黑龙江省哈尔滨市第一中学2020届高三6月第一次模拟 数学(文) 学生版
哈尔滨市第一中学2020届高三数学6月第一次模拟试题文含解析
因为对任意 ， ， ， 恒成立，
所以函数 在 上单调递减,所以函数 在 上单调递减,
因为 ，所以 ,
又 ，所以 即 ，
所以 即 ，所以 ，
所以使不等式 成立的 的取值范围是 。
故选:D.
【点睛】本题考查了函数的单调性与奇偶性的综合应用，考查了函数图象的变换及对数不等式的求解,属于中档题。
则所求角为 ，
易得 ，因此 ，故选C．
平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值,常利用解三角形；
④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是 ，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．
A。 B。 C。 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意结合函数图象的平移、奇函数的性质可得函数 的图象的对称中心为点 ，进而可得 ，由函数单调性的定义可得函数 在 上单调递减,由函数的单调性、对数函数的性质即可得解.
【详解】因为函数 的图象是由函数 的图象向左平移1个单位长度得到，
是定义在 上的奇函数，
一、选择题：（本大题共12个小题，在每个小题的四个答案中，只有一项是符合题目要求的）
1。 设集合A={1，2,3｝，B={x|x2—2x+m=0｝，若A∩B={2}，则B=（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据A∩B即可得出2∈B,从而可求出m=0,解方程x2—2x=0得x，从而得出B．
2020届全国100所名校高三模拟金典卷(一)数学(文)试题(解析版)
2020届全国100所名校高三模拟金典卷（一）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，则A B =U （ ） A ．{|22}x x -<< B ．{|24}x x -≤≤ C ．{|22}x x -≤≤ D ．{|24}x x -<≤【答案】B【解析】直接利用并集的定义计算即可. 【详解】由已知，集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，所以{|24}A B x x ⋃=-≤≤. 故选：B 【点睛】本题考查集合的并集运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.2．已知a 是实数，()11a a i -++是纯虚数，则复数z a i =+的模等于（ ）A ．2B CD ．1【答案】C【解析】()11a a i -++是纯虚数可得1a =，则1z i =+，再根据模的计算的公式计算即可. 【详解】()11a a i -++是纯虚数，则实部为0，虚部不为0，即1a =，所以1z i =+，||z =故选：C 【点睛】本题考查复数模的计算，涉及到复数的相关概念，是一道容易题.3．某产品的宣传费用x （万元）与销售额y （万元）的统计数据如下表所示：根据上表可得回归方程ˆ9.6 2.9yx =+，则宣传费用为3万元时销售额a 为（ ） A ．36.5 B ．30C ．33D ．27【答案】D【解析】由题表先计算出x ，将其代入线性回归方程即可. 【详解】 由已知，1(4235) 3.54x =+++=， 由回归方程过点(),x y ，故36.5y =， 即1(452450)36.54y a =+++=，解得27a =. 故选：D 【点睛】本题考查线性回归方程的简单应用，回归方程一定过样本点的中心(,)x y ，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.4．已知在等差数列{}n a 中，34576, 11a a a a ++==，则1a =（ ） A ．3 B ．7C ．7-D ．3-【答案】C【解析】由3456a a a ++=，可得42,a =结合7 11a =，可得公差d ，再由413a a d =+可得1a . 【详解】由等差数列的性质，得345436a a a a ++==， 所以42,a =公差7493743a a d -===-， 又4132a a d =+=，所以17a =-. 故选：C 【点睛】本题考查等差数列的性质及等差数列基本量的计算，考查学生的运算能力，是一道容易题.5．已知抛物线24y x =的准线与圆2260x y x m +--=相切，则实数m 的值为（ ） A ．8 B ．7 C ．6 D ．5【答案】B【解析】由题可得准线方程为1x =-，再利用圆心到直线的距离等于半径计算即可得到答案. 【详解】由已知，抛物线的准线方程为1x =-，圆2260x y x m +--=的标准方程为22(3)9x y m -+=+，由1x =-与圆相切，所以圆心到直线的距离()314d =--==， 解得7m =. 故选：B 【点睛】本题主要考查抛物线的定义，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.6．已知平面向量a r ，b r满足a =r ，||3b =r ，(2)a a b ⊥-r r r ，则23a b -r r （ ）A ．BC ．4D ．5【答案】A【解析】由(2)0a a b ⋅-=r r r，可得2a b ⋅=r r，将其代入|23|a b -==r r .【详解】由题意可得||2a ==r ，且(2)0a a b ⋅-=r r r，即220a a b -⋅=r r r，所以420a b -⋅=r r， 所以2a b ⋅=r r.由平面向量模的计算公式可得|23|a b -==r r==故选：A 【点睛】本题考查利用数量积计算向量的模，考查学生的数学运算能力，是一道容易题. 7．已知定义在R 上的函数()y f x =，对于任意的R x ∈，总有()()123f x f x -++=成立，则函数()y f x =的图象（ ） A ．关于点()1,2对称 B ．关于点33,22⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．关于点()3,3对称 D ．关于点()1,3对称【答案】B【解析】设(,)A x y 是()y f x =图象上任意一点，A 关于(,)a b 对称的点为()'2,2A a x b y --也在()y f x =的图象上，再结合()()123f x f x -++=简单推导即可得到. 【详解】设(,)A x y 是()y f x =图象上任意一点，A 关于(,)a b 对称的点为()'2,2A a x b y --也在()y f x =的图象上，则(2)(1(21))3(221)f a x f x a f x a -=--+=-+-+3(32)2()f a x b f x =--+=-，所以有23,320b a =-=，解得33,22a b ==.所以函数()y x =的图象关于点33,22⎛⎫⎪⎝⎭对称. 故选：B 【点睛】本题考查函数图象的对称性，考查学生的逻辑推理能力，当然也可以作一个示意图得到，是一道中档题.8．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生 B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生【答案】C【解析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案． 【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =，所以610n a n=+()n *∈N ，若8610n =+，则15n =，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意； 若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ． 【点睛】本题主要考查系统抽样.9．函数||4x e y x=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由函数的奇偶性可排除B ；由(1),(3)f f 可排除选项A 、D. 【详解】设||()4x e f x x =，定义域为{|0}x x ≠，||()()4x e f x f x x-=-=-，所以()f x 为奇函数，故排除选项B ；又(1)14e f =<，排除选项A ；3(3)112e f =>，排除选项D.故选：C 【点睛】本题考查由解析式选函数图象的问题，涉及到函数的性质，此类题一般从单调性、奇偶性、特殊点的函数值入手，是一道容易题.10．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．163πB ．3π C ．29π D ．169π【答案】D【解析】由三视图可知该几何体为底面是圆心角为23π的扇形，高是4的圆锥体，再利用圆锥体积公式计算即可. 【详解】从三视图中提供的图形信息与数据信息可知：该几何体的底面是圆心角为23απ=的扇形，高是4的圆锥体， 容易算得底面面积2112442233S r παπ==⨯⨯=，所以其体积111644339V ππ=⨯⨯⨯=. 故选：D 【点睛】本题考查三视图还原几何体以及几何体体积的计算，考查学生的空间想象能力、数学运算能力，是一道中档题.11．已知函数()sin 3(0)f x x x ωωω=+>的图象上存在()()12,0,,0A x B x 两点，||AB 的最小值为2π，再将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度，所得图象对应的函数为()g x ，则()g x =（ ） A ．2sin 2x - B ．2sin2xC ．2cos 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．2sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，由min ||2AB π=可得T π=，2ω=，再由平移变换及诱导公式可得()g x 的解析式.【详解】()sin 3cos 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为||AB 的最小值为12222T ππω=⨯=，解得2ω=. 因为函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度， 所得图象对应的函数为()g x ， 所以()2sin 22sin(2)2sin 233g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫=++=+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故选：A 【点睛】本题考查三角函数图象的变换，涉及到辅助角公式、诱导公式的应用，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.12．如图所示，在棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，边长为2，22PD PA PC ===，.在这个四棱锥中放入一个球，则球的最大半径为（ ）A ．2B 21C ．2D 21【答案】D【解析】由题意，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S ，连接SD ，SA SB SC SP 、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R ，求出四棱锥的表面积S 以及四棱锥的体积P ABCD V -，利用公式13P ABCD V S -=⨯R ⨯，计算即可. 【详解】由已知，22PD AD PA ===，，所以222PD AD PA +=，所以PD AD ⊥，同理PD CD ⊥，又CD AD D =I ，所以PD ⊥平面ABCD ，PD AB ⊥，又AB AD ⊥，PD AD D ⋂=，所以AB ⊥平面PAD ，所以PA AB ⊥，设此球半径为R ，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S ，连接SD，SA SB SC SP、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，它们的高均为R.四棱锥的体积211222 3323P ABCD ABCDVS PD-⨯=⨯⨯=⨯=W，四棱锥的表面积S22112222222242222PAD PAB ABCDS S S=++=⨯⨯+⨯⨯⨯+=+ V V W，因为13P ABCDV S-=⨯R⨯，所以3222142221P ABCDVRS-====-++.故选：D【点睛】本题考查几何体内切球的问题，考查学生空间想象能力、转化与化归的能力，是一道有一定难度的压轴选择题.二、填空题13．设实数x，y满足约束条件101010yx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪++≤⎩，则34z x y=-的最大值是__________.【答案】4【解析】作出可行域，344zy x=-，易知截距越小，z越大，【详解】根据实数x，y满足约束条件101010yx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪++≤⎩，画出可行域，如图，平移直线34y x=即可得到目标函数的最大值.344z y x =-，易知截距越小，z 越大，平移直线34y x =，可知当目标函数经过点A 时取得最大值，由11y y x =-⎧⎨=--⎩，解得()0,1A -，所以max 304(1) 4.z =⨯-⨯-=故答案为：4 【点睛】本题考查简单的线性规划及应用，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.14．曲线()e 43xf x x =+-在点()(0,)0f 处的切线方程为__________.【答案】52y x =-【解析】直接利用导数的几何意义计算即可. 【详解】因为()02f =-，'()4xf x e =+，所以'0(0)45f e =+=，所以切线方程为()25y --=()0x -，即5 2.y x =- 故答案为：52y x =- 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.15．已知数列{}n a 满足：11a =，12nn n a a +=+，则数列{}n a 的前n 项和n S =__________.【答案】122n n +--【解析】利用累加法可得数列{}n a 的通项公式，再利用分组求和法求和即可. 【详解】由已知，12nn n a a +-=，当2n ≥时，()()()211213211212222112n n n n n n a a a a a a a a ---=+-+-+⋅⋅⋅+-=+++⋅⋅⋅+==--，又11a =满足上式，所以21nn a =-，()212122222212n n n n S n n n +-=++⋅⋅⋅+-=-=---.故答案为：122n n +-- 【点睛】本题考查累加法求数列的通项以及分组求和法求数列的和，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.16．