广东省珠海市高三数学9月开学摸底考试试题 理 新人教A版
2024届新高三数学开学摸底考试卷01及答案解析(九省新高考专用)
2024届新高三数学开学摸底考试卷01及答案解析（九省新高考专用）第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集U =R ，集合{}2|430A x x x =-+<，2{|log }B x x a =<，且满足{}|12A B x x ⋂=<<，则()U A B ⋃=ð（）A ．()0,3B ．(][),03,-∞+∞ C ．()1,3D ．(][),13,-∞⋃+∞【答案】B【分析】首先求出集合A ，B 中的不等式，再根据{}|12A B x x ⋂=<<得出集合B ，根据集合并集和补集的定义计算即可．【详解】由题可知(1,3)A =，{|02}a B x x =<<，因为{}|12A B x x ⋂=<<，所以22a =，即{|02}B x x =<<，所以(0,3)A B ⋃=，所以()(0][3,)U A B ⋃=-∞⋃+∞，ð，故选：B ．2．已知复数z 满足2i1i z-=+（i 为虚数单位），z 是z 的共轭复数，则4z z ⋅=（）A ．5BC ．10D【答案】C【分析】先根据复数的除法求出z ，再计算4z z ⋅.【详解】由2i1i z-=+得()()()()2i 1i 2i 13i 13i 1i 1i 1i 222z ----====-+-+，所以13i 22z =+，所以()()413i 13i 10z z ⋅=-⋅+=.故选：C.3．已知复数z 在复平面内对应的点为M ，iz 在复平面内对应的点为N ，i 是虚数单位，则“点M 在第一象限”是“点N 在第四象限”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】设复数i z a b =+，复数z 在复平面内对应的点为M (),a b 在第一象限，求出,a b 的范围，iz在复平面内对应的点为N (),b a -在第四象限，求出,a b 的范围，再结合充分条件必要条件的定义即可求出答案.【详解】设复数i z a b =+，复数z 在复平面内对应的点为M (),a b 在第一象限，则0,0a b >>，()2i i i i i i i 1ia b z a b a b b a ++-====--，i z 在复平面内对应的点为N (),b a -在第四象限，则0,0b a >>.反之，也成立，“点M 在第一象限”是“点N 在第四象限”的充要条件.故选：C..4．木升在古代多用来盛装粮食作物，是农家必备的用具，如图为一升制木升，某同学制作了一个高为40cm 的正四棱台木升模型，已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为50cm 的球O 的球面上，且一个底面的中心与球O 的球心重合，则该正四棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为（）A ．23B ．23C 255D ．25【答案】A【分析】根据正四棱台的外接球的性质可得两底面的边长，进而根据直角三角形的边角关系，结合二面角的定义即可求解.【详解】如图：正四棱台，由题意可知：O 是底面正方形的中心也是球O 的球心，且50,40R OB OO '===,所以502,BC =2222504030O B R OO '''=-=-=,进而可得302,B C ''=取BC 的中点为N ，过B C ''的中点P 作PM ON ⊥，连接PN ,所以11522OM O P B A '''===,12522ON BA ==故2MN ON OM =-=在直角三角形PMN 中，tan 22,102PM PNM MN ∠===故22sin 3PNM ∠=，由于,PN BC ON BC ⊥⊥,所以PNM ∠即为正四棱台的侧面与底面所成二面角，故正弦值为223故选：A5．若数列{}n a 的首项114a =-，且满足111n na a +=-，则2022a =（）A ．14-B ．5C ．45D ．54【答案】C【分析】根据递推公式，结合代入法可以求出数列的周期，利用数列的周期性进行求解即可.【详解】因为114a =-，111n na a +=-，所以2341141115,1,11455445a a a =-==-==-=--，所以该数列的周期为3，于是有20226743345a a a ⨯===，故选：C6．函数()222cos ()4xx x f x x --=-的部分图象为（）A ．B．C．D ．【答案】C【分析】确定函数为奇函数，排除BD ，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≤，排除A ，得到答案.【详解】()f x 的定义域为{}2x x ≠±，()()()()()2222cos 22cos ()44xx xx x x f x f x x x ------==-=----，故()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，排除B ，D ；又π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，220x x --≥，cos 0x ≥，240x -<，故()0f x ≤，排除A ．故选：C ．7．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若,,3BC a BA b BE EF === ，则AE =（）A ．12162525a b- B ．16122525a b+C ．1292525a b+D ．9122525a b-【答案】A【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算列式，再借助方程思想求解作答.【详解】依题意，3339()44416AE BE BA BF BA BC CF BA BC AE BA =-=-=+-=--，于是25331644AE BC BA a b =-=-，所以12162525AE a b =-.故选：A8．设()f x 是定义在R 上的周期为3的函数，当[0,2)x ∈时，()23,012,12x x x f x x x ⎧-≤≤=⎨-<<⎩，则5(2f -=（）A ．﹣1B ．1C ．12D ．14【答案】D【分析】根据题意，化简得到551()(3)()222f f f -=-+=，代入即可求解.【详解】因为()f x 是定义在R 上的周期为3的函数，当[0,2)x ∈时，()23,012,12x x x f x x x ⎧-≤≤=⎨-<<⎩，则2551111()(3)()3(222224f f f -=-+==⨯-=.故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
新人教A版高一上学期摸底试卷数学试卷(三)A卷及答案解析
⑩,纷 内,则 实数〃的取值范围是
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8.已 知 集 合 /=lIl刃 =3〃 ,″ ∈Ⅳ +l,B〓 伽 u=3〃 -1,〃 ∈Ⅳ +l,C〓 lJ· =3〃 -2,〃 ∈Ⅳ 刂 ,
高一数学试题 第 1页
贝刂Δ=臼 |2)2-4× 4× :≥=0,解之得:曰 ≥4或 ε≤0.
∴实数曰的取值范围是←∞,0lUⅡ ,+∞ ). r。 命题“31r∈ R,使 ⒋ 2+臼 -2》 +:≤ 犷是假命题时实 数 曰的取值范围是 G4)。 7.若 关于艿的方程4苈2+⒄ -2》 +〃 -5〓 0的 一个根在区间←1,OJ内 ,另 一个根在区间
新人教 ^版 高一上学期摸底试卷
数 学 试 巷 (三 )^卷
考生注意:1。 本试卷分第 I卷 (选 择题)和 第二卷 (非 选择题)两 部分,共 1so
分,考 试时间 120分 钟. 2.请 将各题答案填写在答题卡上。
第 I卷 (选择题 共 sO分 冫
一、单项选择题 (每 小题 5分,共 00分 )
∴/∩ B〓 {丬 0(艿 ζ1)=(0,1].
∴选择答案 【B】 。
∶≡ 刁Ξ 4.
