2021年广东省珠海市高考数学模拟试卷及答案解析
2021年广东省高考最新数学模拟试卷-含答案与解析
2021年广东省高考最新数学模拟试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣4x+3＞0}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则（∁U A）∪B＝（）A．（﹣1，1] B．[1，2）C．[1，3] D．（﹣1，3]2．在复平面内，设z＝1+i（i是虚数单位），则复数+z2对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．某校开设A类选修课4门，B类选修课3门，每位同学从中选3门．若要求两类课程中都至少选一门，则不同的选法共有（）A．18种B．24种C．30种D．36种4．天文学中为了衡量天体的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparchus，又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，天体就越亮；星等的数值越大，天体就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森（M．R．Pogson）又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念．天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m1﹣m2＝2.5（lgE2﹣lgE1），其中星等为m i的星的亮度为E i（i＝1，2）．已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25．“心宿二”的亮度是“天津四”的r倍，则r的近似值为（）（当|x|较小时，10x≈1+2.3x+2.7x2）A．1.23 B．1.26 C．1.51 D．1.575．如图所示为2018年某市某天中6h至14h的温度变化曲线，其近似满足函数y＝A sin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，＜φ＜π）的半个周期的图象，则该天8h的温度大约为（）A．16℃B．15℃C．14℃D．13℃6．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题：把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为（）A．B．C．D．7．已知F1（﹣c，0）、F2（c，0）是双曲线的左、右焦点，F1关于双曲线的一条渐近线的对称点为P，且点P在抛物线y2＝4cx上，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．8．在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底ABCD是边长为6的正方形，点E在线段AD上．且满足AE＝2ED．过点E作直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1外接球的截面．所得的截面面积的最大值与最小值之差为19π．则直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1外接球的半径为（）A．B．2C．3D．4二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，正确的为（）A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°10．下列命题中，正确的命题有（）A．已知随机变量服从二项分布B（n，p），若E（X）＝30，D（X）＝20，则B．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变C．设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）＝p，则D．若某次考试的标准分X服从正态分布N（90，900），则甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过90分的概率为11．关于函数有如下四个命题，其中正确的命题有（）A．f（x）的图象关于y轴对称B．f（x）的图象关于原点对称C．f（x）的图象关于直线对称D．f（x）的值域为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）12．若实数t≥2，则下列不等式中一定成立的是（）A．（t+3）ln（t+2）＞（t+2）ln（t+3）B．（t+1）t+2＞（t+2）t+1C．1+＞log t（t+1）D．log（t+1）（t+2）＞log（t+2）（t+3）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量，夹角为45°，且||＝1，|2﹣|＝，则||＝．14．若直线ax+2by﹣2＝0（a＞0，b＞0），始终平分圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣8＝0的周长，则+的最小值为．15．已知数列{a n}中，，且a n a n﹣1+1＝2a n﹣1，数列{b n}满足，则{b n}的通项公式是b n＝．16．设f（x）＝，且关于x的方程f（x）＝m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则：①m的取值范围是；②x1x2x3的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞c．已知•＝2，cos B＝，b＝3．求：（1）a和c的值；（2）cos（B﹣C）的值．18．（12分）已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，且满足4S n＝（a n+1）2，若数列{b n}满足b1＝2，b2＝4，且等式b n2＝b n﹣1b n+1对任意n≥2成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）将数列{a n}与{b n}的项相间排列构成新数列a1，b1，a2，b2，…，a n，b n，…，设该新数列为{c n}，求数列{c n}的通项公式和前2n项的和T2n；（3）对于（2）中的数列{c n}前n项和T n，若T n≥λ•c n对任意n∈N*都成立，求实数λ的取值范围．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，△PDC是边长为2的等边三角形，平面PDC⊥平面ABCD，E为线段PC上一点．（1）设平面PAB∩平面PDC＝l，证明：l∥平面ABCD；（2）是否存在这样点E，使平面ADEF与平面ABCD所成角为60°，如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由．20．（12分）某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G有3个电子元件组成，各个电子元件能否正常工作的概率均为，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若系统G中有超过一半的电子元件正常工作，则G可以正常工作，否则就需要维修，且维修所需费用为500元．（Ⅰ）求系统不需要维修的概率；（Ⅱ）该电子产品共由3个系统G组成，设ξ为电子产品需要维修的系统所需的费用，求ξ的分布列与期望；（Ⅲ）为提高G系统正常工作概率，在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为p，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则G可以正常工作，问：p满足什么条件时，可以提高整个G系统的正常工作概率？21．（12分）已知函数f（x）＝x sin x+cos x+．（1）当a＝0时，求f（x）在[﹣π，π]上的单调区间；（2）当a＞0时，讨论f（x）在[0，π]上的零点个数．22．（12分）已知斜率为k的直线交椭圆3x2+y2＝λ（λ＞0）于A，B两点，AB的垂直平分线与椭圆交于C，D两点，点N（1，y0）是线段AB的中点．（1）若y0＝3，求直线AB的方程以及λ的取值范围；（2）不管λ怎么变化，都有A，B，C，D四点共圆，求y0的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣4x+3＞0}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则（∁U A）∪B＝（）A．（﹣1，1] B．[1，2）C．[1，3] D．（﹣1，3]【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：由x2﹣4x+3＞0解得x＜1或x＞3，则A＝（﹣∞，1）∪（3，+∞），所以（∁U A）∪B＝[1，3]∪（﹣1，2）＝（﹣1，3]．故选：D．【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法、补集与并集等基础知识；考查运算求解能力．2．在复平面内，设z＝1+i（i是虚数单位），则复数+z2对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据复数的四则运算进行化简，结合复数的几何意义即可得到结论．【解答】解：∵z＝1+i，∴+z2＝+（1+i）2＝＝1﹣i+2i＝1+i，对应的点为（1，1），位于第一象限，故选：A．【点评】本题主要考查复数的几何意义，利用复数的基本运算进行化简是解决本题的关键．3．某校开设A类选修课4门，B类选修课3门，每位同学从中选3门．若要求两类课程中都至少选一门，则不同的选法共有（）A．18种B．24种C．30种D．36种【分析】根据题意，分两种情况讨论：①若从A类课程中选1门，从B类课程中选2门，②若从A类课程中选2门，从B类课程中选1门，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分两种情况讨论：①若从A类课程中选1门，从B类课程中选2门，有（种）选法；②若从A类课程中选2门，从B类课程中选1门，有（种）选法．综上，两类课程中都至少选一门的选法有12+18＝30种；故选：C．【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．4．天文学中为了衡量天体的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparchus，又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，天体就越亮；星等的数值越大，天体就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森（M．R．Pogson）又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念．天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m1﹣m2＝2.5（lgE2﹣lgE1），其中星等为m i的星的亮度为E i（i＝1，2）．已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25．“心宿二”的亮度是“天津四”的r倍，则r的近似值为（）（当|x|较小时，10x≈1+2.3x+2.7x2）A．1.23 B．1.26 C．1.51 D．1.57【分析】设“心宿二”和“天津四”的亮度分别为E1，E2，由题意1﹣1.25＝2.5（lgE2﹣lgE1），然后利用对数的运算进行求解即可．【解答】解：设“心宿二”和“天津四”的亮度分别为E1，E2，由题意可得，1﹣1.25＝2.5（lgE2﹣lgE1），所以，则，所以r的近似值为1.26．故选：B．【点评】本题主要考查了数学文化以及对数的运算，考查的学科素养是理性思维、数学应用、数学文化，考查了逻辑推理能力，属于中档题．5．如图所示为2018年某市某天中6h至14h的温度变化曲线，其近似满足函数y＝A sin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，＜φ＜π）的半个周期的图象，则该天8h的温度大约为（）A．16℃B．15℃C．14℃D．13℃【分析】根据函数y的图象求出函数解析式，再计算x＝8时y的值．【解答】解：根据函数y＝A sin（ωx+φ）+b的半个周期图象知，，解得A ＝10，b＝20，又：＝14﹣6＝8，所以：T＝16，所以：ω＝＝，又x＝6时，y＝10，即10sin（×6+φ）+20＝10，解得：φ＝2kπ+，k∈Z；又：＜φ＜π，所以：φ＝；所以：y＝10sin（x+）+20，可得：x＝8时，y＝10sin（×8+）+20＝﹣5+20≈13℃，即该天8h的温度大约为13℃．故选：D．【点评】本题考查了由y＝A sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了数形结合思想，属于基础题．6．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题：把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为（）A．B．C．D．【分析】易得中间的那份为20个面包，设最小的一份为a1，公差为d，由题意可得a1和d的方程，解方程可得．【解答】解：由题意可得中间的那份为20个面包，设最小的一份为a1，公差为d，由题意可得[20+（a1+3d）+（a1+4d）]×＝a1+（a1+d），解得a1＝，故选：C．【点评】本题考查等差数列的通项公式，属基础题．7．已知F1（﹣c，0）、F2（c，0）是双曲线的左、右焦点，F1关于双曲线的一条渐近线的对称点为P，且点P在抛物线y2＝4cx上，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【分析】利用已知条件画出图形，求出P的坐标，代入抛物线方程，然后转化求解双曲线的离心率即可．【解答】解：如图：F1P垂直直线bx﹣ay＝0，交点为H，F1到双曲线的一条渐近线bx﹣ay＝0的距离为：d＝＝b，△F1PF2中，PF1＝2d＝2b，抛物线y2＝4cx的焦点坐标（c，0），PF2＝2a，tan∠F1OH＝，∴cos∠F1OH＝，sin∠F1OH＝，可得cos∠OF1P＝，sin∠OF1P＝，P（，），点P在抛物线y2＝4cx上，可得：＝8b2﹣4c2，∴e4﹣3e2+1＝0，e＞1，∴e＝．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质以及抛物线的简单性质的应用，考查数形结合以及计算能力，是中档题．8．在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底ABCD是边长为6的正方形，点E在线段AD上．且满足AE＝2ED．过点E作直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1外接球的截面．所得的截面面积的最大值与最小值之差为19π．则直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1外接球的半径为（）A．B．2C．3D．4【分析】由四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1是直四棱柱，且底面是正方形，可得其外接球的球心位于直四棱柱的中心，记作O，过O向底面ABCD作垂线，垂足为G，连接BD，取AD的中点F，连接OF，OE，OB，设AA1＝2a，根据题意求得外接球的半径R＝OB＝，求出OE＝，再分别求出截面面积最大值域最小值，列方程求解a2，即可求出半径．