高量7---迪拉克方程
量子力学中的狄拉克方程研究
量子力学中的狄拉克方程研究狄拉克方程是量子力学中的一项重要成果，由英国物理学家狄拉克（Paul Dirac）于1928年提出。
该方程描述了粒子行为，特别是描述了自旋为1/2的粒子，如电子，以及反粒子。
1. 狄拉克方程的提出狄拉克方程的提出源于对经典相对论性方程与量子力学的融合的努力。
根据相对论性量子力学的原理，狄拉克试图找到一个既符合相对论性原理又解释电子自旋性质的方程。
经过数年的努力，他终于成功地推导出了狄拉克方程。
2. 狄拉克方程的形式与意义狄拉克方程的形式为：(γμPμ - mc)ψ = 0其中，Pμ是四维动量算符，m是粒子质量，c是光速。
γμ是一组4×4矩阵，也称为狄拉克矩阵。
狄拉克方程的解ψ是一个具有四个复分量的四分量旋量。
方程中的狄拉克矩阵γμ是与方程解ψ相关的算符。
狄拉克方程描述了电子和正电子（反电子）的行为，并成功地预言了反电子的存在。
3. 狄拉克方程的物理意义狄拉克方程的提出对量子力学理论的发展和应用产生了深远的影响。
它不仅解释了自旋为1/2的粒子的行为，还成功地预言了反粒子的存在。
狄拉克方程揭示出自旋粒子的波函数不仅包含了波函数本身的信息，还包含了粒子的能量、动量、自旋等物理性质的信息。
这使得狄拉克方程成为量子力学中不可或缺的一部分。
4. 狄拉克方程的应用狄拉克方程的应用涉及到许多领域。
例如，在粒子物理学中，狄拉克方程被用于描述带电粒子，如电子、质子等的行为。
在核物理学中，狄拉克方程被用于研究原子核、中子、质子等微观粒子。
此外，狄拉克方程还在量子场论的研究中发挥着重要的作用。
它被广泛运用在相对论性量子场论理论中，如量子电动力学（QED）等。
5. 狄拉克方程的发展与挑战尽管狄拉克方程在描述粒子行为方面取得了巨大成功，但它也引发了一些困扰和挑战。
例如，负能解和空穴解等解释上的困惑，以及与相对论的统一等方面的挑战。
狄拉克方程的发展仍然是一个活跃的研究领域，物理学家们在不断深入研究中不断改善和完善狄拉克方程的理论框架，以更好地解释粒子行为。
狄拉克方程的推导与解析
狄拉克方程的推导与解析狄拉克方程是描述自旋1/2粒子运动的方程，由英国物理学家狄拉克于1928年提出。
它是量子力学中的重要基础方程，对于描述电子、质子等粒子的运动具有重要意义。
本文将对狄拉克方程的推导和解析进行探讨。
狄拉克方程的推导始于对相对论性的薛定谔方程的修正。
相对论性薛定谔方程是根据爱因斯坦的相对论原理推导出来的，但是它只适用于自旋为0的粒子。
狄拉克希望能够得到适用于自旋为1/2的粒子的方程，于是他尝试了一种新的方法。
狄拉克的思路是将薛定谔方程中的波函数扩展为一个四分量的波函数，即一个二维的波函数和一个二维的自旋函数的乘积。
这样，狄拉克方程中的波函数就具有了自旋的信息。
为了得到这个四分量的波函数满足的方程，狄拉克引入了四个矩阵，称为狄拉克矩阵。
这四个矩阵分别是泡利矩阵和单位矩阵的张量积。
通过引入这些矩阵，狄拉克方程可以写成一个形式简洁的形式。
接下来，我们来推导狄拉克方程。
首先，我们假设四分量的波函数可以写成一个形如：\[\psi(x,t) = \begin{pmatrix} \psi_1(x,t) \\ \psi_2(x,t) \\ \psi_3(x,t) \\ \psi_4(x,t)\end{pmatrix}\]的列向量。
其中，\(\psi_1(x,t)\)和\(\psi_2(x,t)\)表示粒子在位置x和时间t的概率幅，\(\psi_3(x,t)\)和\(\psi_4(x,t)\)表示自旋向上和向下的概率幅。
然后，我们可以得到狄拉克方程的形式为：\[(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} - m)\psi(x,t) = 0\]其中，\(\gamma^{\mu}\)是四个狄拉克矩阵的线性组合，\(\partial_{\mu}\)是四维导数算符，m是粒子的质量。