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R+,勿
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詈
最犭、值为
(A)
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(c) |;
2
答案 【B】
Ξ (D) 2√
解析 本题考查利用基本不等式求最值。
·。·%b∈ R十,2夕 +b=2
高三理科数学一轮复习考试试题精选()分类汇编集合含答案
广东省2014届高三理科数学一轮复习考试试题精选（1)分类汇编1：集合一、选择题1 ．(广东省佛山市南海区2014届普通高中高三8月质量检测理科数学试题 ）设集合{}{}>1,|(2)0A x x B x x x ==-<，则B A 等于 （ ） A ．{|01}x x << B ．{}21<<x x C ．{}20<<x x D ．{|2}x x > 【答案】B2 ．(广东省深圳市宝安区2014届高三上学期调研测试数学理试卷)已知集合{1,2,3,4,5,6},U =集合{1,2,3,4},{3,4,5},P Q ==则()U P C Q = （ ）A ．{1,2,3,4,6,}B ．{1,2,3,4,5}C ．{1,2,5}D ．{1,2}【答案】D3 ．（广东省湛江市第二中学2014届高三理科数学8月考试题 ）已知集合{}9|7|＜-=x x M ,{}2|9N x y x ==-，且N M 、都是全集U 的子集,则下图韦恩图中阴影部分表示的集合( )A ．{}23-≤-＜x xB ．}{23-≤≤-x xC ．}{16≥x xD ．}{16＞x x【答案】B4 ．（广东省南雄市黄坑中学2014届高三上学期第一次月考测试数学(理）试题)设集合},02|{},,02|{22R x x x x N R x x x x M ∈=-=∈=+=，则=⋃N M ( )A ．}0{B ．}2,0{C ．}0,2{-D ．}2,0,2{-【答案】D5 ．（广东省珠海四中2014届高三一轮复习测试（一）数学理试题）（2013广东）设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ,{}2|20,N x x x x =-=∈R ,则MN =( ）A ．{}0B ．{}0,2C ．{}2,0-D ．{}2,0,2-【答案】D6 ．（广东省广州市仲元中学2014届高三数学（理科）10月月考试题）己知集合[0,)M =+∞，集合{2N x x =>或}1x <-,U R =,则集合UM C N ⋂=( ）A ．{}|02x x <≤B ．{}|02x x ≤<C ．{}|02x x ≤≤D ．{}|02x x <<【答案】C7 ．（广东省广州市执信、广雅、六中2014届高三9月三校联考数学（理）试题）已知全集U R =,集合{}Z x x x A ∈≤=,1|， {}02|2=-=x x x B ,则图中的阴影部分表示的集合为（ )A ．{}1-B ．{}2C ．{}2,1D ．{}2,0【答案】B8 ．（广东省珠海一中等六校2014届高三上学期第二次联考数学（理）试题）设2{0,2},{|320}A B x x x ==-+=，则A B = （ ）A ．{0,2,4}--B ．{0,2,4}-C ．{0,2,4}D ．{0,1,2}【答案】D9 ．（2013-2014学年广东省(宝安中学等）六校第一次理科数学联考试题）设U=R ，集合2{|2,},{|40}xA y y x RB x Z x==∈=∈-≤,则下列结论正确的是 ( )A ．(0,)AB =+∞ B ．(](),0UCA B =-∞C ．(){2,1,0}UCA B =--D ．(){1,2}UCA B =【答案】C10．(广东省惠州市2014届高三第一次调研考试数学（理)试题）已知集合{}{}1,2,3,14M N x Z x ==∈<<，则 （ ）A ．N M ⊆B ．N M =C ．}3,2{=N MD ．)4,1(=N M 【答案】{}{}3,241=<<∈=x Z x N ,故}3,2{=N M ，故选 C ．11．(广东省珠海四中2014届高三一轮复习测试（一）数学理试题）已知集合(){,A x y =∣,x y 为实数，且}221x y +=，(){,B x y =∣,x y 为实数，且}y x =，则A B 的元素个数为 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C12．（广东省南雄市黄坑中学2014届高三上学期第二次月考测试数学（理)试题）已知集合2{|10},{|0},A x xB x x x =+>=-<则=B A（ ）A ．{|1}x x >-B ．{|11}x x -<<C ．{|01}x x <<D ．{|10}x x -<<【答案】C13．（广东省珠海市2014届高三9月开学摸底考试数学理试题)已知集合{1}A x x =>，2{20}B x x x =-<,则A B ⋃= （ ）A ．{0}x x >B ．{1}x x >C ．{12}x x <<D ．{02}x x <<【答案】A14．（广东省韶关市2014届高三摸底考试数学理试题）若集合}1|{2<=x x M ,1{|}N x y x==,则N M = （ ）A ．NB ．MC ．φD ．{|01}x x <<【答案】解析:D ．M =｛|x —1〈x<1｝, N={|x 0x >}NM ={|01}x x <<15．（广东省兴宁市沐彬中学2014届上期高三质检试题 数学（理科））设集合{|20}A x x =+=，集合2{|40}B x x =-=，则A B =（ )A ．{2}-B ．{2}C ．{2,2}-D ．∅【答案】A16．（广东省南雄市黄坑中学2014届高三上学期第一次月考测试数学（理)试题）已知集合}2,1,0{},1,0,1{=-=N M ，则如图所示韦恩图中的阴影部分所表示的集合为（ ）A ．}1,0{B ．}1,0,1{-C ．}2,1{-D ．}2,1,0,1{-【答案】C17．（广东省汕头市金山中学2014届高三上学期期中考试数学(理）试题）设集合2{103A x x x =+-≥0},{1B x m =+≤x ≤21}m -，如果有AB B =，则实数m 的取值范围是 （ ）A ．(,3]-∞B ．[3,3]-C ．[2,3]D ．[2,5]【答案】A18．（广东省珠海四中2014届高三一轮复习测试(一）数学理试题）若集合{}|21A x x =-<<，{}|02B x x =<<,则集合A B = ( ） A ．{}|11x x -<< B ．{}|21x x -<<C ．{}|22x x -<<D ．{}|01x x <<【答案】D19．（广东省汕头市金山中学2014届高三上学期开学摸底考试数学（理）试题）设S 是至少含有两个元素的集合,在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的S b a ∈,,对于有序元素对()b a ,,在S 中有唯一确定的元素b a *与之对应),若对任意的S b a ∈,,有b a b a =**)(，则对任意的S b a ∈,,下列等式中不．恒成立的是 ( )A ．[]()a b a a b a =****)(B ．b b b b =**)(C ．a a b a =**)(D ．[]b b a b b a =****)()(【答案】C20．（广东省惠州市2014届高三第一次调研考试数学（理)试题）对于任意两个正整数,m n ，定义某种运算“※”如下：当,m n 都为正偶数或正奇数时，m ※n =m n +;当,m n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时,m ※n =mn 。
(新课标)高考数学模拟系列(二)试题 理 新人教A版
12023年高考模拟系列试卷（二） 数学试题【新课标版】（理科）1．本试卷分第一卷（阅读题）和第二卷（表达题）两局部。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试完毕后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一卷（选择题，共60分）一、此题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的1、设集合{}21,M x x x =-≤∈R ，{}21,02N y y x x ==-+≤≤，那么()RM N ⋂等于（ ）A ．RB ．{}|1x x R x ∈≠且C ．{}1D ．∅2、在复平面内，复数2013ii 1iz =+-表示的点所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3、假设sin601233,log cos60,log tan 30a b c ===，那么（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．b a c >>4、设数列{}n a 是公差不为零的等差数列，它的前n 项和为n S ，且1S 、2S 、4S 成等比数列，那么41a a 等于（ ） A ．6B ．7C ．4D ．35、已知点()1,0A -和圆222x y +=上一动点P ，动点M 满足2MA AP =，那么点M 的轨迹方程是（ ）A ．()2231x y -+=B ．223()12x y -+=C ．2231()22x y -+= D ．223122x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭6、命题“存在,αβ∈R ，使22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-≥-”的否认为（ ）A ．任意,αβ∈R ，使22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-≥- B ．任意,αβ∈R ，使22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-<- C ．存在,αβ∈R ，使22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-<- D ．存在,αβ∈R ，使22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-≤- 7、设a b <，函数()()2y x a x b =--的图象可能是（ ）28、程序框图如下：如果上述程序运行的结果S 的值比2023小，假设使输出的S 最大，那么判断框中应填入（ ） A ．10k ≤ B ．10k ≥ C ．9k ≤ D ．9k ≥9、图为一个空间几何体的三视图，其中俯视图是下边一个等边三角形，其内切圆的半径是1，正视图和侧视图是上边两个图形，数据如图，那么此几何体的体积是（ ）A ．1533π+B ．21533π+C ．3033π+D ．43033π+ 10、在9212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（ ）A ．5376-B ．5376C ．84-D ．8411、如果点P 在平面区域220140x y x x y -+≤⎧⎪≥-⎨⎪+-≤⎩上，点Q 在曲线（x －1）2＋(y －1)2＝1上，那么|PQ |的最小值为（ ）A ．5－1B ．355 C ．3515- D ．523－1 12、已知椭圆C ：22221(0)x ya b a b+=>>的左右焦点为12,F F ，过2F 的直线与圆222()()x a y b b -+-=相切于点A ，并与椭圆C 交与不同的两点P ，Q ，如图，假设A 为线段PQ 的靠近P 的三等分点，那么椭圆的离心率为 （ ）3A ．23B ．33C ．53D ．73第二卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分，把答案填在题中横线上 13、由曲线23y x =-和直线2y x =所围成的面积为 。
高三数学摸底考试理试题
卜人入州八九几市潮王学校2021届高三摸底考试理科数学试题本卷分第一卷(选择题、填空题)和第二卷解答题两局部，总分值是150分.考试用时间是120分钟. 本卷须知： 1．答第I 2．第I3．在考试完毕之后，考生只需将第二卷〔含答卷〕交回。
