(人教版必修2) 第四章4.3.2
人教版高中数学必修2《四章 圆与方程 4.3空间直角坐标系 4.3.2 空间两点间的距离公式》公开课教案_14
4.3.1空间直角坐标系尊敬的各位老师：大家好！今天我说课的课题是《空间直角坐标系》第1课时。
我将以“先学后教”的思路，从教材分析、学情分析等五个方面来谈谈我对教材的理解。
一、教材分析：(一)地位和作用：《空间直角坐标系》是高中数学必修二第四章第三节内容。
本节是在学习完立体几何和直线与圆的方程后，又一重要的知识点，它是平面直角坐标系的进一步推广，是学生思维从二维到三维的过渡，与前面立体几何的内容前后呼应，更是后面运用空间向量解决立体几何问题的基础。
（二）三维目标分析1、知识目标：（1）掌握空间直角坐标系的有关概念，会由点的位置写出坐标，会由坐标描出点的位置。
（2）理解将空间问题转化为平面问题是解决空间问题的基本思想方法。
2、能力目标：培养学生类比，化归，探究的能力和空间想象能力。
3、德育目标：通过学习的过程，培养学生合作精神和勤于思考、勇于创新的意识，让每个学生都获得自己力所能及的数学知识，增强学生的自信心。
（三）教学的重点和难点：1、教学重点：（1）空间直角坐标系的有关概念；（2）由点的位置写出点的坐标；（3）由点的坐标描出点的位置2、教学难点：（1）空间直角坐标系产生的过程；（2）如何建立恰当的坐标系来确定点的位置二、学情分析：优点：高一学生求知欲望强烈。
而且第一章学习了立体几何，有了一定的空间思维能力和方法；第四章研究了直线与圆的有关问题，已有了坐标系的基础。
缺点：高一学生的思维仍然停留在二维平面上。
根据《教学大纲》的要求和学生已有的知识基础和认知能力，我确定了以下三维教学目标和教学重难点：基于上面的学生知识基础和认知能力以及教材的特点，我对我的教法及学生的学法做一个分析。
三、教法学法分析：1、教法分析：（1）情境设置法：激发学生学习欲望。
（2）启发式教学法：突出学生的主体地位。
（3）小组合作法：提高学生的实践能力。
2、学法分析：（1）课前预习，先学后教。
课前布置学生用木棍做一小长方体，课前给出问题（如：什么是空间直角运用新知 解决新情布置作业 能力迁移坐标系？如何用空间直角坐标系来表示空间中一个点的位置？……），学生带着问题去预习，在预习的过程中发现问题，激发学生的求知欲望。
4.3.2 等比数列的前n项和(1)(人教A版高中数学选择性必修第二册)(解析版)
课时同步练4.3.2 等比数列的前n 项和 （1）一、单选题1．等比数列的公比为2,且前四项之和等于1,则其前八项之和等于 （ ）A ．15B ．21C ．19D ．17【答案】D【详细解析】由已知得12341a a a a +++=, 则12345678a a a a a a a a +++++++()412341234a a a a a a a a q =+++++++41217=+=.故选D.2．若a ,4,3a 为等差数列的连续三项,则0129a a a a +++⋯+的值为 （ ）A ．2047B ．1062C ．1023D ．531【答案】C【详细解析】∵ a ,4,3a 为等差数列的连续三项 ∴a +3a =4a =2×4, 解得a =2,故0129a a a a +++⋯+=20+21+22+…+29=1012102312-=-．故选C ．3．已知等比数列｛a n ｝的公比q =12,且a 1+a 3+a 5+…+a 99=60,则a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 100等于 （ ） A ．100B ．90C ．60D ．40【答案】B【详细解析】∵1359960a a a a ++++=,∴2461001359911()603022a a a a a a a a ++++=++++=⨯=,∴1234100306090a a a a a +++++=+=.故选B.4．等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1,a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝2,S n ＝15,则项数n 为 （ ）A ．12B ．14C ．15D ．16【答案】D 【详细解析】56781234a a a a a a a a ++++++＝q 4＝2,由a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1, 得a 1(1＋q ＋q 2＋q 3)＝1,即a 1·411q q--＝1,∴a 1＝q －1,又S n ＝15,即()111na q q--＝15,∴q n ＝16, 又∵q 4＝2, ∴n ＝16. 故选D.5．在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于 （ ）A ．2nB ．3nC ．122n +-D ．31n -【答案】A【详细解析】设等比数列{}n a 的公比为q .因为数列{}1n a +也是等比数列,所以22213(1)(1)(1)210a a a q q +=++⇒-+=,解得:1q =,所以12n S na n ==. 故选A.6．若n S 是一个等比数列{}n a 的前n 项和,48n S =,2=60n S ,则3n S 等于 （ ）A ．183B ．108C ．75D ．63【答案】D【详细解析】由题意可知,n S 、2n n S S -、32n n S S -成等比数列,即48、12、360n S -成等比数列,所以,()23486012n S ⨯-=,解得363n S =,故选D.7．设47()222f n =++1031022()n n N +*+++∈,则()f n 等于 （ ） A ．()2817n- B ．()12817n +- C ．()32817n +- D ．()42817n +- 【答案】D【详细解析】数列04710312,22,,,,22n +是首项为2,公比为328=的等比数列,共有 （n +4）项,所以()()44731042182()222281187n n n f n +++-=++++==--.故选D8．已知一个等比数列的首项为2,公比为3,第m 项至第n 项 （m n <）的和为720,那么m 等于 （ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【详细解析】由题意可得S n ﹣S m ﹣1＝a m +a m +1+…+a n ＝720, ∵a 1＝2,q ＝3,由等比数列的求和公式可得,()()12132131313n m ----=--720,∴3n ﹣3m ﹣1＝720,∴3m ﹣1 （3n ﹣m +1﹣1）＝9×80＝32×5×24, 则3m ﹣1≠5×16, ∴3m ﹣1＝9, ∴m ＝3, 故选A9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n ＝a n －2(a 为常数且a ≠0),则数列{a n } （ ）A ．是等比数列B ．当a ≠1时是等比数列C ．从第二项起成等比数列D ．从第二项起成等比数列或等差数列【答案】D【详细解析】由数列{}n a 的前n 的和2nn S a =-,可得当1n =,得112a S a ==-; 当2n ≥,得11(1)n n n n a S S a a --=-=-,所以数列{}n a 的通项公式为12,1(1),2n n a n a a a n --=⎧=⎨-≥⎩,当10,2,(1),1n n a n a a a a -≠≥=-≠时等比数列,当1a =时,{}n a 是等差数列, 故选D ．10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,12a =,()121n n S S n N ++=-∈,则10a = （ ）A ．128B ．256C ．512D ．1024【答案】B【详细解析】∵S n +1＝2S n ﹣1 （n ∈N +）, n ≥2时,S n ＝2S n ﹣1﹣1,∴a n +1＝2a n ． n ＝1时,a 1+a 2＝2a 1﹣1,a 1＝2,a 2＝1．∴数列{a n }从第二项开始为等比数列,公比为2．则a 10822a =⨯=1×28＝256． 故选B ．11．在正项等比数列{}n a 中,512a =,673a a +=．