已知双曲线22221x y a b-=（0b a >>）的左、右焦点分别是1F 、2F ，P 为双曲线左支上任意一点，当1222PF PF 最大值为14a时，该双曲线的离心率的取值范围是__________.【答案】【解析】112222111224|24|2PF PF a PF PF aPF a PF ==+++，1PF c a ≥-，分2c a a -≤，2a c a ≥-两种情况讨论，要注意题目中隐含的条件b a >.【详解】由已知，11222111224|24|2PF PF a PF PF aPF a PF ==+++，因为1PF c a ≥-，当2c a a -≤时，21121444a a PF a PF ≤=++，当且仅当12PF a =时，1222PF PF 取最大值14a， 由2a c a ≥-，所以3e ≤；当2c a a ->时，1222PF PF 的最大值小于14a，所以不合题意.因为b a >，所以22211b e a=->，所以2e >，所以2 3.e <≤故答案为：(2,3] 【点睛】本题考查双曲线的离心率的取值范围问题，涉及到双曲线的概念与性质及基本不等式，考查学生的逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.三、解答题17．某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国70周年”的知识竞赛.从这两个年级各随机抽取了40名学生,对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表.成绩分组 频数[)75,80 2 [)80,85 6[)85,90 16[)90,9514[)95,1002高二（1）若成绩不低于80分为“达标”，估计高一年级知识竞赛的达标率；（2）在抽取的学生中，从成绩为[]95,100的学生中随机选取2名学生，代表学校外出参加比赛，求这2名学生来自于同一年级的概率. 【答案】（1）0.85；（2）715【解析】（1）利用1减去[)75,80的概率即可得到答案；（2）高一年级成绩为[]95,100的有4人，记为1234, , , A A A A ，高二年级成绩为[]95,100的有2名，记为12,B B ，然后利用列举法即可.【详解】（1）高一年级知识竞赛的达标率为10.0350.85-⨯=.（2）高一年级成绩为[]95,100的有0.025404⨯⨯=（名），记为1234, , , A A A A ， 高二年级成绩为[]95,100的有2名，记为12,B B .选取2名学生的所有可能为121314111223242122343132414212, , , , , , , , , , , , , , A A A A A A A B A B A A A A A B A B A A A B A B A B A B B B ，共15种；其中2名学生来自于同一年级的有12131423243412,,,,,,A A A A A A A A A A A A B B ，共7种. 所以这2名学生来自于同一年级的概率为715. 【点睛】本题考查统计与古典概率的计算，涉及到频率分布直方图和频数分布表，考查学生简单的数学运算，是一道容易题.18．在ABC V 中，角、、A B C 所对的边分别是a b c 、、，且2B A C =+，b =. （1）若3sin 4sin C A =，求c 的值； （2）求a c +的最大值【答案】（1）4；（2）【解析】（1）由已知，易得3B π=，由正弦定理可得34c a =，再由角B 的余弦定理即可得到答案；（2）正弦定理得sin sin sin a c b A C B ===，所以,a A c C ==，sin )a c A C +=+，再利用两角和的正弦公式以辅助角公式可得6a c A π⎛⎫+=+⎪⎝⎭，即可得到最大值.【详解】（1）因为2B A C =+， 又A B C π++=，得3B π=.又3sin 4sin C A =，由正弦定理得34c a =，即34a c =， 由余弦定理2222cosb ac ac B =+-，得22331132442c c c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，解得4c =或4c =-（舍）.（2）由正弦定理得sin sin sin a c b A C B ===，,a A c C ∴==，sin )a c A C ∴+=+sin()]A A B =++1sin sin sin sin cos322A A A A A π⎡⎤⎤⎛⎫=++=++⎢⎥ ⎪⎥⎝⎭⎦⎣⎦6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由203A π<<，得5666A πππ<+=，当62A ππ+=，即3A π=时，max ()a c +=.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，涉及到两角和的正弦公式及辅助角公式的应用，考查学生的数学运算求解能力，是一道容易题. 19．在菱形ABCD 中，,3ADC AB a π∠==，O 为线段CD 的中点（如图1）．将AOD △沿AO 折起到'AOD △的位置，使得平面'AOD ⊥平面ABCO ，M 为线段'BD 的中点（如图2）．（Ⅰ）求证：'OD BC ⊥； （Ⅱ）求证：CM ∥平面'AOD ； （Ⅲ）当四棱锥'D ABCO -的体积为32时，求a 的值． 【答案】（Ⅰ）见解析. （Ⅱ）见解析. （Ⅲ） 2a =.【解析】（Ⅰ）证明OD '⊥AO ． 推出OD '⊥平面ABCO ． 然后证明OD '⊥BC ．（Ⅱ）取P 为线段AD '的中点，连接OP ，PM ；证明四边形OCMP 为平行四边形，然后证明CM ∥平面AOD '；（Ⅲ）说明OD '是四棱锥D '﹣ABCO 的高．通过体积公式求解即可． 【详解】（Ⅰ）证明：因为在菱形ABCD 中，3ADC π∠=，O 为线段CD 的中点，所以'OD AO ⊥． 因为平面'AOD ⊥平面ABCO 平面'AOD I 平面ABCO AO =，'OD ⊂平面'AOD ，所以'OD ⊥平面ABCO ． 因为BC ⊂平面ABCO ，所以'OD BC ⊥． （Ⅱ）证明：如图，取P 为线段'AD 的中点，连接OP,PM ； 因为在'ABD ∆中，P ，M 分别是线段'AD ，'BD 的中点， 所以//PM AB ，12PM AB =． 因为O 是线段CD 的中点，菱形ABCD 中，AB DC a ==，//AB DC ， 所以122a OC CD ==． 所以OC //AB ，12OC AB =． 所以//PM OC ，PM OC =．所以四边形OCMP 为平行四边形， 所以//CM OP ，因为CM ⊄平面'AOD ，OP ⊂平面'AOD ，所以//CM 平面'AOD ；（Ⅲ）由（Ⅰ）知'OD ⊥平面ABCO ．所以'OD 是四棱锥'D ABCO -的高，又S=23332228a a a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭= ,'2a OD = 因为3133'3162a V S OD =⨯⨯==， 所以2a =． 【点睛】本题考查线面平行与垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力,是基础题20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，过右焦点F 作与x 轴垂直的直线，与椭圆的交点到x 轴的距离为32. （1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，过点F 的直线'l 与椭圆C 交于A B 、两点（A B 、不在x 轴上），若OE OA OB =+u u u r u u u r u u u r，求四边形AOBE 面积S 的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2）3. 【解析】（1）由12c a =，232b a =结合222a bc =+解方程组即可；（2）设':1l x ty =+，联立直线'l 与椭圆的方程得到根与系数的关系，因为OE OA OB =+u u u r u u u r u u u r，可得四边形AOBE为平行四边形，12122||2AOB S S OF y y =⨯-==△将根与系数的关系代入化简即可解决. 【详解】 (1)由已知得12c a =， Q 直线经过右焦点，2222231,||2c y b y a b a ∴+===， 又222a b c =+Q，2,1a b c ∴===，故所求椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）Q 过()1,0F 的直线与椭圆C 交于A B 、两点（A B 、不在x 轴上）， ∴设':1l x ty =+，由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)690t y ty ++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则122122634934t y y t y y t -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，OE OA OB =+u u u r u u u r u u u rQ ，∴四边形AOBE 为平行四边形，122122||234AOBS OF y y t S =∴⨯-===+△1m =≥， 得2621313m S m m m==++，由对勾函数的单调性易得当1m =，即0t =时，max 32S =. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及到椭圆的方程、椭圆中面积的最值问题，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.21．设函数()2a 2xf x x alnx (a 0)x -=-+>． (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)记函数()f x 的最小值为()g a ，证明：()g a 1<．【答案】（I ）()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增；（II ）详见解析. 【解析】（I ）对函数()f x 求导，解导函数所对应的不等式即可求出结果； （II ）由（I ）先得到()g a ，要证()1g a <，即证明1ln 1a a a a--<，即证明2111ln a a a--<， 构造函数()211ln 1h a a a a=++-，用导数的方法求函数()h a 的最小值即可. 【详解】（Ⅰ）显然()f x 的定义域为()0,+∞．()()()()222242332222221x x a x x a x a x x f x a x x x x x+----++=-⋅='-+=． ∵220x +>，0x >，∴若()0,x a ∈，0x a -<，此时()0f x '<，()f x 在()0,a 上单调递减； 若(),x a ∈+∞，0x a ->，此时()0f x '>，()f x 在(),a +∞上单调递增； 综上所述：()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增． （Ⅱ）由（Ⅰ）知：()()min 1ln f x f a a a a a==--， 即：()1ln g a a a a a=--． 要证()1g a <，即证明1ln 1a a a a --<，即证明2111ln a a a--<， 令()211ln 1h a a a a =++-，则只需证明()211ln 10h a a a a=++->，∵()()()22333211122a a a a h a a a a a a'-+--=--==，且0a >， ∴当()0,2a ∈，20a -<，此时()0h a '<，()h a 在()0,2上单调递减； 当()2,a ∈+∞，20a ->，此时()0h a '>，()h a 在()2,+∞上单调递增， ∴()()min 1112ln21ln20244h a h ==++-=->．∴()211ln 10h a a a a=++->．∴()1g a <． 【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性，最值等，属于常考题型.22．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:cos 4sin (0)C a a ρθθ=>，直线的参数方程为21x ty t=-+⎧⎨=-+⎩，（t 为参数）.直线l 与曲线C 交于M N ，两点.（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程.（2）设()2,1P --，若||,||,||PM MN PN 成等比数列，求a 和的||MN 值.【答案】（1）22cos 4sin (0)a a ρθρθ=>，10x y -+=；（2）10.【解析】（1）利用直角坐标、极坐标、参数方程互化公式即可解决；（2）将直线参数方程标准化，联立抛物线方程得到根与系数的关系，再利用直线参数方程的几何意义即可解决. 【详解】（1）曲线2:cos 4sin (0)C a a ρθθ=>，两边同时乘以ρ，可得22cos 4sin (0)a a ρθρθ=>，化简得24(0)x ay a =>；直线l 的参数方程为21x ty t =-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），消去参数t ，可得1x y -=-，即10x y -+=.（2）直线l 的参数方程21x ty t=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）化为标准式为21x y ⎧=-⎪⎪⎨='+'⎪-⎪⎩（'t 为参数），代入24(0)x ay a =>并整理得'2'1)8(1)0t a t a -+++=， 设M N ，两点对应的参数为''12, t t ，由韦达定理可得''121)t t a +=+，''128(1)0t t a ⋅=+>， 由题意得2||||||MN PM PN =⋅，即2''''1212t t t t -=⋅， 可得()2''''''1212124t t t t t t +-⋅=⋅， 即232(1)40(1)a a +=+，0a >，解得1,4a =所以2''121||81104MN t t ⎛⎫=⋅=+= ⎪⎝⎭，||MN =【点睛】本题考查极坐标与参数方程的应用，涉及到极坐标方程、普通方程、参数方程的互化，以及直线参数方程的几何意义求距离的问题，是一道容易题. 23．已知函数()|||2|f x x a x =-++. （1）当1a =时，求不等式()3f x ≤的解集； （2）()00,50x f x ∃∈-≥R ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{|21}x x-＃；（2）[7,3]-【解析】（1）当1a =时，()|1||2|f x x x =-++，分2x -≤，21x -<<，1x ≥三种情况讨论即可；（2）()00,50x f x ∃∈-≥R ，则()min 5f x ≥，只需找到()f x 的最小值解不等式即可. 【详解】（1）当1a =时，()|1||2|f x x x =-++，①当2x -≤时，()21f x x =-- ，令()3f x ≤，即213x --≤，解得2x ≥-，所以2x =-， ②当21x -<<时，()3f x =，显然()3f x ≤成立，21x ∴-<<，③当1x ≥时，()21f x x =+，令()3f x ≤，即213x +≤，解得1x ≤，所以1x =. 综上所述，不等式的解集为{|21}x x-＃.（2）0()|||2||()(2)||2|,f x x a x x a x a x =-++--+=+∃∈R Q …，有()050f x -…成立，∴要使()05f x ≥有解，只需|2|5a +≤，解得73a ≤≤-， ∴实数a 的取值范围为[7,3]-.【点睛】本题考查解绝对值不等式以及不等式能成立问题，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.。