【解答】解：∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1是直四棱柱，且底面是正方形，∴其外接球的球心位于直四棱柱的中心，记作O，过O向底面ABCD作垂线，垂足为G，则OG＝AA1，连接BD，∵底面ABCD是边长为6的正方形，∴G为BD的中点，取AD的中点F，连接OF，OE，OB，设AA1＝2a，则OG＝a，∴外接球的半径R＝OB＝．∵点E在线段AD上，且满足AE＝2ED，则EF＝DF﹣DE＝AB＝1，又FG＝AB＝3，∴OF＝．∵直四棱柱中，AB⊥侧面ADD1A1，FG∥AB，∴FG⊥侧面ADD1A1，∴FG⊥AD，又OG⊥底面ABCD，∴OG⊥AD，又FG∩OG＝G，∴AD⊥平面OFG，则OF⊥AD．则OE＝．根据球的特征，过点E作直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的截面，当截面过球心时，截面面积最大，此时截面面积为πR2，当OE垂直于截面时，此时截面圆的半径为．∴此时截面面积为．又截面面积的最大值与最小值之差为19π，∴，因此a2+10＝19，即a2＝9，则R＝．故选：C．【点评】本题考查求几何体外接球的半径，考查直四棱柱及球的结构特征，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，正确的为（）A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°【分析】首先由正方形中的线线平行推导线面平行，再利用线面平行推导线线平行，这样就把AC、BD平移到正方形内，即可利用平面图形知识做出判断．【解答】解：因为截面PQMN是正方形，所以PQ∥MN、QM∥PN，则PQ∥平面ACD、QM∥平面BDA，所以PQ∥AC，QM∥BD，由PQ⊥QM可得AC⊥BD，故A正确；由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故B正确；异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角，故D正确；综上C是错误的．故选：ABD．【点评】本题主要考查线面平行的性质与判定．10．下列命题中，正确的命题有（）A．已知随机变量服从二项分布B（n，p），若E（X）＝30，D（X）＝20，则B．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变C．设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）＝p，则D．若某次考试的标准分X服从正态分布N（90，900），则甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过90分的概率为【分析】利用二项分布以及期望与方程求解判断A；方差的性质判断B；正态分布求解概率，判断C；利用正态分布的概率判断D．【解答】解：根据二项分布的数学期望和方差的公式，可得E（X）＝np＝30，D（X）＝np（1﹣p）＝20，解得，所以A错误；根据数据方差的计算公式可知，将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，所以B正确；由正态分布的图象的对称性可得，所以C 正确；甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过90分的概率，故D正确．故选：BCD．【点评】本题考查命题的真假的判断，考查二项分布以及正态分布的概率的求法与性质，是中档题．11．关于函数有如下四个命题，其中正确的命题有（）A．f（x）的图象关于y轴对称B．f（x）的图象关于原点对称C．f（x）的图象关于直线对称D．f（x）的值域为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【分析】求解函数的定义域，判断函数的奇偶性与对称性，判断A，B的正误；利用特殊值判断对称性，判断C的正误；求解函数的值域判断D．【解答】解：由题意知f（x）的定义域为，且关于原点对称．又，所以函数f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，所以A正确，B错误．因为，，所以，所以函数f（x）的图象不关于直线对称，C错误．当cos x＜0时，f（x）≤﹣2，当cos x＞0时，f（x）≥2，所以D正确．故选：AD．【点评】本题考查命题的真假的判断，考查三角函数的性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．12．若实数t≥2，则下列不等式中一定成立的是（）A．（t+3）ln（t+2）＞（t+2）ln（t+3）B．（t+1）t+2＞（t+2）t+1C．1+＞log t（t+1）D．log（t+1）（t+2）＞log（t+2）（t+3）【分析】令构造函数f（x）＝，对其求导，结合导数与单调性关系检验各选项即可判断．【解答】解：令f（x）＝，则，易得，当x＞e时，f′（x）＜0，函数单调递减，当0＜x＜e时，f′（x）＞0，函数单调递增，因为t≥2，t+3＞t+3＞e，所以＜，所以（t+2）ln（t+3）＜（t+3）ln（t+2）同理，所以（t+2）ln（t+1）＞（t+1）ln（t+2），所以（t+1）t+2＞（t+2）t+1，B正确；所以（t+2）ln（t+1）＞（t+1）ln（t+2），A正确；令g（x）＝，x≥3，则g′（x）＝＜0，故g（x）在[3，+∞）上单调递减，g（t+1）＞g（t+2），所以＞，故log t+1（t+2）＞log t+2（t+3），D正确；对于C，1+＞log t（t+1）⇔⇔，结合选项A的讨论，t与e的大小不确定，故C错误．故选：ABD．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，比较函数值的大小，构造函数并判断单调性是求解问题的关键．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量，夹角为45°，且||＝1，|2﹣|＝，则||＝．【分析】利用数量积的性质即可得出．【解答】解：∵向量，夹角为45°，且||＝1，|2﹣|＝．∴＝，化为＝10，化为，∵，解得||＝．故答案为：．【点评】本题考查了数量积的性质，属于基础题．14．若直线ax+2by﹣2＝0（a＞0，b＞0），始终平分圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣8＝0的周长，则+的最小值为3+2．【分析】由题意可知圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣8＝0的圆心（2，1）在直线ax+2by﹣2＝0上，可得a+b＝1，而+＝（+）（a+b），展开利用基本不等式可求最小值【解答】解：由圆的性质可知，直线ax+2by﹣2＝0即是圆的直径所在的直线方程．∵圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣8＝0的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝13，∴圆心（2，1）在直线ax+2by﹣2＝0上，∴2a+2b﹣2＝0即a+b＝1，∵+＝（+）（a+b）＝3++≥3+2，∴+的最小值3+2．故答案为3+2．【点评】本题主要考查了圆的性质的应用，利用基本不等式求解最值的问题，解题的关键技巧在于“1”的基本代换．15．已知数列{a n}中，，且a n a n﹣1+1＝2a n﹣1，数列{b n}满足，则{b n}的通项公式是b n＝．【分析】利用数列的递推关系式推出数列{b n}是首项为，公差为1的等差数列，然后求解通项公式．【解答】解：因为a n a n﹣1+1＝2a n﹣1，所以，因为，所以，所以数列{b n}是首项为，公差为1的等差数列，所以．故答案为：．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法，是中档题．16．设f（x）＝，且关于x的方程f（x）＝m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则：①m的取值范围是（0，2）；②x1x2x3的取值范围是．【分析】作出函数f（x）的图象，由f（x）＝m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根，结合图象可得m的取值范围，不妨设x1＜x2＜x3，易知x2＞0，且x2+x3＝2×2＝4，进一步得到0＜x2x3＜4，，由此求得x1x2x3的取值范围．【解答】解：当x＜0，单调递减，作出函数f（x）的图象，如图所示，由图可知，当0＜m＜2时，f（x）＝m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，不妨设x1＜x2＜x3，易知x2＞0，且x2+x3＝2×2＝4，∴0＜x2x3＜4，令，解得（舍去）或．∴，∴．故答案为：①（0，2）；②．【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想，属于中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞c．已知•＝2，cos B＝，b＝3．求：（1）a和c的值；（2）cos（B﹣C）的值．【分析】（1）运用向量的数量积的定义和余弦定理，解方程即可得到所求a，c；（2）由余弦定理可得cos C，求得sin C，sin B，运用两角差的余弦公式，计算即可得到所求值．【解答】解：（1）•＝2，cos B＝，b＝3，可得ca cos B＝2，即为ac＝6；b2＝a2+c2﹣2ac cos B，即为a2+c2＝13，解得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2，由a＞c，可得a＝3，c＝2；（2）由余弦定理可得cos C＝＝＝，sin C＝＝，sin B＝＝，则cos（B﹣C）＝cos B cos C+sin B sin C＝×+×＝．【点评】本题考查三角形的余弦定理和向量的数量积的定义，以及三角函数的恒等变换公式，考查运算能力，属于中档题．18．（12分）已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，且满足4S n＝（a n+1）2，若数列{b n}满足b1＝2，b2＝4，且等式b n2＝b n﹣1b n+1对任意n≥2成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）将数列{a n}与{b n}的项相间排列构成新数列a1，b1，a2，b2，…，a n，b n，…，设该新数列为{c n}，求数列{c n}的通项公式和前2n项的和T2n；（3）对于（2）中的数列{c n}前n项和T n，若T n≥λ•c n对任意n∈N*都成立，求实数λ的取值范围．【分析】（1）由4S n＝（a n+1）2，n＝1时，4a1＝，解得a1．n≥2时，4a n＝4（S n﹣S n﹣1），化为：（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）＝0，根据数列{a n}的各项均为正数，可得a n﹣a n﹣1＝2，利用等差数列的通项公式可得a n．（2）数列{b n}满足b1＝2，b2＝4，且等式b n2＝b n﹣1b n+1对任意n≥2成立．利用等比数列的通项公式可得b n．进而得出c n，T2n．（3）T n≥λ•c n，即n2+2n+1﹣2≥λc n，对n分类讨论即可得出．【解答】解：（1）由4S n＝（a n+1）2，n＝1时，4a1＝，解得a1＝1．n≥2时，4a n＝4（S n﹣S n﹣1）＝（a n+1）2﹣，化为：（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）＝0，∵数列{a n}的各项均为正数，∴a n+a n﹣1＞0，∴a n﹣a n﹣1＝2，∴数列{a n}为等差数列，首项为1，公差为2．∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．（2）数列{b n}满足b1＝2，b2＝4，且等式b n2＝b n﹣1b n+1对任意n≥2成立．∴数列{b n}是等比数列，首项为2，公比为＝2．∴b n＝2n．∴c n＝，k∈N*．∴T2n＝+＝n2+2n+1﹣2．（3）T n≥λ•c n，即n2+2n+1﹣2≥λc n，n＝2k时，λ≤的最小值，f（k）＝＝+2，k≥2时单调递减，∴f（k）≤+2＝．k＝1时，f（1）＝＝．∴λ≤．n＝2k﹣1时，λ≤的最小值，同理可得：λ≤1．综上可得：实数λ的取值范围是λ≤1．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式、分类讨论方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，△PDC是边长为2的等边三角形，平面PDC⊥平面ABCD，E为线段PC上一点．（1）设平面PAB∩平面PDC＝l，证明：l∥平面ABCD；（2）是否存在这样点E，使平面ADEF与平面ABCD所成角为60°，如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）证明AB∥平面PDC，结合AB∥l．推出l∥平面ABCD．（2）设DC中点为O，以O为原点，OA为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，假设存在这样的点E，设，求出平面ABCD的一个法向量，平面ADEF的一个法向量利用空间向量的数量积求解二面角的余弦函数值，然后求解λ的范围，推出结果即可．【解答】（1）证明：因为AB∥CD，AB⊄平面PDC，DC⊂平面PDC，所以AB∥平面PDC，……………………………………………（2分）又AB∥平面PAB，且平面PAB∩平面PDC＝l，所以AB∥l．又l⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以l∥平面ABCD．……………………………（2）解：设DC中点为O，则PO⊥DC，因为平面PDC⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，以O为原点，OA为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，由已知有A（1，0，0）、D（0，﹣1，0）、C（0，1，0）、，假设存在这样的点E，设，则求得，，……………………（7分）平面ABCD的一个法向量为，……………………………………………………（8分）设平面ADEF的一个法向量为，．由得从而取x＝1，则y＝﹣1，，，………………………………………（10分）若平面ADEF与ABCD平面所成角为60°，则，整理得λ2+4λ﹣4＝0，解得，故存在这样的点E满足条件，．……………………………………………（12分）【点评】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面平行的判断定理的应用，考查空间想象能力，转化思想以及逻辑推理能力，是中档题．20．（12分）某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G有3个电子元件组成，各个电子元件能否正常工作的概率均为，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若系统G中有超过一半的电子元件正常工作，则G可以正常工作，否则就需要维修，且维修所需费用为500元．（Ⅰ）求系统不需要维修的概率；（Ⅱ）该电子产品共由3个系统G组成，设ξ为电子产品需要维修的系统所需的费用，求ξ的分布列与期望；（Ⅲ）为提高G系统正常工作概率，在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为p，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则G可以正常工作，问：p满足什么条件时，可以提高整个G系统的正常工作概率？