高中数学选修本(理科)1.5正态分布(一)
高中数学《正态分布(一)》课件
2
y
y
y
μ= -1
μ=1
σ=0.5
μ=0
σ=1
σ=2
x x -3 -2 -1 0 1 2
-3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
具有两头低、中间高、左右对称
y
1
( x )2
e 2 2
2 y
μ= -1
新课探究
我们以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽的 频率值为纵坐标，可以画出频率分布直方图
频率 组距
思考：球槽数增加，重复次数增加，频 率分布直方图怎么变化？
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
球槽编号
试验
新课探究
频率 组距
随着重复次数的增加，球槽数增加 直方图的形状会越来越像一条“钟 形”曲线
上述结果可用图2.4 7表示
μa μ μa
图2.4 6
68.26%
μ
2σ
95.44%
μ
4σ
图2.4 7
99.74%
μ
6σ
P( X ) 0.6826, P( 2 X 2 ) 0.9544, P( 3 X 3 ) 0.9974.
（4）曲线与x轴之间的面积为1
方差相等、均数不等的正态分布图示
σ=0.5
μ=0 μ= -1
μ= 1
若 固定,
随值
的变化而
沿x轴平
移, 故
称为位置
参数；
3 1 2
均值相等、方差不等的正态分布图示
μ=0
=0.5 =1
若 固定, 大
时, 曲线矮而胖；
小时, 曲线瘦
【精品】高三数学 1.5正态分布(第一课时)大纲人教版选修
§ 1.5 正态分布课时安排 2课时 从容说课正态分布是很抽象的概念,如何使学生从抽象转化到具体、直观中的问题里来,是我们教学的一个重点和难点.要借助具体实例及多媒体课件演示,有条件的让学生也上机进行实习,通过实验了解一些概念的形成过程.具体的方法是：利用直方图来引进正态曲线与正态分布.具体的步骤如下：①先作出二项分布B (n ,0.5)的直方图(n =10).对n 进行变化;②如果用一条平滑的曲线把每个长方形的中点联结起来,就能得到一条钟形曲线(演示图形的形成过程),称为正态曲线;③给出其函数解析式为σμπσ2)(21)(--=x ex f x ∈R,其中μ=np ,σ=npq ,e≈2.71828.对于正态曲线,如果规定,试验的观察值x 落在区间(a ,b )内的概率P (a ＜x ＜b )就是由这条曲线、x 轴、直线x =a 及x =b 所围成的图形的面积,那么称这种概率分布为正态分布.一个平均数为μ,标准差为b 的正态分布可以用公式σμ-=x z 将它变换成平均数为0,标准差为1的正态分布.平均数为0,标准差为1的正态分布称为标准正态分布(利用投影或多媒体,将其图象描绘出来),公式为22121)(z e z -=Φπ,其中R x z ∈-=σμ.一般的正态分布问题,能转化成标准正态分布问题来处理,即将正态分布中观察值x 的概率P (a ＜x ＜b )表示成标准正态分布中的P (z 1≤z≤z 2),其中σμ-=a z 1,σμ-=b z 2.在教学中应多用多媒体进行教学,增强动态感觉.第九课时课 题§ 1.5.1 正态分布(一) 教学目标一、教学知识点1.深刻理解并掌握正态分布和正态曲线的概念、意义及性质.2.理解和掌握标准正态总体、标准正态曲线的概念、意义及性质. 二、能力训练要求1.能用正态分布、正态曲线研究有关随机变量分布的规律.2.会画有关正态分布的正态曲线和标准正态曲线.3.会用函数的概念、性质解决有关正态分布的问题. 三、德育渗透目标1.培养学生数形结合、函数与方程、分类讨论、等价转化等数学思想方法.2.培养学生辩证唯物主义的观点(运动观、静止观).3.培养学生的动手操作能力和概括归纳能力,让学生真正地学会学习,也就是让学生主动建构式地学习,真正掌握学习方法.教学重点正态分布的意义、正态分布的主要性质是本节课的教学重点.通过具体实例,结合研究函数的方法来研究正态分布的意义和性质.正态分布之所以成为概率统计中最重要的一种分布的原因有两方面：一方面,正态分布是自然界最常见的一种分布,若影响某一数量指标的随机因素很多,而每个因素所起的作用都不太大,则这个指标服从正态分布；另一方面,正态分布具有许多良好的性质,许多分布可以用正态分布来近似描述,另外一些分布又可以通过正态分布来推导.教学难点正态分布的意义及性质、标准正态总体、标准正态曲线的概念教学是难点,正态分布的性质的抽象与概括是难点,要利用函数的观点、函数与方程的思想方法研究正态曲线的五条性质.