2020届高三(文理)数学一轮复习《等比数列及前n项和》专题测试(学生版)
《等比数列及其前n 项和》专题题型一 等比数列基本量的运算 1、在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，那么这个数列的公比为2、已知S n 是各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和，若a 2·a 4＝16，S 3＝7，则a 8＝3、在等比数列{a n }中，a 1＝2，公比q ＝2，若a m ＝a 1a 2a 3a 4(m ∈N ＋)，则m ＝4、在等比数列{a n }中，已知a 3＝6，a 3＋a 5＋a 7＝78，则a 5＝5、在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝________．6、等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝7、设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝8、在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为9、设{a n }是公比为正数的等比数列，S n 为{a n }的前n 项和，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }的前7项和为10、已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 5·a 7＝4a 24，a 2＝1，则a 1＝11、等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，若a 1＝1，则S 4＝12、已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝13、在等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，若a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q 等于________．14、在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．15、已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2等于 16、等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________． 17、若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝m ·5n ＋1，则实数m ＝________．18、已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝3S 2，a 3＝2，则a 7＝________.19、已知等比数列{a n }满足a 1＝1，a 3a 7＝16，则该数列的公比为20、已知递增的等比数列{a n }中，a 2＝6，a 1＋1，a 2＋2，a 3成等差数列，则该数列的前6项和S 6等于21、已知等比数列{a n }的公比为－2，且S n 为其前n 项和，则S 4S 2等于22、数列{a n }中，已知对任意n ∈N ＋，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n等于23、已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2 018，a 2＋a 4＝－2a 3，则S 2 019＝________.24、已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 1＝12，且a 2a 8＝2a 5＋3，则a 9＝________. 25、设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3a 11＝2a 25，且S 4＋S 12＝λS 8，则λ＝________.26、等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3.(1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和，若S m ＝63，求m .题型二 等比数列的性质类型一 等比数列项的性质1、已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 6－a 27＋a 8＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 2b 8b 11＝2、在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n 等于3、等比数列{a n }各项均为正数，a 3a 8＋a 4a 7＝18，则1＋2＋…＋10＝ _____4、已知数列{a n }为等比数列，若a 4＋a 6＝10，则a 7(a 1＋2a 3)＋a 3a 9的值为5、等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.6、等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＞0，q ＞1，a 3＋a 5＝20，a 2a 6＝64，则S 5＝________.7、在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，则a 2a 16a 9的值为 8、已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.9、递增的等比数列{a n }中，已知a 1＋a n ＝34，a 3·a n －2＝64，前n 项和S n ＝42，则n 等于 类型二 等比数列前n 项和的性质1、设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝ 2、设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为前n 项和，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40等于3、设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2＝3，则S 6S 4＝________． 4、已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12等于5、设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2＝－1，S 4＝－5，则S 6等于6、已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3S 6＝89，则a n ＋1a n －a n －1＝________(n ≥2，且n ∈N). 题型三 等比数列的判定与证明1、已知数列{a n }满足对任意的正整数n ，均有a n ＋1＝5a n －2·3n ，且a 1＝8.(1)证明：数列{a n －3n }为等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝a n 3n ，求数列{b n }的前n 项和T n .2、设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2.设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列；3、已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N ＋. (1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式.题型四 等差、等比数列的综合问题1、在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81.(1)求a n ；(2)设b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .2、设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|＜11 000成立的n 的最小值．3、在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝n ＋12n a n(n ∈N ＋)． (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n 4n －a n，若数列{b n }的前n 项和是T n ，求证：T n <2．。
2019-2020年黑龙江省哈尔滨市高三数学第一次模拟考试试题_理
哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试数学试卷（理工类）考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1. 某学校有男学生400名，女学生600名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取男学生40名，女学生60名进行调查,则这种抽样方法是 A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．分层抽样法2. 已知,m n R ∈，集合{}72,log A m =，集合{},B m n =，若{}0A B ⋂=，则m n += A ．1 B ．2 C ．4 D ．83. 若)2,1(=a ϖ，(),1b m =r ，若a r P b r ，则=mA ．21-B ．21C ．2 D. 2-4. 已知P (B |A )= 103, P (A ) =51, 则P (AB ) =A ．B ．C ．D ．5． 已知数列{}n b 是等比数列，9b 是1和3的等差中项，则216b b =A ．16B ．8C ．2D ．46. 一个锥体的正视图和左视图如下图，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是122332503A ．B ．C ．D. 7. 如果函数)2sin(2ϕ-=x y 的图像关于点43π⎛⎫⎪⎝⎭，0中心对称，那么||ϕ的最小值为 A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π8. 设点P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上一点，1F ，2F 分别是左右焦点，I 是21F PF ∆的内心，若2121,,F IF IPF IPF ∆∆∆的面积1S ，2S ，3S 满足321)(2S S S =-，则双曲线的离心率为A. 2B. 3C. 4D. 29. 已知21,x x （21x x <）是函数11ln )(--=x x x f 的两个零点，若)1,(1x a ∈， ),1(2x b ∈，则A ．0)(<a f ，0)(<b fB ．0)(>a f ，0)(>b fC ．0)(>a f ，0)(<b fD ．0)(<a f ，0)(>b f 10. 已知函数⎩⎨⎧≤->+=0,320,log 3)(22x x x x x x f ，则不等式5)(≤x f 的解集为 A. []1,1- B. (]()1,01,⋃-∞- C. []4,1- D. (][]4,01,⋃-∞-11. 直线l 与抛物线x y C 2:2=交于B A ,两点，O 为坐标原点，若直线OB OA ,的斜率1k ， 2k 满足3221=k k ，则l 一定过点 A. )0,3(- B. )0,3(C. )3,1(-D. )0,2(-12. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，在正方体表面上与点A 距离是2的点形成一 条封闭的曲线，这条曲线的长度是A ．πB ．32πC ．3π D. 52π哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试数学试卷（理工类）第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13. 如图,在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子,有380粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为 ．14．8)12(xx -的二项展开式中，各项系数和为 .15. 下列命题：①已知,m n 表示两条不同的直线，,αβ表示两个不同的平面，并且,m n αβ⊥⊂，则“αβ⊥”是“m //n ”的必要不充分条件； ②不存在(0,1)x ∈，使不等式成立23log log x x <； ③“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题；④R θ∀∈，函数()sin(2)f x x θ=+都不是偶函数. 正确的命题序号是 ．16. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，M 为AB 边上一点，()λλ=∈u u u u r u u u r CM MP R 且cos cos =+u u u r u u u ru u u r u u u r u u u u r CA CBMP CA A CB B，又已知2=u u u u r c CM ，22+=a b ，则角=C ．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.（本小题满分12分）数列{}n a 满足11=a ，132+=+n n n a a ．(Ⅰ)求证数列{}n n a 2+是等比数列； (Ⅱ)证明：对一切正整数n ，有1211132n a a a +++<L ．18.（本小题满分12分）一个盒子里装有大小均匀的8个小球,, 其中有红色球4个, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色球4个, 编号分别为2, 3, 4,5. 从盒子中任取4个小球 (假设取到任何一个小球的可能性相同). (Ⅰ) 求取出的4个小球中, 含有编号为4的小球的概率.