【分析】（Ⅰ）用2个电子元件正常工作加上3个电子元件正常工作可得．（Ⅱ）设X为维修维修的系统的个数，则，且ξ＝500X，所以．再求出概率，写出分布列，期望．（Ⅲ）按照原来和后来增加的原件中正常工作的个数分类讨论，利用独立重复试验的概率公式计算可得．【解答】解（Ⅰ）系统不需要维修的概率为．（Ⅱ）设X为维修的系统的个数，则，且ξ＝500X，所以．所以ξ的分布列为ξ0 500 1000 1500P所以ξ的期望为E（ξ）＝0×+500×+1000×+1500×＝750．．（Ⅲ）当系统G有5个电子元件时，原来3个电子元件中至少有1个元件正常工作，G系统的才正常工作．若前3个电子元件中有1个正常工作，同时新增的两个必须都正常工作，则概率为••（）2•p2＝p2；若前3个电子元件中有两个正常工作，同时新增的两个至少有1个正常工作，则概率为•（）2•••p•（1﹣p）+•（）2•p2＝（2p﹣p2）；若前3个电子元件中3个都正常工作，则不管新增两个元件能否正常工作，系统G均能正常工作，则概率为•（）3＝．所以新增两个元件后系统G能正常工作的概率为p2+（2p﹣p2）+＝p+，于是由p+﹣＝（2p﹣1）知，当2p﹣1＞0时，即＜p＜1时，可以提高整个G系统的正常工作概率．【点评】本题考查了离散型随机变量的期望和方差，属中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝x sin x+cos x+．（1）当a＝0时，求f（x）在[﹣π，π]上的单调区间；（2）当a＞0时，讨论f（x）在[0，π]上的零点个数．【分析】（1）当a＝0时，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合函数的单调性判断函数的零点个数即可．【解答】解：（1）当a＝0时，f（x）＝x sin x+cos x，x∈[﹣π，π]，f'（x）＝sin x+x cos x﹣sin x＝x cos x，当x 在区间[﹣π，π]上变化时，f '（x ），f （x ）的变化如下表：x ﹣π 0 πf '（x ）+ 0 ﹣ 0 + 0 ﹣f （x ）﹣1增 极大值 减 极小值1 增 极大值 减 ﹣1∴f （x ）的单调增区间为，，f （x ）的单调减区间为，．（2）f '（x ）＝ax +x cos x ＝x （a +cos x ），x ∈[0，π]，当a ≥1时，a +cos x ≥0在[0，π]上恒成立，∴x ∈[0，π]时，f '（x ）≥0，∴f （x ）在[0，π]上单调递增，又∵f （0）＝1＞0，∴f （x ）在[0，π]上没有零点；当0＜a ＜1时，令f '（x ）＝0，得cos x ＝﹣a ，由﹣1＜﹣a ＜0可知存在唯一使得cos x 0＝﹣a ， ∴当x ∈[0，x 0）时，f '（x ）≥0，f （x ）单调递增，当x ∈（x 0，π）时，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减，∵f （0）＝1，f （x 0）＞1，，①当，即时，f （x ）在[0，π]上没有零点， ②当，即时，f （x ）在[0，π]上有1个零点，综上，当时，f （x ）有1个零点，当时，f （x ）没有零点．【点评】本题考查了函数的单调性，零点问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是难题．22．（12分）已知斜率为k的直线交椭圆3x2+y2＝λ（λ＞0）于A，B两点，AB的垂直平分线与椭圆交于C，D两点，点N（1，y0）是线段AB的中点．（1）若y0＝3，求直线AB的方程以及λ的取值范围；（2）不管λ怎么变化，都有A，B，C，D四点共圆，求y0的取值范围．【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2）．当y0＝3时，直线AB的方程为y＝k（x﹣1）+3，将AB方程代入3x2+y2＝λ求出直线的斜率k＝﹣1，得到AB的方程为x+y﹣4＝0然后求解λ的范围即可．（2）设直线AB的方程为y＝k（x﹣1）+y0，将方程代入3x2+y2＝λ通过弦长公式，点到直线的距离，利用四点共圆的条件，推出y0的取值范围即可．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）当y0＝3时，直线AB的方程为y＝k（x﹣1）+3，将AB方程代入3x2+y2＝λ得：（3+k2）x2+2k（3﹣k）x+（3﹣k）2﹣λ＝0．①由，解得k＝﹣1，此时AB的方程为x+y﹣4＝0．………………………（2分）将k＝﹣1代入①，得4x2﹣8x+16﹣λ＝0．由△＝64﹣16（16﹣λ）＞0，解得λ＞12．…………………………………………（4分）（2）设直线AB的方程为y＝k（x﹣1）+y0，将方程代入3x2+y2＝λ得：．②由题意，即﹣ky0＝3．……………………………………………………，，……（7分）所以CD中点P的横坐标，点P到AB的距离d为，…………………………（9分）由A，B，C，D四点共圆，即，③不管λ怎么变化，都有A，B，C，D四点共圆，即上式恒成立，所以，解得k2＝1，此时③式成立．代入②，由△＞0得此时λ＞12．所以y0的取值范围为{﹣3，3}．………………………………（12分）【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查学生分析问题解决问题的能力的数学素养，是难题。
广东省珠海一中等六校2021届高三高考模拟试题数学文
广东省珠海一中等六校2021届高三高考模拟试题数学文珠海市第一中学2021年高考模拟考试文科数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只一项符合主题的要求。
1.知道a，B吗？r、及a?bi1?i?2?i，则a?b?()a、 2b.4c.-2d.-42.已知集合a?{0,1,2,3,4}，集合b?{x|x?2n,n?a}，则a?b?（）a、 {0}B.{0,4}C.{2,4}D.{0,2,4}3。
如果这是一个锐角，sin（？）a.26? 16? 6)=13,则cos?的值等于()C23?14b.26? 16天。
23?134.如图所示，在正方形ABCD中，点E和F分别是DC和BC的中点，然后EF=（）11a．ab+221c．?ab?2ad12adb、 ?。
？122? 1.1.d、 ab广告22ab?1ad让a和B成为平面？里面有两条不同的直线，l是一个平面？如果外面有一条直线，那么“l？a，l？B”就是“l”Of（）a．充要条件b．充分而不必要的条件c．必要而不充分的条件d．既不充分也不必要的条件6.如果a?b，则下列各式正确的是（）a.a?lgx?b?lgxb.ax?bxd.a?2?b?2XX222C。
A.Blgan成等差数列，7.设正项等比数列?an?，公差d?lg3，且?lgan?的前三项和为6lg3，然后一一般术语是（）a．nlg3b．3nc．3nd．3n?18.已知向量a？（2厘米，2英寸），B（3cos？、3sin？），如果a和B之间的角度为120？，然后是直线2xcos??2ysin??1?0与圆(x?cos?)?(y?sin?)?1的位置关系是22()a．相交且不过圆心b.相交且过圆心c．相切d．相离9.已知函数f（x）=log2（x2 ax+3a）在区间[2，+∞), 那么实数a的取值范围是（）a、（－∞，4） b.（-4,4]c.（-∞，－4)∪[2，＋∞)d、 [-4,2）10.若定义在正整数有序对集合上的二元函数f满足：①f（x，x）＝x，②f（x，y）＝f(y,x)③(x+y)f(x,y)=yf(x,x+y)，则f（12,16）的值是（）a.12b.16c．24d.48二、填空：这个大问题有5个小问题。
广东省珠海市斗门第一中学高中部2021-2022学年高三数学文模拟试卷含解析
广东省珠海市斗门第一中学高中部2021-2022学年高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 等于A.1B.C.D.参考答案：D2. 规定：对任意的各位数字不全相同的三位数，若将各位数字按照从大到小、从左到右的顺序排列得到的三位数，称为原三位数的“和谐数”；若将各位数字按照从小到大、从左到右的顺序排列得到的三位数，称为原三位数的“新时代数”．如图，若输入的=891，则输出的为（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：C3. 若cosx=sin63°cos18°+cos63°cos108°，则cos2x=（）A．B．C．0 D．参考答案：C【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式以及两角和与差的三角函数化简已知条件，利用二倍角公式求解即可．【解答】解：cosx=sin63°cos18°+cos63°cos108°=sin63°cos18°﹣cos63°sin18°=sin45°=．cos2x=2cos2x﹣1=2×=0．故选：C．4. 已知为虚数单位，则复数的虚部是A． B．1 C． D．参考答案：A5. 函数f（x）=的图象为( )A．B．C．D．参考答案：C考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：图表型；数形结合．分析：我们看，该函数是偶函数，所以对称区间上的图象关于y轴对称，则易知结论．解答：解：当x≥0时，是一条直线，所以选项都满足当x＜0时，y=3|x|=3﹣x与y=3x（x≥0）关于y轴对称．故选C点评：本题主要考查函数图象在作图和用图时，一定要注意关键点，关键线和分布规律．6. 数列满足当（其中时，有则的最小值为（）A． B． C． D．参考答案：B略7. 已知数列是等差数列,若它的前n项和有最大值,且,则使成立的最小自然数n的值为( )A. 10B. 19C. 20D. 21参考答案：B略8. 定义在R上的函数满足，且对任意的不相等的实数，有成立，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围A． B．C． D．参考答案：D9. 等比数列的前n项和为，已知，,则A.38B.20C.10D.9参考答案：C10. n∈N* ，“数列{an}是等差数列”是“点Pn在一条直线上”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆上的点到直线的距离的最小值为________．参考答案：1略12. 已知，，则.参考答案：13. 的展开式中的常数项为_________．参考答案：试题分析：考点：二项式定理．14. 已知幂函数的图象过（4，2）点，则__________．参考答案：略15. 设n=（4sinx+cosx）dx，则二项式（x﹣）n的展开式中x的系数为．参考答案：10考点：二项式定理．专题：二项式定理．分析：计算定积分求出n=5，再根据（x﹣）5的展开式的通项公式，求出展开式中x的系数．解答：解：n=（4sinx+cosx）dx=（sinx﹣4cosx）=1﹣（﹣4）=5，则二项式（x﹣）n=（x﹣）5的展开式的通项公式为T r+1=?（﹣1）r?x5﹣2r，令5﹣2r=1，求得r=2，可得展开式中x的系数为=10，故答案为：10．点评：本题主要考查定积分的计算，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．16. 已知，且为第二象限角，则的值为 .参考答案：17. 设实数满足约束条件则的最大值为。
广东省珠海市2021届高三上学期摸底考试 数学(含答案)
a 不能去甲医院，则不同的选派方式共有
A．280 种
B．350 种
C．70 种
D．80 种
4．一球 内接一圆锥，圆锥的轴截面为正三⻆形
，过 作与球 相切的平面，则直线 与平面所
成的⻆为
A．30°
B．45°
C．15°
D．60°
5．现有 8 位同学参加音乐节演出，每位同学会拉小提琴或会吹⻓笛，已知 5 人会拉小提琴，5 人会吹⻓笛，
，过 作与球 相切的平面，则直线 与所成的
⻆为 D
A．30°
B．45°
C．15°
D．60°
5．现有 8 位同学参加音乐节演出，每位同学会拉小提琴或会吹⻓笛，已知 5 人会拉小提琴，5 人会吹⻓笛，
现从这 8 人中随机选一人上场演出，恰好选中两种乐器都会演奏的同学的概率是 A
A．
B．
C．
D．
6．若定义在上的奇函数 f(x)在
（2）求二面⻆
的正切值．
，
，平面PBC⊥ 底面ABC，，
(第19题图)
20．（12分）某药企对加工设备进行升级，现从设备升级前、后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为
样本检测某项质量指标值: 该项质量指标值落在
内的产品为优等品，每件售价240元；质量指标值
落在
和
内的为一等品，每件售价为180元；质量指标值落在
(第 10 题图)
A．
B．
C．
D．
11．已知
，则
A．
B．
C．
D．
12．已知随机变量的取值为不大于
的非负整数，它的概率分布列为
…
…
其中
满足
，且
．定义由生成的函数
〖加13套高考模拟卷〗广东省佛山一中、珠海一中、金山中学2021届高考数学押题试卷含解析含解析
广东省佛山一中、珠海一中、金山中学2021届高考数学押题试卷含解析注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．8x x ⎛- ⎪⎝⎭的二项展开式中，2x 的系数是（ ）A ．70B ．-70C ．28D ．-282．已知命题300:2,80p x x ∃>->，那么p ⌝为（ ） A ．3002,80x x ∃>-≤ B ．32,80x x ∀>-≤ C ．3002,80x x ∃≤-≤ D ．32,80x x ∀≤-≤3．已知复数z 满足i z11=-，则z =（ ） A ．1122i + B ．1122i - C ．1122-+iD ．1122i --4．5G 网络是一种先进的高频传输技术，我国的5G 技术发展迅速，已位居世界前列.华为公司2019年8月初推出了一款5G 手机，现调查得到该款5G 手机上市时间x 和市场占有率y （单位：%）的几组相关对应数据.如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月……，5代表2019年12月，根据数据得出y 关于x 的线性回归方程为0.042y x a =+.若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款5G 手机市场占有率能超过0.5%（精确到月）（ ）A ．2020年6月B ．2020年7月C ．2020年8月D ．2020年9月5．设m ，n 为直线，α、β为平面，则m α⊥的一个充分条件可以是( ) A ．αβ⊥，n αβ=，m n ⊥ B ．//αβ，m β⊥ C ．αβ⊥，//m βD ．n ⊂α，m n ⊥6．设复数z 满足(1)21z i i ⋅+=+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．已知集合{|12},{|15}=-<=-A x x B x x ，定义集合*{|,,}==+∈∈A B z z x y x A y B ，则*(*)B A B 等于（ ）A ．{|61}-<x xB ．{|112}<x xC ．{|110}-<x xD ．{|56}-<x x8．在三棱锥P ABC -中，AB BP ⊥，AC PC ⊥，AB AC ⊥，PB PC ==，点P 到底面ABC 的距离为2，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为（ ）A ．3πB C ．12πD ．24π9．已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+>≤，4πx =-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在区间(,)43ππ上单调，则ω的最大值是（ ）A ．12B ．11C ．10D ．910．已知数列{}n a 满足()*331log 1log n n a a n N ++=∈,且2469aa a ++=,则()13573log a a a ++的值是( ) A ．5B ．3-C ．4D ．99111．已知F 为抛物线2:8C y x =的焦点，点()1,A m 在C 上，若直线AF 与C 的另一个交点为B ，则AB =( )A ．12B ．10C ．9D ．812．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2550S =，则1115a a +=（ ） A ．4B ．8C ．16D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年广东省珠海二中高考数学测试试卷(5月份)(附答案详解)