教学方法建构主义观点在高中数学课堂教学中的实践的教学方法.在学生已经掌握总体密度曲线、累积分布曲线的基础上,让学生通过函数观点主动建构出正态分布、正态曲线、标准正态曲线.利用函数的性质(定义域、值域、对称轴、奇偶性、单调性等等).教具准备实物投影仪(或幻灯机、幻灯片).幻灯片记作§ 1.5.1 A例1.设ξ~N(0,1)借助于标准正态分布的函数表计算：(1)P(ξ>1.24);(2)P(ξ<-1.24);(3)P(|ξ|<1).幻灯片记作§ 1.5.1 B例2.某城市从南郊某地乘公共汽车前往北区火车站有两条路线,可是,第一条路线穿过市区,路线较短,但交通拥挤,所需时间(单位：mi n)服从正态分布N(50,102)；第二条路线沿环城公路走,路程较长,但交通阻塞较少,所需时间服从正态分布N(60,42).(1)若只有70 mi n可用,问应走哪条路线？(2)若只有65 mi n可用,又应走哪条路线？幻灯片记作§ 1.5.1 C例3.某市210名高中学生参加全国高中数学联赛预赛,随机调阅了60名学生的答卷,成绩列下表：成绩1分2分3分4分5分人数分布0 0 0 6 15成绩6分7分8分9分10分人数分布21 12 3 3 0(1)(2)若总体服从正态分布,求正态曲线的近似方程;(3)若规定,预赛成绩在7分或7分以上的学生参加复赛,试估计有多少个学生可以进入复赛?教学过程Ⅰ.课题导入在上节课,我们作出了100个产品尺寸的频率分布直方图,并指出了当样本容量无限增大时,这个频率分布直方图无限接近于如图1－11所示的一条总体密度曲线.图1－11产品尺寸是一类典型的总体,对于成批生产的产品,如果生产条件正常并稳定,即工艺、设备、技术、操作、原料、环境等条件都相对稳定,而且不存在生产系统误差的明显因素,那么,产品尺寸的总体密度曲线就可以用一个函数y=f (x )图象来拟合.这个函数的图象叫做正态曲线.这节课我们将来学习正态分布(一).(板书课题)Ⅱ．讲授新课 ［师］总体密度曲线可以用一个函数y=f (x )的图象来拟合,我们选用什么样的函数呢？换句话讲,由这个曲线,我们可以想到哪类函数图象与它相近似？［生甲］可以用二次函数y=a (x -m)2+n (a <0)的图象来拟合. ［师］这个二次函数定义域和值域如何确定呢？ ［生甲］定义域为{x |x >0},值域为{y|y>0}.［师］你规定的定义域和值域是否符合函数组成的三要素呢？［生乙］他的这种规定是无道理的,也是不符合构成函数的三要素的.我认为可以用二次函数与指数函数复合以后的函数图象来拟合,即f (x )=a p (x -m)2+n ,这样就符合题设的条件.由图形和实际可以知道,函数的值域是正实数组成的.函数图象也是一对称曲线,关于直线x =x 0对称,所以联想到二次函数y=p (x -m)2+q 和指数函数y=a x 进行复合以后再拟合.［师］太好了！太好了！(这时教室里报以热烈的掌声和赞叹声,同学们都投以敬佩的目光,这位同学在大家的目光中,显得十分自豪但又很谦逊)［生乙］感谢生甲的提醒和老师的帮助,更要感谢同学们的鼓励,我的设想是与广大同学们的合作研究分不开的.(建构主义观点的教学模式所倡导的就是要广大同学有合作精神、参与意识,要求每一位同学都要有智力参与,这也正是数学新课程标准所要求的：数学文化和人文精神)［师］学生甲和乙给出了我们一条曲线的拟合函数的大致设想,经过研究和计算我们得到：总体密度曲线就是或近似地是函数222)(21)(σμπσ--⋅=x ex f ,x ∈(-∞,+∞)的图象,式中的实数μ、σ(σ>0)是参数,分别表示总体的平均数和标准差(总体标准差是衡量总体波动大小的特征数,常用样本标准差去估计).这个总体是有无限容量的抽象总体,其分布叫做正态分布.正态分布由参数μ、σ唯一确定.因此,正态分布常记作N(μ,σ2).函数222)(21)(σμπσ--=x ex f ,x ∈(-∞,+∞)的图象被称为正态曲线.［师］找三位同学分别画出下列正态曲线： (1)μ=-1,σ=0.5; (2)μ=0,σ=1; (3)μ=1,σ=2.［生］三位学生画的图如图1－12所示：图1－12［师］从正态曲线上看,你们直观上可以得出正态曲线具有什么特征？［生］正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征. ［师］在实际中遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布.