(Ⅱ) 在取出的4个小球中, 小球编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列.19．（本小题满分12分）边长为4的菱形ABCD 中，满足60DCB ∠=︒，点E ，F 分别是边CD 和CB 的中点， AC 交BD 于点H ，AC 交EF 于点O ，沿EF 将CEF ∆翻折到PEF ∆的位置,使平面ABD PEF 平面⊥,连接PA ，PB ，PD ，得到如图所示的五棱锥P ABFED -. (Ⅰ) 求证：BD PA ⊥；(Ⅱ) 求二面角B AP O --的正切值．20.（本小题满分12分）已知椭圆:C )0(12222>>=+b a by a x 的焦距为4，设右焦点为F ，过原点O 的直线l 与椭圆C 交于B A ,两点，线段AF 的中点为M ，线段BF 的中点为N ，且41-=⋅.(Ⅰ) 求弦AB 的长；(Ⅱ) 若直线l 的斜率为k , 且26≥k , 求椭圆C 的长轴长的取值范围. HOFE DAPBC21.（本小题满分12分）已知函数=)(x f 212x ax e x---，R x ∈．（Ⅰ）若21=a ，求函数)(x f 的单调区间； （Ⅱ）若对任意0≥x 都有0)(≥x f 恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）设函数22)()()(x x f x f x F ++-+=，求证： 21)2()()2()1(nn e n F F F +>⋅⋅⋅+Λ（*∈N n ）．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）如图, B A ,是⊙O 上的两点，P 为⊙O 外一点，连结PB PA ,分别交⊙O 于点D C ,，且AD AB =，连结BC 并延长至E ，使PAB PEB ∠∠=. (Ⅰ) 求证：PD PE =;(Ⅱ) 若1==EP AB ，且°120=BAD ∠，求AP .23.（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y tx 221222（t 为参数）．在极坐标系 （与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为θρcos 4=．AB(Ⅰ) 求圆C 的直角坐标方程；(Ⅱ) 设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P 的坐标为)1,2(，求|PA |＋|PB |．24.（本小题满分10分）关于x 的不等式12≤-m x 的整数解有且仅有一个值为3 (m 为整数) . （Ⅰ）求整数m 的值;（Ⅱ）已知R c b a ∈,,,若m c b a =++444444, 求222c b a ++的最大值.一模理科数学答案选择题DABDD CCACC AD 填空题 13.501914 . 1 15. ① 16. 4π三．解答题17.(1)由132+=+n n n a a 有, )2(3211n n n n a a +=+++,又321=+a , 所以{}nn a 2+是以3位首相,3为公比的等比数列…………………..5分(2)由(1)知nn n a 23-=, ……………………………………..6分又)2(223≥>-n nn n , ……………………………………9分 故232123212121123123111111322221<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++++<-++-+=+++nn n n n a a a ΛΛΛ……………………………….12分 18.（1）1411…………………………….4分 （2）X 的可取值为3,4,5 ……………………..5分705)3(48234812=+==C C C C X P ……………………………………………………..7分7030)4(485222483512=+==C C C C C C X P ………………………………………………...9分7035)5(4837===C C X P ……………………………………………….11分X 的分布列为…………………12分19.(1) 因为平面ABD PEF 平面⊥,平面ABD PO PEF PO EF ABD PEF ⊥∴⊂=⋂,,平面则BD PO ⊥,又APO BD APO PO APO AO O PO AO BD AO ⊥∴⊂⊂=⋂⊥,,,,PA BD APO AP ⊥∴⊂,Θ ………………………………….6分（2）以O 为原点,轴，为轴，为轴，为z OP y OF x OA 建立坐标系,则)0,2,3(),3,0,0(),0,0,33(),0,0,0(B P A O , ……………………………8分 设的一个法向量，为平面OAP z y x n ),,(=ρ则)0,1,0(=n ρ,的一个法向量，为平面ABP z y x m ),,(=ρ则)3,3,1(=m ρ …….10分330tan ,133cos =∴=⋅=θθn m n m ρρρρ …………………………..12分20.（1）设)2,22(),2,22(),,(),,(00000000y x N y x M y x B y x A --+--则 …………….2分 41)(4112020-=+-=⋅y x N O M O ρρ,则52020=+y x , …………………….4分 所以AB 的长为52 ……………………………5分（2）设l 方程为kx y =,和椭圆方程142222=-+a y a x 联立消元整理得,4)4(222222-+-=k a a a a x ,4)4(22222220-+-=k a a k a a y …………………7分 又5202=+y x ,则23)9()4)(5(,54)1)(4(22222222222≥---==-++-a a a a k k a a k a a ………….10分 则322,982<≤<≤a a ,长轴长范围是[]6,24 …………………….12分 21. (1) 解: 21)(--='x e x f x,令)()(x f x g '=,则1)(-='xe x g , 则当)0,(-∞∈x 时, ,0)(<'x g )(xf '单调递减,当),0(+∞∈x 时, ,0)(>'xg )(x f '单调递增.所以有021)0()(>='≥'f x f ,所以()上递增，－在∞+∞)(x f …………………4分 (2) 当0≥x 时,a x e x f x --=')(,令)()(x f x g '=,则01)(≥-='xe x g ,则)(xf '单调递增,a f x f -='≥'1)0()(当1≤a 即01)0()(≥-='≥'a f x f 时, ()上递增，在∞+0)(x f ,0)0()(=≥f x f 成立; 当1>a 时,存在),0(0+∞∈x ,使0)(0='x f ,则()上递，在00)(x x f 减,则当),0(a x ∈时,0)0()(=<f x f ,不合题意.综上1≤a ………………………….8分(3）xxe e x F -+=)(Θ，22)()(21212121212121)()(21+>++>+++=∴++-++--+-+x x x x x x x x x x x x x x e e e e e e e x F x F 2)()1(1+>∴+n e n F F ，2)1()2(1+>-+n e n F F……2)1()(1+>+n e F n F ．由此得，n n e F n F n F F n F F n F F F )2()]1()([)]1()2([)]()1([)]()2()1([12+>⋅⋅-⋅=+ΛΛ故21)2()()2()1(nn e n F F F +>⋅⋅⋅+Λ（*∈N n ）． ……………………….12分 22. （1）连结DC ，因为ADB ACB PCE ∠=∠=∠,ABD PCD ∠=∠, 又因为AD AB =,所以 ADB ABD ∠=∠,所以PCD PCE ∠=∠.·················3分 由已知PAB PEB ∠=∠, PAB PDC ∠=∠, 所以PDC PEC ∠=∠, 且PC PC =,所以PDC PEC ∆≅∆, 所以PD PE =.················5分 (2) 因为PBA ACB ∠=∠, PAB BAC ∠=∠ 所以ABC ∆∽APB ∆, 则)(2PC AP AP AC AP AB -=⋅=,所以)(22BD PD PD PB PD PC AP AB AP+=⋅=⋅=-又因为AB PD =, 1=AB , 所以3222=⋅=-BD AB AB AP ,················8分所以322+=AP.所以 262+=AP .················10分23. (1)求圆C 的直角坐标方程4)2(22=+-y x ……………….3分AB（2）设点A 、B 对应的参数分别为21,t t ,将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y tx 221222代入4)2(22=+-y x 整理得0322=-+t t ,则⎩⎨⎧-=-=+⋅322121t t t t , …………………..5分又|PA|＋|PB|=144)(212212121=-+=-=+t t t t t t t t ……………………..10分 24.（1）由12≤-m x 有2121+≤≤-m x m , ……………………….2分 关于x 的不等式12≤-m x 的整数解有且仅有一个值为3,则⎪⎩⎪⎨⎧<+≤≤-<42133212m m ,即75<<m ,又m 为整数,则6=m ……………………..5分（2）由6444444=++c b a 有23444=++c b a , 由柯西不等式有()()()29)()()(1112222222222222=++++≤++c b a cb a 当且仅当421===c b a 时,等号成立, ……………..8分 所以222c b a ++的最大值为223 …………………10分。
专题04 求函数的定义域、值域(解析版)
专题04 求函数的定义域、值域【热点聚焦与扩展】函数的定义域作为函数的要素之一，是研究函数的基础，也是高考的热点.函数的值域也是高考中的一个重要考点，并且值域问题通常会渗透在各类题目之中，成为解题过程的一部分.所以在掌握定义域求法的基础上，掌握一些求值域的基本方法，当需要求函数的取值范围时便可抓住解析式的特点，寻找对应的方法从容解决.（一）函数的定义域1.求函数定义域的主要依据是：①分式的分母不能为零；②偶次方根的被开方式其值非负；③对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.2.①若的定义域为，则不等式的解集即为函数的定义域； ②若的定义域为，则函数在上的的值域即为函数的定义域．3.对于分段函数知道自变量求函数值或者知道函数值求自变量的问题，应依据已知条件准确找出利用哪一段求解.4.与定义域有关的几类问题第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义； 第三类是不给出函数的解析式，而由的定义域确定函数的定义域或由的定义域确定函数的定义域．第四类是已知函数的定义域，求参数范围问题，常转化为恒成立问题来解决． （二）函数的值域1.利用函数的单调性:若是上的单调增(减)函数,则,分别是在区间上取得最小(大)值,最大(小)值.2.利用配方法:形如型,用此种方法,注意自变量x 的范围.3.利用三角函数的有界性,如.4.利用“分离常数”法:形如y= 或 (至少有一个不为零)的函数,求其值域可用此法. 一般地，()y f x =(),a b ()a g x b <<()()y f g x =()()y f g x =(),a b ()g x (),a b ()y f x =()f x )]([x g f )]([x g f ()f x )(x f ],[b a )(a f )(b f )(x f ],[b a 2(0)y ax bx c a =++≠sin [1,1],x ∈-cos [1,1]x ∈-ax b cx d ++2ax bx ey cx d++=+c a ,① ：换元→分离常数→反比例函数模型② ：换元→分离常数→模型③ ：同时除以分子：→②的模型 ④ ：分离常数→③的模型共同点：让分式的分子变为常数5.利用换元法: 在高中阶段，与指对数，三角函数相关的常见的复合函数分为两种： ① ：此类问题通常以指对，三角作为主要结构，在求值域时可先确定的范围，再求出函数的范围. ② ：此类函数的解析式会充斥的大量括号里的项，所以可利用换元将解析式转为的形式，然后求值域即可. ③形如,可用此法求其值域. 6.利用基本不等式法:7.导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值,然后求出值域8.分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值域范围是否符合相应段的自变量的取值范围．数形结合法也可很方便的计算值域. 9.由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部 分剔除.10.数形结合法：即作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合.（1）的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下（或靠上）的部分为该 函数的图象，从而利用图象求得函数的值域.（2）函数的解析式具备一定的几何含义，需作图并与解析几何中的相关知识进行联系，数形结合求得值域，ax by cx d+=+2ax bx cy dx e++=+a y x x =±2dx ey ax bx c+=++21y ax bx c dx e=+++22ax bx cy dx ex f++=++()()(),log ,sin f x a y ay f x y f x ===⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()f x ()()(),log ,sin xay f ay f x y f x ===()y f t =y ax b =+()f x ()f x如：分式→直线的斜率；被开方数为平方和的根式→两点间距离公式.（三）常见函数的值域：在处理常见函数的值域时，通常可以通过数形结合，利用函数图像将值域解出，熟练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形与换元向常见函数进行化归.（1）一次函数（）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域. （2）二次函数（），给定区间.二次函数的图像为抛物线，通常可进行配方确定函数的对称轴，然后利用图像进行求解.（关键点：①抛物线开口方向，②顶点是否在区间内）. （3）反比例函数：（1）图像关于原点中心对称（2）当 ，当. （4）对勾函数： ① 解析式特点：的系数为1；注：因为此类函数的值域与相关，求的值时要先保证的系数为，再去确定的值 例：，并不能直接确定，而是先要变形为，再求得② 极值点：③ 极值点坐标：y kx b =+2y ax bx c =++1y x=,0x y →+∞→,0x y →-∞→()0ay x a x=+>x 0a>a a x 1a 42y x x =+4a =22y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2a=x x ==(,-④ 定义域：⑤ 自然定义域下的值域： （5）函数： 注意与对勾函数进行对比① 解析式特点：的系数为1； ② 函数的零点：③ 值域：（5）指数函数（）：其函数图像分为与两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为（6）对数函数（）其函数图像分为与两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为【经典例题】()(),00,-∞+∞(),2,a ⎡-∞-+∞⎣()0ay x a x=->x 0a >x =R xy a =1a >01a <<()0,+∞log a y x =1a >01a <<()0,+∞例1.