狄拉克方程的解析解是一个非常复杂的问题，但是我们可以通过一些近似方法来得到一些近似解。
例如，我们可以使用平面波的形式来表示波函数：\[\psi(x,t) = u(p)e^{-ip\cdot x}\]其中，u(p)是一个四分量的自旋函数，它的形式可以通过狄拉克方程来确定。
狄拉克方程：反物质的“先知”
狄拉克方程：反物质的“先知”当伤心满满的负能量，遇上了火辣辣的正电子，量子界掀起了一阵热浪。
——节选自《人类最美的54个公式》是否有这样一种可能，如科幻小说描绘的那样：世上存在着一个由反物质构成的你，那个“反你”看上去和你的外观及行为都一模一样。
亦或者，在浩瀚宇宙的某个地方，存在着一个地球的孪生兄弟，只是一切都是左右颠倒的。
脑洞再大点，也许还有反物质构成的反银河系、反太阳系，甚至是居住着反人类的反地球。
自1933年12月，谦逊而腼腆的狄拉克站在诺贝尔获奖台上，断言存在着这样一个神秘的反物质世界后，以上可能不再只是虚幻莫测的空想。
理工男的标本纯洁的灵魂上演孤独的财富狄拉克，理工男的标本级人物一枚。
他沉默寡言，淡泊名利，整天足不出户，对着书本和公式静思默想，以致情商颇低，常常闹出人际冷笑话。
一次，他在某大学演讲，讲完后有观众问：“狄拉克教授，我不明白你的那个公式是如何推导出来的。
”结果，狄拉克看着他很久都没说话，现场尴尬到主持人不得不偷偷提醒狄拉克，他还没有回答问题。
“Well，回答什么问题？”狄拉克奇怪地问，“他刚刚说的是一个陈述句，不是一个疑问句。
”这种神奇的脑回路，恐怕也只有比直男还要直男癌的狄拉克才能做到了。
但这恰恰也从另一个角度证明了这个不谙世事的天才确如玻尔评价的那样，是“所有物理学家中最纯洁的灵魂”。
他的一生，安静地埋头书屋中，心无旁骛地单打独斗，默默地创造知识财富，成为量子论的创始人之一。
20世纪初，是量子力学蓬勃孕育的时代。
当时，狄拉克正值青春年华，大学毕业后转入剑桥继续深造，即使身在伦敦孤军奋战，但他还是迅速地为老牌剑桥争了口气。
用时不到3年，狄拉克便跻身于最前沿的量子学派行列，与玻尔、海森堡和泡利组成的黄金三角一起并肩作战。
不过，他生性孤僻，不善言谈。
与薛定谔那般玩转交际圈，天性风流倜傥不同，尽管加入了当时剑桥最受欢迎的卡皮察俱乐部，他也很少参加聚会。
但幸运的是，他的导师福勒还是挺热衷于此，在聚会中，福勒得知海森堡已经发明了一种全新的理论来解释原子光谱问题，就立马拍了一份证明的照片给狄拉克。
狄拉克方程负能量解
狄拉克方程负能量解
负能量解的背景介绍
•狄拉克方程及其负能量解的基本概念
•负能量解在物理学中的重要作用
狄拉克方程的基本原理和描述
1.基本原理
–狄拉克方程的提出
–电子的自旋和四分量波函数
2.狄拉克方程的描述
–类比薛定谔方程
–包含自旋项的形式
3.狄拉克方程的数学描述
–狄拉克方程的矩阵形式
–自旋算符和泡利矩阵的表示
–正能量解与负能量解的区别
负能量解的意义和性质
1.负能量解的物理意义
–相对论性粒子的运动特性
–反粒子的存在和创造湮灭算符
2.负能量解的性质
–负能量解与虚数能量解的关系
–负能量解的无穷远行为
–负能量解的统计解释
狄拉克海
1.狄拉克海的概念
–反粒子的存在与狄拉克海
–占据态和空穴态
2.狄拉克海的数学描述
–具体狄拉克海的波函数表示
–作用在狄拉克海上的湮灭算符3.狄拉克海的性质和研究意义
–狄拉克海的粒子统计解释
–狄拉克海和真空涨落
负能量解的实验观测和验证
1.负能量解的实验观测
–汤川耐三的负能量粒子预测
–反粒子的实验发现
2.负能量解的验证实验
–粒子与反粒子的湮灭过程
–反质子在磁场中的运动
3.实验观测对负能量解的意义
–实验证据对狄拉克方程的确认
–负能量解的建模和应用
结论
•狄拉克方程负能量解的物理意义和重要性•负能量解的数学描述和性质
