sjw02导数与微分题及解答

x =0
=
1 4
2 2 2 3
： 12 x − 2 y′ − xy′′ + 12 y ( y′ ) + 4 y y′′ = 0 对方程（1）两边再对 x 求导， 代入 x = 0, y = 1 ， y′
x =0
=
1 得， y ′′ 4
x =0
=−
1 16
7．解：∵ y =
1 1 1 1 = ( − ) x −1 2 x −1 x +1
参考答案
一．填空
1． y = x + 1 2． 2 ( x +
2
1 1 )(1 − 2 ) x x
6． 4 x − 2 y − 1 = 0
3． x = x0 7． n !
4．
0
5． 2 xg ( x )
二．计算题
1．解： y′ =
1 1 − e −2
x
e−
x
−1 2 x
=
2 x 1 − e −2
(
−e −
d 2 y ( − b sin t )( − a sin t ) + b cos t ⋅ a cos t b = =− 2 3 或者直接代公式： 即 2 3 dx ( − a sin t ) a sin t
dy dy dt a sin t sin t dy = = = ，∴ 10．解： dx dx a − a cos t 1 − cos t dx dt
∆x → 0
所以 f ( x ) 在 ( −∞ ,+∞ ) 内 f ( x ) 可导，且 f ′( x ) = f ( x ) ． 13． 解： lim +
x →1
d 1 f (cos x − 1) = lim f '(cos x − 1)( − sin x − 1) + x →1 dx 2 x −1
.
⎧ x = a cos t 所确定的函数 y = f ( x ) 的一阶导数与二阶导数. ⎩ y = b sin t
10．求摆线 ⎨
⎧ x = a ( t − sin t ) π 在t = 处的切线方程和法线方程. 2 ⎩ y = a (1 − cos t )
1
1 ⎧ ⎪ g( x )arctan ， x ≠ 0 11．设 f ( x ) = ⎨ ，且 g (0) = g ′(0) = 0 ，求 f ′(0) ． x ⎪ 0， x=0 ⎩
当 t=
t=
π
2
=
sin
π
2
1 − cos
π
2
=1
π
2
时， x = a (
π
2
− 1), y = a
3
切线方程为： y − a = x − a(
π
2
− 1) ，即 y = x + a(2 −
π
2 a
)
法线方程为： y − a = − ( x − a(
π
2
− 1)) ，即 y = − x +
π
2
1 g( x )arctan f ( x) x = lim g( x ) arctan 1 = 0 = lim 11．解： f ′(0) = lim x →0 x →0 x →0 x x x x
x→0
13．设 f ( x ) 在 x = 1 处有连续的一阶导数，且 f ′(1) = 2 ，试求 lim +
x →1
d f (cos x − 1) ． dx
⎧ 1 2x ⎪ (e − 1), x < 0 ，试确定常数 a , b ，使 f ( x ) 处处可导，并求 f ′( x ) ． 14．设 f ( x ) = ⎨ x ⎪ ⎩ a + sin bx , x ≥ 0
=−
1 f ′(1) = −1 2
14．解：除 x = 0 处外，其余处处可导
a + sin bx − a = b, x→0 x 1 2x (e − 1) − a (e 2 x − 1) − ax 2e 2 x − a x f −′(0) = lim = = lim lim x → 0− x → 0− x → 0− 2x x x2 f +′ (0) = lim +
12． 设 f ( x ) 在 ( −∞ ,+∞ ) 内有定义， 且满足 f ( x + y ) = f ( x ) f ( y ) ， 又 f ( x ) = 1 + xg ( x ) ， 其中 lim g ( x ) = 1 。证明：在 ( −∞ ,+∞ ) 内 f ( x ) 可导，并求其导数。
12． 解：设 x 是 ( −∞ ,+∞ ) 内任意一点，
∵ lim
∆y f ( x + ∆x ) − f ( x ) f ( x ) f ( ∆x ) − f ( x ) = lim = lim ∆x → 0 ∆ x ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x ∆x = f ( x ) lim f ( ∆x ) − 1 ∆x ⋅ g ( ∆x ) = f ( x ) lim = f ( x) ∆x → 0 ∆x ∆x
. . .
