2019届高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.5椭圆第1课时课件(理)

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高考数学一轮复习《第九章平面解析几何》9-5椭圆课件

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Байду номын сангаас答案 D
解析
→ → 设点D(0，b)，则 DF1 ＝(－c，－b)， DA ＝(－
→ → → → a，－b)，DF2 ＝(c，－b)，由3DF1 ＝DA ＋2DF2 得－3c＝－a 1 ＋2c，即a＝5c，故e＝ . 5 5．(09·广东)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在 x轴上，离心率为 3 ，且G上一点到G的两个焦点的距离之 2
2 2
答案
1 2
解析
由题意△ABF2的周长为8，根据椭圆的定义得4a
2 2 2
＝8，即a＝2.又c ＝a －b ＝1，所以椭圆的离心率e＝ 1 . 2
c ＝ a
x y 4．(2011·金华十校)方程为 2 ＋ 2 ＝1(a>b>0)的椭圆 a b 的左顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，D是它短轴上的 → → → 一个端点，若3 DF1 ＝ DA ＋2 DF2 ，则该椭圆的离心率为 ( ) 1 A. 2 1 C. 4 1 B. 3 1 D. 5
∴b ＝a －c ＝25－9＝16， x y 故动圆圆心的轨迹方程为＋＝1. 25 16 x y (2)椭圆＋＝1上一点P到左焦点距离为6，F是该 25 16 → 1 → → →| 椭圆的左焦点，若点M满足OM＝ (OP ＋OF)，则|OM 2 ＝________.
2 2 2 2
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【答案】
•
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x y y x ＋＝ 1 ，＋ 2 2 2 2＝1.(其中a>b>0) a b a b 3．椭圆的几何性质
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x y 4．方程：Ax ＋By ＝1或＋＝1(A>0，B>0，A≠B)也表 A B

高三数一轮复习课件：第九章平面解析几何. .ppt..

解：如图，因为 kAP＝12－－01＝1，
kBP＝ 03－－10＝－ 3，所以 k∈(－∞，－ 3]∪[1，＋∞)．故填(－∞，－ 3]∪[1，＋∞)．
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类型二求直线方程
根据所给条件求直线的方程． (1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为 1100； (2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距相等； (3)直线过点(5，10)，且到原点的距离为 5.
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类型一直线的倾斜角和斜率
(1)设直线 2x＋my＝1 的倾斜角为 α，若 m∈(－∞，－2 3)∪[2，＋∞)，则角 α 的取值范围是________．
解：据题意知 tanα＝－m2 ，因为 m<－2 3或 m≥2.
所以 0<tanα< 33或－1≤tanα<0.
(3)过点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程 ①若 x1＝x2，且 y1≠y2 时，直线垂直于 x 轴，方程为____________； ②若 x1≠x2，且 y1＝y2 时，直线垂直于 y 轴，方程为____________； ③若 x1＝x2＝0，且 y1≠y2 时，直线即为 y 轴，方程为____________； ④若 x1≠x2，且 y1＝y2＝0，直线即为 x 轴，方程为____________．
x＝
，

y＝
.
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2．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，x 轴____________与直线 l 向上方向之间所成的角 α 叫做直线 l 的倾斜角．当直线 l 与 x 轴________或________ 时，我们规定它的倾斜角为 0°.因此，直线的倾斜角 α 的取值范围为 __________________． (2)斜率：一条直线的倾斜角 α 的____________叫做这条直线的斜率，常用小写字母 k 表示，即 k＝______(α≠______)．当直线平行于 x 轴或者与 x 轴重合时，k______0；当直线的倾斜角为锐角时，k______0；当直线的倾斜角为钝角时，k______0；倾斜角为 ______的直线没有斜率．倾斜角不同，直线的斜率也不同．因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度．

高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.6椭圆(第1课时)教案(含解析)