参考公式：假设事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+假设事件A 、B 互相HY ，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅假设事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n次HY 重复试验中事件恰好发生k次的概率()(1)(012)k kn k n n P k C p p n n -=-=，，，，第Ⅰ局部(选择题、填空题一共70分)一、选择题〔本大题一一共8小题，每一小题5分，总分值是40分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的〕1.假设集合2{|60}A x x x =--≤，{|14}B x x x =<->或，那么集合A B 等于 A ．{}|34x x x >或≤ B ．{}|21x x --<≤C ．{}|34x x <≤D ．{}|13x x -<≤2.设复数z 满足2iz i =-(i 为虚数单位〕，那么z =A ．12i --B ．12i -C ．12i +D ．12i -+3．向量),2(t a =，)2,1(=b ，假设1t t =时，b a //；2t t =时，b a ⊥，那么A.1,421-=-=t t B.1,421=-=t tC.1,421-==t t D.1,421==t t4.设a 、b 满足01a b <<<，那么以下不等式中正确的选项是A ．ab aa <B ．ab b b < C ．a a a b <D ．bb ba <ABC ∆中，假设a =1, 60=C ,c =3，那么A 的值是A ．︒30B ．︒60C ．30150︒︒或D ．60120︒︒或6.假设m、n 是两条不同的直线,αβγ、、.A 假设βαβ⊥⊂,m ，那么α⊥m ..B 假设m//n n,,m ==γβγα ，那么βα//..C 假设βαγα⊥⊥,，那么γβ//..D 假设αβ//m ,m ⊥，那么βα⊥.7．某工厂8年来某种产品的总产量C 与时间是t 〔年〕的函数关系如图，有以下说法：①前三年中，总产量增长的速度越来越快；②前三年中，总产量增长的速度越来越慢；③第三年后，这种产品停顿消费；④第三年后，年产量保持不变，其中正确的选项是.A ①、③.B ②、③.C ①、④.D ②、④8．函数()2,f x x bx c =++其中04,04b c ≤≤≤≤.记函数满足()()21213f f ≤⎧⎪⎨-≤⎪⎩的事件为A ,那么事件A 的概率为A ．58B ．12C ．38D ．14第二局部非选择题(一共110分) 二.填空题：每一小题5分,一共30分.9.甲，乙两人在一样条件下练习射击，每人打5发子弹，命中环数如下：那么两人射击成绩的稳定程度较强的是甲 6 8 9 9 8 乙107779__________________．10.如图，程序执行后输出的结果为_________． (说明：MN =是赋值语句，也可以写成M N ←，或者:M N =)11.假设抛物线22y px =的焦点与双曲线1322=-y x 的右焦点重合，那么p 的值是__________.12.221(1)x dx -=⎰______________.13.m 为非零实数，假设函数lg(1)1my x =--的图象关于原点成中心对称，那么_______m =. 14.〔参数方程与极坐标〕曲线2ρ=被直线2()1x tt y t =-+⎧⎨=-⎩为参数所截得的弦长为_______.15〔几何证明选讲〕如图，从圆O 外一点A 引圆的切线AD 和割线ABC ，AD =，AC 圆O 的半径为3，那么圆心O 到AC 的间隔为．2021届高三摸底考试数学理科试题一．选择题答卷：二、填空题答卷：9．________________________．10．__________________________． 11．________________________．12．__________________________．13．________________________.14.___________________________15.第二卷(解答题一共80分) 16．(此题总分值是12分)cos 2sin 0αα+=，其中παπ<<2．(Ⅰ)求ααααcos sin 2cos 2sin --的值；(Ⅱ)假设53sin =β，πβπ<<2，求)cos(βα+的值．17(此题总分值是14分) 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD 是正三角形，且平面PAD ⊥底面ABCD .〔Ⅰ〕求证:平面⊥PAB平面PAD ；〔Ⅱ〕求直线PC 与底面ABCD 所成角的正切值大小；〔Ⅲ〕设1=AB ,求点D 到平面PBC 的间隔.18.(此题总分值是12分)甲、乙两运发动进展射击训练，他们击中的环数都稳定在7，8，9，10环，且每次射击成绩互不影响．射击环数的频率分布条形图如下：ABCPD假设将频率视为概率，答复以下问题：(Ⅰ)求甲运发动在3次射击中至少有1次击中9环以上(含9环)的概率；(Ⅱ)假设甲、乙两运发动各自射击1次，ξ表示这2次射击中击中9环以上(含9环)的次数，求ξ的分布列及ξE ．19．(此题总分值是14分)函数x ax x x f 3)(23--=.〔Ⅰ〕假设)(x f 在),1[+∞上是增函数,务实数a 的取值范围；〔Ⅱ〕假设31-=x 是)(x f 的极大值点,求)(x f 在],1[a 上的最大值；〔Ⅲ〕在〔Ⅱ〕的条件下，是否存在实数b ，使得函数bx x g =)(的图像与函数)(x f 的图像恰有3个交点？假设存在，求出b 的取值范围；假设不存在，说明理由. 20(此题总分值是14分)如图，点AC AB A =-),0,4(,且ABC ∆的内切圆方程为94)2(22=+-y x .〔Ⅰ〕求经过C B A ,,三点的椭圆HY 方程；〔Ⅱ〕过椭圆上的点M 作圆的切线，求切线长最短时的点M 的坐标和切线长.21.(此题总分值是14分)数列{}n a 满足a a =1(2)a ≠-，1n a +=〔Ⅰ〕证明数列221n a n +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等比数列，并求出通项n a ； 〔Ⅱ〕假设1a =时，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，试求出n S ，并证明当3n ≥时，有34111110n S S S +++<．2021届高三数学〔理科〕摸底考试参考答案及评分HY一、解答局部给出了一种或者几种解法供参考，假设考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考察内容比照评分HY 制定相应的评分细那么．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，假设后继局部的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继局部的给分，但不得超过该局部正确解容许给分数的一半；假设后继局部的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分． 一、选择题答案BACCADBA二、填空题9.甲；10.64；1；12.43；13.2-；14.14；15.5三、解答题16.解：〔Ⅰ〕0sin 2cos =+αα，即ααsin 2cos -=------------------2分又παπ<<2，∴0sin ≠α∴45sin 2sin 2sin 4sin cos sin 2cos 2sin =++=--αααααααα------------------4分〔Ⅱ〕由⑴知，ααsin 2cos -=，παπ<<2，又1cos sin22=+αα-------5分∴552cos ,55sin -==αα------------------7分53sin =β，πβπ<<2∴ββ2sin 1cos --=545312-=⎪⎭⎫⎝⎛--=------------------9分55535554552=⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=------------------12分17.解法一：〔Ⅰ〕证明PAD AB ABCD AB AD AB AD ABCD PAD ABCDPAD 平面底面底面平面底面平面⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥=⊥, ------------------3分又PAB AB 平面⊂，∴PAB PAD ⊥平面平面------------------5分〔Ⅱ〕解：取AD 的中点F ，连结PF,CF------------------6分PAD ∆是正三角形PF AD ∴⊥，而平面ABCD ⊥平面PAD ，交于AD PF ∴⊥ABCD ∴CF 是PC 在平面ABCD 上的射影，∴ABCD PC PCF 与底面是直线∠所成的角------------------8分设2,AD a =那么3,5,PF a CF a ==在515tan ==∆CF PF PCF PCF 中，,------------------9分即直线PC 与底面ABCD 所成的角的正切值大小是515----------------10分〔Ⅲ〕解：设点D 到平面PBC 的间隔为h∵BCD P PBC D V V --=∴PF S h S BCD PBC •=•∆∆------------------11分在2==∆PC PB PBC 中，易知∴47=∆PBC S ------------------12分又23,21==∆PF S BCD∴721472321=⨯=h ------------------13分即点D 到平面PBC 的间隔为721------------------14分解法二：〔Ⅰ〕证明：建立空间直角坐标系xyz D -，如图------------------1分不妨设)23,0,21(),0,1,1()0,0,1(-P B A 则13(0,1,0),(22AB PA ==------------2分 由PA AB PA AB ⊥=•得0------------------3分 由AD AB ⊥,∴PAD AB 平面⊥------------------4分又PAB AB 平面⊂∴平面PAD PAB平面⊥------------------5分〔Ⅱ〕解：取AD 的中点F ，连结PF,CF ∵AD PF ABCD PAD ⊥⊥，且平面平面,∴ABCD PF平面⊥------------------6分∴CF 是PC 在平面ABCD 上的射影，∴所成的角与底面是直线ABCD PC PCF ∠------------------7分易知)0,0,21(),0,1,0(F C ∴)23,1,21(-=CP ，)0,1,21(-=CF10cos ,4CP CF CP CF CP CF•<>==•------------------8分∴6415tan ,4510CP CF <>==------------------9分∴直线PC 与底面ABCD 所成的角的正切值大小是515------------------10分〔理〕〔Ⅲ〕同解法一18.(此题总分值是12分) 解法一：(Ⅰ)甲运发动击中10环的概率是：10.10.10.450.35---=.------------------1分设事件A表示“甲运发动射击一次，恰好命中9环以上(含9环，下同)〞，那么()0.350.450.8P A=+=------------------2分事件“甲运发动在3次射击中，至少1次击中9环以上〞包含三种情况：恰有1次击中9环以上，概率为p1=C 13·0.81·(1-0.8)2=0.096；恰有2次击中9环以上，概率为p2=C 23·0.82·(1-0.8)1=0.384；恰有3次击中9环以上，概率为p3=C 33·0.83·(1-0.8)0=0.512．------------------4分因为上述三个事件互斥，所以甲运发动射击3次，至少1次击中9环以上的概率p=p1+p2+p3=0.992．------------------6分(Ⅱ)记“乙运发动射击1次，击中9环以上〞为事件B，那么P(B)=1—0.1—0.15=0.75．------------------7分因为ξ表示2次射击击中9环以上的次数，所以ξ的可能取值是0，1，2.----------------8分因为P(ξ=2)=0.8·0.75=0.6；P(ξ=1)=0.8·(1-0.75)+(1-0.8)·0.75=0.35；P(ξ=0)=(1-0.8)·(1-0.75)=0.05．-----------------10分所以ξ的分布列是------------------11分所以Eξ=0×0.05+1×0.35+2×0.6=5．------------------12分解法二：设事件A表示“甲运发动射击一次，恰好命中9环以上〞(含9环，下同)，那么P(A)==0.8．------------------1分〔Ⅰ〕甲运发动射击3次，均未击中9环以上的概率为P0=C 03·0.80·(1-0.8)3=0.008．------------------4分所以甲运发动射击3次，至少1次击中9环以上的概率P=1-P0=0.992．------------------6分〔Ⅱ〕同解法一．19.解：(Ⅰ)323)(2'--=axxxf0≥在),1[+∞∈x上恒成立,------------------2分即)1(232332xxxxa-=-≤在),1[+∞∈x上恒成立,------------------3分得≤a.------------------5分(Ⅱ))31('=-f得a=4.)3)(13(383)(2'-+=--=xxxxxf------------------6分在区间]4,1[上,)(xf在]3,1[上为减函数,在]4,3[上为增函数.---------------8分而6)1(-=f，12)4(-=f，所以6)(max-=xf.------------------10分(Ⅲ)问题即为是否存在实数b，使得函数bxxxx=--3423恰有3个不同根.