函数
– 随机过程的具体取值称作其实现(样函数),是 时间的函数
样函数空间Ω
– 所有实现构成的(全体)集合称作随机过程的样 函数空间Ω 所有样函数x(t)、y(t)及其统计特性构成了随机过 程X(t)、Y(t)
2013-12-4 北京邮电大学信息与通信工程学院 niukai@ 3
C X (t1, t2 ) X (t1, t2 ) X (t1 ) X (t2 )
如果 X (t1 , t2 ) 0 (或C X (t1, t2 ) 0) 则称X (t1 )和X (t2 )不相关
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=T/2-t1
T
T/2
(1) >0
T/2
t1
-T/2
-T/2 -T
(2) <0
=-T/2-t1
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7. 维纳－辛钦定理
平稳随机过程自相关函数与功率谱密度互为傅利叶变换
RX ( ) PX ( )
| FT ( ) |2 FT ( ) FT* ( )
1 T /2 T /2 1 j ( t t1 ) 1 E[ X (t ) X (t )] e dt dt 平稳过程 T T / 2 T / 2
[n+m]维的联合概率密度
' ' Fn ,m ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t 2 ,, t n ; y1 , y2 ,, ym ; t 1' , t 2 ,, t m )
x1x2 xn y1y2 ym
' ' pn,m ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t2 ,, tn ; y1 , y2 ,, ym ; t 1' , t2 ,, tm )
RX ( ) 与 X (t )具有相同的周期函数
lim 若 E[ X (t )] 0 则 | | RX ( ) 0
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5. 各态历经性（遍历性） 时间平均
1 x(t ) lim T 2T
xyp2 ( x, t1 , y, t2 )dxdy
互协方差函数
C XY (t1, t2 ) E{[ X (t1 ) mX (t1 )][Y (t2 ) mY (t2 )]}
RXY (t1, t2 ) mX (t1 )mY (t2 ) t1 , t2 , CXY (t1 , t2 ) 0, 则X (t )与Y (t )不相关。
P{X (t1 ) x1, X (t2 ) x2 ,, X (tn ) xn }
概率密度
pn ( x1, x2 ,, xn ; t1, t2 ,, tn )
Fn ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t2 ,, tn ) x1x2 xn
2013-12-4
– 狭义平稳随机过程在一、二阶矩同时存在的条件下， 是广义平稳随机过程 – 例如：柯西分布，一、二阶矩不存在， n维分布可能存在
1 f ( x) a 2 ( x )2
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a
ห้องสมุดไป่ตู้
a 0, x,
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X (t )是实平稳过程，自相关函数
RX ( )
RX ( ) E[ X (t ) X (t )]
性质 ①
② 偶函数 ③ ④ ⑤
RX (0) E[ X 2 (t )]
RX ( ) RX ( ) | RX ( ) | RX (0)
1Ω电阻上的瞬 时功率(t时刻)
RX(0)最大
称X(t)狭义平稳随机过程(严平稳随机过程)
注：任意n维分布函数只与 t2-t1=τ有关
2013-12-4 北京邮电大学信息与通信工程学院 niukai@ 11
2. 宽平稳随机过程定义 满足
E[ X (t )] mX
数学期望与 时间无关
RX (t1, t2 ) RX ( )
自相关函数只 与t2-t1=τ 有关
称X(t)为宽平稳随机过程(广义平稳)
注：只要求一维和二维分布存在 并不要求n>2维分布存在
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狭义(严)平稳与广义(宽)平稳随机过程的关系
– 狭义平稳随机过程不一定是广义平稳随机过程
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严遍历过程
若X(t)的所有统计平均特性和所有相应的时间平均特性 都相等，称X(t)为严遍历过程或窄义遍历过程 • 遍历过程必定是平稳过程，但平稳过程不一定是遍历过程
互相关函数只 与t2-t1=τ 有关
RXY (t1, t2 ) E[ X (t )Y (t )] RXY ( )
称X(t)，Y(t)为联合宽平稳随机过程
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4. 平稳随机过程相关函数的性质 统计平均功率 (与t无关)
T, 此项为0
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所以
维纳-辛钦定理
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8. 平稳随机过程功率谱密度的性质
①
② ③ ④
PX ( ) 0
T
T
x(t )dt
时间相关函数
如果满足
1 x(t ) x(t ) lim T 2T
T
T
x(t ) x(t )dt
P{E[ X (t )] x(t )} 1 P{RX ( ) x(t ) x(t )} 1
均值遍 历过程
自相关遍 历过程
则X(t)称为宽遍历随机过程
' ' 2 ' m
'
' 2
' m
Fn,m Fn Fm
p n , m p n pm
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(2) 两个随机过程的数字特征
互相关函数
RXY (t1 , t2 ) E[ X (t1 )Y (t2 )]
3.2 随机过程的统计特性
1、概率分布函数和概率密度函数
一维 分布函数 概率密度 n维 分布函数
F1 ( x1 , t1 ) P[ X (t1 ) x1 ]
F1 ( x1 , t1 ) p1 ( x1 , t1 ) x1
Fn ( x1, x2 ,, xn ; t1, t2 ,, tn )
相互独立，必定不相关，反之，不一定
正态(高斯)过程，不相关和独立是等价的
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3.3 平稳随机过程
1. 狭义(严)平稳随机过程定义
对于任意n和t1, t2, …, tn以及 有
分布函数