§9.6椭圆考情考向分析椭圆的定义、标准方程、几何性质通常以填空题形式考查，直线与椭圆的位置关系主要出现在解答题中．1．椭圆的概念平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M|MF1＋MF2＝2a}，F1F2＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若a>c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a<c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质3.椭圆的第二定义平面内动点P 到定点F 的距离和它到定直线l (点F 不在直线l 上)的距离的比是常数e (0<e <1)的点的轨迹是椭圆．定点F 是焦点，定直线l 是准线，常数e 是离心率．概念方法微思考1．在椭圆的定义中，若2a ＝F 1F 2或2a <F 1F 2，动点P 的轨迹如何？提示当2a ＝F 1F 2时动点P 的轨迹是线段F 1F 2；当2a <F 1F 2时动点P 的轨迹是不存在的． 2．椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？提示由e ＝c a＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2知，当a 不变时，e 越大，b 越小，椭圆越扁；e 越小，b 越大，椭圆越圆．3．点和椭圆的位置关系有几种？如何判断．提示点P (x 0，y 0)和椭圆的位置关系有3种(1)点P (x 0，y 0)在椭圆内⇔x 20a 2＋y 20b 2<1.(2)点P (x 0，y 0)在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1.(3)点P (x 0，y 0)在椭圆外⇔x 20a 2＋y 20b2>1.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( √ )(2)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( √ )(3)y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ≠b )表示焦点在y 轴上的椭圆．( × ) (4)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的焦距相等．( √ ) 题组二教材改编 2．[P37T4]椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m ＝________.答案 4或8解析当焦点在x 轴上时，10－m >m －2>0， 10－m －(m －2)＝4，∴m ＝4.当焦点在y 轴上时，m －2>10－m >0，m －2－(10－m )＝4，∴m ＝8. ∴m ＝4或8.3．[P37T5]过点A (3，－2)且与椭圆x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆的方程为________________．答案x 215＋y 210＝1 解析由题意知c 2＝5，可设椭圆方程为x 2λ＋5＋y 2λ＝1(λ>0)，则9λ＋5＋4λ＝1，解得λ＝10或λ＝－2(舍去)， ∴所求椭圆的方程为x 215＋y 210＝1.4．[P57T6]设椭圆x 2m 2＋y 2m 2－1＝1(m >1)上一点P 到其左焦点的距离为3，到其右焦点的距离为1，则点P 到其右准线的距离为________．答案 2解析 ∵m 2>m 2－1，∴m 2＝a 2，m 2－1＝b 2，∴c 2＝1. 又3＋1＝2a ，∴a ＝2，∴e ＝12，∴点P 到其右准线的距离d ＝1e＝2.题组三易错自纠5．若方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆，则m 的取值范围是________．答案 (－3,1)∪(1,5)解析由方程表示椭圆知⎩⎪⎨⎪⎧5－m >0，m ＋3>0，5－m ≠m ＋3，解得－3<m <5且m ≠1.6．若椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为________．答案－1925或21解析若a 2＝9，b 2＝4＋k ，则c ＝5－k ，由c a ＝45，即5－k 3＝45，得k ＝－1925；若a 2＝4＋k ，b 2＝9，则c ＝k －5，由c a ＝45，即k －54＋k ＝45，解得k ＝21.7．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则椭圆C 的方程为________．答案x 23＋y 22＝1 解析 ∵△AF 1B 的周长为43，∴4a ＝43， ∴a ＝3，∵离心率为33，∴c ＝1， ∴b ＝a 2－c 2＝2，∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.8．(2019·江苏南京外国语学校月考)已知点A (1,2)在椭圆x 225＋y 29＝1内，F 是右焦点，P 是椭圆上动点，则PA ＋54PF 的最小值是________．答案214解析根据椭圆的第二定义得到PF d ＝c a ＝45，其中d 表示P 点到右准线的距离记为PD ，故PA ＋54PF ＝PA ＋d ，当且仅当P ，A 和D 三点共线时，值最小，右准线方程为x ＝254，代入得到PA ＋54PF 的最小值是214.第1课时椭圆及其性质题型一椭圆的定义及应用1.如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是________．答案椭圆解析由条件知PM ＝PF ， ∴PO ＋PF ＝PO ＋PM ＝OM ＝R >OF . ∴P 点的轨迹是以O ，F 为焦点的椭圆．2．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是________．答案 4 3解析由椭圆的方程得a ＝ 3.设椭圆的另一个焦点为F ，则由椭圆的定义得BA ＋BF ＝CA ＋CF ＝2a ，所以△ABC 的周长为BA ＋BC ＋CA ＝BA ＋BF ＋CF ＋CA ＝(BA ＋BF )＋(CF ＋CA )＝2a ＋2a＝4a ＝4 3.3．椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则PF 2＝________. 答案 72解析 F 1(－3，0)，∵PF 1⊥x 轴， ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，±12，∴PF 1＝12， ∴PF 2＝4－12＝72.4．已知F 是椭圆5x 2＋9y 2＝45的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1,1)是一定点，则PA ＋PF 的最大值为________，最小值为________．答案 6＋ 2 6－ 2解析椭圆方程化为x 29＋y 25＝1，设F 1是椭圆的右焦点，则F 1(2,0)， ∴AF 1＝2，∴PA ＋PF ＝PA －PF 1＋6，又－AF 1≤PA －PF 1≤AF 1(当P ，A ，F 1共线时等号成立)， ∴PA ＋PF ≤6＋2，PA ＋PF ≥6－ 2.思维升华椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．题型二椭圆的标准方程命题点1 定义法例1(1)已知A (－1,0)，B 是圆F ：x 2－2x ＋y 2－11＝0(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，则动点P 的轨迹方程为________________．答案x 23＋y 22＝1 解析由题意得PA ＝PB ，∴PA ＋PF ＝PB ＋PF ＝r ＝23>AF ＝2，∴点P 的轨迹是以A ，F 为焦点的椭圆，且a ＝3，c ＝1，∴b ＝2，∴动点P 的轨迹方程为x 23＋y 22＝1.(2)在△ABC 中，A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长是18，则顶点C 的轨迹方程是________________．答案x 225＋y 29＝1(y ≠0) 解析由AC ＋BC ＝18－8＝10>8知，顶点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆(A ，B ，C 不共线)．设其方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则a ＝5，c ＝4，从而b ＝3.由A ，B ，C 三点不共线知y ≠0.故顶点C 的轨迹方程是x 225＋y 29＝1(y ≠0)．命题点2 待定系数法例2如图，设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E于A ，B 两点．若AF 1＝3BF 1，AF 2⊥x 轴，求椭圆E 的方程．解因为AF 2⊥x 轴，所以AF 2＝b 2a＝b 2，设点A (c ，b 2)，又AF 1＝3BF 1，所以点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－53c ，－13b 2，将其代入椭圆方程，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫－53c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 232b 2＝1，b 2＝1－c 2，解得c 2＝13，b 2＝23，所以椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.思维升华 (1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法．(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a >|F 1F 2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )的形式．跟踪训练1(1)已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且椭圆G 上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________．答案x 236＋y 29＝1 解析依题意设椭圆G 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为12，∴2a ＝12，∴a ＝6，∵椭圆的离心率为32，∴e ＝ca ＝1－b 2a 2＝32，即1－b 236＝32，解得b 2＝9，∴椭圆G 的方程为x 236＋y 29＝1. (2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________________．答案y 220＋x 24＝1 解析 ∵所求椭圆与椭圆y 225＋x 29＝1的焦点相同，∴其焦点在y 轴上，且c 2＝25－9＝16.设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．∵c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2，故a 2－b 2＝16. ①又点(3，－5)在所求椭圆上， ∴(－5)2a 2＋(3)2b2＝1，即5a2＋3b2＝1.②由①②得b 2＝4，a 2＝20，∴所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.