则满足123123......n n a a a a a a a a ++++>的最大正整数n 的值为 （ ）A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】C【详细解析】∵正项等比数列{}n a 中,512a =,()26753a a a q q +=+=, ∴26q q +=. ∵0q >,解可得,2q =或3q =- （舍）, ∴1132a =, ∵()1231122132 (1232)n nn a a a a --++++==-,∴()1221123232n n n n -->⨯.整理可得,()1152n n n ⎛⎫>-- ⎪⎝⎭, ∴112n <≤,经检验12n =满足题意, 故选C ．12．已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和,若存在*m N ∈,满足228m m S S =,22212m m a m a m +=-,则数列{}n a 的公比为 （ ） A ．12 B ．13C ．2D ．3【答案】D【详细解析】设等比数列公比为q 当1q =时,2228mmS S =≠,不符合题意, 当1q ≠时,()()21211128,12811m mm m m a q S q q S q a q--=∴⋅=+=--, 得27m q =,又2221221,22m m m a m m q a m m ++=∴=--, 由221272m m +=-,得3m =,327,3q q ∴=∴=,故选D.二、填空题13．若数列{}n a 中,13a =,且13n n a a +=,则其前n 项和n S =______.【答案】()3312n- 【详细解析】依题意,13n na a +=,所以数列{}n a 是以3为首项,3为公比的等比数列,则3(13)3(31)132nn n S -==--.故填()3312n-. 14．若等比数列{}n a 的通项公式是()42nn a n -*=∈N ,这个数列的前5项之和为______.【答案】312【详细解析】由题意可得41128a -==,且公比为()4111421222n n n n a q a -+-+-====,因此,该数列的前5项和为()551181131211212a q q ⎛⎫⨯- ⎪-⎝⎭==--, 故填312. 15．等比数列{}n a 为非常数数列,其前n 项和是n S ,当333S a =时,则公比q 的值为_____．【答案】12-【详细解析】333S a =,则2211113a a q a q a q ++=,10a ≠,则2210q q --=,解得12q =-或1q = （舍去）. 故填12-. 16．已知数列{}n a 的前n 项和为233nn S =-,则通项公式为_________． 【答案】17(1),323(2)n n n a n -⎧-=⎪=⎨⎪-⋅⎩ 【详细解析】已知数列{}n a 的前n 项和为233nn S =-, 当1n =时,11123373a S ==-=-, 当2n ≥时,11122333332n n n n n n S S a ---=--⎛⎫⎛⎫=-=-⋅⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,而173a =-,不适合上式, 所以17(1),323(2)n n n a n -⎧-=⎪=⎨⎪-⋅⎩ 故填17(1),323(2)n n n a n -⎧-=⎪=⎨⎪-⋅⎩17．设S n 是等比数列{}n a 的前n 项和,若510S S ＝13,则20105S S S +＝________.【答案】118【详细解析】设等比数列{}n a 的公比为q ,因为()()()()()()()51055201010111151021111111,11111,1a q a q a q q a q a q q qqqqS SSq---+--+====---=--,所以()()51010201051,1S S q SS q =+=+)．由510S S ＝13,得05511113S S q ==+,解得5102,4q q ==,所以105201053,515S S S S S ===,从而1020518S S S +=,所以0552051S S 1S S 18S 18==+,故填118. 18．已知数列{}n a 的首项135a =,1321nn n a a a +=+,*n N ∈,记12111n nS a a a =+++,若100k S <,则正整数k 的最大值为__________.【答案】99【详细解析】因为1321n n n a a a +=+,所以112133n n a a +=+,设11113n n k k a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭, 得111233n n k a a +=-,与112133n n a a +=+比较得2233k -=,1k ∴=-.所以1111113n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭, 又112103a -=≠,所以()*110n n N a -≠∈,所以数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列,所以1121133n n a -⎛⎫-=⨯ ⎪⎝⎭,所以11213nn a ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭,所以1212111111111332211333313n n n nn S n n n a a a +-⎛⎫=+++=++++=+⨯=+- ⎪⎝⎭-, 若100k S <,则111003k k +-<,所以max 99k =,故正整数k 的最大值为99, 故填99.三、解答题19．已知等差数列{}n a 不是常数列,其前四项和为10,且2a 、3a 、7a 成等比数列.（1）求通项公式n a ;（2）设2n an b =,求数列{}n b 的前n 项和n S .【详细解析】设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差d ,1234232710a a a a a a a +++=⎧⎨=⎩ ()()()12111461026a d a d a d a d +=⎧⎪⇒⎨+=++⎪⎩ 解得:12,3a d =-=()21335n a n n ∴=-+-⨯=- ;（2）352n n b -= ,3231352282n n n n b b -+-=== ,114b = {}n b ∴是公比为8,首项为14的等比数列,()1188141828n n n S ⨯--∴==- .20．等比数列{a n }中,a 1=1,a 5=4a 3．（1）求{a n }的通项公式;（2）记S n 为{a n }的前n 项和．若S m =63,求m ．【详细解析】 （1）设{}n a 的公比为q,由题有:1421114a a q a q =⎧⎨=⎩解得: 0()22q q q ===-舍去或或 故()1122n n n n a a --=-=或（2）若()12n n a -=-,则()123nns --=,由63m s =得()2188m-=-,此方程没有正整数解;若12n n a -=,则21n n s =-,由63m s =得,264m =,6m ∴=综上:6m =21．记n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知12n n S a +=.（1）求{}n a 的通项公式;（2）求使得22020n n a S >+的n 的取值范围. 【详细解析】 （1）由题知,12n n S a +=①, 当1n =时,11a =当2n ≥时,1112n n S a --+=② ①减②得,12n n a a -=,故{}n a 是以1为首项,2为公比的等比数列, 所以12n na（2）由 （1）知,2122n n a -=,21nn S =-22020n n a S >+即210221202n n --+> 等价于()2224038nn->易得()222nn-随n 的增大而增大而6n =,()2224038nn-<,7n =,()2224038n n ->故7n ≥,n N ∈22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,13a =,且对任意的正整数n ,都有113n n n S S λ++=+,其中常数0λ>．