例如：生产中,在对正常生产条件下各种产品的质量指标(如电子管的使用寿命、电容器的电容量、零件的尺寸、铁水的含碳量、纤维的纤度……)测量的误差；炮弹落点的分布；人的生理特征的尺寸：身高、体重等；农作物的收获量；工厂产品的尺寸：直径、长度、宽度、高度……都近似服从正态分布.一般说来,若影响某一数量指标的随机因素很多,而每个因素所起的作用都不太大,则这个指标服从正态分布.［师］在测量中,测量结果一般可以表示为ξ=a +η,其中a 表示测量的量的真值(未知常数),η表示测量的随机误差,ξ和η一般都服从正态分布.你们能再举一些实例吗？［生］在生物学中,同一群体的某种特征(如某一地区同年龄组青少年特征,如身高、体重、肺活量、胸围等),在一定条件下生产的小麦的株高、穗长、单位面积产量等,一般也服从正态分布.在气象中,某地每年七月份的平均气温、平均湿度以及降雨量等,水文中的水位,也都服从或近似服从正态分布.［师］由此看来：正态分布广泛存在于自然现象、生产及科学技术的许多领域中,正态分布在概率和统计中占有重要地位.对于μ=0,σ=1时,正态总体称为标准正态总体,这时相应的函数表示式是：2221)(x ex f -=π,x ∈(-∞,+∞),相应的曲线称为标准正态曲线,如上图(2)所示.［师］从上述三张图中,你们能总结出正态曲线具有哪些性质？［生1］函数的定义域为一切实数,值域为正的实数集的子集,对应的曲线在x 轴的上方,与x 轴不相交.这是因为：由函数的性质有e u >0,∴]1,0(2)(22∈--σμx e ,∴021222)(>⋅--σμπσx e.故曲线与x 轴不相交,在x 轴上方.［生2］曲线222)(21)(σμπσ--=x ex f 关于直线x =μ对称：证明如下(口述证明过程)：在曲线y=f (x )上任取一点A (x 0,y 0),关于直线x =μ的对称点为A ′(x ′,y′),∴y′=y 0且x ′=2μ-x 0.∴x 0=2μ-x ′,y 0=y′.又∵A 在曲线上,∴222)(021σμπσ--=x ey .由反代法知,222)2(21σμμπσ-'--='x ey ,即222)(21σμπσx ey --=',∴有222)(21σμπσ-'-=x ey .也就是点A ′在曲线上,由A 点的任意性.∴曲线y=f (x )关于直线x =μ对称.［生3］函数有最大值,因为当x =μ时,222)(σμ--x 有最大值0,所以y=f (x )有最大值πσπσ21210=e ,也就是曲线在x =μ时位于最高点.［生4］函数在x ∈(-∞,μ］上单调递增；在［μ,+∞)上单调递减.这是因为：由指数函数y=e v是单调递增函数,222)()(σμ--=x x v 在x ∈(-∞,μ］上是增函数,在x ∈［μ,+∞)上是单调递减函数,由复合函数单调性可知,“同性增、异性减”,所以f (x )在x ∈(-∞,μ］上是增函数,在x ∈［μ,+∞)上是减函数.故当x <μ时,曲线上升；当x >μ时,曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以x 轴为渐近线,向它无限靠近.［师］刚才四位同学不仅总结出性质,而且给予了详细的证明,现将性质总结如下： (1)曲线在x 轴的上方,与x 轴不相交; (2)曲线关于直线x =μ对称; (3)曲线在x =μ时位于最高点;(4)当x <μ时,曲线上升；当x >μ时,曲线下降,并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以x 轴为渐近线,向它无限靠近.现将上面的三幅图对称轴重叠在一起即x =0时,如图1－13所示,你们能总结出什么性质？图1－13［生5］当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散；σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中.［师］以上就是我们总结的正态曲线五条性质.由于标准正态总体N(0,1),在正态总体的研究中有非常重要的地位,为了便于应用,已专门制作了“标准正态分布表”.在这个表中,相应于x 0的值Φ(x 0)是指总体取值小于x 0的概率,即Φ(x 0)=P (x <x 0)如图中左边阴影部分所示.图1－14由于标准正态曲线关于y 轴对称,表中给出了x 0≥0时的函数值Φ(x 0). 如果x 0<0时,Φ(x 0)的值又如何求呢？ ［生］由对称性知图(2)中两个阴影部分的面积是相等的,Φ(x 0)=1-Φ(-x 0).这一点也可以从对立事件角度来解释.［师］利用这个表,可求出标准正态总体在任一区间(x 1,x 2)内取值的概率P =Φ(x 2)-Φ(x 1).