------------------11分方程可化为)]3(4[2=+--bxxx等价于)3(42=+--bxx有两不等于0的实根------------------12分30-≠>∆b且------------------13分所以3,7-≠->bb------------------14分20.解：〔Ⅰ〕设椭圆的HY方程为),0,0(122nmnmnymx≠>>=+，------------------1分依题意知直线AB的斜率存在，故设直线AB：y=k〔x+4〕------------------2分因圆94)2(22=+-yx的圆心为〔2，0〕，半径32=r，又因为直线AB与圆相切所以，圆心为〔2，0〕到直线AB的间隔为321|42|2=++-=kkkd------------------3分解得541,54121-==k k 或〔2k 为直线AC 的斜率〕 所以直线AB 的方程为)4(541+=x y ，------------------4分又因为AB=AC ，点A(-4,0)在x 轴上，所以B 点横坐标为38322=+=B x ，把38=B x 代入直线AB 的方程解得35=B y ，)35,38(B ∴------------------5分 把A(-4,0)，)35,38(B 代入椭圆方程得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-1)35()38(1)4(222n m m ，解得m=16，n=1----------6分 所以椭圆的HY 方程为11622=+y x .------------------7分(Ⅱ)依题意设点M)sin ,cos 4(θθ，那么圆心〔2，0〕与点M 的间隔为θθ22sin )2cos 4(+-=d ------------------8分那么切线长22r d l -=，而l ==≥，------------------10分当158cos =θ时，min l ==------------------12分 此时15161sin ±=θ，从而点M的坐标为32(,15------------------14分解法二：(Ⅰ)因为AB=AC ，点A(-4,0)在x 轴上，且ABC ∆的内切圆方程为94)2(22=+-y x ，所以B点横坐标为38322=+=B x ，-----------------1如图，由三角形内切圆的性质知ADBRt∆∽ANMRt∆∴AMAB MNBD=即6)384(3222BByy++=，从而35=By)35,38(B∴------------------3分当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆方程为)0(12222>>=+babyax，那么将A(-4,0)，)35,38(B代入椭圆方程得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-1)35()38(1)4(222222baa，解得2a=16，2b=1所以椭圆的HY方程为11622=+yx.------------------5分当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆方程为)0(12222>>=+babxay，那么将A(-4,0)，)35,38(B代入椭圆方程得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-1)38()35(1)4(222222bab，解得2b=16，2a=1710与>>ba矛盾----------6分综上所述，所求椭圆的HY方程为11622=+yx.------------------7分(Ⅱ)依题意设点M),(yx，那么圆心〔2，0〕与点M的间隔为22)2(yxd+-=------------------8分那么切线长22rdl-=，而45134513)1532(161594)2(222≥+-=-+-=x y x l ，------------------10分当1532=x 时，15654513min ==l ，------------------12分 此时15161±=y ，从而点M 的坐标为)15161,1532(±------------------14分.21.证明〔Ⅰ〕212104)64(21+++++=++n n a n a n n 12)2)(64(+++=n a n n ，12)2(23221++⋅=++∴+n a n a nn ． 令122++=n a b n n ，那么n n b b 21=+．……………………………………………………2分 321+=a b ，当2-≠a时，01≠b ，那么数列}122{++n a n 是等比数列，且公比为2．………………4分112-⋅=∴n n b b ，即1232122-⋅+=++n n a n a ．解得223)12)(2(1-⋅++=-n n n a a 〔n N+∈〕……………………………6分 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，当1=a 时，22)12(1-⋅+=-n n n a ， n n S n n 22)12(2725312-⋅+++⋅+⋅+=- ．令122)12(27253-⋅+++⋅+⋅+=n n n T ，………………………①那么nn n n n T 2)12(2)12(2523212⋅++⋅-++⋅+⋅=- ，…………②由①-②：nn n n T 2)12()222(2312⋅+-++++=--nn n 2)12(21)21(2231⋅+---⋅+=-12)21(-⋅-=n n ， 12)12(+⋅-=∴n n n T ，……………………………………9分那么n T S n n 2-=)12)(12(--=nn ．………………………………10分 n nn n n n n C C C C ++++=-1102 ，∴当3≥n 时，01122(1)n n n n n n n C C C C n -=+++≥+，那么1212+≥-n n．…12分)12)(12(+-≥∴n n S n ，那么)121121(21)12)(12(11+--=+-≤n n n n S n ．……13分 因此，)]121121()9171()7151[(2111143+--++-+-≤+++n n S S S n 101)12151(21<+-=n ．………………………………14分。
高考数学总复习 第二章 函数、导数及其应用 课时作业9 理(含解析)新人教A版-新人教A版高三全册数
课时作业9 对数与对数函数1．(2019·某某某某统考)函数f (x )＝1ln3x ＋1的定义域是( B )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0∪(0，＋∞)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，＋∞ D ．[0，＋∞)解析：由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1＞0，ln 3x ＋1≠0，解得x ＞－13且x ≠0，故选B.2．(2019·某某某某模拟)设a ＝60.4，b ＝log 0.40.5，c ＝log 80.4，则a ，b ，c 的大小关系是( B )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a解析：∵a ＝60.4＞1，b ＝log 0.40.5∈(0,1)，c ＝log 80.4＜0，∴a ＞b ＞c .故选B. 3．已知lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个实根，则lg(ab )·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg a b 2＝( B )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：由已知，得lg a ＋lg b ＝2，即lg(ab )＝2. 又lg a ·lg b ＝12，所以lg(ab )·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg a b2＝2(lg a －lg b )2＝2[(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b ]＝2×⎝⎛⎭⎪⎫22－4×12＝2×2＝4，故选B.4．若函数y ＝a －a x(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则log a 37＋log a 1123＝( D )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：若a ＞1，则y ＝a －a x在[0,1]上单调递减，则⎩⎨⎧a －a ＝0，a －1＝1，解得a ＝2，此时，log a 37＋log a 1123＝log 216＝4；若0＜a ＜1，则y ＝a －a x在[0,1]上单调递增，则⎩⎨⎧a －a ＝1，a －1＝0，无解，故选D.5．(2019·某某省际名校联考)已知f (x )满足对∀x ∈R ，f (－x )＋f (x )＝0，且当x ≤0时，f (x )＝1ex ＋k (k 为常数)，则f (ln5)的值为( B )A ．4B ．－4C ．6D ．－6解析：易知函数f (x )是奇函数，故f (0)＝1e 0＋k ＝1＋k ＝0，即k ＝－1，所以f (ln5)＝－f (－ln5)＝－(e ln5－1)＝－4.6．(2019·某某某某南雄模拟)函数f (x )＝x a满足f (2)＝4，那么函数g (x )＝|log a (x ＋1)|的图象大致为( C )解析：∵f (2)＝4，∴2a＝4，解得a ＝2，∴g (x )＝|log 2(x ＋1)|＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋1，x ≥0，－log 2x ＋1，－1＜x ＜0，∴当x ≥0时，函数g (x )单调递增，且g (0)＝0；当－1＜x ＜0时，函数g (x )单调递减，故选C.7．已知函数f (x )＝e x＋2(x ＜0)与g (x )＝ln(x ＋a )＋2的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值X 围是( A )A ．(－∞，e)B ．(0，e)C ．(e ，＋∞)D ．(－∞，1)解析：由题意知，方程f (－x )－g (x )＝0在(0，＋∞)上有解，即e －x－ln(x ＋a )＝0在(0，＋∞)上有解，即函数y ＝e －x与y ＝ln(x ＋a )的图象在(0，＋∞)上有交点，则ln a ＜1，即0＜a ＜e ，则a 的取值X 围是(0，e)，当a ≤0时，y ＝e －x与y ＝ln(x ＋a )的图象总有交点，故a 的取值X 围是(－∞，e)，故选A.8．(2019·某某省级名校模拟)已知函数f (x )＝(e x－e－x)x ，f (log 5x )＋f (log 15x )≤2f (1)，则x 的取值X 围是( C )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，1 B ．[1,5]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，5D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，15∪[5，＋∞) 解析：∵f (x )＝(e x－e －x)x ，∴f (－x )＝－x (e －x －e x )＝(e x －e －x)x ＝f (x )， ∴函数f (x )是偶函数．∵f ′(x )＝(e x －e －x )＋x (e x ＋e －x)＞0在(0，＋∞)上恒成立． ∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ∵f (log 5x )＋f (log 15 x )≤2f (1)， ∴2f (log 5x )≤2f (1)，即f (log 5x )≤f (1)， ∴|log 5x |≤1，∴15≤x ≤5.故选C.9．函数f (x )＝log 2x ·log2(2x )的最小值为－14.解析：依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14≥－14，当且仅当log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立，因此函数f (x )的最小值为－14.10．(2019·某某质检)已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0＜m ＜n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm＝9__.