【2020年高考北京卷11】函数1()=ln 1f x x x ++的定义域是__________． 【答案】(0,)+∞【解析】要使得函数1()ln 1f x x x =++有意义，则100x x +≠⎧⎨>⎩，即0x >，∴定义域为(0,)+∞． 【专家解读】本题考查了分式函数、对数函数定义域的求法，考查数学运算学科素养．例2．【河南省部分重点高中2020届高三三模】函数ln y x=的定义域是（ ）A ．（0，1）∪（1，4]B ．（0，4]C ．（0，1）D ．（0，1）∪[4，+∞） 【答案】A 【解析】2340ln ln 0,0x x x y x x x ⎧-++≥-=⎨≠>⎩14(0,1)(1,4]0,1x x x x -≤≤⎧∴∴∈⋃⎨>≠⎩故选：A【专家解读】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.例3．【福建省2020届高三考前冲刺适应性模拟卷】已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则()()21f xg x x =-的定义域为（） A ．[)(]0,11,2 B ．[)(]0,11,4 C ．[)0,1 D ．(]1,4 【答案】C【解析】函数()f x 的定义域是[0，2]，要使函数()()21f xg x x =-有意义,需使()2f x 有意义且10x -≠ .所以10022x x -≠⎧⎨≤≤⎩解得01x ≤<故答案为C例4．【山东省济宁市第一中学2020届高三三模】函数()1lnxf x x =-的定义域为（ ）A ．[)()0,11,⋃+∞B ．()()0,11,⋃+∞C ．[)0,+∞D ．()0,+∞【答案】B【解析】函数ln ()1xf x x =-，∴010x x >⎧⎨-≠⎩， 解得x ＞0且x≠1，∴f （x ）的定义域为（0，1）∪（1，+∞）．故选：B ．例5．【黑龙江省哈尔滨市第一中学校2020届高三三模】已知()f x 的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域为 （ ） A ．(1,1)- B ．1(1,)2--C ．(1,0)-D ．1(,1)2【答案】B【解析】因为函数()f x 的定义域为(1,0)-，故函数(21)f x +有意义只需-1210x <+<即可，解得1-1-2x <<，选B ．例6．【山东省实验中学2020年高三三模】若函数()f x 的定义域为实数集R ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．22（﹣，）B ．22∞∞⋃+（﹣，﹣）（，）C ．][22∞∞⋃+（﹣，﹣，）D ．[]22﹣，【答案】D【解析】因为函数()f x =R ，所以开口向上的二次函数的图象，与x 轴没有交点，即240,22a a ∆=-≤-≤≤，即实数a 的取值范围为[]22﹣，，故选D. 【专家解读】本题考查函数的定义域、二次函数的图象与性质以及一元二次方程的根与系数的关系，属于简答题.对于定义域为R 求参数的题型，主要有三种：（1）根式型，()f x =，只需00a >⎧⎨∆≤⎩；（2）对数型，()()2log m f x ax bx c =++，只需00a >⎧⎨∆<⎩，（3）分式型，()21f x ax bx c =++，只需00a ≠⎧⎨∆<⎩. 例7．【山东省泰安市2020届高三6月全真模拟（三模）数学试题】已知函数()f x =()11f x x -+的定义域为（ ）A ．(),1-∞B ．(),1-∞-C ．()(),11,0-∞--D ．()(),11,1-∞--【答案】D【解析】令24x x >，即21x <，解得0x <. 若()11f x x -+有意义，则10,10x x -<⎧⎨+≠⎩，即()(),11,1x ∈-∞-⋃-.故选：D.【专家解读】本题考查函数的定义域，考查运算求解能力，属于基础题.【精选精练】1．【江西省宜春市宜丰中学2020高三三模】函数()()2log 1f x x =- ） A ．(),1-∞ B ．[)1,1-C ．(]1,1-D ．[)-1,+∞ 【答案】B【解析】使函数有意义的x 满足1010x x ->⎧⎨+≥⎩解得11x -≤<即函数()()2log 1f x x =-+[)1,1-.故选B.【专家解读】本题考查了具体函数定义域，属于基础题.2．【2020届北京市东城区高三三模】下列函数中，与函数()15xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域和值域都相同的是（ ）A ．22y x x =+，0x >B ．1y x =+C ．10x y -=D ．1y x x=+【答案】C【解析】由指数函数性质知：()15xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域为R ，值域为()0,∞+.对于A ，定义域为()0,∞+，与()f x 不同，A 错误； 对于B ，值域为[)0,+∞，与()f x 不同，B 错误；对于C ，定义域为R ，值域为()0,∞+，与()f x 相同，C 正确； 对于D ，定义域为{}0x x ≠，与()f x 不同，D 错误. 故选：C .【专家解读】本题考查函数定义域和值域的求解问题，属于基础题.3．【吉林省梅河口市第五中学2020届高三第七次模拟考】已知函数()21,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a=有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则()3122344x x x x x -++的取值范围是（ ） A ．(]6,9 B ．()6,9C．()+∞D．)⎡+∞⎣【答案】A【解析】作出函数()21,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩的图像如下：因为方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<， 所以有122x x +=-，341x x =，故()31232343442x x x x x x x -++=+， 再由2log 1x =可得2x =或12x =， 即3112x ≤<，令4()2g x x x =+，(112x ≤<)， 则24()2g x x'=-，因为112x ≤<，所以24()20g x x'=-<，即函数4()2g x x x =+在1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减， 又1()1892g =+=，(1)246g =+=，所以(]()6,9g x ∈. 即()3122344x x x x x -++的取值范围是(]6,9 故选A【专家解读】本题主要考查根据方程的根求取值范围的问题，通常需要结合函数图像求解，灵活运用数形结合的思想即可，属于常考题型.4．【浙江省宁波市镇海中学2020届高三仿真测试数学试题】若函数()f x 满足()()a f x b a b ≤≤<，定义b a -的最小值为()f x 的值域跨度，则下列函数中值域跨度不为2的是（ ）A ．()cos21f x x =+B ．()f x =C ．()1f x x x =--D ．()3232x xx xf x -=+ 【答案】B【解析】∵1cos21x -≤≤，∴0cos212x ≤+≤， 即函数()cos21f x x =+的值域为[]0,2，值域跨度为2； ∵()2221122x x x -++=--+≤， ∴()f x =⎡⎣；∵1,0()121,011,1x f x x x x x x -≤⎧⎪=--=-<<⎨⎪≥⎩，∴函数()1f x x x =--的值域为[]1,1-，值域跨度为2；∵323222222()11(1,1)323232312x x x x x xxx x x x x x f x -+-⋅⋅===-=-∈-+++⎛⎫+ ⎪⎝⎭，值域跨度为2；故选：B.【专家解读】本题主要考查函数值域的求法，掌握初等函数的性质是解题的关键，属于中档题.5．【2020届湖北省高三高考模拟调研考试】函数y x = ）.A．2⎡⎤-⎣⎦B ．[]0,4C．0,2⎡+⎣D．2⎡-+⎣【答案】A【解析】因为y x = 由240x x -，解得04x ．可得函数()y f x x ==-[]0,4．又()1f x '==．令()(2)g x x =-，则()()()1222410g x x x x -'=--+>，即()f x '在[]0,4上单调递增，(2)0x -=，解得2x =即()f x在0,2⎡⎣上单调递减，在2⎡⎤⎣⎦上单调递增，所以2x =为极小值点，又(22f -=-(0)0f =，()44f =．∴函数y x =的值域为2⎡⎤-⎣⎦．故选：A ．【专家解读】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值最值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．【东北三省三校2020届高三第四次模拟考试】已知函数()2cos 4x x xf x a=+是偶函数，则函数()f x 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．12D ．3【答案】C【解析】因为函数()2cos 4x x xf x a=+是偶函数，所以()()f x f x -=，即()2cos 2cos 44x x x xx x a a---=++，化简可得：()4141x xa -=-， 解得：1a =，即()2cos cos =4122x x xxx xf x -=++. 又因为c o s 1x ≤，222x x -+≥，所以()12f x ≤（当且仅当0x =时两个“=”同时成立）. 故选：C.【专家解读】本题考查偶函数的定义，考查求函数的最值，合理利用基本不等式和函数性质是解答本题的关键，属于中档题.7．【江西省赣州一中2020年高三三模】已知函数2()32(3)3f x x m x m =-+++的值域为[0,)+∞，则实数m 的取值范围为（ ）A ．{0,3}-B ．[3,0]-C ．(,3][0,)-∞-⋃+∞D ．{0,3}【答案】A【解析】∵函数2()32(3)3f x x m x m =-+++的值域为[0,)+∞， ∴2[2(3)]43(3)0m m ∆=-+-⨯⨯+= ∴30m =-或∴实数m 的取值范围为{0,3}-【专家解读】本题考查通过观察二次函数的图象，根据函数的值域求参数的取值范围.8．【2020届湖南省五岳高三6月联考】函数()26512x x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为（ ）A ．(]0,16B ．[)16,+∞C ．10,16⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,16⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】设2265(3)44u x x x =-+=--≥-，则()1,42uf u u ⎛⎫=≥- ⎪⎝⎭， 因为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，所以()()0416f u f <≤-=，即值域为(]0,16. 故选:A.【专家解读】本题考查了函数值域的求解.本题的难点是利用换元法，结合函数的性质求值域.一般地，求函数的值域时，常结合函数的图像、导数、函数的性质、基本不等式进行求解.9．【2020届百校联考高考考前冲刺必刷卷】函数()284f x x x =-+在[]1,8上的值域为（ ）A ．[]12,3--B ．[]16,4-C ．[]3,4-D ．[]12,4-【答案】D【解析】函数()284f x x x =-+的对称轴为4x =，由于二次函数()f x 的开口向上，故函数()f x 在4x =处取到最小值()24484412f =-⨯+=-，最大值为()2888844f =-⨯+=，故所求值域为[]12,4-. 故选：D.【专家解读】本题考查了二次函数性质的简单应用，由定义域求函数的值域，属于基础题.10．【2020届福建省福州第一中学高三考试数学试题】若函数y (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a 56＋log a 485＝( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】由题意可得a －a x ≥0，a x ≤a ，定义域为[0，1]， 所以a >1，y [0，1]上单调递减，值域是[0，1]，所以f (0)1，f (1)＝0，所以a ＝2， 所log a56＋log a 485＝log 256＋log 2485＝log 28＝3. 故选C【专家解读】本题主要考查指数和对数的运算，考查函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.11．【2020届上海市高三高考压轴卷数学试题】函数()lg 2cos 21y x =-的定义域是______. 【答案】553,,,36666ππππ⎡⎫⎛⎫⎛⎤---⎪ ⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎭⎝⎦【解析】因为()lg 2cos 21y x =-，所以2902cos 210x x ⎧-≥⎨->⎩，所以331cos 22x x -≤≤⎧⎪⎨>⎪⎩，所以33,66x k x k k Z ππππ-≤≤⎧⎪⎨-<<+∈⎪⎩， 解得536x π-≤<-或66x ππ-<<或536x π<≤. 故答案为：553,,,36666ππππ⎡⎫⎛⎫⎛⎤---⎪ ⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎭⎝⎦ 【专家解读】本题主要考查函数定义域的求法以及一元二次不等式，三角不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12．【2020届江苏省淮安市新淮高级中学高三调研数学试题】函数()2134lg x y x x -=--的定义域是____________【答案】()(),11,1-∞--【解析】()2134lg x y x x -=--∴210340x x x ->⎧∴⎨--≠⎩解得1x <且1x ≠-即即函数()2134lg x y x x -=--的定义域为()(),11,1-∞--，故答案为：()(),11,1-∞--【专家解读】本题主要考查了分式函数与对数函数的定义域，以及不等式组的解法，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．13．【2020届上海市高考模拟数学试题】对于函数()f x =,其中0b >,若()f x 的定义域与值域相同,则非零实数a 的值为______________. 