第四章冲量和动量

C
d
dm

解 建坐标系如图
取 dl
0.64R
o
x
M M Rd d dm dl R

x R cos y R sin
M d 0.64 R
yc
ydm
M

R sin 0
M

xc
x dm
M

R cos 0
M
M
d 0
二、 质心运动定理
v1 Biblioteka 2m2xv1 m2
2G (m1 m2 )r
v 2 m1
2G (m1 m2 )r
相对速率
v12 v1 v 2
例 如图示，两部运水的卡车A、B在水平面上沿同一方向运动 ，B的速度为u ，从B上以6 kg/s的速率将水抽至A上，水从 管子尾部出口垂直落下，车与地面间的摩擦不计，时刻 t 时 ，A车的质量为M，速度为v 。 求 时刻 t ，A 的瞬时加速度。 解 选A车M和t时间内抽至A车的水m 为研究系统，水平方向上动量守恒 A A
dLiO M 外iO M内iO dt o dLiO M 外iO M内iO dt
t1
二、质点动量定理 d( mv ) F 牛顿定律 dt
mv1
mv 2
元冲量
d( mv ) Fdt
t2 mv 2 mv1 Fdt t1
动量定理 微分形式 动量定理 积分形式
. I
mv 2
结论 对质点的冲量等于质点动量的增量
动量定理
t2 mv 2 mv1 Fdt t1
4.3
质点系动量守恒定律
质点系动量定理 dP F外dt 当 F外 0 时，质点系动量 P 不变
——— 质点系动量守恒定律 讨论 (1) 动量守恒的分量表述
Fx 0 Fy 0 Fz 0
Px 常量 Py 常量 Pz 常量
(2) 动量守恒定律适用于惯性系
一 角动量（动量矩）
mv
O
r 方向：垂直 P， 所在平面
大小： O mrv sin L
r

4.5
角动量
角动量守恒定律
1. 质点的角动量
一、角动量（动量矩）
LO
F
mv
MO
O
LO r P r mv r 方向：垂直 P， 所在平面
dl
G
N′
例 一篮球质量0.58 kg，从2.0 m高度下落,到达地面后,以同样 速率反弹，接触时间仅0.019 s。
F F(max)
求 对地平均冲力?
解 篮球到达地面的速率
v 2 gh 2 9.8 2 6.3(m/s)
对地平均冲力
F
t O 0.019 s
2mv 2 0.58 6.3 F 3.8 10 2 (N) t 0.019
守恒条件 M O rF sin 0 3. = 0 或π 即“有心力”问 题 例 行星运动的开普勒第二定律 Lo | r mv | mvr sin r r m r sin S t O F r r sin / 2 r 2m t S 2m t F力对太阳中心O点的力矩为 1. r = 0 2. F = 0
求 远地点B 处速度vB vB = ？ O B
A
rA
rB
vA=8.12 km/s 解
LAO rA mv A sin 90
LBO rB mv B sin 90
rA 6809 vB vA 8.12 6.32 rB 8754
例 发射一宇宙飞船去考察一 质量为 M 、半径为 R 的行星， 当飞船静止于空间距行星中心 4 R 时，以速度v 0发射一 质量为 m 的仪器。要使该仪器恰好掠过行星表面 求 θ角及着陆滑行的初速度v 0多大？ 解 引力场（有心力）
1. 质心的速度

dr vc c dt mv c mi v i P
dri mi ri mi dt miv i d ( ) dt m m m
质点系动量
v mv c
说明
质点系动量等于总质量与质心速度的积
2. 质心的加速度及其动力学规律 dP 质点系动量定理 F外 dt 质点系动量 说明
M
四. 质点系角动量定理
质点系角动量
LO LiO
fi