解析：f (x )＝|log 3x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 3x ，0＜x ＜1，log 3x ，x ≥1，所以f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 由0＜m ＜n 且f (m )＝f (n )， 可得⎩⎪⎨⎪⎧0＜m ＜1，n ＞1，log 3n ＝－log 3m ，则⎩⎪⎨⎪⎧0＜m ＜1，n ＞1，mn ＝1，所以0＜m 2＜m ＜1，则f (x )在[m 2,1)上单调递减，在(1，n ]上单调递增，所以f (m 2)＞f (m )＝f (n )，则f (x )在[m 2，n ]上的最大值为f (m 2)＝－log 3m 2＝2，解得m ＝13，则n ＝3，所以nm＝9. 11．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0，a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值．解：(1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a ＞0，a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，得－1＜x ＜3，∴函数f (x )的定义域为(－1,3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]， ∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数； 当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2.12．已知函数f (x )＝log a (a 2x＋t )，其中a ＞0且a ≠1. (1)当a ＝2时，若f (x )＜x 无解，求t 的取值X 围；(2)若存在实数m ，n (m ＜n )，使得x ∈[m ，n ]时，函数f (x )的值域也为[m ，n ]，求t 的取值X 围．解：(1)∵log 2(22x＋t )＜x ＝log 22x，∴22x＋t ＜2x 无解，等价于22x ＋t ≥2x恒成立， 即t ≥－22x＋2x＝g (x )恒成立， 即t ≥g (x )max ，∵g (x )＝－22x ＋2x＝－⎝⎛⎭⎪⎫2x －122＋14，∴当2x＝12，即x ＝－1时，g (x )取得最大值14，∴t ≥14，故t 的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞. (2)由题意知f (x )＝log a (a 2x＋t )在[m ，n ]上是单调增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f m ＝m ，f n ＝n ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2m ＋t ＝a m，a 2n ＋t ＝a n，问题等价于关于k 的方程a 2k－a k＋t ＝0有两个不相等的实根，令a k＝u ＞0，则问题等价于关于u 的二次方程u 2－u ＋t ＝0在u ∈(0，＋∞)上有两个不相等的实根，即⎩⎪⎨⎪⎧ u 1＋u 2＞0，u 1·u 2＞0，Δ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧t ＞0，t ＜14，得0＜t ＜14.∴t 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14.13．已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数．对任意两个不相等的正数x 1，x 2，都有x 2f x 1－x 1f x 2x 1－x 2＞0，记a ＝f 30.230.2，b ＝f 0.320.32，c ＝f log 25log 25，则( B ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a解析：已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数， 对任意两个不相等的正数x 1，x 2， 都有x 2f x 1－x 1f x 2x 1－x 2＞0，故x 1－x 2与x 2f (x 1)－x 1f (x 2)同号， 则x 1－x 2与x 2f x 1－x 1f x 2x 1x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫即f x 1x 1－f x 2x 2同号， ∴函数y ＝f xx是(0，＋∞)上的增函数， ∵1＜30.2＜2,0＜0.32＜1，log 25＞2， ∴0.32＜30.2＜log 25，∴b ＜a ＜c ，故选B.14．设f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (2＋x )＝f (2－x )，当x ∈[－2,0]时，f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫22x－1，若在区间(－2,6)内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a ＞0且a ≠1)恰有4个不同的实数根，则实数a 的取值X 围是( D )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1B ．(1,4)C ．(1,8)D ．(8，＋∞)解析：依题意得f (x ＋2)＝f (－(2－x ))＝f (x －2)，即f (x ＋4)＝f (x )，则函数f (x )是以4为周期的函数，结合题意画出函数f (x )在x ∈(－2,6)上的图象与函数y ＝log a (x ＋2)的图象，结合图象分析可知．要使f (x )与y ＝log a (x ＋2)的图象有4个不同的交点，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，log a 6＋2＜1，由此解得a ＞8，即a 的取值X 围是(8，＋∞)．15．(2019·某某某某模拟)已知函数f (x )＝ln(x ＋x 2＋1)，g (x )＝f (x )＋2 017，下列命题：①f (x )的定义域为(－∞，＋∞)； ②f (x )是奇函数；③f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；④若实数a ，b 满足f (a )＋f (b －1)＝0，则a ＋b ＝1；⑤设函数g (x )在[－2 017,2 017]上的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝2 017. 其中真命题的序号是①②③④__.(写出所有真命题的序号) 解析：对于①，∵x 2＋1＞x 2＝|x |≥－x ， ∴x 2＋1＋x ＞0，∴f (x )的定义域为R ，∴①正确．对于②，f (x )＋f (－x )＝ln(x ＋x 2＋1)＋ln(－x ＋－x2＋1)＝ln[(x 2＋1)－x 2]＝ln1＝0.∴f (x )是奇函数，∴②正确． 对于③，令u (x )＝x ＋x 2＋1， 则u (x )在[0，＋∞)上单调递增． 当x ∈(－∞，0]时，u (x )＝x ＋x 2＋1＝1x 2＋1－x，而y ＝x 2＋1－x 在(－∞，0]上单调递减，且x 2＋1－x ＞0.∴u (x )＝1x 2＋1－x在(－∞，0]上单调递增，又u (0)＝1，∴u (x )在R 上单调递增，∴f (x )＝ln(x ＋x 2＋1)在R 上单调递增，∴③正确． 对于④，∵f (x )是奇函数，而f (a )＋f (b －1)＝0，∴a ＋(b －1)＝0， ∴a ＋b ＝1，∴④正确．对于⑤，f (x )＝g (x )－2 017是奇函数，当x ∈[－2 017,2 017]时，f (x )max ＝M －2 017，f (x )min ＝m －2 017， ∴(M －2 017)＋(m －2 017)＝0， ∴M ＋m ＝4 034，∴⑤不正确． 16．已知函数f (x )＝lnx ＋1x －1. (1)求函数f (x )的定义域，并判断函数f (x )的奇偶性； (2)对于x ∈[2,6]，f (x )＝lnx ＋1x －1＞ln mx －17－x恒成立，某某数m 的取值X 围．解：(1)由x ＋1x －1＞0，解得x ＜－1或x ＞1， ∴函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)， 当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f (－x )＝ln－x ＋1－x －1＝ln x －1x ＋1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1－1＝－ln x ＋1x －1＝－f (x )．∴f (x )＝lnx ＋1x －1是奇函数． (2)由于x ∈[2,6]时，f (x )＝lnx ＋1x －1＞ln mx －17－x恒成立， ∴x ＋1x －1＞mx －17－x＞0， ∵x ∈[2,6]，∴0＜m ＜(x ＋1)(7－x )在x ∈[2,6]上恒成立． 令g (x )＝(x ＋1)(7－x )＝－(x －3)2＋16，x ∈[2,6]，由二次函数的性质可知，x ∈[2,3]时函数g (x )单调递增，x ∈[3,6]时函数g (x )单调递减， 即x ∈[2,6]时，g (x )min ＝g (6)＝7， ∴0＜m ＜7.故实数m 的取值X 围为(0,7)．。
2025届新高三数学开学摸底考试卷01(新九省地区专用)(答案及评分标准)
2025届新高三开学摸底考试卷数学·答案及评分标准一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．12345678C B BD A A B D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．91011BC BDAD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．1051314．4四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）【详解】（1）由sin2A A+=可得1sin122A A+=，即sin(1π3A+=，...............3分由于ππ4π(0,π)(,)333A A∈⇒+，故ππ32A+=，解得π6A=....................................................6分（2）由题设条件和正弦定理sin sin2sin2sin sin cosC c BB C C B B=⇔=，又,(0,π)B C∈，则sin sin0B C≠，进而cosB=π4B=，..........................................8分于是7ππ12C A B=--=，sin sin(π)sin()sin cos sin cos4C A B A B A B B A=--=+=+=，.....................................10分由正弦定理可得，sin sin sina b cA B C==，即2ππ7πsin sin sin6412b c==，解得b c==...............................................................................................................12分故ABC的周长为2+分16．（15分）【详解】（1）依题意可得上顶点()0,A b，左，右焦点分别为()1,0F c-，()2,0F c，所以()1,AF c b=--，()2,AF c b=-，又120AF AF ⋅=，所以()22120AF AF c b ⋅=-+-= ，即22b c =，即222a c c -=，所以222a c =，所以离心率2c e a ==；..........................................................................5分（2）由（1）可得b c =，a =，则椭圆方程为222212x y c c+=，射线1AF 的方程为b y x b x c c=+=+，联立222212y x cx y c c =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理可得2340x cx +=，..................................................................8分解得0x =或43B x c =-，则13B y c =-，即41,33B c c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，.................................................12分所以83AB ===，解得c =2a =，所以2ABF △的周长222112248ABF C AB AF BF AF BF AF BF a =++=+++== ． (15)分17．