4． 设 y = y ( x ) 由方程 x sin y + ye = 0 所确定， 则 y′(0) =
x
df ( x) df [h( x)] 等于 = g ( x ) , h( x ) = x 2 , 则 dx dx ⎧ x = cos t π ⎪ 6．已知曲线L的方程是 ⎨ t ，则曲线L在 t = 处的法线方程是 3 y = sin ⎪ 2 ⎩ 7． 设 f ( x ) = x ( x + 1)( x + 2) ( x + n ) ， 则 f ′(0) = 二．计算题
dy ( b sin t )′ b cos t b = = = − cot t dx ( a cos t )′ − a sin t a
9．解： y ′ =
y′′ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ=
d b d b dt b 2 b 1 = csc t ⋅ ( ( − cot t ) = ( − cot t ) ⋅ )=− 2 3 dx a dt a dx a − a sin t a sin t
第二章
一．填空
1． y = x + sin x 在点 （ ， 1+
2
导数与微分
. .
π
π
2
2
处的切线方程是 ）
2．设 y = ( x +
1 2 ) ，则 y′ = x
x → x0
3．设函数 f ( x )在点x0 处连续，且 lim 点 ( x0 , f ( x0 )) 的切线方程是
f ( x) − f ( x0 ) = ∞ ，则曲线 y = f ( x ) 在 x − x0
2 3 2 3 2 2 4 2 2 4
3 3 1 − cos 4 x 5 3 = (sin 2 x + cos 2 x )2 − 3sin 2 x cos 2 x = 1 − sin 2 2 x = 1 − ⋅ = + cos 4 x 4 4 2 8 8 ∴ y( n) = 3 n π ⋅ 4 ⋅ cos(4 x + n ⋅ ) 8 2
要使得以上极限存在，必须 a = 2 ，得 f −′ (0) = lim −
x→0
2e 2 x − 2 e2 x − 1 = lim =2 x → 0− 2x x
所以 b = 2
⎧ 2 xe 2 x − e 2 x + 1 ,x<0 ⎪ 2 x ⎪ ⎪ 且 f ( x) = ⎨2 , x=0 ⎪ 2cos 2 x , x≥0 ⎪ ⎪ ⎩
x x
)
2.解：两边取对数得， ln y =
1⎛ 1 ⎞ ln x + ln sin x + ln(1 − e x ) ⎟ ⎜ 2⎝ 2 ⎠
两边对 x 求导，得
⎞ y′ 1 ⎛ 1 cos x ex = ⎜ + + x ⎟ y 2 ⎝ x sin x 2(1 − e ) ⎠
所以， y′ =
⎞ x sin x 1 − e x ⎛ 1 ex cot x + + ⎜ x ⎟ 2 2(1 − e ) ⎠ ⎝x
2 x
, 求 dy .
2
5．设 y = y ( x ) 由方程 cos( x + y ) = x 所确定，求 dy . 6． x − xy + y = 1 ，求 y′′ 在 (0,1) 的值。
4 4
7． y =
1 (5) ，求 y . x −1
2
6 6 (n)
8． y = sin x + cos x ，求 y 9．试求由椭圆参数方程 ⎨
⎧ 3 + a = − 2b ⎧ a = −1 ⎪ ⎪ 3．解：由题意知， ⎨ −1 − a = 0 ，所以， ⎨ b = −1 ⎪b + c = 0 ⎪c = 1 ⎩ ⎩
4．解： y′ = 2 x cos e − x e sin e
x 2 x x
dy = (2 x cos e x − x 2 e x sin e x )dx
5．设 1． y = arcsin e 2. y =
− x
. .
，求 y ′ ．
x sin x 1 − e x ，求 y ′ ．
3 2
3． 设曲线 f ( x ) = x + ax 与 g ( x ) = bx + c 都通过点 ( − 1, 0) ， 且在点 ( − 1, 0) 有公共切线， 求 a , b, c . 4．已知 y = x cos e
2
5．解：方程两边对 x 求导得 故 y′ = −
− sin( x 2 + y )(2 x + y′ ) = 1