设3nn n a b =()n N *∈﹒ （1）若3λ=,求数列{}n b 的通项公式; （2）若1λ≠且3λ≠,设233n n n c a λ=+⨯-()n N *∈,证明数列{}n c 是等比数列; （3）若对任意的正整数n ,都有3n b ≤,求实数λ的取值范围．【详细解析】∵113n n n S S λ++=+,n N *∈, ∴当2n ≥时,-13nn n S S λ=+,从而123nn n a a λ+=+⋅,2n ≥,n N *∈﹒又在113n n n S S λ++=+中,令1n =,可得12123a a λ=+⋅,满足上式, 所以123nn n a a λ+=+⋅,n N *∈﹒（1）当3λ=时,1323nn n a a +=+⋅,n N *∈,从而112333n n n na a ++=+,即123n n b b +-=, 又11b =,所以数列{}n b 是首项为1,公差为23的等差数列, 所以213n n b +=． （2）当0λ>且3λ≠且1λ≠时,1122323333n n n n n n c a a λλλ--=+⨯=+⨯+⨯-- 11111223(33)(3)33n n n n n a a c λλλλλλ-----=+⨯-+=+⨯=⋅--,又163(1)3033c λλλ-=+=≠--,所以{}n c 是首项为3(1)3λλ--,公比为λ的等比数列,13(1)3n n c λλλ--=⋅-﹒ （3）在 （2）中,若1λ=,则0n c =也适合,所以当3λ≠时,13(1)3n n c λλλ--=⋅-． 从而由 （1）和 （2）可知11(21)33{3(1)23333n n n n n a λλλλλλ--+⨯==-⋅-⨯≠--，，，． 当3λ=时,213n n b +=,显然不满足条件,故3λ≠． 当3λ≠时,112()333n n b λλλλ--=⨯---． 若3λ>时,103λλ->-,1n n b b +<,n N *∈,[1,)n b ∈+∞,不符合,舍去． 若01λ<<时,103λλ->-,203λ->-,1n n b b +>,n N *∈,且0n b >． 所以只须11133a b ==≤即可,显然成立．故01λ<<符合条件; 若1λ=时,1n b =,满足条件．故1λ=符合条件; 若13λ<<时,103λλ-<-,203λ->-,从而1n n b b +<,n N *∈, 因为110b =>．故2[1)3n b λ∈--，, 要使3n b ≤成立,只须233λ-≤-即可． 于是713λ<≤． 综上所述,所求实数λ的范围是7(0]3，．。
4.3.2 等比数列的性质(课件)高二数学课件(人教A版2019选择性必修第二册)
aman a q
2
1
m n2
as a1q s 1
2 s t 2
at a1q t 1 as at a1 q
am an as at
等比数列常用的性质
等比数列的性质
设等比数列 an , 公比为 q.
在等比数列{an}中，由 p+q=s+t
ap.aq=as.at
特别地：①若p+q=2t，则ap.aq=(at)2
(1)由题意，得
a4＋a6＝5，
a4＝2，
解得
a6＝3
a4＝3，
或
a6＝2，
a6
3 a6
2
2
2
∴a ＝q ＝2或a ＝q ＝3.
4
4
a9
又a ＝q2，且 q>1，
7
a9
3
∴a 的值为2.
7
(4)∵{an}成等比数列，
a6a7a8 24
∴a3·
a4·
a5，a6·
a7·
a8，a9·
考点三：等比数列的应用
练习 已知{an}为等差数列，且 a1＋a3＝8，a2＋a4＝12.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记{an}的前 n 项和为 Sn, 若 a1，ak，Sk＋2 成等比数列，求正整数 k 的值。
解析：(1)设数列{an}的公差为 d，
2a1＋2d＝8，
由题意知
2a1＋4d＝12，
(2)利用等比数列的性质判断
.
n －1
q n＝1，∴1＝32×
4
3
又∵a
2
，解得
n＝6.
3 1
a7
3
3
高中数学第四章圆与方程4.3.1空间直角坐标系4.3.2空间两点间的距离公式学案含解析新人教A版必修2
4.3.1 空间直角坐标系4.3.2 空间两点间的距离公式知识导图学法指导1.结合长方体、正棱锥等常见几何体，把握建系的方法，并能写出空间中的点在坐标系中的坐标．2．类比平面上两点间的距离，熟记空间两点间的距离公式．3．体会利用空间直角坐标系解决问题的步骤．高考导航1.空间直角坐标系的应用很少单独命题，一般是在解答题中应用建立空间直角坐标系的方法求解，分值为2～3分．2．通过建立空间直角坐标系，计算两点间的距离公式或确定点的坐标，是常考知识点，常与后面将要学习的立体几何等知识相结合，分值为4～6分.知识点一空间直角坐标系的建立及坐标表示1．空间直角坐标系(1)空间直角坐标系及相关概念①空间直角坐标系：从空间某一定点O引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x 轴、y轴、z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.②相关概念：点O叫作坐标原点，x轴、y轴、z轴叫作坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面．(2)右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．2．空间一点的坐标空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫作点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)，其中x叫作点M的横坐标，y叫作点M的纵坐标，z叫作点M的竖坐标．空间直角坐标系的画法(1)x 轴与y 轴成135 °(或45 °)，x 轴与z 轴成135 °(或45 °)．(2)y 轴垂直于z 轴，y 轴和z 轴的单位长相等，x 轴上的单位长则等于y 轴单位长的12.知识点二 空间两点间的距离公式1．空间中任意一点P (x ，y ，z )与原点之间的距离|OP |＝x 2＋y 2＋z 2； 2．空间中任意两点P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)之间的距离 |P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12＋z 2－z 12.1.空间两点间的距离公式可以类比平面上两点间的距离公式，只是增加了对应的竖坐标的运算．2．空间中点坐标公式：设A(x 1，y 1，z 1)，B(x 2，y 2，z 2)，则AB 中点P(x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22).[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空间直角坐标系中，在x 轴上的点的坐标一定是(0，b ，c )的形式．( ) (2)空间直角坐标系中，在xOz 平面内的点的坐标一定是(a,0，c )的形式．( ) (3)空间直角坐标系中，点(1，3，2)关于yOz 平面的对称点为(－1，3，2)．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√2．在空间直角坐标系中，下列各点中位于yOz 平面内的是( ) A ．(3,2,1) B ．(2,0,0) C ．(5,0,2) D ．(0，－1，－3)解析：位于yOz 平面内的点，其x 坐标为0，其余坐标任意，故(0，－1，－3)在yOz 平面内．答案：D3．点(2,0,3)在空间直角坐标系中的( ) A ．y 轴上 B ．xOy 平面上 C ．zOx 平面上 D ．第一象限内解析：点(2,0,3)的纵坐标为0，所以该点在zOx 平面上． 答案：C4．若已知点A(1,1,1)，B(－3，－3，－3)，则线段AB的长为( )A．4 3 B．2 3C．4 2 D．3 2解析：|AB|＝－3－2＋－3－2＋－3－2＝4 3.答案：A类型一空间中点的坐标的确定例1 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AD|＝3，|AB|＝5，|AA1|＝4，建立适当的直角坐标系，写出此长方体各顶点的坐标．【解析】如图，以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz.因为长方体的棱长|AD|＝|BC|＝3，|DC|＝|AB|＝5，|DD1|＝|AA1|＝4，显然D(0,0,0)，A在x轴上，所以A(3,0,0)；C在y轴上，所以C(0,5,0)；D1在z轴上，所以D1(0,0,4)；B在xOy平面内，所以B(3,5,0)；A1在xOz平面内，所以A1(3,0,4)；C1在yOz平面内，所以C1(0,5,4)．由B1在xOy平面内的射影为B(3,5,0)，所以B1的横坐标为3，纵坐标为5，因为B1在z轴上的射影为D1(0,0,4)，所以B1的竖坐标为4，所以B1(3,5,4).(1)建立适当的空间直角坐标系．(2)利用线段长度结合符号写出各点坐标．要注意与坐标轴正向相反的坐标为负．方法归纳(1)建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上．(2)对于长方体或正方体，一般取相邻的三条棱为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系；确定点的坐标时，最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度，即将坐标转化为与轴平行的线段长度，同时要注意坐标的符号，这也是求空间点的坐标的关键．跟踪训练1 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，所有的棱长都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标．解析：如图所示，取AC 的中点O 和A 1C 1的中点O 1，连接BO ，OO 1，可得BO ⊥AC ，OO 1⊥AC ，OO 1⊥BO ，分别以OB ，OC ，OO 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．∵三棱柱各棱长均为1，∴OA ＝OC ＝O 1C 1＝O 1A 1＝12，OB ＝32，∵点A ，B ，C 均在坐标轴上，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0.∵点A 1，C 1在yOz 平面内，∴A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，1，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1. ∵点B 1在xOy 平面内的射影为点B ，且BB 1＝1， ∴B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，1，∴各点的坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C ⎝⎛⎭⎪⎫0，12，0，A 1⎝⎛⎭⎪⎫0，－12，1，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，1，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1.建立空间直角坐标系，求出有关线段的长，再写出各点的坐标． 类型二 空间直角坐标系中的点的对称点例2 在空间直角坐标系中，点P (－2,1,4)关于x 轴对称的点P 1的坐标是________；关于xOy 平面对称的点P 2的坐标是________；关于点A (1,0,2)对称的点P 3的坐标是________．【解析】 点P 关于x 轴对称后，它的横坐标不变，纵坐标和竖坐标均变为原来的相反数，所以点P 关于x 轴的对称点P 1的坐标为(－2，－1，－4)．点P 关于xOy 平面对称后，它的横坐标和纵坐标均不变，竖坐标变为原来的相反数，所以点P 关于xOy 平面的对称点P 2的坐标为(－2,1，－4)．设点P 关于点A 的对称点的坐标为P 3(x ，y ，z )，由中点坐标公式可得⎩⎪⎨⎪⎧－2＋x2＝1，1＋y2＝0，4＋z 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－1，z ＝0.故点P 关于点A (1,0,2)对称的点P 3的坐标为(4，－1,0)．【答案】 (－2，－1，－4) (－2,1，－4) (4，－1,0)利用对称规律解决关于坐标轴、坐标平面的对称问题，利用中点坐标公式解决点关于点的对称问题．方法归纳在空间直角坐标系内，已知点P(x，y，z)，则有：①点P关于原点的对称点是P1(－x，－y，－z)②点P关于横轴(x轴)的对称点是P2(x，－y，－z)③点P关于纵轴(y轴)的对称点是P3(－x，y，－z)④点P关于竖轴(z轴)的对称点是P4(－x，－y，z)⑤点P关于xOy坐标平面的对称点是P5(x，y，－z)⑥点P关于yOz坐标平面的对称点是P6(－x，y，z)⑦点P关于xOz坐标平面的对称点是P7(x，－y，z)．跟踪训练2 已知M(2,1,3)，求M关于原点对称的点M1，M关于xOy平面对称的点M2，M 关于x轴、y轴对称的点M3，M4.解析：由于点M与M1关于原点对称，所以M1(－2，－1，－3)；点M与M2关于xOy平面对称，横坐标与纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，所以M2(2,1，－3)；M与M3关于x 轴对称，则M3的横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为原来的相反数，即M3(2，－1，－3)，同理M4(－2,1，－3).方法归纳求对称点的坐标问题一般依据“关于谁对称谁不变，其余均改变”来解决．如关于横轴(x轴)的对称点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于xOy 坐标平面的对称点，横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数．要特别注意：点关于点的对称要用中点坐标公式解决．类型三空间两点间的距离,,例3 如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，M为BD′的中点，点N在A′C′上，且|A′N|＝3|NC′|，试求|MN|的长．【解析】由题意应先建立坐标系，以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系．因为正方体棱长为a，所以B(a，a,0)，A′(a,0，a)，C′(0，a，a)，D′(0,0，a)．由于M为BD′的中点，取A′C′的中点O′，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2，O ′⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a2，a . 因为|A ′N |＝3|NC ′|，所以N 为A ′C ′的四等分点，从而N 为O ′C ′的中点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，34a ，a .根据空间两点间的距离公式，可得 |MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－3a 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 2＝64a .建立空间直角坐标系，先确定相关点的坐标，然后根据两点间的距离公式求解． 方法归纳求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标．确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定．跟踪训练3 求A (0,1,3)，B (2,0,1)两点之间的距离． 解析：|AB |＝－2＋－2＋－2＝3.解答本题可直接利用空间两点间的距离公式.[基础巩固](20分钟，40分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．点M (0,3,0)在空间直角坐标系中的位置是在( ) A ．x 轴上 B ．y 轴上 C ．z 轴上 D ．xOz 平面上解析：因为点M (0,3,0)的横坐标、竖坐标均为0，纵坐标不为0，所以点M 在y 轴上． 答案：B2．点P (1,4，－3)与点Q (3，－2,5)的中点坐标是( ) A ．(4,2,2) B ．(2，－1,2) C ．