•狄拉克海和负能量解的关系
•实验观测对负能量解的验证和应用
•负能量解的未来研究方向和进展。
狄拉克方程
张淼 西南交通大学物理学院
内容提要
1.背景知识回顾：波函数、薛定谔方程
（非相对论的）
2.克莱因-戈尔登方程
相对论的
3.狄拉克方程
一、波函数和薛定谔方程
1. 物质波
德布罗意，1929年的诺贝尔物理学奖
2. 玻恩统计解释
电子源
感 光 屏
1926年，德国物理学家玻恩提出了几率波的概 念: 在数学上，用一函数表示描写粒子的波，这个 函数叫波函数。波函数在空间中某一点的强度（波 函数模的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。 这样描写粒子的波叫几率波。
请举例验证
1.
狄拉克方程的解(负能量)：
i (c P mc 2 ) t
如果动量为零（假设）：
i mc 2 t
1 0
0 1
1 0
0 1
2 i mc t
2 2
11c Px Px 22c Py Py 33c Pz Pz m c
2 2 2 2
2 4
12c2 Px Py 13c2 Px Pz 1Px mc3
21c2 Py Px 23c2 Py Pz 2 Py mc3
31c2 Pz Px 32c2 Pz Py 3Pz mc3
i A mc 2 A t i B mc 2 B t
Dirac
K-G
自旋为零
E m c
2
2
2
0
量子力学
E c p m c E c p m c
2 2 2 4
2 4
相对论
2.
狄拉克方程 (自旋)：
狄拉克方程的意义
狄拉克方程的意义
狄拉克方程是物理学界最重要的方程之一，也是物理研究最重要的工具之一，几乎每一个重大物理发现都与它息息相关。
该方程由德国物理学家Maxwell Planck发现，他现在被认为是现代物理学的先驱。
狄拉克方程的原始形式可以表述为：
$∇^2u- \frac{1}{c^2}\frac{∂^2u}{∂t^2}=0$
该方程可以用来解释物理世界中一类现象——以光为例，它定义了光在空气中传播的方式。
其中，因为光传播速度固定，所以其特殊形式可以写为：
$∇^2u+\frac{1}{v}∂u∂t=0$
其中，V是光传播速度，仅当光传播速度v恒定时，狄拉克方程才可以得到特殊形式。
狄拉克方程在物理学中用于描述任何类型的自由波动，包括电磁波、声音波、光波等。
它可以用来描述电磁的相互耦合作用，它在预测和理解绝缘体中的电场波动方面有着重要的意义。
它还可以用来解析电动势，以及解释电流和电场的变化。
同时，狄拉克方程也有着广泛的应用。
它可以用来描述乐器的声音传播，描述潮流流动，描述晚着和早着的图案，还可以用来计算声反射和衰减率等。
由于它的简洁性和精确性，狄拉克方程可以用来作为传热领域中有效传热参数研究的基础。
总之，狄拉克方程是物理学界众多工具中最重要的一员，在解释物理现象，研究电磁场和传热领域中有重要意义。
狄拉克方程
狄拉克方程1928年英国物理学家狄拉克（Paul Adrien MauriceDirac）提出了一个电子运动的相对论性量子力学方程，即狄拉克方程。
利用这个方程研究氢原子能级分布时，考虑有自旋角动量的电子作高速运动时的相对论性效应，给出了氢原子能级的精细结构，与实验符合得很好。
从这个方程还可自动导出电子的自旋量子数应为1/2，以及电子自旋磁矩与自旋角动量之比的朗德g因子为轨道角动量情形时朗德g因子的2倍。
电子的这些性质都是过去从分析实验结果中总结出来的，并没有理论的来源和解释。
狄拉克方程却自动地导出这些重要基本性质，是理论上的重大进展。
1概念自然单位制下的狄拉克方程为了避免克莱因－高顿方程中概率不守恒的问题，狄拉克在假设方程关于时间与空间的微分呈一次关系后得出了有名的狄拉克方程。
但该方程仍无法避免得出负能量解的问题。
2应用既然实验已充分验证了狄拉克方程的正确，人们自然期望利用狄拉克方程预言新的物理现象。