请同学们求出它在(-1,2)内取值的概率.［生］所求概率为P =Φ(2)-Φ(-1)=Φ(2)-{1-Φ［-(-1)］}=Φ(2)+Φ(1)-1=0.9772+0.8413-1=0.8185.［师］一般的正态总体N(μ,σ2)均可以化成标准正态总体N(0,1)来进行研究.事实上,可以证明：对于任一正态总体N(μ,σ2)来说,取值小于x 的概率)()(σμ-Φ=x x F .事实上,标准正态总体,对应的函数表达式为2221)(x ex f -=πσ,将x 变化为σμ-x 即可.例如对于正态总体N(1,4)来说,取值小于3的概率P 是什么？［生］P =F(3)=Φ(213-)=Φ(1).查表知Φ(1)=0.8413. 精典例题［师］(打出幻灯片§ 1.5.1 A ) ［生］(1)P (ξ>1.24)=1-P (ξ≤1.24) =1-P (ξ<1.24) =1-Φ(1.24) =1-0.8925 =0.1075.(2)P (ξ<-1.24)=P (ξ>1.24) =1-Φ(1.24) =0.1075.(3)P (|ξ|<1)=P (-1<ξ<1) =Φ(1)-Φ(-1)=Φ(1)-［1-Φ(1)］ =2Φ(1)-1 =2×0.8431-1 =0.6826.［师生共析］①若ξ~N(0,1),则ξ的概率密度函数关于y 轴对称, ∴P (ξ≤-x 0)=P (ξ≥x 0).②若ξ~N(0,1),Φ(x )=P (ξ<x ), 则P (|ξ|≤x )=P (-x ≤ξ≤x )=2Φ(x )-1, P (a <ξ≤b )=Φ(b )-Φ(a ).［师］(打出幻灯片§ 1.5.1 B )［生析］最佳路线是在允许的时间内有较大概率及时赶到火车站的那条路线. ［生］解：设ξ为行车时间.(1)走第一条路线,及时赶到的概率为 P (0<ξ≤70)=Φ(105070-)-Φ(10500-) ≈Φ(105070-)=Φ(2)=0.9772, 走第二条路线及时赶到的概率为 P (0<ξ≤70)≈Φ(46070-) =Φ(2.5) =0.9938,因此在这种情况下应走第二条路线.(2)走第一条路线及时赶到的概率为 P (0<ξ≤65)≈Φ(105065-) =Φ(1.5)=0.9332,走第二条路线及时赶到的概率为 P (0<ξ≤65)≈Φ(46065-) =Φ(1.25)=0.8944,因此在这种情况下应走第一条路线. ［师］(打出幻灯片§ 1.5.1 C ) ［生］解：(1)x =601(4×6+5×15+6×21+7×12+8×3+9×3)=6. s 2=601［6(4-6)2+15(5-6)2+21(6-6)2+12(7-6)2+3(8-6)2+3(9-6)2］=1.5. ∴s≈1.22.答：样本的数学平均成绩为6分,标准差为1.22.(2)以x =6,s≈1.22作为总体数学平均成绩和标准差的估计值,即μ=6,σ≈1.22,则总体服从正态分布N(6,1.222).正态曲线的近似方程为5.12)6(2222.11⨯--≈x ey π.(3)F(7)=Φ(22.167-)≈Φ(0.8)≈0.7881. 1-F(7)≈1-0.7881=0.2119. 210×0.2119=45.根据规定,大约有45名学生可以参加复赛. Ⅲ.课堂练习(一)课本P 35练习题1、2. (二)补充练习1.(2005年长沙市重点中学模拟题)若随机变量ξ~N(3,1)(服从正态分布),则P (-1<ξ≤1)等于( )A.2Φ(1)-1B.Φ(4)-Φ(2)C.Φ(-4)-Φ(-2)D.Φ(2)-Φ(4) 解析：P (-1<ξ≤1)=F(1)-F(-1),又∵F(1)=Φ(131-)=Φ(-2)=1-Φ(2), F(-1)=Φ(131--)=Φ(-4)=1-Φ(4).代入得P (-1<ξ≤1)=Φ(4)-Φ(2). 故选B. 答案：B2.设随机变量ξ服从正态N(0,1)分布,记Φ(x )=P (ξ<x ),若a >0,则下列结论错误的是( ) A.Φ(0)=0.5B.Φ(x )=1-Φ(-x )C.P (|ξ|>a )=1-Φ(a )D.P (ξ=0)=0解析：P (|ξ|>a )=P (ξ>a )+P (ξ<-a ) =［1-P (ξ<a )］+［1-P (ξ<a )］ =2-2Φ(a ).∴C 是错误的,应选C. 答案：C Ⅳ.课时小结本节课我们学习了正态分布、正态曲线、标准正态总体、标准正态曲线等基本概念,以及函数关系式及曲线的性质.(请同学们总结概括)［师］从这节课中,我们用到或学到哪些数学思想方法？