(2,1,1) D ．(4，－1,2)解析：设点P 与点Q 的中点坐标为(x ，y ，z )，则x ＝1＋32＝2，y ＝4－22＝1，z ＝－3＋52＝1.答案：C3．在空间直角坐标系中，已知点P(1，2，3)，过P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为( )A．(0，2，0) B．(0，2，3)C．(1,0，3) D．(1，2，0)解析：根据空间直角坐标系的概念知，yOz平面上点Q的x坐标为0，y坐标、z坐标与点P的y坐标2，z坐标3分别相等，∴Q(0，2，3)．答案：B4．已知M(4,3，－1)，记M到x轴的距离为a，M到y轴的距离为b，M到z轴的距离为c，则( )A．a>b>c B．c>b>aC．c>a>b D．b>c>a解析：借助长方体来思考，a、b、c分别是三条面对角线的长度．∴a＝10，b＝17，c＝5.答案：B5．已知A点坐标为(1,1,1)，B(3,3,3)，点P在x轴上，且|PA|＝|PB|，则P点坐标为( )A．(0,0,6) B．(6,0,1)C．(6,0,0) D．(0,6,0)解析：设P(x,0,0)，|PA|＝x－2＋1＋1，|PB|＝x－2＋9＋9，由|PA|＝|PB|，得x＝6.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知A1(a,0，c)，C(0，b,0)，则点B1的坐标为________．解析：由题中图可知，点B1的横坐标和竖坐标与点A1的横坐标和竖坐标相同，点B1的纵坐标与点C的纵坐标相同，所以点B1的坐标为(a，b，c)．答案：(a，b，c)7．在空间直角坐标系中，点(4，－1,2)关于原点的对称点的坐标是________．解析：空间直角坐标系中关于原点对称的点的坐标互为相反数，故点(4，－1,2)关于原点的对称点的坐标是(－4,1，－2)．答案：(－4,1，－2)8．点P (－1,2,0)与点Q (2，－1,0)的距离为________． 解析：∵P (－1,2,0)，Q (2，－1,0)， ∴|PQ |＝－1－2＋[2－－2＋02＝3 2.答案：3 2三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，|AB |＝|AC |＝|AA 1|＝4，M 为BC 1的中点，N 为A 1B 1的中点，求|MN |.解析：如右图，以A 为原点，射线AB ，AC ，AA 1分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系，则B (4,0,0)，C 1(0,4,4)，A 1(0,0,4)，B 1(4,0,4)，因为M 为BC 1的中点，N 为A 1B 1的中点，所以由空间直角坐标系的中点坐标公式得M (4＋02，0＋42，0＋42)，N (0＋42，0＋02，4＋42)，即M (2,2,2)，N (2,0,4)．所以由两点间的距离公式得 |MN |＝－2＋－2＋－2＝2 2.10．已知点P (2,3，－1)，求：(1)点P 关于各坐标平面对称的点的坐标； (2)点P 关于各坐标轴对称的点的坐标； (3)点P 关于坐标原点对称的点的坐标．解析：(1)设点P 关于xOy 坐标平面的对称点为P ′，则点P ′的横坐标、纵坐标与点P 的横坐标、纵坐标相同，点P ′的竖坐标与点P 的竖坐标互为相反数．所以点P 关于xOy 坐标平面的对称点P ′的坐标为(2,3,1)．同理，点P 关于yOz ，xOz 坐标平面的对称点的坐标分别为(－2,3，－1)，(2，－3，－1)．(2)设点P 关于x 轴的对称点为Q ，则点Q 的横坐标与点P 的横坐标相同，点Q 的纵坐标、竖坐标与点P 的纵坐标、竖坐标互为相反数．所以点P 关于x 轴的对称点Q 的坐标为(2，－3,1)．同理，点P 关于y 轴，z 轴的对称点的坐标分别为(－2,3,1)，(－2，－3，－1)． (3)点P (2,3，－1)关于坐标原点对称的点的坐标为(－2，－3,1)．[能力提升](20分钟，40分)11．在空间直角坐标系中，点M 的坐标是(4,7,6)，则点M 关于y 轴对称的点在xOz 平面上的射影的坐标为( )A ．(4,0,6)B ．(－4,7，－6)C ．(－4,0，－6)D ．(－4,7,0)解析：点M 关于y 轴对称的点是M ′(－4,7，－6)，点M ′在xOz 平面上的射影的坐标为(－4,0，－6)．答案：C12．已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，52，z 到线段AB 中点的距离为3，其中A (3,5，－7)，B (－2,4,3)，则z ＝________.解析：由中点坐标公式，得线段AB 中点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，92，－2.又点P 到线段AB 中点的距离为3，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫32－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52－922＋[z －－2＝3，解得z ＝0或z ＝－4. 答案：0或－413．如图，已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对称中心在坐标原点，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A (－2，－3，－1)，求其他七个顶点的坐标．解析：由题意，得点B 与点A 关于xOz 平面对称， 故点B 的坐标为(－2,3，－1)；点D 与点A 关于yOz 平面对称，故点D 的坐标为(2，－3，－1)； 点C 与点A 关于z 轴对称，故点C 的坐标为(2,3，－1)； 由于点A 1，B 1，C 1，D 1分别与点A ，B ，C ，D 关于xOy 平面对称，故点A 1，B 1，C 1，D 1的坐标分别为A 1(－2，－3,1)，B 1(－2,3,1)，C 1(2,3,1)，D 1(2，－3,1)．14．已知点M (3,2,1)，N (1,0,5)，求： (1)线段MN 的长度；(2)到M ，N 两点的距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标满足的条件． 解析：(1)根据空间两点间的距离公式得 |MN |＝－2＋－2＋－2＝26，所以线段MN 的长度为2 6.(2)因为点P (x ，y ，z )到M ，N 两点的距离相等，所以x －2＋y －2＋z －2＝x －2＋y －2＋z －2，化简得x ＋y －2z ＋3＝0，因此，到M，N两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件是x＋y－2z＋3＝0.。
人教版高中数学选择性必修第二册4.3.2-专题1 数列通项的求法
【 讲 评 】 已 知 an ＋ 1 ＝ g(n)·an ， 通 常 利 用 an ＝ aan－n 1·aann－－12·…·aa21·a1，求出通项 an.
探究 2 累乘法就是利用以下变形来求通项 an 的方法，an＝ a1·aa12·aa32·…·aan－n 1.
例如，在等比数列{an}中，由于aa12＝aa32＝aa43＝…＝aan－n 1＝q，所 以对 n≥2 且 n∈N*，有 an＝a1·aa21·aa32·…·aan－n1＝a1·q·q·…·q ＝a1qn－1，把 n＝1 代入上式也成立，故 an＝a1qn－1(n∈N*)．
(1)设 bn＝an＋1－2an(n∈N*)，求证：{bn}是等比数列； (2)设 cn＝2ann(n∈N*)，求证：{cn}是等差数列； (3)求数列{an}的通项公式及前 n 项和公式．
【解析】 (1)证明：∵Sn＋1＝4an＋2，① ∴Sn＋2＝4an＋1＋2.② ②－①式，得 Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1－4an(n∈N*)，即 an＋2＝4an＋1 －4an. an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)． ∵bn＝an＋1－2an(n∈N*)，∴bn＋1＝2bn. 由此可知，数列{bn}是公比为 2 的等比数列． 由 S2＝a1＋a2＝4a1＋2，又 a1＝1，得 a2＝5. ∴b1＝a2－2a1＝3，∴bn＝3·2n－1.