按照狄拉克方程给出的结果，电子除了有能量取正值的状态外，还有能量取负值的状态，并且所有正能状态和负能状态的分布对能量为零的点是完全对称的。
自由电子最低的正能态是一个静止电子的状态，其能量值是一个电子的静止能量，其他的正能态的能量比一个电子的静止能量要高，并且可以连续地增加到无穷。
与此同时，自由电子最高的负能态的能量值是一个电子静止能量的负值，其他的负能态的能量比这个能量要低，并且可以连续地降低到负无穷。
这个结果表明：如果有一个电子处于某个正能状态，则任意小的外来扰动都有可能促使它跳到某个负能状态而释放出能量。
同时由于负能状态的分布包含延伸到负无穷的连续谱，这个释放能量的跃迁过程可以一直持续不断地继续下去，这样任何一个电子都可以不断地释放能量，成为永动机，这在物理上显然是完全不合理的。
3空穴理论针对这个矛盾，1930年狄拉克提出一个理论，被称为空穴理论。
最多只能容纳一个电子，物理上的真空状态实际上是所有负能态都已填满电子，同时正能态中没有电子的状态。
狄拉克函数
狄拉克函数1. 引言狄拉克函数（Dirac Delta function）由英国物理学家保罗·狄拉克（Paul Dirac）在20世纪初提出。
狄拉克函数是一种特殊的分布函数，具有极其奇特的性质，常常用来描述粒子或波的位置、质量、速度等特征。
狄拉克函数在物理学、工程学、数学等领域中有着广泛的应用，是一种非常重要的数学工具。
2. 定义与性质狄拉克函数可以通过多种方式定义，以下是其中一种常用的定义方式：定义 1：狄拉克函数是一种以0为中心，无限高、无限窄的脉冲函数，其函数形式可以表示为：\[ \delta(x-a) = \begin{cases} +\infty, & x = a \\ 0, & xeq a \end{cases} \]其中，a为常数。
根据定义可知，狄拉克函数在除了a以外的所有点上都等于零，而在a点上取无限大值。
由于狄拉克函数具有这种集中无穷大的特性，它被称为一个“广义函数”（generalized function），而非传统意义上的函数。
狄拉克函数有以下一些重要的性质：性质 1：归一性\[ \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x-a) \, dx = 1 \]即狄拉克函数在整个实数轴上的积分为1。
性质 2：积分性质对于任意的函数f(x)，有以下积分关系：\[ \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x-a) f(x) \, dx = f(a) \]这个性质表明，在狄拉克函数参与的积分运算中，狄拉克函数会起到“滤波”作用，将函数f(x)在x=a处的值提取出来。
性质 3：位移性质\[ \delta(x-a) = \delta(-x+a) \]这个性质表明，狄拉克函数关于中心点a具有对称性。
性质 4：缩放性质\[ \delta(bx) = \frac{1}{|b|} \delta(x) \]这个性质表明，狄拉克函数可以通过改变自变量的比例来调整脉冲的窄度。
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狄拉克方程
§15 电子的相对论运动方程
这里主要讨论符合相对论要求的单电子（自旋1/2） 的量子力学，并以粒子数守恒和低能的非相对论量子 力学为主。主要内容有：
1.建立狄拉克方程以及若干有关的概念，为进一步 学习全面的相对论理论打基础；
2.以单电子为研究对象，给出其哈密顿，求得狄拉 克方程的严格解。 在本章的处理中电磁场仍看作外场，并按照经典场 处理。
注意：c 是待定常数，不是光速！
为使（15.18）式得到满足，c可以是±i。
18
对于
因为
[i , j ] 2 i ijk k
[1 , 2 ] 21 2 2c 2 3 31 2c3