【答案】-4【解析】函数()f x ，其中0b > 若0a >，由于20ax bx +≥，即()0x ax b +≥， ∴对于正数b ，()f x 的定义域为:,[0,)b D a⎛⎤=-∞-+∞ ⎥⎝⎦，但()f x 的值域[)0,A ⊆+∞，故D A ≠，不合要求.若0a <，对于正数b ，()f x 的定义域为D 0,a b ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦. 由于此时max [()]2b f x f a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭A ⎡=⎢⎣. 由题意，有b a -=，由于0b >，所以4a =﹣. 故答案为：﹣4【专家解读】本题考查了函数的定义域和值域，意在考查学生的计算能力.14．【2020届陕西省咸阳市高三高考模拟检测数学试题】如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”. 试写出y =“同域函数”的解析式为____________.【答案】23xy =-，[]1,2x ∈（答案不唯一）【解析】由1020x x -≥⎧⎨-≥⎩得：12x ≤≤ y ∴=[]1,2又y =∴值域为[]1,1-y ∴=的一个“同域函数”为23x y =-，[]1,2x ∈故答案为：23xy =-，[]1,2x ∈（答案不唯一）【专家解读】本题考查函数新定义的问题，关键是能够明确新定义的含义实际是确定定义域和值域相同的函数，通过求解函数的定义域和值域得到所求函数.15．【浙江省衢州二中2020届高三下学期6月模拟数学试题】已知函数()f x =[)0,+∞，则实数t 的取值范围是__________．【答案】1(,]4-∞【解析】令221ty x x =+-， 当0t <时，22211,(0)t t y x m m x x m =+-=+-=>，因为1t y m m=+-在(0,)+∞上单调递增，因此221ty x x=+-值域为[),0,R +∞为R 的子集，所以0t <；当0t =时，222111t y x x x=+-=-≥-， [)0,+∞为[1,)-+∞的子集，所以0t =；当0t >时，22111,t y x x =+-≥=，当且仅当||x =[)0,+∞为1,)+∞的子集，所以11004t ≤∴<≤； 综上，14t ≤故答案为：1(,]4-∞【专家解读】本题考查函数值域、利用基本不等式求值域，考查分类讨论思想方法以及基本求解能力，属中档题.16．【2020届江苏省南京市第二十九中高三三模】已知函数()[]11,1,05xf x x ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭，()22log +3,g x a x a x ⎤=∈⎥⎢⎥⎣⎦，若对任意的0x ⎤∈⎥⎢⎥⎣⎦，总存在[]11,0x ∈-使得()()01g x f x =成立，则实数a 的取值范围是__________．【答案】01a ≤≤【解析】因为函数()151xf x ⎛⎫= ⎪⎭-⎝在[1,0]-上单调递减，所以(0)()(1)f f x f ≤≤-，即0()4f x ≤≤， 所以函数()f x 的值域为[0,4]，因为对任意的0x ⎤∈⎥⎢⎥⎣⎦，总存在[]11,0x ∈-使得()()01g x f x =成立， 故()g x 的值域是()f x 值域的子集，对22()log 3g x a x a =+，2]2x ∈， 当0a =时，()0g x =，符合题意； 当0a ≠时，函数()g x在,2]2单调递增，所以2213()32a a g x a a -≤≤+，所以22103234a a a a ⎧≤-⎪⎨⎪+≤⎩，，解得01a ≤≤，又0a ≠，所以01a <≤， 综上，实数a 的取值范围是[0,1]． 故答案为：[0,1]【专家解读】本题主要考查等式型双变量存在性和任意性混搭问题，对于形如“任意的1x A ∈，都存在2x B ∈，使得12()()g x f x =成立”此类问题“等价转化”策略是利用()g x 的值域是()f x 值域的子集来求解参数的范围．。
黑龙江省哈尔滨市第一中学2020届高三下学期6月第一次高考模拟试题 数学理【含解析】
黑龙江省哈尔滨市第一中学2020届高三下学期6月第一次高考模拟试题 数学理【含解析】第Ⅰ卷（选择题，共60分）考生须知：1.本试卷分试题卷和答题卡，满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卡指定位置.上填写学校、姓名和准考证号.3.所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效.4.考试结束，只需上交答题卡.一、选择题（本题共12小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知全集U =R ，集合{}22,A y y x x R ==+∈，集合(){}lg 3B x y x ==-，则AB =（ ）A. []2,3B. ()2,3C. (]2,3D. [)2,3【答案】D 【解析】 【分析】化简集合A ,B ，根据交集运算即可. 【详解】{}22,[2,)A y y x x R ==+∈=+∞,(){}lg 3(,3)B x y x ==-=-∞,[2,3)A B ∴⋂=故选：D【点睛】本题主要考查了二次函数，对数函数的性质，集合的交集运算，属于容易题. 2.已知i 是虚数单位，202013z i i =+-，且z 的共轭复数为z ，则z z ⋅=（ ） 35 C. 5D. 3【答案】C 【解析】 【分析】根据复数概念及运算，化简可得复数z ，由共轭复数概念可得z ，进而由复数乘法运算得解. 【详解】324=,=1,=,=1,i i i i i i --⋅⋅⋅,202050544505==()1i i i ⨯∴=20201313=2+=z i i i i =+-+--，2z i =--2(2)(2)45z z i i i ∴⋅=-+--=-=故选：C【点睛】本题主要考查复数的运算和复数的概念，还考查运算求解的能力，属于基础题.3.已知命题p ：棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥；命题q ：棱柱的所有的侧面都是长方形或正方形，下列命题为真命题的是（ ） A. p q ∧ B. p q ⌝∧C. p q ∧⌝D. p q ⌝∧⌝【答案】D 【解析】 【分析】先判断命题,p q 的真假，根据复合命题的真假判断法则可得正确的选项.【详解】对于命题p ，因为棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，故棱锥的侧面为等边三角形， 如果该棱锥是六棱锥，则六个侧面顶角的和为360︒，但六棱锥的侧面的顶角和小于360︒， 矛盾，故p 为假命题.对于命题q ，斜棱柱有侧面不是长方形，故命题q 为假命题. 故p q ⌝∧⌝为真命题. 故选：D.【点睛】复合命题p q ∨的真假判断为“一真必真，全假才假”，p q ∧的真假判断为“全真才真，一假必假”，p ⌝的真假判断是“真假相反”． 4.在△ABC 中，若cos cos A bB a=，则△ABC 的形状（ ） A. 直角三角形 B. 等腰或直角三角形 C. 不能确定 D. 等腰三角形【答案】B 【解析】【详解】由正弦定理，得cos sin cos sin A b BB a A==， cos cos 22sinA A sinB B sin A sin B ∴=∴=，又因为(),0,A B π∈，所以22A B =或22A B π+=，即A B =或2A B π+=，所以ABC ∆是等腰三角形或直角三角形. 故选：B.【点睛】本题主要考查利用正弦定理、二倍角的正弦公式及三角形内角和定理判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形. 5.若()828012812x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则01238a a a a a ++++⋅⋅⋅+=（ ）A. 821-B. 82C. 831-D. 83【答案】D 【解析】 【分析】采用赋值法，取1x =-，可得结果.【详解】由题可知：x 的奇数次幂的系数均为负数所以0123801238++++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+a a a a a a a a a a()201288812x a a x a x a x -=+++⋯+令1x =-得8012383a a a a a -+-+⋅⋅⋅+=则8012383++++⋅⋅⋅+=a a a a a 故选：D【点睛】本题考查二项式定理，考查系数的绝对值的和，考查赋值法，属于基础题. 6.我们可从这个商标中抽象出一个如图靠背而坐的两条优美的曲线，下列函数中大致可“完美”局部表达这对曲线的函数是（ ）A. ()sin 622x xxf x -=-B. ()cos 22x xxf x -=-C. ()sin 622x xxf x -=-D. ()cos622x xxf x -=-【答案】D 【解析】 【分析】由图象可知，函数()y f x =为偶函数，且在0x =右边附近的函数值为正，然后逐项分析各选项中函数的奇偶性及其在0x =右边附近的函数值符号，即可得出合适的选项.【详解】由图象可知，函数()y f x =为偶函数，且在0x =右边附近的函数值为正. 对于A 选项，令220x x --≠，得22x x -≠，解得0x ≠，函数()sin 622x xxf x -=-的定义域为{}0x x ≠， ()()()sin 6sin 6sin 6222222x xx x x xx x xf x f x -----==-==---，该函数为偶函数， 当012x π<<时，062x π<<，则sin60x >，且220x x --<，此时()sin 6022x xxf x -=<-，不合乎题意，A 选项错误； 对于B 选项，函数()cos 22x xxf x -=-的定义域为{}0x x ≠， ()()()cos cos 2222x xx xx xf x f x ----==-=---，该函数为奇函数，不合乎题意，B 选项错误；对于C 选项，()sin 622x xxf x -=-的定义域为{}0x x ≠，()()()sin 6sin 62222x xx xx xf x f x ----==-=---，该函数为奇函数，不合乎题意，C 选项错误； 对于D 选项，函数()cos622x xxf x -=-的定义域为{}0x x ≠，()()()cos 6cos62222x xx xx xf x f x ----===--，该函数为偶函数， 当012x π<<时，062x π<<，则cos60x >，且220x x-->，则()cos6022x xxf x -=>-， 合乎题意，D 选项正确. 故选：D.【点睛】本题考查利用函数图象选择函数解析式，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号结合排除法求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.7.已知定义在R 上的函数满足(2)()f x f x +=-，2(]0,x ∈时，()sin f x x x π=-，则20201()i f i ==∑（ ）A. 6B. 4C. 2D. 0【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分析可得()()4f x f x +=，即()f x 是周期为4的周期函数，结合函数的解析式求出()()1,2f f 的值，分析可得()()3,4f f 的值，进而可得()()()()12340f f f f +++=，又由()()()()()20201()5051234i f i f f f f ==+++∑，分析可得答案．【详解】根据题意，函数()f x 满足()()2f x f x +=-， 则()()4f x f x +=，即()f x 是周期为4的周期函数，当(]02x ∈，时，()sin f x x x π=-，则()11sin 1f π=-= ，()22sin 22f π=-=， 又由()()2f x f x +=-，则()()311f f =-=-，()()422f f =-=-， 所以()()()()12340f f f f +++=，所以()()()()()20201()50512340i f i f f f f ==+++=∑.故选：D ．【点睛】本题考查函数的周期性的应用，关键是分析函数的周期，属于基础题．8.若3tan 24α=-，则22sin 2cos 12sin ααα+=+（ ） A. 14-或14B.34或14 C.34D.14【答案】D 【解析】【分析】由二倍角正切公式计算出tan α的值，再将所求分式变形为2222sin cos cos 3sin cos ααααα++，然后利用弦化切的思想即可求出所求分式的值.【详解】由二倍角的正切公式得22tan 3tan 21tan 4ααα==--，整理得23tan 8tan 30αα--=， 解得tan 3α=或13-，所以，2222222sin cos cos 2tan 13sin cos 3tan 1sin 2cos 12sin αααααααααα++=+=+++. 当tan 3α=时，原式223113314⨯+==⨯+；当1tan 3α=-时，原式21211341313⎛⎫⨯-+ ⎪⎝⎭==⎛⎫⨯-+ ⎪⎝⎭. 综上所述，22sin 2cos 112sin 4ααα+=+. 故选：D.【点睛】本题考查利用二倍角的正切公式以及弦化切思想求值，解题的关键就是求出tan α的值，考查计算能力，属于中等题.9.已知点P 为双曲线()222210,0x y a b a b -=>>右支上一点，点1F ，2F 分别为双曲线的左右焦点，点I 是12PF F ∆的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有121222IPF IPF IF F S S S ∆∆∆-≤成立，则双曲线的离心率取值范围是( ) A. (2 B. )2,⎡+∞⎣C. (2D.)2,+∞【答案】B 【解析】 【分析】根据所给条件和三角形面积公式，求得a ，c 的关系式，即可求得离心率的范围. 【详解】设12PF F ∆内切圆半径为r ，则111=2IPF S PF r ∆⋅，221=2IPF S PF r ∆⋅，12121=2IF F S F F r ∆⋅， 因为121222IPF IPF IF F S S S ∆∆∆-≤，所以121222PF PF F -≤， 由双曲线的定义可知12=2PF PF a -，12=2F F c ， 所以22a c ≤，即2ca≥故选：B.【点睛】本题考查了求双曲线离心率的范围，其主要方法为根据条件得出一个关于,,a b c 的齐次式，再化简转化成关于e 的不等式即可得解，本题属于较难题.10.2020年疫情的到来给我们生活学习等各方面带来种种困难.为了顺利迎接高考，省里制定了周密的毕业年级复学计划.为了确保安全开学，全省组织毕业年级学生进行核酸检测的筛查.学生先到医务室进行咽拭子检验，检验呈阳性者需到防疫部门做进一步检测.已知随机抽一人检验呈阳性的概率为0.2%，且每个人检验是否呈阳性相互独立，若该疾病患病率为0.1%，且患病者检验呈阳性的概率为99%.若某人检验呈阳性，则他确实患病的概率（ ） A .0.99%B. 99%C. 49.5%.D. 36.5%【答案】C 【解析】 【分析】利用条件概率可求某人检验呈阳性时他确实患病的概率. 