2021年广东省珠海二中高考数学测试试卷（5月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知M，N是R的子集，且M⊆N，则(∁R N)∩M=()A. MB. NC. ⌀D. R2.已知复数z=cosθ+isinθ(i为虚部单位)，则|z−2|的最大值为()A. 1B. √2C. 2D. 33.双曲线4x2+ky2=4k的虚轴长是实轴长的2倍，则实数k的值是()A. 16B. 116C. −16 D. −1164.设a=log515，b=log618，c=log721，则()A. a>c>bB. a>b>cC. b>c>aD. c>b>a5.已知离散型随机变量ξ1，ξ2的分布列为则下列说法一定正确的是()A. E(ξ1)>E(ξ2)B. E(ξ1)<E(ξ2)C. D(ξ1)>D(ξ2)D. D(ξ1)<D(ξ2)6.已知数列{a n}，{b n}均为等差数列，若a1b1=3，a2b2=7，a3b3=13则a4b4=()A. 19B. 21C. 23D. 277.若指数函数y=a x(a>1)与函数y=x4的图象恰有三个不同的交点，则实数a的取值范围是()A. (1,e4e)B. (1,e14)C. (1,e4)D. (1,4e)8.甲、乙、丙三位同学参加学习脱贫干部黄文秀、戍边英雄陈红军、人民科学家南仁东、抗疫英雄张定宇等英雄的先进事迹知识竞赛.该竞赛共有十道判断题，三位同学的答题情况如下：考试成绩公布后，三个人都答对了7道题，由此可知，1～10题的正确答案依次是()A. √、√、×、×、√、√、√、×、√、×B. √、√、×、×、√、×、√、×、√、×C. √、√、×、×、√、√、√、√、√、×D. √、×、×、×、√、√、√、√、√、×二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.下列有关回归分析的结论中，正确的有()A. 运用最小二乘法求得的回归直线一定经过样本点的中心(x−,y−)B. 若相关系数r的绝对值越接近于1，则相关性越强C. 若相关指数R2的值越接近于0，表示回归模型的拟合效果越好D. 在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合的精度越高10.正方体ABCD−A1B1C1D1中，下列结论正确的是()A. 直线AD1与直线A1C1所成角为π3B. 直线AD1与平面ABCD所成角为π3C. 二面角D1−AB−D的大小为π4D. 平面AB1D1⊥平面B1D1C11.设直线l：y=kx+1(k∈R)与圆C：x2+y2=5，则下列结论正确的为()A. l与C可能相离B. l不可能将C的周长平分C. 当k=1时，l被C截得的弦长为3√22D. l被C截得的最短弦长为412.已知x，y是正实数，且x+y=1，则下列说法中正确的有()A. x2+2y2有最小值23B. (x+1x)(y+1y)有最小值4C. x2+y2+1xy 有最小值92D. 3x2+1xy有最小值7三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知p：x2−3x−4≤0，q：|x−3|≤m，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是______ ．14.写出一个以(1,0)为对称中心的偶函数______ ，该函数的最小正周期是______ ．15.已知向量a⃗与b⃗ 的夹角为60°，且|b⃗ |=2|a⃗|=2，若c⃗=λa⃗+μb⃗ ，其中λ+2μ=2，则向量a⃗在c⃗上的投影的取值范围为______ ．16.函数f(x)=cosx+√2sinx的最大值为______ ，记函数取到最大值时的x=θ，则cos(θ−π6)=______ ．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n−1，n∈N∗.数列{b n}是公差大于0的等差数列，b2=a3，且b1，b2，a4成等比数例．(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)若T n=a1b1+a2b2+a3b3+⋅⋅⋅+a n−1b n−1+a n b n，求T n．18.已知A、B、C为△ABC的三个内角，a、b、c是其三条边，a=2，cosC=−14．(1)若sinA=2sinB，求b、c；(2)若cos(A−π4)=45，求c．19.已知函数f(x)=e x⋅(1x−lnx+a)，其中a∈R．(Ⅰ)若曲线y=f(x)在x=1处的切线与直线y=ex平行，求a的值；(Ⅱ)若函数f(x)在定义域内单调递减，求a的取值范围．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1(−√2,0)，F2(√2,0)，且经过点M(√2,1)．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若斜率为2的直线与椭圆C交于A，B两点，求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．21.如图，多面体PQABCD中，四边形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，AB=PA=2，∠ABC=60°，QC=QD=2√2，PQ=a(a>0)．(1)设点F为棱CD的中点，求证：对任意的正数a，四边形PQFA为平面四边形；(2)当a=√14时，求直线PQ与平面PBC所成角的正弦值．22.某班级共有50名同学(男女各占一半)，为弘扬传统文化，班委组织了“古诗词男女对抗赛”，将同学随机分成25组，每组男女同学各一名，每名同学均回答同样的五个不同问题，答对一题得一分，答错或不答得零分，总分5分为满分．最后25组同学得分如表：(I)完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“该次对抗赛是否得满分”与“同学性别”有关；(Ⅱ)某课题研究小组假设各组男女同学分差服从正态分布N(μ,σ2)，首先根据前20组男女同学的分差确定μ和σ，然后根据后面5组同学的分差来检验模型，检验方法是：记后面5组男女同学分差与μ的差的绝对值分别为x i(i=1,2，3，4，5)，若出现下列两种情况之一，则不接受该模型，否则接受该模型．①存在x i≥3σ；②记满足2σ<x i<3σ的i的个数为k，在服从正态分布N(μ,σ2)的总体(个体数无穷大)中任意取5个个体，其中落在区间(μ−3σ,μ−2σ)∪(μ+2σ,μ+3σ)内的个体数大于或等于k的概率为P，P≤0.003．试问该课题研究小组是否会接受该模型．参考公式和数据：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)√0.8≈0.894,√0.9≈0.949,0.9575≈0.803,43×0.9574≈36，43×43×0.9573≈1.62×103；若X～N({μ,{σ2})，有P(μ−2σ<X<μ+2σ)≈0.9544，P(μ−3σ<X<μ+3σ)≈0.9974．答案和解析1.【答案】C【解析】解：根据条件，用Venn图表示M，N，R如下：由图看出，(∁R N)∩M=⌀．故选：C．根据条件可画出Venn图表示出集合R，M，N，由Venn图即可得出结论．考查真子集的概念，交集、补集和并集的运算，用Venn图解决集合问题的方法．2.【答案】D【解析】解：∵复数z=cosθ+isinθ(i为虚部单位)，∴z−2=(cosθ−2)+isinθ，∴|z−2|=√(cosθ−2)2+sin2θ=√cos2θ+sin2θ+4−4cosθ=√5−4cosθ，则当cosθ=−1时，|z−2|取最大值3．故选：D．z−2=(cosθ−2)+isinθ，则|z−2|=√(cosθ−2)2+sin2θ=√5−4cosθ，从而当cosθ=−1时，|z−2|取最大值3．本题考查复数的运算，考查复数的运算法则、复数的模的等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．3.【答案】C【解析】解：∵双曲线y24−x2−k=1的虚轴长是实轴长的2倍，∴其实轴长为4，可得2√−k=8，∴k=−16．故选：C．双曲线4x2+ky2=4k的虚轴长是实轴长的2倍，列出方程，可求得双曲线的虚轴长，即可得出结论．本题考查双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：a=log53+1=1log35+1，b=log63+1=1log36+1，c=log73+1=1log37+1，∵log37>log36>log35>0，∴1log35>1log36>1log37，∴a>b>c．故选：B．可得出a=1log35+1,b=1log36+1,c=1log37+1，然后根据log37>log36>log35>0即可得出a，b，c的大小关系．本题考查了对数的换底公式，对数函数的单调性，不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：E(ξ1)=1×14+3×12+5×14=3，D(ξ1)=(1−3)2×14+(3−3)2×12+(5−3)2×14=2，E(ξ2)=1×14+2×14+4×14+5×14=3，D(ξ2)=(1−3)2×14+(2−3)2×14+(4−3)2×14+(5−3)2×14=2.5，∴E(ξ1)=E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)，故选：D．先分别求出E(ξ1)，D(ξ1)，E(ξ2)，D(ξ2)，从而得到E(ξ1)=E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2).本题考查命题真假的判断，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是中档题．6.【答案】B【解析】解：设等差数列{a n}，{b n}的通项公式分别为a n=an+b，b n=cn+d，则a n b n=(an+b)(cn+d)=acn2+(ad+bc)n+bd，令c n=a n b n=acn2+(ad+bc)n+bd，则d n=c n+1−c n=ac(n+1)2+(ad+bc)(n+1)+bd−acn2−(ad+bc)n−bd=2acn+(ac+ad+bc)为等差数列，已知a1b1=3，a2b2=7，a3b3=13，则c1=a1b1=3，c2=a2b2=7，c3=a3b3=13，∴d1=c2−c1=4，d2=c3−c2=6，可得数列{d n}的公差为2，d3=c4−c3=a4b4−a3b3=d2+2=8，∴a4b4=a3b3+8=13+8=21．故选：B．分别设出两个等差数列的通项公式，可得数列{a n+1b n+1−a n b n}为等差数列，结合已知即可求得a4b4．本题考查等差数列的通项公式，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．7.【答案】A【解析】解：当x<0时，函数y=a x(a>1)的图象与二次函数y=x4的图象有1个交点，由题意可得当x>0时，y=a x(a>1)与y=x4有两个交点，由a x=x4，可得xlna=4lnx，即14lna=lnxx，设f(x)=lnxx ，导数为f′(x)=1−lnxx2，当x>e时，f(x)递减；当0<x<e时，f(x)递增，可得f(x)在x=e处取得极大值，且为最大值1e，由0<14lna<1e，解得1<a<e4e，故选：A．讨论x<0时，两函数的图象有一个交点，只要当x>0时，y=a x(a>1)与y=x4有两个交点，由a x=x4，可得xlna=4lnx，设f(x)=lnxx，求得导数和单调性，可得最值，即可得到所求a的范围．本题考查了函数的导数的应用，函数的最值的求法，指数函数和二次函数的图象和性质，注意运用参数分离和导数，是一道中档题．8.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了简单的合情推理，是基础题．根据表格分析三个人答案相同和答案不同的题目，结合都对7题，即可分析出各题的正确答案．【解答】解：甲与乙1，2，3，10题答案相同，1√，2√，3×，10×，乙与丙2，4，5，7题答案相同，2√，4×，5√，7√，甲与丙2，6，8，9题答案相同，2√，6√，8×，9√，两两都有4题答案相同，6题不同，因为都对7题，所有4题相同的都答对了，6题不同的各对了3道，所有1−10题答案为：√√××√√√×√×，故选：A．9.【答案】ABD【解析】解：对于A，回归方程必定经过样本中心(x−,y−)，故选项A正确；对于B，由相关系数的意义可知，相关系数r的绝对值越接近于1，则相关性越强，故选项B正确；对于C，若相关指数R2的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好，故选项C错误；对于D，在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合的精度越高，故选项D正确．故选：ABD．利用回归分析中的相关知识对四个选项逐一分析判断即可．本题考查了回归分析的理解，主要考查了回归方程的性质，相关系数的意义和残差图的理解等，属于基础题．10.【答案】AC【解析】解：对于A，连结AC，CD1，因为A1C1//AC，故直线AD1与直线A1C1所成角即为直线AD1与直线AC所成角，，故选项A正因为△ACD1为正三角形，所以该角为π3确；对于B，因为DD1⊥平面ABCD，所以直线AD1与平面ABCD 所成角为∠DAD 1，在Rt △ACD 1中，∠DAD 1=π4，所以直线AD 1与平面ABCD 所成角为π4，故选项B 错误； 对于C ，在正方体中可得，D 1A ⊥AB ，AD ⊥AB ，故二面角D 1−AB −D 的平面角为∠DAD 1=π4，故选项C 正确；对于D ，设D 1B 1∩A 1C 1=O ，假设平面AB 1D 1⊥平面B 1D 1C ，又平面AB 1D 1∩平面B 1D 1C =B 1D 1，A 1C 1⊥B 1D 1，故A 1C 1⊥平面AB 1D 1，因为AD 1⊂平面AB 1D 1，则A 1C 1⊥AD 1，而A 1C 1与AD 1不垂直，故假设不成立，故选项D 错误． 故选：AC ．利用异面直线所成角的定义找到对应的角，求解即可判断选项A ；利用线面角的定义找到其对应的角，求解即可判断选项B ；找到二面角的平面角，然后求解即可判断选项C ；利用反证法，假设平面AB 1D 1⊥平面B 1D 1C ，推出矛盾，即可判断选项D ．本题考查了空间角的求解，考查的知识点有：正方体的几何性质，异面直线所成角的定义，线面角的定义，二面角的平面角的定义，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题．11.【答案】BD【解析】解：直线l ：y =kx +1(k ∈R)恒过(0,1)， 定点在圆的内部．圆的圆心(0,0)，半径为√5， 所以直线不可能与圆相离，所以A 不正确；直线可能经过圆的圆心，此时直线的倾斜角为90°，所以直线不可能平方圆的周长，所以B 正确；当k =1时，l 化为x −y +1=0，圆心到直线的距离为：d =2，弦长为：2√5−12=3√2，所以C 不正确；定点与圆心的距离为：1，最短弦长为：2√5−1=4，所以D 正确． 故选：BD ．判断直线经过的定点与圆的位置关系，然后判断选项的正误即可．本题考查直线与圆的位置关系的应用，直线系方程的应用，点到直线的距离公式的应用，是基础题．12.