k 2
(15.20)
所以只要取 c i ，则找到了满足正确对易关系的自旋 算符：
(15 .13)
引进的四个新算符 满足以下关系
2 2 12 2 32 4 1 0, ( )
(15 .15)
15
i i i , (i 1,2,3) 4
(15 .13)
V E x ( x , i ct), p ( p, i ), A ( A, i ), ( 1,2,3,4) c c
13
将狄拉克方程写成如下形式
ˆ i qV c ( P qA) mc 2 0 t (15.12)
再定义 5 ： 5 1 2 3 4 i 1 2 3 代入
则有 为 矩阵。
5 5 0 ( 1,2,3,4)
(15.13)式
(15.16)
(15.17 )
称为 算符。由于常以矩阵的形式出现，又常之
既然 , 都是厄米算符，根据前面的定义， 算符 和 5 算符也是厄米的。此外由厄米性及式
是另外一个新的空间。 这样，电子的态函数 ( x, y, z, t ) 应是在单电子的函 数空间和这新的空间的直积空间中的矢量。下一节 我们会知道，这个新空间是和电子的自旋有关系的。 以后我们把 ( x, y, z, t ) 笼统地写成 ，以强调它不 是单纯的时空的标量函数，而是这种标量函数空间 和另一个空间的直积空间中的矢量。
于是狄拉克假设自由电子正确的相对论方程应取下 列形式：
2 i c x i c y i c z i mc ( x, y, z , t ) 0 t x y z
将此式与经典单粒子的动能与动量的关系式
2 1 ( E qV ) ( p qA) 2m
qV 与 E qV t
(15.2)
qAi与 xi
相比较，发现 p qA 相对应。 第一个相对论运动方程正是仿照这种对应方式而 得到的。 3
i
i i
相对应，而 i
﹟
12
三. 狄拉克方程的协变形式
概念：(1)罗仑兹变换
x vt , x' 2 2 1 v / c t vx / c 2 t' 1 v2 / c2 y ' y, z ' z
(2)协变 在洛仑兹变换下具有确定的变换性质。
为了展示方程的相对论不变性，常把方程写成协 变的形式。为此，令
2 2 12 2 32 4 1
可知四个 算符以及 , 都是幺正的。
﹟
16
§15.3 自旋算符 前面在建立Dirac方程的过程中引入了算符 , , ， 这就是说，在整体运动的位形Hilbert空间之外又发现 了一个新的空间，我们说过这个新空间与自旋有关。 一. 自旋算符的寻找 1. 从对易关系入手 设电子的自旋算符为S，它应满足角动量对易关系 和自旋算符的反对易关系。
既是时间和位置的一阶方程，其解 ( x, y, z, t )又满足克高方程。 上式就称为狄拉克方程。写成含时薛定谔方程形式为
ˆ i H t (15.7)
其中对于自由电子，有
ˆ ˆ c P mc 2 H
(15.8)10
对电磁场中的电子，有
若 A, V 不含时间，则狄拉克方程也有定态解
1
§15.2 克莱因-高登方程和狄拉克方程
在前面所介绍的量子力学的五个基本原理中， 只有原理4，即
微观系统的状态 | (t ) 随时间的变化规律是薛定 谔方程
i | (t ) H | (t ) t
不符合狭义相对论要求，因为其中的H是根据经典 非相对论分析力学写出来的. 现在任务是改写这个
的数，除了满足下式，
2 2 x y z2 2 1
i j j i 0 (i j ) i i 0
(15.6)
还应该是厄米的，以保证哈密顿算符的厄米性。
11
ˆ 由于哈密顿算符的构成单元 c ( P qA) 与单电子 2 ˆ 哈密顿算符的构成单元( P qA) / 2m 有很大差别，算 符 , 的作用空间显然不是单电子的函数空间，而
2 i t c (i) mc
从左边作用到（15.5）上，并与克-高方程（V=A=0）