（15分）【详解】（1）设,AC BD 相交于点O ，因为2AB BC CD DA ====，所以四边形ABCD 是菱形，所以DB AC ⊥，且O 为BD 的中点，连接PO ，因为PD PB =，所以DB PO ⊥，................................................................................3分因为,AC PO ⊂平面,PAC AC PO O ⋂=，所以DB ⊥平面PAC ，因为PC ⊂平面PAC ，所以DB PC ⊥...........................................................................................6分（2）过点O 作平面ABCD 的垂线Oz ，以,,OB OC Oz 所在的直线分别为x 轴､y 轴､z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则)()(),0,1,0,BC D .因为,DB PO DB AC ⊥⊥，所以POC ∠是二面角P BD C --的平面角，所以2π3POC ∠=，且结合已知有3PO =，..............................................................................................9分因为PO 在平面yOz 内，所以由已知及平面几何的性质，得3330,,22P ⎛- ⎝⎭，所以5333333330,,,3,,,3,,222PC PD PB ⎛⎛=== ⎝⎭⎝⎭⎭，设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =，则00n PC n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，所以533022333302y z y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩，.........................................................................................12分令33y =5,3z x ==-，所以()3,33,5n =-是平面PCD 的一个法向量，设直线PB 与平面PCD 所成的角为θ，所以||3361sin 61||||2361PB n PB n θ⋅===⨯ ，即直线PB 与平面PCD 36161分18．（17分）【详解】（1）函数()()()21ln 22f x a x x a =+-∈R 的定义域为()2,-+∞，且()()21122x a a f x x x x -+++='=-++，..................................................................................................1分当1a ≤-时，()0f x '≤恒成立，所以()f x 在()2,-+∞单调递减；......................................................3分当10a -<<时，令()0f x '=，即()2110x a -+++=，解得111x a =+，211x a =+，因为10a -<<，所以011a <+<，则2111a -<+<-，所以当()2,11x a ∈-+-时()0f x '<，当()111x a a ∈++-时()0f x ¢>，当)1,x ∈+∞时()0f x '<，所以()f x 在()2,1-上单调递减，在()1上单调递增，在)1,+∞上单调递减；.................................................................................................................4分当0a ≥时，此时12≤-，所以()1x ∈-时()0f x ¢>，当)1,x ∈+∞时()0f x '<，所以()f x 在()1-上单调递增，在)1,+∞上单调递减．........................................6分综上可得：当1a ≤-时()f x 在()2,-+∞单调递减；当10a -<<时()f x 在()2,1-上单调递减，在()1上单调递增，在)1,+∞上单调递减；当0a ≥时()f x 在()1-上单调递增，在)1,+∞上单调递减．...............................8分（2）（ⅰ）由（1）可知10a -<<．............................................................................................................10分（ⅱ）由（1）()f x 在()2,1-上单调递减，在()1上单调递增，在)1,+∞上单调递减，所以()f x 在1x 处取得极大值，在1x =处取得极小值，又10a -<<，所以011a <+<，则112<<，又())))211ln1102f x fa ==-<极大值，..........................................................12分又())110f f-<<，所以()f x 在()1,+∞上没有零点，又10a -<<，则44a<-，则440e e a -<<，442e 2e 2a --<-<-，则240e 24a ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭，.......................................................................................................................................15分所以2441e 24e 202a af ⎛⎫⎛⎫-=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在()2,1-上存在一个零点，综上可得函数()f x 有且只有一个零点．....................................................................................................17分19．（17分）【详解】（1）因为(1)(23)(15)n n a n n =--≤≤所以123451,1,3,5,7a a a a a ===-==-，所以数列{}n a 的“min 点”为3，5，.............................................................................................3分（2）依题意，()()11122112nnn a S a-==--，因为数列1n n S S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭存在“min 点”，所以存在()2n n ≥，使得1111n n S a S a +<+，所以()()1111112121n n a a a a -+<+-，即()111222221n nna a --<⋅-.因为2n ≥，所以220n->，所以21121n a <-，................................................................6分又21n-随n 的增大而增大，所以当2n =时，121n-取最大值13，所以2113a <，又10a >，所以10a <<当10a <<时，有212111S S S S +<+，所以数列1n n S S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭存在“min 点”，所以1a的取值范围为3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，................................................................................................9分（3）①若()12n a a n ≥≥，则数列{}n a 不存在“min 点”，即0p =.由10m a a -≥得，10m a a -≤，所以1m a a p -≤，②若存在n a，使得1n a a <.下证数列{}n a 有“min 点”.证明:若21a a <，则2是数列{}n a 的“min 点”;若21a a ≥，因为存在n a ，使得1n a a <，所以设数列{}n a 中第1个小于1a 的项为1n a ，则()11121n i a a a i n <≤≤≤-，所以1n 是数列{}n a 的第1个“min 点”.综上，数列{}n a 存在“min 点”...........................................................................11分不妨设数列{}n a 的“min 点”由小到大依次为123,,,,p n n n n ，则1i n a +是11121,,,,,i i i i i n n n n n a a a a a ++++- 中第1个小于i n a 的项，故1111i i i i n n n n a a a a +++--≤-，因为()112n n a a n m -≥-≤≤，所以11n na a --≤，所以1111i i n n a a ++--≤，所以11i i n n a a +-≤所以()()()()112231111p p pm n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a --≤-=-+-+-++- ()()()()1122331111p p n n n n n n n n a a a a a a a a ----≤-+-+-++- ()11111.p ≤++++ 个所以1m a a p -≤.综上，1ma a p -≤，得证.........................................................................................................17分。
2025届新高三数学开学摸底考试卷01(新高考通用)01(解析版)
2025届新高三开学摸底考试卷（新高考通用）01数学•全解全析（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{23}A xx −<<∣，{}250,B x x x x =−<∈N ∣，则A B = （ ） A ．{03}xx <<∣ B ．{25}x x −<<∣ C ．{0,1,2} D ．{1,2}【答案】D【分析】先求集合B ，注意x N ∈，再求A B ∩.【详解】250x x −<⇒05x <<，又因为x N ∈，所以{1,2,3,4}B =，得{1,2}A B = ． 故选：D ． 2．已知复数z 满足4i2i z z −=−，则z 的虚部为（ ） A ．1i 5B ．1i 10 C ．15D ．110【答案】C【分析】根据条件，利用复数的四则运算，即可求出结果. 【详解】因为4i2i z z−=−，所以4i 12z z +=，所以()124i z =−,所以()()124i 24i 11i 24i24i 24i 20105z ++====+−−+，所以z 的虚部为15，故选：C ．3．已知π(0,),3sin 2cos 212ααα∈=+，则tan 2α=（ ）AB C ．34D ．43【答案】C【分析】利用二倍角的正余弦公式求出tan α，再利用二倍角的正切公式计算即得.【详解】由3sin2cos 21αα=+，得26sin cos 2cos ααα=，而π(0,)2α∈，即cos 0α>， 则1tan 3α=，所以22122tan 33tan 211tan 41()3ααα×===−−. 故选：C4．若命题：“a ∃，R b ∈，使得cos cos a b b a −≤−”为假命题，则a ，b 的大小关系为（ ） A ．a b < B ．a b > C ．a b ≤ D ．a b ≥【答案】B【分析】由命题的否定为真命题，转化为cos cos a a b b +>+成立，构造函数利用导数判断单调性即可得解. 【详解】由题意，命题的否定“a ∀，R b ∈，使得cos cos a b b a −>−”为真命题， 即cos cos a a b b +>+，设()cos f x x x =+，则()1sin 0f x x ′=−≥， 所以()f x 为增函数，所以由()()f a f b >可知a b >， 故选：B5．黄地绿彩云龙纹盘是收藏于中国国家博物馆的一件明代国宝级瓷器．该龙纹盘敞口，弧壁，广底，圈足．器内施白釉，外壁以黄釉为地，刻云龙纹并填绿彩，美不胜收．