【答案】AC【解析】解：因为x +y =1，所以x =1−y >0，0<y <1，x 2+2y 2=(1−y)2+2y 2=3y 2−2y +1=3(y −13)2+23≥23 当y =13时，等号成立，所以A 正确；因为x +y ≥2√xy ，所以0<xy ≤14，(x +1x )(y +1y )=xy +xy +yx +1xy =xy +1xy +(x+y)2−2xyxy=xy +2xy−2≥14+8−2=254，当且仅当x =y =12时，等号成立，所以B 错误； x 2+y 2+1xy=1−2xy +1xy ≥1−2×14+4=92，当且仅当x =y =12时等号成立，所以C 正确；3x 2+1xy=3x 2+(x+y)2xy=4x 2+2xy+y 2xy=4x y+y x+2≥2√4+2=6，当且仅当x =13,y =23时等号成立，所以D 错误； 故选：AC ．对于选项A ，利用消元法结合二次函数的性质可得；对于选项B 、C 、D ，利用基本不等式中“1”的替换即可得到答案．本题主要考查利用基本不等式求最值的问题，涉及到“1”的替换等，考查学生等价转化的思想，是一道中档题．13.【答案】[4,+∞)【解析】解：p ：x 2−3x −4≤0⇒(x +1)(x −4)≤0，解得−1≤x ≤4， q ：|x −3|≤m ，解得3−m ≤x ≤m +3， ∵p 是q 的充分不必要条件， ∴{m +3≥43−m ≤−1，解得m ≥4，则实数m 的取值范围是[4,+∞)， 故答案为：[4,+∞)．分别化简命题p ，q ，利用p 是q 的充分不必要条件即可得出．本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.【答案】f(x)=cos π2x 4【解析】解：选择一个具有对称性和周期性以及奇偶性的函数进行分析， 故以(1,0)为对称中心的偶函数可以为f(x)=cos π2x ， 该函数的最小正周期为2ππ2=4．故答案为：f(x)=cos π2x ；4．从具有对称性和周期性以及奇偶性的函数进行考虑，即可得到答案．本题考查了函数的对称性、周期性、奇偶性的理解和应用，解题的关键是掌握常见的基本初等函数的性质，考查了逻辑推理能力，属于基础题．15.【答案】(−12,1]【解析】解：如图所示，设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ， ∵λ+2μ=2，λ2+μ=1，又∵c ⃗ =λa ⃗ +μb ⃗ ∴OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ2OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ，∴C 在直线BD 上， 当a⃗ 与c ⃗ 同向时，即C 与D 重合时，a ⃗ 在c ⃗ 上的投影最大为|a ⃗ |⋅cos0=1， 作OC//BD ，此时a⃗ 在c ⃗ 上的投影为|a ⃗ |⋅cos 2π3=−12，但取不到，∴a ⃗ 在c ⃗ 上的投影最小值大于−12， ∴a ⃗ 在c ⃗ 上的投影的范围为(−12,1]， 故答案为：(−12,1]．先得到OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ2OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ，从而C 在直线BD 上，再由数形结合即可得到范围． 考查一个向量在另一个向量方向上投影的定义及计算公式，向量数量积的运算，属于中档题．16.【答案】√3 3+√66【解析】解：f(x)=√3(3√23，令sinα=√3，则cosα=√2√3，则f(x)=√3sin(x+α)，则函数的最大值为√3，此时θ+α=2kπ+π2，k∈Z，则θ=−α+2kπ+π2，则sinθ=sin(−α+2kπ+π2)=cosα=√2√3，cosθ=cos(−α+2kπ+π2)=sinα=√3，则cos(θ−π6)=√32cosθ+12sinθ=√323+12×√23=12+√66=3+√66，故答案为：√3，3+√66．利用辅角公式，结合两角和差的三角公式进行转化求解即可．本题主要考查三角函数值的计算，结合两角和差的三角公式以及辅助角公式进行转化是解决本题的关键，是中档题．17.【答案】解：(1)由S n=2a n−1，可得n=1时，a1=S1=2a1−1，解得a1=1；n≥2时，a n=S n−S n−1=2a n−1−2a n−1+1，化为a n=2a n−1，则a n=2n−1；数列{b n}是公差d大于0的等差数列，由b2=a3，可得b2=4，由b1，b2，a4成等比数列，可得b22=b1a4，即有16=8b1，即b1=2，则d=4−2=2，所以b n=2+2(n−1)=2n；(2)T n=a1b1+a2b2+a3b3+⋅⋅⋅+a n−1b n−1+a n b n=1⋅2+2⋅22+3⋅23+...+n⋅2n，2T n=1⋅22+2⋅23+3⋅24+...+n⋅2n+1，上面两式相减可得−T n=2+22+23+24+...+2n−n⋅2n+1，=2(1−2n)1−2−n⋅2n+1，化简可得T n=2+(n−1)⋅2n+1．【解析】(1)由数列的递推式和等比数列的通项公式可得a n ；由等差数列的通项公式求得首项和公差，可得b n ；(2)由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的错位相减法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)因为sinA =2sinB ，可得a =2b ，又a =2，可得b =1， 由于cosC =a 2+b 2−c 22ab =22+12−c 22×2×1=−14，可得c =√6．(2)因为cos(A −π4)=√22(cosA +sinA)=45，可得cosA +sinA =4√25，又cos 2A +sin 2A =1， 可解得cosA =7√210，sinA =√210，或sinA =7√210，cosA =√210， 因为cosC =−14，可得sinC =√154，tanC =−√15，可得C 为钝角，若sinA =7√210，cosA =√210，可得tanA =7，可得tanB =−tan(A +C)=tanA+tanCtanAtanC−1=√157×(−√15)−1<0，可得B 为钝角，这与C 为钝角矛盾，舍去， 所以sinA =√210，由正弦定理2sinA =csinC ，可得c =5√302．【解析】(1)由已知利用正弦定理即可求解b 的值；利用余弦定理即可求解c 的值． (2)根据已知利用两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式可求得cos A ，sin A ，sin C 的值，进而根据正弦定理可得c 的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)数f(x)=e x ⋅(1x −lnx +a)的导数为f′(x)=e x (−1x 2−lnx +a)，由切线与直线y =ex 平行，可得f′(1)=e ，即e(−1+a)=e ，解得a =2； (Ⅱ)函数f(x)在定义域(0,+∞)内单调递减，可得f′(x)=e x (−1x 2−lnx +a)≤0在x ∈(0,+∞)恒成立， 所以a ≤1x 2+lnx ，令g(x)=1x2+lnx，g′(x)=−2x3+1x=1x(1−2x2)，由g′(x)=0，可得x=√2，所以当0<x<√2时，g′(x)<0，g(x)递减；当x>√2时，g′(x)>0，g(x)递增，可得g(x)min=g(√2)=12+12ln2，故只需a≤g(x)min，所以a的取值范围是(−∞,12+12ln2]．【解析】(Ⅰ)求得f(x)的导数，令f′(1)=e，解方程可得所求a的值；(Ⅱ)由题意可得f′(x)≤0在x∈(0,+∞)恒成立，由参数分离，结合导数求得最值，即可得到所求范围．本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、最值，考查方程思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)由椭圆的定义，可知2a=|MF1|+|MF2|=√(2√2)2+1+1=4．解得a=2．又b2=a2−(√2)2=2．所以椭圆C的标准方程为x24+y22=1．(2)设直线l的方程为y=2x+m，联立椭圆方程，得9x2+8mx+2m2−4=0.△=64m2−72m2+144>0，得−3√2< m<3√2．设A(x1,y1)，B(x2,y2)，∴x1+x2=−8m9，x1x2=2m2−49，∴|AB|=√5⋅|x1−x2|=√5⋅√(x1+x2)2−4x1x2=√5⋅√64m281−8m2−169=2√5⋅√2(18−m2)9，点O(0,0)到直线l：2x−y+m=0的距离d=5，S△AOB=12⋅|AB|⋅d=12⋅2√5⋅√2(18−m2)9√5∴=√2(18−m2)⋅m29(−3√2<m<3√2)≤√2(18−m2+m22)29=√2，当18−m2=m2即m2=9，m=±3时取等；所以△AOB 面积的最大值为√2．【解析】(1)由焦点坐标及过的点和a ，b ，c 之间的关系求出椭圆方程；(2)设直线AB 的方程与椭圆联立，求出两根之和及两根之积，进而弦长AB ，再求原点到直线的距离，求出面积的表达式，由均值不等式求出面积的最大值． 考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题．21.【答案】(1)证明：设Q 在平面ABCD 内的射影为E ，因为QC =QD ，所以EC =ED ， 故点E 在CD 的垂直平分线上， 因为ABCD 是菱形，且∠ABC =60°， 故直线AE 与CD 的交点即为CD 的中点F ， 因为PA ⊥平面ABCD ，QE ⊥平面ABCD ， 所以PA//QE ，故PA ，QE 共面， 所以PQFA 为平面四边形；(2)解：分别以AB ，AF ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系如图所示，则A(0,0，0)，B(2,0，0)，C(1,√3,0)，F(0,√3,0),P(0,0,2)， 当PQ =a =√14时，由PF =√(√3)2+22=√7，又F 为等腰三角形QCD 的底边CD 的中点，故QF ⊥CD ，所以QF =√(2√2)2−12=√7， 故PF 2+QF 2=PQ 2，又QC =2√2， 设Q(x,y ，z)，则有{(x −1)2+(y −√3)2+z 2=(2√2)2x 2+(y −√3)2+z 2=7x 2+y 2+(z −2)2=14， 解得Q(0,2+√3,√3)，设平面PBC 的法向量为n⃗ =(a,b,c)， 因为PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,−2),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,−2)， 则有{n ⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2a −2c =0a +√3b −2c =0，令b =1，则a =√3,c =√3，故n ⃗ =(√3,1,√3)，又PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2+√3,√3−2)， 所以|cos <PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|PQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||PQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=5√2−√614， 故直线PQ 与平面PBC 所成角的正弦值为5√2−√614．【解析】(1)设Q 在平面ABCD 内的射影为E ，通过分析可得直线AE 与CD 的交点即为CD 的中点F ，由线面垂直的性质可得PA//QE ，由此可推出PQFA 为平面四边形； (2)建立空间直角坐标系，设Q(x,y ，z)，通过线段的长度列出关于Q 的方程组，求出点Q 的坐标，求出所需向量的坐标，利用待定系数法求出平面的法向量，然后由线面角的计算公式求解即可．本题考查了线线位置关系的判定以及线面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．22.【答案】解：(I)由表中数据，可得列联表；所以，计算K 2=50×(10×11−14×15)224×26×25×25≈1.282<2.706，所以没有90%的把握说“该次大赛是否得满分”与“同学性别”有关； (Ⅱ)由题意知，μ=0，σ2=0.8；又x 1=0，x 2=2，x 3=0，x 4=2，x 5=2，而2σ≈1.788，3σ≈2.682， 所以不存在x i ≥3σ；又满足2σ<x i ≤3σ的i 的个数为3，即k =3；当X ～N(μ,σ2)，P(μ−3σ<X <μ−2σ)+P(μ+2σ<X <μ+3σ)≈0.9974−0.9544≈0.043；设从服从正态分布N(μ,σ2)的总体(个体数无穷大)中任意取5个个体， 其中值属于(μ−3σ,μ−2σ)∪(μ+2σ,μ+3σ)的个体数为Y ， 则Y ～B(5,0.043)，所以，P(Y ≥3)=1−0.9575−C 51×0.043×0.9574−C 52×0.0432×0.9573≈0.0008<0.003；综上，第②种情况出现，所以该小组不会接受该模型．【解析】(I)由表中数据画出列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；(Ⅱ)由题意知μ、σ2的值，利用X～N(μ,σ2)和Y～B(5,0.043)计算对应的概率值，从而得出结论．本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了概率的计算问题，是中档题．。
广东省普通高中2021届高考数学仿真试卷(1)(含答案解析)