根据质点角动量定理，对于第 i 个质元
求和
一对内力矩，大小相等，方向相反，所以 M内iO 0 dLO d M 外O M 外iO LiO dt dt
说明 质点系角动量变化的快慢取决于外力矩，和内力作用无关
v
B
u
Mv mu ( M m)v
Mv mu v M m m u v v M v v v mu v M m
v dm u v 6 a lim u v t 0 t dt M M
4.4 质心 质心运动定理
一、 质心
质心位矢
rc
mi r i m
i i
z
mi
坐标
xc
m x
m
i i
ri
rc
r1
m1
m2
yc
m mi y i
o
y
zc
m z
m
x
对于质量连续分布的系统
rc
rdm m
y 例 已知一半圆环半径为 R，质量为m ， 求 它的质心位置。

求和
F外1
m1 m2

mi
F外i
d( miv i ) ( F外i f内i )dt
内力之和为0
dP F外dt
质点系动量定理
积分
dP F外dt
—— 微分形式

P2 P 1
t2 dP F外dt
t1
在有限时间内 说明
t2 P2 P F外dt 1
P mv c
dvc F外 m dt
mac
质心运动状态只取决于外力，与内力无关。
水平纸面
例 人从船头到船尾，船长 l 。 求 人和船各移动的距离。 解 质心静止 初态 末态
x '人
x人
xc xc
x '船
x船
mx人 Mx船 xc mM mx人 Mx船 xc mM
第四章 冲量和动量
4.1 质点动量定理
4.2 质点系动量定理
4.3 质点系动量守恒定律 4.4 质心 质心运动定理 4.5 角动量 角动量守恒定律
空气动力学家、火箭专家钱学森
4.1
动量
质点动量定理
P mv
一、 动量和冲量（力的时间积累）
冲量
F t (恒力)
t2 I Fdt
求 质点对三个参考点角动量的大小 解 LA d1mv
d2
B
LB d1mv
LC 0
例 质点匀速直线运动，速度v 。求质点对参考点 O 的角动量
解 LO r mv
竖直向上
L
LO大小、方向恒定不变
LO mvr sin mvh
r

O
h
mv
d(mv ) dr dLO d r mv r mv dt dt dt dt r F v mv M O 0 角动量变化的快 dLO MO 慢取决于力矩 dt 说明 1. LO和 M O 是对于惯性系中的同一个参考O 点而言的。
大小： O mrv sin L
r
MO r F 2. 力矩 r 方向： 垂直 F， 所在平面
大小 M O rF sin
例 质点m，速度v，如图所示，A、B 、C 分别为三个参考点,此时m 相
A
d1
m v
d3 C
对三个点的距离分别为d1 、d2 、 d3
L
m
m dm dl L
dl 在落地时的速度 v 2 g(l h)
dl
l N
根据动量定理
Ndt 0 vdm
h
l
vdm m dl 2m(l h) g 2 m N v v dt L dt L L m m 地面受力 F N '(l ) g (3l 2h) g L L
动量定理的投影形式
mv 2 x mv1x mv 2 y mv1 y mv 2 z mv1z
t2 t1 t2 t1 t2 t1
Fx dt Fy dt Fz dt
例 质量为 m 的匀质链条，全长为 L，
开始时，下端与地面的距离为 h。 求 当链条自由下落在地面上的长度为 l 时，地面所受链条的作用力？ 解
求 子弹穿过后， 两木块各以多大速度运动 ？ 解 子弹穿过第一木块时，两木块速 度相同，均为v1
Ft1 m1 m2 v1 0
子弹穿过第二木块后，第二木块速度变为v2
Ft2 m2v 2 m2v1
解得
Ft1 v1 m1 m2
v2
Ft1 Ft 2 m1 m2 m2
例 在恒星系中，两个质量分别为 m 1 和 m2 的星球，原来为静 止，且相距为无穷远，后在引力的作用下，互相接近，到 相距为 r 时，它们之间的相对速率为多少？
解 由动量守恒机械能守恒
mv1 mv 2 0
1 1 m1m2 2 2 m1v1 m2v 2 G 0 2 2 r