题型三椭圆的几何性质命题点1 求离心率的值(或范围)例3(1)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．答案33解析方法一如图，在Rt△PF 2F 1中，∠PF 1F 2＝30°，F 1F 2＝2c ， ∴PF 1＝2c cos30°＝43c3，PF 2＝2c ·tan30°＝23c3. ∵PF 1＋PF 2＝2a ，即43c 3＋23c3＝2a ，可得3c ＝a . ∴e ＝c a ＝33. 方法二 (特殊值法)：在Rt△PF 2F 1中，令PF 2＝1，∵∠PF 1F 2＝30°，∴PF 1＝2，F 1F 2＝ 3. ∴e ＝2c 2a ＝F 1F 2PF 1＋PF 2＝33.(2)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 为椭圆上一点，OP ＝24a ，且PF 1，F 1F 2，PF 2成等比数列，则椭圆的离心率为________．答案64解析设P (x ，y )，则OP 2＝x 2＋y 2＝a 28，由椭圆定义得，PF 1＋PF 2＝2a ， ∴PF 21＋2PF 1·PF 2＋PF 22＝4a 2，又∵PF 1，F 1F 2，PF 2成等比数列， ∴PF 1·PF 2＝F 1F 22＝4c 2，则PF 21＋PF 22＋8c 2＝4a 2，∴(x ＋c )2＋y 2＋(x －c )2＋y 2＋8c 2＝4a 2，整理得x 2＋y 2＋5c 2＝2a 2，即a 28＋5c 2＝2a 2，整理得c 2a 2＝38， ∴椭圆的离心率e ＝ca ＝64. (3)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >c >0，a 2＝b 2＋c 2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若以F 2为圆心，b －c为半径作圆F 2，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且PT 的最小值不小于32(a －c )，则椭圆的离心率e 的取值范围是__________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫35，22解析因为PT ＝PF 22－(b －c )2(b >c )，而PF 2的最小值为a －c ，所以PT 的最小值为(a －c )2－(b －c )2. 依题意，有(a －c )2－(b －c )2≥32(a －c )，所以(a －c )2≥4(b －c )2，所以a －c ≥2(b －c )，所以a ＋c ≥2b ，所以(a ＋c )2≥4(a 2－c 2)，所以5c 2＋2ac －3a 2≥0，所以5e 2＋2e －3≥0. ①又b >c ，所以b 2>c 2，所以a 2－c 2>c 2，所以2e 2<1.②联立①②，得35≤e <22.命题点2 求参数的值(或范围)例4设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m的取值范围是________．答案 (0,1]∪[9，＋∞)解析方法一设椭圆焦点在x 轴上，则0<m <3，点M (x ，y )．过点M 作x 轴的垂线，交x 轴于点N ，则N (x,0)．故tan∠AMB ＝tan(∠AMN ＋∠BMN ) ＝3＋x |y |＋3－x |y |1－3＋x |y |·3－x |y |＝23|y |x 2＋y 2－3. 又tan∠AMB ＝tan120°＝－3，且由x 23＋y 2m ＝1，可得x 2＝3－3y 2m，则23|y |3－3y 2m＋y 2－3＝23|y |⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3m y2＝－ 3. 解得|y |＝2m3－m. 又0<|y |≤m ，即0<2m3－m ≤m ，结合0<m <3解得0<m ≤1.对于焦点在y 轴上的情况，同理亦可得m ≥9.则m 的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)．方法二当0<m <3时，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则a b≥tan60°＝3，即3m≥3，解得0<m ≤1.当m >3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则a b≥tan60°＝3，即m3≥3，解得m ≥9.故m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．命题点3 椭圆的第二定义例5(2018·南通、泰州调研)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率为22，焦点到相应准线的距离为1.(1)求椭圆的标准方程；(2)若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线y ＝2于点Q ，求1OP2＋1OQ 2的值．解 (1)由题意得c a ＝22，a2c－c ＝1，解得a ＝2，c ＝1，b ＝1. 所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意知OP 的斜率存在．当OP 的斜率为0时，OP ＝2，OQ ＝2，所以1OP2＋1OQ 2＝1.当OP 的斜率不为0时，设直线OP 的方程为y ＝kx .由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ，得(2k 2＋1)x 2＝2，解得x 2＝22k 2＋1，所以y 2＝2k 22k 2＋1，所以OP 2＝2k 2＋22k 2＋1.因为OP ⊥OQ ，所以直线OQ 的方程为y ＝－1kx .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，y ＝－1k x ，得x ＝－2k ，所以OQ 2＝2k 2＋2.所以1OP 2＋1OQ 2＝2k 2＋12k 2＋2＋12k 2＋2＝1.综上可知，1OP2＋1OQ 2＝1.思维升华(1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧 ①注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些范围问题时，经常用到x ，y 的范围，离心率的范围等不等关系． ②利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，理清顶点、焦点、长轴、短轴等基本量的内在联系． (2)求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a ，b ，c 的等式或不等式，即可得离心率或离心率的范围．跟踪训练2(1)已知椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到右准线的距离为10，则点P 到该椭圆的左焦点的距离为________．答案 4解析设F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，点P 到右准线的距离为d ＝10，由椭圆的第二定义知，PF 2d ＝c a ＝35，解得PF 2＝6.又PF 1＋PF 2＝2a ＝10，解得PF 1＝4，故点P 到椭圆左焦点的距离为4.(2)已知椭圆x 24＋y 2b2＝1(0<b <2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若BF 2＋AF 2的最大值为5，则b 的值是________．答案3解析由椭圆的方程可知a ＝2，由椭圆的定义可知，AF 2＋BF 2＋AB ＝4a ＝8，所以AB ＝8－(AF 2＋BF 2)≥3，由椭圆的性质可知2b2a＝3.所以b 2＝3，即b ＝ 3.(3)(2018·阜阳模拟)已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点，若椭圆上存在点P 使得PF 1⊥PF 2，则该椭圆的离心率的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 解析 ∵F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点，∴离心率0<e <1，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，c 2＝a 2－b 2.设点P (x ，y )，由PF 1⊥PF 2，得(x ＋c ，y )·(x －c ，y )＝0，化简得x 2＋y 2＝c 2.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝c 2，x 2a 2＋y2b2＝1，整理得x 2＝(2c 2－a 2)·a 2c 2≥0，解得e ≥22.又0<e <1，∴22≤e <1. (4)(2018·苏北四市模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 1，B 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右、下、上顶点，F 是椭圆C 的右焦点．若B 2F ⊥AB 1，则椭圆C 的离心率是________．答案5－12解析因为F (c,0)，B 2(0，b )，B 1(0，－b )，A (a,0)，所以B 2F —→＝(c ，－b )，B 1A —→＝(a ，b )．因为B 2F ⊥AB 1，所以ac －b 2＝0，即c 2＋ac －a 2＝0，故e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1＋52(负值舍去)．1．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，OM ＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为________．答案 4解析由题意知OM ＝12PF 2＝3，∴PF 2＝6，∴PF 1＝2a －PF 2＝10－6＝4.2．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为________．答案 12解析如图，由题意得，BF ＝a ，OF ＝c ，OB ＝b ，OD ＝14×2b ＝12b .在R t△FOB 中，OF ×OB ＝BF ×OD ，即cb ＝a ·12b ，解得a ＝2c ，故椭圆的离心率e ＝c a ＝12.3．椭圆x 29＋y 22＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若PF 1＝4，则∠F 1PF 2的大小为________．答案 120°解析 ∵椭圆x 29＋y 22＝1中，a 2＝9，b 2＝2，∴a ＝3，b ＝2，c ＝a 2－b 2＝7，可得F 1(－7，0)，F 2(7，0)．根据椭圆的定义，得PF 1＋PF 2＝2a ＝6，结合PF 1＝4，得PF 2＝6－PF 1＝2.在△F 1PF 2中，根据余弦定理，得F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos∠F 1PF 2， ∴(27)2＝42＋22－2×4×2cos∠F 1PF 2，解得cos∠F 1PF 2＝－12.结合三角形的内角的范围，可得∠F 1PF 2＝120°.4．设F 1，F 2分别为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上，且|PF 1→＋PF 2→|＝23，则∠F 1PF 2＝________. 答案π2解析因为PF 1—→＋PF 2—→＝2PO →，O 为坐标原点，|PF 1—→＋PF 2—→|＝23，所以PO ＝3，又OF 1＝OF 2＝3，所以P ，F 1，F 2在以点O 为圆心的圆上，且F 1F 2为直径，所以∠F 1PF 2＝π2.5．