【详解】设A 为“某人检验呈阳性”，B 为“此人患病”. 则“某人检验呈阳性时他确实患病”为|B A ， 又()()()99%0.1%|49.5%0.2%P AB P B A P A ⨯===，故选：C.【点睛】本题考查条件概率的计算及其应用，此题需将题设的各个条件合理转化为事件的概率或条件概率. 11.已知函数()()21ln 12f x x x m x x =-+-有两个极值点，则实数m 的取值范围为（ ） A. 1,0e⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 11,1e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭C. 1,1e⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭）D. ()1,-+∞【答案】B 【解析】【分析】根据函数()()21ln 12f x x x m x x =-+-有两个极值点，则()()ln 1f x x m x '=-+有两个变号零点，即ln 1xm x +=有两个不同的交点，令()ln x g x x=，用导数法得到其图象，利用数形结合法求解. 【详解】因为函数()()21ln 12f x x x m x x =-+-， 所以()()ln 1f x x m x '=-+， 因为函数()()21ln 12f x x x m x x =-+-有两个极值点， 所以()()ln 1f x x m x '=-+有两个变号零点，ln 1xm x+=有两个不同的交点， 令()ln xg x x=， 所以()21ln xg x x-'=， 当0x e <<时，()0g x '>，当x e >时，()0g x '<， 所以当x e =时，()()max 1g x g e e==， 如图所示：则101m e <+<， 解得111m e-<<-，所以实数m 的取值范围为111m e-<<-. 故选：B【点睛】本题主要考查导数与函数的极值点，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 12.设2OA =，1OB =，0OA OB ⋅=，OP OA OB λμ=+且1λμ+=，则向量OA 在OP 上的投影的取值范围（ ）A. 45,25⎛⎤- ⎥ ⎝⎦B. 5,25⎛⎤⎥ ⎝⎦C. 25,25⎛⎤- ⎥ ⎝⎦D. 25,25⎛⎤⎥ ⎝⎦【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可建立直角坐标系，设点()2,0A ，()0,1B ，即可求出向量,OA OP ，再根据投影的概念求出向量OA 在OP 上的投影的表达式22cos 4OA OP OA OPθλμ⋅==+，利用值域的求法即可求解．【详解】因为2OA =，1OB =，0OA OB ⋅=，建立以点O 为原点的直角坐标系，设()2,0A ，()0,1B ，则()2,0OA =，()()()2,00,12,OP OA OB λμλμλμ=+=+=， 即有224OP λμ=+设向量OA 与OP 的夹角为θ，所以向量OA 在OP 上的投影为22cos 4OA OP OA OPθλμ⋅==+．当0λ=时，cos 0OA θ=；当0λ>时，222cos 44OA θλμμλ==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭1λμ+=可得，1111μλλλλ-==->-，即20μλ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以(]cos 0,2OA θ∈；当0λ<时，222cos 44OA θλμμλ==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由1λμ+=可得，1111μλλλλ-==-<-，即21μλ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以45cos OA θ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭． 综上可知，向量OA 在OP 上的投影的取值范围为45,25⎛⎤- ⎥ ⎝⎦．故选：A ．【点睛】本题主要考查利用坐标法解决向量问题，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本题共4小题.将答案填在答题卡相应的位置上） 13.若1π4x =，23π4x =是函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>两个相邻的零点，则ω=______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据所给的相邻的零点可求周期，从而得到ω的值. 【详解】因为1π4x =，23π4x =是函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>两个相邻的零点， 故3π22π44T π-==，所以T π=，故2ω=， 故答案为： 2.【点睛】本题考查三角函数的图象性质，一般地，相邻两个零点之间的距离为半周期，相邻两条对称轴之间的距离也是半周期.14.已知AB 是过抛物线24y x =焦点F 的弦，O 是原点，则OA OB ⋅=______. 【答案】3- 【解析】 【分析】当直线AB 的斜率不存在时，得出,A B 的坐标，根据数量积公式得出3OA OB ⋅=-，当直线AB 的斜率存在时，设:AB y kx k =-，并与抛物线方程联立，结合韦达定理，即可得出3OA OB ⋅=-. 【详解】由题意得，(1,0)F当直线AB 的斜率不存在时，(1,2),(1,2)A B -，则112(2)3OA OB ⋅=⨯+⨯-=- 当直线AB 的斜率存在时，设:AB y kx k =-，()()1122,,,A x y B x y由24y kx k y x=-⎧⎨=⎩，得2440ky y k --= 所以124y y =-，()21212116y y x x==即1212143OA OB x x y y ⋅=+=-=- 综上，3OA OB ⋅=- 故答案为：3-【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的交点问题以及数量积的计算，属于中档题.15.已知正三棱柱111ABC A B C -，若有一半径为4的球与正三棱柱的各条棱均相切，则正三棱柱的侧棱长为______. 【答案】43 【解析】 【分析】由题意求出正三棱柱的高、底面边长，即可求出侧棱的长度. 【详解】设底面△ABC 外接圆圆心G ,如图因为△ABC 的外接圆即为球的大圆，且4r =， 则GA =GB =GC =4，从而正△ABC 边长3设球心O ，由题意知E 、D 在球面上，4OE OD ==,F为DE中点，则1,22OF DE OF GDGC⊥===，在Rt OEF中，4,2,23OE OF EF==∴=，43DE∴=∴侧棱143AA=，故答案为：43【点睛】本题主要考查正三棱柱的内切球与正三棱柱的关系，通过二者的关系求出正三棱柱的侧棱长，考查计算能力，逻辑推理能力，属于中档题.16.牛顿迭代法（Newton´smethod）又称牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphsonmethod），是牛顿在17世纪提出的一种近似求方程根的方法.如图，设r是()0f x=的根，选取x作为r初始近似值，过点()()00,x f x 作曲线()y f x=的切线l，l与x轴的交点的横坐标()()()()100f xx x f xf x''=-≠，称1x是r的一次近似值，过点()()11,x f x作曲线()y f x=的切线，则该切线与x轴的交点的横坐标为()()1211f xx xf x'=-()()1f x'≠，称2x是r的二次近似值.重复以上过程，得到r的近似值序列.请你写出r 的1n+次近似值与r的n次近似值的关系式______，若22f x x，取1x=作为r的初始近似值，试求()0f x=的一个根2的三次近似值______（请用分数做答）.【答案】 (1).()()()()1nn n nnf xx x f xf x+'=-≠' (2).577408【解析】【分析】根据n x 的定义可得其递推关系，再结合22f x x 2的三次近似值.【详解】由题设可得()()()()010000f x x x f x f x ''=-≠，()()1211f x x x f x '=-，()()3222f x x x f x =-'，依次类推，则可得()()1n n n n f x x x f x +=-'，其中()0n f x '≠.因22f x x，故1222222n n n n n nx x x x x x +-+=-=，因为01x =，故132x =，21712x =，2577408x =， 故答案为：()()()()10n n n n n f x x x f x f x +'=-≠'，577408.【点睛】本题考查导数的应用以及递推数列的指定项的求法，考查了学生对给定材料的理解与应用，本题为基础题.三、解答题（本题共6小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.） 17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，*n N ∈，且11a =，1222n n n a a n ++=+（1）证明：数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等比数列：（2）求数列{}n a 的通项公式与前n 项和n S .【答案】（1）证明见解析；（2）()112n n a n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()1332nn S n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）题设中的递推关系可转化为11221n n a n a n ++=+，从而可证1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为等比数列.（2）由等比数列的通项公式可求出1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的通项，从而可得{}n a 的通项公式，利用错位相减法可求n S . 【详解】（1）因为11a =，由已知1222n n n a a n ++=+可得11221n n a a n n +=⨯++，因为11022a =≠，故01n a n ≠+即11221n n a n a n ++=+为常数.所以1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以12为首项，12为公比的等比数列.（2）由1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以12为首项，12为公比的等比数列. 得11111222n n n a n -⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以()112nn a n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 所以()123111123412222nn S n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()234111111234122222n n S n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()234111111111222222nn n S n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()131322n n +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.所以()1332nn S n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.综上，()112nn a n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()1332nn S n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查数列通项的求法、错位相减法求数列的前n 项和，前者应结合递推关系构造新数列（等差数列或等比数列），后者应根据通项的特征来选择合理的求和方法.18.如图，矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直，45ABE ∠=︒，2AB =，2BG =，1BC =.（1）求证：AG ⊥平面ADF ； （2）求二面角D CA G --的正切值.【答案】（1）证明见解析；（2）5-.【解析】【分析】（1）可证AD⊥平面ABEF，从而得到AD AG⊥，又可证AG AF⊥，从而得到AG⊥平面ADF. （2）以A为原点，AG为x轴，AF为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面ACD的法向量和面ACG的法向量后计算它们的夹角的余弦值，再结合二面角为钝角以及同角的三角函数基本关系式可求二面角的正切值.【详解】（1）证明：∵矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直，AD AB⊥，∵矩形ABCD菱形ABEF AB=，AD⊂平面ABCD，∴AD⊥平面ABEF.∵AG⊂平面ABEF，∴AD AG⊥，∵菱形ABEF中，45ABE∠=︒，2AB=，2BG=，故24222222AG=+-⨯⨯⨯=，∴由勾股定理得AG BE⊥，∴AG AF⊥，∵AD AF A=，∴AG⊥平面ADF.（2）由（1）可知AD，AF，AG两两垂直，以A为原点，AG为x轴，AF为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系，由已知()0,0,0A，)2,2,1C-，()0,0,1D，)2,0,0G，()2,2,1AC=，()0,0,1AD=，()2,0,0AG=设平面ACD的法向量()1111,,n x y z=，则111111220AC n x zAD n z⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，取11y=得()11,1,0n=.设平面ACG的法向量()2222,,n x y z=，则22222222020AC n x y z AG n x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，取21y =得(22=n 设二面角D CA G --的平面角为θ，则[]0,θπ∈且12126cos 6n n n n θ⋅==⋅，所以30sin θ=，由θ为钝角，所以二面角D CA G --的正切值为5-【点睛】线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，也可由面面垂直得到，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.而面面垂直的证明可以通过线面垂直得到，也可以通过证明二面角是直二面角. 