［生］我们学到了函数与方程、数形结合、分类讨论、等价转化等数学思想,还学到了配方法、对称法、直觉类比法、猜想法、由特殊到一般等数学基本方法.(学生总结,教师板书)Ⅴ．课后作业课本P 35习题1.5 1、2、3. 板书设计§ 1.5.1 正态分布(一)一、正态分布的定义：222)(21)(σμπσ--=x ex f二、正态曲线定义：三、标准正态总体：N(0,1) 四、标准正态曲线 五、正态曲线性质1.曲线在x 轴的上方,与x 轴不相交.2.曲线关于直线x =μ对称.3.曲线在x =μ时位于最高点.4.当x <μ时,曲线上升,当x >μ时,曲线下降.5.当μ一定时,曲线的形状由σ确定.六、标准正态N(0,1)表,相应于x 0的值Φ(x 0)是指总体取值小于x 0的概率,Φ(x 0)=P (x <x 0)(x 0≥0),当x 0<0时,Φ(x 0)=1-Φ(-x 0).在(x 1,x 2)内取值的概率为P =Φ(x 2)-Φ(x 1). 例题1.2(交通路线问题) 3(成绩统计问题)小结：数学思想：数学方法：。
高中数学目录(选修)
必修五第一章解三角形1．1 正弦定理和余弦定理1．2 应用举例1．3 实习作业第二章数列2．1 数列的概念与简单表示法2．2 等差数列2．3 等差数列的前n项和2．4 等比数列2．5 等比数列前n项和第三章不等式3．1 不等关系与不等式3．2 一元二次不等式及其解法3．3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3．4 基本不等式选修1－1 文科第一章常用逻辑用语1．1 命题及其关系1．2 充分条件与必要条件1．3 简单的逻辑联结词1．4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2．1 椭圆 2．2 双曲线 2．3 抛物线第三章导数及其应用3．1 变化率与导数 3．2 导数的计算3．3 导数在研究函数中的应用 3．4 生活中的优化问题举例选修1－2第一章统计案例1．1回归分析的基本思想及其初步应用1．2独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2．1 合情推理与演绎证明2．2 直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3．1 数系的扩充和复数的概念3．2 复数代数形式的四则运算第四章框图4．1 流程图4．2 结构图选修2-1理科第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系 1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词 1.4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.2 椭圆2.3 双曲线2.4 抛物线第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.2 立体几何中的向量方法选修2-2第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算选修 2-3第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.2 排列与组合1.3 二项式定理第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.2 二项分布及其应用2.3离散型随机变量的均值与方差2.4 正态分布第三章统计案例3.1回归分析的基本思想及其初步应用3.2独立性检验的基本思想及其初步应用。
高三数学 1.5正态分布
查表求下列各值
(0.5)、(2.3)、(1.45) (0.5)=1-Φ(0.5)=1-0.6915=0.3085 (2.3)=0.9893
=0，=1
(2) f ( x )
1 2 2
( x 1 ) 8
2
e
, x ( , )
=1，=2
正态曲线的性质
观察：
性质： （1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交
（2）曲线关于直线x=μ对称 （3）曲线在x=μ时位于最高点。
（4）当x<μ时，曲线上升；当x>μ时，曲线下降。并且当曲线
即，可用如图的蓝色阴影部分表示。
由于标准正态曲线关于 y 轴对称，表中仅 给出了对应与非负值 x 的值 x 0 。
0
如果 x 0 0 ，那么由下图中两个阴影部分 面积相等知：
x 0 1 x 0 .