设椭圆x 216＋y 212＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，且满足PF 1—→·PF 2—→＝9，则PF 1·PF 2的值为________．答案 15解析由椭圆方程x 216＋y 212＝1，可得c 2＝4，所以F 1F 2＝2c ＝4，而F 1F 2—→＝PF 2—→－PF 1—→，所以|F 1F 2—→|＝|PF 2—→－PF 1—→|，两边同时平方，得|F 1F 2—→|2＝|PF 1—→|2－2PF 1→·PF 2—→＋|PF 2—→|2，所以|PF 1—→|2＋|PF 2—→|2＝|F 1F 2—→|2＋2PF 1—→·PF 2—→＝16＋18＝34，根据椭圆定义，得PF 1＋PF 2＝2a ＝8，(PF 1＋PF 2)2＝PF 21＋PF 22＋2PF 1·PF 2＝64，所以34＋2PF 1·PF 2＝64，所以PF 1·PF 2＝15.6．(2018·江苏如皋中学月考)如图，点A 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右顶点，过椭圆中心的直线交椭圆于B ，C 两点，满足BC ＝2AB ，AB ⊥BC .则该椭圆的离心率为________．答案63解析因为BC 过椭圆的中心，所以BC ＝2OC ＝2OB ，又AB ⊥BC ，BC ＝2AB ，所以△OAB 是以角B 为直角的等腰直角三角形，则A (a,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－a 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，a2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22a2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 22b2＝1，则a 2＝3b 2，所以c 2＝2b 2，e ＝63. 7．设F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，经过F 1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若△F 2AB 是面积为43的等边三角形，则椭圆C 的方程为__________．答案x 29＋y 26＝1 解析 ∵△F 2AB 是面积为43的等边三角形，∴AB ⊥x 轴，∴A ，B 两点的横坐标为－c ，代入椭圆方程，可求得F 1A ＝F 1B ＝b 2a.又F 1F 2＝2c ，∠F 1F 2A ＝30°，∴b 2a ＝33×2c . ① 又2F AB S ＝12×2c ×2b2a＝43，② a 2＝b 2＋c 2，③由①②③解得a 2＝9，b 2＝6，c 2＝3， ∴椭圆C 的方程为x 29＋y 26＝1.8．已知A ，B ，F 分别是椭圆x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的右顶点、上顶点、左焦点，设△ABF 的外接圆的圆心坐标为(p ，q )．若p ＋q >0，则椭圆的离心率的取值范围为______________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 解析如图所示，线段FA 的垂直平分线为x ＝1－1－b 22，线段AB 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，b 2.因为k AB ＝－b ，所以线段AB 的垂直平分线的斜率k ＝1b，所以线段AB 的垂直平分线方程为y －b 2＝1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12.把x ＝1－1－b 22＝p 代入上述方程可得y ＝b 2－1－b 22b＝q .因为p ＋q >0，所以1－1－b 22＋b 2－1－b22b >0，化为b >1－b 2. 又0<b <1，解得12<b 2<1，即－1<－b 2<－12，所以0<1－b 2<12，所以e ＝c a＝c ＝1－b 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22. 9．(2018·江苏如皋中学月考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为23，过右焦点F 作斜率为k 的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，若AF →＝2FB →，则k ＝________. 答案 ± 3解析设m 为椭圆的右准线，过A ，B 作AA 1，BB 1垂直于m ，A 1，B 1为垂足，过B 作BE ⊥AA 1于E ，根据椭圆的第二定义，得AA 1＝AF e ，BB 1＝BF e，∵AF →＝2FB →，∴cos∠BAE ＝AE AB ＝BF e 3BF ＝13e ＝12，∴tan∠BAE ＝3.∴k ＝± 3.10.2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施．如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子： ①a 1＋c 1＝a 2＋c 2；②a 1－c 1＝a 2－c 2；③c 1a 1<c 2a 2；④c 1a 2>a 1c 2.其中正确式子的序号是________．答案 ②④解析观察图形可知a 1＋c 1>a 2＋c 2，即①式不正确；a 1－c 1＝a 2－c 2＝PF ，即②式正确；由a 1－c 1＝a 2－c 2>0，c 1>c 2>0知，0<a 1－c 1c 1<a 2－c 2c 2，即0<a 1c 1<a 2c 2，从而c 1a 2>a 1c 2，c 1a 1>c 2a 2，即④式正确，③式不正确．11．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．解椭圆方程可化为x 2m ＋y 2mm ＋3＝1，m >0.∵m －mm ＋3＝m (m ＋2)m ＋3>0，∴m >m m ＋3， ∴a 2＝m ，b 2＝mm ＋3，c ＝a 2－b 2＝m (m ＋2)m ＋3. 由e ＝32，得m ＋2m ＋3＝32，∴m ＝1. ∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1，∴a ＝1，b ＝12，c ＝32.∴椭圆的长轴长和短轴长分别为2a ＝2和2b ＝1，焦点坐标为F 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，四个顶点的坐标分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 12．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一点，且∠F 1PF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率的取值范围；(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆C 的短半轴长b 有关． (1)解设PF 1＝m ，PF 2＝n ，则m ＋n ＝2a . 在△PF 1F 2中，由余弦定理可知， 4c 2＝m 2＋n 2－2mn cos60°＝(m ＋n )2－3mn ＝4a 2－3mn ≥4a 2－3·⎝⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝4a 2－3a 2＝a 2，当且仅当m ＝n 时取等号，∴c 2a 2≥14，∴e ≥12.又∵0<e <1，∴离心率e 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.(2)证明由(1)知4c 2＝4a 2－3mn ，在椭圆中a 2－c 2＝b 2， ∴mn ＝43b 2，∴12F PF S＝12mn sin60°＝33b 2，即△F 1PF 2的面积只与短半轴长b 有关．13．已知F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，现以F 2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M ，N ，若过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线，则椭圆的离心率为________．答案3－1解析 ∵过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线， ∴∠F 1MF 2＝90°，MF 2＝c ，∵F 1F 2＝2c ，∴MF 1＝3c ，由椭圆定义可得MF 1＋MF 2＝c ＋3c ＝2a ，∴椭圆的离心率e ＝c a ＝21＋3＝3－1.14．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率等于13，其焦点分别为A ，B ，C 为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△ABC 中，sin A ＋sin Bsin C＝________.答案 3解析在△ABC 中，由正弦定理得sin A ＋sin B sin C ＝CB ＋CAAB ，因为点C 在椭圆上，所以由椭圆定义知CA ＋CB ＝2a ，而AB ＝2c ，所以sin A ＋sin B sin C ＝2a 2c ＝1e＝3.15．椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率为e 1，双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为e 2，其中，a >b >0，e 1e 2＝33，直线l ：x －y ＋3＝0与椭圆C 1相切，则椭圆C 1的方程为________．答案x 26＋y 23＝1 解析椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率e 1＝c 1a ＝1－b 2a2，双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e 2＝c 2a ＝1＋b 2a2，由e 1e 2＝33，得1－b 2a 21＋b 2a2＝33，则a ＝2b ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2－2b 2＝0，x －y ＋3＝0，得3x 2＋12x ＋18－2b 2＝0，由Δ＝122－4×3×(18－2b 2)＝0，解得b 2＝3，则a 2＝6，∴椭圆C 1的方程为x 26＋y 23＝1.16．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若椭圆上存在点P使1－cos2∠PF 1F 21－cos2∠PF 2F 1＝a 2c2，求该椭圆的离心率的取值范围．解由1－cos2∠PF 1F 21－cos2∠PF 2F 1＝a 2c 2得c a ＝sin∠PF 2F 1sin∠PF 1F 2.又由正弦定理得sin∠PF 2F 1sin∠PF 1F 2＝PF 1PF 2，所以PF 1PF 2＝c a，即PF 1＝c a PF 2.又由椭圆定义得PF 1＋PF 2＝2a ，所以PF 2＝2a 2a ＋c ，PF 1＝2ac a ＋c，因为PF 2是△PF 1F 2的一边，所以有2c －2ac a ＋c <2a 2a ＋c <2c ＋2ac a ＋c ，即c 2＋2ac －a 2>0，所以e 2＋2e －1>0(0<e <1)，解得椭圆离心率的取值范围为(2－1,1)．。