Fn ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t2 ,, tn ) Fn ( x1 , x2 ,, xn , t1 , t2 ,, tn )
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2、随机过程的数字特征
（1）数学期望 （2）方差
E[ X (t )]
xp1 ( x, t )dx m X (t )
D[ X (t )] E{X (t ) E[ X (t )]}2
2 2 E[ X 2 (t )] mX (t ) X (t )
（3）自相关函数(统计平均或称集平均)
E[ X (t1 ) X (t 2 )] R X (t1 , t 2 )
x1 x 2 p 2 ( x1 , x 2 , t1 , t 2 )dx1 dx2
当t2 = t1+ 时,
RX (t1, t2 ) R(t1, t1 )
第三章 随机过程
北京邮电大学信息工程学院 牛凯 2013年12月
3.1 引言
随机信号 –不能用确定的时间函数来描述，但有一 定的统计规律性的信号 通信系统中哪些信号是随机信号 – 通信信号 – 随机干扰和随机噪声 数学模型 – 随机过程: 是随机信号和随机噪声的数 学模型
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3.两随机过程的联合分布函数 和数字特征
(1) 联合分布函数和概率密度 [n+m]维的联合分布函数
' ' Fn,m ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t2 ,, tn ; y1 , y2 ,, ym ; t 1' , t2 ,, tm )
' ' P{X (t1 ) x1 , X (t2 ) x2 ,, X (tn ) xn ; Y (t 1' ) y1 , Y (t2 ) y2 ,, Y (tm ) ym }
随机过程
随机过程是与时间有关的随机变量，在确定的时
刻它是随机变量
样函数
– 随机过程的具体取值称作其实现(样函数),是 时间的函数
样函数空间Ω
– 所有实现构成的(全体)集合称作随机过程的样 函数空间Ω 所有样函数x(t)、y(t)及其统计特性构成了随机过 程X(t)、Y(t)
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C X (t1, t2 ) X (t1, t2 ) X (t1 ) X (t2 )
如果 X (t1 , t2 ) 0 (或C X (t1, t2 ) 0) 则称X (t1 )和X (t2 )不相关
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=T/2-t1
T
T/2
(1) >0
T/2
t1
-T/2
-T/2 -T
(2) <0
=-T/2-t1
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7. 维纳－辛钦定理
平稳随机过程自相关函数与功率谱密度互为傅利叶变换
RX ( ) PX ( )
| FT ( ) |2 FT ( ) FT* ( )
1 T /2 T /2 1 j ( t t1 ) 1 E[ X (t ) X (t )] e dt dt 平稳过程 T T / 2 T / 2
[n+m]维的联合概率密度
' ' Fn ,m ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t 2 ,, t n ; y1 , y2 ,, ym ; t 1' , t 2 ,, t m )
x1x2 xn y1y2 ym
' ' pn,m ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t2 ,, tn ; y1 , y2 ,, ym ; t 1' , t2 ,, tm )
RX ( ) 与 X (t )具有相同的周期函数
lim 若 E[ X (t )] 0 则 | | RX ( ) 0
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5. 各态历经性（遍历性） 时间平均
1 x(t ) lim T 2T
xyp2 ( x, t1 , y, t2 )dxdy
互协方差函数
C XY (t1, t2 ) E{[ X (t1 ) mX (t1 )][Y (t2 ) mY (t2 )]}
RXY (t1, t2 ) mX (t1 )mY (t2 ) t1 , t2 , CXY (t1 , t2 ) 0, 则X (t )与Y (t )不相关。
P{X (t1 ) x1, X (t2 ) x2 ,, X (tn ) xn }
概率密度
pn ( x1, x2 ,, xn ; t1, t2 ,, tn )
Fn ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t2 ,, tn ) x1x2 xn
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– 狭义平稳随机过程在一、二阶矩同时存在的条件下， 是广义平稳随机过程 – 例如：柯西分布，一、二阶矩不存在， n维分布可能存在
1 f ( x) a 2 ( x )2
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a
ห้องสมุดไป่ตู้
a 0, x,
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X (t )是实平稳过程，自相关函数
RX ( )
RX ( ) E[ X (t ) X (t )]
性质 ①
② 偶函数 ③ ④ ⑤
RX (0) E[ X 2 (t )]
RX ( ) RX ( ) | RX ( ) | RX (0)
1Ω电阻上的瞬 时功率(t时刻)
RX(0)最大
称X(t)狭义平稳随机过程(严平稳随机过程)
注：任意n维分布函数只与 t2-t1=τ有关
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2. 宽平稳随机过程定义 满足
E[ X (t )] mX
数学期望与 时间无关
RX (t1, t2 ) RX ( )
自相关函数只 与t2-t1=τ 有关
称X(t)为宽平稳随机过程(广义平稳)
注：只要求一维和二维分布存在 并不要求n>2维分布存在
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狭义(严)平稳与广义(宽)平稳随机过程的关系
– 狭义平稳随机过程不一定是广义平稳随机过程
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严遍历过程
若X(t)的所有统计平均特性和所有相应的时间平均特性 都相等，称X(t)为严遍历过程或窄义遍历过程 • 遍历过程必定是平稳过程，但平稳过程不一定是遍历过程