2 (i ) ( x, y, z, t ) ( 2c 2 2 m 2c 4 ) ( x, y, z, t ) t
相比较，得待定常数应满足
根据相对论关系
( E qV ) 2 c 2 p 2 m2c 4
qV , t qAi xi
(15.3)
并考虑上述对应关系
E qV i pi qAi i
并对任意波函数发生作用，有
(i qV ) 2 ( x, y, z, t ) ( 2c 2 2 m 2c 4 ) ( x, y, z, t ) t
9
2 x2 y z2 2 1
i j j i 0 (i j ) i i 0 (i 1,2,3 or x, y, z )
(15.6)
（具体过程看曾谨言《量子力学》卷II p349）
在此情况下, 式
i c (i) mc 2 ( x, y, z, t ) 0 t
（2）从这一方程可以导出一个连续性方程
j 0 t
其中
1 * * 2m t t 1 j * ( )* 2m
6
1 j [ * ( * ) ] 2m
而上述流密度表达式与非相对论的表达式
5
总之，克-高方程无法纳入现有量子力学的框架，而 且至少对于电子是不适用的。然而又不能简单地否定。 因为： （1）这个方程的非相对论极限v c正是薛定谔方程
2 1 i ( x, y, z, t ) i qA( R) qV ( R) ( x, y, z , t ) t 2m
定义4D形式的动量算符为
ˆ i P x
并且定义四个新的算符
（这些算符在后面的推导中非常重要）
i i i , (i 1,2,3) 4
(15 .13)
用 左乘（15.12）式，利用
c ic P qA c ˆ ˆ i qV 4 ( E qV ) 4 P4 q A4 4 4 4 i t i
ˆ ˆ H c ( P qA) qV mc 2
i Et
(15.9)
( x, y, z, t ) ( x, y, z)e
而 ( x, y, z) 满足
ˆ H ( x, y, z ) E ( x, y, z ) (15.10) 从（15.9）式可以看出， , 显然不可能是普通
原理中的运动方程，使之符合相对论的要求。
2
一.克莱因-高登方程的推导
按照相对论的时空对等性要求和方程在洛伦兹变换 下的不变性要求，我们在坐标表象下讨论这个问题。 在坐标表象下，外场下单粒子的薛定谔方程为
2 1 i ( x, y, z, t ) i qA( R) qV ( R) ( x, y, z, t ) (15.1) t 2m
1 i S , i ijk j k 2 2 jk
(15.4)
这个方程称为克莱因-高登方程。 在克莱因-高登方程提出后立即发现其有许多问题： (1) * 不是正定的,无法解释为粒子的位置概率；
* (令 f ( x) ,若对任意 x, f ( x) 0, 则 f (x) 为正定)
4
(2)总能量有负的本征值，而且没有下限，这将造成 严重的困难。因为在量子理论中存在自发跃迁的 概念，因而这个方程的所有定态解将不断自发辐 射到 的能级； (3)这是一个对时间的二阶方程，解此方程时除了需 要初始时刻的 外, 还需要 / t 作为初始条件； (4)用此方程计算H原子能级与实验值符合得不好； (5)这一方程除了V=0的自由形式外，无法纳入量子 力学已有的体系之中，即无法写成含时薛定谔方 程的形式。
1 令 S ，则 的三个分量应满足 2 i2 1, i 1,2,3
i j j i 0, [ i , j ] 2i ijk k
k
i j
17
为了寻找满足这些关系的Σ （也称自旋算符）， 试用 , 来构造。 由前面所得结论可知，算符 i 满足
或简写成
8
i c (i) mc 2 ( x, y, z, t ) 0 t
(15.5)
式中 i (i x, y, z ) 和 是四个与时间和位置无关的待 定常量,c是光速。引人c的目的是保Байду номын сангаас , 无量纲。 为了使满足此方程的态函数仍能满足克-高方程，用