广东省普通高中2021届高考数学仿真试卷(1)一、单选题（本大题共15小题，共60.0分） 1.已知a >b >0，c <d <0，则下列各式一定成立的是( )A. 1a −1c >1b −1dB. 1a +1c >1b +1dC. 1a −1c <1b −1dD. 1a +1c <1b +1d2.设集合Ax|x −4x +3<}B ={x|2−3>0}，则A ∩=( )A. (−3,−32)B. (−3,32)C. (1,32)D. (32,3)3.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f(−x)+f(x +3)=0；当x ∈(0,3)时，f(x)=elnx x，其中e 是自然对数的底数，且e ≈2.72，则方程6f(x)−x =0在[−9,9]上的解的个数为( )A. 4B. 5C. 6D. 74.已知0<a <b <1，则下列结论正确的是( )A. b a <b bB. a b <b bC. a a <a bD. b a <a a5.已知数列{a n }的前n 项和S n ，a 1=1，a n+1=a n +12(n ∈N ∗)，则S20172017的值为( )A. 503B. 504C. 505D. 5066.设P ，Q 分别为圆x 2+(y −6)2=2和椭圆x 220+y 22=1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是( ) A. 5√2B. √46+√2C. 2√13+√2D. 6√27.若a >0，且不等式ax 2+bx +c <0无解，则左边的二次三项式的判别式( )A. △<0B. △=0C. △≤0D. △>08.如果cos(π−A)=−12，那么sin(π2+A)的值是( )A. −12B. 12C. −√32 D. √329.从自然数1,2,3,4,5中，任意取出两个数组成两位的自然数，则在两位自然数中取出的数恰好能被3整除的概率为( )A. 25B. 15C. 310D. 1210. 设实数x ，y 满足：{2x +y ≤4x −2y ≤2x −y ≥1，O 为坐标原点，则x 2+y 2的最小值是( )A. 14B. 12C. √22D. √211. 已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,t −3)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则t =( ) A. 32B. 92C. 73D. 11312. 若x >y >z >1，则，，，中最大的是( )A.B.C.D.13. 下列函数中，最小正周期为π的是( )A. y =sin|x|B. y =|sinx|C. y =sin x2D. y =cos x414. 如图，在单位正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动，给出以下四个命题：①三棱锥D −BPC 1的体积为定值；②异面直线C 1P 与直线CB 1所成的角为定值； ③二面角P −BC 1−D 的大小为定值； ④AP ⊥平面A 1B 1CD ． 其中真命题有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个15. 有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下： 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 则下列判断正确的是( )A. 甲射击的平均成绩比乙好B. 乙射击的平均成绩比甲好C. 甲比乙的射击成绩稳定D. 乙比甲的射击成绩稳定二、单空题（本大题共4小题，共16.0分）16. 甲、乙设备生产某产品共500件，采用分层抽样的方法从中抽取容量为30的样本进行检测．若样本中有12件产品由甲设备生产，则由乙设备生产的产品总数为______件．17.有一笔统计资料，共有11个数据如下(不完全以大小排列)：2，4，4，5，5，6，7，8，9，11，x，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为； 18.设关于x的不等式x2−x<2nx(n∈N∗)的解集中整数的个数为a n，数列{a n}的前n项和为S n，则的值为________．19.已知点P1(−1,0)，P2(0,√3)，则直线P1P2的倾斜角为______ ．三、解答题（本大题共3小题，共36.0分）20.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2).(1)若x∈[2,6]时，f(x)max=f(2)=2，f(x)min=f(6)=−2且f(x)在[2,6]上单调递减，求ω，φ的值；(2)若φ=π6且函数f(x)在[0,π3]上单调递增，求ω的取值范围；(3)若φ=0且函数f(x)=0在[−π,π]上恰有19个根，求ω的取值范围．21.如图所示，已知长方体ABCD中，AB=4，AD=2，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得AD⊥BM．(1)求证：平面ADM⊥平面ABCM；(2)若点E为线段DB的中点，求点E到平面DMC的距离．22.已知f(x+1)=x2−4，等差数列{a n}中，a1=f(x−1)，a2=−32，a3=f(x)(1)求x的值和数列{a n}的通项公式a n；(2)求a2+a5+a8+⋯+a26的值．【答案与解析】1.答案：C解析：解：∵a>b>0，c<d<0，∵1b >1a>0，−c>−d>0，−1d>−1c>0，∴1b −1d>1a−1c，故选：C．有条件利用不等式的基本性质求得1b −1d>1a−1c，从而得出结论．本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．2.答案：D解析：解：集合=x|x2−4x+3<0}=(,)，∴A∩B(32,)，故：D解不等式出集合A，B，结合集的，可得案．本题考查的知识点集合集及其运，难度大，属于基础．3.答案：D解析：解：依题意，f′(x)=e(1−lnx)x2，故函数f(x)在上(0,e)单调递增，在(e,3)上单调递减，故当x∈(0,3)时，f(x)max=f(e)=1，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x>0时，f(−x)+f(x+3)=0，即f(x+3)=f(x)，且f(0)= 0；由6f(x)−x=0可知，f(x)=x6．在同一直角坐标系中，作出函数y=f(x)与y=x6在[−9,9]上的图象如下图所示，观察可知，y=f(x)与y=x6有7个交点，即方程6f(x)−x=0的解有7个，故选D．确定f(x)的周期为3，函数在(0,e)上单调递增，在(e,3)上单调递减，在[0,9]上作出y=f(x)的图象，作出y=x6的图象，即可得出结论．本题考查单调性和极值，函数的奇偶、周期性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．4.答案：B解析：利用指数函数和幂函数的单调性求解．本题主要考查了指数函数和幂函数的单调性，是基础题．解：对于选项A：由指数函数y=b x(0<b<1)为减函数，且a<b，所以b a>b b，故选项A错误；对于选项B：由幂函数y=x b(0<b<1)在(0,+∞)上为增函数，且a<b，所以a b<b b，故选项B 正确；对于选项C：由指数函数y=a x(0<a<1)为减函数，且a<b，所以a a>a b，故选项C错误；对于选项D：由幂函数y=x a(0<a<1)在(0,+∞)上为增函数，且a<b，所以a a<b a，故选项D 错误；故选：B．5.答案：C解析：根据等差数列的定义推知数列{a n}的公差d=12，结合等差数列的前n项和公式进行解答．考查了等差数列的性质，等差数列的前n项和，考查了计算能力，属于基础计算题．解：∵数列{a n}中，a1=1，a n+1=a n+12(n∈N∗)，∴a n+1−a n=12，∴数列{a n}是以1为首项，公差为12的等差数列，∴S20172017=2017×1+2017×20162×122017=1+504=505．故选：C．6.答案：C解析：解：如图，由圆x2+(y−6)2=2，得圆心坐标为C(0,6)，半径为√2．设Q(x,y)是椭圆x220+y22=1上的点，∴|QC|=√x2+(y−6)2=√−9(y+23)2+52，∵−√2≤y≤√2，∴y=−23时，Q与圆心C的距离的最大值为2√13．∴P，Q两点间的距离的最大值为2√13+√2．故选：C．由圆的方程求出圆心坐标和半径，设出Q的坐标，由两点间的距离公式列式，化为关于Q的纵坐标的函数，配方求得Q到圆心的距离的最大值，即可求P，Q两点间的距离的最大值．本题考查椭圆的定义与方程，考查两点间距离公式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．7.答案：C解析：利用一元二次不等式的解集与判别式的关系即可得出．本题考查了一元二次不等式的解集与判别式的关系，属于基础题．解：∵a>0，且不等式ax2+bx+c<0无解，∴△≤0.故选C．8.答案：B解析：解：∵cos(π−A)=−cosA=−12，可得：cosA=12，∴sin(π2+A)=cosA=12．故选：B．由已知利用诱导公式可求cos A，进而利用诱导公式即可化简求值．本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．9.答案：A解析：解：从自然数1，2，3，4，5中，任意取出两个数组成两位的自然数，共有5×4=20种，两位自然数中取出的数恰好能被3整除有12，21，15，51，24，42，45，54其和能被3整除的概率为820=25，故选：A，每位上的数字之和能够被3整除，求出事件个数，运用排列组合数求出总的事件个数，求解即可．本题考查学生会求等可能事件的概率，会进行排列、组合及简单的计数运算解决数学问题．10.答案：B解析：先画出满足条件的平面区域，根据x 2+y 2的最小值是O 点到直线x −y =1距离的平方，结合点到直线的距离公式，求出即可．本题考查了简单的线性规划问题，考查点到直线的距离公式，是一道基础题．解：画出满足条件的平面区域，如图示：，∴x 2+y 2的最小值是O 点到直线x −y =1距离的平方， 而|OP|=1√1+1=1√2， 即x 2+y 2的最小值是12， 故选：B ．11.答案：B解析：解：根据题意，向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,t −3)，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,t)， 又由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则2t =9，解可得t =92； 故选：B ．根据题意，求出向量AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，进而由向量平行的坐标表示方法计算可得答案． 本题考查向量平行的坐标判断方法，涉及向量相等的坐标计算，属于基础题．12.答案：A解析：因为x >y >z >1，所以有xy >xz ，xz >yz ，xyz >xy ，于是有>>>，最大的是．13.答案：B解析：解：对于A ，∵y =sin|x|={sinx x ≥0−sinxx <0，∴y=sin|x|不是周期函数，可排除A；对于B，y=|sinx|是周期为π的函数，满足题意；对于C，y=sin x2，可得周期T=2π12=4π，不满足题意；对于D，y=cos x4，可得周期T=2π14=8π，不满足题意．故选：B．利用三角函数的周期性及其求法即可求得答案．本题考查三角函数的周期性及其求法，判断函数y=sin|x|不是周期函数是难点，属于中档题．14.答案：D解析：本题考查了异面直线所成角以及直线与平面和二面角的应用问题，也考查了三棱锥的体积计算问题，是综合题．根据线、面的位置关系及二面角的计算逐个进行判断即可．解：对于①，由V D−BPC1=V P−DBC1知，S△DBC1面积一定，且P∈AD1，AD1//平面BDC1，∴点A到平面DBC1的距离即为点P到该平面的距离，三棱锥的体积为定值，①正确；对于②，棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，∴B1C⊥平面ABC1D1，而C1P⊂平面ABC1D1，∴B1C⊥C1P，异面直线C1P与CB1所成的角为定值90°，②正确；对于③，二面角P−BC1−D的大小，是平面ABC1D1与平面BDC1所成的二面角，这两个平面为固定的平面，它们的夹角为定值，③正确；对于④，点P在线段AD1上运动，AD1⊥A1D，AD1⊥CD，且A1D∩CD=D，A1D，CD⊂平面A1B1CD，∴AD1⊥平面A1B1CD，∴AP⊥平面A1B1CD，④正确；综上，正确的命题序号是①②③④．故选：D．15.答案：D解析：要估计两组数据的稳定性，则要比较两组数据的方差，先求出这两组数据的平均数，再利用方差的公式做出两组数据的方差，比较发现乙的稳定性好于甲的稳定性．本题考查两组数据的稳定性，即考查两组数据的方差，在包含两组数据的题目中，往往会通过求平均数考查其平均水平，通过方差判断其稳定性．解：∵x甲=110(7+8+⋯+4)=7，x 乙=110(9+5+⋯+7)=7．∴s 甲2=110[(7−7)2+⋯+(4−7)2]=4， s 乙2=110[(9−7)2+⋯+(7−7)2]=1.2．∴甲乙射击的平均成绩一样，乙比甲的射击成绩稳定． 故选D ．16.答案：300解析：解：若样本中有12件产品由甲设备生产，则样本中由乙设备生产的产品数为30−12=18(件)，设由乙设备生产的产品总数为x ，则由题意可得12500−x =18x，求得x =300 (件)，故答案为：300．由题意利用分层抽样的定义和方法，求得结果． 本题主要考查分层抽样的定义和方法，属于基础题．17.答案：7解析：本题考查平均数与方差的定义，根据方差的计算公式计算即可． 解：由已知可得平均数=(2+4+4+⋯+11+x)÷11=6 得x =5．所以s 2=[(6−2)2+(6−4)2+⋯+(6−11)2+(6−5)2]÷11=7 故答案为：7．18.答案：2 013解析：解不等式x 2−x <2nx(n ∈N ∗)得，0<x <2n +1，其中整数的个数a n =2n ，其前n 项和为S n =n(n +1)，故==2 013．19.答案：π3解析：解：∵点P 1(−1,0)，P 2(0,√3)， ∴直线P 1P 2的斜率k =√3所以此直线的倾斜角为π3．故答案为π3由已知中点P1(−1,0)，P2(0,√3)，代入斜率公式，我们可以求出直线P1P2的斜率k，进而根据斜率与倾斜角的关系，可以求出直线P1P2的倾斜角．本题考查的知识点是斜率的计算公式，直线的倾斜角，其中根据点P1，P2的坐标，代入斜率的计算公式，求出直线P1P2的斜率k，是解答本题的关键．20.答案：解：(1)函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)，当x∈[2,6]时，f(x)max=f(2)=2，f(x)min=f(6)=−2，∴T=2(6−2)=8=2πω，∴ω=π4，∴f(x)=2sin(π4x+φ)；把(2,2)代入f(x)得2=2sin(π2+φ)，∴cosφ=1；∵|φ|<π2，∴φ=0；(2)当φ=π6时，函数f(x)=2sin(ωx+π6)在[0,π3]上单调递增，∴π6≤ωx+π6≤π3ω+π6，∴π3ω+π6≤π2，解得ω≤1；又ω>0，∴ω的取值范围是(0,1]；(3)当φ=0时，f(x)=2sinωx，∵f(x)为奇函数，要使f(x)=0在[−π,π]上恰有19个根，只需f(x)=0在(0,π]上恰有9个根，∴92T≤π<5T，即92⋅2πω≤π<5⋅2πω，解得9≤ω<10，即ω的取值范围是[9,10)．解析：(1)根据正弦型函数f(x)的图象与性质，结合题意求出周期T，即可得出ω的值，再根据f(x)的最值求出φ的值；(2)根据φ=π6时函数f(x)在[0,π3]上单调递增，列出不等式求出ω的取值范围；(3)根据φ=0时f(x)为奇函数，结合正弦函数的图象与性质即可求出满足条件的ω的取值范围．本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，也考查了函数与方程的应用问题，是综合性题目．21.答案：(1)证明：∵AD=DM=2，CM=BC=2，∠ADM=∠BCM=90°，∴AM=BM=2√2，又AB=4，∴AM2+BM2=AB2，∴AM⊥BM．∴AD⊥BM，AD∩AM=A，AD,AM⊂平面ADM，∴BM⊥平面ADM，∵BM⊂平面ABCM，∴平面ADM⊥平面ABCM；(2)解：取AM的中点F，连接DF，CF，则DM=MC=2，DC=√DF2+CF2=2√3，∴S△DMC=√3，设点E到平面DMC的距离为d，则V E−DMC=12V B−DMC=12V D−BMC=12×13S△BMC×ℎ=16×2×√2=√23，∴d=3V E−DMCS△DMC =√63．解析：本题考查线面垂直、面面垂直的证明，考查点到平面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．(1)证明：BM⊥平面ADM，即可证明平面ADM⊥平面ABCM；(2)若点E为线段DB的中点，利用等体积方法求点E到平面DMC的距离．22.答案：(1)∵f(x+1)=(x+1−1)2−4，∴f(x)=(x−1)2−4∴a1=f(x−1)=(x−2)2−4，a3=(x−1)2−4．又a1+a3=2a2，∴x=0，或x=3，∴a 1，a 2，a 3分别是0，−32，−3或−3，−32，0．∴a n =−32(n −1)或a n =32(n −3) (2)∵从数列中取出的这几项仍是等差数列，∴当a n =−32(n −1)时， a 2+a 5+a 8+⋯+a 26=92[−32−32(26−1)]=−3512，当a n =32(n −3)时，a 2+a 5+⋯+a 26=92(−32−92+39)=2972．解析：(1)首先根据所给的函数式f(x +1)=x 2−4，求出f(x)的表达式，则可写出数列的第二项和第三项，根据等差数列特点求出x 的值，写出通项，(2)从等差数列中取出的这几项仍组成等差数列，算出项数，用等差数列前n 项和公式得到结果． 等差数列可以通过每隔相同个数的项取一个构造新数列，构造出一个新的等差数列数列，从而求出数列的通项公式．这类问题考查学生的灵活性，考查学生分析问题及运用知识解决问题的能力，这是一种化归能力的体现．。