例1.求标准正态总体在(1,2)内取值的概率． 解：利用等式P=(x2) (x1)有
1.5正态分布
一、复习
由于总体分布通常不易知道，我们往往是 用样本的频率分布（例如频率分布直方图）去 估计总体分布。 一般样本容量越大,这种估计就越精确。 从上一节得出的100个产品尺寸的频率分布直 方图可以看出，当样本容量无限大，分组的组距 无限缩小时，这个频率直方图就会无限接近于一 条光滑曲线---- 总体密度曲线。
F(μ+3σ)－F(μ－3σ)=Ф(3)－Ф(－3) ≈0.997；
高中数学正态分布
指数分布与正态分布关系
指数分布是一种连续型概率分布 ，用于描述两个连续事件之间的 时间间隔。
在某些情况下，指数分布可以近 似为正态分布。具体来说，当指 数分布的参数 $lambda$ 足够大 时，指数分布 $Exp(lambda)$ 可以用正态分布 $N(frac{1}{lambda}, frac{1}{lambdasqrt{2}})$ 来近似 。然而，这种近似通常不如二项 分布和泊松分布逼近正态分布那 样准确。
多元正态分布的定义
多元正态分布是指多个随机变 量组成的向量服从正态分布的 情况。
多元正态分布的性质
多元正态分布具有一些重要的 性质，如联合分布、边缘分布 、条件分布和独立性等。
多元正态分布在统计学中 的应用
多元正态分布广泛应用于多元 统计分析中，如多元线性回归 、主成分分析、因子分析等。
多元正态分布的参数估计 和假设检验
对于多元正态分布的参数估计 和假设检验，可以使用最大似 然估计、协方差矩阵的估计和 多元t检验等方法进行。
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THANKS
对两个正态总体均值或方差进行 比较的假设检验，如t检验和F检 验的两样本版本。
置信区间构建
利用样本数据构造总体均值的置 信区间，以估计总体均值可能落 入的范围。
01
02
单样本假设检验
对单个正态总体均值或方差进行 假设检验，如t检验和F检验。
03
04
配对样本假设检验
对配对观测值之差的均值进行假 设检验，如配对t检验。
智商分布
智商测试的结果也符合正态分布，大 部分人的智商处于中等水平，极高和 极低的智商相对较少。
生产过程中质量控制
产品质量分布
在生产线上，产品质量往往呈现 正态分布，大部分产品符合质量 标准，极少数产品存在严重缺陷
人教版高中数学(理科)选修正态分布教案
正态分布2目的要求1．利用标准正态分布表求得标准正态总体在某一区间内取值的概率。
2．掌握正态分布与标准正态分布的转换。
3．了解正态总体的分布情况，简化正态总体的研究问题。
内容分析1．标准正态分布是正态分布研究的重点，各式各样的正态分布可以通过)()(σμ-Φ=x x F 转换成标准正态曲线，转换后正态分布的各项性质保持不变，而标准正态分布的概率又可以通过查表求得，因而标准正态分布表的使用是本节课的重点之一。
2．介绍《标准正态分布表》的查法。
表中每一项有三个相关的量：x 、y 、P ，x 是正态曲线横轴的取值，y 是曲线的高度，P 是阴影部分的面积。
即)()(00x x P x <=Φ。
3．标准正态曲线关于y 轴对称。
因为当00>x 时，)()(00x x P x <=Φ；而当00<x 时，根据正态曲线的性质可得：)(1)(00x x -Φ-=Φ，并且可以求得在任一区间),(21x x 内取值的概率。
)()()(1221x x x x x P Φ-Φ=<<。
4．由例2、例3的讲授，对于任一正态总体),(2σμN 都可以通过)()(σμ-Φ=x x F ，求得其在某一区间内取值的概率。
5．从下列三组数据不难看出，正态总体在（μ-3σ，μ+3σ）以外的概率只有万分之二十六，这是一个很小的概率。
这样，就简化了正态总体中研究的问题。
F （μ-σ，μ+σ）≈0.683，F （μ-2σ，μ+2σ）≈0.954，F （μ-3σ，μ+3σ）≈0.997。
教学过程1．复习提问（1）借助于正态曲线图形，回忆正态曲线的性质。
（2）运用正态曲线的性质，解决实际问题。
2．标准正态总体的概率问题，只要有标准正态分布表即可解决，如何查表是必须解决的问题。