(课标通用)高考数学一轮复习第九章平面解析几何第5节椭圆课件理

2 2 y x 所以 a2＝5，所求椭圆的标准方程为 5 ＋ 4 ＝1.故选 C.
[答案]
C
4．已知椭圆的方程为 2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为( 1 A.3 2 C. 2 ) 3 B. 3 1 D.2
[解析]
2 2 x y 2x2＋3y2＝m(m>0)⇒m ＋m＝1， 2 3 2
1 3 m m m 2 所以 c ＝ 2 － 3 ＝ 6 ，所以 e ＝3，所以 e＝ 3 .故选 B.
[答案] B
x2 y2 5．已知 F1，F2 是椭圆 4 ＋ 3 ＝1 的两个焦点，对点 F2 作 x 轴的垂线交椭圆于 A ， B 两点，则 △ F1AB 的周长为 __________．
[解析]
右焦点为 F(1,0)说明两层含义：椭圆的焦点在 x
c 1 轴上； c＝1.又离心率为a＝2，故 a＝2， b2＝a2－c2＝4－1＝3， x2 y2 故椭圆的方程为 4 ＋ 3 ＝1.
[答案] D
3．若直线 x－2y＋2＝0 经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( x2 A. 5 ＋y2＝1
1．判断下列结论的正误． (正确的打“√”，错误的打 “×”) (1)平面内与两个定点 F1， F2 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( ) )
(2)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆．(
(3)方程 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．( )
(4)椭圆上一点 P 与两焦点 F1，F2 构成△PF1F2 的周长为 2a＋2c(其中 a 为椭圆的长半轴长， c 为椭圆的半焦距)． ( ) x2 y2 (5)设椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)上任意一点 P(x，y)，则当 x ＝0 时，|OP|有最小值 b，P 点在短轴端点处；当 x＝± a 时， |OP|有最大值 a，P 点在长轴端点处．( )

近年届高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.5椭圆第1课时学案理北师大版(2021年整理)

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§9。

5 椭圆最新考纲考情考向分析1.了解椭圆的实际背景,了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．2。

掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质.椭圆的定义、标准方程、简单性质通常以小题形式考查，直线与椭圆的位置关系主要出现在解答题中．题型主要以选择、填空题为主,一般为中档题，椭圆方程的求解经常出现在解答题的第一问。

1．椭圆的概念把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于｜F1F2|)的点的集合叫作椭圆．这两个定点叫作椭圆的焦点,两焦点间的距离叫作椭圆的焦距．集合P＝｛M｜|MF1｜＋｜MF2|＝2a},|F1F2|＝2c，其中a>0，c〉0，且a,c为常数：(1）若a〉c，则集合P为椭圆；（2）若a＝c，则集合P为线段;（3)若a<c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和简单性质标准方程x2a2＋错误!＝1 （a〉b>0)错误!＋错误!＝1 （a〉b>0）图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a 对称性对称轴:坐标轴对称中心：原点顶点坐标A1（－a,0),A2（a，0）B1(0，－b),B2（0，b)A1（0，－a)，A2(0，a)B1（－b,0），B2(b，0）轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝错误!∈（0，1)a，b,c的关系a2＝b2＋c2知识拓展点P(x0，y0）和椭圆的位置关系（1)点P（x0,y0)在椭圆内⇔错误!＋错误!<1。