2021届广东省珠海市高三上学期第一次摸底数学试题(解析版)
2021届广东省珠海市高三上学期第一次摸底数学试题一、单选题1．设集合{}2|4A x x =>，{}2|30B x x x =-<，则AB =（ ）A ．(5,2)(2,6)--B ．(2,2)-C ．(,5)(6,)-∞-+∞D ．(,2)(2,)-∞-+∞【答案】A【解析】本题首先可以通过对不等式24x >、230x x -<进行计算得出集合A 和集合B 中所包含的元素，然后通过交集的相关性质即可得出结果. 【详解】24x >，即2x >或2x <-，则集合()(),22,A =-∞-⋃+∞，230x x -<，即650x x ，解得56x ，则集合()5,6B =-，故(5,2)(2,6)A B ⋂=--⋃， 故选：A. 【点睛】本题考查集合的相关运算，主要考查交集的相关运算，考查一元二次不等式的解法，考查计算能力，是简单题.2．27(1)i i-=（ ） A ．1 B ．2C ．−iD ．−2i【答案】B【解析】利用复数的四则运算，计算结果即可. 【详解】化简得2732(1)22221i i i i i ----====-. 故选：B. 【点睛】本题考查了复数的四则运算和虚数单位的幂运算，属于基础题.3．8名医生去甲、乙、丙三个单位做核酸检测，甲、乙两个单位各需三名医生，丙需两名医生，其中医生a 不能去甲医院，则不同的选派方式共有（ ）A ．280种B ．350种C ．70种D ．80种【答案】B【解析】对医生a 去乙、丙医院进行讨论，分别按要求选派，即得结果. 【详解】若医生a 去乙医院，再依次为甲、乙、丙三个单位选派得322742210C C C =； 若医生a 去丙医院，再依次为甲、乙、丙三个单位选派得331741140C C C =；所以不同的选派方式共有210140350+=种. 故选：B. 【点睛】本题考查了组合的应用，分类加法计数原理和分步乘法计数原理，属于基础题. 4．一球O 内接一圆锥，圆锥的轴截面为正三角形ABC ，过C 作与球O 相切的平面α，则直线AC 与平面α所成的角为（ ） A ．30° B ．45°C ．15°D ．60°【答案】D【解析】分析得平面α与圆锥底面平行，求直线AC 与圆锥底面所成的角，即得结果. 【详解】如图所示截面为正三角形的三棱锥中，,,A B C 在球O 上，过C 作与球O 相切的平面α必然与圆锥底面平行，则直线AC 与平面α所成的角，即直线AC 与圆锥底面所成的角，即60CAB ∠=︒， 故选：D. 【点睛】本题考查了球内接圆锥，直线与平面所成的角，属于基础题.5．现有8位同学参加音乐节演出，每位同学会拉小提琴或会吹长笛，已知5人会拉小提琴，5人会吹长笛，现从这8人中随机选一人上场演出，恰好选中两种乐器都会演奏的同学的概率是（ ）A ．14B ．12C ．38D ．58【答案】A【解析】根据题意：8位同学会拉小提琴或会吹长笛，已知5人会拉小提琴，5人会吹长笛即可知有2位同学两种乐器都会演奏，利用古典概型的概率公式求概率即可； 【详解】由题意知，8位同学中有2位同学两种乐器都会演奏∴从8人中随机选一人上场演出，恰好选中两种乐器都会演奏的同学的概率为：(P 两种乐器都会演奏的同学12181)4C C ==故选：A 【点睛】本题考查了古典概型，首先根据已知判断两种乐器都会演奏的学生人数，然后利用古典概型的概率公式求概率；6．若定义在R 上的奇函数()f x 在()0,∞+单调递增，且()50f -=，则满足()0xf x <的解集是（ ） A ．()(),55,-∞-+∞ B ．()(),50,5-∞- C ．()()5,05,-+∞D ．()()5,00,5-【答案】D【解析】分析出函数()f x 在(),0-∞单调递增，可得出()50f =，然后分0x >、0x =、0x <三种情况解不等式()0xf x <，综合可得出原不等式的解集.【详解】由于定义在R 上的奇函数()f x 在()0,∞+单调递增，则该函数在(),0-∞单调递增， 且()00f =，()()550f f =--=. 显然当0x =时，()000f ⨯=；当0x >时，由()0xf x <可得()()05f x f <=，解得05x <<； 当0x <时，由()0xf x <可得()()05f x f >=-，解得5x 0-<<. 因此，不等式()0xf x <的解集为()()5,00,5-.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与单调性解函数不等式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.7．已知P 是边长为1的正方形ABCD 边上或正方形内的一点，则AP BP ⋅的最大值是（ ） A ．14B ．2C ．1D ．12【答案】C【解析】构建A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴的直角坐标系用坐标表示各顶点，设(,)P x y 则可用坐标表示22AP BP x x y ⋅=-+，由于,x y 是两个相互独立的变量，即可将代数式中含x 和y 的部分分别作为独立函数求最大值，它们的和即为AP BP ⋅的最大值 【详解】构建以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴的直角坐标系，如下图示：由正方形ABCD 边长为1，知：(1,0),(1,1),(0,1)B C D ， 若令(,)P x y ，即(,)AP x y =，(1,)BP x y =-； ∴22AP BP x x y ⋅=-+，而01x ≤≤，01y ≤≤，则2211()()24f x x x x =-=--在01x ≤≤上0x =或1x =有最大值为0，2()g y y =在01y ≤≤上1y =有最大值为1；∴AP BP ⋅的最大值为1 故选：C本题考查了利用坐标表示向量数量积求最值，首先构建直角坐标系将目标向量用坐标表示，根据数量积的坐标公式得到函数式，进而求最大值8．直线:l y kx b =+是曲线()()ln 1f x x =+和曲线()()2ln g x e x =的公切线，则b =（ ） A ．2 B ．12C ．ln2e D ．()ln 2e【答案】C【解析】由()f x k '=可求得直线l 与曲线()()ln 1f x x =+的切点的坐标，由()g x k '=可求得直线l 与曲线()()2ln g x e x =的切点坐标，再将两个切点坐标代入直线l 的方程，可得出关于k 、b 的方程组，进而可求得实数b 的值. 【详解】设直线l 与曲线()()ln 1f x x =+相切于点()11,A x y ，直线l 与曲线()()2ln g x e x =相切于点()22,B x y ，()()ln 1f x x =+，则()11f x x '=+，由()1111f x k x '==+，可得11k x k-=， 则()()111ln 1ln y f x x k ==+=-，即点1,ln k A k k -⎛⎫-⎪⎝⎭， 将点A 的坐标代入直线l 的方程可得1ln kk k b k--=⋅+，可得ln 1b k k =--，① ()()2ln 2ln g x e x x ==+，则()1g x x'=，由()221g x k x '==，可得21x k =， ()222ln y g x k ==-，即点1,2ln B k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将点B 的坐标代入直线l 的方程可得12ln 1k k b b k-=⋅+=+，1ln b k ∴=-，② 联立①②可得2k =，1ln 2ln 2e b =-=. 故选：C. 【点睛】本题考查利用两曲线的公切线求参数，要结合切点以及切线的斜率列方程组求解，考查计算能力，属于中等题.二、多选题9．已知双曲线E 的中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线方程为2y x =±，则双曲线E 的离心率为（ ）A ．5 B ．5C ．533D ．355【答案】AB【解析】对双曲线的焦点位置进行讨论，得,a b 关系，再计算离心率即可. 【详解】若双曲线焦点在x 轴上，因为渐近线方程为2y x =±，故2ba=，215c b e a a ⎛⎫∴==+= ⎪⎝⎭；若双曲线焦点在y 轴上，由渐近线方程为2y x =±，得2ab=，2512c b e a a ⎛⎫∴==+= ⎪⎝⎭. 故选：AB. 【点睛】本题考查了双曲线的离心率，考查了分类讨论思想，属于基础题. 10．如图是函数()()()sin 0f x A x ωϕω=+>的部分图象，则（ ）A ．()12sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()12sin 22f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()12sin 22f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭D ．()12cos 2f x x ⎛⎫=⎪⎝⎭【答案】BCD【解析】由图象可求得函数()y f x =的振幅A 以及最小正周期T ，可求得ω的值，再将点()0,2的坐标代入函数()y f x =的解析式可求得ϕ的值，结合诱导公式可得出合适的选项. 【详解】由图象可得()max 2f x A ==，该函数的最小正周期T 满足122T π=，可得4T π=，212T πω∴==，所以，()12sin 2ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x ， 又()02sin 2f ϕ==，可得sin 1ϕ=，()22k k Z πϕπ∴=+∈，()1112sin 22sin 2cos 22222f x x k x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，B 、D 选项合乎要求；对于A 选项，()112sin 2sin 2422f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+≠+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不合乎要求；对于C 选项，()1112sin 2sin 2cos 22222f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，C 选项合乎要求. 故选：BCD. 【点睛】本题考查利用图象求正弦型函数的解析式，同时也考查了诱导公式的应用，考查计算能力，属于中等题.11．已知0ab <，则（ ） A ．222a b ab +≥ B ．222a b ab +<C ．()0a a b ->D ．2b aa b+≥ 【答案】ACD【解析】由,a b 异号，利用不等式性质以及基本不等式即可判断各选项的正误； 【详解】0ab <即,a b 异号；∴222a b ab +≥成立，故A 正确，而B 错误； 又2()0a a b =a ab -->，故C 正确；||()()2b a b a a b a b +=-+-≥=当且仅当=-a b 时等号成立，故D 正确 故选：ACD 【点睛】本题考查了不等式，根据两数异号，结合不等式性质以及基本不等式判断正误，属于简单题；12．已知随机变量X 的取值为不大于()n n N *∈的非负整数，它的概率分布列为其中(0,1,2,3,,)i p i n =满足[0,1]i p ∈，且0121n p p p p ++++=．定义由X 生成的函数230123()i n i n f x p p x p x p x p x p x =+++++++，()g x 为函数()f x 的导函数，()E X 为随机变量X 的期望．现有一枚质地均匀的正四面体型骰子，四个面分别标有1，2，3，4个点数，这枚骰子连续抛掷两次，向下点数之和为X ，此时由X 生成的函数为1()f x ，则（ ） A ．()(2)E X g = B ．115(2)2f =C ．()(1)E X g =D ．1225(2)4f = 【答案】CD【解析】先求出1211123()'()23i n i n g x f x p p x p x ip x np x --==++++++和123()23i n E X p p p ip np =++++++，并判断123()23(1)i n E X p p p ip np g =++++++=，则排除选项A ，判断选项C 正确；再求出X 的分布列和1()f x 的解析式，最后求出1225(2)4f =，则排除选项B ；判断选项D 正确. 【详解】解：因为230123()i n i n f x p p x p x p x p x p x =+++++++，则1211123()'()23i n i n g x f x p p x p x ip x np x --==++++++，123()23i n E X p p p ip np =++++++， 令1x =时，123()23(1)i n E X p p p ip np g =++++++=，故选项A 错误，选项C 正确；连续抛掷两次骰子，向下点数之和为X ，则X 的分布列为：234567811234321()16161616161616f x x x x x x x x =++++++ 234567811234321225(2)2222222161616161616164f =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=故选项B 错误；选项D 正确. 故选：CD. 【点睛】本题考查导数的运算、由X 生成的函数求数学期望、求随机变量生成的函数与函数值，是基础题.三、填空题13．椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过原点的直线l 与E 交于A ，B两点，1AF 、2BF 都与x 轴垂直，则||AB =________．【解析】根据题中所给的椭圆方程，以及椭圆中,,a b c 三者之间的关系，可以求得21c =，设出()()111,,1,A y B y --，由两点间距离公式可以求得AB =据点在椭圆上点的坐标满足椭圆方程，求得2194y =，之后代入求得AB ==. 【详解】在已知椭圆中，222431c a b =-=-=， 因为直线l 过原点，交椭圆于,A B 两点， 则A 与B 关于原点对称， 又1AF 、2BF 都与x 轴垂直，设()()111,,1,A y B y --，则AB ==又A 在椭圆上，则211143y +=，得2194y =，则AB ==，【点睛】该题考查的是有关椭圆的问题，涉及到的知识点有椭圆中,,a b c 三者之间的关系，椭圆上点的坐标的特征，两点间距离公式，属于基础题目. 14．将数列{}2n与{}2n 的公共项从小到大排列得到数列{}na ，则{}na 的前10项和为________（用数字作答）． 【答案】2046【解析】本题首先可以根据题意确定数列{}n a 的前10项，然后通过等比数列求和公式即可得出结果. 【详解】因为数列{}n a 是由数列{}2n与{}2n 的公共项从小到大排列得到，所以数列{}n a 的前10项为2、22、32、42、、102，则{}n a 的前10项和为101121222204612，故答案为：2046. 【点睛】本题考查数列的项以及等比数列求和公式的应用，能否根据题意确定数列中的项是解决本题的关键，考查计算能力，是简单题.15．已知α、β为锐角三角形的两个内角，sin 7α=，sin()14αβ+=，则cos 2β=____． 【答案】12- 【解析】由条件利用同角三角函数的基本关系式得到cos α、cos()αβ+，再用凑角得到cos β，最后利用二倍角公式得到答案.【详解】因为α、β为锐角三角形的两个内角， 所以0<,022ππαβ，<2παβπ，因为sin 7α=，sin()14αβ+=，所以1cos 7α===，11cos()14αβ+===-， 所以cos cos()cos()cos sin()sin ββαααβααβα=+-=+++11111472=-⨯=， 则211cos 22cos12142ββ=-=⨯-=-， 故答案为：12-. 