3．对于标准正态总体N （0，1），)(0x Φ是总体取值小于0x 的概率，即：)()(00x x P x <=Φ，其中00>x ，图中阴影部分的面积表示为概率。
高中数学人教版选修正态分布课件系列一
2. 正态分布密度函数的性质
正态分布密度函数满足以下性质：
(1)函数图像关于 直线x＝μ对称
；
(2) σ(σ>0)的大小 决定函数图像的“胖”“瘦”；
(3)如下图所示，
P(μ－σ<X<μ＋σ)＝68.3%， P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝95.4%， P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝99.7%.
(4)在分布密度函数图像下方和x轴上方范围内的区域面积为
的.
课前自主学习
1. 正态分布
如果一个连续型随机变量X的分布密度函数为
f(x)＝σ 12πexp{－x－2σμ2 2}，－∞<x<＋∞
，
其中exp{g(x)}＝eg(x)，那么称X服从参数为μ和σ2的正态分 布，通常记作 X～N(μ，σ2) ．
正态分布的两个重要参数：均值μ和方差σ2(σ>0)．当μ和σ2 给定后，就是一个具体的正态分布．不同的μ和σ对应着不同的 分布密度曲线，如下图所示．
[思路分析] 由正态曲线的图像可知，该曲线的对称轴为x
＝20，最大值为2
1
π，因此，μ＝20，由2
1
＝ πσ
12π可求得σ的
值．
[完美作答] 从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直
线x＝20对称，最大值是2 1 π，所以μ＝20.
由 σ
1 ＝1 2π 2
π，解得σ＝
2.
于是概率密度函数的解析式是P(x)＝2 1 πexp{－
人教版 必修2-3
第二章 随机变量及其分布 2.4 正态分布
课标要求
学法指导
1.利用实际问题的直方图，了解正态分 1.正态分布的小概率事件是一个重要的概
高考高中数学正态分布
高考高中数学正态分布在高考的数学领域中，正态分布是一个颇为重要的知识点。
对于许多同学来说，它可能一开始会让人感到有些困惑，但只要我们深入理解，就会发现其中的规律和魅力。
首先，让我们来了解一下正态分布到底是什么。
简单来说，正态分布是一种常见的概率分布。
想象一下，我们对某个群体进行测量，比如学生的身高、考试成绩、零件的尺寸等等，得到的数据往往会呈现出一种特定的分布形态，这就是正态分布。
正态分布的特点非常显著。
它是一个对称的“钟形曲线”，曲线的最高点在均值处，也就是数据的平均水平。
而且，大部分的数据会集中在均值附近，离均值越远，数据出现的频率就越低。
这就像是大多数学生的成绩会集中在平均分附近，特别高和特别低的分数相对较少。
那么，正态分布在高考数学中有哪些具体的应用呢？一个重要的方面是概率计算。
给定一个正态分布的参数，比如均值和标准差，我们可以计算某个区间内数据出现的概率。
比如说，已知某班级考试成绩服从正态分布，均值是 80 分，标准差是 10 分，我们就可以计算出成绩在 70 分到 90 分之间的学生所占的比例。
在解题过程中，我们常常需要将给定的数值标准化。
这是因为正态分布表中给出的是标准正态分布（均值为 0，标准差为 1）的概率值。
通过标准化公式，将原始数据转化为标准正态分布中的数值，然后就可以利用正态分布表来查找相应的概率。
举个例子，假设某地区高考数学成绩服从正态分布，均值为100 分，标准差为 15 分。
现在要计算成绩大于 120 分的考生比例。
我们首先将120 分标准化：（120 100) ／15 ≈ 133 。
然后，在标准正态分布表中查找大于 133 的概率，就能得到成绩大于 120 分的考生比例。
对于正态分布的理解，还需要注意几个要点。
其一，标准差反映了数据的离散程度。
标准差越大，数据越分散；标准差越小，数据越集中。
其二，正态分布在实际生活中的应用非常广泛。
除了前面提到的成绩、身高、尺寸等，还包括产品质量控制、医学中的生理指标、经济数据等等。
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1.5正态分布（一）
教学目的：
1.掌握正态分布在实际生活中的意义和作用.