(全国通用版)2019版高考数学大一轮复习_第九章平面解析几何第5节第1课时椭圆及其标准方程课件理新

第5节椭圆最新考纲 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用； 2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.知识梳理1.椭圆的定义平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)椭的点的圆轨迹叫做______.焦点这两定点叫做椭圆的______焦距，两焦点间离叫做椭圆的______.其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞a＞0，c c＞0，且a，c为常数：(1)若______，则集合P为椭圆；a＝c(2)若a______＜c，则集合P为线段；(3)若______，则集合P为空集.2.椭圆的标准方程和几何性质x 2 y 2 y 2 x ＋ 2＝1 a 2 b 2＋ 2＝1 a 2 b 标准方程图形(a >b >0)(a >b >0)－a ≤x ≤a －b ≤y ≤b－b ≤x ≤b －a ≤y ≤a范围对称性顶点对称轴：坐标轴；对称中心：原点 A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，A 1(0，－a )，A 2(0，a )，B 1(0，－b )，B 2(0，b ) B 1(－b ，0)，B 2(b ，0) 性质2a 2b长轴 A 1A 2的长为____；短轴 B 1B 2的长为____轴2c |F 1F 2|＝______ 焦距 e ＝ac ∈_________(0，1) 离心率 a ，b ，c 的关c 2＝_________ a2 2－b系[常用结论与微点提醒]21.过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦的长为2ab ，称为通径.a 2－b 2 2 2.椭圆离心率 e ＝ac＝＝ 1－ab 2. a3.应用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点 F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.( ) (2)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆.( )(3)方程 mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆.( ) 222 2y x x y (4)＋ 2＝1(a >b >0)与＋ 2＝1(a >b >0)的焦距相同.( )2 2a b a b解析 (1)由椭圆的定义知，当该常数大于 |F 1F 2|时，其轨迹才是椭圆，而常数等于 |F 1F 2|时，其轨迹为线段 F 1F 2，常数小于|F F |时，不存在这样的图形. 2 2 a － bb 2 b ＝ 1－，所以 e越大，则越小，椭圆就越扁.a a1 2 c a (2)因为 e ＝＝a 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√2 2x y2.(2017·浙江卷)椭圆＋＝1的离心率是( )9 4 A. 313B. 35C. 2 3D. 5 9c 5解析由已知，a ＝3，b ＝2，则c ＝9－4＝ 5，所以 e ＝＝ . a 3答案B2 2x y3.(2018·青岛调研)椭圆＋＝1的焦点坐标为( )16 25A.(±3，0)B.(0，±3)C.(±9，0)D.(0，±9)解析根据椭圆方程可得焦点在y轴上，且c ＝a －b ＝25－2 2 216＝9，∴c＝3，故焦点坐标为(0，±3)，故选B.答案 B4.已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F (1，0)，离心率等于12，则椭圆 C 的程是( )2 2 2 2 x y A.＋＝13 4x y B.4＋ 3＝1 2 2 2 2 x y C.＋＝1 4 2 x y D.＋＝1 4 3c 1 解析由题意知 c ＝1，e ＝＝，所以 a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3.故所求椭圆 C 的方程为 a 2 x 2 y 24＋3＝1.答案 D2 2x y5.(教材习题改编)已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点5 4及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为________.解析设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，所c＝1，则F1(－1，0)，F2(1，2 2x y0)，由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，y＝±1代入＋＝1，得x5 4＝± 215，又x＞0，所以x＝215，∴P点坐标为215，1或215，－1.答案215，1或215，－1第1课时椭圆及其标准方程考点一椭圆的定义及其应用【例1】(1)(教材习题改编)如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是( )A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆2(2)椭圆25x＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点距离为( )A.5B.6C.7D.8解析(1)连接QA.由已知得|QA|＝|QP|.所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.又因为点A在圆内，所以|OA|＜|OP|，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆.(2)由椭圆定义知点P到另一个焦点的距离是10－2＝8.答案(1)A (2)D规律方法 1.椭圆定义的应用主要有：判定平面内动点的轨迹是否为椭圆、求椭圆的标准方程和离心率等.2.椭圆的定义式必须满足2a＞|F1F2|.【训练1】(1)设定点F1(0，－3)，F2(0，3)，动点P满足条件|PF1|＋|PF2|＝a＋9a(a>0)，则点P的轨迹是( )A.椭圆B.线段C.不存在D.椭圆或线段(2)与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切的动圆心 P的轨迹方程为________.解析 (1)∵a ＋9a ≥2 a ·9a＝6，当且仅当 a ＝9a ，即 a ＝3时取等号，∴当 a ＝3时，|PF 1|＋|PF 2|＝6＝|F 1F 2|，点 P 的轨迹是线段F 1F 2；当 a >0，且 a ≠3时，|PF 1|＋|PF 2|>6＝|F 1F 2|，点 P 的轨迹是椭圆.(2)设动圆的半径为r ，圆心为P (x ，y )，则有|PC 1|＝r ＋1，|PC 2|＝9－r .所以|PC 1|＋|PC 2|＝10＞|C 1C 2|，即P 在以C (－3，，C 2(3，0)为焦点，长轴长为 10的椭圆上， 0) 2 2x y 得点 P 的轨迹方程为＋＝1. 25 16 1 2 2 x y 答案 (1)D (2)＋＝1 25 16考点二椭圆的标准方程3 5【例2】(1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点－，( 3， 2 25)，则椭圆的标准方程为________.2 2y x(2)(一题多解)过点( 3，－5)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方25 9程为________.解析 (1)设椭圆方程为 m x 2＋ny 2＝1(m ，n >0，m ≠n ). 3 2 5 2 － m ＋n ＝1， 2 2 由 3m ＋5n ＝1，解得 m ＝16，n＝ .1 102 2y x ∴椭圆的标准方程为＋＝1. 10 62y x 2(2)法一椭圆＋＝1的焦点为(0，－4)，(0，4)，即c＝4. 25 9由椭圆的定义知，2a＝（3－0）2＋（－5 4）2＋（3－0）2＋（－5－4）2，解得a＝2 5.由c2＝a2－b2可得b2＝4.2 2y x所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.20 4y2 x 2法二设所求椭圆方程为25－k 9－k＋＝1(k<9)，将点( 3，－5)的坐标代入可得（－5）2（3）22＋＝1，解得k＝5(k＝21舍去)，所以所求椭圆的标准方程为20y＋25－k 9－k2x4＝1.2 2 2 2y x y x答案(1)＋＝1 (2)＋＝110 6 20 4规律方法 1.求椭圆方程的基本方法是待定系数法，先定位，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a，b的方程组.2.如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为mx n＞0，m≠n)，求出m，n的值即可. ＋ny ＝1(m＞0，22【训练2】(1)已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则C 的方程为________.(2)(一题多解)若椭圆经过两点(2，0)和(0，1)，则椭圆的标准方程为________________.2 2x y 解析 (1)依题意，设椭圆 C ：＋ 2＝1(a >b >0).2 a b 过点 F 2(1，0)且垂直于 x 轴的直线被曲线 C 截得弦长|AB |＝3， ∴点 A 1，必在椭圆上，∴a 12＋49b 2＝1.① 3 2 又由 c ＝1，得 1＋b 2＝a 2.② 由①②联立，得 b 2＝3，a 2＝4. 2 2 x y 故所求椭圆 C 的方程为＋＝1. 4 32 2(2)法一当椭圆的焦点在x 轴上时，设所求椭圆的方程为ax 2＋by 2＝1 (a >b >0). ∵椭圆经过两点(2，0)，(0，1)， 4 0 ＋ 2＝1， 2 a b a ＝2， 2 ∴∴所求椭圆的标准方程为x 4＋y 2＝1；解得0 1 b ＝1. ＋ 2＝1， 2 a b 2 y x 2 当椭圆的焦点在 y 轴上时，设所求椭圆的方程为2＋ 2＝1 (a >b >0). a b 0 4 ＋ 2＝1， a 2 b 解得a ＝1， ∵椭圆经过两点(2，0)，(0，1)，∴1 0 b ＝2，＋ 2＝1， 2 a b与 a >b 矛盾，故舍去. 2 综上可知，所求椭圆的标准方程为x 4＋y 2＝1.法二设椭圆方程为 m x 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n ). 1 m ＝4， ∵椭圆过(2，0)和(0，1)两点，∴n ＝1， 4m ＝1，解得n ＝1. 2 综上可知，所求椭圆的标准方程为x 4＋y 2＝1.2 2 x y 2答案 (1)＋＝1 (2)x 4＋y 2＝1 4 3考点三焦点三角形问题2 2 x y 【例 3】 (1)已知椭圆＋＝1的两个焦点是 F 1，F 2，点 P 在该椭圆上若|PF 1|4 2 －|PF 2|＝2，则△PF 1F 2的面积是( )A. 2B.2C.2 2D. 3 2 2 x y (2)已知 F 1，F 2是椭圆 C ：＋ 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆 C 的一点，2 a b 且∠F 1PF 2＝60°，S △PF F ＝3 3，则 b ＝________.1 2解析 (1)由椭圆的方程可知 a ＝2，c ＝ 2，且|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，又|PF 1|－|PF 2| ＝2，所以|PF 1|＝3，|PF 2|＝1.又|F 1F 2|＝2c ＝2 2，所以有|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|即 △PF 1F 2为直角三角形，且∠PF 2F 1为直角，所以 S △△PF F ＝12|F 1F 2||PF 2|＝×2 2×1＝ 2. 1 2 1 2(2)由题意得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，又∠F 1PF 2＝60°，所以|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°＝|F 1F 2|2，所以(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1||PF 2|＝4c 2，所以3|PF 1||PF 2|＝4a 2－4c 2＝4b 2，所以|PF 1||PF 2|＝43b 2，所以 S △P F F ＝12|PF 1||PF 2|sin 60°＝× b ×＝b ＝3 3，所以 b ＝3. 1 4 2 3 3 2 2 3 2 3 1 2 答案 (1)A (2)3规律方法 1.椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成的三角形称为焦点三角形，解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理等知识.2.椭圆中焦点三角形的周长等于2a＋2c.2 2x y【训练3】已知椭圆＋＝1上一点P与椭圆两焦点F1，F2的连线夹角49 24直角，则|PF1|·|PF2|＝________.解析依题意a＝7，b＝26，c＝49－24＝5，|F1F2|＝2c＝10，由于PF1⊥PF2，所以由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2＝100.又由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，∴(|PF1|＋|PF2|) －2|PF1|·|PF2|＝100，2即196－2|PF1|·|PF2|＝100.解得|PF1|·|PF2|＝48.答案48。