空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算19.在新冠病毒肆虐全球的大灾难面前，中国全民抗疫，众志成城，取得了阶段性胜利，为世界彰显了榜样力量.为庆祝战疫成功并且尽快恢复经济，某网络平台的商家进行有奖促销活动，顾客购物消费每满600元，可选择直接返回60元现金或参加一次答题返现，答题返现规则如下：电脑从题库中随机选出一题目让顾客限时作答，假设顾客答对的概率都是0.4，若答对题目就可获得120元返现奖励，若答错，则没有返现.假设顾客答题的结果相互独立.（1）若某顾客购物消费1800元，作为网络平台的商家，通过返现的期望进行判断，是希望顾客直接选择返回180元现金，还是选择参加3次答题返现？（2）若某顾客购物消费7200元并且都选择参加答题返现，请计算该顾客答对多少次概率最大，最有可能返回多少现金？【答案】（1）商家希望顾客参加答题返现；（2）该顾客答对5次的概率最大，最有可能返回600元现金. 【解析】 【分析】（1）设X 表示顾客在三次答题中答对的次数，利用二项分布计算可得() 1.2E X =，从而可得顾客在三次答题中可获得的返现金额的期望为1.2120144⨯=元，从而可得商家的正确选择. （2）由已知顾客可以参加12次答题返现，设其中答对的次数为Y .利用二项分布可得()()()12120.40.6k kkP Y k C-==，0k =，1，2，…，12，由()()()()11P Y k P Y k P Y k P Y k ⎧=≥=-⎪⎨=≥=+⎪⎩可得5k =，从而可得该顾客答对5次的概率最大，故可得最有可能返回的现金额. 【详解】（1）设X 表示顾客在三次答题中答对的次数，由于顾客每次答题的结果是相互独立的，则()~3,0.4X B ，. 所以()30.4 1.2E X np ==⨯=.由于顾客每答对一题可获得120元返现奖励，因此该顾客在三次答题中可获得的返现金额的期望为1.2120144⨯=元.由于顾客参加三次答题返现的期望144元小于直接返现的180元，所以商家希望顾客参加答题返现..（2）由已知顾客可以参加12次答题返现，设其中答对的次数为Y . 由于顾客答题的结果是相互独立的，则()~12,0.4Y B ，.()()()12120.40.6kkk P Y k C -==，0k =，1，2，…，12假设顾客答对k 次的概率最大，则有()()()()()()()()121131121212111112120.40.60.40.60.40.60.40.6k k k k k k k k k k k k C C C C -----+-+⎧≥⎪⎨≥⎪⎩ 解得，则4.2 5.2k ≤≤，所以5k =，所以()5P Y =最大.所以该顾客答对5次的概率最大，最有可能返回5120600⨯=元现金.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的计算，计算分布列时要弄清随机变量取某值时对应的随机事件的含义并确定合理的概率计算方法.必要时可借助于常见的分布列来帮助计算（如0-1分布、二项分布、超几何分布等）.20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的长轴长为4，左、右顶点分别为M ，N ，点G 是椭圆.上异于左右顶点的动点，直线GM ，GN 的斜率分别为GM k 和GN k ，且12GM GN k k ⋅=-. （1）求椭圆C方程；（2）直线l ：(2y k x =与椭圆相交于A ，B 两点、点(),0P m ，若x 轴是APB ∠的角平分线，求P 点坐标.【答案】（1）22142x y +=；（2）()22,0. 【解析】 【分析】（1）利用题中所给的条件，求得2a =，设()00,G x y ，利用斜率坐标公式，结合题中所给的条件，建立等量关系，结合点在椭圆上，整理得出2212GM GNb k k a ⋅=-=-，即222a b =，进而求得椭圆的方程；（2）联立方程组，消元整理得出()()22221242410k x k x k +-+-=，>0∆，21224221kx x k +=+，()21224121k x x k -⋅=+，根据题意得到0PA PB k k +=，求得22m =，从而求得P 点坐标.【详解】（1）由已知24a =，所以2a = 设()00,G x y ，(),0M a -，(),0N a200022000GM GNy y y k k x a x a x a⋅=⋅=-+-又因为2200221x y a b+=所以22022202222200112GM GNx b a y b k k x a x a a ⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭⋅===-=--- 所以222a b = 所以24a =，22b =2242a b ==，故椭圆C 的方程为22142x y +=.（2）l ：(2y k x =-与椭圆C ：22142x y +=联立解得()()22221242410k xk x k +-+-=设()11,A x y ，()22,B x y所以>0∆，21224221k x x k +=+，()21224121k x x k -⋅=+.因为x 轴是APB ∠的角平分线，所以有()()()()12211212120PA PB y x m y x m y y k k x m x m x m x m -+-+=+==----(()(()1221220k x xm x x m ⎡⎤-+-=⎣⎦()12122(2)220x x m x x m -++=()()22228142(2)2221021k m k m k k --+++=+.解得22m =∴P 点坐标为()22,0.【点睛】该题考查的是有关椭圆的问题，涉及到的知识点有椭圆方程的求解，直线与椭圆的位置关系，直线关于x 轴对称的条件，属于中档题目.21.设函数()3x f x e x =+，()27ln xg x x x e t x =--+，（1）求曲线()y f x =过原点的切线方程；（2）设()()()F x f x g x =+，若函数()F x 的导函数()F x '存在两个不同的零点m ，()n m n <，求实数t 的范围：（3）在（2）的条件下证明：()30F m n +>【答案】（1）()3y e x =+；（2）02t <<；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出直线斜率，点斜式即可求出直线方程；（2）函数()F x '存在两个不同的零点m ，转化为一元二次方程有两个不同的正根，利用方程根的分布即可求解； （3）化简()F m n，构造函数()()422ln 012h m m m m m m =-++<<-，利用导数求其最小值即可求证. 【详解】（1）设切点坐标为()0,3x x ex +，()3xf x e'=+所以()003xk f x e '==+.所以切线方程()()()000033x x e x e x x -+=+-.又因为切线过原点，所以()()()000033x x ex e x -+=+-所以000x x ex e =⋅，所以01x =故所求切线方程为()3y e x =+.（2）∵()()()()24ln 0F x f x g x x x t x x =+=-+>∴()()224240t x x tF x x x x x-+'=-+=>因为函数()F x 的导函数存在两个不同的零点m ，()n m n <， 所以方程2240x x t -+=有两个不同的正根m ，()n m n <，所以12121680002t x x t x x ⎧⎪∆=->⎪+>⎨⎪⎪=>⎩解得02t <<.（3）由()0F x '=，得2240x x t -+=，则由已知2m n +=，∵m n <，∴012m n <<<<∴()()222442ln 4ln 22m m m m m F m m m t m n m m-+--+==-- ()()22422ln 2m m m mm--+-=-422ln 2m m m m =-++- 设函数()()422ln 012h m m m m m m =-++<<- 所以()()()()224412ln 22ln 022m m h m m m m m -'=--++=+<--所以()h m 在区间()0,1上单调递减 所以()()13h m h >=-所以()3F m n>-即()30F m n +>得证 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，函数零点与方程的根，利用导数求函数的最小值，转化思想，属于中档题.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡.上把所选题目对应的题号涂黑.22.在平面直角坐标系中，曲线1C ：12xy =，曲线2C ：632632x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程：（2）曲线3C 的极坐标方程为π0,02θαρα⎛⎫=><< ⎪⎝⎭，3C 分别交1C ，2C 于A ，B 两点，当α取何值时，21OB OA -取得最小值.【答案】（1）21sin cos 2ρθθ=；66ρθθ=+；（2）π12α=或者5π12α=. 【解析】 【详解】（1）1C 的极坐标方程为21sin cos 2ρθθ=. 2C 的普通方程为2266322x y ⎛⎫⎛-+-= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭对应极坐标方程为66ρθθ=（2）曲线3C 的极坐标方程为π0,02θαρα⎛⎫=><< ⎪⎝⎭设()1,A ρα，()2,B ρα，则211sin 2αρ=，)26sin cos ραα=+ 所以)21sin 26sin cos OB OA ααα-=+ 设πsin cos 24t ααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 则2sin 21t α=-，则22161OB t t OA -=-， 则当62t =即π3sin 42α⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，取得最小值52- 又因为π02α<<，所以ππ3π444α<+<， 所以当π12α=或者5π12α=时，21OB OA -取得最小值52- 23.已知函数2()f x x a x a=-++ （1）当2a =时，求不等式()5f x >的解集；（2）当2a >时，证明：4()2(21)(2)f x a a +≥-. 【答案】（1）{2x x <-或}3x >；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）分3段1x ≤-、12x -<<、2x ≥去绝对值解不等式组，再取并集；（2）由题2()f x x a x a =-++，2a >，由三角绝对值不等式得222x a x a a a a a -++≥+=+，再利用基本不等式可证．【详解】（1）当2a =时，()21f x x x =-++①当1x ≤-时，原不等式等价于(2)(1)5x x --+>，解得2x <-；②当12x -<<时，原不等式等价于35>，不等式无解；③当2x ≥时，原不等式等价于(2)(1)5x x -++>，解得3x >，综上， 不等式()5f x >的解集为{2x x <-或}3x >（2）由已知，2()f x x a x a=-++ 因为2a >，所以222x a x a a a a a-++≥+=+所以()2f x a a ≥+，当且仅当()20x a x a ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭即2[,]x a a ∈-时等号成立， 所以()()()42422222222f x a a a a a a a a a a a a +≥++=++-=+----， 因为20a ->所以()()4222222222f x a a a a a a +≥+≥-++≥---. 所以当且仅当22a =且222x ⎤∈⎦时等号成立.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法以及均值定理证明不等式，属于中档题．。
2025届黑龙江省哈尔滨市哈尔滨师范大学附属中学高三二诊模拟考试语文试卷含解析
2025届黑龙江省哈尔滨市哈尔滨师范大学附属中学高三二诊模拟考试语文试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
1、阅读下面的文字,完成各题。
剪纸王孙博元旦的午后,枫城风雪交加。
北面文化中心大堂内挤满了人,温暖如春。
这里正在举办加拿大青少年剪纸大赛，参赛者有100多人,分成大、中、小学三个组别。
大学组压轴上阵,共有30多个选手。
随着主持人宣布比赛题目为“年年有余”后，大家争分夺秒地忙碌起来。
20分钟左右，牛犇第一个交卷。
作品质量和所用时间,都大大出乎评委所料。
牛犇正在读大学二年级,是滑铁卢大学计算机软件专业的高材生。
其他选手都在规定的半个小时才交卷，还有几个根本没能完工。
最终,五个评委一致决定给牛犇打100分。
评委会吴主席走上台,向大家宣布“牛犇同学以满分夺得大学组冠军,获奖金5000 加元。
这也是我们大赛举办三年来,第一个人获得满分,再次恭喜牛犇同学！”吴主席双手举起牛犇的剪纸给大家看,作品是全圆形的窗花图案，男女胖娃各抱鲤鱼跳龙门,喜气洋洋中带着积极向上的精神。
吴主席评说:“牛犇同学的作品紧扣‘年年有余’的主题,但又富有创意,融入鲤跃龙门的元素。
构图新颖,刀工流畅,疏密有致，阴阳相间……”台下一位参赛者突然举手，吴主席马上停住嘴，示意他发言。
黑龙江省哈三中2020届高三第四次模拟数学(文)试题含答案
俯 数学试卷（文史类） 第 3页 共 8 页
12. 定义：N{ f (x) g(x)} 表示 f (x) g(x) 的解集中整数的个数．若 f (x) | log2 (x 1) | ， g(x) a(x 3)2 2 ，且 N{ f (x) g(x)} 2 ，则实数 a 的取值范围是
《算学启蒙》和《四元玉鉴》．这些书中涉及的很多方面都达到古代数学的高峰, 其
中一些“算法”如开立方和开四次方也是当时世界数学的高峰．哈三中图书馆中正好
有这十本书,但是书名中含有“算”字的书都已经借出，现在小张同学从剩余的书中任
借两本阅读, 那么他借到《数书九章》的概率为
.
16. 已知直线 l 为经过坐标原点且不与坐标轴重合的直线，且 l 与椭圆 C : x 2 y 2 1 a2 b2
S N
.
它表示:在受噪声干扰的信道中,
最大信息传递速率 C 取决于
信道带宽W , 信道内信号的平均功率 S , 信道内部的高斯噪声功率 N 的大小, 其中
S 叫做信噪比. 当信噪比比较大时, 公式中真数中的1可以忽略不计. 按照香农公式,
N S
若不改变带宽W , 而将信噪比 从 1000 提升至 4000, 则 C 大约增加了 N
a b 0相交于 P, Q 两点, 点 B 为椭圆上异于 P, Q 的任意一点，若直线 BP 和
BQ的斜率之积为 1 , 则椭圆 C 的离心率为
.
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三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17.（本小题满分 12 分）
字笔书写, 字体工整, 字迹清楚； （3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案