专题研究一 数列通项的求法
专题讲解
题型一 累加法
例 1 在数列{an}中，已知 a1＝1，an＋1＝an＋2n，求 an. 【解析】 ∵a2－a1＝2×1，a3－a2＝2×2，…，an－an－1＝2×(n －1)(n≥2 且 n∈N*)， ∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) ＝1＋(2×1)＋(2×2)＋…＋[2×(n－1)] ＝1＋2(1＋2＋…＋n－1) ＝1＋2·（n－21）·n＝n2－n＋1(n≥2 且 n∈N*)，把 n＝1 代入上 式也成立，故 an＝n2－n＋1(n∈N*)．
高中数学选择性必修二(人教版)《4.3.2等比数列的前n项和》课件
(二)基本知能小试
1．已知等比数列的公比为 2，且前 5 项和为 1，那么前 10 项和等于 ( )
A．31
B.33
C．35
D.37
解析：根据等比数列性质得S10S－5 S5＝q5，
8
C.3
D.3
()
解析：法一：因为数列{an}是等比数列，所以 S6＝S3＋q3S3，S9＝S6 ＋q6S3＝S3＋q3S3＋q6S3，于是SS63＝1＋Sq33S3＝3，即 1＋q3＝3，所以 q3＝2.于是SS96＝1＋1＋q3＋q3q6＝1＋1＋2＋2 4＝73.
法二：由SS63＝3，得 S6＝3S3. 因为数列{an}是等比数列，且由题意知 q≠－1，所以 S3，S6－S3，S9 －S6 也成等比数列，所以(S6－S3)2＝S3(S9－S6)，解得 S9＝7S3，所以 SS96＝73. 答案：B
题型三 等比数列前 n 项和的实际应用 [学透用活]
[典例 3] 一个热气球在第 1 min 上升了 25 m 的高度，在以后的每 1 min 里，它上升的高度都是它在前 1 min 上升高度的 80%.这个热气球 上升的高度能达到 125 m 吗？
[解] 用 an 表示热气球在第 n min 上升的高度． 由题意，得 an＋1＝80%an＝45an. 因此，数列{an}是首项 a1＝25，公比 q＝45的等比数列. 热气球在 n min 里上升的总高度为
[答案] 70
[方法技巧] 解决有关等比数列前 n 项和的问题时，若能恰当地使用等比数列前 n 项和的相关性质，则可以避繁就简．不仅可以减少解题步骤，而且可 以使运算简便，同时还可以避免对公比 q 的讨论．
高二数学人教A版选择性必修第二册第四章4.3.2等比数列前n项和公式的应用-同步练习及解析答案
高中数学人教A 版（新教材）选择性必修第二册4.3.2第2课时 等比数列前n 项和公式的应用一、选择题1．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1，2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4等于( ) A ．7 B ．8 C ．15 D ．162．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( ) A ．152 B ．314 C ．334 D ．1723．设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为其前n 项和，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40等于( ) A ．150B ．－200C ．150或－200D ．4004．设数列{x n }满足log 2x n ＋1＝1＋log 2x n (n ∈N *)，且x 1＋x 2＋…＋x 10＝10 ，记{x n }的前n 项和为S n ，则S 20等于( ) A ．1 025B ．1 024C ．10 250D ．20 2405．已知公差d ≠0的等差数列{a n } 满足a 1＝1，且a 2，a 4－2，a 6成等比数列，若正整数m ，n 满足m －n ＝10，则a m －a n ＝( ) A ．30B ．20C ．10D ．5或406．(多选题)已知S n 是公比为q 的等比数列{a n }的前n 项和，若q ≠1，m ∈N *，则下列说法正确的是( ) A ．S 2m S m ＝a 2ma m ＋1B ．若S 6S 3＝9，则q ＝2C ．若S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1m －1，则m ＝3，q ＝2D ．若a 6a 3＝9，则q ＝37．在各项都为正数的数列{a n }中，首项a 1＝2，且点(a 2n ，a 2n －1)在直线x －9y ＝0上，则数列{a n }的前n 项和S n 等于( ) A ．3n－1 B ．1－(－3)n 2C ．1＋3n 2D ．3n 2＋n 2二、填空题8．在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)，且前n 项和为S n ＝3n ＋k ，则实数k ＝________. 9．等比数列{a n }共有2n 项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q ＝________. 10．设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和．已知S 1，S 2，S 4成等比数列，且a 3＝5，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________.11．等比数列{a n }的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为8532，偶数项之和为2116，则这个等比数列的公比q ＝________，又令该数列的前n 项的积为T n ，则T n 的最大值为________． 12．设数列1，(1＋2)，(1＋2＋22)，…，(1＋2＋22＋…＋2n －1)，…的第n 项为a n ，前n 项和为S n ，则a n ＝________，S n ＝________. 三、解答题13．一个项数为偶数的等比数列，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求该等比数列的通项公式．14．在等差数列{a n }中，a 2＝4，a 4＋a 7＝15. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n －2＋n ，求b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10的值．15．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *. (1)求通项公式a n ；(2)求数列{|a n －n －2|}的前n 项和．参考答案一、选择题 1．答案：C解析：由题意得4a 2＝4a 1＋a 3，∴4a 1q ＝4a 1＋a 1q 2， ∴q ＝2，∴S 4＝1·(1－24)1－2＝15.]2．答案：B解析：显然公比q ≠1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 3＝1，a 1(1－q 3)1－q＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝4，q ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，q ＝－13(舍去)，∴S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝4⎝⎛⎭⎫1－1251－12＝314.]解析：依题意，数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列， 因此有(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20)．即(S 20－10)2＝10(70－S 20)，解得S 20＝－20或S 20＝30， 又S 20＞0，因此S 20＝30，S 20－S 10＝20，S 30－S 20＝40， 故S 40－S 30＝80，S 40＝150.故选A. 4．答案：C解析：∵log 2x n ＋1＝1＋log 2x n ＝log 2(2x n )，∴x n ＋1＝2x n ，且x n >0， ∴{x n }为等比数列，且公比q ＝2，∴S 20＝S 10＋q 10S 10＝10＋210×10＝10 250，故选C.] 5．