2019高考数学复习第九章平面解析几何9.4椭圆及其性质课件理

≠B)或
x2 m2
+
y2 n2
=1(m2≠n2).
(2)与椭圆 x2 + y2 =1共焦点的椭圆方程可设为
x
2
+
m2 n2
m2 k
-n2).
=1y(2k>-m2,k>
n2 k
(3)与椭圆
x a
2 2
+by22
=1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程可设为ax22
+by22
=k1
(k1>0,焦点在x轴上)或
即e2< 1
2
,又0<e<1,∴ 2
2
<e<1.故椭圆C的离心率的取值范围是
2 2
,故1
选A.
方法 3 解决直线与椭圆位置关系问题的方法
1.判断直线与椭圆的位置关系,可通过讨论直线方程与椭圆方程组成的
方程组的实数解个数来确定.一般通过消元得关于x(或y)的一元二次方
程,若Δ>0,则直线与椭圆相交;若Δ=0,则直线与椭圆相切;若Δ<0,则直线
出的,参数b=② a2 c2 ,它是因为化简方程的需要而引入的,它具有明确的几何意义:b表示短半轴的长.
(2)求椭圆的标准方程应从“定形”“定式”和“定量”三个方面去思考.“定形”是指对称中心在原点,以坐标轴为对称轴的情况下,焦点在哪条坐标轴上;“定式”是根据“形”设椭圆方程的具体形式;“定量”是指用定义法或待定系数法确定a,b的值.
3.设A(x1,y1),B(x2,y2)为椭圆
x a
2 2
+by22
=1(a>b>0)上两点,弦AB的中点为P(x0,