【点睛】 本题主要考查同角三角函数的基本关系式，两角差的三角公式、倍角公式，属于基础题. 16．一半径为R 的球的表面积为64π，球一内接长方体的过球心的对角截面为正方形，则该长方体体积的最大值为_____．【答案】【解析】由球体的表面积公式求出半径R ，根据其内接长方体的过球心的对角截面为正方形，设内接长方体的长、宽、高分别为,,a b c 即有222+=a b c 、2232a b +=，最后利用长方体的体积公式有V =【详解】由半径为R 的球的表面积为64π，知：2464R ππ=，有4R =；由题意，若设内接长方体的长、宽、高分别为,,a b c ，则222+=a b c ，2222464a b c R ++==；∴2232a b +=，而长方体体积V abc ==∴3222()2a b V +=≤=当且仅当4a b ==时等号成立故答案为：【点睛】本题考查了空间几何体的表面积和体积，根据球体表面积公式得到其半径，由内接长方体的对角截面为正方形即可得长、宽、高的等量关系，利用长方体的体积公式结合基本不等式求最值四、解答题17．在①1cos 2B =，②1cos 2C =，③cos C = 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在非直角△ABC ，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，1b =，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】答案见解析.【解析】利用两角和正弦公式化简三角函数式，得到(2sin sin )cos 0B A C -=，结合题设可知2a b =且1b =、2a =，进而利用①或②或③求得相关结论，判断是否与题设矛盾即可；若不矛盾，利用正余弦定理即可求c 的值；【详解】△ABC 中，由sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，得sin 2sin cos sin cos cos sin sin cos B B C A C A C A C +=++sin sin cos B A C =+ ∴(2sin sin )cos 0B A C -=；∵△ABC 不是直角三角形；∴cos 0C ≠，则有2sin sin B A =，即2a b =，而1b =，即有2a =；选①：由1cos 2B =，及0B π<< 得3B π=； 由sin sin b a B A=得sin 1A =>不合理，故△ABC 不存在. 选②：由1cos 2C =得：c ==222b c a +=； ∴A 为直角，不合题设，故△ABC 不存在．选③：由cos C =得：c ==． 【点睛】本题考查了解三角形及三角恒等变换等相关知识，利用三角恒等变换中两角和正弦公式化简已知函数式，进而得到相关结果，再结合所给条件得到相关结论并判断是否与题设矛盾；18．已知数列{}n a 是正项等比数列，满足3452a a a +=，121a a +=．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2log (3)n n t a =，求数列121n n t t ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 【答案】（1）123n n a -=；（2）1n n T n =+. 【解析】（1）本题首先可设数列{}n a 的公比为q ，然后根据题意得出2341111121a q a q a q a a q ⎧+=⎨+=⎩，通过计算求出1a 和q 的值，最后根据等比数列通项公式即可得出结果；（2）本题首先可根据123n n a -=得出1n t n =-，然后根据1n t n =-得出121111n n t t n n ++=-+，最后通过裂项相消法求和即可得出结果. 【详解】（1）设正项等比数列{}n a 的公比为0q >，因为3452a a a +=，121a a +=，所以2341111121a q a q a q a a q ⎧+=⎨+=⎩，解得1132a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，故{}n a 的通项公式123n n a -=. （2）因为123n n a -=，所以122log (3)log 21n n n t a n -===-， 则121111(1)1n n t t n n n n ++==-++， 故数列121n n t t ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为：1111111(1)()()()2233411n n T n n n =-+-+-++-=++． 【点睛】本题考查等比数列通项公式的求法以及裂项相消法求和，常见的裂项有：111(1)1n n n n =-++、11(1)1k n n n n k 、1111()n n a a n n a ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭等，考查计算能力，是中档题. 19．如图，三棱锥P ABC -中，2AC BC PC PB ====，120ACB ∠=，平面PBC ⊥底面ABC ，D 、E 分别是BC 、AB 的中点．（1）证明：PD ⊥平面ABC ；（2）求二面角P CE B --的正切值．【答案】（1）证明见解析；（2）2.【解析】（1）利用等腰三角形三线合一可得PD BC ⊥，由面面垂直的性质定理可得出PD ⊥平面ABC ；（2）取CE 中点F ，连接DF 、PF ，证明出CE ⊥平面PDF ，可得出二面角P CE B --的平面角为PFD ∠，通过解PDF 可求得tan PFD ∠，进而得解.【详解】（1）证明：PC PB =，D 是BC 中点，PD BC ∴⊥，平面PBC⊥底面ABC，平面PBC底面ABC BC=，PD⊂平面PBC ，PD∴⊥平面ABC；（2）如图，取CE的中点F，连接DF、PF，则//DF AB，2AC BC PC PB====，E是AB的中点，120ACB∠=，则30CBE∠=，CE AB∴⊥，DF CE∴⊥，cos303BE BC==，223PD PD BD-= 132DF BE==，PD⊥平面ABC，CE⊂平面ABC，CE PD∴⊥，PD DF D=，CE∴⊥平面PDF，PF⊂平面PDF，CE PF∴⊥，PFD∴∠为二面角P CE B--的平面角.在Rt PDF中，3tan23PDPFDDF∠===，因此，二面角P CE B--的正切值为2. 【点睛】本题考查利用面面垂直证明线面垂直，同时也考查了利用定义求解二面角的正切值，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20．某药企对加工设备进行升级，现从设备升级前、后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本检测某项质量指标值: 该项质量指标值落在[25,30)内的产品为优等品，每件售价240元；质量指标值落在[20,25)和[30,35)内的为一等品，每件售价为180元；质量指标值落在[35,40)内的为二等品，每件售价为120元；其余为不合格品，全部销毁．每件产品生产销售全部成本50元．下图是设备升级前100个样本的质量指标值的频率分布直方图下表是设备升级后100个样本的质量指标值的频数分布表质量[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)指标值频2184814162数（1）以样本估计总体，若生产的合格品全部在当年内可以销售出去，计算设备升级前一件产品的利润X(元)的期望的估计值．（2）以样本估计总体，若某位患者从升级后生产的合格产品中随机购买两件，设其支付的费用为ξ(单位：元)，求ξ(元)的分布列．【答案】（1）118元；（2）答案见解析.【解析】（1）根据产品等级得X取值，利用频数分布表计算频率，得到分布列并计算期望即可；（2）先列出患者购买一件合格品费用η的分布列，再写患者随机购买两件时的分布列即可.【详解】解：(1)由题设知，产品等级分为不合格、品二等品，一等品，优等品，则X=-，根据频数分布表得到X的分布列为:50,70,130,190-70130190X50设备升级前利润的期望值为:()0.14(50)0.18700.281300.4190118E X =⨯-+⨯+⨯+⨯=∴升级前一件产品的利润的期望估计值为118元．(2) 升级后设患者购买一件合格品的费用为η(元)则120,180,240η=，患者购买一件合格品的费用η的分布列为故患者随机购买两件时240,300,360,420,480ξ= 111(240)6636P ξ==⨯= 111(300)339P ξ==⨯= 11115(360)2263318P ξ==⨯⨯+⨯= 111(420)2323P ξ==⨯⨯= 111(480)224P ξ==⨯= 则升级后患者购买两件合格品的费用的分布列为【点睛】本题考查了频率分布直方图和频率分布表的应用，以及分布列和期望的计算，属于中档题.21．已知函数2()e 2()x xf x x ax e ax a =+-++，0a ≥．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）讨论()f x 的零点的个数．【答案】（1）减区间是(,1)-∞，增区间是(1,)+∞；（2）0a >时，()f x 有两个零点；0a =时， ()f x 只有一个零点．【解析】（1）利用函数求导，判断导数符号确定()f x 的单调性即可；（2）对a 进行分类讨论，利用零点存在定理确定零点即可.【详解】解：（1）∵2()e 2()x xf x x ax e ax a =+-++∴()(1)(e 2)x f x x a '=-+ 0a ≥时20x e a +>，故1x <时()0f x '<，1x >时()0f x '>.∴0a ≥时，()f x 的减区间是(,1)-∞，增区间是(1,)+∞；（2）①0a >时，∵()01f '=且()f x 的减区间是(,1)-∞，增区间是(1,)+∞ ∴(1)0f e =-<是()f x 的极小值，也是最小值，(2)0f a =>，取0b <且ln 2a b <则22()(2)(1)(2)(1)(23)022b a a f b b e a b b a b b b =-+->-+-=-> ∴()f x 在(,1)b 和(1,2)上各一个零点；②0a =时，()(2)x f x x e =-，只一个零点2x =，综上，0a >时，()f x 有两个零点；0a =时，()f x 一个零点．【点睛】本题考查了函数的单调性和导数的应用，函数零点问题，属于中档题.22．已知抛物线E 的顶点在原点，焦点(0,)2p F (0)p >到直线:2l y x =-的距离为2，00(,)P x y 为直线l 上的点，过P 作抛物线E 的切线PM 、PN ，切点为M N 、． （1）求抛物线E 的方程；（2）若(3,1)P ，求直线MN 的方程;（3）若P 为直线l 上的动点，求||||MF NF ⋅的最小值．【答案】（1）2:4E x y =；（2）:3220MN x y --=；（3）92． 【解析】（1）利用点到直线的距离公式直接求解p 的值，便可确定抛物线方程；（2）利用求导的思路确定抛物线的两条切线，借助均过点p ，得到直线方程；（3）通过直线与抛物线联立，借助韦达定理将||||MF NF ⋅进行转化处理，通过参数的消减得到函数关系式是解题的关键，然后利用二次函数求最小值.【详解】(1)由(0,)2p F 到直线:20l x y --=的距离为2|2|2p += 得2p =或10p =-∵0p >∴2p =∴抛物线2:4E x y =(2) 由2:4E x y =知214y x =∴2x y '= 设切点11(,)M x y ，22(,)N x y 则21111111:()22222x x x x PM y y x x x x y -=-=-=- 即11:2x PM y x y =- 22:2x PN y x y =- ∵P PM ∈，P PN ∈ ∴112231023102x y x y ⎧--=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩即112232203220x y x y --=⎧⎨--=⎩ ∴:3220MN x y --=．(3)若P 为直线l 上的动点，设00(,)P x y ，则002x y =+由(2)知∵P PM ∈，P PN ∈ ∴011002200202x x y y x x y y ⎧--=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩ ∴00:02x MN x y y --=与2:4E x y =联立消x 得 222000(24)0y y y y y -+++=…………“”则1y ，2y 是“”的二根∴21200212024y y y y y y y ⎧+=++⎨=⎩ 121212||||(1)(1)1MF NF y y y y y y ⋅=++=+++200225y y =++ 当012y =-时，||||MF NF ⋅得到最小值为92． 【点睛】 本题是一道抛物线与直线的综合性应用问题，解题的关键是掌握抛物线的简单性质.。
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★启用前注意保密
2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试
数学
本试卷共5页，22小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的市（县、区）、学校、班级、姓名、考场号、座
位号和考生号填写在答题卡上。
将条形码横贴在每张答题卡右上角“条形码
粘贴处”。
2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项
的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不
能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目
指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；
不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4. 考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）若集合A ＝{x |y =√8−4x }，B ＝{x |（3x +5）（2x ﹣7）≤0}，则A ∩B ＝（ ）
A ．[53，2]
B ．（﹣∞，−53]
C ．[2，72]
D ．[−53
，2] 2．（5分）已知复数z 满足z •（3﹣2i ）＝13i ，则z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．（5分）设a ＝log 25，b ＝52.1，c ＝0.25，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）
A ．a ＞b ＞c
B ．b ＞a ＞c
C ．b ＞c ＞a
D ．a ＞c ＞b
4．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A ．5+2√2+√32
B ．5+√2+2√32
C ．5+3√22
D ．2√2
5．（5分）设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中错误的是（ ）
A ．若m ∥n ，n ⊥α，α∥β，则m ⊥β
B ．若m ⊥β，n ⊥β，n ⊥α，则m ⊥α
C ．若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥β
D ．若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥β。