黄地绿彩云龙纹盘可近似看作是圆台和圆柱的组合体，其口径22.5cm ，足径14.4cm ，高3.8cm ，其中底部圆柱高0.8cm ，则黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为（ ）（附：π的值取35≈）A ．2311.31cmB ．2300.88cmC ．2322.24cmD ．2332.52cm【答案】A【分析】首先求圆台母线长，再代入圆台和圆柱侧面积公式，即可求解. 【详解】设该圆台的母线长为l ，两底面圆半径分别为R ，r （其中R r >）， 则222.5R =，214.4r =， 3.80.83h =−=，所以5l ≈，故圆台部分的侧面积为()()21 π311.2276.7557.25cm S R r l =+≈×+×=， 圆柱部分的侧面积为222π0.867.20.834.56cm S r =⋅=××=， 故该黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为212276.7534.56 311.31cm S S +≈+=.故选：A.6．某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量某山峰的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，在山脚A 测得山顶P 的仰角为45°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走了90米到达B 点（A ，B ，P ，Q 在同一个平面内），在B 处测得山顶P 的仰角为60°，则山高PQ 为（ ）米A． B． C．1)− D．1)【答案】A【分析】在ABP 中，利用正弦定理求AP ，进而在Rt PAQ 中求山的高度.【详解】依题意，45PAQ ∠=，15BAQ ∠= ，则30PAB ∠= ，45APQ ∠= ， 又60PBC ∠= ，则30BPC ∠= ，即有15BPA ∠= ，135PBA ∠= ， 在ABP 中，90AB =， 由正弦定理得sin sin AP ABABP APB=∠∠，且sin15sin(6045)sin 60cos 45cos 60sin 45=−=−=，则sin 90sin135sin sin15AB ABP APAPB ∠===∠， 在Rt PAQ中，sin 45PQAP ==， 所以山高PQ为米. 故选：A7．已知双曲线E ：()222210,0x y a b a b−=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线与E 的右支交于A ，B两点，且222BF AF =，若10AF AB ⋅=，则双曲线E 的离心率为（ ） ABCD【答案】B【分析】设2AF t =，则22BF t =，根据双曲线的定义，可得1AF 和1BF ，再在直角三角形中，利用勾股定理可得关于a ，c 的关系，可得双曲线的离心率.【详解】如图：设2AF t =，则22BF t =，根据双曲线的定义，可得12AF a t =+，122BF a t =+， 因为10AF AB ⋅=，所以190BAF ∠=°， 所以222121222211AF AF F F AF AB BF += += ⇒()()()()()222222222322a t t c a t t a t ++= ++=+ 由()()()2222322a t t a t ++=+⇒23a t =， 代入()()22222a t t c ++=可得22179a c =⇒e ca ==故选：B【点睛】方法点睛：选择填空题中，出现圆锥曲线的问题，首先要考虑圆锥曲线定义的应用，不能用定义，再考虑其他方法.8．已知函数()f x 的定义域为R ，且满足()()()22,(1)2f x f y f x y xy f +=+−+=，则下列结论正确的是（ ） A ．(4)12f = B ．方程()f x x =有解 C ．12f x+是偶函数D ．12f x−是偶函数【答案】C【分析】由已知利用赋值法与等差数列的求和公式，结合函数的奇偶性及方程解的存在条件检验各选项即可判断.【详解】对于A ，因为函数()f x 的定义域为R ，且满足()()()22,(1)2f x f y f x y xy f +=+−+=， 取1xy ==，得(1)(1)(2)22f f f +=−+，则(2)4f =， 取2xy ==，得(2)(2)(4)82f f f +=−+，则(4)14f =，故A 错误； 对于B ，取1y =，得()(1)(1)22f x f f x x +=+−+，则(1)()2f x f x x +−=， 所以()(1)2(1),(1)(2)f x f x x f x f x −−=−−−−=2(2),,(2)(1)2x f f −−=， 以上各式相加得[]22(1)2(1)()(1)2x x f x f x x −+⋅−−==−，所以2()2f x x x −+，令2()2f x x x x =−+=，得2220x x +=−，此方程无解，故B 错误. 对于CD ，由B 知2()2f x x x −+，所以22111722224f x x x x+=+−++=+是偶函数，21112222f x x x −−−−+21124x x −+不是偶函数，故C 正确，D 错误.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用赋值法得到(1)()2f x f x x +−=，再利用等差数列数列的求和公式得到2()2f x x x −+，从而得解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于[)80,90内的学生成绩方差为12，成绩位于[)90,100内的同学成绩方差为10.则（ ）参考公式：样本划分为2层，各层的容量､平均数和方差分别为：m 、x 、21s ；n 、y 、22s .记样本平均数为ω，样本方差为2s ，()()2222212m n s s x s y m n m n ωω =+−++−++.A ．0.004a =B ．估计该年级学生成绩的中位数约为77.14C ．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50D ．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25 【答案】BCD【分析】利用频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为1，列等式求出实数a 的值，可判断A 选项；利用中位数的定义可判断B 选项；利用总体平均数公式可判断C 选项；利用方差公式可判断D 选项. 【详解】对于A 选项，在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为1，则()23762102001a a a a a a ++++×==，解得0.005a =，A 错；对于B 选项，前两个矩形的面积之和为()2310500.250.5a a a +×==<， 前三个矩形的面积之和为()237101200.60.5a a a a ++×==>， 设计该年级学生成绩的中位数为m ，则()70,80m ∈，根据中位数的定义可得()0.25700.0350.5m +−×=，解得77.14m ≈， 所以，估计该年级学生成绩的中位数约为77.14，B 对； 对于C 选项，估计成绩在80分以上的同学的成绩的平均数为62859587.56262a aa a a a×+×=++分，C 对； 对于D 选项，估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为()()22311287.5851087.59530.2544 +−++−=，D 对.故选：BCD.10．已知函数π()sin 33f x x =+，下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为2π3B ．点π,06为()f x 图象的一个对称中心C ．若()(R)f x a a =∈在ππ,189x∈− 1a ≤<D ．若()f x 的导函数为()f x ′()()y f x f x =+′ 【答案】ACD【分析】对于A ，直接由周期公式即可判断；对于B ，直接代入检验即可；对于C ，画出图形，通过数形结合即可判断；对于D ，求得后结合辅助角公式即可得解. 【详解】由题意可得2π3T =，故A 正确； π5π1sin 0662f==≠，所以π,06 不是()f x 图象的一个对称中心，故B 错误；令π33t x =+，由ππ189x −≤≤得π2π63t ≤≤，根据题意可转化为直线y a =与曲线π()sin 33f x x =+，ππ,189x ∈− 有两个交点，1a ≤<，故C 正确； 设()f x ′为()f x 的导函数，则()()πππsin 33cos 33333f x f x x x x ϕ+=+++=++≤′tan 3ϕ=，当且仅当ππ32π,Z 32x k k ϕ++=+∈，即当且仅当π2π,Z 3183k x k ϕ=−++∈时等号成立，故D 正确， 故选：ACD ．11．已知1x 是函数 ()()30f x x mx n m =++<的极值点，若()()()2112f x f x x x =≠，则下列结论 正确的是（ ） A ．()f x 的对称中心为()0,n B ．()()11f x f x −> C ．1220x x += D ．120x x +>【答案】AC【分析】利用()()002f x f x n ++−=，可判断A ；令()0f x ′=，解得x ，代入()()11f x f x −−可判断B ；利用导数判断出()y f x =的单调性并求出极值点，结合图像分情况由()()()2112f x f x x x =≠解出2x ，可得1220x x +=可判断C ；利用C 选项，若1x =2x =120x x +<可判断D.【详解】对于A ，因为()()33002f x f x x mx n x mx n n ++−=++−−+=，所以()f x 的对称中心为()0,n ，故A 正确；对于B ，()23f x x m =′+，令()0f x ′=，解得x =当1x =时， ()()33111111f x f x x mx n x mx n −−=−−+−−−()21123m x x m m −=−+−+因为0m <，所以0>，可得()()11f x f x −>，当1x = ()()33111111f x f x x mx n x mx n −−=−−+−−−()21123m x x m m − =−++，因为0m <0<，可得()()11f x f x −<，故B 错误；对于C ，令()0f x ′=，解得x =，当x >或x <()0f x ′>，()y f x =是单调递增函数，当x <()0f x ′<，()y f x =是单调递减函数，所以()y f x =在x =时有极大值，在x =如下图，当1x =()()()2112f x f x x x =≠，则 ()()()()33221211*********f x f x x mx n x mx n x x x x x x m −=++−−−=−+++=，可得2211220x x x x m +++=，即22203m x m −++=，解得2x =， 所以1220x x +=；当1x =时，如下图，若()()()2112f x f x x x =≠，则 ()()()()33221211*********f x f x x mx n x mx n x x x x x x m −=++−−−=−+++=，可得2211220x x x x m +++=，即22203m x m −++=，解得2x = 所以1220x x +=；综上所述，1220x x +=，故C 正确；对于D ，由C 选项可知，若1x =，2x =所以120x x +，故D 错误.故选：AC.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用导数研究函数的单调性和极值点.第二部分（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