2019届高考数学一轮复习第九章解析几何9.5椭圆课件文新人教A

+
�� 2 4=1.关闭关闭解析答答案案
知识梳理双基自测自测点评
-10-
1.要熟练掌握椭圆中的参数a,b,c的内在关系及椭圆的基本性质. 2.理解离心率的大小范围,并能根据离心率的变化情况来判断椭圆的扁圆程度. 3.解决椭圆中的焦点三角形问题要充分运用椭圆的定义、三角形的有关知识,对于其面积公式要熟记,以避免计算量太大而出错.
所以点 P 的轨迹为以 E,F 为焦点的椭圆.
设椭圆方程为��2
�� 2
+
��
2
2=1(a>0,b>0),
则 2a=2√2,c=1,所以 a=√2,b=1.
所��22+以y点2=1P
的轨迹方程为��2
2
+y2=1.
解析
关闭
关闭
答答案案
考点1
考点2
所以 A
��,
�� 2 ��
42
关闭
C
解析答答案案
-8-
知识梳理双基自测自测点评
12345
4.若方程5��-2�� + ��-23=1 表示椭圆,则 k 的取值范围
是
.
(3,4)∪(4,5)
关闭
答答案案
-9-
知识梳理双基自测自测点评
12345
5.(2017 贵州贵阳监测)已知椭圆��22 + ��22=1(a>b>0)的离心率为√23,
-11-
考点1
考点2
考点3

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第九章平面解析几何
§9.5 椭圆
内容索引
基础知识题型分类
自主学习深度剖析
课时作业
基础知识
自主学习
知识梳理 1.椭圆的概念把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆 .这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距 . 集合 P＝ {M||MF1|＋ |MF2| ＝ 2a} ， |F1F2| ＝ 2c，其中 a>0 ， c>0 ，且 a ， c为常数： (1)若 a>c ，则集合P为椭圆； (2)若 a＝c ，则集合P为线段； (3)若 a<c ，则集合P为空集.

解得－3<m<5且m≠1.
1 2 3 4 5 6 7
解析
答案
x2 y2 4 6.椭圆 9 ＋＝1 的离心率为5，则 k 的值为 4＋k A.－21
解析
2
B.21
2
√
19 C.－25或 21
19 D.25或 21
c 4 若 a ＝9，b ＝4＋k，则 c＝ 5－k，由a＝5，
5－k 4 19 即 3 ＝5，得 k＝－25；
(4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆.( √ )
1 2 3 4 5 6 7
y2 x2 (5)a2＋b2＝1(a≠b)表示焦点在 y 轴上的椭圆.( × ) x2 y2 y2 x2 (6)a2＋b2＝1(a>b>0)与a2＋b2＝1(a>b>0)的焦距相等.( √ )
x y ∴所求椭圆的方程为15＋10＝1.
1 2 3 4 5 6 7
2
2
解析
答案
x2 y2 4.已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2 5 4 15 15 或， 1 ，－ 1 2 2 为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为____________________.
解析设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，所以c＝1，则F1(－1,0)，F2(1,0).由题意可得点P到x轴的距离为1，
x y 15 所以 y＝± 1，把 y＝± 1 代入 5 ＋ 4 ＝1，得 x＝± 2 ， 15 又 x>0，所以 x＝ 2 ，
所以 P
点坐标为 15 15 或，－1. 2 ，1 2
√
x2 y2 A. 3 ＋ 2 ＝1 x2 y2 C.12＋ 8 ＝1
x2 2 B. 3 ＋y ＝1 x2 y2 D.12＋ 4 ＝1
解析答案
1
2
3
4
5
6
7
题型分类
深度剖析
第1课时椭圆及其性质
题型一
椭圆的定义及应用
自主演练
1.如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM 交于点P，则点P的轨迹是
2
2
1
2
3
4
5
6
7
解析
答案
题组三易错自纠
x2 y2 5.若方程＋＝1 表示椭圆，则m的取值范围是 5－m m＋3 A.(－3,5) B.(－5,3)
C.(－3,1)∪(1,5) √ D.(－5,1)∪(1,3)
解析
5－m>0，由方程表示椭圆知m＋3>0， 5－m≠m＋3，
(1) 平面内与两个定点 F1 ， F2 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭
圆.( × )
(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭
圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距).( √ )
(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.( × )
√
A.椭圆 C.抛物线
B.双曲线 D.圆
解析由条件知|PM|＝|PF|，
∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R>|OF|.
2 x2 y 0 0 (1)点 P(x0，y0)在椭圆内⇔a2＋b2<1.
(2)点
2 2 x0 y0 P(x0，y0)在椭圆上⇔ 2＋ 2＝1.
a
b
2 x2 y 0 0 (3)点 P(x0，y0)在椭圆外⇔a2＋b2>1.
基础自测题组一思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
1
2
3
4
5
6
7
题组二教材改编
x2 y2 2.椭圆＋＝1 的焦距为4，则m等于 10－m m－2 A.4 B.8
C.4或8 √ D.12
解析当焦点在x轴上时，10－m>m－2>0， 10－m－(m－2)＝4，∴m＝4. 当焦点在y轴上时，m－2>10－m>0，m－2－(10－m)＝4， ∴m＝8. ∴m＝4或8.
2.椭圆的标准方程和简单性质标准方程
x y 2＋ 2＝1 (a>b>0) a b
2 2
y2 x2 2＋ 2＝1 (a>b>0) a b
图形
范围对称性
－a≤x≤a－b≤y≤b 对称轴：坐标轴
－b≤x≤b－a≤y≤a 对称中心：原点
性
质
顶点坐标
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
若 a2＝4＋k，b2＝9，则 c＝ k－5，
k－5 4 c 4 由a＝5，即＝5，解得 k＝21. 4 ＋k
1 2 3 4 5 6 7
解析
答案
x2 y2 7.已知椭圆 C：a2＋b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率 3 为 3 ，过 F2 的直线 l 交 C 于 A，B 两点，若△AF1B 的周长为 4 3，则 C 的方程为
1 2 3 4 5 6 7
解析
答案
x2 y2 3.过点 A(3，－2)且与椭圆 9 ＋ 4 ＝1 有相同焦点的椭圆的方程为
√
x2 y2 A.15＋10＝1 x2 y2 C.10＋15＝1
x2 y2 B.25＋20＝1 x2 y2 D.20＋15＝1
2 2 x y 解析由题意知 c2＝5，可设椭圆方程为＋ λ ＝1(λ>0)， λ＋5 9 4 则＋ λ ＝1，解得 λ＝10 或 λ＝－2(舍去)， λ＋5
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴
焦距离心率
2b 长轴A1A2的长为 2a ；短轴B1B2的长为____
2c |F1F2|＝____
a，b，c的关系
e＝c ∈(0,1) a a2＝b2＋c2 ____________
【知识拓展】
点 P(x0，y0)和椭圆的位置关系