答案：A解析：设等差数列的公差为d ，因为a 2，a 4－2，a 6成等比数列，所以(a 4－2)2＝a 2·a 6， 即(a 1＋3d －2)2＝(a 1＋d )·(a 1＋5d )，即(3d －1)2＝(1＋d )·(1＋5d )，解得d ＝0或d ＝3，因为公差d ≠0，所以d ＝3，所以a m －a n ＝a 1＋(m －1)d －a 1－(n －1)d ＝(m －n )d ＝10d ＝30，故选A.] 6．答案：ABC解析：[∵q ≠1，∴S 2m S m ＝a 1(1－q 2m )1－q a 1(1－q m )1－q ＝1＋q m.而a 2m a m ＝a 1q 2m －1a 1qm －1＝q m ，∴A 正确；B 中，m ＝3，∴S 6S 3＝q 3＋1＝9，解得q ＝2.故B 正确；C 中，由S 2m S m ＝1＋q m ＝9，得q m ＝8.又a 2ma m ＝q m ＝8＝5m ＋1m －1，得m ＝3，q ＝2，∴C 正确；D 中，a 6a 3＝q 3＝9，∴q ＝39≠3，∴D 错误，故选ABC.]7．答案：A解析：由点(a 2n ，a 2n －1)在直线x －9y ＝0上，得a 2n －9a 2n －1＝0，即(a n ＋3a n －1)(a n －3a n －1)＝0，又数列{a n }各项均为正数，且a 1＝2，∴a n ＋3a n －1＞0，∴a n －3a n －1＝0，即a n a n －1＝3，∴数列{a n }是首项a 1＝2，公比q ＝3的等比数列，其前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2×(3n －1)3－1＝3n－1.]二、填空题解析：由a n ＋1＝ca n 知数列{a n }为等比数列．又∵S n ＝3n ＋k ， 由等比数列前n 项和的特点S n ＝Aq n －A 知k ＝－1.] 9.答案：2解析：设{a n }的公比为q ，则奇数项也构成等比数列，其公比为q 2，首项为a 1， S 2n ＝a 1(1－q 2n )1－q ，S 奇＝a 1[1－(q 2)n ]1－q 2.由题意得a 1(1－q 2n )1－q ＝3a 1(1－q 2n )1－q 2，∴1＋q ＝3，∴q ＝2.10．答案：2n －1解析：设等差数列{a n }的公差为d ，(d ≠0)， 则S 1＝5－2d ，S 2＝10－3d ，S 4＝20－2d ，因为S 22＝S 1·S 4，所以(10－3d )2＝(5－2d )(20－2d )，整理得5d 2－10d ＝0，∵d ≠0，∴d ＝2， a n ＝a 3＋(n －3)d ＝5＋2(n －3)＝2n －1.] 11．答案：122解析：设数列{a n }共有2m ＋1项，由题意得S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2m ＋1＝8532，S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 2m ＝2116，S 奇＝a 1＋a 2q ＋…＋a 2m q ＝2＋q (a 2＋a 4＋…＋a 2m )＝2＋2116q ＝8532， ∴q ＝12，∴T n ＝a 1·a 2·…·a n ＝a n 1q 1＋2＋…＋n －1＝232n －n 22，故当n ＝1或2时，T n取最大值，为2.] 12．答案：2n －1 2n ＋1－n －2 解析：因为a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝1－2n 1－2＝2n－1， 所以S n ＝(2＋22＋23＋…＋2n )－n ＝2(1－2n )1－2－n ＝2n ＋1－n －2. 三、解答题13．解：设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，全部奇数项、偶数项之和分别记为S 奇，S 偶， 由题意，知S 奇＋S 偶＝4S 偶，即S 奇＝3S 偶． ∵数列{a n }的项数为偶数，∴q ＝S 偶S 奇＝13.又a 1·a 1q ·a 1q 2＝64，∴a 31·q 3＝64，得a 1＝12.故所求通项公式为a n ＝12×⎝⎛⎭⎫13n －1.14．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝4，(a 1＋3d )＋(a 1＋6d )＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝1.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋2. (2)由(1)可得b n ＝2n ＋n ， 所以b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10) ＝2(1－210)1－2＋(1＋10)×102＝(211－2)＋55 ＝211＋53＝2 101.15．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＝4，a 2＝2a 1＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 2＝3.又当n ≥2时，由a n ＋1－a n ＝(2S n ＋1)－(2S n －1＋1)＝2a n ，得a n ＋1＝3a n ，故a n ＝3n －1(n ≥2，n ∈N *)，又当n ＝1时也满足a n ＝3n －1， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，n ∈N *. (2)设b n ＝|3n －1－n －2|，n ∈N *，b 1＝2，b 2＝1.当n ≥3时，由于3n －1＞n ＋2，故b n ＝3n －1－n －2，n ≥3. 设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 1＝2，T 2＝3.n ≥3时，T n ＝3＋9(1－3n －2)1－3－(n －2)(3＋n ＋4)2＝3n －n 2－5n ＋112.∴T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2， n ＝1，3， n ＝2，3n－n 2－5n ＋112，n ≥3.集合间的基本关系例1 确定整数x 、y ，使得{2,}{7,4}x x y +=.例2 例1 写出集合{,,}a b c 的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集.变式：写出集合{0,1,2}的所有真子集组成的集合. 例3 判断下列集合间的关系：（1）{|32}A x x =->与{|250}B x x =-≥；（2）设集合A ={0,1}，集合{|}B x x A =⊆，则A 与B 的关系如何？ 说明 判断两个集合之间的关系时，（1）若能用列举法表示出集合，则可根据各个集合的元素构成情况直接判断；（2）若不能用列举法表示集合，则可以根据（集或真子集的）定义进行判断.空集：不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作：∅. 并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.例4 已知集合{}2|(2)430,A x a x x x =-+-=∈R 有且仅有两个子集，求实数a 的取值范围，并写出集合A 的子集.说明 一般，若集合含有n 个元素，则共有2n 个子集（21n -个真子集），其中有一个是空集.例5 已知集合{}260P x x x =+-=∣，{10}Q x ax =+=∣.若Q P ⊆，求满足条件时实数a 的所有取值组成的集合.说明 解决此类问题的一般步骤有：第一步，化简集合，即尽可能地将给定的集合化简，这样我们就能搞清楚集合的元素是什么；第二步，根据子集或真子集的定义，分别写出子集或真子集（不要遗忘空集）； 第三步，根据子集或真子集的不同情况分别进行分类讨论.例5 已知集合{}510|<+<=ax x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-=221|x x B .（1）若A B ⊆，求a 的取值范围. （2）若B A ⊆，求a 的取值范围.（3）集合A 与集合B 能否相等？若能，求出a 的值；若不能，说明理由.例6 已知2{|0}A x x px q =++=，2{|320}B x x x =-+=且A B ⊆，求实数p 、q 所满足的条件学习检测1.