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珠海市2013年9月高三摸底考试理科数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1.已知集合{1}A x x =>，2{20}B x x x =-<，则A B ⋃=（ ）A. {0}x x >B. {1}x x >C. {12}x x <<D. {02}x x << 2.复数21ii=+（ ） A. 1i + B. 1i - C. 2i + D. 2i -3.下列函数中，既是偶函数又在区间0,+∞（）上单调递增的函数为（ ）A ．1y x -= B ．2log y x = C ．||y x = D ．2y x =-4.在ABC ∆中，“060A =”是“1cos 2A =”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5.如图，在ABC ∆中，点D 是BC 边上靠近B 的三等分点，则=AD （ ）A ．3132- B ． 3231+ C ． 3132+ D ． 3231- 6 .已知x y ，满足约束条件 ，则2+4z x y =的最小值为（ ）A . 14- B.15- C. 16- D. 17- 7.一简单组合体的三视图及尺寸如图(1)示（单位: cm ）则该组合体的体积为（ ） A. 720003cm B. 640003cmC. 560003cmD. 440003cm（第5题）侧视图主视图8. 对于函数()y f x =，如果存在区间[,]m n ，同时满足下列条件：①()f x 在[,]m n 内是单调的；②当定义域是[,]m n 时，()f x 的值域也是[,]m n ，则称[,]m n 是该函数的“和谐区间”．若函数11()(0)a f x a a x+=->存在“和谐区间”，则a 的取值范围是（ ） A ． 15(,)22B ． (0,1)C ． (0,2)D ．(1,3) 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，考生做答6小题，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置.9.不等式3+110x x --<的解集是 ．K$s5u10.在二项式25()a x x-的展开式中，含x 项的系数是80-，则实数a 的值为 ． 11.设等比数列{}n a 的公比2q =，则44S a = ． 12.直线14y x b =-+是函数1()f x x=的切线，则实数b = ． 13.在ABC ∆中，AB =2AC ，0=60C ，则BC = ．14．（几何证明选讲选做题）如图， 圆O 的直径6AB P AB P =，是延长线上的一点，过作圆的切线，0,30C CPA CP ∠=切点为若,则长为 .15．(极坐标选做题）极坐标系中，曲线4cos ρθ=-上的点到直线()cos 8ρθθ=的距离的最大值是 .三、解答题:本题共有6个小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16. （本小题满分12分）已知函数2()cos sin cos f x x x x =+.（1）求()f x 的最小正周期和最小值； （2）若(,)42ππα∈且3(+)8f πα=，求cos αAP（第14题）MNFBCDAF的值.17. （本小题满分12分）某大学一个专业团队为某专业大学生研究了多款学习软件，其中有A 、B 、C 三种软件投入使用，经一学年使用后，团队调查了这个专业大一四个班的使用情况，从各班抽取的样本人数如下表：（1）从这12人中随机抽取2人，求这2人恰好来自同一班级的概率；（2）从这12名学生中，指定甲、乙、丙三人为代表，已知他们下午自习时间每人选择一款软件，其中选A 、B 两个软件学习的概率都是16，且他们选择A 、B 、C 任一款软件都是相互独立的。
设这三名学生中下午自习时间选软件C 的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． K$s5u18. （本小题满分14分）在边长为4cm 的正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，M 、N 分别为AB 、CF 的中点，现沿AE 、AF 、EF 折叠，使B 、C 、D 三点重合，重合后的点记为B ,构成一个三棱锥．（1）请判断MN 与平面AEF 的位置关系，并给出证明； （2）证明AB ⊥平面BEF ；（3）求二面角M EF B --的余弦值．班级 一 二 三 四 人数 3 2 3 419. （本小题满分14分）若正数项数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11a =，点)1n P S +在曲线2(1)y x =+上. （1）求23,a a ；（2）求数列{}n a 的通项公式n a ； （3）设11n n n b a a +=⋅,n T 表示数列{}n b 的前项和,若n T a ≥恒成立，求n T 及实数a 的取值范围.20. （本小题满分14分）已知点A B 、的坐标分别是(0,1)-、(0,1)，直线AM BM 、相交于点M ，且它们的斜率之积为12-． (1)求点M 轨迹C 的方程；(2)若过点(0,2)D 的直线l 与(1)中的轨迹C 交于不同的两点E F 、，试求OEF ∆面积的取值范围（O 为坐标原点）． K$s5u21.（本小题满分14分）已知函数1()ln xf x x ax-=+（0>x ）． （1）当1a =时，求()f x 在1[,2]2上的最小值；（2）若函数()f x 在1[,+)2∞上为增函数，求正实数a 的取值范围；（3）若关于x 的方程12ln 20x x x mx -+-=在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰有两个相异的实根，求实数m 的取值范围．K$s5u侧视图珠海市2013年9月高三摸底考试理科数学试题与参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1.（集合）已知集合{1}A x x =>，2{20}B x x x =-<，则A B ⋃=（ ）{1}x x > C. {12}x x << D. {02}x x << 2.（复数的除法）复数21ii=+（ ） A. 1i + B. 1i - C. 2i + D. 2i -3.（函数的奇偶性与单调性）下列函数中，既是偶函数又在区间0,+∞（）上单调递增的函数为（ ）A ．1y x -= B ．2log y x = C ．||y x = D ．2y x =-4.（充要条件）在ABC ∆中，“060A =”是“1cos 2A =”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件K$s5u5.（向量）如图，在ABC ∆中，点D 是BC 边上靠近B 的三等分点，则AD =u u u r（ ）A ．21AB AC -u u u r u u u r B ．1233AB AC +u u ur u u u rD ．1233AB AC -u u ur u u u r6.（线性规划）已知x y ，满足约束条件5000x y x y y ++≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则2+4z x y =的最小值为（ ）A . 14- B.15- C. 16- D. 17-7.（三视图）一简单组合体的三视图及尺寸如图(1)示（单位: cm ）则该组合体的体积为（ ）A. 720003cm B. 640003cmC. 560003cmD. 440003cm8.（信息题）对于函数()y f x =，如果存在区间[,]m n ，同时满足下列条件：①()f x 在[,]m n 内是单调的；②当定义域是[,]m n 时，()f x 的值域也是[,]m n ，则称[,]m n 是该函数的“和谐区间”．若函数11()(0)a f x a a x+=->存在“和谐区间”，则a 的取值范围是（ ） A ． 15(,)22B ． (0,1)C ． (0,2)D ．(1,3) 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置. 9.（绝对值不等式）不等式3+110x x --<10.（二项展开式）在二项式25()a xx-的展开式中，含x 项的系数是80-，则实数a 的值为11.（等比数列）设等比数列{}n a 的公比2q =，则44S a 12.（导数）直线14y x b =-+是函数1()f x x=的切线，则实数b13.（解三角形）在ABC ∆中，AB =2AC ，0=60C ，则14．（几何证明选讲选做题）如图，圆O 的直径6AB P AB P =，是延长线上的一点，过作圆的切线，0,30C CPA CP ∠=切点为若,则15．(极坐标选做题）极坐标系中，曲线4cos ρθ=-上的点到直线()cos 8ρθθ=三、解答题:本题共有6个小题，12分+12分+14分+14分+14分+14分=80分． 16.（三角函数）已知函数2()cossin cos f x x x x =+（1）求()f x 的最小正周期和最小值； （2）若(,)42ππα∈且32(+)84f πα=，AP求cosα的值.解：（1）分（2）所以分所以2分17.（概率）某大学一个专业团队为某专业大学生研究了多款学习软件，其中有A、B、C三种软件投入使用，经一学年使用后，团队调查了这个专业大一四个班的使用情况，从各班抽取的样本人数如下表班级一二三四人数 3 2 3 4（1）从这12人中随机抽取2人，求这2人恰好来自同一班级的概率．（2）从这12名学生中，指定甲、乙、丙三人为代表，已知他们下午自习时间每人选择一款软件，其中选择A、B两个软件学习的概率每个都是16，且他们选择A、B、C任一款软件都是相互独立的。
设这三名学生中下午自习时间选软件C的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望。
解：(1)设“从这12人中随机抽取2人，这2人恰好来自同一班级”的事件为M 则(2)0123ξ=、、、 ………………………………………………………………………………ξ的分布列如下 ξ 0 1 2 3 P1272949827ξ的期望是18.（立几）在边长为4cm 的正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，M 、N 分别为AB 、CF 的中点，现沿AE 、AF 、EF 折叠，使B 、C 、D 三点重合，重合后的点记为B ,构成一个三棱锥．（1）请判断MN 与平面AEF 的位置关系，并给出证明；MN FBCDAF（2）证明AB ⊥平面BEF ；（3）求二面角M EF B --的余弦值．解：（1）MN 平行平面AEF ……………………………………………………………………1分证明：由题意可知点M N 、在折叠前后都分别是AB CF 、的中点（折叠后B C 、两点重合）所以MN平行AF …………………………………………………………………………………2分因为MN AEF AF AEF MN AF ⊄⎧⎪⊂⎨⎪⎩面面平行，所以MN平行平面AEF ………………………………………………4分（2）证明：由题意可知AB BE ⊥的关系在折叠前后都没有改变因为在折叠前AD DF ⊥，由于折叠后AD AB 与重合，点D F 与重合，所以AB BF ⊥……5分因为=AB BE AB BF BE BEF BF BEF BE BF B⊥⎧⎪⊥⎪⎪⊂⎨⎪⊂⎪⋂⎪⎩面面，所以AB ⊥平面BEF ……………………………………………………8分（3）解：,,EF G MF BG MG 记的中点为连接、、,,,BE BF ME MF BG EF MG EF ==⊥⊥因为所以且所以MGB ∠是二面角M EF B --的平面角. ……………………………………………10分因为AB ⊥BEF 面，所以090MGB ∠=. 于是所以，二面角M EF B --的余弦值为19.（数列）若正数项数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11a =，点)1n PS +在曲线2(1)y x =+上.（1）求23,a a ；（2）求数列{}n a 的通项公式n a ； （3）设11n n n b a a +=⋅,n T 表示数列{}n b 的前项和,若n T a ≥恒成立，求n T 及实数a 的取值范围.由11a =解得23a =，35a = (4)分2n S n =…………………………………………………………6分由公式11=12n n n S n a S S n -⎧=⎨-≥⎩，得1=1212n n a n n ⎧=⎨-≥⎩所以21n a n =- (8)分显然nT 是关于n的增函数， 所以nT 有最小值由于n T a≥恒成立，所以20．（圆锥曲线）已知点A B 、的坐标分别是(0,1)-、(0,1)，直线AM BM 、相交于点M，且它们的斜率之积为12-． (1)求点M 轨迹C 的方程；(2)若过点(0,2)D 的直线l 与(1)中的轨迹C 交于不同的两点E F 、，试求OEF ∆面积的取值范围（O 为坐标原点）．解：（1）设点M 的坐标为(,)x y ，程．……………………………………4分（2）由题意知直线l 的斜率存在，设l 的方程为2y kx =+ ①………………………………………5分22(21)860k x kx +++=…………………………………………6分…13分 所以……14分21.（导数）已知函数1()ln xf x x ax -=+ （1）当1a =时，求()f x 在1[,2]2上的最小值；（2）若函数()f x 在1[,+)2∞上为增函数，求正实数a 的取值范围；（3）若关于x 的方程12ln 20x x x mx -+-=在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰有两个相异的实根，求实数m 的取值范围．由上表可得，当1x =时函数()f x 取得最小值0. …………………………………………………4分以2a ≥……………8分…………………………………………………………………………………………………………12分………13分。