2.结合正态曲线，加深对正态密度函数的理理.
3.通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质.
教学重点：正态分布曲线的性质、标准正态曲线N (0，1).
教学难点：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质.
授课类型：新授课.
课时安排：1课时.
教 具：多媒体、实物投影仪.
内容分析：
1.在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布.在上一节课我们研究了当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布.但总体密度曲线的相关知识较为抽象，学生不易理解，因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口.正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布.
2.正态分布是可以用函数形式来表述的.其密度函数可写成：
),(,21)(222)(+∞-∞∈=--x e x f x σμσπ， （σ＞0）
由此可见，正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的.常把它记为),(2σμN .
3.从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x =μ，并在x =μ时取最大值.从x =μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x 轴，但永不与x 轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x 轴为渐近线的.
4.通过三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征.
5.由于正态分布是由其平均数μ和标准差σ唯一决定的，因此从某种意义上说，正态分布就有好多好多，这给我们深入研究带来一定的困难.但我们也发现，许多正态分布中，重点研究N （0，1），其他的正态分布都可以通过)(
)(σμ-Φ=x x F 转化为N （0，1），我们把N （0，1）称为标准正态分布，其密度函数为
2
2121)(x e x F -=π
，x ∈（-∞，+∞），从而使正态分布的研究得以简化. 6.结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质.正态曲线的作图较难，教科书没做要求，授课时可以借助几何画板作图，学生只要了解大致的情形就行了，关键是能通过正态曲线，引导学生归纳其性质. 教学过程：
一、复习引入：
总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率.设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线.
它反映了总体在各个范围内取值的概率.根据这条曲线，可求出总体在区间(a ，b )内取值的概率等于总体密度曲线，直线x =a ，x =b 及x 轴所围图形的面积.
观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示： ),(,21)(22)(+∞-∞∈=--x e x f x σμσπ
式中的实数μ、)0(>σσ是参数，分别表示总体的平均数与标准差，函数)(x f 称为正态函数，)
(x f 的图象称为正态曲线.
本节课，我们将学习一种在实际生产、生活中常见的总体密度曲线——正态曲线. 二、讲解新课：
1.正态分布密度函数：
),(,21)(222)(+∞-∞∈=--x e x f x σμσπ，
（σ＞0） 其中π是圆周率；e 是自然对数的底；x 是随机变量的取值；μ为正态分布的均值；σ是正态分布的标准差.正态分布一般记为),(2σμN .
2.正态分布)
,(2
σμN ）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布
通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响.
3.通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称.正态曲线的作图，书中没有做要求，教师也不必补上.讲课时教师可以应用几何画板，形象、美观地画出三条正态曲线的图形，结合前面均值与标准差对图形的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质.
4.正态曲线的性质：
（1）曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交.
（2）曲线关于直线x =μ对称.
（3）当x =μ时，曲线位于最高点.
（4）当x ＜μ时，曲线上升（增函数）；当x ＞μ时，曲线下降（减函数）.并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近.
（5）μ一定时，曲线的形状由σ确定.
σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；
σ越小.曲线越“瘦高”.总体分布越集中：
五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学.
5.标准正态曲线:当μ=0、σ=l 时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是2221)(x e x f -=π，（-∞＜x ＜+∞＝
其相应的曲线称为标准正态曲线.
标准正态总体N （0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位.任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题.
三、讲解范例：
例1.给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ.
（１）),(,21)(22+∞-∞∈=-x e x f x π （２）),(,221)(8)1(2+∞-∞∈=--x e x f x π （３）),(,22)(2)1(2+∞-∞∈=+-x e x f x π
答案：(1)0，1；(2)1，2；(3)-1，0.5.
四小结：总体密度曲线——正态曲线——标准正态曲线
五、课后作业：
六、板书设计（略）
七、课后记：。