用适当的符号填空：{1,}1-________{}2|10,x x x -=∈R ； {0}________{}2|10,x x x +=∈R .2.集合{1,2,3}的子集共有________个.3.写出集合{(2,1),(1,2)}--的所有子集：________________________.4.已知集合{1,3,}{3,4}A m B =-=，.若B A ⊆，则实数m =________.5.已知集合{|12}{|}A x x B x x a =<<=>，，B={x |x >a }.若A ⫋B ，则实数a 的取值范围是_____________.6.满足{}a ⫋{,,}M a b c ⊆的所有集合M 共有_________个.7.已知集合A B A C ⊆⊆，，且{0,1,2,3,4,5}B =，{}0,2,4,6,8C =，则满足条件的所有集合A 共有______.8.已知a 、b ∈R ，集合{1,,}A a b a =+，0,,bB b a⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.若A B =，则b a -的值是（ ） A.1； B.-1； C.2； D.-2.9.已知集合{}2230A y y y =--=∣，{}220B x x ax b =-+=∣（a 、b 均为实数）.若非空集合B A ⊆，则a b +的值是（ ）A.12或-2；B.-2或0；C.2或2或0；D.12或-2或010.若1,1x A A x∈∈-且,则称集合A 为“和谐集”.已知集合1122,1,,0,1,,,2,3,223M ⎧⎫=---⎨⎬⎩⎭，则集合M 的子集中，“和谐集”的个数为11.已知集合{}52|≤<-=x x A ，{}121|-<≤+=m x m x B ，且B A ⊆.求实数m 的取值范围并用集合表示.12.给定集合A 和B ，定义运算“⊗”：{|,,}A B x x m n m A n B ⊗==-∈∈.若{}4,5,6A =，{}1,2,3B =：（1）写出A B ⊗，并求集合A B ⊗中的所有元素之和；（2）写出集合A B ⊗的所有子集.13.已知集合}),12(51{Z k k x x M ∈+==，},5154{Z k k x x N ∈±==,则集合NM ,之间的关系为（ ）A N M ⊆ B M N ⊆ C N M = D N M ≠14、已知集合B A ⊆，},)412({Z k k x x B ∈+==π,},)214({Z k k x x C ∈+==π,那么集合A 与C 的关系为_____15、设集合{}240A x x x =+=，(){}222110B x x a x a =+++-=，A B ⊆求实数a的取值范围。
高中数学选择性必修二 4 3 2(第1课时)等比数列的前n项和 教案
4.3.2（第1课时）等比数列的前n项和教学设计
国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第一个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒……依次类推，每个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.
已知一千颗麦粒的质量约为40g，据查，2016——2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言.。
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4.3.2 空间两点间的距离公式
一、基础过关
1．若A (1,3,－2)、B (－2,3,2),则A 、B 两点间的距离为
( ) A.61 B ．25 C ．5 D.57 2．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,若D (0,0,0)、A (4,0,0)、B (4,2,0)、A 1(4,0,3),则对角线AC 1
的长为
( )
A ．9
B.29
C ．5
D ．2 6
3．已知点A (3,3,1),B (1,0,5),C (0,1,0),则AB 的中点M 到点C 的距离|CM |等于 ( )
A.534
B.532
C.532
D.132
4．到点A (－1,－1,－1),B (1,1,1)的距离相等的点C (x ,y ,z )的坐标满足 ( )
A ．x ＋y ＋z ＝－1
B ．x ＋y ＋z ＝0
C ．x ＋y ＋z ＝1
D ．x ＋y ＋z ＝4
5．若点P (x ,y ,z )到平面xOz 与到y 轴距离相等,则P 点坐标满足的关系式为____________．
6．已知P ⎝⎛⎭⎫
32，52，z 到直线AB 中点的距离为3,其中A (3,5,－7),B (－2,4,3),则z ＝________. 7．在yOz 平面上求与三个已知点A (3,1,2),B (4,－2,－2),C (0,5,1)等距离的点的坐标．
8. 如图所示,BC ＝4,原点O 是BC 的中点,点A 的坐标为(32,1
2,0),点D 在平面yOz 上,且∠BDC
＝90°,∠DCB ＝30°,求AD 的长度．
二、能力提升
9．已知A (2,1,1),B (1,1,2),C (2,0,1),则下列说法中正确的是
( )
A ．A 、
B 、
C 三点可以构成直角三角形 B ．A 、B 、C 三点可以构成锐角三角形 C ．A 、B 、C 三点可以构成钝角三角形
D ．A 、B 、C 三点不能构成任何三角形
10．已知A (x,5－x,2x －1),B (1,x ＋2,2－x ),当|AB |取最小值时,x 的值为
( )
A ．19
B ．－87 C.87 D.19
14
11．在空间直角坐标系中,已知点A (1,0,2),B (1,－3,1),点M 在y 轴上,且M 到A 与到B 的距离
相等,则M 的坐标是________．
12. 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,|AB |＝|AD |＝3,|AA 1|＝2,点M 在A 1C 1上,|MC 1|＝2|A 1M |,N 在
D 1C 上且为D 1C 的中点,求M 、N 两点间的距离．
三、探究与拓展
13．在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M,使它到点N(6,5,1)的距离最小．
答案
1．C 2.B 3.B 4．B
5．x 2＋z 2－y 2＝0 6.0或－4
7．解 设P (0,y ,z ),由题意⎩
⎪⎨⎪
⎧
|P A |＝|PC ||PB |＝|PC |
所以⎩
⎨⎧
(0－3)2＋(y －1)2＋(z －2)2＝(0－0)2＋(y －5)2＋(z －1)2(0－4)2
＋(y ＋2)2
＋(z ＋2)2
＝(0－0)2＋(y －5)2＋(z －1)2
即⎩⎪⎨⎪⎧ 4y －z －6＝07y ＋3z －1＝0,所以⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝1z ＝－2, 所以点P 的坐标是(0,1,－2)． 8．解 由题意得B (0,－2,0),C (0,2,0), 设D (0,y ,z ),则在Rt △BDC 中,∠DCB ＝30°, ∴BD ＝2,CD ＝23,z ＝3,y ＝－1.
∴D (0,－1,3)．又∵A (32,1
2,0),
∴|AD | ＝
(
32)2＋(1
2
＋1)2＋(－3)2＝ 6. 9．A 10．C 11．(0,－1,0)
12．解 如图分别以AB 、AD 、AA 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．
由题意可知C (3,3,0), D (0,3,0),∵|DD 1|＝|CC 1|＝2, ∴C 1(3,3,2),D 1(0,3,2),
∵N 为CD 1的中点,∴N ⎝⎛⎭⎫32，3，1. M 是A 1C 1的三等分点且靠近A 1点, ∴M (1,1,2)．
由两点间距离公式,得|MN | ＝⎝⎛⎭⎫32－12
＋(3－1)2＋(1－2)2 ＝212
.
13．解 ∵点M 在直线
x ＋y ＝1(xOy 平面内)上,∴可设M (x,1－x,0)．
∴|MN |＝
(x －6)2＋(1－x －5)2＋(0－1)2 ＝2(x －1)2＋51≥51, 当且仅当x ＝1时取等号,
∴当点M的坐标为(1,0,0)时, |MN|min＝51.。